--- title: "Extensões de corpos e teoria de Galois" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 4 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois --- # Capítulo 4 — Extensões de corpos e teoria de Galois Toda equação pode ser resolvida por radicais, como sugerem a fórmula quadrática e as fórmulas de Cardano para o [grau](#def-b3-galois-extension) três? É possível trissectar um ângulo com régua e compasso? As duas perguntas, abertas por séculos, recebem resposta — negativa — de uma única ideia de Évariste Galois: associar a cada polinômio um *grupo* finito de simetrias de suas raízes e ler a resposta no grupo. Este capítulo constrói o dicionário: extensões de corpos e [graus](#def-b3-galois-extension), [corpos de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) e [fechos algébricos](#def-b3-galois-closure), [corpos finitos](#thm-b3-galois-finitefields) (uma teoria completa — e a prometida ciclicidade de $\mathbb F_q^\times$), separabilidade e, então, a própria [correspondência de Galois](#thm-b3-galois-fundamental), com demonstrações integrais. Colhemos: a impossibilidade das construções clássicas, a estrutura dos corpos ciclotômicos e a insolubilidade da quíntica por radicais — a simplicidade de $A_5$, obtida no [Capítulo 1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ch-b3-groups), atingindo seu alvo. ## 4.1 Extensões, grau, algebricidade **Definição 4.1.** Uma *extensão de corpos* $L/K$ é um corpo $L$ que contém $K$ como subcorpo; $L$ é então um $K$-espaço vetorial, e o *grau* $[L:K]$ é sua dimensão. A extensão é *finita* se $[L:K] < \infty$. A *característica* de um corpo é o gerador $\geq 0$ do núcleo de $\Z \to K$, $n \mapsto n\cdot 1$: ela vale $0$ ou um primo $p$; correspondentemente, $K$ contém um menor subcorpo (*corpo primo*) isomorfo a $\Q$ ou a $\mathbb F_p = \Z/p\Z$. **Teorema 4.2 (Lei da torre).** Se $K \subseteq L \subseteq M$, então $[M:K] = [M:L]\,[L:K]$: se $(e_i)$ é uma base de $L$ sobre $K$ e $(f_j)$ é uma base de $M$ sobre $L$, então $(e_if_j)$ é uma base de $M$ sobre $K$. **Demonstração.** Geração: $x \in M$ escreve-se $x = \sum_j \lambda_jf_j$ ($\lambda_j \in L$), e cada $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ ($\mu_{ij} \in K$): $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. Independência: $\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j = 0$ reescreve-se como $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j = 0$; as somas internas estão em $L$, logo se anulam (os $f_j$ são independentes sobre $L$); e então todos os $\mu_{ij} = 0$ (os $e_i$ são independentes sobre $K$). ∎ **Definição 4.3.** Sejam $L/K$ e $\alpha \in L$. Se algum $P \in K[X]$ não nulo satisfaz $P(\alpha) = 0$, dizemos que $\alpha$ é *algébrico* sobre $K$; o gerador mônico $\pi_\alpha$ do [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $\{P : P(\alpha) = 0\}$ de $K[X]$ é seu *polinômio minimal*, um polinômio [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) ($\pi = QR$ com $Q(\alpha) = 0$ força $R$ constante, pela minimalidade do [grau](#def-b3-galois-extension)). Caso contrário, $\alpha$ é *transcendente*. Escrevemos $K(\alpha)$ para o menor subcorpo de $L$ que contém $K$ e $\alpha$, e $K[\alpha]$ para o menor subanel. **Teorema 4.4.** Se $\alpha$ é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$ com $d = \deg\pi_\alpha$, então $$ K(\alpha) = K[\alpha] \cong K[X]/(\pi_\alpha), \qquad [K(\alpha) : K] = d, $$ com base $1, \alpha, \dots, \alpha^{d-1}$. Reciprocamente, se $[L:K] < \infty$, todo $\alpha \in L$ é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) de [grau](#def-b3-galois-extension) $\deg \pi_\alpha$ que divide $[L:K]$. **Demonstração.** A avaliação $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, tem imagem $K[\alpha]$ e núcleo $(\pi_\alpha)$; como $\pi_\alpha$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility), $K[X]/(\pi_\alpha)$ é um *corpo* ([Proposição 2.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#prop-b3-rings-primemaximal): no [DIP](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $K[X]$, um [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) gera um [ideal maximal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-primemaximal)), de modo que $K[\alpha]$ é um corpo contendo $K$ e $\alpha$: ele é igual a $K(\alpha)$. As classes de $1, X, \dots, X^{d-1}$ formam uma base do quociente (divisão euclidiana), donde a base e o [grau](#def-b3-galois-extension). Reciprocamente, se $[L:K] = n < \infty$: os $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ são dependentes, o que fornece um polinômio aniquilador; então $[K(\alpha):K] = \deg\pi_\alpha$ divide $n$ pela [lei da torre](#thm-b3-galois-tower). ∎ **Corolário 4.5.** Se $\alpha, \beta$ são [algébricos](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$, também o são $\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha/\beta$ ($\beta \ne 0$): os elementos de $L$ [algébricos](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$ formam um subcorpo de $L$. Além disso, a algebricidade é transitiva: [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) sobre [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic). **Demonstração.