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title: "Formas diferenciais e o teorema de Stokes"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/21-formas-diferenciais-e-o-teorema-de-stokes
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# Capítulo 21 — Formas diferenciais e o teorema de Stokes

Um teorema da análise absorveu, ao longo de dois séculos, todos os outros de sua espécie: o teorema fundamental do cálculo, Green–Riemann (demonstrado no volume do segundo ano), o teorema da divergência de Gauss, o teorema do rotacional de Kelvin–Stokes — cada um diz que a integral de alguma derivada sobre uma região é igual à integral do objeto original sobre o [bordo](#def-b3-forms-boundary). A linguagem das *[formas diferenciais](#def-b3-forms-diffform)* faz deles um único enunciado, $\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega$, e torna esse enunciado demonstrável de uma só vez. Este capítulo constrói a linguagem honestamente — álgebra multilinear alternada, [derivada exterior](#def-b3-forms-d), [pullbacks](#def-b3-forms-pullback), [orientação](#def-b3-forms-orientation), integração nas subvariedades do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#ch-b3-submanifolds) —, demonstra o teorema de Stokes e desconta os primeiros cheques: os teoremas integrais clássicos, o [índice de rotação](#def-b3-forms-winding) que secretamente movia o [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues) e, no problema de fim de semana, o teorema do ponto fixo de Brouwer. Ao longo de todo o capítulo, *suave* significa $\mathcal
C^\infty$; toda aplicação e toda forma são suaves, salvo menção em contrário. Isso não custa generalidade que valha a pena neste nível e deixa as mãos livres.

## 21.1 Álgebra multilinear alternada

**Definição 21.1.**

Seja $E$ um espaço vetorial real de dimensão $n$. Uma *forma $k$-linear alternada* em $E$ é uma aplicação $\alpha\colon E^k \to \R$, linear em cada variável, com $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ sempre que dois argumentos são iguais. Seu espaço é escrito $\Lambda^k E^*$; por convenção, $\Lambda^0E^* = \R$. A alternância força a antissimetria: trocar dois argumentos muda o sinal (expanda $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$) e, mais geralmente, $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) =
\varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ para toda permutação $\sigma$.

**Exemplo 21.2.**

Em $E = \R^n$: $\Lambda^1E^* = E^*$ é o [espaço dual](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#def-b3-banach-operator); o determinante na base canônica é uma forma $n$-linear alternada, e a [Proposição 21.4](#prop-b3-forms-basis) mostrará que ele gera $\Lambda^nE^*$ — a razão profunda pela qual o determinante é único a menos de escala. Para $k > n$, $\Lambda^kE^* = \{0\}$: $k$ vetores são dependentes, e expandir um deles ao longo dos outros anula $\alpha$ por alternância.

**Definição 21.3.**

Para $\ell_1, \dots, \ell_k \in E^*$, seu *produto exterior* é a forma $k$-linear alternada

$$
(\ell_1 \wedge \dots \wedge \ell_k)(v_1, \dots, v_k)
= \det\bigl(\ell_i(v_j)\bigr)_{1 \leq i, j \leq k} .
$$

A alternância e a multilinearidade são as do determinante em suas colunas.

**Proposição 21.4 (Base de Λk\Lambda^kΛk).**

Seja $(e_1, \dots, e_n)$ uma base de $E$ com base [dual](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#def-b3-banach-operator) $(e_1^*, \dots, e_n^*)$. As formas

$$
e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*,
\qquad I = \{i_1 < \dots < i_k\} \subseteq \{1, \dots, n\},
$$

formam uma base de $\Lambda^kE^*$; logo $\dim\Lambda^kE^* =
\binom nk$. Explicitamente, $\alpha =
\sum_{\abs I = k}\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})\,e_I^*$.

**Demonstração.** *Geração.* Sejam $\alpha \in \Lambda^kE^*$ e $\beta =
\sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, em que $\alpha(e_I)$ abrevia $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Ambos os lados são $k$-lineares e alternados, de modo que coincidem assim que coincidam em todas as $k$-uplas $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ com $j_1 < \dots <
j_k$ (a multilinearidade reduz a uplas de vetores da base; a alternância, às estritamente crescentes). E $e_I^*(e_{j_1},
\dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: para $I = J$ a matriz é a identidade; para $I \neq J$ alguma linha é nula. Logo $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ para todo $J$: $\beta = \alpha$. *Independência.* Se $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, avaliar em $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ dá $c_J = 0$. ∎

**Definição 21.5.**

O [produto exterior](#def-b3-forms-wedge) se estende a uma aplicação bilinear $\Lambda^kE^* \times \Lambda^\ell E^* \to
\Lambda^{k+\ell}E^*$, determinada pela bilinearidade e por $(e_I^*) \wedge (e_J^*) = e_I^* \wedge e_J^*$ (concatene e reordene; o produto é $0$ se $I \cap J \neq
\varnothing$). Ele é associativo e *anticomutativo graduado*:

$$
\beta \wedge \alpha = (-1)^{k\ell}\,\alpha \wedge \beta
\qquad (\alpha \in \Lambda^k, \ \beta \in \Lambda^\ell).
$$

**Demonstração.** Ambas as propriedades se verificam nos elementos da base e se estendem por bilinearidade. Associatividade: as duas maneiras de parentesear $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ dão o [produto exterior](#def-b3-forms-wedge) da família concatenada de $1$-formas, pela fórmula do determinante da [Definição 21.3](#def-b3-forms-wedge) (desenvolvimento de Laplace por blocos). A regra de sinais: mover cada um dos $\ell$ fatores de $\beta$ além dos $k$ fatores de $\alpha$ custa um sinal por transposição adjacente (uma troca de duas linhas do determinante), logo $(-1)^{k\ell}$ ao todo. ∎

**Proposição 21.6 (Pullback, caso linear).**

Uma aplicação linear $u\colon E \to F$ induz, para cada $k$, a aplicação linear $u^*\colon \Lambda^kF^* \to \Lambda^kE^*$, $(u^*\alpha)(v_1, \dots, v_k) = \alpha(u(v_1), \dots,
u(v_k))$. Ela satisfaz $u^*(\alpha \wedge \beta) = u^*\alpha
\wedge u^*\beta$ e $(u \circ w)^* = w^* \circ u^*$. Além disso:

1. Se $\dim E = n$ e $u\colon E \to E$ , então na reta $\Lambda^nE^*$ : $u^*\alpha = (\det u)\,\alpha$ .
2. Se $\operatorname{rk}u < k$ , então $u^* = 0$ em $\Lambda^kF^*$ .

**Demonstração.** As identidades funtoriais são imediatas das definições (para a regra do produto, verifique em [produtos exteriores](#def-b3-forms-wedge) de $1$-formas com a fórmula do determinante — $\det(\ell_i(uv_j)) =
\det((u^*\ell_i)(v_j))$ — e estenda por bilinearidade). (1) $u^*$ leva o espaço unidimensional $\Lambda^nE^*$ ([Proposição 21.4](#prop-b3-forms-basis)) nele mesmo, de modo que $u^*\alpha =
c\,\alpha$ com $c$ independente de $\alpha \neq 0$; testando em $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ e $(v_j) =
(e_j)$ obtém-se $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Para $v_1, \dots, v_k \in E$, os vetores $u(v_1), \dots,
u(v_k)$ estão na imagem de $u$, de dimensão $< k$: eles são linearmente dependentes, e uma [forma alternada](#def-b3-forms-alternating) se anula em uma família dependente (expanda o vetor dependente ao longo dos demais). ∎

## 21.2 Formas diferenciais e a derivada exterior

**Definição 21.7.**

Seja $U \subseteq \R^n$ aberto. Uma *$k$-forma diferencial* em $U$ é uma aplicação suave $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$; na base da [Proposição 21.4](#prop-b3-forms-basis) (escrevendo $\dd x_i$ para $e_i^*$),

$$
\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I,
\qquad
\dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},
$$

com coeficientes suaves $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$. Seu espaço é $\Omega^k(U)$; $\Omega^0(U) = \mathcal
C^\infty(U)$. Uma $0$-forma é uma função; uma $1$-forma é um campo de formas lineares (por exemplo, a diferencial $\dd f$ de uma função); uma $n$-forma é $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd
x_n$, o integrando natural do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#ch-b3-product).

**Definição 21.8 (Derivada exterior).**

A *derivada exterior* é a aplicação linear $\dd\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k+1}(U)$ definida por

$$
\dd\Bigl(\sum_I a_I\,\dd x_I\Bigr)
= \sum_I \dd a_I \wedge \dd x_I
= \sum_I\sum_{j=1}^n \frac{\partial a_I}{\partial
x_j}\,\dd x_j \wedge \dd x_I .
$$

Em $0$-formas, ela é a diferencial usual.

**Teorema 21.9.**

(a) $\dd(\omega \wedge \eta) = \dd\omega \wedge \eta +
(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$ para $\omega \in \Omega^k$ (a *regra de Leibniz graduada*). (b) $\dd \circ \dd = 0$.

**Demonstração.** (a) Por bilinearidade, basta tratar $\omega = a\,\dd
x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$. Então $\omega \wedge \eta =
ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ e

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = (b\,\dd a + a\,\dd b) \wedge \dd x_I
\wedge \dd x_J
= (\dd a \wedge \dd x_I) \wedge (b\,\dd x_J) +
a\,\dd b \wedge \dd x_I \wedge \dd x_J,
$$

e mover a $1$-forma $\dd b$ além dos $k$ fatores de $\dd
x_I$ custa $(-1)^k$ ([Definição 21.5](#def-b3-forms-wedgegeneral)): o segundo termo é $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Para uma função: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j}
\frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge
\dd x_i$. O coeficiente é simétrico em $(i,j)$ pelo teorema de Schwarz sobre derivadas parciais mistas (demonstrado no volume do segundo ano; $a$ é $\mathcal C^\infty$), ao passo que $\dd x_j \wedge
\dd x_i$ é antissimétrico: emparelhando os termos $(i,j)$ e $(j,i)$, tudo se cancela. Para uma $\omega = \sum
a_I\dd x_I$ geral: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I)
= \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ por (a), e ambos os termos se anulam ($\dd(\dd x_I) = 0$, pois o coeficiente é constante). ∎

**Definição 21.10 (Pullback).**

Seja $\varphi\colon U \to V$ suave ($U \subseteq \R^m$, $V \subseteq \R^n$ abertos). O *pullback* $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ é definido ponto a ponto pelo pullback linear ao longo da diferencial: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$. Concretamente, $\varphi^*$ substitui: $\varphi^*f = f \circ
\varphi$ em funções, $\varphi^*(\dd y_i) =
\dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial
x_j}\dd x_j$, e $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd y_{i_k}) =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$.

**Teorema 21.11.**

(a) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge
\varphi^*\eta$ e $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ
\psi^*$. (b) $\varphi^*(\dd\omega) = \dd(\varphi^*\omega)$: a [derivada exterior](#def-b3-forms-d) comuta com toda substituição suave — a identidade que faz dela *a* derivada da teoria. (c) Se $\varphi\colon U \to V$ é suave entre abertos de $\R^n$ e $\omega = a\,\dd y_1 \wedge \dots \wedge \dd
y_n$, então $\varphi^*\omega = (a \circ
\varphi)\,\det\bigl(D\varphi\bigr)\,\dd x_1 \wedge \dots
\wedge \dd x_n$.

