--- title: "Módulos sobre um domínio de ideais principais" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 3 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais --- # Capítulo 3 — Módulos sobre um domínio de ideais principais Álgebra linear sobre um *anel* em vez de um corpo: essa pequena mudança de hipótese produz um dos grandes teoremas de unificação da álgebra. Um [módulo](#def-b3-modules-module) sobre $\Z$ é um grupo abeliano; um [módulo](#def-b3-modules-module) sobre $K[X]$ é um espaço vetorial munido de um endomorfismo. O teorema de estrutura dos [módulos finitamente gerados](#def-b3-modules-free) sobre um [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) classifica, portanto, de uma só vez, todos os grupos abelianos [finitamente gerados](#def-b3-modules-free) *e* todos os endomorfismos a menos de semelhança — a redução de Jordan, que o segundo ano obteve por induções delicadas, cai como corolário, junto com sua irmã mais sutil, a forma canônica *racional*, válida sobre todo corpo. O motor computacional é a [forma normal de Smith](#thm-b3-modules-smith), uma aritmética de matrizes digna de Euclides. Ao longo de todo o capítulo, $A$ é um anel comutativo, em breve um [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd); “[módulo](#def-b3-modules-module)” significa $A$-módulo. ## 3.1 Módulos, módulos livres **Definição 3.1.** Um *$A$-módulo* é um grupo abeliano $(M, +)$ com uma multiplicação escalar $A \times M \to M$ que satisfaz os axiomas de espaço vetorial: $a(x + y) = ax + ay$, $(a + b)x = ax + bx$, $(ab)x = a(bx)$, $1x = x$. Submódulos, quocientes $M/N$, morfismos (aplicações $A$-lineares), somas diretas $\bigoplus_i M_i$ e os teoremas de isomorfismo definem-se e demonstram-se palavra por palavra como para espaços vetoriais e grupos abelianos; em particular, $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ para um morfismo $f$. **Exemplo 3.2.** Os três casos motivadores. 1. $A = K$ um corpo: os [módulos](#def-b3-modules-module) são os espaços vetoriais. 2. $A = \Z$ : os [módulos](#def-b3-modules-module) são exatamente os grupos abelianos ( $nx$ é obrigado a valer $x + \dots + x$ ), e os submódulos são os subgrupos. 3. $A = K[X]$ : um [módulo](#def-b3-modules-module) é um $K$ -espaço vetorial $V$ munido da aplicação $K$ -linear $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — reciprocamente, todo par $(V, u)$ com $u \in \mathcal L(V)$ torna-se um $K[X]$ -módulo por $P \cdot x = P(u)(x)$ . Os submódulos são precisamente os subespaços $u$ -estáveis. Um [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) de $A$ é exatamente um submódulo de $A$; um [anel quociente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $A/I$ é um $A$-módulo. Ao contrário dos espaços vetoriais, os [módulos](#def-b3-modules-module) podem ter *[torção](#def-b3-modules-torsion)*: em $\Z/6\Z$, o elemento $\bar 3 \ne 0$ é aniquilado por $2 \neq 0$. **Definição 3.3.** $M$ é *finitamente gerado* se $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ para certos $x_i$. $M$ é *livre* de posto $n$ se $M \cong A^n$, isto é, se admite uma *base* (uma família geradora $A$-linearmente independente). Todo $M$ finitamente gerado é quociente de um [módulo](#def-b3-modules-module) livre: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ leva $A^n$ sobre $M$. **Proposição 3.4 (Invariância do posto).** Se $A \neq 0$ e $A^m \cong A^n$, então $m = n$. **Demonstração.** Escolha um [ideal maximal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-primemaximal) $\mathfrak m$ de $A$ ([Teorema 2.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-krull)) e ponha $k = A/\mathfrak m$, um corpo. Um isomorfismo $f \colon A^m \to A^n$ leva $\mathfrak m A^m$ em $\mathfrak m A^n$ (linearidade), logo induz um isomorfismo de quocientes $$ A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{isto é}\qquad k^m \cong k^n $$ como $k$-espaços vetoriais (o quociente $A^m/\mathfrak m A^m$ é aniquilado por $\mathfrak m$, de modo que a ação de $A$ se fatora por $k$; as imagens da base canônica formam uma $k$-base). A teoria da dimensão sobre o corpo $k$ dá $m = n$. ∎ **Teorema 3.5 (Submódulos de módulos livres).** Sejam $A$ um [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) e $M \subseteq A^n$ um submódulo. Então $M$ é [livre](#def-b3-modules-free) de posto $\leq n$. **Demonstração.** Indução sobre $n$. Para $n = 1$: $M$ é um [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal), logo $M = (0)$ ([livre](#def-b3-modules-free) de posto $0$) ou $M = dA \cong A$ ($x \mapsto dx$ é injetora, por se tratar de um domínio). Para $n > 1$: seja $\pi \colon A^n \to A$ a última coordenada. Então $\pi(M)$ é um [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal), $(0)$ ou $dA$. Se for $(0)$: $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ e a indução se aplica. Caso contrário, escolha $x_0 \in M$ com $\pi(x_0) = d$. Todo $x \in M$ se escreve de maneira única $$ x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi $$ ($\pi(x) \in dA$, de modo que o coeficiente está em $A$). Assim $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$: a soma é direta, pois $\pi(ax_0) = ad = 0$ força $a = 0$. Por indução, $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ é [livre](#def-b3-modules-free) de posto $\leq n - 1$; adjungindo $x_0$ (independente de $\ker\pi$, como acabamos de ver) obtém-se uma base de $M$ de cardinalidade $\leq n$. ∎ **Observação 3.6.** Consequentemente, sobre um [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd), todo [módulo finitamente gerado](#def-b3-modules-free) $M$ admite uma *apresentação finita*: uma sobrejeção $\varphi\colon A^n \to M$ tem núcleo [livre](#def-b3-modules-free) com base $c_1, \dots, c_k$ ($k \leq n$), e $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$, onde $C \in M_{n,k}(A)$ é a matriz cujas colunas são os $c_j$. Compreender $M$ significa compreender uma *matriz sobre $A$* a menos de mudanças de base na fonte e no alvo — o assunto da próxima seção. ## 3.2 Forma normal de Smith **Definição 3.7.** Duas matrizes $B, C \in M_{n,k}(A)$ são *equivalentes* se $C = QBP$ com $Q \in GL_n(A)$, $P \in GL_k(A)$ (inversíveis *sobre $A$*: determinante em $A^\times$). Matrizes de apresentação equivalentes definem [módulos](#def-b3-modules-module) isomorfos $A^n/ \operatorname{im}$ (mudanças de base em $A^n$ e em $A^k$). **Teorema 3.8 (Forma normal de Smith).** Sejam $A$ um [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) e $B \in M_{n,k}(A)$. Então $B$ é equivalente a uma matriz diagonal $$ \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 , $$ e os $d_i$ são únicos a menos de [associados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): $d_1 \cdots d_i$ é um mdc dos menores $i \times i$ de $B$ (em particular, esse mdc é um invariante da equivalência). Os $d_i$ são os *fatores invariantes* de $B$. **Demonstração.** *Existência.* Se $B = 0$, nada há a fazer. Caso contrário, considere o conjunto dos [ideais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $(b)$ gerados pelas entradas das matrizes equivalentes a $B$; como $A$ é [noetheriano](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-noetherian), escolha uma matriz $B'$ equivalente a $B$ e uma entrada $d$ de $B'$ com $(d)$ *maximal* nesse conjunto. Leve $d$ à posição $(1,1)$ por trocas de linhas e de colunas. *Afirmação: $d$ divide toda entrada de $B'$.* Primeiro, a coluna 1: se $b_{i1}$ não é múltiplo de $d$, seja $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), de modo que $(e) \supsetneq (d)$. O truque da matriz $2 \times 2$: agir sobre as linhas $1$ e $i$ por $$ \begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr) $$ produz uma matriz equivalente com entrada $e$ na posição $(1,1)$: isso contradiz a maximalidade de $(d)$. Logo $d$ divide a coluna $1$ e, simetricamente, a linha $1$. Subtrair múltiplos da linha 1 e da coluna 1 as anula: $B'$ é equivalente a $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$. Em seguida, $d$ divide toda entrada $b$ de $B''$: some a linha de $b$ à linha 1 (uma operação elementar; a nova primeira linha contém $d$ e entradas $b$) e repita o argumento de limpeza de coluna: um não múltiplo melhoraria de novo $(d)$. Agora faça indução sobre o tamanho: $B''$, cujas entradas são todas divisíveis por $d$, tem uma forma de Smith $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ cujas entradas permanecem divisíveis por $d$ (toda entrada de qualquer $QB''P$ é uma $A$-combinação de entradas de $B''$); ponha $d_1 = d$. *Unicidade.