** $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ é finita sobre $K(\alpha)$ ($\beta$ é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K \subseteq K(\alpha)$) e $K(\alpha)/K$ é finita: pela [lei da torre](#thm-b3-galois-tower), $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$, e todo elemento de $K(\alpha, \beta)$ — inclusive os quatro listados — é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) ([Teorema 4.4](#thm-b3-galois-simple)). Transitividade: se $\beta$ é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $L$ e $L/K$ é [algébrica](#def-b3-galois-algebraic), os coeficientes $c_0, \dots, c_{m-1}$ de $\pi_{\beta/L}$ geram uma extensão finita $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$ de $K$ ([lei da torre](#thm-b3-galois-tower) aplicada repetidamente), e $F(\beta)/F$ é finita: $[F(\beta):K] < \infty$, logo $\beta$ é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$. ∎ **Exemplo 4.6.** $[\Q(\sqrt2):\Q] = 2$, $[\Q(\sqrt[3]2):\Q] = 3$ ($X^3 - 2$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility), por [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-criteria)), $[\Q(\zeta_p):\Q] = p - 1$ para $\zeta_p = \eu^{2\iu\pi/p}$ ($\Phi_p$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility), [Exemplo 2.26](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#ex-b3-rings-eisenstein)). A [lei da torre](#thm-b3-galois-tower) já é uma arma: $\sqrt[3]2 \notin \Q(\sqrt2)$, pois $3 \nmid 2$. ## 4.2 Corpos de decomposição; fecho algébrico **Teorema 4.7 (Corpos de decomposição).** Seja $P \in K[X]$ não constante. Existe um *corpo de decomposição* de $P$ sobre $K$: uma extensão $L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ gerada por raízes de $P$ na qual $P$ se decompõe em fatores lineares. Ele é único a menos de $K$-isomorfismo, e $[L:K] \leq (\deg P)!$. **Demonstração.** *Existência*, por indução sobre $\deg P$: escolha um fator [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $Q$ de $P$; o corpo $K_1 = K[X]/(Q)$ contém a raiz $\alpha_1 = \bar X$ de $Q$ e, portanto, de $P$; escreva $P = (X - \alpha_1)P_1$ sobre $K_1$ e aplique a indução a $P_1$ sobre $K_1$; os [graus](#def-b3-galois-extension) se multiplicam dando no máximo $n(n-1)\cdots = n!$. A *unicidade* decorre do *lema de extensão de isomorfismos*, que é mais forte: seja $\sigma \colon K \to K'$ um isomorfismo, $P \in K[X]$, e seja $P^\sigma$ o polinômio de coeficientes transportados; sejam $L, L'$ [corpos de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) de $P, P^\sigma$; então $\sigma$ se estende a um isomorfismo $L \to L'$. Indução sobre $[L:K]$: se $P$ se decompõe em $K$, então $L = K$ e $L' = K'$ ($P^\sigma$ se decompõe em $K'$, e $L'$ é gerado por suas raízes). Caso contrário, escolha uma raiz $\alpha \in L \setminus K$ de um fator [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $Q$ de $P$ com $\deg Q \geq 2$; $Q^\sigma$ é um fator [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de $P^\sigma$, com uma raiz $\beta \in L'$; então $$ K(\alpha) \cong K[X]/(Q) \xrightarrow{\ \sigma\ } K'[X]/(Q^\sigma) \cong K'(\beta) $$ estende $\sigma$ com $\alpha \mapsto \beta$. Ora, $L$ é um [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) de $P$ sobre $K(\alpha)$, e $L'$ o é de $P^\sigma$ sobre $K'(\beta)$, com $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: a indução estende ainda mais, até $L \to L'$. ∎ **Definição 4.8.** Um corpo $\Omega$ é *algebricamente fechado* se todo polinômio não constante de $\Omega[X]$ tem uma raiz em $\Omega$ (e portanto se decompõe). Um *fecho algébrico* de $K$ é uma extensão [algébrica](#def-b3-galois-algebraic) $\bar K/K$ com $\bar K$ [algebricamente](#def-b3-galois-algebraic) fechado. **Teorema 4.9 (Steinitz).** Todo corpo $K$ tem um [fecho algébrico](#def-b3-galois-closure), único a menos de $K$-isomorfismo. **Demonstração.** *Existência (construção de Artin).* Seja $R = K[(X_f)_f]$ o anel de polinômios com uma variável $X_f$ para cada $f \in K[X]$ mônico não constante, e seja $I$ o [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) gerado por todos os $f(X_f)$. O [ideal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-ideal) $I$ é próprio: uma relação $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ envolve um número finito de polinômios; em um [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) comum $E$ de $f_1\cdots f_r$, escolha raízes $\alpha_i$ de $f_i$ e avalie $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (as demais variáveis em $\mapsto 0$): $1 = 0$, absurdo. Seja $\mathfrak m \supseteq I$ maximal ([Teorema 2.8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-krull); Zorn) e ponha $K_1 = R/\mathfrak m$: uma [extensão de corpos](#def-b3-galois-extension) de $K$ em que todo $f \in K[X]$ não constante tem uma raiz, a saber $\bar X_f$, e que é [algébrica](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$ (ela é gerada pelos $\bar X_f$, cada um [algébrico](#def-b3-galois-algebraic)). Itere: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, onde $K_{n+1}$ faz com $K_n$ o que $K_1$ fez com $K$, e ponha $\Omega = \bigcup_n K_n$, um corpo. Todo $g \in \Omega[X]$ não constante tem seus finitos coeficientes em algum $K_n$; um fator [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de $g$ sobre $K_n$ tem uma raiz em $K_{n+1} \subseteq \Omega$: $\Omega$ é [algebricamente fechado](#def-b3-galois-closure), e é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) sobre $K$ (cada $K_n$ o é, por transitividade, [Corolário 4.5](#cor-b3-galois-algclosed)): $\Omega$ é um [fecho algébrico](#def-b3-galois-closure). *Unicidade.