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title: "Funções características e o teorema central do limite"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/23-funcoes-caracteristicas-e-o-teorema-central-do-limite
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# Capítulo 23 — Funções características e o teorema central do limite

A lei dos grandes números diz que as médias convergem; o teorema central do limite diz *como elas flutuam*: o erro, ampliado por $\sqrt n$, é assintoticamente [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) — qualquer que seja a lei de partida. Essa universalidade é o fato mais profundo da probabilidade elementar, e sua demonstração natural é de análise de Fourier: a *[função característica](#def-b3-clt-cf)* (a transformada de Fourier de uma lei) converte somas [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) em produtos, e o maquinário do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform) — injetividade, pontos fixos [gaussianos](#def-b3-clt-gaussianvector) — converte a convergência pontual desses produtos em convergência de leis (teorema de Lévy, demonstrado por inteiro). O capítulo termina com os [vetores gaussianos](#def-b3-clt-gaussianvector) e a dedução honesta dos intervalos de confiança usados em toda a estatística; o problema de fim de semana dá a segunda demonstração do teorema central do limite, a de Lindeberg, com taxa de erro explícita.

## 23.1 Funções características

**Definição 23.1.**

A *função característica* de uma [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) real $X$ é

$$
\varphi_X(\xi) = \E\bigl[\eu^{\iu\xi X}\bigr]
= \int_\R \eu^{\iu\xi x}\,\dd\P_X(x)
\qquad (\xi \in \R)
$$

(o teorema de transferência a calcula a partir da lei; para uma [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $f$, $\varphi_X(\xi) = \hat f(-\xi)$ na convenção do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform)).

**Proposição 23.2.**

(a) $\varphi_X(0) = 1$, $\abs{\varphi_X} \leq 1$, e $\varphi_X$ é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); $\varphi_{aX + b}(\xi) = \eu^{\iu b\xi}\varphi_X(a\xi)$. (b) Se $X, Y$ são *[independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence)*: $\varphi_{X+Y} = \varphi_X\,\varphi_Y$. (c) Se $\E\abs X^k < \infty$, então $\varphi_X \in \mathcal
C^k$ com $\varphi_X^{(j)}(0) = \iu^j\,\E[X^j]$ para $j \leq
k$; em particular, para $X \in L^2$ centrada de variância $\sigma^2$:

$$
\varphi_X(\xi) = 1 - \frac{\sigma^2\xi^2}{2} +
o(\xi^2) \qquad (\xi \to 0).
$$

(d) [Gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector): $X \sim \mathcal N(m, \sigma^2)$ tem $\varphi_X(\xi) = \eu^{\iu m\xi - \sigma^2\xi^2/2}$.

**Demonstração.** (a) As cotas são imediatas; [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $\abs{\varphi(\xi + h)
- \varphi(\xi)} \leq \E\abs{\eu^{\iu hX} - 1} \to 0$ quando $h
\to 0$, por convergência dominada, uniformemente em $\xi$. A regra afim é uma substituição. (b) $\eu^{\iu\xi(X+Y)} =
\eu^{\iu\xi X}\eu^{\iu\xi Y}$, e as [esperanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) de produtos de variáveis [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) se fatorizam ([Teorema 22.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-independence), aplicado às partes real e imaginária). (c) Derivação sob a [esperança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space), dominada por $\E\abs X^j$ ([Teorema 10.15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#thm-b3-lebesgue-paramdiff)); a expansão de Taylor em $0$ é então Taylor–Young para a função $\varphi$ de classe $\mathcal C^2$. (d) Para $\mathcal N(0,1)$: a transformada da [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) ([Exemplo 14.2](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ex-b3-fouriertransform-gaussian) com $a = \frac12$) dá $\int\eu^{\iu\xi x}\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\dd
x = \eu^{-\xi^2/2}$; o caso geral, pela regra afim. ∎

**Teorema 23.3 (Injetividade).**

Se $\varphi_X = \varphi_Y$, então $X$ e $Y$ têm a mesma lei. Mais precisamente, para $N \sim \mathcal N(0,1)$ [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) de $X$ e $\varepsilon > 0$, a variável suavizada $X +
\varepsilon N$ tem a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma)

$$
p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R
\varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,
$$

determinada apenas por $\varphi_X$; fazer $\varepsilon \to 0$ recupera a lei de $X$.

**Demonstração.** $X + \varepsilon N$ tem [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $p_\varepsilon(x) =
\E\bigl[g_\varepsilon(x - X)\bigr]$, em que $g_\varepsilon$ é a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\mathcal N(0, \varepsilon^2)$: com efeito, para $B$ boreliano, a [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) e Tonelli dão $\P(X + \varepsilon N \in
B) = \int\!\!\int\mathbf 1_B(x + \varepsilon
n)g_1(n)\,\dd n\,\dd\P_X(x) = \int_B\E[g_\varepsilon(t -
X)]\dd t$ (substitua e, depois, Tonelli de novo). Escrevendo $g_\varepsilon$ pela inversão de Fourier de sua transformada ([Exercício 14.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-4), reescalada): $g_\varepsilon(u) = \frac1{2\pi}\int
\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\eu^{\iu\xi u}\dd\xi$, e Fubini (tudo dominado pelo fator [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector)):

$$
p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R
\varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,
$$

um funcional apenas de $\varphi_X$. Se $\varphi_X =
\varphi_Y$: $X + \varepsilon N$ e $Y + \varepsilon N$ têm leis iguais para todo $\varepsilon$; para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada, $\E f(X + \varepsilon N) \to \E f(X)$ quando $\varepsilon
\to 0$ (convergência dominada, $X + \varepsilon N \to X$ pontualmente no espaço produto), de modo que $\E f(X) = \E f(Y)$ para toda tal $f$ — e isso determina a lei: para cada $t$, comprima $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ entre as rampas [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitadas $f_k^\pm$ (iguais a $1$ em $\intoc{-\infty}{t \mp \frac1k}$, a $0$ além de $t \pm
\frac1k$, e afins entre esses trechos); passando ao limite em $\E
f_k^-(X) \leq F_X(t) \leq \E f_k^+(X)$ obtém-se $F_X(t) =
F_Y(t)$ em todo $t$ em que ambas são [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), logo em toda parte, por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) à direita e pela [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) dos pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) comuns (as duas $F$ têm um número enumerável de saltos); funções de distribuição iguais forçam leis iguais ([Exercício 9.3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#exo-b3-measure-3), que repousa sobre o [Teorema 9.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#thm-b3-measure-uniqueness)). ∎

## 23.2 Convergência em distribuição

**Definição 23.4.**

$X_n$ *converge em distribuição* (ou em lei) para $X$, o que se escreve $X_n \Rightarrow X$, se

$$
\E\bigl[f(X_n)\bigr] \longrightarrow \E\bigl[f(X)\bigr]
\qquad\text{para toda contínua limitada } f\colon\R\to\R .
$$

Equivalentemente ([Exercício 23.4](#exo-b3-clt-4)): $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ em todo ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $t$ de $F_X$. Não é preciso que as $X_n$ vivam em um [espaço de probabilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) comum: só as leis importam.

**Teorema 23.5 (Teorema de seleção de Helly).**

Toda sequência $(F_n)$ de funções de distribuição tem uma subsequência que converge pontualmente, em todo ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) do limite, para uma função $G \colon
\R \to \intcc01$ não decrescente e [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) à direita — possivelmente com $G(+\infty) - G(-\infty) <
1$ (a massa pode escapar para o infinito).

**Demonstração.** Uma extração diagonal dá $F_{n_k}(q) \to \ell(q)$ para todo racional $q$ (valores no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\intcc01$). Defina $G(t) = \inf\{\ell(q) : q \in \Q, q > t\}$: não decrescente; [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) à direita (um ínfimo sobre [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) racionais que encolhem pela direita). Em um ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $t$ de $G$: para racionais $q_1 < t < q_2$,

$$
\ell(q_1) \leq \liminf F_{n_k}(t) \leq \limsup F_{n_k}(t)
\leq \ell(q_2),
$$

pela monotonicidade de cada $F_{n_k}$. Da definição de $G$ como ínfimo e da monotonicidade de $\ell$ nos racionais: $G(s) \leq \ell(q) \leq G(q)$ sempre que $s < q$. Tomando $s < q_1 < t$ obtém-se $\ell(q_1) \geq G(s)$ e $\ell(q_2) \leq G(q_2)$; fazendo $s \uparrow t$ e $q_2
\downarrow t$, a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $G$ em $t$ comprime tanto o $\liminf$ quanto o $\limsup$ até $G(t)$. ∎

**Lema 23.6 (Tensão a partir da função característica).**

Para uma [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) $X$ qualquer e $u > 0$:

$$
\P\Bigl(\abs X \geq \frac2u\Bigr) \;\leq\;
\frac1u\int_{-u}^{u}\bigl(1 -
\operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\,\dd\xi .
$$

**Demonstração.** Por Tonelli–Fubini (integrando limitado, região finita em $\xi$):

$$
\frac1u\int_{-u}^u\bigl(1 -
\operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\dd\xi
= \E\Bigl[\frac1u\int_{-u}^u(1 - \cos(\xi X))\,\dd\xi\Bigr]
= 2\,\E\Bigl[1 - \frac{\sin(uX)}{uX}\Bigr]
$$

(interprete o colchete como seu limite $0$ em $X = 0$). O integrando é não negativo ($\abs{\sin t} \leq \abs t$) e, para $\abs{uX} \geq 2$: $1 - \frac{\sin(uX)}{uX} \geq 1 -
\frac1{\abs{uX}} \geq \frac12$. Manter apenas o evento $\{\abs{uX} \geq 2\}$ dentro da [esperança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) deixa, portanto, ao menos $2 \cdot \frac12\,\P(\abs X \geq \frac2u)$, que é o que se afirmava. ∎

**Teorema 23.7 (Teorema da continuidade de Lévy).**

Sejam $(X_n)$ [variáveis aleatórias](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) cujas [funções características](#def-b3-clt-cf) convergem pontualmente: $\varphi_{X_n}(\xi) \to
\varphi(\xi)$ para todo $\xi$, em que $\varphi =
\varphi_X$ é a [função característica](#def-b3-clt-cf) de alguma [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) $X$. Então $X_n \Rightarrow X$.

**Demonstração.** *Tensão.* Fixe $\varepsilon > 0$. Como $\varphi$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $0$ com $\varphi(0) = 1$, escolha $u > 0$ com $\frac1u\int_{-u}^u(1 - \operatorname{Re}\varphi) <
\varepsilon$; por convergência dominada (o integrando é limitado por $2$ no $[-u,u]$ fixado), a mesma integral para $\varphi_{X_n}$ é $< 2\varepsilon$ para $n$ grande: o [Lema 23.6](#lem-b3-clt-tightness) dá $\P(\abs{X_n} \geq \frac2u)
\leq 2\varepsilon$ para $n$ grande, e aumentar a constante cuida das finitas outras: as leis são *tensas* — nenhuma massa escapa.

*Subsequências.* Seja $(F_{n_k})$ uma subsequência qualquer; por Helly ([Teorema 23.5](#thm-b3-clt-helly)), extraia $F_{n_{k_j}} \to G$ nos pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). A tensão força $G(-\infty) = 0$, $G(+\infty) = 1$ ($G(\frac2u) - G(-\frac2u) \geq 1 -
2\varepsilon$ nos pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)): $G$ é uma função de distribuição genuína, de alguma [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) $Y$. Então $X_{n_{k_j}} \Rightarrow Y$ ([Exercício 23.4](#exo-b3-clt-4), convergência em distribuição a partir das $F$), de modo que $\varphi_{X_{n_{k_j}}} \to \varphi_Y$ *pontualmente* ($x
\mapsto \eu^{\iu\xi x}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitada, nas partes real e imaginária separadamente); comparando com a hipótese: $\varphi_Y = \varphi = \varphi_X$, e a injetividade ([Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) dá $Y \sim X$, isto é, $G =
F_X$.

*Conclusão.* Toda subsequência de $(F_n)$ tem uma subsubsequência que converge à *mesma* $F_X$ (em seus pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)); logo $F_n(t) \to F_X(t)$ em todo ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $t$ (uma sequência real cujas subsequências todas têm subsubsequências com o mesmo limite converge): $X_n \Rightarrow X$. ∎

## 23.3 O teorema central do limite

**Teorema 23.8 (Teorema central do limite).**

Sejam $(X_n)$ i.i.d. com $\E X_1 = m$ e $\V(X_1) =
\sigma^2 \in \intoo0\infty$. Então

$$
\frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \;\Longrightarrow\; \mathcal
N(0, 1) :
\qquad
\P\Bigl(a \leq \frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \leq
b\Bigr) \longrightarrow
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b\eu^{-x^2/2}\,\dd x
$$

para todos $a < b$.