**Demonstração.** (a) São enunciados pontuais sobre [pullbacks](#def-b3-forms-pullback) lineares ([Proposição 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)), mais a regra da cadeia $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Para uma $0$-forma $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ
D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ é a regra da cadeia. Para $\omega = a\,\dd y_I$: usando (a), $\varphi^*\omega =
(a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge
\dd\varphi_{i_k}$, de modo que, pela regra de Leibniz ([Teorema 21.9](#thm-b3-forms-dsquare)(a)) e por $\dd\dd\varphi_{i_r} =
0$:

$$
\dd(\varphi^*\omega) = \dd(a\circ\varphi) \wedge
\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge\dd\varphi_{i_k}
= \varphi^*(\dd a) \wedge \varphi^*(\dd y_I)
= \varphi^*(\dd a \wedge \dd y_I) =
\varphi^*(\dd\omega).
$$

(c) Ponto a ponto, isso é exatamente $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ em formas de grau máximo ([Proposição 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(1) com $u = D\varphi(x)$). ∎

**Exemplo 21.12 (Coordenadas polares).**

Para $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$: $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r -
r\sin\theta\,\dd\theta$, $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r
+ r\cos\theta\,\dd\theta$, de modo que

$$
\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) =
(\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge
(\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta)
= r\,\dd r \wedge \dd\theta,
$$

o jacobiano do [Exemplo 11.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#ex-b3-product-polar) aparecendo por pura álgebra — sem teoria da [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure). O [Exercício 21.9](#exo-b3-forms-9) transforma essa observação em enunciado: para integrais orientadas, a fórmula de mudança de variáveis *é* a fórmula do [pullback](#def-b3-forms-pullback).

## 21.3 Formas fechadas e exatas; o lema de Poincaré

**Definição 21.13.**

$\omega \in \Omega^k(U)$ é *fechada* se $\dd\omega = 0$, e é *exata* se $\omega = \dd\eta$ para alguma $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (uma *primitiva* de $\omega$). Exata $\Rightarrow$ fechada, por $\dd^2 = 0$; a recíproca é uma questão sobre a *forma* de $U$.

**Exemplo 21.14 (A forma angular).**

Em $U = \R^2 \setminus \{0\}$,

$$
\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}
$$

é [fechada](#def-b3-forms-closedexact) (cálculo direto: [Exercício 21.4](#exo-b3-forms-4)) mas não é [exata](#def-b3-forms-closedexact): sua integral ao longo do círculo unitário vale $2\pi \neq 0$, ao passo que as integrais de [formas exatas](#def-b3-forms-closedexact) ao longo de curvas [fechadas](#def-b3-forms-closedexact) se anulam ([Proposição 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)). Localmente, $\omega_\theta = \dd\theta$ para qualquer determinação suave $\theta$ do ângulo polar — donde o nome e a obstrução: nenhuma tal determinação existe em todo $U$. Essa única forma comanda o [índice de rotação](#def-b3-forms-winding) ([Seção 21.6](#sec-21-6)) e, por meio dele, o teorema dos [resíduos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#def-b3-residues-singularities) do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues).

**Teorema 21.15 (Lema de Poincaré).**

Seja $U \subseteq \R^n$ aberto e *estrelado* em relação a $0$. Toda $k$-forma [fechada](#def-b3-forms-closedexact) em $U$ ($k \geq 1$) é [exata](#def-b3-forms-closedexact).

**Demonstração.** Construímos um *operador de homotopia* linear $h\colon
\Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ com

$$
\dd(h\omega) + h(\dd\omega) = \omega
\qquad (k \geq 1);\tag{21.1}
$$

se $\dd\omega = 0$, então $\omega = \dd(h\omega)$ e terminamos. Para $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$, ponha

$$
h\omega = \sum_{\abs I = k}\ \sum_{r=1}^{k}(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1 t^{k-1}a_I(tx)\,\dd t\Bigr)\,
x_{i_r}\,\dd x_{i_1}\wedge\dots\wedge
\widehat{\dd x_{i_r}}\wedge\dots\wedge\dd x_{i_k}
$$

(o chapéu suprime um fator; as integrais são suaves em $x$ por derivação sob o sinal de integral, [Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff), com todas as derivadas dominadas nos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)). Verificar [(21.1)](#eq-b3-forms-homotopy) é um cálculo que se faz uma vez na vida, então o fazemos por extenso. Fixe $I$ e tome $\omega =
a\,\dd x_I$ (linearidade). Primeiro,

$$
\dd(h\omega) = k\Bigl(\int_0^1t^{k-1}a(tx)\dd t\Bigr)\dd x_I
+ \sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}\sum_{j=1}^n
\Bigl(\int_0^1t^{k}\,\partial_ja(tx)\,\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} :
$$

o primeiro grupo reúne os termos em que $\dd$ atinge o fator $x_{i_r}$ — o [produto exterior](#def-b3-forms-wedge) $\dd x_{i_r}\wedge\dd
x_{I\setminus i_r}$ recompõe $\dd x_I$ com um sinal $(-1)^{r-1}$ que cancela o prefator, e os $k$ valores de $r$ dão o fator $k$ —, enquanto o segundo grupo reúne os termos em que $\dd$ atinge a integral (a regra da cadeia faz sair $t\,\partial_ja(tx)$). Em seguida, $\dd\omega =
\sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$ e, aplicando a definição de $h$ em grau $k+1$, com o índice $j$ ocupando a primeira posição:

$$
h(\dd\omega) = \sum_{j=1}^n\Bigl(\int_0^1t^{k}
\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)x_j\,\dd x_I
- \sum_{j=1}^n\sum_{r=1}^k(-1)^{r-1}
\Bigl(\int_0^1t^{k}\partial_ja(tx)\dd t\Bigr)
x_{i_r}\,\dd x_j\wedge\dd x_{I\setminus i_r} .
$$

As somas duplas se cancelam em $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, que portanto é igual a

$$
\Bigl(\int_0^1\bigl(k\,t^{k-1}a(tx) +
t^k{\textstyle\sum_j}x_j\,\partial_ja(tx)\bigr)\dd t\Bigr)
\dd x_I
= \Bigl(\int_0^1\frac{\dd}{\dd t}\bigl(t^ka(tx)\bigr)\dd
t\Bigr)\dd x_I
= a(x)\,\dd x_I = \omega,
$$

pelo teorema fundamental do cálculo. O [caráter](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/5-representacoes-de-grupos-finitos#def-b3-representations-character) estrelado entrou onde tinha de entrar: $tx \in U$ para $t \in \intcc01$, de modo que $a(tx)$ faz sentido. ∎

**Observação 21.16.**

Para $k = 1$ e $\omega = \sum_j a_j\dd x_j$, a primitiva é $f(x) = \int_0^1\sum_ja_j(tx)\,x_j\,\dd t$ — a integral de linha de $\omega$ ao longo do segmento $[0, x]$: o teorema é o “um campo de jacobiana simétrica é um gradiente” de várias variáveis do segundo ano, agora em todo grau. A forma angular ([Exemplo 21.14](#ex-b3-forms-angular)) mostra que a hipótese sobre $U$ não é decorativa: $\R^2\setminus\{0\}$ não é estrelado, e ali ser [fechada](#def-b3-forms-closedexact) não implica ser [exata](#def-b3-forms-closedexact). O que sobrevive em um aberto geral é medido pela *cohomologia de de Rham* $H^k(U) =
\ker\dd/\operatorname{im}\dd$ — veja o [Exercício 21.12](#exo-b3-forms-12) para o primeiro cálculo não trivial.

## 21.4 Orientação e integração em subvariedades

Integrar uma $k$-forma exige território orientado de dimensão $k$. Recorde do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#ch-b3-submanifolds) ([Teorema 20.3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations)) que uma $k$-subvariedade $M \subseteq \R^n$ é localmente a imagem de uma parametrização regular $\gamma\colon V \to M \cap W$ ($V
\subseteq \R^k$ aberto, com $\gamma$ [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) sobre sua imagem e diferencial injetora).

**Definição 21.17.**

Uma *orientação* de $M$ é uma escolha, para cada $p \in M$, de uma das duas classes de orientação de bases do [espaço tangente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#def-b3-submanifolds-tangent) $T_pM$, que seja *localmente coerente*: em torno de cada ponto existe uma parametrização $\gamma$ cujo referencial de coordenadas $(\partial_1\gamma, \dots,
\partial_k\gamma)$ é positivamente orientado em todo ponto de seu domínio. Tais parametrizações são chamadas *diretas*. $M$ é *orientável* se existe uma orientação; a faixa de Möbius mostra que isso pode falhar. Todas as subvariedades deste capítulo são orientadas.

**Definição 21.18 (Integral de uma forma).**

Sejam $M$ uma $k$-subvariedade orientada e $\omega$ uma $k$-forma definida em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $M$, com $\operatorname{supp}\omega \cap M$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). (a) Se $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq
\gamma(V)$ para uma única parametrização direta, ponha

$$
\int_M\omega = \int_V\gamma^*\omega
$$

— sendo o lado direito a integral de Lebesgue em $V$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#ch-b3-product)) do coeficiente $g$ de $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$, que é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). (b) No caso geral, escolha um número finito de parametrizações diretas $\gamma_i(V_i)$ cobrindo o [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\operatorname{supp}\omega \cap M$ e uma [partição da unidade](#lem-b3-forms-partition) subordinada $(\chi_i)$ ([Lema 21.20](#lem-b3-forms-partition)), e ponha $\int_M\omega =
\sum_i\int_M\chi_i\,\omega$, cada termo calculado por (a). Para uma curva ($k = 1$) parametrizada por $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$, escrevemos $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$, sem exigir injetividade.

**Lema 21.19 (Coerência).**

A definição (a) não depende da parametrização direta, e a definição (b) não depende nem da cobertura nem da [partição da unidade](#lem-b3-forms-partition). Além disso, se $\Phi$ é um difeomorfismo de [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de duas subvariedades orientadas com $\Phi(M) = M'$, levando um referencial direto de $M$ em um referencial direto de $M'$ em algum ponto de cada componente de $M$, então $\int_{M'}\omega =
\int_M\Phi^*\omega$.

**Demonstração.** (a) Sejam $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ parametrizações diretas cujas imagens contêm $\operatorname{supp}\omega\cap M$. A transição $\tau =
\delta^{-1}\circ\gamma$ é um difeomorfismo entre os abertos relevantes de $V, V'$ (regularidade das transições: [Teorema 20.3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#thm-b3-submanifolds-characterizations), via a descrição local por gráficos), e $\gamma = \delta\circ\tau$ ali, de modo que $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)). Escreva $\delta^*\omega =
g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; então ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) =
(g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Sendo diretos ambos os referenciais, $D\tau$ leva uma base positiva em uma base positiva: $\det D\tau > 0$, de modo que $\det D\tau =
\abs{\det D\tau}$, e o teorema de mudança de variáveis ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-changeofvar)) dá $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: as duas integrais coincidem. *Eis toda a razão de a [orientação](#def-b3-forms-orientation) existir*: sem o controle de sinal, o jacobiano e seu valor absoluto diferem, e a integral fica mal definida. (b) Se $(\chi_i)$ e $(\tilde\chi_j)$ são duas partições admissíveis (coberturas incluídas), então, por (a) e pela aditividade finita, $\sum_i\int\chi_i\omega =
\sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega =
\sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, sendo cada termo duplo calculável em qualquer das duas cartas. Quanto à última afirmação: se $\gamma$ percorre as parametrizações diretas de $M$, então $\Phi\circ\gamma$ percorre as parametrizações diretas de $M'$ (a comparação de orientações é localmente constante e está fixada em um ponto por componente), e $(\Phi\circ\gamma)^*\omega =
\gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

**Lema 21.20 (Partições da unidade, caso compacto).**

Sejam $K \subseteq \R^n$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e $W_1, \dots, W_m$ abertos que cobrem $K$. Existem $\chi_1, \dots, \chi_m \in
\mathcal C^\infty(\R^n)$ com $0 \leq \chi_i \leq 1$, $\operatorname{supp}\chi_i \subseteq W_i$ [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), e $\sum\chi_i = 1$ em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $K$.