* Sejam $\Omega, \Omega'$ dois [fechos algébricos](#def-b3-galois-closure). Considere o conjunto dos pares $(E, \tau)$ em que $K \subseteq E \subseteq \Omega$ e $\tau\colon E \to \Omega'$ é um $K$-mergulho, ordenado por extensão; ele é não vazio ($(K, \mathrm{id})$) e indutivo (a reunião de uma cadeia), de modo que Zorn fornece um par maximal $(E_0, \tau_0)$. Se $E_0 \neq \Omega$, escolha $\alpha \in \Omega\setminus E_0$: $\pi_{\alpha/E_0}$ é levado em um polinômio sobre $\tau_0(E_0)$ que tem uma raiz $\beta$ no [corpo algebricamente fechado](#def-b3-galois-closure) $\Omega'$, e $\tau_0$ se estende a $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), contradizendo a maximalidade. Existe, portanto, um $K$-mergulho $\tau \colon \Omega \to \Omega'$; sua imagem, isomorfa a $\Omega$, é [algebricamente](#def-b3-galois-algebraic) fechada, e $\Omega'$ é [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) sobre ela: para $x \in \Omega'$, $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ se decompõe sobre $\tau(\Omega)$, logo $x \in \tau(\Omega)$. Assim $\tau$ é sobrejetor: é um isomorfismo. ∎ **Observação 4.10.** Para $K = \Q$ é possível evitar o maquinário transfinito: os números [algébricos](#def-b3-galois-algebraic) $\bar\Q = \{z \in \C : z \text{ algebraic over } \Q\}$ formam um [fecho algébrico](#def-b3-galois-closure) — um subcorpo de $\C$ pelo [Corolário 4.5](#cor-b3-galois-algclosed), [algebricamente fechado](#def-b3-galois-closure) porque $\C$ o é (d’Alembert–Gauss, demonstrado por análise complexa no [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#ch-b3-holomorphic)), e as raízes de polinômios sobre $\bar\Q$ são [algébricas](#def-b3-galois-algebraic) sobre $\Q$ por transitividade. ## 4.3 Corpos finitos **Teorema 4.11.** Sejam $p$ primo, $n \geq 1$, $q = p^n$. 1. Um [corpo finito](#thm-b3-galois-finitefields) tem por cardinalidade uma potência de primo e, para cada $q$ , existe exatamente um corpo $\mathbb F_q$ com $q$ elementos a menos de isomorfismo: o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) de $X^q - X$ sobre $\mathbb F_p$ . 2. O *Frobenius* $F \colon x \mapsto x^p$ é um automorfismo de $\mathbb F_q$ , e o grupo de automorfismos de $\mathbb F_q$ é cíclico de ordem $n$ , gerado por $F$ . 3. $\mathbb F_{p^m}$ mergulha em $\mathbb F_{p^n}$ se, e somente se, $m \mid n$ . **Demonstração.** (1) Um [corpo finito](#thm-b3-galois-finitefields) $E$ tem característica $p > 0$ e é um $\mathbb F_p$-espaço vetorial de dimensão finita: $\abs E = p^n$. Seu grupo multiplicativo tem ordem $q - 1$, de modo que todo $x \in E$ satisfaz $x^q = x$: $E$ é formado por $q$ raízes de $X^q - X$ e, portanto, é um [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) desse polinômio sobre $\mathbb F_p$ — o que determina $E$ a menos de isomorfismo ([Teorema 4.7](#thm-b3-galois-splitting)). Reciprocamente, em um [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) $L$ de $X^q - X$, o conjunto $E$ de suas raízes é um *subcorpo*: $(x + y)^q = x^q + y^q$ iterando o sonho do calouro $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$), e $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; ele tem exatamente $q$ elementos, pois $X^q - X$ é [separável](#def-b3-galois-separable): sua derivada é $qX^{q-1} - 1 = -1$ (já que $p \mid q$), coprima com ele, de modo que não há raízes múltiplas. Assim $L = E$ tem $q$ elementos. (2) $F$ é um morfismo de corpos (sonho do calouro), injetor (são corpos) e, portanto, bijetor no conjunto finito $\mathbb F_q$. Tem-se $F^n = \mathrm{id}$ ($x^q = x$), e nenhuma potência menor é a identidade: $F^m = \mathrm{id}$ significaria que todos os $q$ elementos são raízes de $X^{p^m} - X$, o que força $p^m \geq q$. Logo $\langle F\rangle$ é cíclico de ordem $n$; e não há outros automorfismos, pela cota $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] = n$ demonstrada adiante ([Proposição 4.16](#prop-b3-galois-embeddings) com $L = \mathbb F_q$, $K = \mathbb F_p$: os automorfismos fixam o corpo primo). (3) Se $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$, a [lei da torre](#thm-b3-galois-tower) dá $p^n = (p^m)^d$: $m \mid n$. Reciprocamente, se $m \mid n$, então $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (soma geométrica), de modo que $X^{p^m} - X$ divide $X^{p^n} - X$ (mesmo argumento nos expoentes: $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$ quando $a \mid b$), e as raízes do primeiro dentro de $\mathbb F_{p^n}$ formam o subcorpo procurado, de cardinalidade $p^m$ (separabilidade como em (1)). ∎ **Teorema 4.12 (Ciclicidade).** Todo subgrupo finito do grupo multiplicativo de um corpo é cíclico. Em particular, $\mathbb F_q^\times \cong \Z/(q-1)\Z$. **Demonstração.** Seja $G \leq K^\times$ finito. Pelo teorema de estrutura ([Corolário 3.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#cor-b3-modules-abelian)), $G \cong \Z/d_1 \times \dots \times \Z/d_s$ com $d_1 \mid \dots \mid d_s$. Todo $x \in G$ satisfaz então $x^{d_s} = 1$; mas $X^{d_s} - 1$ tem no máximo $d_s$ raízes no corpo $K$: $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$, o que força $s = 1$: $G$ é cíclico. ∎ **Exemplo 4.13.** $\mathbb F_8 = \mathbb F_2[X]/(X^3 + X + 1)$: a cúbica não tem raiz em $\mathbb F_2$ e, portanto, é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). Escrevendo $\omega = \bar X$: $\mathbb F_8^\times$ é cíclico de ordem $7$, de modo que *todo* elemento $\neq 0, 1$ é gerador. Os subcorpos de $\mathbb F_{p^{12}}$ formam o reticulado dos divisores de $12$: $\mathbb F_p, \mathbb F_{p^2}, \mathbb F_{p^3}, \mathbb F_{p^4}, \mathbb F_{p^6}, \mathbb F_{p^{12}}$ — um primeiro exemplo completo da [correspondência de Galois](#thm-b3-galois-fundamental). ## 4.4 Separabilidade e mergulhos **Definição 4.14.