**Demonstração.** Centre e normalize: $Z_i = \frac{X_i - m}{\sigma}$ (i.i.d., de média $0$ e variância $1$) e $T_n =
\frac1{\sqrt n}\sum_{i\leq n}Z_i$. Pela [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) e pela regra afim ([Proposição 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)):

$$
\varphi_{T_n}(\xi) =
\varphi_{Z}\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)^{n},
\qquad
\varphi_Z(\eta) = 1 - \frac{\eta^2}2 + \eta^2\rho(\eta),\quad
\rho(\eta)\to0 .
$$

Fixe $\xi$ e ponha $a_n = \varphi_Z(\xi/\sqrt n)$, $b_n = 1 -
\frac{\xi^2}{2n}$: ambos têm módulo $\leq 1$ para $n$ grande ($\abs{b_n} \leq 1$ assim que $\xi^2 \leq 4n$; $\abs{a_n} \leq 1$ sempre). A desigualdade elementar $\abs{a^n - b^n} \leq
n\abs{a - b}$ para $\abs a, \abs b \leq 1$ (telescopando $a^n - b^n = \sum a^k(a - b)b^{n-1-k}$) dá

$$
\Bigl|\varphi_{T_n}(\xi) - \Bigl(1 -
\frac{\xi^2}{2n}\Bigr)^{n}\Bigr|
\leq n\,\Bigl|\varphi_Z\Bigl(\frac\xi{\sqrt n}\Bigr) - 1 +
\frac{\xi^2}{2n}\Bigr|
= \xi^2\,\Bigl|\rho\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)\Bigr|
\longrightarrow 0,
$$

ao passo que $\bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\bigr)^n \to
\eu^{-\xi^2/2}$ (logaritmo real). Logo $\varphi_{T_n}(\xi) \to
\eu^{-\xi^2/2} = \varphi_{\mathcal N(0,1)}(\xi)$ ([Proposição 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(d)) para todo $\xi$: Lévy ([Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy)) conclui $T_n \Rightarrow \mathcal
N(0,1)$. As probabilidades de intervalos decorrem disso, pois $F_{\mathcal
N}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em toda parte. ∎

**Exemplo 23.9 (Intervalos de confiança, deduzidos honestamente).**

Consulte $n$ eleitores [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence); $\hat p_n = S_n/n$ estima o $p$ verdadeiro, com $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$. O teorema central do limite dá, para $n$ grande,

$$
\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq
\frac{z}{2\sqrt n}\Bigr)
\;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr|
\leq z\Bigr)
\longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),
$$

em que $\Phi$ é a função de distribuição [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) padrão. Com $z = 1.96$: confiança assintótica de $95\%$, e uma margem $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ exige $n \geq
\bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — o número por trás de todo “$\pm3$ pontos, $95\%$” que se lê por aí; compare com os $5556$ de Chebyshev ([Exercício 22.7](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#exo-b3-probability-7)). O $\sqrt n$ é universal: para reduzir o erro à metade, quadruplique a amostra — a mesma lei que fixa o custo do [Monte Carlo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ex-b3-probability-sllnapps) ([Exercício 23.7](#exo-b3-clt-7)).

## 23.4 Vetores gaussianos

**Definição 23.10.**

Um vetor aleatório $X = (X_1, \dots, X_d)$ é *gaussiano* se toda combinação linear $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ é uma variável gaussiana real (possivelmente degenerada). Sua lei é determinada pelo vetor de médias $m = (\E X_i)$ e pela *matriz de covariância* $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov}
(X_i, X_j)\bigr)$: com efeito, a [função característica](#def-b3-clt-cf) do vetor, $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$, é o valor em $1$ da [função característica](#def-b3-clt-cf) de $\langle t, X\rangle$:

$$
\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle -
\tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),
$$

e as [funções características](#def-b3-clt-cf) em dimensão $d$ são injetoras (a mesma demonstração por suavização do [Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity), com gaussianas coordenada a coordenada).

**Teorema 23.11.**

Seja $X$ um [vetor gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector).

1. Toda imagem afim $AX + b$ é um [vetor gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) .
2. As componentes $X_i$ são *[independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence)* se, e somente se, $\Sigma$ é diagonal: para variáveis conjuntamente [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) , não correlacionadas $=$ [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) .
3. Se $\Sigma$ é inversível, $X$ tem [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\det\Sigma}}  \exp\bigl(-\frac12(x - m)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}(x -  m)\bigr)$ .

**Demonstração.** (1) As combinações lineares das componentes de $AX + b$ são funções afins de combinações lineares de $X$: [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) (uma imagem afim de uma variável [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) é [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector)). (2) Se $\Sigma$ é diagonal, a [função característica](#def-b3-clt-cf) se fatoriza: $\varphi_X(t) = \prod_i\exp(\iu t_im_i -
\frac12\Sigma_{ii}t_i^2) = \prod\varphi_{X_i}(t_i)$, que é a [função característica](#def-b3-clt-cf) da lei produto ([Teorema 22.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-independence) lido através da injetividade em dimensão $d$): as componentes são [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence). A recíproca é o anulamento das covariâncias de variáveis $L^2$ [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence). (3) Diagonalize $\Sigma = P D P^{\mathsf T}$ ($P$ ortogonal, $D > 0$ diagonal — [Exercício 20.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#exo-b3-submanifolds-8)); o vetor $Y = P^{\mathsf T}(X - m)$ é [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) de covariância $D$: por (2), suas componentes são $\mathcal N(0, d_i)$ [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence), de modo que $Y$ tem a [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) produto; empurre-a para a frente pela aplicação $x = m + PY$, que preserva volume ([Teorema 11.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#thm-b3-product-linearchange), $\abs{\det P} = 1$), e reescreva o expoente de maneira invariante. ∎

**Teorema 23.12 (Teorema central do limite multidimensional).**

Sejam $(X_n)$ *vetores* aleatórios i.i.d. de $\R^d$, de quadrado [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), com média $m$ e matriz de covariância $\Sigma$. Então $\frac{S_n - nm}{\sqrt n}$ converge em distribuição ao [vetor gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) $\mathcal N(0,
\Sigma)$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 23.13.**

Quase tudo já está em nossas mãos. Para cada direção $t \in \R^d$, a variável real $\langle t,
\frac{S_n - nm}{\sqrt n}\rangle$ é uma soma normalizada de variáveis reais i.i.d. de variância $t^{\mathsf T}\Sigma t$, de modo que o cálculo do [Teorema 23.8](#thm-b3-clt-clt) dá a convergência pontual das [funções características](#def-b3-clt-cf) em dimensão $d$ para $\eu^{-t^{\mathsf T}\Sigma t/2}$, a [função característica](#def-b3-clt-cf) de $\mathcal N(0, \Sigma)$ ([Definição 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector)). O que não redemonstramos é o teorema da [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de Lévy *em $\R^d$*: a seleção de Helly e a estimativa de tensão se generalizam rotineiramente (coordenada a coordenada), e essa redução de Cramér–Wold é feita honestamente em qualquer curso de pós-graduação em probabilidade; nada além dos métodos deste capítulo é necessário.

**Método 23.14.**

Para identificar uma lei-limite: calcule [funções características](#def-b3-clt-cf), tome o limite pontual, reconheça-o ([gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) $\eu^{-\sigma^2\xi^2/2}$, Poisson $\eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}$, exponencial $\frac{\lambda}
{\lambda - \iu\xi}$, …) e invoque Lévy. O ritual de três passos ([independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) $\to$ produto; Taylor em $0$ $\to$ limite exponencial; Lévy $\to$ convergência em lei) demonstra o teorema central do limite, a lei dos eventos raros de Poisson ([Exercício 23.5](#exo-b3-clt-5)) e todo teorema-limite clássico deste curso. Para enunciados q.c., volte à caixa de ferramentas do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-b3-probability): os dois capítulos respondem a perguntas diferentes sobre o mesmo $S_n$.

## 23.5 Exercícios

**Exercício 23.1 ★.**

Calcule as [funções características](#def-b3-clt-cf): uniforme em $\intcc{-1}1$; exponencial $\mathcal E(\lambda)$; Poisson $\mathcal P(\lambda)$; binomial $\mathcal B(n, p)$. Deduza pelo [Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity) que a soma de variáveis de Poisson [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) ($\lambda, \mu$) é Poisson $(\lambda +
\mu)$.

**Solução de Exercício 23.1.**

Uniforme em $\intcc{-1}1$: $\varphi(\xi) =
\frac12\int_{-1}^1\eu^{\iu\xi x}\dd x =
\frac{\sin\xi}{\xi}$ (igual a $1$ em $\xi = 0$). Exponencial $\mathcal E(\lambda)$: $\varphi(\xi) =
\lambda\int_0^\infty\eu^{(\iu\xi - \lambda)x}\dd x =
\frac{\lambda}{\lambda - \iu\xi}$ (a primitiva se anula em $+\infty$, pois $\operatorname{Re}(\iu\xi -
\lambda) < 0$). Poisson $\mathcal P(\lambda)$: pelo teorema de transferência para leis discretas,

$$
\varphi(\xi) = \sum_{k\geq0}\eu^{\iu\xi
k}\,\eu^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
= \eu^{-\lambda}\exp\bigl(\lambda\eu^{\iu\xi}\bigr)
= \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr).
$$

Binomial $\mathcal B(n, p)$: uma soma de $n$ variáveis de Bernoulli [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence), cada uma de fc $1 - p + p\eu^{\iu\xi}$, de modo que $\varphi(\xi) = \bigl(1 - p + p\eu^{\iu\xi}\bigr)^n$ ([Proposição 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(b)). Aditividade de Poisson: se $X
\sim \mathcal P(\lambda)$, $Y \sim \mathcal P(\mu)$ são [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence),

$$
\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}
\eu^{\mu(\eu^{\iu\xi}-1)} =
\eu^{(\lambda+\mu)(\eu^{\iu\xi}-1)},
$$

a fc de $\mathcal P(\lambda + \mu)$; a injetividade ([Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)) identifica a lei.

**Exercício 23.2 ★★.**

(a) Mostre que $\varphi_X$ toma valores reais se, e somente se, $X$ e $-X$ têm a mesma lei (uma variável *simétrica*). (b) Suponha $\abs{\varphi_X(\xi_0)} = 1$ para algum $\xi_0 \neq
0$. Mostre que $X$ está quase certamente concentrada em uma progressão aritmética $a + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ *(escreva $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$ e calcule $\E[1 -
\cos(\xi_0X - \theta)]$)*. Deduza que, se $X$ tem [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma), então $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ para todo $\xi \neq 0$.

**Solução de Exercício 23.2.**

(a) $\overline{\varphi_X(\xi)} = \E\eu^{-\iu\xi X} =
\varphi_{-X}(\xi)$. Logo $\varphi_X$ é real se, e somente se, $\varphi_X = \varphi_{-X}$, se, e somente se (injetividade, [Teorema 23.3](#thm-b3-clt-injectivity)), $X$ e $-X$ têm a mesma lei. (b) Escreva $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$. Então

$$
\E\bigl[1 - \cos(\xi_0X - \theta)\bigr]
= 1 - \operatorname{Re}\bigl(\eu^{-\iu\theta}
\varphi_X(\xi_0)\bigr) = 1 - 1 = 0 .
$$

O integrando é não negativo, de modo que $\cos(\xi_0X - \theta) = 1$ quase certamente (uma variável não negativa de [esperança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) nula se anula q.c.), isto é, $\xi_0X - \theta \in 2\pi\Z$ q.c.: $X$ toma seus valores na progressão aritmética $\frac{\theta}{\xi_0} + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ quase certamente. Se $X$ tem [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma), esse conjunto enumerável é Lebesgue-nulo, de modo que ele carrega probabilidade $0$ — contradição; portanto $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ para todo $\xi \neq 0$.

**Exercício 23.3 ★★.**

Sejam $X \sim \mathcal N(m_1, \sigma_1^2)$ e $Y \sim
\mathcal N(m_2, \sigma_2^2)$ [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence). Mostre que $X + Y
\sim \mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ e, mais geralmente, que a família [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) é estável por somas [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) e por aplicações afins. Em contraste: a soma de duas [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) *dependentes* é sempre [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector)? ([Exercício 23.9](#exo-b3-clt-9).)

**Solução de Exercício 23.3.**

Por [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) e pela [Proposição 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics):

$$
\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\iu m_1\xi - \sigma_1^2\xi^2/2}\,
\eu^{\iu m_2\xi - \sigma_2^2\xi^2/2}
= \eu^{\iu(m_1+m_2)\xi - (\sigma_1^2+\sigma_2^2)\xi^2/2},
$$

a fc de $\mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$; a injetividade conclui. A estabilidade por aplicações afins é a regra afim ($aX + b \sim \mathcal N(am_1 + b,
a^2\sigma_1^2)$, permitindo o caso degenerado $a = 0$), e a estabilidade por somas [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) segue por indução sobre o cálculo acima. Para [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) *dependentes*, a soma pode não ser [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector): no [Exercício 23.9](#exo-b3-clt-9), $X$ e $Y =
\varepsilon X$ são, cada uma, [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) padrão, mas $X + Y$ se anula com probabilidade $\frac12$ sem ser q.c. nulo, de modo que ela não é [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector).

