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title: "Subvariedades de ℝn"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn
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# Capítulo 20 — Subvariedades de ℝn

Esferas, toros, grupos de rotações: os habitats naturais da geometria e da mecânica não são espaços vetoriais, mas *conjuntos curvos que, de perto, parecem planos*. Este capítulo dá a essa frase um sentido preciso — as subvariedades de $\R^n$ — e o cálculo para trabalhar sobre elas. O alicerce é o teorema da função inversa, aqui demonstrado pelo ponto fixo de Banach; todo o resto é mudança de coordenadas: as quatro descrições equivalentes de uma subvariedade (retificação local, conjuntos de nível, gráficos, parametrizações), os [espaços tangentes](#def-b3-submanifolds-tangent) e a otimização com restrições por [multiplicadores de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange) — que, como demonstração de despedida, redemonstra o teorema espectral das matrizes simétricas em três linhas de geometria. O problema de fim de semana constrói o grupo das rotações $SO(3)$ e seu recobrimento duplo quaterniônico: a álgebra (o $Q_8$ do [Capítulo 1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ch-b3-groups), crescido) encontrando a geometria.

## 20.1 O teorema da função inversa

**Teorema 20.1 (Teorema da função inversa).**

Sejam $U \subseteq \R^n$ aberto, $f \colon U \to \R^n$ de classe $\mathcal C^1$ e $a \in U$ com $Df(a)$ inversível. Então existem abertos $V \ni a$, $W \ni f(a)$ tais que $f \colon V \to W$ é uma bijeção com inversa $\mathcal C^1$, e

$$
D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1}
\qquad (y \in W).
$$

Se $f$ é $\mathcal C^k$, então $f^{-1}$ também é.

**Demonstração.** Normalize: substituindo $f$ por $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a +
x) - f(a)\bigr)$, podemos supor $a = 0$, $f(0) = 0$, $Df(0) =
I$ (o enunciado geral decorre compondo com as bijeções afins). Escreva $f(x) = x + g(x)$: $Dg(0) = 0$ e, pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $Dg$, escolha $r > 0$ com $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ em $\bar B(0, r)$; a desigualdade do valor médio dá $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12
\norm{x - x'}$ ali.

*Bijetividade sobre uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology).* Para $y \in B(0,
\frac r2)$, resolver $f(x) = y$ significa encontrar um ponto fixo de $\Phi_y(x) = y - g(x)$; $\Phi_y$ leva $\bar B(0, r)$ nele mesmo ($\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq
r$) e é $\frac12$-lipschitziana: Banach ([Teorema 7.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-banach)) dá uma única solução $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$. Além disso, $f$ é injetora em $\bar B(0,r)$:

$$
\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')}
\geq \tfrac12\norm{x - x'} .
\tag{$*$}
$$

Ponha $W = B(0, \frac r2)$ e $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$: abertos ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)), com $f \colon V \to W$ bijetora.

*[Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e derivabilidade da inversa.* $(*)$ diz que $\varphi = f^{-1}$ é $2$-lipschitziana. Fixe $y_0 = f(x_0)
\in W$; a inversibilidade de $A = Df(x_0)$ (sua distância a $I$ é $\leq \frac12$: Neumann, [Proposição 8.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#prop-b3-banach-neumann)) e a derivabilidade de $f$ dão, para $y = f(x)$ perto de $y_0$:

$$
\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0)
= -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr)
= -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),
$$

usando $(*)$ para converter $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$: $\varphi$ é derivável em $y_0$ com a diferencial inversa. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $y \mapsto D\varphi(y) =
Df(\varphi(y))^{-1}$: composição de [aplicações contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (a inversão é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), [Proposição 8.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#prop-b3-banach-neumann)): $\varphi \in \mathcal C^1$; e repetir a mesma fórmula (bootstrapping) dá $\mathcal C^k$. ∎

**Teorema 20.2 (Teorema da função implícita).**

Seja $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ de classe $\mathcal C^1$ perto de $(a, b)$, com $F(a,b) = 0$, e suponha que a diferencial parcial $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ seja inversível. Então existem [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) $A \ni a$, $B \ni b$ e uma aplicação $\psi \colon A \to B$ de classe $\mathcal C^1$ com

$$
\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\}
= \{(x, \psi(x)) : x \in A\},
$$

e $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x,
\psi(x))$.

**Demonstração.** Aplique o [Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) a $\Theta(x, y) = (x,
F(x,y))$: sua diferencial em $(a,b)$, triangular por blocos com blocos diagonais inversíveis $I$ e $D_yF$, é inversível. A inversa local tem a forma $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x,
z))$; ponha $\psi(x) = h(x, 0)$: então $F(x, y) = 0$ se, e somente se, $\Theta(x,y) = (x, 0)$, se, e somente se, $y = \psi(x)$, localmente. A fórmula: derive $F(x, \psi(x)) = 0$ pela regra da cadeia. ∎

## 20.2 Subvariedades: quatro definições

**Teorema 20.3 (Caracterizações equivalentes).**

Sejam $M \subseteq \R^n$, $d \in \{0, \dots, n\}$ e $k \geq
1$. São equivalentes, em cada ponto $a \in M$ (e $M$ é uma *subvariedade de dimensão $d$ e classe $\mathcal C^k$* se valem em todo $a
\in M$):

1. (*Retificação*) Existe um difeomorfismo $\Phi$ $\mathcal C^k$ de um aberto $\Omega \ni a$ sobre um aberto $\Omega' \subseteq \R^n$ com $$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap  \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$$
2. ( *Conjunto de nível* ) Existe uma *submersão* $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ de classe $\mathcal C^k$ (isto é, com $DF(x)$ sobrejetora) em um aberto $\Omega \ni a$ com $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
3. ( *Gráfico* ) A menos de permutar coordenadas, $M$ é localmente o gráfico de uma aplicação $\psi  \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ de classe $\mathcal C^k$ .
4. ( *Parametrização* ) Existe uma *imersão* $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to  \R^n$ de classe $\mathcal C^k$ (com $D\varphi(u)$ injetora) com $A$ aberto, sendo $\varphi$ um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $A$ sobre $M \cap  \Omega$ para algum aberto $\Omega \ni a$ .

**Demonstração.** (1)$\Rightarrow$(2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (as últimas coordenadas de $\Phi$): uma submersão ($D\Phi$ é inversível). (2)$\Rightarrow$(3): $DF(a)$ é sobrejetora: algum menor $q \times q$ da jacobiana é inversível ($q = n - d$); após permutar coordenadas, $D_yF(a)$ é inversível, e o teorema da função implícita ([Teorema 20.2](#thm-b3-submanifolds-implicit)) exprime $M$ localmente como gráfico $y = \psi(x)$. (3)$\Rightarrow$(4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$: uma imersão (diferencial $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\
D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ injetora), um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) sobre o gráfico (inversa: a projeção, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)). (4)$\Rightarrow$(1): seja $\varphi(u_0) = a$; complete $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ por um suplementar $E$ ($\dim E = n - d$) e defina $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ em $A\times E$: $D\Theta(u_0, 0)$ é bijetora (a imagem contém $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ e $E$), de modo que $\Theta$ é um difeomorfismo local ([Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift)); sua inversa $\Phi$ retifica: perto de $a$, os pontos de $M$ são exatamente os $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — e, para isso, a hipótese de [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em (4) garante que $M\cap\Omega$, para $\Omega$ pequeno, não contém outras folhas ($\varphi(u') + v = m \in
M$ perto de $a$ com $v \neq 0$ pequeno deve ser excluído: $m = \varphi(u'')$ para algum $u''$ perto de $u_0$ pela propriedade de [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), e a injetividade local de $\Theta$ força $v = 0$). Então $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\})
\cap\Phi(\Omega)$, a menos de encolher. ∎

**Exemplo 20.4.**

A esfera $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$: conjunto de nível da submersão $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ em $\R^n\setminus\{0\}$ ($DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$): uma subvariedade $\mathcal C^\infty$ de dimensão $n - 1$. O toro em $\R^3$: conjunto de nível de $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} -
R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ ($0 < r < R$). O cone $\{x^2 + y^2 =
z^2\}$ *não* é uma subvariedade em $0$ ([Exercício 20.1](#exo-b3-submanifolds-1)). Grupos de matrizes: $SL_n$ e $O_n$ são subvariedades de $M_n(\R)$ (Exercícios [20.5](#exo-b3-submanifolds-5) e [20.6](#exo-b3-submanifolds-6)) — o ponto de partida da teoria de Lie.