** Um polinômio $P \in K[X]$ é *separável* se não tem raiz múltipla em um [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) — equivalentemente, $\gcd(P, P') = 1$ (uma raiz múltipla é uma raiz comum; reciprocamente, sobre o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting), uma raiz comum é múltipla; e o mdc não muda por extensão de corpo, pelo argumento do [Corolário 3.17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#cor-b3-modules-descent)). Um [elemento algébrico](#def-b3-galois-algebraic) é separável se seu [polinômio minimal](#def-b3-galois-algebraic) o for; uma extensão $L/K$ é separável se todos os seus elementos o forem. **Proposição 4.15.** Um $P \in K[X]$ *[irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility)* é [separável](#def-b3-galois-separable), exceto se $P' = 0$, o que força $\operatorname{char} K = p > 0$ e $P \in K[X^p]$. Consequentemente, toda extensão [algébrica](#def-b3-galois-algebraic) de um corpo de característica $0$, e de um [corpo finito](#thm-b3-galois-finitefields), é [separável](#def-b3-galois-separable) (tais corpos são chamados *perfeitos*). **Demonstração.** $\gcd(P, P')$ divide $P$; se não for $1$, a irredutibilidade força $\gcd = P$ (a menos de uma constante), de modo que $P \mid P'$ com $\deg P' < \deg P$: $P' = 0$. Escrevendo $P = \sum a_kX^k$: $ka_k = 0$ para todo $k$, logo em característica $0$ o polinômio $P$ é constante (excluído); em característica $p$, $a_k = 0$ a menos que $p \mid k$: $P = Q(X^p)$. Sobre um [corpo finito](#thm-b3-galois-finitefields), todo elemento é uma $p$-ésima potência (o [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) é sobrejetor), de modo que $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$ não é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): ali tampouco pode ocorrer $P' = 0$ para $P$ [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). ∎ **Proposição 4.16 (Contagem de mergulhos).** Sejam $L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_r)$ finita sobre $K$ e $\sigma \colon K \to \Omega$ um mergulho em um [corpo algebricamente fechado](#def-b3-galois-closure). Então o número de extensões de $\sigma$ a $L$ é no máximo $[L:K]$, com igualdade se $L/K$ é [separável](#def-b3-galois-separable). Em particular, $\abs{\operatorname{Aut}_K(L)} \leq [L:K]$. **Demonstração.** Indução sobre $[L:K]$ por etapas simples. Para $L = K(\alpha)$: uma extensão $\tau$ fica determinada por $\tau(\alpha)$, que deve ser uma raiz em $\Omega$ de $\pi_\alpha^\sigma$; reciprocamente, cada uma dessas raízes dá uma extensão ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$). O número de extensões é o número de raízes *distintas* de $\pi_\alpha^\sigma$ em $\Omega$: no máximo $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$, com igualdade se, e somente se, $\pi_\alpha$ é [separável](#def-b3-galois-separable) (a separabilidade de $\pi^\sigma$ e a de $\pi$ coincidem: o mdc com a derivada é preservado por $\sigma$). No caso geral, fatore $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: as extensões de $\sigma$ a $K(\alpha_1)$ são em número de $\leq [K(\alpha_1):K]$, e cada uma se estende de $\leq [L : K(\alpha_1)]$ maneiras, por indução; multiplique ([lei da torre](#thm-b3-galois-tower)). No caso [separável](#def-b3-galois-separable), ambas as contagens são igualdades: os polinômios minimais sobre o corpo maior $K(\alpha_1)$ dividem os de sobre $K$ e, portanto, permanecem separáveis. ∎ **Teorema 4.17 (Elemento primitivo).** Toda extensão finita *[separável](#def-b3-galois-separable)* é simples: $L = K(\gamma)$ para algum $\gamma$. **Demonstração.** Se $K$ é finito, $L$ também é, e um gerador $\gamma$ do grupo cíclico $L^\times$ ([Teorema 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)) resolve. Seja $K$ infinito; por indução, basta tratar $L = K(\alpha, \beta)$. Seja $n = [L:K]$; pela [Proposição 4.16](#prop-b3-galois-embeddings) há $n$ $K$-mergulhos distintos $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ (com $\Omega$ um [fecho algébrico](#def-b3-galois-closure)). O polinômio $$ D(T)=\prod_{i 0$. Por indução, todo ponto construído tem coordenadas em uma torre de extensões quadráticas de $\Q$; e $z = x + \iu y$ também está em uma torre quadrática (adjunte $\iu$: mais uma etapa quadrática). A consequência sobre o [grau](#def-b3-galois-extension): $[\Q(z):\Q]$ divide $[F_r : \Q] = 2^r$ ([lei da torre](#thm-b3-galois-tower)). ($\Leftarrow$) Os números [construtíveis](#def-b3-galois-constructible) formam um corpo: somas e diferenças por paralelogramos (as paralelas são [construtíveis](#def-b3-galois-constructible): baixe e levante perpendiculares duas vezes — a perpendicular clássica por um ponto usa um círculo e dois arcos); produtos e quocientes pelas configurações de Tales (dados os comprimentos $a, b$, construa $ab$ e $a/b$ com triângulos semelhantes sobre duas semirretas). E o corpo é fechado por raízes quadradas: para $a > 0$, o círculo de diâmetro $1 + a$ e a perpendicular no ponto de junção encontram-se à altura $\sqrt a$ (relação da média geométrica em um triângulo retângulo); para um $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ complexo, construa $\sqrt\rho$ e bissecte $\theta$ (a bissecção de ângulo é uma construção com compasso). As partes real e imaginária dos elementos de uma torre quadrática são, portanto, [construtíveis](#def-b3-galois-constructible), por indução sobre a torre: cada etapa adjunge raízes de uma quadrática, exprimíveis por operações de corpo e uma raiz quadrada de um número já construído (fórmula quadrática; em característica $0$). ∎ **Corolário 4.26.