* Denote por $D_i(B)$ um mdc de todos os menores $i \times i$. As operações de linha e de coluna e, mais geralmente, a multiplicação por *qualquer* matriz não podem diminuir o mdc: os menores $i \times i$ de $QB$ são $A$-combinações dos de $B$ (desenvolvimento de Cauchy–Binet; ou diretamente: cada linha de $QB$ é uma combinação de linhas de $B$, e os menores são multilineares nas linhas). Logo $D_i(QBP)$ e $D_i(B)$ dividem-se mutuamente: $D_i$ é um invariante de equivalência. Na forma diagonal, os menores $i \times i$ não nulos são os produtos de $i$ dos $d_j$, e a divisibilidade $d_1 \mid \dots \mid d_r$ faz de $d_1 \cdots d_i$ o mdc. Portanto $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ a menos de unidades, e $d_i = D_i/D_{i-1}$ fica determinado. ∎ **Método 3.9.** Sobre um [domínio euclidiano](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) ($\Z$, $K[X]$), a redução de Smith é um algoritmo — não é preciso nenhum argumento de maximalidade: leve a entrada de menor tamanho euclidiano à posição $(1,1)$; se ela não dividir alguma entrada de sua linha ou de sua coluna, uma divisão euclidiana deixa ali um resto estritamente menor — troque-o para o canto e recomece (a terminação vem da diminuição dos tamanhos); quando ela dividir toda a sua linha e toda a sua coluna, anule-as; se não dividir uma entrada interna, some aquela linha à linha $1$ e recomece; faça recursão sobre o bloco interno. Na prática, para matrizes inteiras: calcule $D_1 = \gcd$ das entradas, $D_2$, … via menores para tamanhos pequenos, ou rode o algoritmo. **Exemplo 3.10 (Uma redução de Smith, por extenso).** Reduza $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sobre $\Z$. O canto $1$ divide tudo: anule sua linha e sua coluna ($L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ e, em seguida, $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$, $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$): $$ M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} . $$ No bloco interno, o canto $-3$ divide todas as entradas: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ e $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ o anulam até $\operatorname{diag}(-3, 0)$. Ajustando os sinais (multiplique uma linha por $-1$, operação legítima): $$ M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z . $$ Confira pelos divisores determinantais: $D_1 = \gcd(\text{entradas}) = 1$; todo menor $2\times2$ de $M$ é múltiplo de $3$ (por exemplo $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$) e um deles vale $-3$: $D_2 = 3$; $D_3 = \det M = 0$. Logo $d_1 = 1$, $d_2 = 3$, $d_3 = 0$: a mesma resposta. Duas lições: um fator invariante nulo registra a queda de posto (o conúcleo ganha uma parcela [livre](#def-b3-modules-free) $\Z$), e a cadeia de divisibilidade $1 \mid 3 \mid 0$ é o certificado de Smith — uma redução diagonal que viole a cadeia (digamos $\operatorname{diag}(2, 3)$, que o descuidado pode produzir a partir de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ parando cedo demais: a forma de Smith correta é $\operatorname{diag}(1, 6)$, pois $D_1 = 1$ aqui!) não está terminada. ![O sub-reticulado L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) de ℤ2 (pontos vermelhos). A forma normal de Smith de ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) é diag(1, 6): na base adaptada f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) de ℤ2, tem-se L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, logo ℤ2/L ℤ/6ℤ — o índice é igual a | | = 6, a área do domínio fundamental sombreado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-modules/fig-3901c998d682.svg) *O sub-reticulado $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ de $\Z^2$ (pontos vermelhos). A [forma normal de Smith](#thm-b3-modules-smith) de $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ é $\operatorname{diag}(1, 6)$: na base adaptada $f_1 = (1,3)$, $f_2 = (0,1)$ de $\Z^2$, tem-se $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$, logo $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — o índice é igual a $\abs{\det} = 6$, a área do domínio fundamental sombreado.* ## 3.3 O teorema de estrutura **Definição 3.11.** Sejam $A$ um domínio e $M$ um $A$-módulo. O submódulo de *torção* é $$ T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ para algum } a \neq 0\} $$ (é um submódulo: se $ax = by = 0$, então $ab(x + y) = 0$, $ab \ne 0$). $M$ é *sem torção* se $T(M) = 0$, e é um *[módulo](#def-b3-modules-module) de torção* se $T(M) = M$. **Teorema 3.12 (Estrutura dos módulos finitamente gerados sobre um DIP).** Sejam $A$ um [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) e $M$ um $A$-módulo [finitamente gerado](#def-b3-modules-free). Existem um único $r \in \N$ e elementos não nulos e não inversíveis $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$, únicos a menos de [associados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility), tais que $$ M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s). $$ Além disso, $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ e $M/T(M) \cong A^r$: um [módulo finitamente gerado](#def-b3-modules-free) *sem [torção](#def-b3-modules-torsion)* sobre um [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) é [livre](#def-b3-modules-free). **Demonstração.** *Existência.* Apresente $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ ([Observação 3.6](#rem-b3-modules-presentation)) e ponha $C$ na forma de Smith: após as duas mudanças de base, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$. Descarte os fatores em que $d_i$ é uma unidade ($A/(d_i) = 0$); a cadeia de divisibilidade sobrevive. *Identificação da [torção](#def-b3-modules-torsion).* Na decomposição, $A^r$ é sem [torção](#def-b3-modules-torsion) (um domínio não tem divisores de zero) e cada $A/(d_i)$ é de [torção](#def-b3-modules-torsion) (aniquilado por $d_i \ne 0$); uma soma direta reparte a [torção](#def-b3-modules-torsion) de acordo: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ e $M/T(M) \cong A^r$. *Unicidade de $r$*: $M/T(M) \cong A^r$ depende apenas de $M$, e a [Proposição 3.4](#prop-b3-modules-rank) fixa $r$. *Unicidade dos $d_i$*: basta tratar o [módulo de torção](#def-b3-modules-torsion) $T = T(M)$. Decomponha cada $d_i$ em primos e separe pelo teorema chinês dos restos ([Teorema 2.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-crt); primos distintos geram [ideais comaximais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-crt)): $$ A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr), $$ os *divisores elementares* $p^{k_{p,j}}$. Reciprocamente, os $d_i$ se reconstroem a partir do multiconjunto dos [divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) ($d_s$ = produto da maior potência de cada primo, etc.), de modo que basta demonstrar que o multiconjunto $\{k_{p,j}\}_j$ é determinado por $T$, para cada primo $p$. Fixe $p$; para $j \geq 1$, considere os $A/(p)$-espaços vetoriais $p^{j-1}T/p^jT$. Em um fator cíclico $A/(p^k)$: $$ p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{se } j \leq k,\\ 0 & \text{se } j > k, \end{cases} $$ e em um fator $A/(q^k)$, $q \neq p$: a multiplicação por $p$ é ali bijetora ($p$ é inversível [módulo](#def-b3-modules-module) $q^k$, por Bézout), de modo que o quociente é $0$. As somas diretas passam ao quociente: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$. Essas dimensões intrínsecas determinam o multiconjunto dos expoentes. ∎ **Corolário 3.13 (Grupos abelianos finitamente gerados).** Todo grupo abeliano [finitamente gerado](#def-b3-modules-free) é $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ com $d_1 \mid \dots \mid d_s$, de maneira única. Todo grupo abeliano *finito* é um produto de grupos cíclicos de ordem potência de primo, único como multiconjunto. **Exemplo 3.14.** Os grupos abelianos de ordem $p^n$ correspondem às *partições* de $n$: para $p^4$: $\Z/p^4$, $\Z/p^3\times\Z/p$, $(\Z/p^2)^2$, $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$, $(\Z/p)^4$ — cinco grupos, pois $4$ tem cinco partições. Ordens mistas multiplicam as contagens primo a primo (teorema chinês dos restos): há $5 \times 2$ grupos abelianos de ordem $2^4 \cdot 3^2 = 144$. ## 3.4 Aplicação: formas canônicas de endomorfismos Sejam $K$ um corpo, $V$ um $K$-espaço vetorial de dimensão finita $n$ e $u \in \mathcal L(V)$; faça de $V$ um $K[X]$-módulo por meio de $P \cdot x = P(u)(x)$ ([Exemplo 3.2](#ex-b3-modules-examples)). Esse [módulo](#def-b3-modules-module) é [finitamente gerado](#def-b3-modules-free) (uma $K$-base já o gera) e de [torção](#def-b3-modules-torsion): para cada $x$, os $n+1$ vetores $x, u(x), \dots, u^n(x)$ são $K$-dependentes, o que fornece um polinômio aniquilador não nulo. **Definição 3.15.