**Exercício 23.4 ★★.**

(a) Demonstre a equivalência da [Definição 23.4](#def-b3-clt-cid): se $\E f(X_n) \to \E f(X)$ para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada, então $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ nos pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) *(comprima $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ entre duas rampas [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em escada)*; e reciprocamente *(aproxime uma $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada por somas de funções-rampa, ou condicione em uma grade fina de pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity))* — a recíproca pode ser tratada primeiro para $f$ uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e, depois, em geral. (b) Mostre que $X_n \Rightarrow c$ (uma constante) implica $X_n
\to c$ em probabilidade.

**Solução de Exercício 23.4.**

(a) *Implicação direta.* Seja $t$ um ponto de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $F_X$ e $\delta > 0$. Tome as rampas [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $f^-$ ($= 1$ em $\intoc{-\infty}{t-\delta}$, $0$ a partir de $t$, afim entre) e $f^+$ ($= 1$ em $\intoc{-\infty}t$, $0$ a partir de $t + \delta$, afim entre); então $f^- \leq
\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq f^+$, de modo que

$$
\E f^-(X_n) \leq F_{X_n}(t) \leq \E f^+(X_n),
$$

e os termos extremos convergem para $\E f^\pm(X)$, eles próprios espremidos entre $F_X(t - \delta)$ e $F_X(t + \delta)$. Fazendo $n \to \infty$ e depois $\delta \to 0$, e usando a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $F_X$ em $t$: $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$.

*Recíproca.* Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada, $M =
\sup\abs f$, $\varepsilon > 0$. Os pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $F_X$ são densos ($F_X$ tem, no máximo, uma infinidade enumerável de saltos), de modo que se escolhem pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $a < b$ com $F_X(a) < \varepsilon$ e $1 - F_X(b) < \varepsilon$. No [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\intcc ab$, a função $f$ é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): escolha pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b$ de $F_X$ com oscilação de $f$ no máximo $\varepsilon$ em cada $\intoc{t_{j-1}}{t_j}$, e ponha $g = \sum_j
f(t_j)\,\mathbf 1_{\intoc{t_{j-1}}{t_j}}$. Então $\abs{f - g}
\leq \varepsilon$ em $\intoc ab$, $\abs g \leq M$ e, para $T = X_n$ ou $X$:

$$
\bigl|\E f(T) - \E g(T)\bigr| \leq \varepsilon +
2M\bigl(F_T(a) + 1 - F_T(b)\bigr).
$$

Além disso, $\E g(X_n) = \sum_j f(t_j)\bigl(F_{X_n}(t_j) -
F_{X_n}(t_{j-1})\bigr) \to \E g(X)$ (uma soma finita de termos convergentes, sendo todos os $t_j$ pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)), e $F_{X_n}(a) \to F_X(a) < \varepsilon$, $1 - F_{X_n}(b) \to 1
- F_X(b) < \varepsilon$. Reunindo: $\limsup_n\abs{\E f(X_n) - \E f(X)} \leq 2\varepsilon +
8M\varepsilon$; faça $\varepsilon \to 0$.

(b) A função de distribuição da constante $c$ é $\mathbf 1_{\intco c\infty}$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) exceto em $c$. Para $\varepsilon > 0$, os pontos $c - \varepsilon$ e $c +
\frac\varepsilon2$ são pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), de modo que

$$
\P(\abs{X_n - c} > \varepsilon) \leq F_{X_n}(c -
\varepsilon) + 1 - F_{X_n}\Bigl(c + \frac\varepsilon2\Bigr)
\longrightarrow 0 + 1 - 1 = 0 .
$$

**Exercício 23.5 ★★.**

(Lei dos eventos raros) Sejam $X_n \sim \mathcal B(n, p_n)$ com $np_n \to \lambda > 0$. Mostre, via [funções características](#def-b3-clt-cf) e o [Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy), que $X_n \Rightarrow \mathcal
P(\lambda)$. Verificação numérica de sanidade: compare $\P(X = 0)$ para $\mathcal B(100, 0.02)$ e $\mathcal P(2)$.

**Solução de Exercício 23.5.**

Seja $z_n = p_n(\eu^{\iu\xi} - 1)$, de modo que $\varphi_{X_n}(\xi) =
(1 + z_n)^n$ ([Exercício 23.1](#exo-b3-clt-1)) e $\abs{z_n} \leq 2p_n
\to 0$ (note $p_n = \frac{np_n}n \to 0$). Tanto $1 + z_n$ quanto $\eu^{z_n}$ têm módulo no máximo $1$: $\abs{1 + z_n} =
\abs{(1 - p_n) + p_n\eu^{\iu\xi}} \leq 1$ pela desigualdade triangular, e $\abs{\eu^{z_n}} = \eu^{p_n(\cos\xi - 1)}
\leq 1$. A desigualdade telescópica $\abs{a^n - b^n} \leq
n\abs{a - b}$ (demonstração do [Teorema 23.8](#thm-b3-clt-clt)) e a cota da série de potências $\abs{\eu^z - 1 - z} \leq
\abs z^2\eu^{\abs z}$ dão

$$
\bigl|(1 + z_n)^n - \eu^{nz_n}\bigr| \leq n\bigl|1 + z_n -
\eu^{z_n}\bigr| \leq n\,\abs{z_n}^2\,\eu^{\abs{z_n}} \leq
4\eu^2\,np_n^2 = 4\eu^2\,(np_n)\,p_n \longrightarrow 0 .
$$

Como $nz_n = np_n(\eu^{\iu\xi} - 1) \to
\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)$, concluímos $\varphi_{X_n}(\xi)
\to \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr)$ para todo $\xi$: a fc de $\mathcal P(\lambda)$, e Lévy ([Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy)) dá $X_n \Rightarrow \mathcal
P(\lambda)$. Numericamente: $\P\bigl(\mathcal B(100, 0.02) =
0\bigr) = 0.98^{100} = \eu^{100\ln 0.98} \approx
\eu^{-2.020} \approx 0.1326$, ao passo que $\P\bigl(\mathcal P(2) =
0\bigr) = \eu^{-2} \approx 0.1353$: dois por cento de diferença já nesse $n$ grosseiro.

**Exercício 23.6 ★★.**

(a) Um dado honesto é lançado $n = 1000$ vezes; aproxime a probabilidade de o total ultrapassar $3600$ (média $3500$, variância por lançamento $\frac{35}{12}$). (b) Para $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$, aproxime $\P(45 \leq S \leq 55)$ pelo teorema central do limite com a correção de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ($\pm\frac12$) e comente o efeito da correção.

**Solução de Exercício 23.6.**

(a) Um lançamento tem média $\frac72$ e variância $\frac{35}{12}$, de modo que $S$ tem média $3500$, variância $\frac{35000}{12} \approx 2916.7$ e desvio padrão $\approx 54.0$. Pelo TCL,

$$
\P(S > 3600) = \P\Bigl(\frac{S - 3500}{54.0} > 1.85\Bigr)
\approx 1 - \Phi(1.85) \approx 0.032 :
$$

cerca de $3\%$ de chance. (b) $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$: média $50$, desvio padrão $5$. Com a correção de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity),

$$
\P(45 \leq S \leq 55) \approx
\Phi\Bigl(\frac{55.5 - 50}{5}\Bigr) -
\Phi\Bigl(\frac{44.5 - 50}{5}\Bigr) = 2\Phi(1.1) - 1
\approx 0.729,
$$

contra o valor exato $0.7287$; sem a correção, $2\Phi(1) - 1 \approx 0.683$, errando por quase cinco pontos. A correção importa porque $S$ é uma variável reticulada: o átomo $\P(S = k)$ é bem aproximado pela massa [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) de $\intcc{k - \frac12}{k + \frac12}$, e cortar o intervalo nos inteiros $45$ e $55$ descarta meio átomo em cada extremo.

**Exercício 23.7 ★★.**

(Erro de [Monte Carlo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ex-b3-probability-sllnapps)) No cenário do [Problema 22.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#pb-b3-probability-1), questão 11, com $g \in
L^2(\intcc01^d)$, sejam $\sigma^2 = \V(g(U_1))$ e $I = \int
g$. Mostre que

$$
\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr)
\Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2),
$$

e deduza a barra de erro assintótica de $95\%$, $\pm
1.96\,\sigma/\sqrt n$ — [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) da dimensão $d$. Compare com a regra determinística do ponto médio em dimensão $d$ (erro $\sim n^{-2/d}$ para integrandos $\mathcal C^2$): a partir de que dimensão a amostragem aleatória vence?

**Solução de Exercício 23.7.**

As variáveis $g(U_k)$ são i.i.d. (imagens [mensuráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) de variáveis i.i.d.), de quadrado [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), com média $I$ (teorema de transferência, [Exercício 11.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#exo-b3-product-9)) e variância $\sigma^2$. Se $\sigma > 0$, o [Teorema 23.8](#thm-b3-clt-clt) aplicado a elas é exatamente a convergência enunciada

$$
\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) =
\frac{\sum_{k\leq n}\bigl(g(U_k) - I\bigr)}{\sqrt n}
\Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)
$$

(se $\sigma = 0$, $g$ é q.c. constante e o membro esquerdo se anula identicamente). Logo $\P\bigl(\abs{\frac1n\sum g(U_k) - I} \leq
1.96\,\sigma/\sqrt n\bigr) \to 0.95$: a barra de erro $\pm
1.96\,\sigma/\sqrt n$ vê a dimensão $d$ apenas através da constante $\sigma$, nunca através da taxa em $n$. A regra do ponto médio com $n$ nós em dimensão $d$ tem malha $n^{-1/d}$ e erro da ordem de $n^{-2/d}$ para integrandos $\mathcal C^2$. O $n^{-1/2}$ de [Monte Carlo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ex-b3-probability-sllnapps) decai mais rápido que $n^{-2/d}$ exatamente quando $\frac12 > \frac2d$, isto é, $d > 4$: a partir da dimensão $5$, a amostragem aleatória bate assintoticamente a malha — a maldição da dimensionalidade poupa os métodos probabilísticos, razão pela qual [Monte Carlo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ex-b3-probability-sllnapps) reina na integração em alta dimensão.

**Exercício 23.8 ★★★.**

(Slutsky) Suponha $X_n \Rightarrow X$ e $Y_n \to c$ em probabilidade ($c$ constante). Mostre que $X_n + Y_n \Rightarrow X +
c$ e $Y_nX_n \Rightarrow cX$. *(Trabalhe com [funções características](#def-b3-clt-cf) e com a cota $\abs{\E\eu^{\iu\xi
(X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi c}\E\eu^{\iu\xi X_n}} \leq
\E\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1}$, separando em $\abs{Y_n - c}
\leq \delta$.)* Aplicação: no [Exemplo 23.9](#ex-b3-clt-confidence), justifique a substituição do $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ desconhecido por $\sqrt{\hat p_n(1 - \hat
p_n)}$.

**Solução de Exercício 23.8.**

*Soma.* Para $\xi$ fixo:

$$
\bigl|\E\eu^{\iu\xi(X_n+Y_n)} -
\eu^{\iu\xi c}\,\E\eu^{\iu\xi X_n}\bigr|
= \bigl|\E\bigl[\eu^{\iu\xi X_n}\bigl(\eu^{\iu\xi Y_n} -
\eu^{\iu\xi c}\bigr)\bigr]\bigr|
\leq \E\bigl|\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1\bigr| .
$$

Separe no evento $\{\abs{Y_n - c} \leq \delta\}$: ali, $\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n-c)} - 1} \leq \abs\xi\,\delta$ (a corda é mais curta que o arco); o complementar contribui com, no máximo, $2\,\P(\abs{Y_n - c} > \delta) \to 0$. Logo o $\limsup$ é $\leq \abs\xi\,\delta$ para todo $\delta > 0$: a diferença tende a $0$. Como $\E\eu^{\iu\xi X_n} \to
\varphi_X(\xi)$, obtemos $\varphi_{X_n+Y_n}(\xi) \to
\eu^{\iu\xi c}\varphi_X(\xi) = \varphi_{X+c}(\xi)$, e Lévy ([Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy)) fornece $X_n + Y_n
\Rightarrow X + c$.

*Produto.* Primeiro, $cX_n \Rightarrow cX$: $\varphi_{cX_n}(\xi) = \varphi_{X_n}(c\xi) \to
\varphi_X(c\xi) = \varphi_{cX}(\xi)$. A seguir, $(Y_n - c)X_n
\to 0$ em probabilidade: as leis dos $X_n$ são tensas (suas fc convergem para uma fc; veja a etapa de tensão do [Teorema 23.7](#thm-b3-clt-levy)), de modo que, dado $\varepsilon > 0$, tome $M$ com $\P(\abs{X_n} > M) \leq \varepsilon$ para todo $n$; então

$$
\P\bigl(\abs{(Y_n - c)X_n} > \varepsilon\bigr) \leq
\P(\abs{X_n} > M) + \P\Bigl(\abs{Y_n - c} >
\frac{\varepsilon}{M}\Bigr) \leq \varepsilon + o(1) .
$$

Escrevendo $Y_nX_n = cX_n + (Y_n - c)X_n$ e aplicando a parte da soma (cuja demonstração só usou $Y_n' := (Y_n - c)X_n \to 0$ em probabilidade, com constante $0$): $Y_nX_n \Rightarrow cX$.