**Demonstração.** Cada $x \in K$ está em algum $W_{i(x)}$ com uma bola [fechada](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) extrai $x_1, \dots, x_N$ com as bolas $B(x_s, r_{x_s})$ cobrindo $K$. Para cada $s$, tome uma [função de corte](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#def-b3-lp-mollifier) $\theta_s \in \mathcal
C^\infty$, $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ em $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s
\subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (regularize a indicadora da bola de raio $\frac32r_{x_s}$, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization)). Atribua cada $s$ a um índice $i(s)$ com $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ e ponha $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. No aberto $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$, as funções $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ fazem o serviço, mas só estão ali definidas; para globalizar, seja $\rho \in \mathcal
C^\infty(\R^n)$ satisfazendo $\rho = 0$ onde $\sum_j\Theta_j
\geq 1$ e $\rho > 0$ onde $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (regularize um corte adequado de $1 - \sum_j\Theta_j$), e ponha

$$
\chi_i = \frac{\Theta_i}{\rho + \sum_j\Theta_j} .
$$

O denominador é $> 0$ em toda parte e vale $\sum_j\Theta_j$ em $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) aberta de $K$ (cada ponto de $K$ está em alguma bola $B(x_s, r_{x_s})$ onde $\theta_s = 1$); ali $\sum_i\chi_i = 1$. Os suportes e as cotas são claros. ∎

## 21.5 O teorema de Stokes

**Definição 21.21.**

Uma *$k$-subvariedade com bordo* $M \subseteq \R^n$ é um conjunto coberto por parametrizações regulares de dois tipos: *cartas [interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior)* $\gamma\colon V \to M \cap W$ com $V \subseteq \R^k$ aberto, e *cartas de bordo* $\gamma\colon V \cap H^k \to M
\cap W$, em que $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ e $\gamma$ se estende de maneira suave e regular ao aberto $V$. O *bordo* $\partial M$ é o conjunto dos pontos atingidos em $u_k = 0$; ele é uma $(k-1)$-subvariedade sem bordo, parametrizada pelas aplicações $u' \mapsto \gamma(u',
0)$. Uma [orientação](#def-b3-forms-orientation) de $M$ induz uma em $\partial M$ pela regra da *normal exterior primeiro*: em $p \in \partial M$, uma base $(w_1, \dots, w_{k-1})$ de $T_p\partial M$ é positiva se, e somente se, $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ é uma base positiva de $T_pM$, em que $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ aponta para fora de $M$ (em uma carta de bordo: $\nu =
-\partial_k\gamma$, a menos de acrescentar componentes tangenciais — a classe de [orientação](#def-b3-forms-orientation) não as enxerga).

![A regra da normal exterior primeiro: em cada ponto do bordo, coloque o vetor exterior em primeiro lugar; as bases que o completam a um referencial positivo de M orientam M. Para um domínio plano com a orientação padrão, esta é a regra anti-horária de Green–Riemann.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-forms/fig-f4f14ea3a97a.svg)

*A regra da normal exterior primeiro: em cada ponto do [bordo](#def-b3-forms-boundary), coloque o vetor exterior $\nu$ em primeiro lugar; as bases que o completam a um referencial positivo de $M$ orientam $\partial M$. Para um domínio plano com a [orientação](#def-b3-forms-orientation) padrão, esta é a regra anti-horária de Green–Riemann.*

**Lema 21.22 (Stokes no semiespaço).**

Seja $\eta$ uma $(k-1)$-forma suave em $\R^k$ de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). Então

$$
\int_{H^k}\dd\eta = \int_{\partial H^k}\eta,
$$

em que $H^k$ carrega a [orientação](#def-b3-forms-orientation) padrão de $\R^k$ e $\partial H^k = \{u_k = 0\} \cong \R^{k-1}$ a induzida, que é $(-1)^k$ vezes a [orientação](#def-b3-forms-orientation) padrão de $\R^{k-1}$.

**Demonstração.** Primeiro, a contabilidade das orientações: a normal exterior ao longo de $\partial H^k$ é $-e_k$, e

$$
\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) =
-\det(e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = -(-1)^{k-1}\det(e_1,
\dots, e_k) = (-1)^k :
$$

o referencial $(e_1, \dots, e_{k-1})$ de $\partial H^k$ é positivo para a [orientação](#def-b3-forms-orientation) induzida exatamente quando $k$ é par, donde a comparação enunciada. Por linearidade, tome $\eta
= f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal
C^\infty_c(\R^k)$; então $\dd\eta =
(-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (mover $\dd u_i$ para sua posição custa $i - 1$ trocas). Dois casos, ambos por Tonelli–Fubini ([Teorema 11.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-fubini)) e pelo teorema fundamental do cálculo de uma variável.

*Caso $i < k$.* Integrando primeiro em $u_i$ sobre $\R$: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)), de modo que $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. E a restrição de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ contém o fator $\dd u_k$, que se restringe a $0$ ($u_k$ é ali constante): $\int_{\partial H^k}\eta =
0$ também.

*Caso $i = k$.* Integrando primeiro em $u_k$ sobre $\intco0\infty$:

$$
\begin{align*}
\int_{H^k}\dd\eta &= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}
\Bigl(\int_0^\infty\partial_kf\,\dd u_k\Bigr)\dd u' \\
&= (-1)^{k-1}\int_{\R^{k-1}}\bigl(0 - f(u', 0)\bigr)\dd u'
= (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u' .
\end{align*}
$$

Do lado do [bordo](#def-b3-forms-boundary), $\eta$ se restringe a $f(u',
0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$ e, sendo a [orientação](#def-b3-forms-orientation) induzida $(-1)^k$ vezes a padrão, $\int_{\partial H^k}\eta =
(-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. Os dois lados coincidem. ∎

**Teorema 21.23 (Stokes).**

Sejam $M \subseteq \R^n$ uma $k$-subvariedade compacta orientada com [bordo](#def-b3-forms-boundary), $\partial M$ com a [orientação](#def-b3-forms-orientation) induzida, e seja $\omega$ uma $(k-1)$-forma suave em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $M$. Então

$$
\int_M\dd\omega = \int_{\partial M}\omega .
$$

Em particular, se $\partial M = \varnothing$: $\int_M\dd\omega = 0$.

**Demonstração.** Cubra o [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $M$ por um número finito de imagens de cartas diretas ([interiores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) ou de [bordo](#def-b3-forms-boundary)) e tome uma [partição da unidade](#lem-b3-forms-partition) $(\chi_i)$ subordinada aos abertos $W_i$ de $\R^n$ correspondentes ([Lema 21.20](#lem-b3-forms-partition)), com $\sum\chi_i
= 1$ em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $M$. Nessa [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology), $\dd(\sum\chi_i) = 0$, de modo que

$$
\int_M\dd\omega = \sum_i\int_M\dd(\chi_i\omega),
\qquad
\int_{\partial M}\omega =
\sum_i\int_{\partial M}\chi_i\omega :
$$

ambos os lados são aditivos, e basta demonstrar o teorema para uma forma com suporte na imagem de uma única carta.

*Carta [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior).* Se $\operatorname{supp}\omega \cap M
\subseteq \gamma(V)$ com $V$ aberto em $\R^k$: estenda $\eta =
\gamma^*\omega$ por zero a $\R^k$ (suave, de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) em $V$) e aplique o [Lema 21.22](#lem-b3-forms-halfspace) com o suporte longe de $\partial H^k$ (translade $V$ para dentro do semiespaço superior aberto — ou simplesmente repita o cálculo do caso $i < k$ em todo $\R^k$): $\int_M\dd\omega =
\int_{\R^k}\dd\eta = 0$, e $\int_{\partial M}\omega = 0$, pois $\omega$ se anula perto de $\partial M$.

*Carta de [bordo](#def-b3-forms-boundary).* Se $\operatorname{supp}\omega\cap M
\subseteq \gamma(V \cap H^k)$: com $\eta = \gamma^*\omega$ estendida por zero, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), de modo que, pela [Definição 21.18](#def-b3-forms-integral):

$$
\int_M\dd\omega = \int_{H^k}\dd\eta
\overset{\text{\text{Lema 21.22}}}{=}
\int_{\partial H^k}\eta .
$$

Resta identificar o membro direito com $\int_{\partial
M}\omega$. O [bordo](#def-b3-forms-boundary) é parametrizado por $\beta(u') =
\gamma(u', 0)$, e $\beta^*\omega$ é a restrição de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ ([pullback](#def-b3-forms-pullback) pela inclusão $u'
\mapsto (u', 0)$ composta com $\gamma$). A comparação de orientações é o mesmo $(-1)^k$ dos dois lados: o referencial $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ está na [orientação](#def-b3-forms-orientation) induzida de $\partial M$ com o sinal $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ calculado na carta (o vetor exterior se puxa para trás em $-e_k$), que é exatamente o sinal que relaciona a [orientação](#def-b3-forms-orientation) induzida de $\partial H^k$ com a padrão de $\R^{k-1}$ ([Lema 21.22](#lem-b3-forms-halfspace)). As duas convenções de sinal se cancelam: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎

**Exemplo 21.24 (Os teoremas clássicos).**

Seja $D \subseteq \R^2$ um domínio [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de [bordo](#def-b3-forms-boundary) suave, com a [orientação](#def-b3-forms-orientation) padrão. Para $\omega = P\,\dd x +
Q\,\dd y$: $\dd\omega = \bigl(\partial_xQ -
\partial_yP\bigr)\dd x\wedge\dd y$, e Stokes se lê

$$
\int_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y
= \oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y :
$$

*Green–Riemann*, demonstrado para domínios elementares no volume do segundo ano e agora em generalidade natural. Em $\R^3$, Stokes aplicado à $2$-forma de [fluxo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) de um campo de vetores em um domínio [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) dá o *teorema da divergência* $\int_\Omega\operatorname{div}F =
\int_{\partial\Omega}\langle F, \nu\rangle\,\dd S$ e, aplicado a uma $1$-forma em uma superfície com [bordo](#def-b3-forms-boundary), o clássico teorema do rotacional de *Kelvin–Stokes*; o [Exercício 21.7](#exo-b3-forms-7) detalha os dois dicionários.

## 21.6 O índice de rotação

**Definição 21.25.**

Seja $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ uma curva [fechada](#def-b3-forms-closedexact) suave. Seu *índice de rotação* em torno de $a$ é

$$
\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a,
\qquad
\omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd
x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .
$$

**Proposição 21.26.**

$\operatorname{Ind}_\gamma(a) \in \Z$; como função de $a$, ele é constante em cada [componente conexa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-components) de $\R^2\setminus\gamma(\intcc01)$ e nulo na componente ilimitada. Para $\gamma(t) = a + r(\cos2\pi t, \sin2\pi t)$: $\operatorname{Ind}_\gamma(a) = 1$.