** Para $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ mônico, a *matriz companheira* é $$ C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} : $$ a matriz da “multiplicação por $X$” em $K[X]/(P)$ na base $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$. **Teorema 3.16 (Frobenius: forma canônica racional).** Existe uma única sequência de polinômios mônicos não constantes $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (os *invariantes de semelhança* de $u$) tal que, como $K[X]$-módulos, $$ V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s): $$ e, em uma base adequada, $u$ tem matriz diagonal por blocos $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$. Além disso: 1. $P_s = \mu_u$ (polinômio minimal) e $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (polinômio característico); em particular $\mu_u \mid \chi_u$ *(Cayley–Hamilton redemonstrado)* e $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , de modo que $\chi_u$ e $\mu_u$ têm os mesmos fatores irredutíveis. 2. Dois endomorfismos (ou duas matrizes quadradas) são semelhantes se, e somente se, têm os mesmos [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) . **Demonstração.** O teorema de estrutura ([Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)) aplicado ao [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$: o [módulo de torção](#def-b3-modules-torsion) $V$ se decompõe com [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $P_i$, normalizados mônicos (as unidades de $K[X]$ são $K^\times$); não aparece parte [livre](#def-b3-modules-free) ($V$ é de [torção](#def-b3-modules-torsion)). Em cada fator cíclico $K[X]/(P_i)$, a multiplicação por $X$ tem matriz $C_{P_i}$ na base das potências de $\bar X$: concatenando as bases obtém-se a forma por blocos. (1) O anulador de $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ é $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (cadeia de divisibilidade: $P_s$ é um múltiplo comum, e a classe de $1$ no último fator é aniquilada exatamente por $(P_s)$): $\mu_u = P_s$. Quanto a $\chi_u$: em um fator cíclico, $\chi_{C_P} = P$, por indução sobre $m = \deg P$. Desenvolvendo $\det(XI_m - C_P)$ pela primeira linha (cujas entradas são $X$, depois zeros e, na última coluna, $a_0$): $$ \det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L , $$ onde $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (mesma forma, um tamanho abaixo) e $L$ é triangular de diagonal $(-1, \dots, -1)$, de modo que $\det L = (-1)^{m-1}$. Por indução, o primeiro termo é $X\tilde P$ e o segundo é $a_0$: o total é $X\tilde P + a_0 = P$ (caso base $m=1$: $\det(X + a_0) = P$). Os determinantes se multiplicam por blocos: $\chi_u = \prod P_i$. Cayley–Hamilton: $\chi_u \in (\mu_u)$, pois $P_s \mid$ para cada um… reciprocamente, cada $P_i \mid P_s$, logo $\chi_u = \prod P_i$ divide $P_s^{\,s} = \mu_u^s$; e $\mu_u = P_s$ divide $\chi_u$ por ser um de seus fatores. (2) Endomorfismos semelhantes são estruturas de [módulo](#def-b3-modules-module) conjugadas e, portanto, têm invariantes iguais (unicidade no [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)); reciprocamente, invariantes iguais dão $K[X]$-módulos isomorfos, e um isomorfismo de [módulos](#def-b3-modules-module) é exatamente uma bijeção linear que entrelaça os dois endomorfismos: uma semelhança. ∎ **Corolário 3.17 (A semelhança é insensível a extensões de corpo).** Sejam $K \subseteq L$ corpos e $M, N \in M_n(K)$. Se $M$ e $N$ são semelhantes sobre $L$, então são semelhantes sobre $K$. **Demonstração.** Os [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ são calculados pela fórmula dos menores de Smith ([Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith)) aplicada à matriz de apresentação $XI_n - M$ sobre $K[X]$ — com efeito, o $K[X]$-módulo $V_M = K^n$ tem apresentação $XI_n - M$: a aplicação $K[X]^n \to V_M$, $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$, é sobrejetora e tem núcleo gerado pelas colunas de $XI_n - M$ (verificação direta: [módulo](#def-b3-modules-module) essas colunas, todo elemento de $K[X]^n$ se reduz a um vetor constante, e os vetores constantes são levados bijetivamente; o problema de fim de semana detalha isso). Os mdc de polinômios não mudam por extensão de corpo: se $d$ é o mdc mônico em $K[X]$ de uma família $(f_j)$, Bézout dá $d = \sum u_jf_j$ com $u_j \in K[X]$, de modo que todo divisor comum dos $f_j$ *em $L[X]$* divide $d$; como $d$ é ele próprio um divisor comum, ele é o mdc também em $L[X]$. Logo os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) de $XI_n - M$, quocientes de mdc de menores sucessivos, são os mesmos sobre $K$ e sobre $L$: $M, N$ têm os mesmos [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) sobre $L$ se, e somente se, os têm sobre $K$; conclua pelo [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)(2). ∎ **Teorema 3.18 (Forma de Jordan, redemonstrada).** Suponha que $\chi_u$ se decomponha em fatores lineares sobre $K$ (por exemplo $K = \C$). Aplicando a $V$ a decomposição em [divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) (demonstração do [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)) em vez dos [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith): $$ V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr), $$ e, na base $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ de cada fator, $u$ age como o bloco de Jordan $J_k(\lambda)$: todo endomorfismo cujo polinômio característico se decompõe em fatores lineares admite uma base de Jordan, e o multiconjunto dos blocos $(\lambda, k)$ é único. **Demonstração.** Os [divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) do [módulo de torção](#def-b3-modules-torsion) $V$ são os $(X - \lambda)^k$, em que $X - \lambda$ percorre os fatores irredutíveis de $\mu_u$ (que se decompõe em fatores lineares, já que $\chi_u$ o faz e ambos têm os mesmos fatores irredutíveis, [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). Em $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$, ponha $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ para $j = 1, \dots, k$: então $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (com $f_0 = 0$), isto é, $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$: a matriz de $u$ em $(f_1, \dots, f_k)$ é exatamente $J_k(\lambda)$ (uns acima da diagonal). A unicidade do multiconjunto dos [divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) é o [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure). ∎ **Observação 3.19.** A hierarquia das formas canônicas ficou transparente: a forma *racional* existe sobre todo corpo e detecta a semelhança de maneira absoluta ([Corolário 3.17](#cor-b3-modules-descent)); a forma de *Jordan* é seu refinamento quando $\chi_u$ se decompõe em fatores lineares. As demonstrações por contagem de dimensões do teorema de Jordan vistas no segundo ano ficam subsumidas: toda a combinatória era a aritmética do [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$. ## 3.5 Exercícios **Exercício 3.1 ★.** (a) Mostre que $\Q$ não é [finitamente gerado](#def-b3-modules-free) como $\Z$-módulo. (b) Mostre que $\Q$ é sem [torção](#def-b3-modules-torsion) mas não é [livre](#def-b3-modules-free). (c) Por que nenhuma das duas afirmações contradiz o [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)? **Solução de Exercício 3.1.** (a) Se $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$, seja $d$ um denominador comum dos $q_i$: toda combinação está em $\frac1d\Z$, mas $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$. Contradição. (b) Sem [torção](#def-b3-modules-torsion): $nq = 0$ com $n \neq 0$ força $q = 0$ em $\Q$. Não [livre](#def-b3-modules-free): dois racionais não nulos $\frac ab, \frac cd$ quaisquer satisfazem a relação não trivial $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$, de modo que uma base tem no máximo um elemento; $\Q \cong \Z$ tornaria $\Q = \Z q$ cíclico, mas $\frac q2 \notin \Z q$. (E $\Q \neq 0$.) (c) O [Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure) supõe a *geração finita*, que (a) nega: não há contradição — ao contrário, $\Q$ mostra que a hipótese é necessária no enunciado “sem [torção](#def-b3-modules-torsion) $\Rightarrow$ [livre](#def-b3-modules-free)”. **Exercício 3.2 ★.