## 20.3 Espaços tangentes

**Definição 20.5.**

Sejam $M$ uma $d$-subvariedade e $a \in M$. O *espaço tangente* $T_aM$ é o conjunto dos vetores velocidade $\gamma'(0)$ das curvas $\gamma \colon
\intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ de classe $\mathcal C^1$ com $\gamma(0) = a$.

**Proposição 20.6.**

$T_aM$ é um subespaço vetorial de $\R^n$ de dimensão $d$, e:

1. se $M = F^{-1}(0)$ localmente com $F$ submersão: $T_aM = \ker DF(a)$ ;
2. se $M$ é parametrizada pela imersão $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ): $T_aM =  \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

**Demonstração.** As curvas em $M$ satisfazem $F(\gamma(t)) = 0$; a regra da cadeia em $0$ dá $DF(a)\gamma'(0) = 0$: $T_aM \subseteq \ker DF(a)$. Reciprocamente, a retificação ([Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) transporta retas de $\R^d\times\{0\}$ em curvas de $M$: todo vetor de um subespaço de dimensão $d$ é realizado; comparar dimensões ($\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$) força a igualdade em (1), e o mesmo argumento de transporte dá (2) ($D\varphi(u_0)$ aplicada a retas em $A$; dimensões, de novo). ∎

**Teorema 20.7 (Multiplicadores de Lagrange).**

Sejam $M = F^{-1}(0)$ com $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega
\to \R^q$ uma submersão $\mathcal C^1$, e seja $f \colon
\Omega \to \R$ de classe $\mathcal C^1$. Se a restrição $f\restriction_M$ tem extremo local em $a \in M$, então existem reais únicos $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (os *[multiplicadores de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange)*) com

$$
\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots +
\lambda_q\nabla F_q(a) .
$$

**Demonstração.** Para toda curva $\gamma$ em $M$ por $a$: $t \mapsto
f(\gamma(t))$ tem extremo local em $0$, de modo que $0 =
\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a),
\gamma'(0)\rangle$: $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ ([Proposição 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)). Ora, $\ker DF(a)^\perp
= \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (a identidade de posto/ortogonalidade do segundo ano, ou o [Exercício 13.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#exo-b3-hilbert-8) em dimensão finita: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$), que é gerado pelos gradientes $\nabla F_i(a)$ — independentes, pois $DF(a)$ é sobrejetora: os multiplicadores existem e são únicos. ∎

**Exemplo 20.8 (O teorema espectral, geometricamente).**

Seja $A$ uma matriz real simétrica $n\times n$ e maximize $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ na esfera $S^{n-1}$ (compacta: o máximo é atingido, em algum $v_1$). Lagrange com $F(x) = \norm x^2 - 1$: $\nabla f = 2Ax$ e $\nabla F =
2x$ dão $Av_1 = \lambda_1v_1$ — um autovetor, com $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$. Restrinja $A$ a $v_1^\perp$ (invariante: $\langle Av, v_1\rangle =
\langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$) e itere: uma base ortonormal de autovetores. O teorema espectral do segundo ano, redemonstrado por pura otimização — e a sombra em dimensão infinita do mesmo argumento demonstrou o [Lema 15.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral#lem-b3-spectral-existence).

**Método 20.9.**

Para demonstrar que um conjunto é subvariedade: exiba-o localmente como $F^{-1}(0)$ com $DF$ sobrejetora *no conjunto* (a rota mais comum), ou como gráfico. Para calcular sua dimensão e seu [espaço tangente](#def-b3-submanifolds-tangent): $d = n - q$ e $T_a = \ker DF(a)$. Para otimizar nele: Lagrange — verifique sempre antes a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) (ou a coercividade), de modo que exista um extremo ao qual o teorema possa se aplicar, e lembre que a equação dos multiplicadores é apenas *necessária*: reúna todos os pontos críticos e, depois, compare valores. Para grupos de matrizes, derive curvas na identidade para identificar [espaços tangentes](#def-b3-submanifolds-tangent).

## 20.4 Exercícios

**Exercício 20.1 ★.**

(a) Verifique que os conjuntos seguintes são subvariedades $\mathcal C^\infty$ e dê suas dimensões: $S^{n-1}$; o hiperboloide $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$; o toro do [Exemplo 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples). (b) Mostre que o cone $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq
\R^3$ não é uma $2$-subvariedade em $0$: determine o número de [componentes conexas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-components) de $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ e compare com o número que uma retificação ([Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(1)) forçaria para um plano menos um ponto.

**Solução de Exercício 20.1.**

(a) Cada um é $F^{-1}(0)$ para uma submersão: $\norm x^2 - 1$ em $\R^n\setminus\{0\}$ (gradiente $2x \neq 0$): dimensão $n-1$; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradiente $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ no hiperboloide, em que $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$): dimensão $2$; a função do toro $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$, $\rho =
\sqrt{x^2+y^2}$, é $\mathcal C^\infty$ perto do toro ($\rho
\geq R - r > 0$ ali) com $\nabla G \neq 0$ (sua componente $z$ é $2z$ e, onde $z = 0$, a componente radial é $2(\rho - R)\ne0$, pois $\abs{\rho - R} = r$): dimensão $2$.

(b) Para $\varepsilon$ pequeno, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ tem exatamente $2$ [componentes conexas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-components) (as folhas superior e inferior perfuradas, cada uma [conexa por caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected): ligue por círculos e semirretas). Se $C$ fosse uma $2$-subvariedade em $0$, um endireitamento daria um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $C\cap\Omega$ sobre uma peça aberta de um plano, levando $0$ num ponto $p$; pequenas [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) planas perfuradas de $p$ têm *uma* componente, e os [homeomorfismos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) preservam o número de componentes de [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) perfuradas: contradição.

**Exercício 20.2 ★.**

Calcule os [espaços tangentes](#def-b3-submanifolds-tangent): (a) $T_aS^{n-1}$ para $a$ qualquer (resposta: $a^\perp$); (b) o plano tangente ao toro do [Exemplo 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) em um ponto arbitrário do equador externo $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$; (c) a reta tangente à hélice $\varphi(t) = (\cos t,
\sin t, t)$ em $\varphi(t_0)$, verificando a [Proposição 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2).

**Solução de Exercício 20.2.**

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$. (b) Em $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$: $\nabla G
= (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$, de modo que o plano tangente é $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0,
0, 1)\bigr)$: o plano vertical tangente ao equador externo. (c) A hélice é uma curva mergulhada com $\varphi'(t_0) =
(-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$: a reta tangente em $\varphi(t_0)$ é $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$, como a [Proposição 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)(2) prescreve.

**Exercício 20.3 ★★.**

Seja $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (isto é, $z \mapsto z^2$). (a) Em que pontos o [Teorema 20.1](#thm-b3-submanifolds-ift) se aplica? (b) Mostre que $f$ é local mas não globalmente inversível em $\R^2\setminus\{0\}$, e exiba explicitamente as duas inversas locais definidas em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $(1, 0)$ (os dois ramos da raiz quadrada). (c) Mesma discussão para a aplicação de [coordenadas polares](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#ex-b3-product-polar) $(r,
\theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$.

**Solução de Exercício 20.3.**

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y &
2x\end{smallmatrix}\bigr)$, $\det = 4(x^2 + y^2)$: o teorema se aplica em todo ponto, exceto na origem. (b) $f(-z) = f(z)$: nunca injetora num conjunto simétrico em relação a $0$; em $\R^2\setminus\{0\}$ ela é um difeomorfismo local em toda parte e, ainda assim, $2$ para $1$ globalmente. Perto de $(1, 0) = f(\pm(1,
0))$, as duas inversas são os dois ramos da raiz quadrada: em notação complexa, $w \mapsto \pm\sqrt w$ (ramo principal), isto é,

$$
(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u +
\sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u +
\sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).
$$

(c) Jacobiano $r > 0$: difeomorfismo local em $\intoo0\infty\times\R$, mas $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ dá o mesmo ponto: localmente inversível (ângulo determinado a menos de $2\pi$ num semiplano), nunca globalmente.