**Demonstração.** Tome $a = 0$ e escreva $\gamma = (x, y)$, $\rho =
\norm\gamma > 0$, $\vartheta(t) =
\int_0^t\gamma^*\omega_\theta$, de modo que $\vartheta' =
\frac{xy' - yx'}{x^2 + y^2}$. Em notação complexa, ponha $u(t)
= \gamma(t)\,\rho(t)^{-1}\eu^{-\iu\vartheta(t)}$; então $\abs u = 1$, e um cálculo direto dá

$$
\frac{u'}{u} = \frac{\gamma'}{\gamma} - \frac{\rho'}{\rho}
- \iu\vartheta'
= \frac{\bar\gamma\gamma'}{\abs\gamma^2} -
\frac{\rho'}{\rho} - \iu\,\frac{xy' -
yx'}{\rho^2}
= \frac{(xx' + yy')}{\rho^2} - \frac{\rho'}{\rho} = 0,
$$

pois $\bar\gamma\gamma' = (xx' + yy') + \iu(xy' - yx')$ e $\rho\rho' = xx' + yy'$. Logo $u$ é constante: $\gamma(t) =
\rho(t)\,c\,\eu^{\iu\vartheta(t)}$ com $\abs c = 1$, e $\gamma(1) = \gamma(0)$ com $\rho(1) = \rho(0)$ força $\eu^{\iu\vartheta(1)} = \eu^{\iu\vartheta(0)} = 1$: $\vartheta(1) \in 2\pi\Z$, isto é, $\operatorname{Ind}_\gamma(0) \in \Z$. Como função de $a$ no complementar aberto da curva compacta, a integral que a define é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramcont), com dominação em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de cada $a$); uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) a valores inteiros é localmente constante, logo constante nas componentes. Para $\norm a$ grande, o integrando é $O(1/\norm a)$ uniformemente em $t$, de modo que o índice tende a $0$ e se anula na componente ilimitada. Para o círculo: $\gamma^*\omega_\theta^a = 2\pi\,\dd t$ diretamente. ∎

**Observação 21.27.**

Sob $\C \cong \R^2$, $\frac{\dd z}{z} = \frac{x\,\dd x +
y\,\dd y}{x^2 + y^2} + \iu\,\omega_\theta$, de modo que $\operatorname{Ind}_\gamma(a) =
\frac1{2\iu\pi}\oint_\gamma\frac{\dd z}{z - a}$: esse é o índice do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#ch-b3-residues), e a [Proposição 21.26](#prop-b3-forms-windinginteger) redemonstra sua integralidade e sua constância local por meios de variável real — a metade [topológica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) do teorema dos [resíduos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/17-series-de-laurent-e-o-teorema-dos-residuos#def-b3-residues-singularities), agora assentada sobre Stokes.

**Proposição 21.28.**

Se $\omega = \dd f$ é [exata](#def-b3-forms-closedexact) no aberto $U$ e $\gamma\colon\intcc01\to U$ é uma curva [fechada](#def-b3-forms-closedexact), então $\int_\gamma\omega = 0$.

**Demonstração.** $\int_\gamma\dd f = \int_0^1(f\circ\gamma)'(t)\,\dd t =
f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)) = 0$ — a regra da cadeia identifica $\gamma^*(\dd f)$ com $(f\circ\gamma)'\,\dd t$. ∎

**Método 21.29.**

Calculando com formas: (1) mecanize — os [produtos exteriores](#def-b3-forms-wedge) se reordenam com sinais, $\dd$ deriva coeficientes em novos $\dd
x_j$, e os [pullbacks](#def-b3-forms-pullback) substituem; confie na álgebra, ela codifica todo jacobiano. (2) Para integrar uma forma sobre uma subvariedade: parametrize diretamente, puxe para trás, integre o coeficiente; a [orientação](#def-b3-forms-orientation) é a única armadilha — verifique um referencial. (3) Para demonstrar uma identidade integral, procure um formato de Stokes: o integrando é exato? o domínio é um [bordo](#def-b3-forms-boundary)? (4) Para comparar integrais sobre duas subvariedades “paralelas”, aplique Stokes à região entre elas (o argumento de deformação, [Exercício 21.10](#exo-b3-forms-10)). (5) Uma integral não nula de uma [forma fechada](#def-b3-forms-closedexact) certifica uma obstrução [topológica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) — sem primitiva, sem retração, sem extensão sem zeros: é assim que o problema de fim de semana mata as retrações da bola.

## 21.7 Exercícios

**Exercício 21.1 ★.**

Em $\R^3$, sejam $\omega = x\,\dd y - z\,\dd x$ e $\eta =
\dd x + y\,\dd z$. Calcule $\omega\wedge\eta$, $\dd\omega$, $\dd\eta$ e $\dd(\omega\wedge\eta)$, e verifique a regra de Leibniz graduada neste exemplo.

**Solução de Exercício 21.1.**

Expandindo e matando os fatores repetidos:

$$
\omega\wedge\eta = (x\,\dd y - z\,\dd x)\wedge(\dd x +
y\,\dd z)
= -x\,\dd x\wedge\dd y + xy\,\dd y\wedge\dd z +
yz\,\dd z\wedge\dd x
$$

(usando $\dd y\wedge\dd x = -\dd x\wedge\dd y$ e $-zy\,\dd
x\wedge\dd z = yz\,\dd z\wedge\dd x$). A seguir, $\dd\omega =
\dd x\wedge\dd y - \dd z\wedge\dd x = \dd x\wedge\dd y +
\dd x\wedge\dd z$ e $\dd\eta = \dd y\wedge\dd z$. Por fim,

$$
\dd(\omega\wedge\eta) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z +
z\,\dd y\wedge\dd z\wedge\dd x = (y + z)\,\dd x\wedge\dd
y\wedge\dd z
$$

(o primeiro termo de $\omega\wedge\eta$ contribui com $\dd(-x)
\wedge\dd x\wedge\dd y = 0$; permutações cíclicas de três fatores são pares). Verificação de Leibniz: $\dd\omega\wedge\eta =
(\dd x\wedge\dd y + \dd x\wedge\dd z)\wedge(\dd x + y\,\dd
z) = y\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$, e $(-1)^1\omega\wedge\dd\eta = -(x\,\dd y - z\,\dd
x)\wedge\dd y\wedge\dd z = z\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$; a soma bate.

**Exercício 21.2 ★.**

Identifique, em $\R^3$, as três encarnações de $\dd$: para $f \in \Omega^0$, $\dd f \leftrightarrow \nabla f$; para a forma de trabalho $\omega_F = F_1\dd x + F_2\dd y + F_3\dd z$, $\dd\omega_F \leftrightarrow \operatorname{curl}F$; para a forma de [fluxo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) $\sigma_F = F_1\,\dd y\wedge\dd z + F_2\,\dd
z\wedge\dd x + F_3\,\dd x\wedge\dd y$, $\dd\sigma_F
\leftrightarrow \operatorname{div}F$. Deduza de $\dd^2 =
0$ as identidades $\operatorname{curl}\nabla f = 0$ e $\operatorname{div}\operatorname{curl}F = 0$.

**Solução de Exercício 21.2.**

$\dd f = \sum_i\partial_if\,\dd x_i$ tem os coeficientes de $\nabla f$. Para a forma trabalho,

$$
\dd\omega_F = (\partial_yF_3 - \partial_zF_2)\,\dd y\wedge\dd
z + (\partial_zF_1 - \partial_xF_3)\,\dd z\wedge\dd x +
(\partial_xF_2 - \partial_yF_1)\,\dd x\wedge\dd y =
\sigma_{\operatorname{curl}F},
$$

a forma [fluxo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) do rotacional (reúna os seis termos de $\sum_i\dd F_i\wedge\dd x_i$). Para a forma [fluxo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification), $\dd\sigma_F = (\partial_xF_1 + \partial_yF_2 +
\partial_zF_3)\,\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z$: a divergência. Então $\dd^2f = 0$ se lê $\sigma_{\operatorname{curl}\nabla f} = 0$, isto é, $\operatorname{curl}\nabla f = 0$, e $\dd^2\omega_F = 0$ se lê $(\operatorname{div}\operatorname{curl}F)\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0$: as duas identidades vetoriais são uma única identidade, $\dd^2 = 0$, lida em dois graus.

**Exercício 21.3 ★★.**

Decida se cada $1$-forma é [fechada](#def-b3-forms-closedexact), se é [exata](#def-b3-forms-closedexact) em seu domínio, e calcule uma primitiva quando existir: (a) $(2xy + z^2)\,\dd x + x^2\,\dd y + 2xz\,\dd z$ em $\R^3$; (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2}$ em $\R^2\setminus\{0\}$; (c) $\dfrac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$ no semiplano $\{x > 0\}$.

**Solução de Exercício 21.3.**

(a) Ser [fechada](#def-b3-forms-closedexact) é a simetria das derivadas parciais cruzadas: $\partial_y(2xy + z^2) = 2x = \partial_x(x^2)$, $\partial_z(2xy + z^2) = 2z = \partial_x(2xz)$, $\partial_z(x^2) = 0 = \partial_y(2xz)$. O domínio $\R^3$ é estrelado: [exata](#def-b3-forms-closedexact) ([Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare)), com primitiva $f = x^2y + xz^2$ (verifique $\dd f$). (b) $\dfrac{x\,\dd x + y\,\dd y}{x^2 + y^2} =
\tfrac12\,\dd\log(x^2 + y^2)$: [exata](#def-b3-forms-closedexact) em todo $\R^2\setminus\{0\}$ (logo [fechada](#def-b3-forms-closedexact)) — a prima radial da forma angular é inofensiva. (c) Em $\{x > 0\}$ a forma é $\omega_\theta$, [fechada](#def-b3-forms-closedexact) ([Exercício 21.4](#exo-b3-forms-4)); o semiplano é convexo, de modo que ela é [exata](#def-b3-forms-closedexact) ali e, de fato, $f = \arctan(y/x)$ satisfaz $\dd f
= \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}$. [Exata](#def-b3-forms-closedexact) no semiplano, não [exata](#def-b3-forms-closedexact) no plano perfurado: o obstáculo mora no buraco, não na fórmula.

**Exercício 21.4 ★★.**

(A forma angular) Verifique que $\omega_\theta$ ([Exemplo 21.14](#ex-b3-forms-angular)) é [fechada](#def-b3-forms-closedexact); calcule $\int_\gamma\omega_\theta$ para $\gamma$ o círculo de raio $r$ em torno de $0$; conclua que $\omega_\theta$ não é [exata](#def-b3-forms-closedexact) em $\R^2\setminus\{0\}$, e que $\R^2\setminus\{0\}$ não é estrelado em relação a nenhum de seus pontos (duas rotas: via o [Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare) e diretamente pela geometria).

**Solução de Exercício 21.4.**

Ser [fechada](#def-b3-forms-closedexact): com $\rho^2 = x^2 + y^2$,

$$
\partial_x\Bigl(\frac{x}{\rho^2}\Bigr) = \frac{\rho^2 -
2x^2}{\rho^4} = \frac{y^2 - x^2}{\rho^4} =
\partial_y\Bigl(\frac{-y}{\rho^2}\Bigr),
$$

de modo que $\dd\omega_\theta = \bigl(\partial_x(x/\rho^2) -
\partial_y(-y/\rho^2)\bigr)\,\dd x\wedge\dd y = 0$. Em $\gamma(t) = (r\cos2\pi t, r\sin2\pi t)$:

$$
\gamma^*\omega_\theta = \frac{2\pi r^2(\cos^22\pi t +
\sin^22\pi t)}{r^2}\,\dd t = 2\pi\,\dd t,
\qquad\text{logo}\qquad
\int_\gamma\omega_\theta = 2\pi .
$$

Se $\omega_\theta$ fosse [exata](#def-b3-forms-closedexact), essa integral se anularia ([Proposição 21.28](#prop-b3-forms-exactloop)): ela não é [exata](#def-b3-forms-closedexact). Se $\R^2\setminus\{0\}$ fosse estrelado em relação a algum $p$, o lema de Poincaré (transladado a $p$) tornaria [exata](#def-b3-forms-closedexact) toda [forma fechada](#def-b3-forms-closedexact) — contradição. Diretamente: para qualquer $p
\neq 0$, o segmento de $p$ ao ponto $-p$ do domínio passa por $0$: a propriedade de ser estrelado falha em todo ponto.