** Liste os grupos abelianos de ordem $360$ a menos de isomorfismo, nas duas formas: [divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) e [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith). Quantos grupos abelianos de ordem $p^5$ existem? **Solução de Exercício 3.2.** $360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$. Partições: de $3$: $(3), (2,1), (1,1,1)$; de $2$: $(2), (1,1)$; de $1$: $(1)$. Logo, $3 \times 2 \times 1 = 6$ grupos. [Divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) $\to$ [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith): | $\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/360$ | | --- | --- | | $\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/3 \times \Z/120$ | | $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/180$ | | $\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/6 \times \Z/60$ | | $(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$ | | $(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$ | $\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$ | (Para passar aos [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith): o maior $d_s$ reúne a maior potência de cada primo, e assim por diante, para baixo.) De ordem $p^5$: tantos quantas as partições de $5$, a saber $7$. **Exercício 3.3 ★.** Calcule a [forma normal de Smith](#thm-b3-modules-smith) sobre $\Z$ de $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}, $$ e identifique os grupos abelianos $\Z^2/B\Z^2$ e $\Z^3/C\Z^3$. **Solução de Exercício 3.3.** $B$: $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$. [Fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $d_1 = 2$, $d_2 = 8/2 = 4$: forma de Smith $\operatorname{diag}(2, 4)$, e $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$. $C$: diagonal, mas *não* de Smith ($2 \nmid 3$). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$; $D_3 = 72$. Logo $d = (1, 6, 12)$ e $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — coerentemente com o teorema chinês dos restos: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$. **Exercício 3.4 ★★.** Seja $L \subseteq \Z^n$ um subgrupo de posto $n$ cuja base é formada pelas colunas de $B \in M_n(\Z)$, $\det B \neq 0$. Mostre que $\Z^n/L$ é finito de cardinalidade $\abs{\det B}$, e que $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ para os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $d_i$ de $B$. Ilustre com $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$. **Solução de Exercício 3.4.** Escreva $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ com $Q, P \in GL_n(\Z)$ ([Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith); nenhum $d_i$ é nulo, pois $\det B \neq 0$). Então $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (o isomorfismo composto $x \mapsto Q^{-1}x$ de $\Z^n$ leva $B\Z^n$ sobre $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$). Sua cardinalidade é $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$, pois $\det Q, \det P = \pm 1$. Para $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$: $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$, $D_1 = 1$, $D_2 = 6$: $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$, de cardinalidade $\abs{\det B} = 6$. **Exercício 3.5 ★★.** Seja $A$ um domínio. (a) Verifique que $T(M)$ é um submódulo e que $M/T(M)$ é sem [torção](#def-b3-modules-torsion). (b) Mostre que o [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $(X, Y)$ de $K[X,Y]$, visto como $K[X,Y]$-módulo, é sem [torção](#def-b3-modules-torsion) mas não é [livre](#def-b3-modules-free): o teorema de estrutura precisa mesmo da hipótese de ser [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd). **Solução de Exercício 3.5.** (a) Submódulo: feito na [Definição 3.11](#def-b3-modules-torsion). Se $a(x + T(M)) = 0$ em $M/T(M)$ com $a \neq 0$, então $ax \in T(M)$: $bax = 0$ para algum $b \neq 0$, e $ba \neq 0$ (domínio), de modo que $x \in T(M)$: a classe é nula. $M/T(M)$ é sem [torção](#def-b3-modules-torsion). (b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ é sem [torção](#def-b3-modules-torsion) (submódulo do domínio $K[X,Y]$ agindo sobre si mesmo). Suponha que fosse [livre](#def-b3-modules-free); dois elementos $P, Q$ quaisquer satisfazem $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$, uma relação não trivial quando $P \ne Q$ são não nulos, de modo que uma base tem um único elemento: $(X, Y) = (P)$ principal — contradizendo o [Exercício 2.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#exo-b3-rings-6)(a). Sem [torção](#def-b3-modules-torsion) e [finitamente gerado](#def-b3-modules-free) ($X, Y$ geram) e, ainda assim, não [livre](#def-b3-modules-free): sobre o não [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $K[X,Y]$, o teorema de estrutura falha. **Exercício 3.6 ★★.** (a) Mostre que $2\Z$ não tem complemento direto no $\Z$-módulo $\Z$: submódulos de [módulos livres](#def-b3-modules-free) são [livres](#def-b3-modules-free) ([Teorema 3.5](#thm-b3-modules-submodule)), mas não precisam ser somandos diretos. (b) Mostre que, se $M \subseteq A^n$ (com $A$ um [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd)) satisfaz: $A^n/M$ é sem [torção](#def-b3-modules-torsion), então $M$ *é* um somando direto. **Solução de Exercício 3.6.** (a) Se $\Z = 2\Z \oplus C$, a projeção $\Z \to \Z/2\Z$ se restringe a um isomorfismo $C \cong \Z/2\Z$: $C$ seria um subgrupo de $\Z$ cujo elemento não nulo $x$ satisfaz $2x \in C \cap 2\Z = 0$. Mas $\Z$ é sem [torção](#def-b3-modules-torsion): $C = 0$, forçando $\Z = 2\Z$ — falso. (b) $A^n/M$ é [finitamente gerado](#def-b3-modules-free) e sem [torção](#def-b3-modules-torsion), logo [livre](#def-b3-modules-free) ([Teorema 3.12](#thm-b3-modules-structure)): $A^n/M \cong A^r$ com base $f_1, \dots, f_r$. Escolha pré-imagens $y_i \in A^n$ dos $f_i$ e ponha $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$. Todo $x \in A^n$ tem $\pi(x) = \sum a_if_i$, de modo que $x - \sum a_iy_i \in M$: $A^n = M + F$. Se $\sum a_iy_i \in M$, aplicar $\pi$ dá $\sum a_if_i = 0$, logo todos os $a_i = 0$ (base): $M \cap F = 0$. Assim $A^n = M \oplus F$. **Exercício 3.7 ★★.** Resolva em $\Z^2$ o sistema $$ \begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases} $$ determinando para quais pares $(b_1, b_2)$ existem soluções, usando a forma de Smith do [Exercício 3.3](#exo-b3-modules-3) (mudanças de variáveis inversíveis dos dois lados). **Solução de Exercício 3.7.** A redução do [Exercício 3.3](#exo-b3-modules-3) foi efetiva: com $$ L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} $$ (operação de linha $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$, operações de coluna $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ e depois $C_2 \leftarrow -C_2$). Pondo $y = R^{-1}x$ (uma bijeção de $(\Z/20\Z)^2$, pois $R$ é inversível sobre $\Z$), o sistema $Bx \equiv b \pmod{20}$ é equivalente a $$ 2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}. $$ A congruência $ky \equiv c \pmod{20}$ é [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) se, e somente se, $\gcd(k, 20) \mid c$: há soluções se, e somente se, $2 \mid b_1$ e $4 \mid b_2 - 3b_1$, isto é, *$b_1$ par e $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$*. Quando [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived), há $2 \times 4 = 8$ soluções [módulo](#def-b3-modules-module) $20$. **Exercício 3.8 ★★.** (a) Determine todos os [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) e todas as [formas de Jordan](#thm-b3-modules-jordan) possíveis de uma matriz $4 \times 4$ nilpotente, ordenados pela partição de $4$ que realizam. (b) Exiba duas matrizes complexas $4\times4$ com os mesmos polinômios característico *e* minimal que não sejam semelhantes, e demonstre que para $n \leq 3$ isso não pode acontecer. **Solução de Exercício 3.8.