*Aplicação.* Pela lei forte dos grandes números ([Teorema 22.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-slln)), $\hat p_n \to p$ q.c., de modo que, por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), $\hat\sigma_n = \sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)}
\to \sigma = \sqrt{p(1 - p)} > 0$ q.c., logo $\frac{\sigma}{\hat\sigma_n} \to 1$ em probabilidade. A regra do produto de Slutsky eleva $\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}
\Rightarrow \mathcal N(0,1)$ a $\frac{S_n -
np}{\hat\sigma_n\sqrt n} = \frac{\sigma}{\hat\sigma_n}\cdot
\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$: o intervalo de confiança *utilizável* $\hat p_n \pm
1.96\,\hat\sigma_n/\sqrt n$, construído apenas com os dados, mantém seu nível assintótico de $95\%$.

**Exercício 23.9 ★★★.**

Sejam $X \sim \mathcal N(0,1)$ e $\varepsilon$ [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) com $\P(\varepsilon = \pm1) = \frac12$; ponha $Y =
\varepsilon X$. (a) Mostre que $Y \sim \mathcal N(0,1)$ e $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$. (b) Mostre que $X$ e $Y$ *não* são [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) e que $(X, Y)$ não é um [vetor gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) *(calcule $\P(X + Y =
0)$)*. (c) Moral: o [Teorema 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) exige gaussianidade conjunta — “[gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) não correlacionadas”, por si só, nada demonstram.

**Solução de Exercício 23.9.**

(a) Separando a [esperança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) nos dois valores de $\varepsilon$ ([independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence)): para $B$ boreliano, $\P(Y \in B) =
\frac12\P(X \in B) + \frac12\P(-X \in B) = \P(X \in B)$, já que $-X \sim X$ ($\mathcal N(0,1)$ é simétrica): $Y \sim
\mathcal N(0,1)$. E $\operatorname{Cov}(X, Y) =
\E[\varepsilon X^2] = \E[\varepsilon]\,\E[X^2] = 0 \cdot 1 =
0$. (b) $\abs Y = \abs X$, de modo que $\P(\abs X \leq 1,\ \abs Y \geq 2)
= 0$, ao passo que $\P(\abs X \leq 1)\,\P(\abs Y \geq 2) > 0$: não [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence). Se $(X, Y)$ fosse um [vetor gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector), $X + Y =
(1 + \varepsilon)X$ seria uma variável [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) real ([Definição 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) com $t = (1,1)$); mas $\P(X + Y = 0) = \P(\varepsilon = -1) = \frac12$, ao passo que uma variável [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) só tem átomo se for q.c. constante — e $X + Y$ vale $2X \neq 0$ q.c. em $\{\varepsilon = 1\}$. Contradição: $(X, Y)$ não é [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector). (c) Cada marginal é [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) e a covariância se anula e, ainda assim, a [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) falha — porque o *par* não é conjuntamente [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector). O [Teorema 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2) não pode ser enfraquecido para “marginais [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector)”.

**Exercício 23.10 ★★.**

A lei de Cauchy tem [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) $\frac1{\pi(1 + x^2)}$. (a) Mostre que sua [função característica](#def-b3-clt-cf) é $\eu^{-\abs\xi}$ ([Exercício 14.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-1) e inversão). (b) Mostre que, se $X_1, \dots, X_n$ são i.i.d. de Cauchy, então $\frac{S_n}n$ é de novo de Cauchy — a *mesma* lei: a média jamais se concentra. (c) Reconcilie com as leis dos grandes números e com o teorema central do limite: que hipóteses falham? (Calcule $\E\abs{X_1}$.)

**Solução de Exercício 23.10.**

(a) O [Exercício 14.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#exo-b3-fouriertransform-1) calcula $\widehat{\eu^{-\abs\cdot}}(\xi) = \frac{2}{1 + \xi^2}$; sendo ambos os membros [integráveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), a inversão de Fourier ([Teorema 14.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#thm-b3-fouriertransform-inversion)) inverte os papéis:

$$
\int_\R\eu^{\iu\xi x}\,\frac{\dd x}{\pi(1 + x^2)} =
\eu^{-\abs\xi},
$$

que é exatamente $\varphi_X(\xi)$ para uma variável de Cauchy $X$. (b) Por [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence), $\varphi_{S_n}(\xi) =
\bigl(\eu^{-\abs\xi}\bigr)^n = \eu^{-n\abs\xi}$, de modo que $\varphi_{S_n/n}(\xi) = \varphi_{S_n}(\xi/n) =
\eu^{-\abs\xi}$: a média empírica $\frac{S_n}n$ é de novo Cauchy padrão para todo $n$ (injetividade). A média nunca se concentra: suas flutuações no tempo $10^6$ são as de uma única observação. (c) $\E\abs{X_1} = \frac2\pi\int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{1 +
x^2} = +\infty$: a lei de Cauchy não é [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1), de modo que a lei forte dos grandes números ([Teorema 22.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-slln)) não se aplica, e o TCL (que precisa de variância finita), menos ainda. Aqui suas conclusões genuinamente falham, não apenas suas demonstrações. Verificação de coerência: $\varphi(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ não é derivável em $0$, como a [Proposição 23.2](#prop-b3-clt-cfbasics)(c), lida pela contrapositiva, prevê para uma variável não [integrável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-l1).

**Exercício 23.11 ★★.**

(Leis estáveis em embrião) Sejam $(X_n)$ i.i.d. de Cauchy padrão ([Exercício 23.10](#exo-b3-clt-10)). (a) Mostre que, para qualquer $a, b > 0$, $aX_1 + bX_2$ tem a lei de $(a + b)X_1$: a família de Cauchy é *estritamente estável* de índice $1$. (b) Mostre que a família [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) é estritamente estável de índice $2$: $aX_1 + bX_2 \sim \sqrt{a^2 + b^2}\,X_1$ para $X_i$ i.i.d. $\mathcal N(0,1)$. (c) Explique, via [funções características](#def-b3-clt-cf) da forma $\eu^{-c\abs\xi^\alpha}$, por que a estabilidade de índice $\alpha$ força a normalização $n^{1/\alpha}$ para as somas, e o que isso diz sobre as bacias de atração do teorema central do limite: que somas i.i.d. podem convergir, após normalização afim, a uma lei de Cauchy em vez de a uma [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector)?

**Solução de Exercício 23.11.**

(a) $\varphi_{aX_1 + bX_2}(\xi) =
\eu^{-a\abs\xi}\eu^{-b\abs\xi} = \eu^{-(a+b)\abs\xi} =
\varphi_{(a+b)X_1}(\xi)$ ([independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) e [Exercício 23.10](#exo-b3-clt-10)); a injetividade identifica as leis.

(b) $\varphi_{aX_1+bX_2}(\xi) = \eu^{-a^2\xi^2/2}
\eu^{-b^2\xi^2/2} = \eu^{-(a^2+b^2)\xi^2/2}$: a lei de $\sqrt{a^2+b^2}\,X_1$.

(c) Se $\varphi_X(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$, então $S_n = X_1 + \dots + X_n$ tem $\varphi_{S_n} =
\eu^{-cn\abs\xi^\alpha}$, e $S_n/n^{1/\alpha}$ tem $\varphi(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ de novo: autorreprodução exata sob o reescalamento $n^{1/\alpha}$ — $\sqrt n$ para a [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) ($\alpha = 2$), o próprio $n$ para Cauchy ($\alpha = 1$, [Exercício 23.10](#exo-b3-clt-10)(b)). Uma soma de variáveis i.i.d. só pode convergir (após normalização afim) para uma lei estável por tais convoluções; o TCL diz que a variância finita força a bacia [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector), e a bacia de Cauchy fica reservada às leis de caudas tão pesadas que $\E X^2 = \infty$ e mesmo $\E\abs
X = \infty$ — por exemplo, somas das próprias variáveis de Cauchy. A universalidade tem várias ilhas, indexadas pelo expoente de cauda $\alpha \in \intoc02$.

**Exercício 23.12 ★★.**

(A função de distribuição empírica) Sejam $(X_n)$ i.i.d. com função de distribuição $F$, e $F_n(t) =
\frac1n\#\{k \leq n : X_k \leq t\}$. (a) Fixe $t$. Mostre que $n F_n(t) \sim \mathcal B(n, F(t))$, que $F_n(t) \to F(t)$ q.c. ([Teorema 22.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-slln)) e que

$$
\sqrt n\,\bigl(F_n(t) - F(t)\bigr) \Longrightarrow
\mathcal N\bigl(0,\ F(t)(1 - F(t))\bigr) .
$$

(b) Em que $t$ a variância assintótica é máxima? Interprete: a mediana é o ponto em que uma distribuição empírica é mais difícil de fixar. (c) Para $F$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), mostre que a lei de $\sup_t\abs{F_n(t) - F(t)}$ não depende de $F$ *(reduza a variáveis uniformes via o [Exercício 22.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#exo-b3-probability-1))* — o milagre livre de distribuição por trás do teste de Kolmogorov–Smirnov; não se pede calcular essa lei.

**Solução de Exercício 23.12.**

(a) As indicadoras $\mathbf 1_{X_k \leq t}$ são i.i.d. de Bernoulli de parâmetro $p = F(t)$: sua soma $nF_n(t)$ é binomial $\mathcal B(n, p)$; a lei forte dá $F_n(t)
\to p$ q.c., e o TCL ([Teorema 23.8](#thm-b3-clt-clt)) aplicado às mesmas indicadoras (variância $p(1-p)$) dá o limite [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) enunciado.

(b) $p(1 - p)$ é máxima em $p = \frac12$, isto é, onde $F(t) = \frac12$: na *mediana*. Estimar probabilidades de cauda é assintoticamente fácil (variância $\to 0$ quando $p \to 0, 1$); a região da mediana carrega o maior ruído estatístico — a curva empírica oscila mais em seu meio.

(c) Para $F$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), as variáveis $U_k = F(X_k)$ são i.i.d. uniformes em $\intoo01$ ([Exercício 22.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#exo-b3-probability-1)), e a monotonicidade de $F$ dá, escrevendo $G_n$ para a função de distribuição empírica dos $U_k$:

$$
\sup_{t\in\R}\,\abs{F_n(t) - F(t)}
= \sup_{u \in \operatorname{im}F}\,\abs{G_n(u) - u}
= \sup_{u\in\intcc01}\abs{G_n(u) - u} :
$$

a primeira igualdade porque $\{X_k \leq t\} = \{U_k \leq
F(t)\}$ a menos de eventos nulos (monotonicidade; a desigualdade estrita só pode falhar nas partes constantes de $F$, em que ambos os membros não mudam), e a segunda porque uma $F$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), indo de $0$ a $1$, atinge todo valor de $\intoo01$ (teorema do valor intermediário), e os extremos nada acrescentam ($G_n(0) - 0 = 0$ e $G_n(1) - 1 = 0$). O membro direito envolve apenas uniformes: uma única lei para todo $F$ — de modo que uma única tabela de valores críticos (a da distribuição de Kolmogorov) testa *qualquer* modelo [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) contra dados.

## 23.6 Problema: a demonstração de Lindeberg do teorema central do limite, com taxa

**Problema 23.1.**

Problema de fim de semana — o método da substituição

Lindeberg (1922) demonstrou o teorema central do limite por uma ideia de desarmante simplicidade: *trocar as parcelas, uma de cada vez, por [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector)* e controlar cada troca por uma expansão de Taylor. O método não precisa de análise de Fourier, produz uma taxa de erro explícita e, hoje, move demonstrações de universalidade por toda a teoria de probabilidade. Sejam $(X_i)$ i.i.d., centradas, $\V(X_1) = 1$, com $\beta = \E\abs{X_1}^3 < \infty$; sejam $(N_i)$ i.i.d. $\mathcal N(0,1)$, [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) das $X_i$ (existência: [Teorema 22.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-existence)). Ponha

$$
T_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n},
\qquad
G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n} \sim \mathcal N(0,1).
$$

**Parte I — A identidade de substituição.** Fixe $f
\in \mathcal C^3_b(\R)$ (três derivadas [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitadas; $M_3 = \sup\abs{f'''}$). Para $0 \leq i \leq n$, defina as somas híbridas

$$
H_i = \frac{X_1 + \dots + X_i + N_{i+1} + \dots +
N_n}{\sqrt n},
$$

de modo que $H_n = T_n$ e $H_0 = G_n$.