**Exercício 21.5 ★★.**

(Forma de área de uma hipersuperfície) Seja $M \subseteq \R^n$ uma hipersuperfície compacta orientada cuja [orientação](#def-b3-forms-orientation) é dada por um campo normal unitário $\nu$ ($(w_1, \dots, w_{n-1})$ positiva se, e somente se, $(\nu, w_1, \dots, w_{n-1})$ é positiva em $\R^n$). Mostre que a $(n-1)$-forma $\sigma_\nu =
\sum_i(-1)^{i-1}\nu_i\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n$ se restringe em $M$ à *forma de área*: para uma parametrização direta $\gamma$, $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd u_1\wedge\dots
\wedge\dd u_{n-1}$, em que $G = ({}^t D\gamma)(D\gamma)$ é a matriz de Gram. *(Note que $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots, e_{n-1}) = \det(\nu,
\partial_1\gamma, \dots, \partial_{n-1}\gamma)$ e eleve esse determinante ao quadrado.)* Calcule $\int_{S^2}\sigma_\nu = 4\pi$.

**Solução de Exercício 21.5.**

Para vetores $v_1, \dots, v_{n-1}$, expandir o determinante pela primeira coluna dá

$$
\det(\nu, v_1, \dots, v_{n-1}) =
\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\nu_i\,
\det\bigl(\text{linhas} \neq i \text{ de } (v_1, \dots,
v_{n-1})\bigr)
= \sigma_\nu(v_1, \dots, v_{n-1}),
$$

já que $(\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd
x_i}\wedge\dots\wedge\dd x_n)(v_1, \dots, v_{n-1})$ é exatamente o $i$-ésimo menor obtido por supressão ([Definição 21.3](#def-b3-forms-wedge)). Aplicando isso a $v_j =
\partial_j\gamma$: $(\gamma^*\sigma_\nu)(e_1, \dots,
e_{n-1}) = \det A$ com $A = (\nu\ \partial_1\gamma\ \cdots\
\partial_{n-1}\gamma)$. Ora, ${}^t\!AA$ é diagonal por blocos: $\langle\nu, \nu\rangle = 1$ e $\langle\nu,
\partial_j\gamma\rangle = 0$ ($\nu$ normal, os $\partial_j\gamma$ tangentes), de modo que $(\det A)^2 =
\det({}^t\!AA) = \det G$; e $\det A > 0$ para uma parametrização direta (é isso que significa a [orientação](#def-b3-forms-orientation) por $\nu$): $\gamma^*\sigma_\nu = \sqrt{\det G}\,\dd
u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{n-1}$, o elemento de área de Gram. Para $S^2$, $\nu(x) = x$ e a parametrização esférica $\gamma(\theta, \varphi) = (\sin\varphi\cos\theta,
\sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ em $(0,2\pi)\times(0,\pi)$ (direta; ela deixa de fora um meridiano, conjunto que não carrega área): $\det G = \sin^2\varphi$, de modo que $\int_{S^2}\sigma_\nu =
\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\,\dd\varphi\,
\dd\theta = 4\pi$.

**Exercício 21.6 ★★.**

Calcule $\int_{S^2}\omega$ para $\omega = x\,\dd y\wedge\dd z
+ y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd x\wedge\dd y$: (a) diretamente em coordenadas esféricas; (b) via Stokes na bola unitária. Deduza $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$ a partir da área de $S^2$, e generalize: $n\operatorname{vol}(B^n) = \operatorname{area}(S^{n-1})$, coerentemente com o [Teorema 11.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-ballvolume).

**Solução de Exercício 21.6.**

A $\omega$ dada é $\sigma_\nu$ para $\nu(x) = x$ em $S^2$, de modo que (a) é o cálculo que acabamos de fazer: $\int_{S^2}\omega = 4\pi$. (b) $\dd\omega = 3\,\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z$, e Stokes na bola unitária dá $\int_{S^2}\omega = 3\operatorname{vol}(B^3)$: logo $\operatorname{vol}(B^3) = \frac{4\pi}3$. Em geral, a forma $\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}x_i\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$ se restringe em $S^{n-1}$ à forma de área ($\nu = x$ no [Exercício 21.5](#exo-b3-forms-5)), $\dd\sigma = n\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, e Stokes fornece $\operatorname{area}(S^{n-1}) = n\operatorname{vol}(B^n)$ — coerente com as fórmulas com função gama do [Teorema 11.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-ballvolume).

**Exercício 21.7 ★★.**

(Os dicionários) Deduza com cuidado do [Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes): (a) o teorema da divergência em $\R^3$ (combine o [Exercício 21.2](#exo-b3-forms-2) e o [Exercício 21.5](#exo-b3-forms-5)); (b) o teorema de Kelvin–Stokes $\int_S\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S =
\oint_{\partial S}\langle F, \tau\rangle\,\dd\ell$ para uma superfície compacta orientada com [bordo](#def-b3-forms-boundary) em $\R^3$. Verifique que as convenções de [orientação](#def-b3-forms-orientation) concordam na semiesfera superior limitada pelo equador.

**Solução de Exercício 21.7.**

(a) Stokes aplicado à forma [fluxo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) $\sigma_F$ no domínio [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\Omega$: $\int_\Omega\operatorname{div}F\,\dd x =
\int_{\partial\Omega}\sigma_F$ ([Exercício 21.2](#exo-b3-forms-2) para o lado [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior)). Identifique o integrando de [bordo](#def-b3-forms-boundary): para $v_1, v_2$ tangentes num ponto de $\partial\Omega$, a expansão pela primeira coluna do [Exercício 21.5](#exo-b3-forms-5) dá $\sigma_F(v_1, v_2) = \det(F, v_1, v_2)$; escrevendo $F =
\langle F, \nu\rangle\nu + T$ com $T$ tangente, a coluna $T$ é uma combinação do plano de $v_1, v_2$, de modo que $\det(T,
v_1, v_2) = 0$ e $\sigma_F\vert_{\partial\Omega} = \langle F,
\nu\rangle\,\sigma_\nu = \langle F, \nu\rangle\,\dd S$: o teorema da divergência, com $\nu$ a normal exterior (normal-exterior-primeiro é exatamente a [orientação](#def-b3-forms-orientation) induzida). (b) Stokes aplicado a $\omega_F$ na superfície com [bordo](#def-b3-forms-boundary) $S$: $\dd\omega_F =
\sigma_{\operatorname{curl}F}$ se restringe a $\langle\operatorname{curl}F, \nu\rangle\,\dd S$ pela mesma identificação, ao passo que, na curva de [bordo](#def-b3-forms-boundary), $\gamma^*\omega_F = \langle F\circ\gamma,
\gamma'\rangle\,\dd t$, isto é, $\oint\langle F,
\tau\rangle\,\dd\ell$. Semiesfera superior com $\nu$ exterior (radial): no ponto do equador $p = (1,0,0)$, o vetor exterior dentro da superfície é $-e_3$; completá-lo em referenciais positivos mostra que o equador é percorrido no sentido anti-horário visto de cima ($+e_3$): a regra da mão direita, mesma convenção dos dois lados da identidade.

**Exercício 21.8 ★★.**

(Identidades de Green) Para $u, v$ suaves em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de um domínio [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\Omega \subseteq \R^n$ de [bordo](#def-b3-forms-boundary) suave, demonstre

$$
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v + \langle\nabla u, \nabla
v\rangle\bigr) = \int_{\partial\Omega}u\,\partial_\nu
v\,\dd S,
\qquad
\int_\Omega\bigl(u\,\Delta v - v\,\Delta u\bigr) =
\int_{\partial\Omega}\bigl(u\,\partial_\nu v -
v\,\partial_\nu u\bigr)\dd S .
$$

Deduza: uma [função harmônica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) em $\Omega$ que se anula em $\partial\Omega$ se anula identicamente, e duas [funções harmônicas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) com os mesmos valores de fronteira coincidem — a unicidade no problema de Dirichlet do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann#ch-b3-conformal).

**Solução de Exercício 21.8.**

Aplique o teorema da divergência ([Exercício 21.7](#exo-b3-forms-7)(a), cuja demonstração independe da dimensão) a $F = u\nabla v$: $\operatorname{div}(u\nabla v) = u\,\Delta v + \langle\nabla
u, \nabla v\rangle$ e $\langle F, \nu\rangle =
u\,\partial_\nu v$: a primeira identidade. Trocar $u, v$ e subtrair cancela o termo simétrico: a segunda. Se $\Delta u = 0$ em $\Omega$ e $u = 0$ em $\partial\Omega$: a primeira identidade com $v = u$ dá $\int_\Omega\norm{\nabla u}^2 = 0$, de modo que $\nabla u \equiv 0$ e $u$ é constante em cada componente; o [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) de toda componente encontra $\partial\Omega$ (limitação), onde $u = 0$: $u \equiv 0$. Duas [funções harmônicas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann#prop-b3-conformal-harmonicholo) com valores de [bordo](#def-b3-forms-boundary) iguais diferem por uma tal $u$: elas coincidem — unicidade para o problema de Dirichlet, complementando a teoria de existência no disco do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/18-aplicacoes-conformes-e-o-teorema-da-aplicacao-de-riemann#ch-b3-conformal).

**Exercício 21.9 ★★.**

(Mudança de variáveis, forma orientada) Sejam $\varphi\colon U
\to V$ um difeomorfismo de abertos de $\R^n$ com $\det
D\varphi > 0$, e $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) em $V$. Mostre que a identidade de [pullback](#def-b3-forms-pullback) $\int_U\varphi^*(f\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n) =
\int_Vf\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ é equivalente ao teorema de mudança de variáveis ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-changeofvar)) para tais $\varphi$, e explique exatamente para onde foi o valor absoluto do jacobiano.

**Solução de Exercício 21.9.**

Pelo [Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(c), $\varphi^*(f\,\dd y_1\wedge\dots\wedge\dd y_n) =
(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd
x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, de modo que a identidade de [pullback](#def-b3-forms-pullback) se lê

$$
\int_U(f\circ\varphi)\,\det(D\varphi)\,\dd x = \int_Vf\,\dd
y .
$$

Como $\det D\varphi > 0$ em toda parte, $\det D\varphi =
\abs{\det D\varphi}$, e isso é literalmente a fórmula de mudança de variáveis ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-changeofvar)) para integrandos [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): cada enunciado é o outro. O valor absoluto foi para a *hipótese*: a [orientação](#def-b3-forms-orientation). Para $\varphi$ que inverte a [orientação](#def-b3-forms-orientation), a identidade entre formas adquire um sinal de menos global (as formas sentem a [orientação](#def-b3-forms-orientation)), ao passo que a fórmula de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) mantém $\abs{\det}$ (as [medidas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure) não): duas contabilidades de um mesmo jacobiano.

**Exercício 21.10 ★★★.**

(Deformação) Sejam $\omega$ uma $2$-forma *[fechada](#def-b3-forms-closedexact)* em $\R^3\setminus\{0\}$ e $S_r$ a esfera de raio $r$ centrada em $0$. Mostre que $\int_{S_r}\omega$ não depende de $r > 0$ *(aplique Stokes à casca entre dois raios; atenção às duas orientações de [bordo](#def-b3-forms-boundary))*. Aplique à *forma do ângulo sólido*

$$
\omega = \frac{x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x +
z\,\dd x\wedge\dd y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} :
$$

verifique que ela é [fechada](#def-b3-forms-closedexact), calcule $\int_{S_r}\omega = 4\pi$ e conclua que ela é [fechada](#def-b3-forms-closedexact) mas não [exata](#def-b3-forms-closedexact) em $\R^3\setminus\{0\}$ — a irmã bidimensional de $\omega_\theta$, e o conteúdo geométrico da lei de Gauss na eletrostática.