** (a) Uma $u$ nilpotente tem $\mu_u = X^k$; os [divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) são $X^{k_1} \geq \dots$, um bloco de Jordan $J_{k_i}(0)$ por parte de uma partição de $4$: | partição | [forma de Jordan](#thm-b3-modules-jordan) | [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) | | --- | --- | --- | | $(4)$ | $J_4$ | $X^4$ | | $(3,1)$ | $J_3 \oplus J_1$ | $X,\ X^3$ | | $(2,2)$ | $J_2 \oplus J_2$ | $X^2,\ X^2$ | | $(2,1,1)$ | $J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ | $X,\ X,\ X^2$ | | $(1,1,1,1)$ | $0$ | $X, X, X, X$ | (b) Tome $u = J_2\oplus J_2$ e $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$: ambas têm $\chi = X^4$, $\mu = X^2$, mas [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) diferentes — não são semelhantes ([Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); também é possível comparar postos: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$. Para $n \leq 3$: $\chi$ e $\mu$ determinam, para cada autovalor $\lambda$ (sobre um corpo de decomposição), o tamanho total $m_\lambda \leq 3$ dos blocos de $\lambda$ e o maior bloco $r_\lambda$; e uma partição de $m \leq 3$ fica determinada por sua maior parte ($m = 3, r = 2$ força $(2,1)$, etc.). Logo os [divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) coincidem, e o [Corolário 3.17](#cor-b3-modules-descent) faz a semelhança descer ao corpo de base. **Exercício 3.9 ★★★.** Sejam $u \in \mathcal L(V)$, $\dim V = n$. Mostre que são equivalentes: (i) $V$ é um $K[X]$-módulo cíclico (existe $x$ com $V = K[u]x$, um *vetor cíclico*); (ii) $\mu_u = \chi_u$; (iii) $s = 1$ no [Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius). Deduza que uma [matriz companheira](#def-b3-modules-companion) tem vetor cíclico e determine quando uma matriz diagonal tem um. **Solução de Exercício 3.9.** (i)$\Rightarrow$(ii): se $V = K[u]x$, então $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$, e $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (um polinômio aniquila $x$ se, e somente se, aniquila todo $V = K[u]x$, pois $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$). Logo $n = \dim V = \deg \mu_u$; como $\mu_u \mid \chi_u$ e $\deg\chi_u = n$, a monicidade dá $\mu_u = \chi_u$. (ii)$\Rightarrow$(iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ e $\mu_u = P_s$ ([Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)); a igualdade dos graus força $s = 1$. (iii)$\Rightarrow$(i): $V \cong K[X]/(P_1)$ é cíclico, gerado pela pré-imagem de $\bar 1$. Uma [matriz companheira](#def-b3-modules-companion) é o próprio caso $V = K[X]/(P)$: $x = \bar 1$, isto é, $e_1$, é cíclico. Para uma matriz diagonal $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$: $\chi = \prod (X - \lambda_i)$, $\mu = \prod_{\lambda \text{ distintos}} (X - \lambda)$; eles coincidem se, e somente se, os $\lambda_i$ são dois a dois distintos: uma matriz diagonal tem vetor cíclico se, e somente se, suas entradas diagonais são dois a dois distintas (e então $x = (1, \dots, 1)$ serve: Vandermonde). **Exercício 3.10 ★★★.** Para $M \in M_n(\Z)$ vista como endomorfismo de $\Z^n$, demonstre a fórmula do índice: se $\det M \ne 0$, então $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$, e deduza que $M \in GL_n(\Z)$ se, e somente se, $\det M = \pm 1$. Aplicação: o grupo $\Z^2$ tem exatamente $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ subgrupos de índice $m$. *(Conte as matrizes em forma de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$, $ad = m$, $0 \leq b < d$.)* **Solução de Exercício 3.10.** Smith: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$; o [Exercício 3.4](#exo-b3-modules-4) dá $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$. Se $\det M = \pm 1$: a fórmula da adjunta $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ tem entradas inteiras, de modo que $M \in GL_n(\Z)$; reciprocamente, $MM^{-1} = I$ dá $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ em $\Z$, de modo que $\det M = \pm1$. Subgrupos de índice $m$ em $\Z^2$: um tal subgrupo $L$ tem posto $2$ (índice finito) e uma única base em *forma normal de Hermite* $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$: $d$ é caracterizado por $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$, $a$ por $\pi_1(L) = a\Z$ (primeiras coordenadas), e $b$ é então único [módulo](#def-b3-modules-module) $d$; normalize $a, d > 0$ e $0 \leq b < d$. O índice é $ad = m$. Contagem: para cada divisor $d \mid m$ ($a = m/d$), há $d$ escolhas de $b$: total $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$. **Exercício 3.11 ★★.** (Equações $x^k = e$ em grupos abelianos) Seja $G$ um grupo abeliano finito de [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$. (a) Mostre que, para todo $k \geq 1$, $$ \#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) . $$ (b) Deduza: um grupo abeliano finito é cíclico se, e somente se, para todo $k$ a equação $x^k = e$ tem no máximo $k$ soluções. (c) Recupere a ciclicidade dos subgrupos finitos de $K^\times$ (com $K$ um corpo, [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#ch-b3-galois)): por que o polinômio $X^k - 1$ garante o critério de (b)? **Solução de Exercício 3.11.** (a) Pelo teorema de estrutura, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$, e $x^k = e$ se desacopla coordenada a coordenada. Em $\Z/d\Z$: $kx \equiv 0 \pmod d$ tem exatamente $\gcd(k, d)$ soluções ($x$ tem de ser múltiplo de $d/\gcd(k,d)$, e há $\gcd(k, d)$ desses). Multiplique sobre os fatores. (b) Se $G = \Z/d_s\Z$ é cíclico ($s = 1$), a contagem é $\gcd(k, d_s) \leq k$. Se $s \geq 2$: tome $k = d_1$; a contagem é $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (cada $\gcd$ vale $d_1$ pela cadeia de divisibilidade): a equação $x^{d_1} = e$ tem mais de $d_1$ soluções. (c) Em um corpo, $X^k - 1$ tem no máximo $k$ raízes ([Capítulo 2](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#ch-b3-rings): um polinômio não nulo de grau $k$ sobre um domínio), de modo que todo subgrupo finito $G \leq K^\times$ satisfaz o critério de (b): $G$ é cíclico — a demonstração estrutural de uma linha da ciclicidade de $\mathbb F_q^\times$, complementando a demonstração por contagem do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#ch-b3-galois). **Exercício 3.12 ★★★.** (As matrizes elementares geram) (a) Mostre que $M \in M_n(\Z)$ é inversível em $M_n(\Z)$ se, e somente se, $\det M = \pm1$. (b) Mostre que $SL_2(\Z)$ é gerado pelas duas matrizes elementares $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ e $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$. *(Rode o algoritmo de Euclides na primeira coluna de $M \in SL_2(\Z)$ por multiplicações à esquerda por potências de $E, F$, chegando a $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$; termine à mão — note que $-I = (EF^{-1}E)^2$.)* (c) Explique a conexão com a redução de Smith: sobre $\Z$, as operações de linha e de coluna de determinante $1$ já bastam para diagonalizar, a menos de sinais. **Solução de Exercício 3.12.** (a) Se $MN = I$ com $N$ inteira: $\det M\det N = 1$ com ambos inteiros, de modo que $\det M = \pm1$. Reciprocamente, se $\det M = \pm1$, a fórmula dos cofatores $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ tem entradas inteiras. (b) A multiplicação à esquerda por $E^{-k}$ subtrai $k$ vezes a linha $2$ da linha $1$; por $F^{-k}$, $k$ vezes a linha $1$ da linha $2$. Dada $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$, a primeira coluna $(a, c)$ é um vetor unimodular ($\gcd(a, c) = 1$: ele divide $\det M = 1$). Rode Euclides em $(a, c)$ com essas operações de linha: após finitos passos, a coluna se torna $(\pm1, 0)$. A matriz é agora $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (o determinante permaneceu $1$). Resta escrever $-I$ nos geradores: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (verifique o quadrado da matriz de rotação). Desenrolando, $M$ é uma palavra em $E^{\pm1}, F^{\pm1}$. (c) O algoritmo de Smith ([Método 3.9](#met-b3-modules-smith)) usa exatamente essas operações de linha e de coluna (mais trocas e mudanças de sinal, elas próprias produtos de operações elementares a menos do sinal do determinante): sobre $\Z$, toda matriz é $U\,D\,V$ com $U, V$ produtos de matrizes elementares e $D$ a forma de Smith — (b) é a instância $2\times2$, de determinante $1$, do fato geral de que as matrizes do tipo $E$ geram $SL_n(\Z)$. ## 3.6 Problema: o comutante e o bicomutante **Problema 3.1.** Problema de fim de semana — forma racional, comutante, bicomutante Sejam $K$ um corpo, $V$ um $K$-espaço vetorial de dimensão $n \geq 1$ e $u \in \mathcal L(V)$. Estudamos o *comutante* $$ \mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\}, $$ uma subálgebra de $\mathcal L(V)$ que contém $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$, e demonstramos a fórmula de dimensão de Frobenius e o teorema do duplo comutante: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. Ao longo de todo o problema, $V$ é o $K[X]$-módulo definido por $u$, com [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ e decomposição cíclica $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$, $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$, $n_i = \deg P_i$ ([Teorema 3.16](#thm-b3-modules-frobenius)). **Parte I — A matriz de apresentação $XI - M$ e aquecimentos.