1. Escreva $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ e $H_{i-1}  = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ com $W_i =  \frac{1}{\sqrt n}\bigl(\sum_{j<i}X_j +  \sum_{j>i}N_j\bigr)$ , e note que $W_i$ é [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) do par $(X_i, N_i)$ . Justifique.
2. Taylor com resto integral ou de Lagrange: para reais $w, h$ quaisquer: $$\Bigl|f(w + h) - f(w) - f'(w)h -  \tfrac12f''(w)h^2\Bigr| \leq  \frac{M_3\,\abs h^3}{6} .$$
3. Aplique a questão 2 duas vezes ($h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ e $h = \frac{N_i}{\sqrt n}$ em $w = W_i$), tome [esperanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) e use a [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) mais a coincidência dos dois primeiros momentos de $X_i$ e $N_i$ para mostrar que $$\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr|  \leq \frac{M_3}{6}\cdot  \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}},  \qquad \gamma = \E\abs{N_1}^3 =  \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi} .$$
4. Telescope em $i$ e conclua a *cota de Lindeberg*: $$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq  \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .$$

**Parte II — De $f$ suave ao teorema central do limite.**

5. Mostre que $\E f(T_n) \to \E f(N)$ para toda $f \in  \mathcal C_b^3$ , e eleve a toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada: dada uma tal $f$ e $\varepsilon$ , construa $f_\varepsilon \in \mathcal C^3_b$ com $\norm{f - f_\varepsilon}_\infty \leq \varepsilon$ em um intervalo grande — por exemplo, convolua $f$ com uma [função de corte](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#def-b3-lp-mollifier) $\mathcal C^\infty$ ( [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization) ) — e trate as caudas por tensão ( $\V(T_n) = 1$ e Chebyshev). Conclua $T_n \Rightarrow \mathcal N(0, 1)$ : o teorema central do limite, redemonstrado.
6. Onde a demonstração usou que as $X_i$ são *identicamente* distribuídas? Mostre que quase não usou: enuncie e demonstre a versão para $X_i$ [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) , centradas e não idênticas, com $\sum_i\V(X_i) = s_n^2$ e terceiros momentos, obtendo o erro $\frac{M_3}{6s_n^3}\sum_i\bigl(\E\abs{X_i}^3  + \V(X_i)^{3/2}\gamma\bigr)$ — o verdadeiro teorema de Lindeberg em sua forma de Lyapunov.

**Parte III — Dividendos quantitativos.**

7. (Funções de distribuição) Seja $t \in \R$ e aproxime $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ por cima e por baixo por rampas $\mathcal C^3_b$ de largura $\delta$ (construa-as, com $M_3 = O(\delta^{-3})$). Combinando com a Parte I, deduza a cota de dois termos $$\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) -  \Phi(t)\bigr| \;\leq\;  \frac{C_1(\beta + \gamma)}{\delta^3\sqrt n} +  C_2\,\delta  \qquad (\text{todo } \delta > 0),$$ com constantes explícitas (o termo $C_2\delta$ usa que $\Phi$ tem [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) limitada por $\frac1{\sqrt{2\pi}}$) e otimize $\delta \sim  n^{-1/8}$ para obter uma taxa uniforme de ordem $n^{-1/8}$. (O $n^{-1/2}$ ótimo — Berry–Esseen — exige ferramentas mais finas; o que importa aqui é obter uma taxa *explícita* por substituição elementar.)
8. (De Moivre–Laplace, quantificado) Especialize a $X_i = 2B_i - 1$ (sinais de moedas honestas): compare a conclusão com a estimativa local do [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#pb-b3-product-1) , questão 7 — o que cada método dá e o outro não dá?
9. (Universalidade) Explique em um parágrafo por que o método da substituição mostra mais do que o teorema central do limite: qualquer estatística da forma $\E f(\text{soma})$ com $f$ suave é insensível, na ordem $n^{-1/2}$ , à *lei inteira* das parcelas para além de seus dois primeiros momentos — o “princípio de invariância” que sustenta os resultados modernos de universalidade (matrizes aleatórias, polinômios aleatórios), do qual o teorema central do limite é a primeira instância.

**Parte IV — Suavização, levada adiante: taxas melhores.** A perda de $n^{-1/2}$ (com $f$ suave) para $n^{-1/8}$ (funções de distribuição) veio de cobrar $f'''$ na norma do supremo. Os híbridos podem reparar parte disso: eles contêm parcelas [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector), e as [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) *suavizam*.

10. (Uma [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) escondida) Para $1 \leq i \leq n - 1$, $h =  \frac{X_i}{\sqrt n}$ ou $\frac{N_i}{\sqrt n}$, e $\theta \in \intcc01$, escreva $W_i + \theta h = A +  Z$ com $Z = \frac{N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt  n}$. Mostre que $Z \sim \mathcal N\bigl(0,  \frac{n-i}n\bigr)$ é [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) do par $(A,  h)$ e deduza, para toda $g \in  L^1(\R)$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), $$\E\bigl[\abs h^3\,\abs{g(W_i + \theta h)}\bigr]  \;\leq\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n - i)}}\;  \norm{g}_{L^1}\;\E\abs h^3 .$$
11. Combine a questão 10 com a forma integral do resto de Taylor, $$f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \tfrac12f''(w)h^2 +  \int_0^1\frac{(1 - \theta)^2}2\,f'''(w + \theta  h)\,h^3\,\dd\theta,$$ para refazer as questões 3–4: para $f \in \mathcal C^3_b$ com, além disso, $f''' \in L^1(\R)$, $$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq  \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot  \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} +  \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}}$$ *(a questão 10 cuida das trocas $i \leq n - 1$ — use $\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2\sqrt n$ — e a cota grosseira da questão 3 cuida da última)*. Verifique que as rampas da questão 7 satisfazem $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ enquanto $M_3 = K\delta^{-3}$, insira-as e otimize $\delta$: a taxa uniforme para funções de distribuição melhora para $O(n^{-1/6})$.
12. (Coincidindo mais um momento) Suponha, além disso, $\E  X_1^3 = 0$ e $\beta_4 = \E X_1^4 < \infty$ . Calcule $\E N_1^3$ e $\E N_1^4$ , expanda até a quarta ordem e demonstre pelas mesmas linhas que a taxa para funções de distribuição se torna $O(n^{-1/4})$ *(agora $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} =  K_2\delta^{-3}$ e $M_4 = K'\delta^{-4}$; escolha $\delta = n^{-1/4}$)* .
13. (A obstrução) Suponha que os $k$ primeiros momentos de $X_1$ coincidam com os [gaussianos](#def-b3-clt-gaussianvector) ( $k = 2$ sempre; $k = 3$ exatamente quando $\E X_1^3 = 0$ ; $k \geq 4$ essencialmente nunca, pois $\E N_1^4 = 3$ ). Verifique que o esquema das questões 10–12 entrega a taxa $n^{-(k-1)/(2k+2)}$ para funções de distribuição, equilibrando $\delta^{-k}n^{-(k-1)/2}$ contra $\delta$ , e observe que o expoente só se aproxima do valor $\frac12$ de Berry–Esseen quando $k \to  \infty$ . Explique em algumas frases por que o método da substituição satura: cada troca é cobrada em valor absoluto, ao passo que a rota de Fourier (desigualdade de suavização de Esseen) explora a oscilação da diferença de [funções características](#def-b3-clt-cf) e atinge $C\beta n^{-1/2}$ apenas com três momentos.

**Parte V — Duas dimensões: o teorema central do limite multidimensional, por substituição.** Sejam agora as $X_i$ *vetores* aleatórios i.i.d. centrados de $\R^2$, de matriz de covariância $\Sigma$ e $\beta' = \E\norm{X_1}^3 <
\infty$ (norma euclidiana).

14. ( [Vetores gaussianos](#def-b3-clt-gaussianvector) , na ordem certa) Diagonalize $\Sigma =  PDP^{\mathsf T}$ ( [Exercício 20.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#exo-b3-submanifolds-8) ) e ponha $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ . Para $Z = (Z^1,  Z^2)$ um par de [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) padrão [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) ( [Teorema 22.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-existence) ), mostre que $N  = CZ$ é um [vetor gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) ( [Definição 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector) ) de média $0$ , covariância $\Sigma$ e $\gamma' = \E\norm N^3 <  \infty$ ; e que $G_n = \frac{N_1 + \dots +  N_n}{\sqrt n}$ tem lei $\mathcal N(0, \Sigma)$ *exatamente* , para cópias i.i.d. $N_i$ .
15. (Taylor em duas variáveis) Para $f \colon \R^2 \to  \R$ de classe $\mathcal C^3$ com $M_3 =  \max_{\abs\alpha = 3}\sup\abs{\partial^\alpha f} <  \infty$, demonstre $$\Bigl|f(w + h) - f(w) - \langle\nabla f(w),  h\rangle - \tfrac12\langle h, D^2f(w)\,h\rangle  \Bigr| \leq \frac{M_3}6\,\bigl(\abs{h_1} +  \abs{h_2}\bigr)^3 \leq \frac{\sqrt2\,M_3}3\,  \norm h^3$$ *(estude $t \mapsto f(w + th)$ em $\intcc01$)*.
16. (O teorema central do limite em $\R^2$) Rode o esquema de substituição nos híbridos vetoriais $H_i$: mostre que os termos de primeira e de segunda ordem se cancelam (médias e covariâncias coincidem), telescope e eleve como na questão 5 (tensão a partir de $\E\norm{T_n}^2 =  \operatorname{tr}\Sigma$; regularização agora em $\R^2$, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization)) para concluir: para toda $f \colon  \R^2 \to \R$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada, $$\E\,f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}\Bigr)  \longrightarrow \E\,f(N), \qquad N \sim \mathcal  N(0, \Sigma) :$$ o [Teorema 23.12](#thm-b3-clt-multiclt) em dimensão $2$, com taxa para $f$ suave e sem análise de Fourier.
17. (Cramér–Wold e uma flutuação conjunta) Deduza que $\langle t, \frac{S_n}{\sqrt n}\rangle  \Rightarrow \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ para todo $t \in \R^2$ fixado. Aplicação: para $(\xi_i)$ reais i.i.d., centradas, com $\E\xi_1^2 = 1$, $\E\xi_1^6 < \infty$ (de modo que a Parte V se aplica a $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$), mostre que $$\frac1{\sqrt n}\Bigl(\sum_{i\leq n}\xi_i,\  \sum_{i\leq n}(\xi_i^2 - 1)\Bigr) \Longrightarrow  \mathcal N\Bigl(0, \begin{pmatrix} 1 & \E\xi_1^3\\  \E\xi_1^3 & \E\xi_1^4 - 1\end{pmatrix}\Bigr) :$$ a média empírica e o segundo momento empírico flutuam conjuntamente de maneira [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) — independentemente, no limite, se, e somente se, $\E\xi_1^3 = 0$ ([Teorema 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)).

**Parte VI — O método delta.**

18. Sejam $(\hat\theta_n)$ [variáveis aleatórias](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) com $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) \Rightarrow  \mathcal N(0, \sigma^2)$ para um parâmetro real $\theta$, e seja $g$ derivável em $\theta$. Demonstre o *método delta*: $$\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr)  \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0,  g'(\theta)^2\sigma^2\bigr)$$ *(escreva $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) +  \eta(x))(x - \theta)$ com $\eta \to 0$ em $\theta$; mostre que $\hat\theta_n \to \theta$ e, depois, $\eta(\hat\theta_n) \to 0$, em probabilidade; termine com Slutsky, [Exercício 23.8](#exo-b3-clt-8), e com o [Exercício 23.4](#exo-b3-clt-4)(b))*.
19. Aplicações. (a) Para $(\xi_i)$ reais i.i.d. de média $\mu$ e variância $\sigma^2$, e $\bar X_n =  \frac1n\sum_{i\leq n}\xi_i$: mostre $\sqrt n(\bar  X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0,  4\mu^2\sigma^2)$ quando $\mu \neq 0$, e que, para $\mu = 0$, o enunciado correto vive em outra escala: $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$ com $N \sim \mathcal N(0,1)$ (identifique a função de distribuição do limite). (b) (Estabilização da variância) Para $\hat p_n$ a frequência de sucessos de uma amostra $\mathcal B(1, p)$, $p \in \intoo01$: mostre que $g(p) = \arcsin\sqrt p$ satisfaz $$\sqrt n\,\bigl(g(\hat p_n) - g(p)\bigr)  \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \frac14\Bigr)$$ *qualquer* que seja $p$ — uma barra de erro assintótica livre do parâmetro desconhecido; compare com o [Exemplo 23.9](#ex-b3-clt-confidence).