**Solução de Exercício 21.10.**

A casca $A = \{r_1 \leq \norm x \leq r_2\}$ é uma $3$-subvariedade compacta com [bordo](#def-b3-forms-boundary) $S_{r_2}\cup S_{r_1}$; as orientações induzidas são a [orientação](#def-b3-forms-orientation) usual da esfera em $S_{r_2}$ (para fora de $A$ = para longe de $0$) e a *oposta* em $S_{r_1}$ (para fora de $A$ = em direção a $0$). Stokes com $\dd\omega = 0$:

$$
0 = \int_A\dd\omega = \int_{S_{r_2}}\omega -
\int_{S_{r_1}}\omega .
$$

Forma do ângulo sólido: com $\rho = \norm x$ e $\sigma =
x\,\dd y\wedge\dd z + y\,\dd z\wedge\dd x + z\,\dd
x\wedge\dd y$, $\omega = \rho^{-3}\sigma$ e

$$
\dd\omega = \sum_i\partial_i\bigl(x_i\rho^{-3}\bigr)\,
\dd x\wedge\dd y\wedge\dd z
= \bigl(3\rho^{-3} - 3\rho^{-5}\cdot\rho^2\bigr)\dd
x\wedge\dd y\wedge\dd z = 0 .
$$

Em $S_r$, para $v_1, v_2$ tangentes: $\omega(v_1, v_2) =
r^{-3}\det(x, v_1, v_2) = r^{-3}\,r\det(\nu, v_1, v_2) =
r^{-2}\,\dd S(v_1, v_2)$, de modo que $\int_{S_r}\omega =
r^{-2}\cdot4\pi r^2 = 4\pi$: constante em $r$, como a deformação prevê, e não nula — de modo que $\omega$ é [fechada](#def-b3-forms-closedexact), mas não [exata](#def-b3-forms-closedexact), em $\R^3\setminus\{0\}$ (uma [forma exata](#def-b3-forms-closedexact) integra $0$ sobre a $S_r$ sem [bordo](#def-b3-forms-boundary), por Stokes). Essa é a lei de Gauss: o [fluxo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#ex-b3-ode-planeclassification) do campo de uma carga unitária através de qualquer esfera que a envolva é $4\pi$, qualquer que seja o raio.

**Exercício 21.11 ★★.**

Seja $\gamma$ uma curva [fechada](#def-b3-forms-closedexact) suave em $\R^2\setminus\{0\}$ com $n = \operatorname{Ind}_\gamma(0)$. Mostre que $\int_\gamma\omega = n\int_{S^1}\omega$ para *toda* $1$-forma [fechada](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ em $\R^2\setminus\{0\}$ *(escreva $\omega = c\,\omega_\theta
+ \dd f$ pelo [Exercício 21.12](#exo-b3-forms-12))*. Interpretação: no plano perfurado, o [índice de rotação](#def-b3-forms-winding) é a única obstrução ao anulamento dos períodos.

**Solução de Exercício 21.11.**

Escreva $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$ ([Exercício 21.12](#exo-b3-forms-12)) com $c =
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$. Então

$$
\int_\gamma\omega = c\int_\gamma\omega_\theta +
\int_\gamma\dd f
= c\cdot2\pi\operatorname{Ind}_\gamma(0) + 0
= n\int_{S^1}\omega,
$$

pela [Proposição 21.28](#prop-b3-forms-exactloop) e pela definição do índice. O único inteiro $n$ controla todo período no plano perfurado: as $1$-formas [fechadas](#def-b3-forms-closedexact) não conseguem distinguir dois laços de mesmo número de voltas.

**Exercício 21.12 ★★★.**

(Primeiro cálculo de de Rham) Mostre que toda $1$-forma [fechada](#def-b3-forms-closedexact) $\omega$ em $U = \R^2\setminus\{0\}$ se escreve de maneira única

$$
\omega = c\,\omega_\theta + \dd f,
\qquad c = \frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega,\quad f \in
\mathcal C^\infty(U) :
$$

defina $f(p)$ integrando $\omega - c\,\omega_\theta$ ao longo de um [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected) de $(1,0)$ a $p$ (um trecho radial e, depois, um arco de círculo), mostre que o resultado não depende das escolhas precisamente porque o período em $S^1$ se anula, e verifique $\dd
f = \omega - c\,\omega_\theta$. Conclua: $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \cong \R$, gerada pela forma angular.

**Solução de Exercício 21.12.**

Seja $\alpha = \omega - c\,\omega_\theta$: [fechada](#def-b3-forms-closedexact), e $\int_{S^1}\alpha = 0$ pela escolha de $c$ ($\int_{S^1}\omega_\theta = 2\pi$). Puxe para trás pela aplicação polar $\Phi(\rho, \theta) = (\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$, um difeomorfismo local sobrejetor $(0, \infty)\times\R \to
U$: $\Phi^*\alpha$ é [fechada](#def-b3-forms-closedexact) ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)) no aberto *convexo* $(0,\infty)\times\R$, logo [exata](#def-b3-forms-closedexact) ([Teorema 21.15](#thm-b3-forms-poincare)): $\Phi^*\alpha = \dd g$. Para $\rho$ fixo: $g(\rho, \theta + 2\pi) - g(\rho, \theta)
= \int_\theta^{\theta + 2\pi}\partial_\theta g\,\dd s$ é a integral de $\alpha$ em torno do círculo de raio $\rho$, que vale $\int_{S^1}\alpha = 0$ (a coroa entre os dois círculos é uma superfície compacta com [bordo](#def-b3-forms-boundary); Stokes como no [Exercício 21.10](#exo-b3-forms-10), uma dimensão abaixo). Logo $g$ é $2\pi$-periódica em $\theta$ e desce a uma função bem definida $f$ em $U$ com $f\circ\Phi = g$; $f$ é suave ($\Phi$ é um difeomorfismo local) e $\Phi^*(\dd f) = \dd g = \Phi^*\alpha$ força $\dd f =
\alpha$. Logo $\omega = c\,\omega_\theta + \dd f$. Unicidade: integrar sobre $S^1$ fixa $c$, já que as [formas exatas](#def-b3-forms-closedexact) têm período nulo; e $f$ é única a menos de constante aditiva. A aplicação $[\omega] \mapsto
\frac1{2\pi}\int_{S^1}\omega$ é, portanto, um isomorfismo linear $H^1(\R^2\setminus\{0\}) \to \R$, e a classe de $\omega_\theta$ gera: o buraco é exatamente unidimensional, do ponto de vista cohomológico.

## 21.8 Problema: o teorema do ponto fixo de Brouwer

**Problema 21.1.**

Problema de fim de semana — sem retração, sem escapatória

O teorema de Brouwer afirma que *toda [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) da bola unitária [fechada](#def-b3-forms-closedexact) $\bar B = \bar B^n \subseteq \R^n$ nela mesma tem ponto fixo* — um dos grandes teoremas da matemática, com consequências que vão da teoria dos jogos (equilíbrios de Nash) à análise matricial. A demonstração por [formas diferenciais](#def-b3-forms-diffform) é a mais limpa que se conhece: Stokes mostra que a esfera não é retrato da bola, e tudo decorre disso. Ao longo de todo o problema, $S = S^{n-1} = \partial\bar B$, $n \geq 2$ e

$$
\sigma = \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x_i\,
\dd x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge
\dd x_n
$$

(o chapéu suprime o fator).

**Parte I — O instrumento de [medida](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#def-b3-measure-measure).**

1. Calcule $\dd\sigma$ e deduza de Stokes ( [Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes) ) que $\int_S\sigma =  n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$ , em que $S$ carrega a [orientação](#def-b3-forms-orientation) de [bordo](#def-b3-forms-boundary) da bola.
2. Para $n = 2$ e $n = 3$ , identifique a restrição de $\sigma$ a $S$ com as formas de comprimento de arco e de área ( [Exercício 21.5](#exo-b3-forms-5) com $\nu(x) = x$ ) e recalcule $\int_S\sigma$ diretamente.
3. Sejam $W \subseteq \R^N$ aberto e $\varphi\colon W  \to \R^n$ suave com $\norm{\varphi(x)} = 1$ para todo $x \in W$ . Mostre que $\varphi^*(\dd\sigma) = 0$ . *(Derive $\norm\varphi^2 = 1$: a imagem de $D\varphi(x)$ está no hiperplano $\varphi(x)^\perp$, de dimensão $n - 1$; aplique então a [Proposição 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2).)*
4. Onde está a falha na seguinte “demonstração” de que $\int_S\sigma = 0$ : “ $S$ é compacta sem [bordo](#def-b3-forms-boundary) , e $\sigma$ restrita a $S$ é uma forma de grau máximo nela, logo [fechada](#def-b3-forms-closedexact) , logo $\int_S\sigma =  \int_S\dd(\text{algo}) = 0$ por Stokes”? (Aponte a palavra errada.)
5. Explique em um parágrafo a estratégia da Parte II: o que será integrado, sobre o quê, e de onde virá a contradição.

**Parte II — Não há retração suave.** Suponha, por absurdo, que $r$ seja uma *retração suave* da bola sobre sua esfera: $r$ é suave em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $\bar B$, $r(\bar B) \subseteq S$ e $r(x) = x$ para todo $x \in S$.

6. Justifique $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$ *(em $S$, $r$ se restringe à identidade: se $\gamma$ é uma parametrização direta de um pedaço de $S$, então $r\circ\gamma = \gamma$)* .
7. Usando Stokes em $\bar B$ , mostre que $\int_Sr^*\sigma =  \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$ .
8. Mostre que $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma) = 0$ (questão 3 aplicada a $\varphi = r$ ) e conclua: *não existe retração suave $\bar B \to S$.*
9. Resolva à mão o caso excluído $n = 1$ : mostre diretamente que nenhuma [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\intcc{-1}1 \to  \{-1, 1\}$ fixa as duas extremidades, e nomeie o teorema que usou.

**Parte III — Brouwer suave.** Seja $g$ suave em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $\bar B$ com $g(\bar B)
\subseteq \bar B$ e *sem* ponto fixo em $\bar B$.

10. Mostre que $\delta = \min_{x\in\bar B}\norm{g(x) - x} >  0$ .
11. Para $x \in \bar B$, seja $u(x) = \frac{x -  g(x)}{\norm{x - g(x)}}$ e seja $r(x) = x +  t(x)\,u(x)$ a interseção da semirreta $\{x + tu(x) : t \geq 0\}$ com $S$. Resolva a quadrática $\norm{x + tu}^2 = 1$ e obtenha $$t(x) = -\langle x, u(x)\rangle +  \sqrt{1 - \norm x^2 + \langle x, u(x)\rangle^2}  \;\geq\; 0 .$$
12. Mostre que o radicando é *estritamente* positivo em $\bar B$ : se $1 - \norm x^2 + \langle x,  u(x)\rangle^2 = 0$ , então $\norm x = 1$ e $\langle  x, u(x)\rangle = 0$ , isto é, $\langle x, x -  g(x)\rangle = 0$ , ou seja, $\langle x, g(x)\rangle =  1$ ; por Cauchy–Schwarz, com $\norm x = 1$ , $\norm{g(x)} \leq 1$ , isso força $g(x) = x$ — excluído. Deduza que $r$ é suave em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $\bar B$ .
13. Mostre que $r(\bar B) \subseteq S$ e $r(x) = x$ para $x  \in S$ *(para $\norm x = 1$, verifique $t(x) = 0$ usando $\langle x, u(x)\rangle \geq 0$, o que por sua vez decorre de $\langle x, x - g(x)\rangle = 1 -  \langle x, g(x)\rangle \geq 0$)* . Conclua com a Parte II: *toda autoaplicação suave de $\bar B$ tem ponto fixo.*

**Parte IV — Brouwer [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity).** Seja $f\colon\bar B\to\bar B$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) sem ponto fixo.