**Exercício 20.4 ★★.**

(Fólio) Sejam $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ e $\mathcal C =
F^{-1}(0)$. (a) Mostre que, perto de todo ponto de $\mathcal C$ distinto da origem, $\mathcal C$ é uma $1$-subvariedade, localmente um gráfico em $x$ ou em $y$ (qual, e onde?). (b) Calcule a reta tangente em $(\frac32, \frac32)$. (c) O que acontece na origem? (Dois ramos se cruzam: exiba duas curvas $\mathcal C^1$ em $\mathcal C$ por $0$ com velocidades independentes e conclua que não existe retificação.)

**Solução de Exercício 20.4.**

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ se anula se, e somente se, $y = x^2$ e $x = y^2$, isto é, $x^4 = x$: em $(0,0)$ e $(1,1)$; só $(0,0)$ está em $\mathcal C$ ($F(1,1) = -1$). Logo, em $\mathcal
C\setminus\{0\}$, $F$ é uma submersão: uma $1$-subvariedade, localmente um gráfico $y = \psi(x)$ onde $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ e $x = \chi(y)$ onde $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (ao menos uma das condições vale fora da origem).

(b) Em $(\frac32, \frac32)$: $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32)
(1, 1) = \frac94(1,1)$: reta tangente $x + y = 3$.

(c) A parametrização racional $x = \frac{3t}{1 + t^3}$, $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ passa por $0$ em $t = 0$ com velocidade $(3, 0)$; trocando $x \leftrightarrow y$ (a curva é simétrica, ou reparametrize por $1/t$), obtém-se uma segunda curva $\mathcal C^1$ por $0$ com velocidade $(0, 3)$. Duas direções tangentes independentes são impossíveis para uma $1$-subvariedade (seu [espaço tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) é uma reta, [Proposição 20.6](#prop-b3-submanifolds-tangent)): $\mathcal C$ não é subvariedade na origem — um autocruzamento transversal.

**Exercício 20.5 ★★.**

Seja $F(M) = M^{\mathsf T}M$ de $M_n(\R)$ no espaço $S_n$ das matrizes simétricas. (a) Mostre que $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ e que $DF(M)$ é sobrejetora sobre $S_n$ em todo $M \in O_n$ *(dado $S \in S_n$, tente $H = \frac12MS$)*. (b) Conclua que $O_n = F^{-1}(I)$ é uma subvariedade $\mathcal C^\infty$ compacta de dimensão $\frac{n(n-1)}2$, com $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$, as matrizes antissimétricas. (c) Mostre que $\eu^{tH} \in O_n$ para toda $H$ antissimétrica: as direções tangentes se integram em curvas dentro do grupo.

**Solução de Exercício 20.5.**

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf
T}M + H^{\mathsf T}H$: $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H +
H^{\mathsf T}M$. Para $M \in O_n$ e $S$ simétrica, $H =
\frac12MS$ dá $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$: sobrejetora sobre $S_n$.

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ com $F$ submersão (sobre $S_n$, de dimensão $\frac{n(n+1)}2$) em cada um de seus pontos: uma subvariedade de dimensão $n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2$. [Compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): fechado ($F$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)) e limitado (as colunas são vetores unitários). Tangente em $I$: $\ker DF(I) =
\{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$.

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} =
\eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (a transposição atravessa a série; as exponenciais de matrizes que comutam se multiplicam, [Teorema 19.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#thm-b3-ode-matrixexp)).

**Exercício 20.6 ★★.**

(a) Mostre que $\det \colon M_n(\R) \to \R$ tem diferencial $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)
^{\mathsf T}H\bigr)$, não nula em todo $M \in SL_n$. (b) Conclua que $SL_n(\R)$ é uma subvariedade de dimensão $n^2 - 1$ com $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$. (c) $GL_n(\R)$ é uma subvariedade? De que dimensão?

**Solução de Exercício 20.6.**

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1
+ \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ para $M$ inversível (expansão de $\det$ perto de $I$: o termo linear de $\prod(1 + \lambda_i)$); com $\det M\cdot M^{-1} =
\operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$: $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}
(M)^{\mathsf T}H\bigr)$, e a fórmula se estende a todo $M$ por [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) e [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Em $SL_n$, $\det M = 1$: $D\det(M) \ne 0$ (seu valor em $H = M$ é $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ com $\det$ submersão ali (valores em $\R$): dimensão $n^2 - 1$; $T_ISL_n = \ker
D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$.

(c) $GL_n$ é um subconjunto *aberto* de $M_n(\R)$ ([Exercício 6.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#exo-b3-topology-8)): uma subvariedade de dimensão total $n^2$ (endireitamento: a carta identidade).

**Exercício 20.7 ★★.**

Por [multiplicadores de Lagrange](#thm-b3-submanifolds-lagrange): (a) encontre os extremos de $f(x,y) = xy$ no círculo $x^2 +
y^2 = 1$; (b) mostre que, entre todos os vetores de probabilidade $(p_1, \dots,
p_n)$ (positivos e de soma $1$), a entropia $-\sum
p_i\ln p_i$ é maximizada exatamente na distribuição uniforme; (c) encontre o ponto da elipse $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ mais próximo de $(1, 0)$ e verifique geometricamente a equação dos multiplicadores (alinhamento das normais).

**Solução de Exercício 20.7.**

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ e $x^2 + y^2 = 1$: $y =
2\lambda x$, $x = 2\lambda y$ dão $x^2 = y^2 = \frac12$. Valores de $xy$: $\pm\frac12$: máximo $\frac12$ em $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$, mínimo $-\frac12$ em $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (o conjunto de restrição é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): os extremos existem).

(b) No [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) do simplexo ($p_i > 0$), Lagrange para $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ com a restrição $\sum p_i = 1$: $-\ln p_i - 1 = \lambda$ para todo $i$: todos os $p_i$ iguais, $p_i =
\frac1n$, com $H = \ln n$. O máximo no simplexo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) é atingido; se fosse atingido no bordo (algum $p_i = 0$), a distribuição viveria em $\leq n - 1$ pontos e, por indução, $H \leq \ln(n-1) < \ln n$: o ponto crítico [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) é o máximo global — a ignorância uniforme maximiza a entropia.

(c) Minimize $(x-1)^2 + y^2$ na elipse compacta: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$. Se $y \neq 0$: $\lambda = 1$, e então $2(x - 1) = \frac x2$ dá $x =
\frac43$, $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$: distância$^2$ $=
\frac19 + \frac59 = \frac23$. Se $y = 0$: $x = \pm2$, distâncias $1$ e $3$. Pontos mais próximos: $\bigl(\frac43,
\pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$, à distância $\sqrt{2/3} < 1$. A equação do multiplicador diz que o segmento de $(1,0)$ ao ponto mais próximo é paralelo a $\nabla$(elipse): ele encontra a elipse ortogonalmente, como a geometria exige.

**Exercício 20.8 ★★★.**

Escreva o [Exemplo 20.8](#ex-b3-submanifolds-rayleigh) por extenso: demonstre por indução que uma matriz real simétrica admite base ortonormal de autovetores, sendo $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ os máximos com restrição sucessivos do quociente de Rayleigh. Deduza então as fórmulas de Courant–Fischer do [Exercício 15.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral#exo-b3-spectral-8) em dimensão finita diretamente dessa construção.

**Solução de Exercício 20.8.**

Indução sobre $n$; $n = 1$ trivial. A função de Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ atinge seu máximo $\lambda_1$ no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $S^{n-1}$ em algum $v_1$; Lagrange ([Teorema 20.7](#thm-b3-submanifolds-lagrange), a esfera como conjunto de nível) dá $2Av_1 = 2\lambda v_1$, e $\lambda = \langle Av_1,
v_1\rangle = \lambda_1$. O hiperplano $v_1^\perp$ é $A$-invariante (simetria: $\langle Av, v_1\rangle = \langle
v, Av_1\rangle = 0$); a restrição é simétrica e a indução fornece uma base ortonormal de autovetores $v_2, \dots, v_n$ de $v_1^\perp$ com autovalores $\lambda_2 \geq \dots \geq
\lambda_n$, cada um o máximo de $f$ na esfera do [complemento ortogonal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#thm-b3-hilbert-decomposition) restante. Courant–Fischer segue exatamente como no [Exercício 15.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral#exo-b3-spectral-8): expanda $x = \sum c_iv_i$; num espaço de teste de dimensão $k$, intersecte com $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (contagem de dimensões em $\R^n$) para obter $\min \leq \lambda_k$, e $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ atinge $\min =
\lambda_k$.