** Os três problemas clássicos são insolúveis com régua e compasso: 1. *Duplicação do cubo* : $\sqrt[3]2$ tem [grau](#def-b3-galois-extension) $3$ , que não é potência de $2$ . 2. *Trissecção do ângulo* : trissectar $60^\circ$ exige $\cos 20^\circ$ , raiz do [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $8X^3 - 6X - 1$ : [grau](#def-b3-galois-extension) $3$ . 3. *Quadratura do círculo* : $\sqrt\pi$ é transcendente ( $\pi$ o é — teorema de Lindemann, admitido aqui: sua demonstração pertence a um curso de teoria da transcendência). Além disso, o $n$-ágono regular é [construtível](#def-b3-galois-constructible) se, e somente se, $\varphi(n)$ é uma potência de $2$ (Gauss–Wantzel; a implicação “se” usa o método do problema de fim de semana, e a implicação “somente se” é o [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) aplicado a $\zeta_n$, de [grau](#def-b3-galois-extension) $\varphi(n)$). Para $n = 7$: $\varphi(7) = 6$, e o heptágono regular é impossível; para $n = 17$: $\varphi(17) = 16 = 2^4$, e ele é [construtível](#def-b3-galois-constructible) — o problema de fim de semana o constrói. **Demonstração.** (1) $X^3 - 2$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-criteria)). (2) De $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ com $3\theta = 60^\circ$: $8c^3 - 6c = 1$ para $c = \cos 20^\circ$; a cúbica $8X^3 - 6X - 1$ não tem raiz racional (os candidatos $\pm1, \pm\frac 12, \pm\frac14, \pm\frac18$ falham) e, portanto, é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility): [grau](#def-b3-galois-extension) $3$. Um ângulo genérico $60^\circ$ é [construtível](#def-b3-galois-constructible), de modo que um trissector construiria $c$. (3) Se $\sqrt\pi$ fosse [construtível](#def-b3-galois-constructible), seria [algébrico](#def-b3-galois-algebraic) e, com ele, $\pi$. Quanto ao enunciado sobre o $n$-ágono: o [grau](#def-b3-galois-extension) de $\zeta_n$ é $\varphi(n)$ ([Teorema 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred)); a necessidade decorre de Wantzel; quanto à suficiência, o [grupo de Galois](#def-b3-galois-galois), abeliano de ordem $2^m$, admite uma cadeia de subgrupos de índice $2$ (todo $2$-grupo finito admite: [Exercício 1.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-10)), cujos corpos fixos formam uma torre quadrática que termina em $\Q(\zeta_n)$ ([Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)); conclua pelo [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel). ∎ ## 4.8 Solubilidade por radicais **Definição 4.27.** Uma extensão $L/K$ (com característica $0$ em toda esta seção) é *radical* se existe uma torre $K = F_0 \subseteq \dots \subseteq F_r = L$ com $F_{i+1} = F_i(\alpha_i)$, $\alpha_i^{n_i} \in F_i$: cada etapa adjunge uma raiz $n_i$-ésima. Um polinômio $P \in K[X]$ é *solúvel por radicais* se seu [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) está contido em alguma extensão radical de $K$. **Lema 4.28.** Seja $K$ contendo uma raiz $n$-ésima primitiva da unidade $\zeta$, isto é, $\zeta$ de ordem $n$ em $K^\times$, e seja $a \in K^\times$. Então $K(\sqrt[n]a)/K$ é [de Galois](#def-b3-galois-galois) com grupo *cíclico*. Reciprocamente — o que não será necessário adiante — toda extensão cíclica de [grau](#def-b3-galois-extension) $n$ é dessa forma. Além disso, $K(\zeta_n)/K$ é [de Galois](#def-b3-galois-galois) com grupo *abeliano*, para todo $K$ de característica $0$. **Demonstração.** $X^n - a$ é [separável](#def-b3-galois-separable) ($\gcd$ com $nX^{n-1}$: $a \neq 0$) e se decompõe em $K(\alpha)$, $\alpha^n = a$: suas raízes são os $\zeta^k\alpha \in K(\alpha)$. Logo $K(\alpha)/K$ é [de Galois](#def-b3-galois-galois); a aplicação $\sigma \mapsto \sigma(\alpha)/\alpha \in \mu_n = \langle \zeta\rangle$ é um morfismo injetor ($\sigma\tau(\alpha) = \sigma(\tau(\alpha)/\alpha \cdot \alpha) = \tau(\alpha)/\alpha\cdot\sigma(\alpha)$, sendo o quociente um elemento de $K$) em um grupo cíclico: $\operatorname{Gal}$ é cíclico. A recíproca é a teoria de Kummer, de que não precisaremos (veja a observação abaixo). Quanto a $K(\zeta_n)$: ela decompõe o [polinômio separável](#def-b3-galois-separable) $X^n - 1$, e $\sigma \mapsto a(\sigma)$ com $\sigma(\zeta_n) = \zeta_n^{a(\sigma)}$ mergulha o grupo no abeliano $(\Z/n\Z)^\times$ como no [Teorema 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred) (a injetividade só exige que $\zeta_n$ gere as raízes da unidade envolvidas). ∎ **Teorema 4.29 (Galois).** Sejam $K$ de característica $0$ e $P \in K[X]$ com [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) $L$. Se $P$ é [solúvel por radicais](#def-b3-galois-radical), então $\operatorname{Gal}(L/K)$ é um [grupo solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived). (A recíproca também é verdadeira; não precisaremos dela.) **Demonstração.** Etapa 1: *ampliar a torre [radical](#def-b3-galois-radical) até uma torre [de Galois](#def-b3-galois-galois).