14. Mostre que $\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - x} > 0$ e produza uma aplicação *polinomial* $p\colon\R^n\to  \R^n$ com $\sup_{\bar B}\norm{p - f} <  \varepsilon/2$ (Stone–Weierstrass, [Teorema 7.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass) , coordenada a coordenada — justifique a passagem do caso escalar ao vetorial).
15. A aplicação $p$ pode sair da bola; ponha $g = \frac{p}{1  + \varepsilon/2}$ . Mostre que $g(\bar B) \subseteq \bar B$ e $\sup_{\bar B}\norm{g - f} < \varepsilon$ .
16. Obtenha uma contradição com a Parte III e conclua: *toda [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to \bar B^n$ tem ponto fixo.*
17. Mostre com exemplos que o teorema falha: na bola aberta; na esfera $S$ ; em um anel fechado. Que propriedade de $\bar B$ cada contraexemplo perde?

**Parte V — Dividendos.**

18. (Perron–Frobenius, existência) Sejam $A$ uma matriz $n\times n$ com todas as entradas $> 0$ e $\Delta = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i =  1\}$ . Mostre que a aplicação $x \mapsto Ax/\norm{Ax}_1$ está bem definida e é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\Delta$ , que $\Delta$ é [homeomorfo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) a uma bola [fechada](#def-b3-forms-closedexact) de $\R^{n-1}$ ( [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) radial a partir de um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) convexo de [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) não vazio em seu envoltório afim), e conclua que $A$ tem um autovetor de entradas estritamente positivas e autovalor $> 0$ .
19. Deduza que toda matriz estocástica de entradas positivas (colunas somando $1$ ) tem um vetor de probabilidade estacionário $\pi = A\pi$ — o vetor do tipo PageRank. (A unicidade também vale, mas exige outras ferramentas.)
20. (Bola cabeluda, preparação) Seja $v$ suave em uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $S = S^{n-1}$ com $\langle v(x),  x\rangle = 0$ e $\norm{v(x)} = 1$ para $x \in S$ (um *campo tangente unitário* ). Para $t \in \R$ , ponha $F_t(x) = x + t\,v(x)$ . Mostre que $\norm{F_t(x)} = \sqrt{1 + t^2}$ em $S$ : $F_t$ leva $S$ na esfera $\sqrt{1+t^2}\,S$ .
21. Mostre que $P(t) = \int_SF_t^*\sigma$ é um *polinômio* em $t$ *(cada função-coeficiente de $F_t^*\sigma$ em uma carta é polinomial em $t$, com coeficientes suaves na variável da carta; a integração é linear)* .
22. Mostre que, para $\abs t$ pequeno, $F_t$ é um difeomorfismo de $S$ sobre $\sqrt{1+t^2}\,S$: injetividade para $t\operatorname{Lip}(v) < 1$; difeomorfismo local pelo teorema da função inversa ([Teorema 20.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#thm-b3-submanifolds-ift) em cartas); imagem aberta e [fechada](#def-b3-forms-closedexact) na esfera alvo, que é [conexa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected). Deduza, usando o [Lema 21.19](#lem-b3-forms-consistency) e o reescalamento $\sigma_{\lambda x} =  \lambda^{n}\,\sigma_x$ sob $x \mapsto \lambda x$ (verifique-o), que $$P(t) = \pm(1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma,  \qquad\text{com o sinal } + \text{ para } t$$ (a [orientação](#def-b3-forms-orientation) é preservada por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) a partir de $t = 0$).
23. Conclua (Milnor): se $n$ é *ímpar* , $(1 +  t^2)^{n/2}$ não é um polinômio em $t$ e, no entanto, coincide com o polinômio $P(t)/\int_S\sigma$ perto de $0$ — contradição. Logo *as esferas de dimensão par $S^{n-1}$ ($n$ ímpar) não admitem campo tangente unitário* e, normalizando e suavizando (convolua componente a componente e projete — justifique as duas etapas), tampouco admitem campo tangente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) que não se anule em parte alguma: todo vento na Terra deixa um ponto de calmaria.
24. (As esferas ímpares se penteiam sem esforço) Exiba em $S^{2m-1}  \subseteq \R^{2m} \cong \C^m$ um campo tangente unitário suave explícito: $v(x) = \iu x$ em notação complexa, isto é, $$v(x_1, y_1, \dots, x_m, y_m) =  (-y_1, x_1, \dots, -y_m, x_m) .$$ Verifique a tangência e o comprimento unitário, e conclua que a dicotomia de paridade da questão 23 é [exata](#def-b3-forms-closedexact): uma esfera é penteável exatamente quando sua dimensão é ímpar. Onde o argumento polinomial da questão 22 se quebra para $n$ par?
25. (Zeros a partir do comportamento na fronteira) Seja $f \colon \bar  B^n \to \R^n$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com $\langle f(x),  x\rangle \geq 0$ para todo $x \in S^{n-1}$ . Mostre que $f$ se anula em algum ponto de $\bar B^n$ . *(Se não, $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ leva $\bar B$ [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $S \subseteq \bar B$; aplique Brouwer a $g$ e contradiga a hipótese de fronteira.)* Deduza o *critério de sobrejetividade* : uma [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $F\colon\R^n\to\R^n$ com $\frac{\langle F(x), x\rangle}{\norm x} \to  +\infty$ quando $\norm x \to \infty$ é sobrejetora — o ancestral em dimensão finita dos argumentos de coercividade da análise não linear.

**Solução de Problema 21.1.**

**1.** $\dd\sigma = \sum_i(-1)^{i-1}\,\dd x_i\wedge\dd
x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd x_i}\wedge\dots\wedge\dd
x_n$; carregar $\dd x_i$ através dos $i-1$ fatores precedentes custa $(-1)^{i-1}$, o que cancela o prefator: cada um dos $n$ termos vale $\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, de modo que $\dd\sigma = n\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$. Stokes na bola: $\int_S\sigma = \int_{\bar B}\dd\sigma =
n\operatorname{vol}(\bar B) > 0$.

**2.** $n = 2$: $\sigma = x\,\dd y - y\,\dd x$; em $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$, $\gamma^*\sigma = (\cos^2t +
\sin^2t)\,\dd t = \dd t$, a forma comprimento de arco: $\int_S\sigma = 2\pi = 2\operatorname{vol}(\bar B^2)$. $n = 3$: $\sigma\vert_S$ é a forma de área ([Exercício 21.5](#exo-b3-forms-5) com $\nu(x) = x$): $\int_S\sigma = 4\pi = 3\cdot\tfrac{4\pi}3$. Ambas batem com a questão 1.

**3.** Derivando $\norm\varphi^2 = 1$: $2\langle
D\varphi(x)h, \varphi(x)\rangle = 0$ para todo $h$, de modo que $\operatorname{im}D\varphi(x) \subseteq \varphi(x)^\perp$, um hiperplano: $\operatorname{rk}D\varphi(x) \leq n - 1$. Como $\dd\sigma$ é uma $n$-forma (questão 1), pontualmente $\varphi^*(\dd\sigma)_x =
(D\varphi(x))^*(\dd\sigma)_{\varphi(x)} = 0$ pela [Proposição 21.6](#prop-b3-forms-linearpullback)(2): uma aplicação com valores na esfera não tem espaço para puxar de volta uma forma de volume.

**4.** A falha é o segundo “logo”: na $S$ de dimensão $(n-1)$, toda $(n-1)$-forma é trivialmente [fechada](#def-b3-forms-closedexact) (não há $n$-formas não nulas numa variedade de dimensão $(n-1)$), mas *[fechada](#def-b3-forms-closedexact) não significa [exata](#def-b3-forms-closedexact)*, e $\int_S\dd\eta = 0$ exige uma primitiva $\eta$ efetivamente definida em $S$. A restrição de $\sigma$ é precisamente não [exata](#def-b3-forms-closedexact) — sua integral vale $n\operatorname{vol}(\bar B) \neq
0$ — e essa não exatidão move o problema inteiro.

**5.** Vamos integrar $r^*\sigma$ sobre a esfera e contar de duas maneiras. Como $r$ fixa $S$ ponto a ponto, a integral vale $\int_S\sigma = n\operatorname{vol}(\bar B)
\neq 0$. Como $r$ está definida na bola, Stokes converte a mesma integral em $\int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) =
\int_{\bar B}r^*(\dd\sigma)$; e, como $r$ toma valores na esfera, a questão 3 anula esse integrando. Um número, dois valores: a retração não pode existir.

**6.** Ambas as integrais são calculadas por parametrizações diretas $\gamma$ de peças de $S$ ([Definição 21.18](#def-b3-forms-integral)); como $r\circ\gamma =
\gamma$ (a parametrização cai em $S$, em que $r$ é a identidade), $\gamma^*(r^*\sigma) = (r\circ\gamma)^*\sigma =
\gamma^*\sigma$ ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(a)): os integrandos locais coincidem, e qualquer [partição da unidade](#lem-b3-forms-partition) dá $\int_Sr^*\sigma = \int_S\sigma$.

**7.** $r^*\sigma$ é uma $(n-1)$-forma suave numa [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) do [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) orientado $\bar B$, cujo [bordo](#def-b3-forms-boundary) com a [orientação](#def-b3-forms-orientation) induzida é $S$: Stokes ([Teorema 21.23](#thm-b3-forms-stokes)) dá exatamente $\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma)$.

**8.** $\dd(r^*\sigma) = r^*(\dd\sigma)$ ([Teorema 21.11](#thm-b3-forms-pullback)(b)), que se anula pela questão 3 aplicada a $\varphi = r$. Encadeando as questões 6–8:

$$
0 < n\operatorname{vol}(\bar B) = \int_S\sigma =
\int_Sr^*\sigma = \int_{\bar B}\dd(r^*\sigma) = 0 :
$$

absurdo. *Não existe retração suave de $\bar B^n$ sobre $S^{n-1}$* ($n \geq 2$).

**9.** Uma $r\colon\intcc{-1}1\to\{-1,1\}$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) com $r(\pm1) = \pm1$ levaria um [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) sobre o desconexo $\{-1, 1\}$, impossível: imagens [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de [conexos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) são [conexas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) — equivalentemente, o teorema do valor intermediário forçaria $r$ a assumir o valor $0$. O mesmo enunciado em toda dimensão é exatamente a Parte II; a [conexidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) é a sombra $1$-dimensional do obstáculo cohomológico $\int_S\sigma \neq 0$.

**10.** $x \mapsto \norm{g(x) - x}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e $> 0$ em toda parte no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\bar B$: seu mínimo $\delta$ é atingido, logo $> 0$.

**11.** $\norm{x + tu}^2 = 1$ se lê $t^2 + 2t\langle x,
u\rangle + \norm x^2 - 1 = 0$, cujas raízes são

$$
t_\pm = -\langle x, u\rangle \pm \sqrt{\langle x,
u\rangle^2 + 1 - \norm x^2} .
$$

Seu produto é $\norm x^2 - 1 \leq 0$: as raízes ficam de lados opostos de $0$ (ou uma delas se anula), de modo que o parâmetro do raio — a raiz não negativa — é $t(x) = t_+$.

**12.** Se o radicando se anulasse em $x \in \bar B$: sendo ambos os termos não negativos, $\norm x = 1$ e $\langle x, u(x)\rangle = 0$, isto é, $\langle x, x -
g(x)\rangle = 0$, isto é, $\langle x, g(x)\rangle = 1$. Por Cauchy–Schwarz, $1 = \langle x, g(x)\rangle \leq
\norm x\,\norm{g(x)} \leq 1$: igualdade em toda a cadeia, o que força $g(x)$ colinear com $x$, de norma $1$, positivamente: $g(x) = x$ — excluído. Logo o radicando é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e $> 0$ em $\bar B$, logo minorado ali por algum $c > 0$ e numa [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme). Nessa [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology), $u$ é suave ($\norm{x - g(x)} \geq
\delta/2$, encolhendo se necessário), o radicando permanece $\geq
c/2$, e a raiz quadrada é suave em $\intoo0\infty$: $r$ é suave perto de $\bar B$.