** 1. Sejam $M \in M_n(K)$ e $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ a aplicação que leva $(Q_1, \dots, Q_n)$ em $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Mostre que $\varphi$ é um morfismo sobrejetor de $K[X]$ -módulos e que toda coluna de $XI_n - M$ pertence a $\ker\varphi$ . 2. Mostre que, [módulo](#def-b3-modules-module) as colunas de $XI_n - M$ , todo elemento de $K[X]^n$ é congruente a um vetor constante *(reduza os graus usando $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$)* , e deduza $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : o [módulo](#def-b3-modules-module) $V_M$ tem matriz de apresentação $XI_n - M$ . Recupere o ponto de partida do [Corolário 3.17](#cor-b3-modules-descent) : os [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ são os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) não inversíveis de $XI_n - M$ . 3. Calcule os [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) de: uma matriz escalar $\lambda I_n$ ; uma matriz diagonal com entradas diagonais distintas; o bloco de Jordan $J_n(0)$ de tamanho $n \times n$ ; $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ para $n = 3$ . 4. Mostre que $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ . **Parte II — Morfismos entre [módulos](#def-b3-modules-module) cíclicos.** 5. Sejam $P, Q$ mônicos não constantes. Mostre que um $K[X]$ -morfismo $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ fica determinado por $f(\bar 1)$ , e que $\bar c \in K[X]/(Q)$ pode servir de $f(\bar 1)$ se, e somente se, $P\bar c = 0$ em $K[X]/(Q)$ . 6. Deduza $$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$$ de dimensão $\deg \gcd(P, Q)$ sobre $K$. *(Mostre que as soluções $\bar c$ de $P\bar c = 0$ em $K[X]/(Q)$ formam o submódulo cíclico gerado por $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$.)* 7. Demonstre a *fórmula de Frobenius*: $$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$$ *(Um $v$ que comuta é exatamente um $K[X]$-endomorfismo de $V$; decomponha $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ em matrizes de morfismos $V_j \to V_i$ e use a cadeia de divisibilidade.)* 8. Deduza $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , com igualdade se, e somente se, $u$ é cíclico ( $s = 1$ ), e calcule $\dim\mathcal C(u)$ para $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : os dois extremos da fórmula. 9. Verifique diretamente a fórmula de Frobenius para $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ , calculando o comutante explicitamente como matrizes $3\times3$ . **Parte III — O teorema do duplo comutante.** Seja $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$; demonstramos que $w \in K[u]$. 10. Mostre que $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , e que todo $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ comuta com $u$ — de modo que a inclusão a demonstrar, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , é um refinamento genuíno de $w \in \mathcal C(u)$ . 11. Suponha primeiro que $u$ é *cíclico* , $V = K[u]x$ . Mostre diretamente que $\mathcal C(u) = K[u]$ *(avalie um $v$ que comuta em $x$: $v(x) = P(u)x$ para algum $P$, e compare $v$ com $P(u)$ na base $u^k x$)* , e conclua o teorema nesse caso. 12. De volta ao caso geral. Para cada $i$ , seja $\pi_i\colon V \to V_i$ a projeção ao longo das demais parcelas. Mostre que $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , e deduza que $w$ preserva cada $V_i$ e comuta com $u_i = u\restriction_{V_i}$ ; conclua pela questão 11 aplicada aos $u_i$ cíclicos: há polinômios $Q_i$ com $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ . 13. Resta colar os $Q_i$ em um único polinômio. Para $i \leq j$ (de modo que $P_i \mid P_j$ ), mostre que $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , é um $K[X]$ -morfismo bem definido *(o que se deve verificar é que $R(u)x_j = 0$ implica $R(u)x_i = 0$)* , e que $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , estendido por $0$ às demais parcelas, pertence a $\mathcal C(u)$ . 14. Usando $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$, mostre que $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ para $i \leq j$. Deduza que $Q = Q_s$ satisfaz $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ para todo $i$, logo $w = Q(u)$ em cada $V_i$ e, portanto, em $V$: $$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$$ 15. (Coda) Deduza do teorema: se $v$ comuta com *toda* matriz que comuta com $u$ , e $u$ é cíclico, então $v$ é um polinômio em $u$ ; e dê um exemplo mostrando que $\mathcal C(u) = K[u]$ falha para $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — onde exatamente entra a ciclicidade? **Parte IV — Dividendos dos [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius).** A forma canônica racional é uma máquina; eis cinco de seus resultados clássicos. 16. (Transposta) Mostre que toda $M \in M_n(K)$ é semelhante à sua transposta ${}^tM$ . *(As operações que levam $XI - M$ à forma de Smith, transpostas, levam $XI - {}^tM$ à mesma forma de Smith: [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) iguais.)* 17. (Descida da semelhança) Sejam $K \subseteq L$ uma extensão de corpos e $M, N \in M_n(K)$ . Mostre que, se $M$ e $N$ são semelhantes sobre $L$ , então são semelhantes sobre $K$ . *(A forma de Smith de $XI - M$ calculada em $K[X]$ ainda é uma forma de Smith em $L[X]$ — por que os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) não mudam?)* Consequência que vale memorizar: duas matrizes reais conjugadas em $GL_n(\C)$ são conjugadas em $GL_n(\R)$ . 18. (Classificação dos nilpotentes) Seja $u$ nilpotente. Mostre que o número de blocos de tamanho $\geq k$ em sua decomposição em blocos de Jordan nilpotentes é igual a $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , e deduza: as classes de nilpotentes de $M_n(K)$ , para qualquer corpo $K$ , estão em bijeção com as partições de $n$ . Quantas classes de nilpotentes há em $M_5(K)$ ? 19. (Um par concreto) Determine os [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) da derivação $D\colon P \mapsto P'$ agindo no espaço $K_{n-1}[X]$ dos polinômios de grau $< n$ : (a) para $K = \Q$ ; (b) para $K = \mathbb F_p$ com $p < n$ *(em característica $p$, $(X^p)' = 0$: calcule $\ker D^k$ e use a questão 18)* . 20. ( [Classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Usando [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) , mostre que toda classe de $GL_2(\mathbb F_q)$ é exatamente de um dentre quatro tipos: central $aI$ ; diagonalizável com dois autovalores distintos $a \neq b$ em $\mathbb F_q^\times$ ; não semissimples de polinômio minimal $(X - a)^2$ ; cíclica com polinômio característico [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) . 21. Conte as classes de cada tipo e conclua: $GL_2(\mathbb F_q)$ tem exatamente $q^2 - 1$ [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) . *(Conte os polinômios quadráticos mônicos irredutíveis sobre $\mathbb F_q$; os pares não ordenados $\{a, b\}$; lembre-se de que a inversibilidade restringe os termos constantes.)* 22. (Ser cíclico é genérico) Mostre que $M \in M_2(\mathbb F_q)$ deixa de ser cíclica se, e somente se, $M$ é escalar, e deduza que uma matriz $2\times2$ uniformemente aleatória sobre $\mathbb F_q$ é cíclica com probabilidade $1 - q^{-3}$ . Enuncie a heurística análoga para $M_n$ e $q$ grande (sem demonstração): as matrizes não cíclicas são raras — e é por isso que a Parte III do [Problema 3.1](#pb-b3-modules-1) só exigiu trabalho de verdade além do caso genérico. **Parte V — Complementos.** 23. ( [Centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) do comutante) Mostre que o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) da álgebra $\mathcal C(u)$ é exatamente $K[u]$ *(combine as duas inclusões da Parte III)* . Deduza que $\mathcal C(u)$ é comutativa se, e somente se, $u$ é cíclico — recuperando o caso de igualdade da questão 8 por uma via puramente estrutural. 