**Parte VII — Poisson, pelo mesmo método: o teorema de Le Cam.** A substituição conhece uma segunda classe de universalidade: somas de muitos eventos [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) *raros*. Para leis em $\N$, a distância certa é a *variação total*,

$$
d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \sup_{A\subseteq\N}\,
\abs{\mu(A) - \nu(A)} .
$$

20. Mostre que $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) =  \frac12\sum_{k\geq0}\abs{\mu(\{k\}) -  \nu(\{k\})}$ e demonstre a cota de acoplamento: para *qualquer* par $(X, Y)$ de [variáveis aleatórias](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) de leis $\mu$ e $\nu$ no mesmo espaço, $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) \leq \P(X \neq Y)$ .
21. Calcule exatamente, para $p \in \intoo01$: $$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p), \mathcal  P(p)\bigr) = p\bigl(1 - \eu^{-p}\bigr) \leq p^2 .$$
22. (Le Cam, por substituição) Sejam $X_i \sim \mathcal B(1,  p_i)$ e $Y_i \sim \mathcal P(p_i)$, com as $2n$ variáveis [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence); $S = X_1 + \dots + X_n$, e recorde $Y_1 + \dots + Y_n \sim \mathcal P(\lambda)$ com $\lambda = \sum_ip_i$ ([Exercício 23.1](#exo-b3-clt-1)). Troque uma coordenada de cada vez nos híbridos inteiros $H_i = Y_1 + \dots + Y_i + X_{i+1} + \dots  + X_n$: mostre, para todo $A \subseteq \N$, $$\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} \leq  d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal  P(p_i)\bigr),$$ e conclua a *desigualdade de Le Cam*: $$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\text{lei de } S,\ \mathcal  P(\lambda)\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 .$$
23. Dividendos. (a) Para $p_i = \frac\lambda n$ : a cota vale $\frac{\lambda^2}n$ — a lei dos eventos raros ( [Exercício 23.5](#exo-b3-clt-5) ) elevada a uma taxa explícita, uniforme sobre todos os eventos e válida também para $p_i$ desiguais. (b) $500$ cartas são entregues, cada uma extraviando-se de maneira [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) com probabilidade $\frac1{500}$ : limite o erro do modelo de Poisson de parâmetro $1$ e estime a probabilidade de nenhuma carta se extraviar. (c) Encerre o problema: compare as duas classes de universalidade aqui encontradas — a [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) (muitas contribuições pequenas e espalhadas; dois momentos coincidentes; Taylor) e a de Poisson (muitas contribuições raras; uma média coincidente; um acoplamento exato em variação total) — e o único método de substituição por trás de ambas.
24. (Erro relativo e a transformação logarítmica) Sejam $(X_n)$ i.i.d., positivas, de média $\mu > 0$, variância $\sigma^2$, e seja $\bar X_n$ a média empírica. Mostre pelo método delta que $$\sqrt n\,\bigl(\ln\bar X_n - \ln\mu\bigr)  \Longrightarrow  \mathcal N\Bigl(0,\ \frac{\sigma^2}{\mu^2}\Bigr) :$$ o parâmetro assintótico de $\ln\bar X_n$ é o *coeficiente de variação* $\sigma/\mu$ — um erro relativo, livre de escala. Deduza um intervalo de confiança de $95\%$ para $\mu$ na forma multiplicativa $\bar X_n\cdot\eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt  n)}$ e explique quando ele é preferível ao aditivo.
25. (O terceiro momento comanda o erro) Para $X \sim$ Bernoulli( $p$ ) centrada, calcule $\E\bigl[(X -  p)^3\bigr] = p(1-p)(1-2p)$ . Usando a análise da Parte IV (o erro de substituição é comandado pelos terceiros momentos), explique por que a aproximação normal de $\mathcal B(n, p)$ é assimétrica para $p \neq \frac12$ — excedendo de um lado e ficando aquém do outro — e por que $p = \frac12$ desfruta da taxa mais rápida com momentos coincidentes. Verifique numericamente o sinal da assimetria em $\mathcal  B(20, 0.1)$ contra $\mathcal N(2, 1.8)$ : compare $\P(S = 0) = 0.9^{20}$ com a massa [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) de $\intoo{-\infty}{0.5}$ .

**Solução de Problema 23.1.**

**1.** A família $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ é [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence): os dois blocos são [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) entre si por construção, e cada bloco é i.i.d. $W_i$ é [função mensurável](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#def-b3-lebesgue-measurable) apenas das variáveis $(X_j)_{j<i}$ e $(N_j)_{j>i}$, todas distintas de $X_i$ e $N_i$: pelo princípio das coalizões ([Teorema 22.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-independence)), $W_i$ é [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) do par $(X_i, N_i)$. As decomposições $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ e $H_{i-1} = W_i +
\frac{N_i}{\sqrt n}$ são imediatas a partir das definições: passar de $H_i$ a $H_{i-1}$ troca a única parcela $X_i$ por $N_i$.

**2.** Taylor–Lagrange de ordem $3$: existe $c$ entre $w$ e $w + h$ com $f(w + h) = f(w) + f'(w)h +
\frac12f''(w)h^2 + \frac16f'''(c)h^3$, e $\abs{f'''(c)}
\leq M_3$ dá a cota.

**3.** Subtraindo as duas expansões no ponto-base comum $w = W_i$:

$$
f(H_i) - f(H_{i-1}) = f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n} +
\frac{f''(W_i)}{2}\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n} + R_i,
\qquad
\abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot
\frac{\abs{X_i}^3 + \abs{N_i}^3}{n^{3/2}} .
$$

Tome [esperanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space). Pela questão 1, $f'(W_i)$ e $f''(W_i)$ são [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) de $(X_i, N_i)$, de modo que as [esperanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) mistas se fatoram:

$$
\begin{align*}
\E\Bigl[f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n}\Bigr] &=
\E\bigl[f'(W_i)\bigr]\,\frac{\E X_i - \E N_i}{\sqrt n} = 0,
\\
\E\Bigl[f''(W_i)\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n}\Bigr] &=
\E\bigl[f''(W_i)\bigr]\,\frac{1 - 1}{n} = 0 :
\end{align*}
$$

os dois primeiros momentos de $X_i$ e $N_i$ *coincidem*, e só o resto sobrevive:

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \E\abs{R_i} \leq
\frac{M_3}{6}\cdot\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} .
$$

O terceiro momento [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector): $\gamma = \E\abs{N_1}^3 =
2\int_0^\infty x^3\,\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\dd x
= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty 2u\,\eu^{-u}\dd u =
\frac{4}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi}$ (substituição $u = x^2/2$, depois $\Gamma(2) = 1$).

**4.** Telescopando $\E f(T_n) - \E f(G_n) =
\sum_{i=1}^n\bigl(\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr)$ e aplicando a questão 3 a cada um dos $n$ termos:

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
n \cdot \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} =
\frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .
$$

**5.** $G_n$ é $\mathcal N(0,1)$ *exatamente* para todo $n$ (uma soma normalizada de [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) padrão [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence), [Exercício 23.3](#exo-b3-clt-3)), de modo que $\E f(G_n) = \E f(N)$ e a questão 4 se lê $\abs{\E f(T_n) - \E f(N)} \leq
\frac{M_3(\beta+\gamma)}{6\sqrt n} \to 0$ para $f \in
\mathcal C^3_b$. *Elevação.* Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada, $M = \sup\abs f$, $\varepsilon > 0$. Escolha $A
\geq 1$ com $\frac1{A^2} \leq \varepsilon$: Chebyshev com $\V(T_n) = 1$ dá $\P(\abs{T_n} > A) \leq \varepsilon$ para todo $n$, e do mesmo modo $\P(\abs N > A) \leq \varepsilon$. Seja $\chi$ de classe $\mathcal C^\infty$ com $\mathbf 1_{\intcc{-A}A} \leq \chi \leq
\mathbf 1_{\intcc{-A-1}{A+1}}$ (um platô suave, construído regularizando $\mathbf 1_{\intcc{-A-\frac12}{A+\frac12}}$, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization)); $g = f\chi$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), logo uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), de modo que sua regularização $g_\eta = g * \rho_\eta$ é $\mathcal
C^\infty$ com derivadas limitadas de todas as ordens e $\norm{g - g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ para $\eta$ pequeno o bastante. Para $T = T_n$ ou $N$, como $f = g$ em $\intcc{-A}A$ e $\abs{f - g} \leq 2M$ em toda parte:

$$
\bigl|\E f(T) - \E g_\eta(T)\bigr| \leq
\E\abs{(f - g)(T)} + \norm{g - g_\eta}_\infty
\leq 2M\,\P(\abs T > A) + \varepsilon \leq
(2M + 1)\,\varepsilon .
$$

Combinando com $\E g_\eta(T_n) \to \E g_\eta(N)$ (a questão 4 se aplica: $g_\eta \in \mathcal C^3_b$):

$$
\limsup_n\;\bigl|\E f(T_n) - \E f(N)\bigr| \leq
2(2M + 1)\,\varepsilon ,
$$

e $\varepsilon$ era arbitrário: $\E f(T_n) \to \E f(N)$ para toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada, isto é, $T_n \Rightarrow
\mathcal N(0,1)$.

**6.** A distribuição idêntica entrou apenas por uma frase: “$X_i$ e $N_i$ têm os mesmos dois primeiros momentos”. Sejam então $X_1, \dots, X_n$ [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence), centradas, de variâncias $\sigma_i^2$ e terceiros momentos finitos, $s_n^2 = \sum_i\sigma_i^2 > 0$, e tome $N_i \sim
\mathcal N(0, \sigma_i^2)$ [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) de tudo. Defina os híbridos com normalização $s_n$: $H_i =
\frac1{s_n}(\sum_{j\leq i}X_j + \sum_{j>i}N_j)$. Na $i$-ésima troca, $\E X_i = \E N_i = 0$ e $\E X_i^2 = \E N_i^2
= \sigma_i^2$ matam de novo os termos em $f'$ e $f''$, e o resto dá (usando $\E\abs{N_i}^3 = \sigma_i^3\gamma$ por escala):

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\frac{M_3}{6\,s_n^3}\bigl(\E\abs{X_i}^3 +
\sigma_i^3\gamma\bigr) .
$$

Telescopando:

$$
\Bigl|\E f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{s_n}\Bigr) -
\E f(N)\Bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\sum_{i=1}^n
\Bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\,\gamma\Bigr) .
$$

Como $\sigma_i^3 = (\E X_i^2)^{3/2} \leq \E\abs{X_i}^3$ (a desigualdade das médias de potências, isto é, Jensen para $t \mapsto
t^{3/2}$ aplicado a $X_i^2$), o membro direito é no máximo $\frac{M_3(1 + \gamma)}{6}\cdot
\frac{\sum_i\E\abs{X_i}^3}{s_n^3}$: sob a *condição de Lyapunov* $\frac1{s_n^3}\sum_i\E\abs{X_i}^3 \to 0$, as somas normalizadas convergem em lei para $\mathcal N(0,1)$ — o TCL sem distribuição idêntica.

**7.** Seja $\rho \in \mathcal C^\infty_c(\intoo01)$ com $\int\rho = 1$ e ponha $\psi(x) = \int_x^1\rho(s)\dd
s$: $\psi$ é $\mathcal C^\infty$, não crescente, $\psi = 1$ em $\R_-$, $\psi = 0$ em $\intco1\infty$; seja $K =
\norm{\psi'''}_\infty$. Para $t \in \R$ e $\delta > 0$ defina $\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$ e $\tilde\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta +
1\bigr)$: estas são $\mathcal C^3_b$ com terceira derivada limitada por $K/\delta^3$, e

$$
\mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t-\delta}} \leq
\tilde\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq
\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t+\delta}} .
$$

Cota superior: pela questão 4 aplicada a $\psi_\delta$ (com $M_3 = K/\delta^3$),

$$
\P(T_n \leq t) \leq \E\psi_\delta(T_n) \leq
\E\psi_\delta(N) + \frac{K(\beta +
\gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n}
\leq \Phi(t + \delta) + \frac{K(\beta +
\gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n}
\leq \Phi(t) + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} +
\frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n},
$$

pois $\Phi$ é lipschitziana de constante $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ (sua [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) é limitada por $\frac1{\sqrt{2\pi}}$). A cota inferior simétrica, via $\tilde\psi_\delta$, dá a estimativa de dois termos

$$
\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq
\frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot\frac{1}{\delta^3\sqrt n} +
\frac{\delta}{\sqrt{2\pi}}
\qquad(\delta > 0\ \text{arbitrário}).
$$

Os dois termos se equilibram quando $\delta^{-3}n^{-1/2} \asymp
\delta$, isto é, $\delta = n^{-1/8}$: ambos são então $O(n^{-1/8})$, uma taxa uniforme explícita válida para todo $n$. (A taxa ótima de Berry–Esseen $C\beta/\sqrt n$ exige a desigualdade de suavização de Fourier; a troca cede em nitidez em favor da [completa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) elementaridade.)