**Exercício 20.9 ★★★.**

(Desigualdade de Hadamard) Para $M \in GL_n(\R)$ com colunas $c_1, \dots, c_n$:

$$
\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,
$$

com igualdade se, e somente se, as colunas são ortogonais. *(Reduza a colunas de norma $1$ por reescalamento; maximize $\det$ no produto [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de esferas $(S^{n-1})^n$; em um maximizador, Lagrange em cada coluna separadamente dá $\nabla_{c_i}\det =
\lambda_ic_i$, e $\nabla_{c_i}\det$ é a $i$-ésima coluna de $\operatorname{com}(M)$: deduza que $M^{\mathsf T}M$ é diagonal, logo $= I$, logo $\det = \pm1$.)* Leitura geométrica: o volume de um paralelepípedo é no máximo o produto dos comprimentos de suas arestas.

**Solução de Exercício 20.9.**

Reescalar cada coluna para norma unitária divide $\abs{\det}$ por $\prod\norm{c_i}$: basta demonstrar $\abs{\det M} \leq 1$ quando todas as colunas são unitárias, com igualdade se, e somente se, $M \in O_n$. A função $\det$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $(S^{n-1})^n$: ela atinge um máximo $m \geq \det I = 1 > 0$ em alguma $M$. Fixando todas as colunas exceto a $i$-ésima, $\det$ é linear em $c_i$, com gradiente a $i$-ésima coluna de $\operatorname{com}(M)$; Lagrange na $i$-ésima esfera: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$. A identidade $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ se lê $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle =
\det(M)\,\delta_{ij}$, isto é, $\lambda_i\langle c_j,
c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$; tomando $j = i$: $\lambda_i
= \det M = m \neq 0$, e então $j \neq i$ dá $\langle c_i,
c_j\rangle = 0$: as colunas são ortonormais, $M \in O_n$, $m = \abs{\det M} = 1$. Logo $\abs{\det} \leq
\prod\norm{c_i}$ sempre, com igualdade exatamente para colunas ortogonais (reescale de volta): o volume de um paralelepípedo é máximo, para comprimentos de aresta dados, quando as arestas são perpendiculares.

**Exercício 20.10 ★★.**

Perto de quais de seus pontos o círculo $S^1$ é um gráfico $y =
\psi(x)$? E um gráfico $x = \chi(y)$? Verifique explicitamente a caracterização por gráficos ([Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3)) em $(1, 0)$ e explique em uma frase por que *alguma* permutação de coordenadas é sempre suficiente, mas nenhuma única serve sempre.

**Solução de Exercício 20.10.**

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ serve perto de todo ponto com $y \neq
0$; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ perto de todo ponto com $x \neq 0$; em $(1, 0)$: o gráfico $x = \sqrt{1 - y^2}$ sobre $y \in
\intoo{-1}1$, que é o [Teorema 20.3](#thm-b3-submanifolds-characterizations)(3) com as coordenadas trocadas. Alguma permutação sempre serve porque a reta tangente, sendo unidimensional, não pode ser simultaneamente vertical e horizontal — mas ela pode ser qualquer uma das duas, de modo que nenhuma escolha fixa da coordenada “dependente” serve em todo ponto.

**Exercício 20.11 ★★.**

(O grupo ortogonal como subvariedade, quantitativamente) (a) Mostre que $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): limitado (cada coluna é um vetor unitário, de modo que $\norm M \leq
\sqrt n$ para a norma euclidiana de matrizes) e fechado. (b) Mostre que seu [espaço tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) em $I$ é o espaço das matrizes antissimétricas, de dimensão $\frac{n(n-1)}2$, e em um $A \in O_n$ geral: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} =
-K\}$. (c) Deduza que a aplicação $t \mapsto A\exp(tK)$ é, para cada $K$ antissimétrica, uma curva em $O_n$ por $A$ com velocidade $AK$ *(verifique $\exp(tK) \in O_n$ usando $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ e $\exp(-X)\exp(X) = I$)*: todo vetor tangente é realizado por uma curva explícita, sem precisar do teorema da função implícita.

**Solução de Exercício 20.11.**

(a) A aplicação que o define, $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$, é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $O_n = F^{-1}(0)$ é fechado; as colunas de uma matriz ortogonal são vetores unitários, de modo que a norma euclidiana (de [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#thm-b3-galois-finitefields)) vale exatamente $\sqrt n$: limitado. [Compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) por Heine–Borel em $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$.

(b) $O_n$ é o conjunto de nível $F = 0$ estudado no capítulo: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$, sobrejetora sobre as matrizes simétricas em cada $A \in O_n$ (dada $S$ simétrica, tome $H = \frac12AS$), de modo que $O_n$ é uma subvariedade de dimensão $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ com

$$
T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{
antisymmetric}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;
$$

em $A = I$ essas são as matrizes antissimétricas.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T})
\exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (as duas matrizes $\pm tK$ comutam, de modo que o produto das exponenciais é a exponencial da soma): $\exp(tK) \in O_n$, e $\gamma(t) =
A\exp(tK)$ é uma curva em $O_n$ com $\gamma(0) = A$, $\gamma'(0) = AK$. Quando $K$ percorre as matrizes antissimétricas, $AK$ varre $T_AO_n$: a exponencial realiza todo o [espaço tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) por curvas explícitas — o atalho de grupos de Lie que o [Problema 20.1](#pb-b3-submanifolds-1) explora para $SO(3)$.

**Exercício 20.12 ★★.**

(Pontos críticos da distância) Sejam $M \subseteq \R^n$ uma subvariedade e $p \notin M$. Mostre que, se $x_0 \in M$ minimiza a distância a $p$ (um tal ponto existe quando $M$ é fechada e não vazia — por quê?), então

$$
p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M
$$

*(derive $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ ao longo de curvas em $M$)*. Deduza: o ponto mais próximo em uma esfera está na semirreta que passa pelo [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions); e use a condição para calcular a distância de $p = (2, 0)$ à parábola $y = x^2$ (reduza a uma cúbica e resolva-a numericamente com três algarismos).

**Solução de Exercício 20.12.**

Existência: intersecte $M$ com uma bola fechada grande em torno de $p$ para obter um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) não vazio; a distância, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), atinge ali seu mínimo, e os pontos fora da bola estão mais longe. Condição de primeira ordem: para uma curva $\gamma$ em $M$ com $\gamma(0) = x_0$, a função $h(t) = \norm{\gamma(t)
- p}^2$ é derivável com um mínimo em $0$:

$$
0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,
$$

e $\gamma'(0)$ varre $T_{x_0}M$: $p - x_0 \perp
T_{x_0}M$. Esfera $S(c, r)$: o [espaço tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) em $x_0$ é $(x_0 - c)^\perp$, de modo que $p - x_0 \parallel x_0 - c$: $x_0$ está na reta por $c$ e $p$, à distância $r$ de $c$ — o ponto do raio, como a geometria insiste. Parábola: em $x_0 = (x, x^2)$ a tangente é gerada por $(1, 2x)$; a ortogonalidade a $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ se lê

$$
(2 - x) - 2x^3 = 0,
\qquad\text{isto é}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,
$$

com única raiz real ($x \mapsto 2x^3 + x$ é estritamente crescente) $x \approx 0.835$; então $x_0 \approx (0.835,
0.698)$ e $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2}
\approx 1.358$.

## 20.5 Problema: $SO(3)$ e os quatérnios

**Problema 20.1.**

Problema de fim de semana — rotações, o grupo $S^3$ e o recobrimento duplo

Os quatérnios $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j +
z\mathrm k\}$ — a álgebra cujo grupo de unidades contém o $Q_8$ do [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#pb-b3-groups-1) — parametrizam as rotações tridimensionais duas vezes: a aplicação “conjugar por um quatérnio unitário” é um morfismo sobrejetor $S^3 \to
SO(3)$ de núcleo $\{\pm1\}$. Construímos tudo. Recorde/defina: a multiplicação é $\R$-bilinear com $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 =
\mathrm{ijk} = -1$; o conjugado de $q = t + x\mathrm i +
y\mathrm j + z\mathrm k$ é $\bar q = t - x\mathrm i -
y\mathrm j - z\mathrm k$; $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2
+ z^2$.