* Seja $L \subseteq M$ com $M/K$ [radical](#def-b3-galois-radical), de expoentes de raiz $n_1, \dots, n_r$, e ponha $n = n_1\cdots n_r$. Primeiro adjunte $\zeta_n$: a torre $K \subseteq K(\zeta_n) \subseteq M(\zeta_n)$ ainda é [radical](#def-b3-galois-radical) ($\zeta_n$ é uma raiz da unidade: uma etapa [radical](#def-b3-galois-radical), $\zeta_n^n = 1$), e suas etapas além da primeira ocorrem sobre corpos que contêm as raízes da unidade necessárias. Em seguida, substitua $M(\zeta_n)$ pelo composto $N$ de todos os $\sigma(M(\zeta_n))$, com $\sigma$ percorrendo os (finitos) $K$-mergulhos de $M(\zeta_n)$ em um [fecho algébrico](#def-b3-galois-closure) fixado: $N$ é o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) do produto dos polinômios minimais de um conjunto gerador (característica $0$: finito e [separável](#def-b3-galois-separable)), de modo que $N/K$ é [de Galois](#def-b3-galois-galois); e $N$ é [radical](#def-b3-galois-radical) sobre $K$: cada $\sigma(M(\zeta_n))$ é [radical](#def-b3-galois-radical) sobre $K$ (aplique $\sigma$ a uma torre [radical](#def-b3-galois-radical)), e um composto de extensões radicais é [radical](#def-b3-galois-radical) (concatene as torres: se $F'/K$ é [radical](#def-b3-galois-radical) com torre que adjunge $\beta_j$, as etapas do tipo $F''(\beta_j)$ permanecem radicais sobre qualquer base maior). Etapa 2: *ler a [solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) na torre [de Galois](#def-b3-galois-galois).* Suponha, pois, $L \subseteq N$, com $N/K$ [de Galois](#def-b3-galois-galois) e [radical](#def-b3-galois-radical), de torre $K \subseteq K(\zeta_n) = E_0 \subseteq E_1 \subseteq \dots \subseteq E_s = N$, cada $E_{i+1} = E_i(\sqrt[n_i]{a_i})$ com $\zeta_{n_i} \in E_0 \subseteq E_i$. Sejam $G = \operatorname{Gal}(N/K)$ e $G_i = \operatorname{Gal}(N/E_i)$: uma cadeia decrescente $G \supseteq G_0 \supseteq G_1 \supseteq \dots \supseteq G_s = \{e\}$. Cada $E_{i+1}/E_i$ é [de Galois](#def-b3-galois-galois) com grupo cíclico ([Lema 4.28](#lem-b3-galois-cyclicsteps)), de modo que, pelo teorema fundamental aplicado à [extensão de Galois](#def-b3-galois-galois) $N/E_i$ ([Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)(3), com grupo ambiente $G_i$): $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$ com $G_i/G_{i+1} \cong \operatorname{Gal}(E_{i+1}/E_i)$ cíclico. Analogamente, $E_0/K$ é [de Galois](#def-b3-galois-galois) com grupo abeliano $G/G_0$ ([Lema 4.28](#lem-b3-galois-cyclicsteps)). A cadeia exibe $G$ como [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) ([Proposição 1.29](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#prop-b3-groups-derived)). Por fim, $\operatorname{Gal}(L/K)$ é um *quociente* de $G$: $L/K$ é [de Galois](#def-b3-galois-galois) ($P$ é [separável](#def-b3-galois-separable) em característica $0$) e a restrição $G \to \operatorname{Gal}(L/K)$ é sobrejetora ([Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)(3) com $H = \operatorname{Gal}(N/L)$); e quocientes de [grupos solúveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) são [solúveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived). ∎ **Corolário 4.30 (Insolubilidade da quíntica).** Há polinômios de [grau](#def-b3-galois-extension) $5$ sobre $\Q$ que não são [solúveis por radicais](#def-b3-galois-radical): por exemplo $X^5 - 4X + 2$, cujo [grupo de Galois](#def-b3-galois-galois) é $S_5$ ([Exercício 4.11](#exo-b3-galois-11)), um grupo não [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) ([Corolário 1.34](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#cor-b3-groups-snnotsolvable)). Nenhuma fórmula geral por radicais pode existir para [grau](#def-b3-galois-extension) $\geq 5$. **Observação 4.31.** A recíproca do [Teorema 4.29](#thm-b3-galois-solvable) — [grupo de Galois](#def-b3-galois-galois) [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) implica [solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) por radicais — demonstra-se descendo a [série derivada](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) e mostrando que toda extensão cíclica (com raízes da unidade suficientes) é [radical](#def-b3-galois-radical), por meio dos *resolventes de Lagrange*; ela explica por que os [graus](#def-b3-galois-extension) $2, 3, 4$ têm fórmulas: $S_2, S_3, S_4$ são [solúveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) ([Exemplo 1.30](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-solvableexamples)). Deixamo-la admitida neste nível; um tratamento completo pertence a um curso de mestrado, mas o [Exercício 4.8](#exo-b3-galois-8) a torna concreta para o [grau](#def-b3-galois-extension) três. ## 4.9 Exercícios **Exercício 4.1 ★.** Mostre que $[\Q(\sqrt2, \sqrt3):\Q] = 4$, que $\Q(\sqrt2 + \sqrt3) = \Q(\sqrt2, \sqrt3)$, e calcule o [polinômio minimal](#def-b3-galois-algebraic) de $\sqrt2 + \sqrt3$ sobre $\Q$. **Solução de Exercício 4.1.** $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$: de $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ ($a, b \in \Q$), elevar ao quadrado dá $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$, logo $ab = 0$; $b = 0$ torna $\sqrt3$ racional, $a = 0$ dá $\sqrt6 = 2b \in \Q$ — ambos falsos (argumentos usuais de fatoração em primos). Logo $[\Q(\sqrt2,\sqrt3) : \Q(\sqrt2)] = 2$ e a [lei das torres](#thm-b3-galois-tower) dá [grau](#def-b3-galois-extension) $4$. Seja $\gamma = \sqrt2 + \sqrt3$. Então $\gamma^2 = 5 + 2\sqrt6$ e $(\gamma^2 - 5)^2 = 24$: $\gamma$ anula $X^4 - 10X^2 + 1$. Além disso $\gamma^3 = 11\sqrt2 + 9\sqrt3$, logo $\gamma^3 - 9\gamma = 2\sqrt2$: $\sqrt2 \in \Q(\gamma)$, e então $\sqrt3 = \gamma - \sqrt2 \in \Q(\gamma)$: $\Q(\gamma) = \Q(\sqrt2,\sqrt3)$, de [grau](#def-b3-galois-extension) $4$. A quártica que o anula, tendo o [grau](#def-b3-galois-extension) do [polinômio minimal](#def-b3-galois-algebraic), *é* o [polinômio minimal](#def-b3-galois-algebraic): $X^4 - 10X^2 + 1$ (em particular, ele é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre $\Q$). **Exercício 4.2 ★.