24. (Quais dimensões ocorrem?) Deduza da fórmula de Frobenius que $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ para todo $u$ . Determine em seguida o conjunto exato dos valores assumidos por $\dim \mathcal C(u)$ quando $u$ percorre $\mathcal L(V)$ com $\dim V = 4$ : mostre que ele é $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ *(enumere as sequências de graus $n_1 \leq \dots \leq n_s$ de soma $4$ e realize cada uma delas por um nilpotente)* . Em particular, $12$ e $14$ , embora tenham a paridade certa, não são atingidos: a restrição de paridade é necessária mas não suficiente. 25. ([Equação das classes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#cor-b3-groups-classeq) de $GL_2(\mathbb F_3)$) Para $q = 3$, calcule o tamanho de cada [classe de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) da questão 20 por órbita–estabilizador: o centralizador de uma $M$ *cíclica* em $GL_2(\mathbb F_q)$ é o grupo das unidades de $K[M]$ (questão 11). Identifique $K[M]$ nos três tipos não centrais, liste os três polinômios quadráticos mônicos irredutíveis sobre $\mathbb F_3$ e verifique a [equação das classes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#cor-b3-groups-classeq) $$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$$ com $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ classes, como previsto pela questão 21. **Solução de Problema 3.1.** **1.** $\varphi$ é aditiva e $K[X]$-linear: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$, sendo a estrutura de [módulo](#def-b3-modules-module) de $V_M$ dada por $X \cdot v = Mv$. Ela é sobrejetora: os vetores constantes dão todo $K^n$. A coluna $j$ de $XI - M$ é $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$, cuja imagem é $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$. **2.** [Módulo](#def-b3-modules-module) as colunas, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$: todo vetor de polinômios se reduz, por indução sobre o grau máximo, a um vetor *constante* $c \in K^n$. Se o vetor original está em $\ker\varphi$, então $\varphi(c) = c = 0$ (nas constantes, $\varphi$ é a identificação $K^n = V_M$), de modo que o vetor está no espaço gerado pelas colunas: $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$. Logo $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$, e Smith sobre $K[X]$ (todos os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) não nulos, com produto $\det(XI - M) = \chi_M$) dá $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$: os $f_i$ não constantes são os [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius), calculáveis como quocientes de mdc de menores ([Teorema 3.8](#thm-b3-modules-smith)). **3.** $\lambda I_n$: $XI - \lambda I$ já está em forma de Smith: invariantes $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$, $n$ deles. Entradas diagonais distintas: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ com [módulos](#def-b3-modules-module) dois a dois [comaximais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-crt), de modo que o teorema chinês dos restos comprime tudo no único cíclico $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$: um invariante, $\chi$. $J_n(0)$: $\mu = X^n = \chi$ força um único invariante $X^n$. $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$: [divisores elementares](#thm-b3-modules-structure) $X^2, X$: invariantes $P_1 = X \mid P_2 = X^2$. **4.** $P \mapsto P(u)$ leva $K[X]$ sobre $K[u]$, com núcleo $(\mu_u)$ pela definição de polinômio minimal: $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$, de dimensão $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$. **5.** A $K[X]$-linearidade força $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$. A classe $\bar 1$ satisfaz $P \bar 1 = 0$, de modo que $P f(\bar 1) = 0$ é necessário. Reciprocamente, se $P\bar c = 0$, então $f(\bar Q) = Q\bar c$ está bem definida ($Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ múltiplos de $P\bar c = 0$) e é $K[X]$-linear. **6.** Sejam $g = \gcd(P, Q)$, $P = gP'$, $Q = gQ'$ com $\gcd(P', Q') = 1$. Em $K[X]/(Q)$: $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclides, $\gcd(P', Q') = 1$). Logo os $\bar c$ admissíveis formam o submódulo gerado por $\bar{Q'}$, cujo anulador é $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$: esse submódulo é $\cong K[X]/(g)$. Com a questão 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$, de dimensão $\deg\gcd(P,Q)$. **7.** $v$ comuta com $u$ se, e somente se, $v$ comuta com todo $P(u)$, se, e somente se, $v$ é $K[X]$-linear: $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$. Escrevendo os morfismos de $V = \bigoplus_j V_j$ como matrizes $(f_{ij})$, $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (componha com injeções e projeções), a questão 6 dá $$ \dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k , $$ usando a cadeia de divisibilidade ($\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$) e, na última passagem, que $\min(i,j) = k$ ocorre para exatamente $2(s - k) + 1$ pares $(i, j)$. **8.** Como $2(s-k)+1 \geq 1$, $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$, com igualdade se, e somente se, $s = 1$, isto é, se, e somente se, $u$ é cíclico ([Exercício 3.9](#exo-b3-modules-9)). Para $u = \lambda\,\mathrm{id}$: $s = n$, todos $n_k = 1$: $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — correto, pois $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$. **9.** Pela fórmula: invariantes $(X, X^2)$, de modo que $s = 2$, $n_1 = 1$, $n_2 = 2$: $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$. Diretamente: na base $(e_1, e_2, e_3)$ com $u e_2 = e_1$, $ue_1 = ue_3 = 0$, escrever $Au = uA$ para $A = (a_{ij})$ dá as condições $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ e $a_{11} = a_{22}$: cinco parâmetros [livres](#def-b3-modules-free) $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$. **10.** Um polinômio $P(u)$ comuta com tudo o que comuta com $u$ (ele é uma soma de potências de $u$): $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$. E $u \in \mathcal C(u)$, de modo que todo $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ comuta com $u$. **11.** Sejam $V = K[u]x$ e $v \in \mathcal C(u)$. Escreva $v(x) = P(u)x$ (ciclicidade). Para $y = Q(u)x$ arbitrário: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$. Logo $v = P(u)$: $\mathcal C(u) = K[u]$. Então $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (comutar com todo $K[u]$ é o mesmo que comutar com $u$). O teorema vale no caso cíclico. **12.** $\pi_i$ é $K[X]$-linear (a decomposição é uma soma direta de submódulos), de modo que $\pi_i \in \mathcal C(u)$, e $w$ comuta com ela: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$. A restrição $w_i = w\restriction_{V_i}$ comuta com o cíclico $u_i = u\restriction_{V_i}$ (questão 10), e $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (questão 11): $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ para algum $Q_i \in K[X]$. **13.** Boa definição de $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$: se $R(u)x_j = 0$, então $P_j \mid R$, e $P_i \mid P_j$ dá $P_i \mid R$, de modo que $R(u)x_i = 0$ ($\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$). $\eta_{ij}$ é então $K[X]$-linear por construção, e $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ é uma composição de $K[X]$-morfismos $V \to V$: $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$. **14.** Avalie $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ em $x_j$: o membro esquerdo é $w(x_i) = Q_i(u)x_i$; o direito é $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$. Logo $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$: $P_i \mid Q_i - Q_j$ para todo $i \leq j$. Em particular, com $Q = Q_s$: $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$, de modo que $Q(u)$ e $Q_i(u)$ coincidem em $V_i$ (que $P_i(u)$ aniquila). Portanto $w = Q(u)$ em cada $V_i$ e, assim, em $V$: $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ e, com a questão 10, $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$. **15.** A primeira afirmação são as questões 10–14 (ou, para $u$ cíclico, apenas a questão 11). Para $u = \mathrm{id}$, $n \geq 2$: $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ tem dimensão $n^2$, ao passo que $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$. Logo $\mathcal C(u) = K[u]$ falha espetacularmente; e, no entanto, o teorema do bicomutante vale ($\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$: o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) da álgebra de matrizes são os escalares). A ciclicidade é o que torna o *primeiro* comutante já polinomial; o comutante *duplo* é polinomial sempre. **16.