**Parte I — A álgebra $\mathbb H$ e o grupo $S^3$.**

1. Verifique que $\mathbb H$ é uma $\R$ -álgebra associativa de [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) $\R$ , que $\overline{pq} =  \bar q\,\bar p$ e que $N(pq) = N(p)N(q)$ *(uma rota limpa: represente $q$ pela matriz complexa $2\times2$ $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\  -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, $q =  \alpha + \beta\mathrm j$, e use $\det$)* .
2. Deduza que todo $q \neq 0$ é inversível ( $q^{-1} =  \bar q/N(q)$ ): $\mathbb H$ é um corpo (não comutativo), e $S^3 = \{N(q) = 1\}$ é um grupo — e uma $3$ -subvariedade compacta de $\R^4$ ( [Exemplo 20.4](#ex-b3-submanifolds-examples) ).

**Parte II — O morfismo de rotação.** Identifique $\R^3$ com os *quatérnios puros* $P = \{x\mathrm i +
y\mathrm j + z\mathrm k\}$ e, para $q \in S^3$, defina $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$.

3. Mostre que $\rho_q$ leva $P$ em $P$ *(os quatérnios puros são aqueles com $\bar v = -v$)* , é $\R$ -linear, preserva a norma, e que $\rho  \colon q \mapsto \rho_q$ é um morfismo de grupos $S^3  \to O(3)$ .
4. Calcule o núcleo: $\rho_q = \mathrm{id}$ se, e somente se, $q$ comuta com $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ , se, e somente se, $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
5. Escreva $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ com $u \in P$ , $N(u) = 1$ (por que isso é sempre possível para $q \in S^3$ ?). Mostre que $\rho_q$ fixa $u$ e, no plano $u^\perp\cap P$ , age como a rotação de ângulo $\theta$ *(calcule $\rho_q(w)$ para $w \perp u$ usando $uw = -wu$ para unitários puros ortogonais — demonstre essa identidade a partir da tabela de multiplicação, ou de $uw + wu =  -2\langle u, w\rangle$)* .
6. Conclua: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (cada $\rho_q$ é uma rotação de eixo e ângulo como calculados — determinante $+1$ por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $q  \mapsto \det\rho_q$ no [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $S^3$, ou diretamente), e $\rho$ é *sobrejetor* sobre $SO(3)$: toda rotação de $\R^3$ tem eixo (demonstre: uma matriz ortogonal real $3\times3$ com $\det = 1$ tem autovalor $1$ — considere o polinômio característico) e, portanto, é algum $\rho_q$. Em resumo: $$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$$

**Parte III — $SO(3)$ como subvariedade; Rodrigues.**

7. Mostre que $SO(3)$ é uma subvariedade compacta de dimensão $3$ de $M_3(\R)$ com $T_ISO(3) =$ as matrizes antissimétricas ( [Exercício 20.5](#exo-b3-submanifolds-5) ; a condição sobre o determinante seleciona uma reunião de componentes).
8. Para a matriz antissimétrica $A_u$ associada a $u \in \R^3$ ($A_uv = u\wedge v$, o produto vetorial), demonstre a *fórmula de Rodrigues*: $$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 -  \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$$ *(a partir de $A_u^3 = -A_u$: separe a série exponencial segundo as potências de $A_u$)*, e identifique-a como a rotação de eixo $u$ e ângulo $\theta$. Deduza que $\exp$ leva as matrizes antissimétricas *sobre* $SO(3)$.
9. Relacione as duas parametrizações: mostre que $t  \mapsto \rho_{q(t)}$ com $q(t) = \cos\frac t2 +  \sin\frac t2\,u$ é um grupo a um parâmetro de rotações cuja derivada em $t = 0$ é $A_u$ — as exponenciais quaterniônica e matricial contam a mesma história, a meia velocidade e a velocidade plena, respectivamente.

**Parte IV — O recobrimento duplo, sentido.**

10. Mostre que o [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac  t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , é um laço em $SO(3)$ (sua imagem $\rho_{q(t)}$ volta à identidade) cujo levantamento quaterniônico *não* é um laço: $q(2\pi) = -q(0)$ . Continuar até $t = 4\pi$ fecha o levantamento. Explique em um parágrafo curto o que isso diz: uma rotação de $2\pi$ não pode ser desfeita [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) , mas uma de $4\pi$ pode (o truque do cinto), porque os laços de $SO(3)$ são detectados em seu recobrimento duplo $S^3$ .
11. Deduza também o dividendo prático: compor rotações = multiplicar quatérnios (o equivalente a $4$ multiplicações de dados em vez de $9$ , sem deriva da ortogonalidade) — verifique na composição de duas rotações de um quarto de volta em torno de $\mathrm i$ e de $\mathrm j$ : calcule o eixo e o ângulo do produto.

**Parte V — A matriz explícita: Euler–Rodrigues.** Escreva $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j +
d\mathrm k \in S^3$, de modo que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$.

12. Calcule $\rho_q(\mathrm i)$ por extenso a partir da tabela de multiplicação; obtenha em seguida $\rho_q(\mathrm  j)$ e $\rho_q(\mathrm k)$ pela substituição cíclica $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k  \to \mathrm i$, $(b, c, d) \to (c, d, b)$ *(justifique-a: ciclar $\mathrm i, \mathrm j,  \mathrm k$ se estende a um automorfismo de $\mathbb  H$, pois as relações de definição são ciclicamente simétricas)*. Conclua que a matriz de $\rho_q$ na base $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ é a *matriz de Euler–Rodrigues* $$R_q = \begin{pmatrix}  a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\  2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\  2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2  \end{pmatrix}.$$
13. (Lendo uma rotação de trás para diante) Mostre que $$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta,  \qquad  \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) =  \sin\theta\,A_u,$$ na notação das questões 5 e 8. Deduza um algoritmo que recupera $\pm q$ a partir de uma matriz de rotação $R$: o ângulo pelo traço; o eixo pela parte antissimétrica quando $0 < \theta < \pi$; e, quando $\theta = \pi$, demonstre e use a identidade $R  + I = 2\,uu^{\mathsf T}$.
14. Avalie $R_q$ para o produto $q =  \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ da questão 11: aparece uma matriz de permutação. Identifique a rotação e reconcilie com o eixo e o ângulo encontrados na questão 11.

**Parte VI — Dentro de $S^3$: $SU(2)$, [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions), exponenciais.**

15. Mostre que a [representação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/5-representacoes-de-grupos-finitos#def-b3-representations-rep) matricial da questão 1 (chame-a $\Phi$) se restringe a um isomorfismo de grupos de $S^3$ sobre o *grupo especial unitário* $$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U =  1\bigr\}$$ *(para a sobrejetividade, escreva as equações $U^{-1} = U^*$ e $\det U = 1$ para uma matriz complexa $2\times2$ geral)*.
16. Mostre que a parte real é um invariante de conjugação em $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar p) =  \operatorname{Re}q$ para todo $p \in S^3$ — e, reciprocamente, que dois quatérnios unitários de mesma parte real são conjugados em $S^3$ *(reduza a levar um eixo unitário puro sobre outro, o que a Parte II fornece)* . Descreva geometricamente as [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de $S^3$ ; traduza para $SU(2)$ (conjuntos de nível do traço); e projete por $\rho$ : duas rotações são conjugadas em $SO(3)$ se, e somente se, têm o mesmo ângulo $\theta \in \intcc0\pi$ .
17. Defina $\exp$ em $\mathbb H$ pela série exponencial; verifique a convergência absoluta, usando $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ para $\abs q =  \sqrt{N(q)}$. Mostre, para $u$ puro unitário e $\theta  \in \R$, $$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$$ deduza que $\exp$ leva o hiperplano $P$ sobre $S^3$, e verifique que $\rho_{\exp(su)} =  \eu^{2sA_u}$: de novo o fenômeno do meio ângulo da questão 9.
18. Para quatérnios puros $v, w$ , demonstre a regra do produto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , e daí a identidade do [comutador](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; demonstre também $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ para as matrizes da questão 8. Conclua que a derivada de $\rho$ em $1$ ao longo das curvas $t \mapsto \exp(tv)$ é o isomorfismo linear $v \mapsto 2A_v$ de $P$ sobre as matrizes antissimétricas, e que ele transporta o [comutador](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) de quatérnios ao [comutador](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) de matrizes.