**8.** Para $X_i = 2B_i - 1$ (sinais honestos): centrada, variância $1$, e $\abs{X_i} = 1$, de modo que $\beta = 1$. A questão 7 então limita $\sup_t\abs{\P(\frac{S_n}{\sqrt n} \leq t) -
\Phi(t)}$ explicitamente e uniformemente para *todo* $n$ finito — um enunciado global e não assintótico sobre a função de distribuição. A estimativa local do [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#pb-b3-product-1), questão 7, dá, em vez disso, a assintótica exata de um átomo individual, $\P(S_{2n} = 2k) \sim
\frac{\eu^{-k^2/n}}{\sqrt{\pi n}}$: ela resolve probabilidades de tamanho $n^{-1/2}$, muito abaixo da resolução $n^{-1/8}$ da questão 7, mas é pontual, assintótica (sem erro explícito em $n$ fixo) e presa a essa lei reticulada particular. Precisão local contra uniformidade global: os dois métodos são complementares, e somar a estimativa local sobre $k \in \intint{a\sqrt n}{b\sqrt n}$ recupera de Moivre–Laplace em intervalos — com taxa mais fina, mas só para essa lei.

**9.** O argumento de troca nada usou sobre a lei dos $X_i$ além de $\E X_i = 0$, $\E X_i^2 = 1$ e da finitude de $\E\abs{X_i}^3$: se tivéssemos substituído as [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) $N_i$ por qualquer outra família i.i.d. com os mesmos dois primeiros momentos e terceiro momento finito, o mesmo telescópio limitaria $\abs{\E f(\text{soma}_X) - \E f(\text{soma}_Y)}$ por $O(n^{-1/2})$ para toda $f$ suave. Estatísticas suaves de grandes somas [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) são, portanto, *universais*: a menos de um erro quantificado, elas dependem da lei das parcelas apenas através de dois números. Esse é o princípio de invariância: demonstre um teorema-limite para a lei mais calculável (a [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector), em que tudo é exato) e depois transfira-o a todas as leis por troca. O mesmo esquema — com somas substituídas por funcionais mais elaborados — move a lei do semicírculo de Wigner para matrizes aleatórias, a universalidade das raízes de polinômios aleatórios e boa parte da probabilidade moderna; o teorema central do limite é sua primeira e mais simples instância.

**10.** $Z$ é função boreliana apenas de $(N_{i+1}, \dots,
N_n)$, ao passo que $A = W_i + \theta h - Z$ e $h$ são funções das variáveis restantes da família [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$: pelo princípio das coalizões ([Teorema 22.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-b3-probability-independence)), $Z$ é [independente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) de $(A, h)$. Como soma das [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) $N_j/\sqrt n \sim \mathcal N(0, \frac1n)$, $Z \sim \mathcal
N(0, s^2)$ com $s^2 = \frac{n-i}n$ ([Exercício 23.3](#exo-b3-clt-3)), de [densidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ex-b3-lebesgue-gamma) limitada por $\frac1{s\sqrt{2\pi}}$. A lei de $((A, h), Z)$ é o produto das duas leis marginais, de modo que Tonelli (transferência) congela o primeiro bloco: com $G(a) =
\E\abs{g(a + Z)} = \int\abs{g(a + z)}\,\varphi_s(z)\,\dd z
\leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}$ para todo $a$,

$$
\E\bigl[\abs h^3\abs{g(A + Z)}\bigr] =
\E\bigl[\abs h^3\,G(A)\bigr] \leq
\frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}\,\E\abs h^3
= \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm g_{L^1}\,\E\abs h^3 .
$$

**11.** A forma integral da fórmula de Taylor decorre de integrar $f(w + h) - f(w) =
h\int_0^1f'(w + \theta h)\,\dd\theta$ por partes duas vezes em $\theta$. Tomando [esperanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-space) na $i$-ésima troca, as ordens $0, 1, 2$ se cancelam exatamente como na questão 3, e os dois restos (para $h = X_i/\sqrt n$ e $N_i/\sqrt n$) são limitados, para $i \leq n - 1$, pela questão 10 com $g = f'''$:

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\int_0^1\frac{(1-\theta)^2}2\,\dd\theta\;
\sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1}
\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}}
= \frac{\beta + \gamma}{6\,n^{3/2}}
\sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} .
$$

Somando, com $\sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{\frac n{n-i}} =
\sqrt n\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2n$, e acrescentando a cota da questão 3 para a última troca ($i = n$, sem [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) restante):

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
\frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} +
\frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} .
$$

Rampas: $\psi_\delta'''(x) =
\delta^{-3}\psi'''\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$, de modo que $M_3 = K\delta^{-3}$ com $K = \norm{\psi'''}_\infty$ e $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = \delta^{-2}
\norm{\psi'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ (substituição). O sanduíche da questão 7 dá então

$$
\sup_t\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq
\frac{K_1(\beta + \gamma)}{3\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac1{\delta^2\sqrt n} +
\frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot
\frac1{\delta^3n^{3/2}} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}} .
$$

Em $\delta = n^{-1/6}$, o primeiro e o terceiro termos são $O(n^{-1/6})$ e o do meio $O(n^{-1})$: uma taxa uniforme $O(n^{-1/6})$, estritamente melhor que o $n^{-1/8}$ da questão 7 — a metade [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) do híbrido fez a suavização extra.

**12.** $\E N_1^3 = 0$ (integrando ímpar), e a integração por partes dá $\E N_1^4 = 3\,\E N_1^2 = 3$ ($\int x^3\cdot x\varphi(x)\dd x =
3\int x^2\varphi$). Para $f$ de classe $\mathcal C^4$ com derivadas limitadas, expanda cada troca até a quarta ordem: os termos de terceira ordem carregam o fator $\E X_i^3 - \E N_i^3 =
0$ (a [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) os fatora como na questão 3), de modo que só o resto de quarta ordem $\int_0^1\frac{(1-\theta)^3}6f^{(4)}(w + \theta
h)h^4\dd\theta$ sobrevive, com $\int_0^1
\frac{(1-\theta)^3}6\dd\theta = \frac1{24}$ e $\E h^4 =
\beta_4n^{-2}$ ou $3n^{-2}$. A questão 10 (com $g =
f^{(4)}$) limita as trocas por $i \leq n - 1$ e, somando como na questão 11:

$$
\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq
\frac{\beta_4 + 3}{12\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac{\norm{f^{(4)}}_{L^1}}{n} +
\frac{M_4(\beta_4 + 3)}{24\,n^2} .
$$

Com $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ e $M_4 = K'\delta^{-4}$, a cota para a função de distribuição se torna $C\delta^{-3}n^{-1} + C'\delta^{-4}n^{-2} +
\frac\delta{\sqrt{2\pi}}$; em $\delta = n^{-1/4}$, os termos extremos são $O(n^{-1/4})$ e o do meio $O(n^{-1})$: taxa $O(n^{-1/4})$.

**13.** Com $k$ momentos coincidentes, o resto sobrevivente por troca é da ordem de $\E\abs h^{k+1} \asymp
n^{-(k+1)/2}$; a cota da [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) oculta cobra $\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}$ e a soma sobre as trocas contribui com o fator $2n$, dando $\asymp\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}\,
n^{-(k-1)/2}$ para $f$ suave. As rampas custam $\norm{\psi_\delta^{(k+1)}}_{L^1} \asymp \delta^{-k}$, de modo que o erro na função de distribuição é $\asymp
\delta^{-k}n^{-(k-1)/2} + \delta$, equilibrado em $\delta =
n^{-(k-1)/(2k+2)}$: taxa $n^{-(k-1)/(2k+2)}$, que é $n^{-1/6}$ para $k = 2$, $n^{-1/4}$ para $k = 3$, e tende a $n^{-1/2}$ apenas quando $k \to \infty$ — mas $k \geq 4$ forçaria $\E X_1^4 = 3$ e além, isto é, uma lei que já imita a [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector). A saturação é estrutural: a troca soma $n$ erros de troca *em valor absoluto*, renunciando a todo cancelamento entre trocas. A demonstração de Fourier compara [funções características](#def-b3-clt-cf), em que os erros aparecem com suas fases oscilantes; a desigualdade de suavização de Esseen converte $\abs{\varphi_{T_n}
- \varphi_N}$, integrado contra $\frac{\dd\xi}{\abs\xi}$, numa cota para a função de distribuição a custo apenas logarítmico, e entrega o $C\beta n^{-1/2}$ de Berry–Esseen a partir de três momentos. A substituição troca a otimalidade pela robustez — e, como a Parte VII mostra, pela portabilidade.

**14.** $\Sigma$ é simétrica semidefinida positiva; com $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ ($P$ ortogonal, $D \geq 0$ diagonal, [Exercício 20.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#exo-b3-submanifolds-8)), a simétrica $C =
P\sqrt DP^{\mathsf T}$ satisfaz $C^2 = \Sigma$. Para qualquer $t
\in \R^2$, $\langle t, CZ\rangle = \langle Ct, Z\rangle =
(Ct)_1Z^1 + (Ct)_2Z^2$ é uma combinação linear de [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence), logo [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) ([Exercício 23.3](#exo-b3-clt-3)): $N = CZ$ é um [vetor gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector); sua média é $0$ e sua covariância, $\E[NN^{\mathsf T}] =
C\,\E[ZZ^{\mathsf T}]\,C^{\mathsf T} = CC^{\mathsf T} =
\Sigma$. Momentos: $\norm N^3 \leq (\abs{N_1} +
\abs{N_2})^3 \leq 4(\abs{N_1}^3 + \abs{N_2}^3)$ (convexidade de $x^3$ em $\R_+$), e cada coordenada é uma [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) real com momentos de todas as ordens ([Exercício 11.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/11-medidas-produto-fubini-mudanca-de-variaveis#exo-b3-product-10)): $\gamma' < \infty$. Por fim, cada $\langle t, G_n\rangle = \frac1{\sqrt
n}\sum_i\langle t, N_i\rangle$ é uma soma normalizada de $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ i.i.d., logo exatamente $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$: $G_n$ é um [vetor gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) de média $0$ e covariância $\Sigma$, e sua lei é $\mathcal N(0, \Sigma)$ ([Definição 23.10](#def-b3-clt-gaussianvector): a lei é determinada por esses dados).

**15.** Sejam $\phi(t) = f(w + th)$, $t \in \intcc01$: $\phi$ é $\mathcal C^3$ com

$$
\phi'''(t) = \sum_{j,k,l\in\{1,2\}}\partial_{jkl}f(w +
th)\,h_jh_kh_l, \qquad \abs{\phi'''(t)} \leq
M_3\Bigl(\sum_j\abs{h_j}\Bigr)^3 = M_3(\abs{h_1} +
\abs{h_2})^3 .
$$

Taylor–Lagrange de ordem $3$ para $\phi$ entre $0$ e $1$ dá a primeira desigualdade; Cauchy–Schwarz dá $\abs{h_1} + \abs{h_2} \leq \sqrt2\norm h$, donde a constante $\frac{2\sqrt2M_3}6 = \frac{\sqrt2M_3}3$.

**16.** Defina $H_i$ e $W_i$ como na questão 1, agora em $\R^2$; o argumento das coalizões não muda. Na $i$-ésima troca, os termos de primeira ordem dão $\sum_j\E[\partial_jf(W_i)]\,(\E X_{i,j} - \E N_{i,j})/
\sqrt n = 0$ e os de segunda ordem dão $\frac1{2n}\sum_{j,k}\E[\partial_{jk}f(W_i)]\,(\Sigma_{jk}
- \Sigma_{jk}) = 0$: médias e covariâncias coincidem. A questão 15 limita os dois restos:

$$
\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq
\frac{\sqrt2M_3}3\cdot\frac{\E\norm{X_i}^3 +
\E\norm{N_i}^3}{n^{3/2}}
= \frac{\sqrt2M_3(\beta' + \gamma')}{3\,n^{3/2}},
$$

e, telescopando sobre as $n$ trocas:

$$
\Bigl|\E f\Bigl(\frac{S_n}{\sqrt n}\Bigr) - \E
f(G_n)\Bigr| \leq \frac{\sqrt2\,M_3(\beta' +
\gamma')}{3\sqrt n},
\qquad G_n \sim \mathcal N(0, \Sigma)\ \text{exatamente} .
$$

Elevação: $\E\norm{T_n}^2 = \E\norm{X_1}^2 =
\operatorname{tr}\Sigma$ (os termos cruzados se anulam por [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) e centragem), de modo que $\P(\norm{T_n} > A) \leq
\operatorname{tr}\Sigma/A^2$, e do mesmo modo para $N$: tensão. Dados uma $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada e $\varepsilon
> 0$, multiplique por um platô suave $\chi$ igual a $1$ na bola de raio $A$ e com suporte no raio $A + 1$ (regularize uma indicadora em $\R^2$, [Teorema 12.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#thm-b3-lp-regularization)); $g = f\chi$ é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de suporte [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), de modo que sua regularização bidimensional $g_\eta$ é $\mathcal C^\infty$ com derivadas limitadas de todas as ordens e $\norm{g - g_\eta}_\infty
\leq \varepsilon$ para $\eta$ pequeno. A cadeia de três $\varepsilon$ da questão 5 se transfere então literalmente: $\E f(T_n)
\to \E f(N)$ para toda $f \colon \R^2
\to \R$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada. Esse é o [Teorema 23.12](#thm-b3-clt-multiclt) para $d = 2$, agora demonstrado — a troca contorna o teorema de Lévy bidimensional que o capítulo havia deixado admitido.