** Se $P(XI - M)Q = S$ é uma redução de Smith (com $P, Q$ inversíveis sobre $K[X]$), transpor dá ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$: mesma forma de Smith, de modo que $XI - M$ e $XI - {}^tM$ têm os mesmos [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith), isto é, $M$ e ${}^tM$ têm os mesmos [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) ([Corolário 3.17](#cor-b3-modules-descent)): elas são semelhantes. **17.** Os [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) de $M$ sobre $L$ são os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) de $XI - M$ em $L[X]$. Uma redução de Smith de $XI - M$ sobre $K[X]$ — com $P, Q$ inversíveis sobre $K[X]$, diagonal e com a cadeia de divisibilidade — é *também* uma redução de Smith válida sobre $L[X]$ ($P, Q$ permanecem inversíveis: seus determinantes são constantes não nulas), e os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) mônicos são únicos: os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) calculados sobre $K$ e sobre $L$ coincidem. Logo $M \sim_L N$ se, e somente se, elas têm os mesmos [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith), se, e somente se, $M \sim_K N$. Em particular, matrizes reais $\C$-conjugadas são $\R$-conjugadas — um enunciado muitas vezes demonstrado por via analítica (especialize um $P + \iu Q$ inversível), aqui obtido estruturalmente. **18.** Decomponha $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ em blocos de Jordan nilpotentes. Em um bloco de tamanho $m$, $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$, de modo que $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ se $m \geq k$, e $0$ caso contrário. Somando sobre os blocos: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$. A sequência dos postos determina, portanto, o multiconjunto $(m_t)$ — uma partição de $n$ — e, reciprocamente, toda partição é realizada: as classes de nilpotentes $\leftrightarrow$ as partições de $n$, sobre qualquer corpo. $M_5$: $p(5) = 7$ classes ($5$; $4{+}1$; $3{+}2$; $3{+}1{+}1$; $2{+}2{+}1$; $2{+}1{+}1{+}1$; $1^5$). **19.** (a) Sobre $\Q$ (ou qualquer corpo de característica $0$), $D^n = 0$, $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$: $D$ é nilpotente de índice $n$ em um espaço de dimensão $n$, logo cíclico com único invariante $X^n$ ($x = X^{n-1}$ gera: suas derivadas iteradas geram o espaço). (b) Sobre $\mathbb F_p$ com $p < n$: $D^p = 0$, pois a $p$-ésima derivada de todo monômio $X^m$ carrega o fator $m(m-1)\cdots(m-p+1)$, um produto de $p$ inteiros consecutivos, logo $\equiv 0 \bmod p$. Escreva $n = ap + r$, $0 \leq r < p$. Então $\ker D^k$ é gerado pelos monômios $X^m$ com $D^kX^m = 0$; contando os expoentes $m < n$ por seu resto [módulo](#def-b3-modules-module) $p$: $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ para $0 \leq k \leq p$, de modo que $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$. Pela questão 18, a partição tem $a$ blocos de tamanho exatamente $p$ e (se $r > 0$) um bloco de tamanho $r$: [invariantes de semelhança](#thm-b3-modules-frobenius) $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$. A característica muda a forma canônica do operador mais familiar da matemática. **20.** $M \in GL_2$ tem $s \in \{1, 2\}$ [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith). Se $s = 2$: $P_1 = P_2 = X - a$ ($a \neq 0$: inversibilidade), isto é, $M = aI$, central. Se $s = 1$: $M$ é cíclica, com polinômio característico $=$ minimal $\chi$ de grau $2$, e as classes correspondem aos $\chi$ possíveis com $\chi(0) \neq 0$: $\chi$ decomposto com raízes distintas $a \neq b$ (companheira $\sim$ diagonal); $\chi = (X - a)^2$ (companheira, não semissimples); $\chi$ [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). Exatamente um tipo em cada caso — os [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) são um invariante completo. **21.** Central: $q - 1$ escolhas de $a$. Autovalores decompostos distintos: pares não ordenados $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$, $a \neq b$: $\binom{q-1}2$ classes. Minimal $(X-a)^2$: $q - 1$ classes. Quadráticas irredutíveis com termo constante não nulo: todas as quadráticas irredutíveis servem (suas raízes são não nulas), e há $\frac{q^2 - q}2$ quadráticas mônicas irredutíveis (as $q^2$ quadráticas mônicas menos as $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ decompostas). Total: $$ (q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 . $$ **22.** Se $M$ não é cíclica, $s = 2$ e $M$ é escalar (a dicotomia da questão 20 vale em $M_2$, inversível ou não: dois [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith) de grau $1$ com $P_1 \mid P_2$ e $P_1 = P_2$ forçam $M = aI$). Os escalares são em número de $q$ entre as $q^4$ matrizes: probabilidade de ser cíclica $1 - q^{-3}$. Em geral, o lugar não cíclico de $M_n$ é onde os menores $(n-1)\times(n-1)$ de $XI - M$ compartilham um fator — uma condição algébrica própria —, de modo que sua proporção é pequena, $O(1/q)$, para $q$ grande: as matrizes com $\chi = \mu$ são a regra, e o argumento de colagem da Parte III é o preço pago pelas exceções. **23.** Um elemento do [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de $\mathcal C(u)$ está em $\mathcal C(u)$ e comuta com todo elemento de $\mathcal C(u)$, isto é, está em $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (questão 14). Reciprocamente, $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$, e todo $P(u)$ comuta com todo $v \in \mathcal C(u)$ (um tal $v$ comuta com $u$, logo com cada potência de $u$): $K[u]$ é central em $\mathcal C(u)$. Logo $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$. Consequentemente, $\mathcal C(u)$ é comutativa se, e somente se, $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$; nesse caso $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$, ao passo que a questão 8 dá $\dim\mathcal C(u) \geq n$: logo $n_s = n$ e $s = 1$, isto é, $u$ é cíclico. Reciprocamente, para $u$ cíclico a questão 11 dá $\mathcal C(u) = K[u]$, comutativa. Estruturalmente: uma álgebra de matrizes igual a seu próprio [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) é exatamente uma álgebra de polinômios $K[u]$ de um $u$ cíclico. **24.** Cada coeficiente $2s - 2i + 1$ na fórmula de Frobenius é ímpar, de modo que $$ \dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 . $$ Para $n = 4$, as sequências de graus $n_1 \leq \dots \leq n_s$ possíveis dos [fatores invariantes](#thm-b3-modules-smith), de soma $4$, são $(4)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(1, 1, 2)$, $(1, 1, 1, 1)$; cada uma é realizada, por exemplo pelo nilpotente com $P_i = X^{n_i}$ (a cadeia de divisibilidade vale automaticamente). A fórmula dá, respectivamente, $$ 1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 . $$ Logo o conjunto de valores é $\{4, 6, 8, 10, 16\}$: números pares da paridade certa, mas $12$ e $14$ jamais ocorrem — entre as sequências quase cíclicas e o $n^2$ do escalar há uma lacuna. **25.** $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$. Tipo central: $I$ e $2I$, duas classes de tamanho $1$. Nos três outros tipos, $M$ é cíclica (questão 20), de modo que seu centralizador em $GL_2$ é o grupo das unidades de $\mathcal C(M) = K[M]$ (questão 11), e o tamanho da classe é $=48/\abs{K[M]^\times}$ por órbita–estabilizador. Autovalores decompostos distintos: apenas o par $\{1, 2\}$, uma classe; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (teorema chinês dos restos em $\chi = (X-1) (X-2)$), unidades $2 \cdot 2 = 4$, tamanho $48/4 = 12$. Minimal $(X - a)^2$, $a \in \{1, 2\}$: duas classes; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$, unidades $q^2 - q = 6$ (o termo constante da unidade é $\neq 0$ após centrar), tamanho $48/6 = 8$. $\chi$ [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): as quadráticas mônicas irredutíveis sobre $\mathbb F_3$ são em número de $(9 - 3)/2 = 3$, a saber $$ X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2, $$ (sem raízes em $\mathbb F_3$: verifique $0, 1, 2$); três classes, $K[M] \cong \mathbb F_9$, unidades $q^2 - 1 = 8$, tamanho $48/8 = 6$. [Equação das classes](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#cor-b3-groups-classeq): $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$; e $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ classes, coincidindo com a questão 21.