**Parte VII — Estrutura global.**

19. (Não há seção [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ) Suponha $s \colon SO(3) \to  S^3$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com $\rho \circ s =  \operatorname{id}$ . Para o laço $R(t) =  \rho_{q(t)}$ da questão 10, ponha $\varepsilon(t) =  s(R(t))\,q(t)^{-1}$ para $t \in \intcc0{2\pi}$ . Mostre que $\varepsilon$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com valores em $\{\pm1\}$ e obtenha uma contradição: não existe escolha global [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de um quatérnio unitário que represente cada rotação.
20. (O modelo da bola) Sejam $\bar B \subseteq \R^3$ a bola fechada de raio $\pi$ e $E(v) = \eu^{A_v}$ , com $E(0) = I$ . Mostre que $E$ leva $\bar B$ sobre $SO(3)$ , é injetora na bola aberta e, na esfera de fronteira, identifica exatamente os antípodas: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , sem nenhuma outra coincidência. Assim, $SO(3)$ é a bola com os pontos antípodas da fronteira colados — o espaço projetivo $\mathbb{RP}^3$ — e um diâmetro se torna o laço não contrátil da questão 10.
21. Mostre que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar  p}$ ; que as involuções de $SO(3)$ (os $R \neq  I$ com $R^2 = I$ ) são exatamente as meias-voltas $\rho_w$ com $w$ quatérnio puro unitário; e que o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de $SO(3)$ é trivial.
22. Mostre que toda rotação é produto de duas meias-voltas: para $q = \cos\frac\theta2 +  \sin\frac\theta2\,u$ , escolha um puro unitário $w \perp  u$ , verifique que $w' = qw$ é de novo um quatérnio puro unitário, e confirme $\rho_q =  \rho_{w'}\rho_w$ . Onde ficam os dois eixos, e que ângulo eles formam?
23. Conclua o resumo [topológico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) : $SO(3)$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e [conexo por caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) (dê duas demonstrações: imagem [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $S^3$ por $\rho$ ; imagem de $\exp$ ), ao passo que $O(3)$ tem exatamente duas [componentes conexas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-components) , cada uma [homeomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) a $SO(3)$ .
24. (Uma composição, de três maneiras) Sejam $R_1$ a rotação de $\frac\pi2$ em torno do eixo $z$ e $R_2$ a rotação de $\frac\pi2$ em torno do eixo $x$ . Calcule o eixo e o ângulo de $R_2R_1$ : (i) multiplicando as duas matrizes $3\times3$ e usando o traço e a parte antissimétrica (Parte V); (ii) multiplicando os quatérnios unitários correspondentes $q_2q_1$ . Verifique que as duas respostas coincidem: ângulo $\frac{2\pi}3$ , eixo $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
25. (A [transformada de Cayley](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann#ex-b3-conformal-mobius)) Para $K$ antissimétrica, mostre que $I + K$ é inversível e $$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$$ com $-1$ nunca sendo autovalor de $C(K)$; mostre que $K \mapsto C(K)$ é uma bijeção das matrizes antissimétricas sobre $\{R \in SO(n) : -1 \notin  \operatorname{Sp}R\}$, com inversa $R \mapsto (I -  R)(I + R)^{-1}$. (Uma carta racional de $SO(n)$, companheira da $\exp$ transcendente do [Exercício 20.11](#exo-b3-submanifolds-11).)

**Solução de Problema 20.1.**

**1.** Aplique $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k
\mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta
& \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ com $\alpha = t + \iu
x$, $\beta = y + \iu z$: verifica-se que $1, \mathrm i,
\mathrm j, \mathrm k$ vão para $I$, $\bigl(\begin{smallmatrix}
\iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 &
0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\bigl(\begin{smallmatrix}0 &
\iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, cujos produtos reproduzem a tabela dos quatérnios: a aplicação é um morfismo injetor de álgebras, de modo que $\mathbb H$ herda a associatividade; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ é multiplicativa, e a conjugação corresponde à transposta da adjunta, dando $\overline{pq} = \bar q\bar p$. [Centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions): comutar com $\mathrm i$ força $y = z = 0$, e com $\mathrm j$ força $x = 0$: $\R$.

**2.** $q\bar q = N(q)$: para $q \neq 0$, $q^{-1} = \bar
q/N(q)$: uma álgebra de divisão. Em $S^3$: $N(pq) = 1$ e $N(q^{-1}) = 1$: um grupo; e $S^3 \subseteq \R^4$ é a esfera unitária: uma $3$-subvariedade compacta.

**3.** $v$ é puro se, e somente se, $\bar v = -v$; então $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$: $\rho_q$ preserva $P$. A linearidade é clara; $N(qv\bar q) =
N(q)N(v)N(q) = N(v)$: uma isometria de $(P, N) \cong (\R^3,
\norm\cdot^2)$: $\rho_q \in O(3)$. E $\rho_{pq}(v) =
pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p =
\rho_p(\rho_q(v))$: um morfismo.

**4.** $\rho_q = \mathrm{id}$ se, e somente se, $qv = vq$ para todo $v$ puro, se, e somente se, $q$ comuta com $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$, se, e somente se, $q$ é central (questão 1): $q \in \R\cap S^3 =
\{\pm1\}$.

**5.** Escreva $q = t + p$ ($t \in \R$, $p$ puro): $1 =
N(q) = t^2 + N(p)$, de modo que $t = \cos\frac\theta2$ e $p =
\sin\frac\theta2\,u$ com $N(u) = 1$ para algum $\theta$ (se $p = 0$, $q = \pm1$ age trivialmente). Como $u^2 = -N(u)
= -1$, $q$ e $u$ comutam, e $\rho_q(u) = qu\bar q =
uq\bar q = u$: o eixo. Para unitários puros $w \perp u$: a regra do produto $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (expanda em coordenadas a partir da tabela) dá $uw = u\wedge w
= -wu$. Então

$$
\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 +
\sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2u\bigr)
= \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),
$$

usando $uwu = -u^2w = w$ e as fórmulas do arco duplo: a rotação de ângulo $\theta$ no plano orientado $(w,
u\wedge w)$.

**6.** Cada $\rho_q$ é uma rotação em torno de $u$ de $\theta$: na base ortonormal $(u, w, u\wedge w)$, sua matriz tem determinante $+1$: $\operatorname{im}\rho \subseteq
SO(3)$. Sobrejetividade: uma matriz $R \in SO(3)$ tem $1$ como autovalor, já que

$$
\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R)
= (-1)^3\det(R - I),
$$

de modo que $\det(R - I) = 0$. Tome um autovetor unitário $u$; $R$ preserva $u^\perp$ e ali se restringe a uma rotação de algum ângulo $\theta$ (ortogonal planar, de determinante $1$): $R = \rho_q$ para $q = \cos\frac\theta2 +
\sin\frac\theta2\,u$. Com a questão 4 e o primeiro teorema de isomorfismo ([Teorema 1.3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-firstiso)): $SO(3)
\cong S^3/\{\pm1\}$.

**7.** $O_3$ é uma subvariedade compacta de dimensão $3$ ([Exercício 20.5](#exo-b3-submanifolds-5)); $\det$ é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) nela, com valores em $\{\pm1\}$, de modo que $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ é aberto e fechado em $O_3$: uma união de [componentes conexas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-components), logo ela própria uma $3$-subvariedade compacta, com o mesmo [espaço tangente](#def-b3-submanifolds-tangent) em $I$: as matrizes antissimétricas.

**8.** $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u,
v\rangle u - v$ ($u$ unitário), de modo que $A_u^3v = u\wedge(\langle
u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$: $A_u^3 = -A_u$. Separando a série exponencial pelos restos das potências módulo a relação $A^3 = -A$:

$$
\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} +
\cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} -
\frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2
= I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .
$$

Em $u$: $A_uu = 0$: fixo. Em $w \perp u$: $\eu^{\theta
A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) =
\cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$: a rotação de eixo $u$ e ângulo $\theta$ — Rodrigues. Toda rotação tem essa forma (questão 6): $\exp$ é sobrejetora sobre $SO(3)$ a partir das matrizes antissimétricas.

**9.** Com $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$: a questão 5 mostra que $\rho_{q(t)}$ é a rotação de eixo $u$ e ângulo $t$, isto é, $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$, cuja derivada em $t = 0$ é $A_u$. O quatérnio corre à metade do ângulo — o traço analítico do recobrimento duplo.

**10.** $\rho_{q(t)}$ é a rotação em torno de $\mathrm k$ de ângulo $t$: em $t = 2\pi$ ela retorna à identidade — um laço em $SO(3)$. Seu levantamento satisfaz $q(2\pi) = \cos\pi =
-1 = -q(0)$: o [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) levantado *não* é fechado; só em $t = 4\pi$ é que $q$ retorna a $1$. Interpretação: o laço das rotações [completas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) não é contrátil em $SO(3)$ — seu levantamento termina na outra folha do recobrimento —, ao passo que o laço duplo é; um corpo preso ao ambiente por tiras (o truque do cinto) retorna a um estado sem [torção](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-torsion) após $4\pi$, mas não após $2\pi$. Os grupos de rotação lembram a paridade das voltas [completas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete); $S^3$, sendo [simplesmente conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected), é onde essa memória vive.