**17.** Para $g \colon \R \to \R$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada, a aplicação $x \mapsto g(\langle t, x\rangle)$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) limitada em $\R^2$, de modo que a questão 16 dá $\E g(\langle
t, T_n\rangle) \to \E g(\langle t, N\rangle)$: toda projeção converge em distribuição, e $\langle t,
N\rangle \sim \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$. (Essa é a direção fácil de Cramér–Wold: a convergência conjunta implica a convergência de todas as imagens lineares.) Aplicação: $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ são vetores i.i.d. centrados ($\E\xi_1^2 = 1$), com entradas de covariância $\V(\xi_1) =
1$, $\operatorname{Cov}(\xi_1, \xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^3$ e $\V(\xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^4 - 1$; o terceiro momento $\E\norm{V_1}^3 \leq 4\bigl(\E\abs{\xi_1}^3 +
\E\abs{\xi_1^2 - 1}^3\bigr)$ é finito quando $\xi_1 \in
L^6$. A questão 16 fornece o limite [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) conjunto em destaque, e o [Teorema 23.11](#thm-b3-clt-gaussianvector)(2): as duas coordenadas do limite são [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) exatamente quando a covariância $\E\xi_1^3$ se anula — para leis simétricas, média empírica e variância empírica se desacoplam assintoticamente.

**18.** Escreva $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) +
\eta(x))(x - \theta)$, em que $\eta(x) = \frac{g(x) -
g(\theta)}{x - \theta} - g'(\theta)$ para $x \neq \theta$ e $\eta(\theta) = 0$: a derivabilidade em $\theta$ significa precisamente $\eta(x) \to 0$ quando $x \to \theta$. *Passo 1:* $\hat\theta_n \to \theta$ em probabilidade: para $\varepsilon > 0$ e qualquer $A > 0$, a partir de certa ordem $\varepsilon\sqrt n \geq A$, de modo que $\P(\abs{\hat\theta_n -
\theta} > \varepsilon) \leq \P(\abs{\sqrt
n(\hat\theta_n - \theta)} > A) \to \P(\sigma\abs N > A)$ (as funções de distribuição convergem nos pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\pm A$), e o membro direito tende a $0$ quando $A \to
\infty$. *Passo 2:* $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ em probabilidade: dado $\varepsilon' > 0$, tome $\delta$ com $\abs\eta \leq \varepsilon'$ em $\abs{x - \theta} \leq
\delta$; então $\P(\abs{\eta(\hat\theta_n)} > \varepsilon')
\leq \P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \delta) \to 0$. *Passo 3:*

$$
\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) =
g'(\theta)\,\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) +
\eta(\hat\theta_n)\cdot\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) .
$$

Pela regra do produto de Slutsky ([Exercício 23.8](#exo-b3-clt-8), com a sequência $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ em probabilidade e a $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)$ convergente em lei), o segundo termo converge em lei para $0\cdot\mathcal N(0,
\sigma^2) = 0$, logo para $0$ em probabilidade ([Exercício 23.4](#exo-b3-clt-4)(b)); o primeiro converge em lei para $g'(\theta)\mathcal N(0, \sigma^2)$ (Slutsky de novo, ou a regra afim para [funções características](#def-b3-clt-cf)); a regra da soma de Slutsky os reúne: o limite é $\mathcal N(0,
g'(\theta)^2\sigma^2)$.

**19.** (a) O TCL dá $\sqrt n(\bar X_n - \mu)
\Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$; o método delta com $g(x) = x^2$, $g'(\mu) = 2\mu$, dá $\sqrt n(\bar
X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ — degenerado (limite $0$) quando $\mu = 0$. Nesse caso, a flutuação vive uma escala acima: $n\bar X_n^2 =
(\sqrt n\,\bar X_n)^2$ e, para $t > 0$,

$$
\P\bigl(n\bar X_n^2 \leq t\bigr) = \P\bigl(-\sqrt t \leq
\sqrt n\,\bar X_n \leq \sqrt t\bigr) \longrightarrow
\Phi\Bigl(\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) -
\Phi\Bigl(-\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) = \P(\sigma^2N^2
\leq t) :
$$

$n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$, o quadrado de uma [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) (uma lei “qui-quadrado”) — quando a primeira derivada morre, o termo de segunda ordem de Taylor dita um limite não [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector). (b) Aqui $\sqrt n(\hat p_n - p)
\Rightarrow \mathcal N(0, p(1 - p))$ e $g(p) =
\arcsin\sqrt p$ tem $g'(p) = \frac1{2\sqrt{p(1 - p)}}$, de modo que $g'(p)^2\,p(1 - p) = \frac14$: o limite é $\mathcal
N(0, \frac14)$ para todo $p \in \intoo01$. Na escala $\arcsin$, a barra de erro assintótica de $95\%$ é $\pm
\frac{0.98}{\sqrt n}$, conhecida de antemão — ao passo que, no [Exemplo 23.9](#ex-b3-clt-confidence), a largura envolvia o desconhecido $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$, a ser majorado por $\frac12$ ou estimado: a transformação *estabiliza* a variância.

**20.** Sejam $A^* = \{k : \mu(\{k\}) > \nu(\{k\})\}$ e $\Delta_k = \mu(\{k\}) - \nu(\{k\})$, de modo que $\sum_k\Delta_k = 0$. Para qualquer $A \subseteq \N$: $\mu(A) -
\nu(A) = \sum_{k\in A}\Delta_k \leq \sum_{k\in
A^*}\Delta_k$, com igualdade em $A = A^*$; e, como as partes positiva e negativa de $(\Delta_k)$ têm massa total igual, $\sum_{A^*}\Delta_k =
\frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$. Trocar $\mu, \nu$ cuida do sinal: $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) =
\frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$. Acoplamento: para qualquer $A$,

$$
\mu(A) - \nu(A) = \E\bigl[\mathbf 1_A(X) - \mathbf
1_A(Y)\bigr] = \E\bigl[(\mathbf 1_A(X) - \mathbf
1_A(Y))\,\mathbf 1_{X\neq Y}\bigr] \leq \P(X \neq Y),
$$

e tome o supremo em $A$.

**21.** As duas leis carregam: $k = 0$: $1 - p$ contra $\eu^{-p}$, com $\eu^{-p} > 1 - p$; $k = 1$: $p$ contra $p\,\eu^{-p} < p$; $k \geq 2$: $0$ contra o resto de Poisson $1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p} \geq 0$. Logo

$$
d_{\mathrm{TV}} = \tfrac12\bigl[(\eu^{-p} - 1 + p) + (p -
p\eu^{-p}) + (1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p})\bigr] =
\tfrac12\bigl(2p - 2p\eu^{-p}\bigr) = p(1 - \eu^{-p}),
$$

e $1 - \eu^{-p} \leq p$ dá a cota $p^2$.

**22.** Escreva $H_{i-1} = W_i + X_i$ e $H_i = W_i +
Y_i$ com $W_i = \sum_{j<i}Y_j + \sum_{j>i}X_j$, [independentes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence) do par $(X_i, Y_i)$ (coalizões). Para $A
\subseteq \N$, condicionando aos valores em quantidade enumerável por [independência](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-b3-probability-independence),

$$
\P(H_{i-1} \in A) = \sum_{k\geq0}\P(X_i = k)\,\P(W_i + k
\in A),
$$

e do mesmo modo para $H_i$ com $Y_i$. Subtraindo, com $c_k
= \P(W_i + k \in A) \in \intcc01$ e $\Delta_k = \P(X_i =
k) - \P(Y_i = k)$ de soma nula:

$$
\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} =
\Bigl|\sum_k\Delta_k\bigl(c_k - \tfrac12\bigr)\Bigr| \leq
\tfrac12\sum_k\abs{\Delta_k} =
d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal
P(p_i)\bigr) .
$$

Telescopando de $H_0 = S$ a $H_n = \sum_iY_i \sim
\mathcal P(\lambda)$ ([Exercício 23.1](#exo-b3-clt-1), iterado) e usando a questão 21:

$$
\abs{\P(S \in A) - \P(\mathcal P(\lambda) \in A)} \leq
\sum_{i=1}^np_i\bigl(1 - \eu^{-p_i}\bigr) \leq
\sum_{i=1}^np_i^2
\qquad\text{para todo } A :
$$

a desigualdade de Le Cam. (A cota por acoplamento da questão 20 dá uma rota alternativa: acople cada par numa única variável uniforme, de modo que $\P(X_i \neq Y_i) \leq p_i^2$, e limite $\P(S \neq \sum Y_i)$; a troca não precisa de construção alguma.)

**23.** (a) Com $p_i = \frac\lambda n$: $d_{\mathrm{TV}}(\text{lei de }S, \mathcal P(\lambda))
\leq \frac{\lambda^2}n$. Isso refina o [Exercício 23.5](#exo-b3-clt-5) em três frentes: um erro explícito em todo $n$ finito, uniformidade sobre todos os eventos $A$ de uma vez (não um intervalo por vez) e nenhuma necessidade de $p_i$ iguais — apenas $\sum_ip_i^2$ pequeno, por exemplo $\sum p_i^2 \leq
\lambda\max_ip_i$: *muitos eventos raros, nenhum dominante*. (b) Aqui $n = 500$, $p_i = \frac1{500}$, $\lambda = 1$: o modelo de Poisson erra, no máximo, $500\cdot\frac1{500^2} = 0.002$ em todo evento; em particular, tomando $A = \{0\}$,

$$
\P(\text{nenhuma carta extraviada}) = \Bigl(1 -
\frac1{500}\Bigr)^{500},
\qquad
\Bigl|\P(\text{nenhuma carta extraviada}) - \eu^{-1}\Bigr| \leq
0.002,
$$

de modo que a resposta é $\eu^{-1} \approx 0.368$ a menos de $0.002$ garantidos (a discrepância verdadeira é cerca de $4\cdot10^{-4}$). (c) O problema se fecha sobre um único método com dois regimes. Quando $n$ contribuições comparáveis carregam, cada uma, variância $\frac1n$, casar *dois* momentos com a [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) torna os erros de troca $o(\frac1n)$ cada: as somas viram [gaussianas](#def-b3-clt-gaussianvector) — com Taylor como ferramenta de comparação local. Quando $n$ contribuições são indicadoras de probabilidade $p_i$, casar a *média* com um átomo de Poisson faz cada troca custar $p_i^2$: as contagens de eventos raros viram Poisson — com a variação total como comparação local exata. Mesmos híbridos, mesmo telescópio, estimativa local diferente: a substituição é uma estratégia, não um teorema, e os limites [gaussiano](#def-b3-clt-gaussianvector) e de Poisson são seus dois dividendos mais antigos.

**24.** O TCL dá $\sqrt n(\bar X_n - \mu)
\Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$, e $g(x) = \ln x$ é derivável em $\mu > 0$ com $g'(\mu) = \frac1\mu$: o método delta (Parte VI) fornece $\sqrt n(\ln\bar X_n - \ln\mu)
\Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2/\mu^2)$. Desenrolando o intervalo $\abs{\ln\bar X_n - \ln\mu} \leq
\frac{1.96\,\sigma}{\mu\sqrt n}$ por exponenciação:

$$
\mu \in \bar X_n\cdot
\eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)}
\qquad\text{com probabilidade assintótica } 95\%
$$

(na prática, $\sigma/\mu$ é substituído por sua versão empírica, Slutsky como no [Exercício 23.8](#exo-b3-clt-8)). O intervalo multiplicativo é o natural quando os dados são positivos com erros proporcionais a seu tamanho — rendas, concentrações, meias-vidas: grandezas que vivem em escala logarítmica, em que intervalos aditivos simétricos poderiam até cruzar o zero.

**25.** $\E[(X - p)^3] = (1-p)^3p + (-p)^3(1 - p) =
p(1-p)\bigl[(1-p)^2 - p^2\bigr] = p(1-p)(1 - 2p)$. Na análise por troca (Parte IV), o termo de erro dominante, após casar dois momentos, carrega o terceiro momento *com sinal*: para $p < \frac12$ ele é positivo (a lei pende à direita: excursões grandes e raras acima da média), e a aproximação normal desloca sistematicamente a massa — subestimando a cauda esquerda, curta, e superestimando a direita — com erro da ordem de $n^{-1/2}$; em $p =
\frac12$, o terceiro momento se anula, a Bernoulli casa com a [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) até a terceira ordem, e a taxa melhora (a questão dos momentos coincidentes da Parte IV). Numericamente: $\P(S = 0) =
0.9^{20} = 0.1216$, ao passo que a [gaussiana](#def-b3-clt-gaussianvector) $\mathcal N(2, 1.8)$ dá $\Phi\bigl(\frac{0.5 -
2}{\sqrt{1.8}}\bigr) = \Phi(-1.118) \approx 0.132$: a curva normal, ignorante da parede em $0$ e da assimetria à direita, põe massa demais embaixo — o sinal previsto do erro, visível em $n = 20$.