**13.** $\norm{r(x)} = 1$ por construção de $t(x)$: $r(\bar B) \subseteq S$. Para $x \in S$: $\langle x,
u(x)\rangle = \frac{1 - \langle x, g(x)\rangle}{\norm{x -
g(x)}} \geq 0$ (Cauchy–Schwarz mais uma vez), e $\norm x =
1$ reduz o radicando a $\langle x, u\rangle^2$, cuja raiz quadrada é o próprio $\langle x, u\rangle$ (ele é $\geq
0$): $t(x) = 0$ e $r(x) = x$. Logo $r$ é uma retração suave da bola sobre a esfera — contradizendo a Parte II. *Toda autoaplicação suave de $\bar B$ tem ponto fixo.*

**14.** $\varepsilon > 0$ exatamente como na questão 10. Os polinômios formam uma subálgebra de $\mathcal C(\bar B,
\R)$ que contém as constantes e separa pontos (as $x
\mapsto x_i$ separam), de modo que Stone–Weierstrass ([Teorema 7.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-stoneweierstrass)) aproxima cada coordenada: tome polinômios $p_i$ com $\sup_{\bar
B}\abs{p_i - f_i} < \frac{\varepsilon}{2\sqrt n}$; a aplicação vetorial $p = (p_1, \dots, p_n)$ satisfaz então $\sup_{\bar B}\norm{p - f} \leq
\bigl(\sum_i\sup_{\bar B}\abs{p_i - f_i}^2\bigr)^{1/2} <
\varepsilon/2$.

**15.** Em $\bar B$: $\norm p \leq \norm f +
\frac\varepsilon2 \leq 1 + \frac\varepsilon2$, de modo que $\norm{g} = \frac{\norm p}{1 + \varepsilon/2} \leq 1$: $g(\bar B) \subseteq \bar B$. Além disso, $\norm{g - p} =
\frac{\varepsilon/2}{1 + \varepsilon/2}\norm p \leq
\frac\varepsilon2$, logo $\norm{g - f} \leq \norm{g - p} +
\norm{p - f} < \varepsilon$ em $\bar B$.

**16.** $g$ é polinomial, logo suave, e leva $\bar B$ em si mesmo: a Parte III fornece $x_0 = g(x_0)$. Então $\norm{f(x_0) - x_0} = \norm{f(x_0) - g(x_0)} <
\varepsilon = \min_{\bar B}\norm{f - \operatorname{id}}$: contradição. *Toda [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\bar B^n \to
\bar B^n$ tem ponto fixo.*

**17.** *Bola aberta:* $f(x) = \frac{x + e_1}2$ leva $B$ em $B$ ($\norm{f(x)} < 1$ estritamente) e seu único ponto fixo $e_1$ está na esfera: perdeu-se a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). *Esfera:* a aplicação antipodal $x \mapsto -x$ não tem ponto fixo; $S$ é compacta, mas tem a [topologia](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) “errada” — ela é exatamente a não retração da Parte II. *Coroa:* uma rotação de qualquer ângulo $\not\equiv 0$ nada fixa; o buraco abriga a rotação — perdeu-se a convexidade (mais precisamente, a [topologia](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) do tipo bola). O teorema de Brouwer é, na verdade, sobre conjuntos *[compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) convexos*, como a questão 18 explora.

**18.** Para $x \in \Delta$: algum $x_j > 0$, de modo que $(Ax)_i
\geq A_{ij}x_j > 0$ para todo $i$; logo $\norm{Ax}_1 > 0$ e $T(x) = Ax/\norm{Ax}_1$ está bem definida, é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e cai em $\Delta$ (entradas positivas de soma $1$). $\Delta$ é convexo, [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), com [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) não vazio no hiperplano afim $\{\sum x_i = 1\} \cong \R^{n-1}$; a aplicação radial a partir de seu baricentro — cada raio a partir do baricentro encontra $\partial\Delta$ em exatamente um ponto, por convexidade e [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), e a função de calibre correspondente é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) — é um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\Delta \to
\bar B^{n-1}$. Transportando Brouwer por ele: $T$ tem ponto fixo $x^*$, isto é, $Ax^* = \lambda x^*$ com $\lambda
= \norm{Ax^*}_1 > 0$; e $x^* = Ax^*/\lambda$ tem entradas estritamente positivas pelo cálculo inicial. *Uma matriz positiva tem autovetor positivo.*

**19.** A questão 18 dá $A\pi = \lambda\pi$, $\pi \in
\Delta$, $\pi > 0$. Some as coordenadas: $\sum_i(A\pi)_i =
\sum_j\pi_j\sum_iA_{ij} = \sum_j\pi_j = 1$ (as colunas somam $1$), ao passo que $\sum_i\lambda\pi_i = \lambda$. Logo $\lambda = 1$ e $A\pi = \pi$: um vetor de probabilidade estacionário — o equilíbrio da cadeia de Markov, o núcleo matemático do PageRank.

**20.** Em $S$: $\norm{F_t(x)}^2 = \norm x^2 +
2t\langle x, v(x)\rangle + t^2\norm{v(x)}^2 = 1 + 0 + t^2$ pela tangência e $\norm v = 1$: $F_t(S) \subseteq
\sqrt{1+t^2}\,S$.

**21.** Fixe um atlas finito de parametrizações diretas $\gamma$ e uma [partição da unidade](#lem-b3-forms-partition), independentes de $t$. Numa carta, $F_t\circ\gamma = \gamma + t(v\circ\gamma)$, de modo que cada coeficiente de $(F_t\circ\gamma)^*\sigma$ é uma soma de produtos de um fator $(x_i + tv_i)\circ\gamma$ (afim em $t$) por um determinante $(n-1)\times(n-1)$ com entradas afins em $t$: um polinômio em $t$ de grau $\leq n$ com coeficientes suaves na variável da carta. Multiplicando pelas funções da partição, independentes de $t$, e integrando termo a termo: $P(t) = \sum_{k=0}^n c_kt^k$, um polinômio.

**22.** *Injetividade:* $v$ é lipschitziana em $S$ (suave num [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)), digamos de constante $L$; para $\abs t <
1/L$, $\norm{F_t(x) - F_t(y)} \geq (1 - \abs
tL)\norm{x - y} > 0$. *Difeomorfismo:* $G_t =
F_t/\sqrt{1 + t^2}$ leva $S$ em $S$; em cartas, seus jacobianos convergem uniformemente aos de $G_0 = \operatorname{id}$ quando $t \to 0$, de modo que, para $t$ pequeno, eles são inversíveis e $G_t$ é um difeomorfismo local ([Teorema 20.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#thm-b3-submanifolds-ift) em cartas), injetor, de imagem aberta (difeomorfismo local) e compacta na *[conexa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected)* $S^{n-1}$ ($n \geq 2$): imagem $= S$, de modo que $G_t$ é um difeomorfismo de $S$. *Escala:* sob $s_\lambda(x) = \lambda x$, cada coeficiente $x_i$ ganha $\lambda$ e cada uma das $n - 1$ diferenciais ganha $\lambda$: $s_\lambda^*\sigma =
\lambda^n\sigma$. Como $F_t = s_{\sqrt{1+t^2}}\circ G_t$:

$$
P(t) = \int_SG_t^*\bigl(s_{\sqrt{1+t^2}}^{\,*}\sigma\bigr)
= (1 + t^2)^{n/2}\int_SG_t^*\sigma
= (1 + t^2)^{n/2}\int_S\sigma
\quad\text{para } t,
$$

a última igualdade pelo [Lema 21.19](#lem-b3-forms-consistency) ($G_t$ é um difeomorfismo de $S$, que preserva a [orientação](#def-b3-forms-orientation) para $t$ pequeno: os determinantes jacobianos em cartas variam [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), nunca se anulam e são positivos em $t = 0$).

**23.** Se $n$ é ímpar e existe um campo tangente unitário suave, as questões 21–22 fazem o polinômio $P(t)/\int_S\sigma$ (legítimo: $\int_S\sigma \neq 0$ pela questão 1) coincidir com $(1 + t^2)^{n/2}$ perto de $0$; duas funções suaves que coincidem perto de $0$, sendo uma delas polinomial, forçam $(1 + t^2)^{n/2}$ a ser esse polinômio em todo $\R$. Mas, se $Q(t)^2 = (1 + t^2)^n$ com $Q \in \R[t]$, a fatoração única em $\R[t]$ ([Capítulo 2](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#ch-b3-rings)) dá ao [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $t^2 + 1$ multiplicidade par em $Q^2$ e multiplicidade ímpar $n$ em $(1 + t^2)^n$: impossível. Logo não existe campo tangente unitário suave em $S^{n-1}$ para $n$ ímpar — as esferas de dimensão par. Por fim, um campo tangente meramente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e nunca nulo $w$ produziria um: estenda-o a uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) por $\tilde w(x) = w(x/\norm x)$, regularize componente a componente ([Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization)) até um $v_0$ suave com $\sup_S\norm{v_0 - \tilde w} <
\frac12\min_S\norm w$, projete tangencialmente $v_1(x) = v_0(x)
- \langle v_0(x), x\rangle x$ — em $S$ isso altera $v_0$ no máximo por sua componente normal, ela própria no máximo $\norm{v_0 -
\tilde w}$, já que $\tilde w$ é tangente, de modo que $\norm{v_1 - \tilde
w} \leq 2\norm{v_0 - \tilde w} < \min\norm w$ e $v_1$ nunca se anula em $S$ — e normalize: $v =
v_1/\norm{v_1}$ é um campo tangente unitário suave. Logo, em toda esfera de dimensão par, *todo campo tangente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) tem um zero*: todo vento na Terra deixa um ponto de calmaria.

**24.** $\langle v(x), x\rangle = \sum_j(-y_jx_j +
x_jy_j) = 0$: tangente; $\norm{v(x)} = \norm x = 1$: unitário. A suavidade é clara (aplicação linear). Logo toda esfera de dimensão ímpar carrega um campo tangente unitário suave — a multiplicação por $\iu$ ao longo das retas complexas — e o obstáculo da questão 23 é exatamente a paridade da dimensão. No argumento polinomial, para $n$ par a função $(1 +
t^2)^{n/2}$ *é* um polinômio, e nenhuma contradição surge: a demonstração não apenas deixa de se aplicar — sua conclusão é genuinamente falsa, como $v$ testemunha.

**25.** Suponha que $f$ nunca se anule em $\bar B$. Então $g(x) = -f(x)/\norm{f(x)}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\bar B \to S
\subseteq \bar B$, e Brouwer (questão 16) fornece $x^* =
g(x^*)$. Como $g$ toma valores em $S$, $x^* \in S$, e

$$
\langle f(x^*), x^*\rangle = \bigl\langle f(x^*),\
-\tfrac{f(x^*)}{\norm{f(x^*)}}\bigr\rangle
= -\norm{f(x^*)} < 0,
$$

contradizendo a hipótese de [bordo](#def-b3-forms-boundary). Logo $f$ tem um zero. Sobrejetividade: dado $y \in \R^n$, aplique o que precede a $f(x) =
F(x) - y$ numa bola $\bar B(0, R)$ com $R$ tão grande que $\langle F(x), x\rangle \geq \norm y\,\norm x$ na esfera de raio $R$ (coercividade); então $\langle f(x), x\rangle =
\langle F(x), x\rangle - \langle y, x\rangle \geq 0$ ali (Cauchy–Schwarz), e o enunciado reescalado dá um zero de $f$: $F(x) = y$. Todo campo [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) coercivo é sobrejetor — a sombra sem grau dos teoremas variacionais de existência, entregue pela [topologia](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) pura.