**11.** Quartos de volta: $q_{\mathrm i} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$, $q_{\mathrm j} =
\cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$. Produto (aplicando primeiro a volta de $\mathrm j$):

$$
q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 +
\mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k\bigr),
$$

de norma $1$, com $\cos\frac\theta2 = \frac12$: $\theta =
\frac{2\pi}3$, e eixo $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j +
\mathrm k}{\sqrt3}$ (a parte pura normalizada). Dois quartos de volta sucessivos em torno de eixos ortogonais produzem uma rotação de $120^\circ$ em torno da diagonal principal do cubo — o equivalente a quatro multiplicações reais de contabilidade, com a ortogonalidade preservada exatamente: eis por que os softwares de voo e os motores gráficos compõem rotações via quatérnios.

**12.** Da tabela, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ e $\mathrm{ki} = \mathrm j$, de modo que

$$
q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) +
d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .
$$

Multiplicando por $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j -
d\mathrm k$ com a regra escalar–vetor $(t_1 + p_1)(t_2 +
p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 +
p_1\wedge p_2$, em que $p_1 = (a, d, -c)$ e $p_2 = (-b, -c,
-d)$: a parte escalar é $-ab - (-ab) = 0$ (pura, como deve ser), e a parte vetorial é

$$
b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac)
= \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd -
ac)\bigr):
$$

a primeira coluna de $R_q$. A aplicação cíclica $\sigma(\mathrm i)
= \mathrm j$, $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$, $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ preserva as relações $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} =
-1$ (a palavra $\mathrm{ijk}$ é ciclicamente invariante a menos da relação $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$, que vale em qualquer anel: conjugue $\mathrm{ijk} = -1$ pelo inversível $\mathrm i$), de modo que $\sigma$ se estende a um automorfismo de $\R$-álgebras, e $\sigma(\rho_q(v)) =
\rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$. Desenrolando, a imagem de $\mathrm j$ é a fórmula da primeira coluna após a substituição $(b, c, d) \to (c, d, b)$ com a base reetiquetada $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm
i$, que é exatamente a segunda coluna exibida; mais uma volta dá a terceira.

**13.** Somando a diagonal, $\operatorname{tr}R_q =
3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (norma unitária) e, com $a = \cos\frac\theta2$: $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 +
2\cos\theta$. Parte antissimétrica: as três entradas independentes de $R_q - R_q^{\mathsf T}$ são $4ab, 4ac, 4ad$ (nas posições $(3,2), (1,3), (2,1)$), de modo que $\frac12(R_q -
R_q^{\mathsf T}) = A_m$ com $m = 2a\,(b, c, d) =
2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$. Algoritmo: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R -
1}{2} \in \intcc0\pi$; se $0 < \theta < \pi$, leia $u$ em $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ e ponha $q =
\pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$; se $\theta =
0$, $q = \pm1$. Para $\theta = \pi$: $a = 0$, e Rodrigues (questão 8) dá $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} -
I) = 2uu^{\mathsf T} - I$, isto é, $R + I = 2uu^{\mathsf T}$; qualquer coluna não nula de $R + I$, normalizada, é $\pm u$, e $q = \pm u$.

**14.** Com $a = b = c = d = \frac12$: todas as entradas diagonais se anulam, $2(bc - ad) = 0$, $2(bd + ac) = 1$, $2(bc +
ad) = 1$, $2(cd - ab) = 0$, $2(bd - ac) = 0$, $2(cd + ab) =
1$:

$$
R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
$$

a permutação cíclica $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$. Seu traço é $0 = 1 + 2\cos\theta$, de modo que $\theta = \frac{2\pi}3$, e ela fixa $(1,1,1)$: a rotação de $120^\circ$ em torno da diagonal principal — precisamente a resposta da questão 11, agora visível como a matriz que cicla os eixos coordenados.

**15.** Na base, verifica-se $\Phi(\bar q) =
\Phi(q)^*$ (a matriz de $\bar q$ tem $\alpha' =
\bar\alpha$, $\beta' = -\beta$, que é a transposta conjugada de $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\
-\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$). Logo $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ e $\det\Phi(q)
= \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$: para $q \in S^3$, $\Phi(q) \in SU(2)$, e $\Phi$ é um morfismo injetor (questão 1). Sobrejetividade: seja $U =
\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma &
\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ com $\det U = 1$; então $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\
-\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$, e $U^{-1} = U^*
= \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\
\bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ força $\delta = \bar\alpha$, $\gamma = -\bar\beta$, e então $1 =
\det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$: $U = \Phi(q)$ para o quatérnio unitário $q$ de coordenadas $\alpha = a + \iu b$, $\beta = c + \iu d$. Logo $S^3 \cong SU(2)$.

**16.** Os escalares reais são centrais e $N(p) = 1$ dá $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$, de modo que $pq\bar p +
\overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$: a parte real é invariante. Reciprocamente, seja $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$; então as partes puras têm a mesma norma $\sqrt{1 - a^2} = s$. Se $s =
0$, $q = q' = \pm1$. Se $s > 0$, escreva $q = a + su$, $q' =
a + su'$ com $u, u'$ puros unitários; a questão 6 fornece uma rotação que leva $u'$ em $u$, isto é, $p \in S^3$ com $\rho_p(u') = u$, e então $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') =
q$. As classes de $S^3$ são, portanto, $\{1\}$, $\{-1\}$ e, para cada $a \in \intoo{-1}1$, a $2$-esfera $\{a + su :
u \text{ puro unitário}\}$ de raio $s$. Sob $\Phi$, $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha =
2\operatorname{Re}q$: as classes de $SU(2)$ são os conjuntos de nível do traço. Projetando: se $q' = pq\bar p$, então $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$; reciprocamente, $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ força $q' = \pm pq\bar p$ (núcleo), de modo que $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$, isto é, $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} =
\abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ para os ângulos em $\intcc0\pi$: rotações conjugadas têm ângulos iguais. Reciprocamente, ângulos iguais permitem representantes com a mesma parte real não negativa, conjugados pelo que precede: em $SO(3)$, a [classe de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de uma rotação é exatamente o seu ângulo.

**17.** $N$ é multiplicativa, de modo que $\abs\cdot$ é uma norma multiplicativa em $\mathbb H \cong \R^4$ e $\abs{q^k} = \abs q^k$: a série $\sum q^k/k!$ converge absolutamente no espaço de dimensão finita (logo [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)), dominada por $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$. Para um $u$ puro unitário: $u^2 = -1$, de modo que $(\theta u)^{2m} =
(-1)^m\theta^{2m}$ e $(\theta u)^{2m+1} =
(-1)^m\theta^{2m+1}u$; separando a série,

$$
\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} +
u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta +
\sin\theta\,u .
$$

Qualquer $q \in S^3$ é $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ com $\alpha \in \intcc0\pi$ (questão 5): $q = \exp(\alpha u)$, de modo que $\exp(P) = S^3$. Por fim, $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u
= q(2s)$ na notação da questão 9, e $\rho_{q(t)} =
\eu^{tA_u}$ ali: $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$.

**18.** Expandindo $vw$ coordenada a coordenada com a tabela: os produtos $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$, … dão o escalar $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$, e os produtos mistos ($\mathrm{ij} = \mathrm k$, $\mathrm{ji} =
-\mathrm k$, …) dão o vetor $(v_2w_3 - v_3w_2,\
v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$: $vw = -\langle v,
w\rangle + v\wedge w$. Subtraindo o produto invertido: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (as partes escalares se cancelam, os produtos vetoriais se somam). Para as matrizes, com $a\wedge(b\wedge
c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$:

$$
[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x)
= w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle
= (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .
$$

Derivada: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (a conjugação é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e nega os quatérnios puros), de modo que

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx -
xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :
$$

a diferencial é $v \mapsto 2A_v$, uma bijeção linear de $P$ sobre as matrizes antissimétricas, e $[2A_v, 2A_w]
= 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ mostra que ela leva o [comutador](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) de quatérnios no [comutador](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) de matrizes.