** Seja $\alpha = \sqrt[3]2$. Mostre que $\Q(\alpha)/\Q$ não é normal (exiba um mergulho $\Q(\alpha) \to \C$ cuja imagem não é $\Q(\alpha)$), determine o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) $L$ de $X^3 - 2$ e $[L:\Q]$, e verifique que $\operatorname{Aut}_\Q(\Q(\alpha)) = \{\mathrm{id}\}$: em extensões que não são [de Galois](#def-b3-galois-galois), o grupo de automorfismos pode ser muito menor do que o [grau](#def-b3-galois-extension). **Solução de Exercício 4.2.** As três raízes de $X^3 - 2$ em $\C$ são $\alpha, j\alpha, j^2\alpha$ com $j = \eu^{2\iu\pi/3}$. A aplicação $\alpha \mapsto j\alpha$ define um $\Q$-mergulho $\Q(\alpha) \to \C$ ([Teorema 4.4](#thm-b3-galois-simple): ambos geram extensões de [grau](#def-b3-galois-extension) $3$ com o mesmo [polinômio minimal](#def-b3-galois-algebraic)), cuja imagem $\Q(j\alpha) \not\subseteq \R$ difere de $\Q(\alpha) \subseteq \R$: $\Q(\alpha)/\Q$ não é normal. O [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) é $L = \Q(\alpha, j)$, com $[L:\Q] = [L:\Q(\alpha)]\,[\Q(\alpha):\Q] = 2 \cdot 3 = 6$ ($j$ satisfaz $X^2 + X + 1$, [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre o corpo real $\Q(\alpha)$). Um automorfismo de $\Q(\alpha)$ deve levar $\alpha$ a uma raiz de $X^3 - 2$ *dentro de* $\Q(\alpha) \subseteq \R$: só $\alpha$ serve, de modo que $\operatorname{Aut}_\Q(\Q(\alpha)) = \{\mathrm{id}\}$, de ordem $1 < 3$. **Exercício 4.3 ★.** Construa $\mathbb F_9$ como $\mathbb F_3[X]/(X^2+1)$ e encontre um gerador de $\mathbb F_9^\times$. Liste os polinômios mônicos irredutíveis de [graus](#def-b3-galois-extension) $1, 2, 3$ sobre $\mathbb F_2$ e verifique $X^8 - X = X(X+1)(X^3+X+1)(X^3+X^2+1)$ sobre $\mathbb F_2$. **Solução de Exercício 4.3.** $X^2 + 1$ não tem raiz em $\mathbb F_3$ ($0, 1, 2 \mapsto 1, 2, 2$), de modo que $\mathbb F_9 = \mathbb F_3[X]/(X^2+1)$ é um corpo com $9$ elementos; escreva $\omega = \bar X$, $\omega^2 = -1$. O grupo $\mathbb F_9^\times$ é cíclico de ordem $8$; $\omega$ tem ordem $4$, mas $1 + \omega$ funciona: $(1+\omega)^2 = 1 + 2\omega + \omega^2 = 2\omega$, $(1+\omega)^4 = 4\omega^2 = \omega^2 = -1 \ne 1$: ordem $8$. Sobre $\mathbb F_2$ — [grau](#def-b3-galois-extension) $1$: $X$, $X + 1$; [grau](#def-b3-galois-extension) $2$: $X^2 + X + 1$ (as outras três quadráticas têm raízes); [grau](#def-b3-galois-extension) $3$: $X^3 + X + 1$ e $X^3 + X^2 + 1$ (sem raízes em $\mathbb F_2$; as outras seis cúbicas têm raízes). Verificação: $$ (X^3{+}X{+}1)(X^3{+}X^2{+}1) = X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1, $$ e $X(X{+}1)(X^6 + \dots + 1) = X(X^7 + 1) = X^8 + X = X^8 - X$ sobre $\mathbb F_2$ — exatamente os irredutíveis de [grau](#def-b3-galois-extension) divisor de $3$, como o [Exercício 4.6](#exo-b3-galois-6) prevê (o [grau](#def-b3-galois-extension) $2$ está ausente: $2 \nmid 3$). **Exercício 4.4 ★★.** (a) Encontre todas as raízes primitivas módulo $7$ e módulo $11$ (isto é, os geradores de $\mathbb F_7^\times$, $\mathbb F_{11}^\times$). (b) Mostre que, para $p$ ímpar, $x \in \mathbb F_p^\times$ é um quadrado se, e somente se, $x^{(p-1)/2} = 1$ (critério de Euler), e recupere o critério para $-1$ do [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#pb-b3-rings-1). **Solução de Exercício 4.4.** (a) Módulo $7$: as potências de $3$ são $3, 2, 6, 4, 5, 1$: ordem $6$, um gerador; as raízes primitivas são os $3^k$ com $\gcd(k, 6) = 1$: $3$ e $3^5 = 5$. Módulo $11$: potências de $2$: $2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1$: um gerador; raízes primitivas $2^k$, $\gcd(k, 10) = 1$: $2, 2^3 = 8, 2^7 = 7, 2^9 = 6$. (b) Escreva $x = g^k$ com $g$ um gerador ([Teorema 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). Então $x$ é um quadrado se, e somente se, $k$ é par (os quadrados são os $g^{2l}$, e $g^{2l} = g^{k}$ se, e somente se, $k \equiv 2l \bmod p-1$, [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) se, e somente se, $k$ é par, sendo $p - 1$ par). E $x^{(p-1)/2} = g^{k(p-1)/2} = 1$ se, e somente se, $(p-1) \mid k\frac{p-1}2$ se, e somente se, $k$ é par: as duas condições coincidem. Para $x = -1 = g^{(p-1)/2}$: é um quadrado se, e somente se, $\frac{p-1}2$ é par, se, e somente se, $p \equiv 1 \pmod 4$ — o [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#pb-b3-rings-1) de novo. **Exercício 4.5 ★★.** Mostre que $\mathbb F_{p^m} \cap \mathbb F_{p^n} = \mathbb F_{p^{\gcd(m,n)}}$ e $\mathbb F_{p^m}\mathbb F_{p^n} = \mathbb F_{p^{\operatorname{lcm}(m,n)}}$ dentro de um [fecho algébrico](#def-b3-galois-closure) fixado $\bar{\mathbb F}_p$, e descreva $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_{p^m})$ para $m \mid n$. **Solução de Exercício 4.5.