**19.** Aplicando $\rho$: $\rho(\varepsilon(t)) =
\rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} =
\operatorname{id}$, de modo que $\varepsilon(t) \in \ker\rho =
\{\pm1\}$ (questão 4). Como produto das [aplicações contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $t \mapsto s(R(t))$ e $t \mapsto q(t)^{-1} =
\bar{q(t)}$, $\varepsilon$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) intervalo $\intcc0{2\pi}$ com valores no par discreto $\{\pm1\}$: ela é constante, digamos $\varepsilon(t) \equiv
\varepsilon$. Mas $R(0) = R(2\pi) = I$, de modo que $s(R(0)) =
s(R(2\pi))$, ao passo que $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) =
\varepsilon$ e $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) =
-\varepsilon$: contradição. Não existe seção [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): a ambiguidade de sinal $\pm q$ é global, não um defeito de uma fórmula particular.

**20.** *Sobrejetora:* todo $R \in SO(3)$ é $\eu^{\theta A_u}$ para algum $u$ unitário e $\theta \in
\intcc0{2\pi}$ (questões 6 e 8); se $\theta > \pi$, Rodrigues dá $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi -
\theta)A_{-u}}$ (ambos iguais a $I + \sin\theta A_u + (1 -
\cos\theta)A_u^2$, e $A_{-u} = -A_u$ com $\sin(2\pi -
\theta) = -\sin\theta$, $\cos(2\pi - \theta) =
\cos\theta$), de modo que $R = E(v)$ com $\norm v \leq \pi$. *Injetora no [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior):* se $E(v) = E(v') \neq I$ com $\norm v, \norm{v'} < \pi$, a questão 13 recupera o mesmo ângulo $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ a partir do traço e, como $\sin\theta \neq 0$, o mesmo eixo a partir da parte antissimétrica: $v = v'$; e $E(v) = I$ força $\theta \in \{0\}$ na bola aberta. *Bordo:* $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ depende de $u$ apenas através de $uu^{\mathsf T}$, donde $E(\pi u) =
E(-\pi u)$; reciprocamente, $2uu^{\mathsf T} - I =
2u'u'^{\mathsf T} - I$ aplicado a $u$ dá $u = \langle
u', u\rangle u'$, de modo que $u' = \pm u$. [Interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) e bordo nunca colidem (traço $> -1$ contra $= -1$). Logo $E$ induz uma bijeção [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) da bola com colagem antipodal — compacta — sobre $SO(3)$: um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), e $SO(3)
\cong \mathbb{RP}^3$. Um diâmetro de $\pi u$ a $-\pi u$ tem os extremos colados: ele é um laço em $SO(3)$, e sua descrição por $E$ coincide com a família da questão 10 de rotações em torno de $u$ varrendo uma volta [completa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).

**21.** $\rho$ é um morfismo e $\rho_p^{-1} =
\rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$, de modo que $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1}
= \rho_{pq\bar p}$; pela questão 16, conjugar uma rotação preserva seu ângulo e gira seu eixo por $\rho_p$. Involuções: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ se, e somente se, $q^2 = \pm1$. Se $q^2 = 1$, então $(q - 1)(q + 1) = q^2 -
1 = 0$ (escalares centrais, de modo que essa fatoração é válida) e $q = \pm1$ no anel de divisão $\mathbb H$, dando $\rho_q
= I$, excluído; $q^2 = -1$ com $q = a +
su$ dá $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$, de modo que $a = 0$, $s = 1$: $q$ é um puro unitário $w$, e $\rho_w$ é a meia-volta em torno de $w$ (ângulo $\pi$, questão 5). [Centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions): se $\rho_q$ comuta com todo $\rho_p$, então $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$, de modo que $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ com $\varepsilon(p) \in
\{\pm1\}$; $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $S^3$ e vale $1$ em $p =
1$, logo $\equiv 1$: $q$ comuta com todo $S^3$, logo com todo $\mathbb H$ (reescale), de modo que $q \in \R \cap S^3 =
\{\pm1\}$ (questão 1) e $\rho_q = I$: o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) é trivial.

**22.** Como $u \perp w$ são puros unitários, $uw =
u\wedge w$ é puro (questão 18), de modo que

$$
w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge
w
$$

é puro, de norma $\abs q\abs w = 1$. Então $w'w = qw\cdot w
= qw^2 = -q$, e

$$
\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .
$$

Ambos os eixos $w$ e $w' = \cos\frac\theta2 w +
\sin\frac\theta2(u\wedge w)$ estão no plano $u^\perp$ ortogonal ao eixo da rotação, e $\langle w', w\rangle
= \cos\frac\theta2$: eles formam o semiângulo $\frac\theta2$. Essa é a geração clássica: duas meias-voltas em torno de eixos que se encontram sob o ângulo $\frac\theta2$ compõem a rotação de ângulo $\theta$ em torno de sua perpendicular comum.

**23.** A [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) é a questão 7. [Conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) por [caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected): $SO(3) = \rho(S^3)$ é a imagem [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) da esfera, [conexa por caminhos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected); alternativamente, para $R = \eu^{A}$ com $A$ antissimétrica (questão 8), $t \mapsto \eu^{tA}$ é um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) em $SO(3)$ de $I$ a $R$ (ortogonal, pois $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$, de determinante $1$ por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) a partir de $t = 0$). Para $O(3)$: $\det$ é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) sobre $\{\pm1\}$, de modo que $O(3)$ é desconexo, $O(3) = SO(3)
\sqcup D\,SO(3)$ para qualquer $D$ fixo com $\det D = -1$ (por exemplo, $D = -I$), e a multiplicação à esquerda por $D$ é um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): exatamente duas componentes, cada uma uma cópia de $SO(3)$. O $\rho$ dois para um, sem seção pela questão 19, é assim um honesto recobrimento duplo de um grupo [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) pelo [simplesmente conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann#def-b3-conformal-simplyconnected) $S^3$ — a geometria por trás do truque do cinto.

**24.** (i) Matrizes:

$$
R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 &
0\end{pmatrix}.
$$

O traço $0 = 1 + 2\cos\theta$ dá $\cos\theta = -\frac12$: $\theta = \frac{2\pi}3$. A parte antissimétrica $\frac{R -
R^{\mathsf T}}2$ tem entradas que codificam, na escala de $\sin\theta\,(v_3,
-v_2, v_1)$, o eixo: aqui $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 =
\frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1
& 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$, o que se lê (dicionário $A_v$ da Parte V) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$; com $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$: $v = \frac1{\sqrt3}(1,
-1, 1)$. (ii) Quatérnios: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k =
\frac{\sqrt2}2(1 + k)$, $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$, e

$$
q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik)
= \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)
$$

($ik = -j$). Logo $\cos\frac\theta2 = \frac12$: $\theta =
\frac{2\pi}3$, e a parte vetorial $\frac12(i - j + k)$ tem direção $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — a mesma resposta, com a rota dos quatérnios exigindo uma linha de multiplicação em vez de um produto de matrizes: a razão prática pela qual os softwares de voo compõem atitudes em $S^3$.

**25.** $I + K$ inversível: $(I + K)v = 0$ dá $0 =
\langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (a antissimetria mata o segundo termo): $v = 0$. Ortogonalidade de $C = C(K)$: usando $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ e o fato de que as quatro matrizes $I \pm K$, $(I \pm K)^{-1}$ comutam (expressões polinomiais em $K$, mais limites):

$$
C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T}
(I - K)(I + K)^{-1}
= (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .
$$

Determinante: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf
T}\bigr) = \det(I + K)$, de modo que $\det C = 1$: $C \in SO(n)$. Sem autovalor $-1$: $Cv = -v$ significa $(I - K)w = -(I + K)w$ para $w = (I + K)^{-1}v$, isto é, $2w = 0$: $v = 0$. Inversão: de $C(I + K) = I - K$, resolva $K(I + C) = I -
C$; como $-1 \notin \operatorname{Sp}C$, $I + C$ é inversível e $K = (I - C)(I + C)^{-1}$, que é antissimétrica sempre que $C$ é ortogonal sem autovalor $-1$ (transponha a expressão e use $C^{\mathsf T} =
C^{-1}$: $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} =
(C - I)(C + I)^{-1} = -K$). As duas aplicações são mutuamente inversas por construção: uma parametrização racional global da peça aberta densa de $SO(n)$ que evita o autovalor $-1$ — sem séries, sem trigonometria e, em dimensão $3$, é a substituição do arco metade $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ disfarçada.