** Dentro de $\bar{\mathbb F}_p$, $\mathbb F_{p^k} = \{x : x^{p^k} = x\}$ é o conjunto dos pontos fixos de $F^k$. A interseção $\mathbb F_{p^m} \cap \mathbb F_{p^n}$ é fixada por $F^m$ e $F^n$, logo por $F^{\gcd(m,n)}$ ($\gcd = am + bn$: sobre um elemento fixo, $F^{am + bn} = (F^m)^a(F^n)^b$ age trivialmente — os expoentes podem ser tomados positivos por periodicidade); assim ela está contida em $\mathbb F_{p^{\gcd(m,n)}}$, que reciprocamente está contido em ambos ([Teorema 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(3)). O composto $\mathbb F_{p^m}\mathbb F_{p^n}$: todo corpo que contém ambos tem [grau](#def-b3-galois-extension) divisível por $m$ e $n$, logo por $\operatorname{lcm}(m,n)$; e $\mathbb F_{p^{\operatorname{lcm}}}$ contém ambos: é o composto. Para $m \mid n$: $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_{p^m})$ consiste nas potências de $F$ que fixam $\mathbb F_{p^m}$, isto é, nas de $F^m$: cíclico de ordem $n/m$, gerado por $F^m \colon x \mapsto x^{p^m}$ (ordem como em [Teorema 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(2)). **Exercício 4.6 ★★.** Seja $I_d(q)$ o número de polinômios mônicos irredutíveis de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$ sobre $\mathbb F_q$. Demonstre $$ X^{q^n} - X \;=\; \prod_{d \mid n}\ \prod_{P \text{ irred. monic, } \deg P = d} P , \qquad\text{logo}\qquad q^n = \sum_{d \mid n} d\, I_d(q). $$ Deduza $I_1, I_2, I_3, I_4$ explicitamente, e $I_d(q) \geq 1$ para todo $d$ (de modo que as extensões $\mathbb F_{q^d}/\mathbb F_q$ existem como quocientes $\mathbb F_q[X]/(P)$ para todo $d$). **Solução de Exercício 4.6.** $X^{q^n} - X$ é [separável](#def-b3-galois-separable) (derivada $-1$), com conjunto de raízes $\mathbb F_{q^n}$. Seja $P$ mônico [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$. Se $d \mid n$: $\mathbb F_q[X]/(P) \cong \mathbb F_{q^d} \subseteq \mathbb F_{q^n}$, de modo que $P$ tem uma raiz $\alpha \in \mathbb F_{q^n}$; $\alpha^{q^n} = \alpha$, e $P = \pi_\alpha$ divide $X^{q^n} - X$. Se $P \mid X^{q^n} - X$: uma raiz $\alpha \in \mathbb F_{q^n}$ gera $\mathbb F_{q^d} \subseteq \mathbb F_{q^n}$, logo $d \mid n$ ([Teorema 4.11](#thm-b3-galois-finitefields)(3)). Irredutíveis distintos são primos entre si e o produto é [separável](#def-b3-galois-separable): cada $P$ aparece com expoente exatamente $1$, e toda raiz de $X^{q^n}-X$ é raiz de seu [polinômio minimal](#def-b3-galois-algebraic): a fatoração vale. Comparando [graus](#def-b3-galois-extension): $q^n = \sum_{d\mid n} d\,I_d(q)$. Consequentemente $I_1 = q$; $q^2 = I_1 + 2I_2$ dá $I_2 = \frac{q^2 - q}2$; $q^3 = I_1 + 3I_3$ dá $I_3 = \frac{q^3 - q}3$; $q^4 = I_1 + 2I_2 + 4I_4$ dá $I_4 = \frac{q^4 - q^2}4$. Existência: $nI_n = q^n - \sum_{d \mid n,\, d < n} dI_d \geq q^n - \sum_{d \leq n/2} q^d > q^n - q^{n/2 + 1} \geq 0$ para $n \geq 2$ (e $I_1 = q \geq 1$): $I_n \geq 1$ sempre. **Exercício 4.7 ★★.** Determine $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt2,\sqrt3)/\Q)$ e o reticulado completo dos corpos intermediários. Mesma pergunta para o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) de $(X^2-2)(X^2-3)(X^2-6)$ — o que você observa? **Solução de Exercício 4.7.** $L = \Q(\sqrt2, \sqrt3)$ é o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) de $(X^2 - 2)(X^2 - 3)$, [separável](#def-b3-galois-separable): galoisiano de [grau](#def-b3-galois-extension) $4$ ([Exercício 4.1](#exo-b3-galois-1)). Um automorfismo leva $\sqrt2 \mapsto \pm\sqrt2$ e $\sqrt3 \mapsto \pm\sqrt3$: no máximo $4$ escolhas, e $\abs G = 4$ realiza todas: $G \cong (\Z/2\Z)^2$, com elementos $\mathrm{id}, \sigma (\sqrt2 \mapsto -\sqrt2), \tau (\sqrt3\mapsto-\sqrt3), \sigma\tau$. Subgrupos de ordem $2$: $\langle\sigma\rangle, \langle\tau\rangle, \langle\sigma\tau\rangle$, com corpos fixos $\Q(\sqrt3)$, $\Q(\sqrt2)$, $\Q(\sqrt6)$ (note que $\sigma\tau$ fixa $\sqrt6 = \sqrt2\sqrt3$). O reticulado: $\Q$ embaixo, os três corpos quadráticos no meio, $L$ no topo — e nada mais ([Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)). Para $(X^2-2)(X^2-3)(X^2-6)$: o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) é o *mesmo* $L$ ($\sqrt6 = \sqrt2\sqrt3$), de modo que a resposta é idêntica: a [correspondência de Galois](#thm-b3-galois-fundamental) é um invariante da *extensão*, não do polinômio escolhido para apresentá-la. **Exercício 4.8 ★★.** (A cúbica, resolvida por seu grupo) Seja $P = X^3 + pX + q \in \Q[X]$ [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) de raízes $x_1, x_2, x_3$ e [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) $L$. Sejam $\delta = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$ e $\Delta = \delta^2 = -4p^3 - 27q^2$ (admita essa identidade clássica ou verifique-a expandindo funções simétricas). (a) Mostre que $\operatorname{Gal}(L/\Q) \cong A_3$ ou $S_3$, conforme $\Delta$ seja ou não um quadrado em $\Q$. (b) Com $j = \zeta_3$, defina os resolventes de Lagrange $u = x_1 + jx_2 + j^2x_3$ e $v = x_1 + j^2x_2 + jx_3$. Mostre que $u^3 + v^3 = -27q$ e $uv = -3p$, e resolva para $u^3, v^3$: as fórmulas de Cardano caem sozinhas. Onde foi usada a [solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) de $S_3$? **Solução de Exercício 4.8.** (a) $G$ age fielmente e transitivamente (irredutibilidade) sobre as três raízes: $G \hookrightarrow S_3$ com $3 \mid \abs G$: $G \cong A_3$ ou $S_3$. Todo $\sigma \in G$ permuta os $x_i$, e $\sigma(\delta) = \varepsilon(\sigma)\,\delta$ ($\delta$ é alternante nas raízes). Se $\Delta$ é um quadrado em $\Q$: $\delta \in \Q^\times$ (note $\delta \neq 0$: [separável](#def-b3-galois-separable)), de modo que $\varepsilon(\sigma) = 1$ para todo $\sigma$: $G \subseteq A_3$, logo $= A_3$. Caso contrário: $\delta \notin \Q$, de modo que algum $\sigma$ tem $\varepsilon(\sigma) = -1$: $G = S_3$. (Em ambos os casos $\Q(\delta) = L^{G \cap A_3}$.) (b) Com $x_1 + x_2 + x_3 = 0$: $u + v = 2x_1 - (x_2 + x_3) = 3x_1$. Também $$ uv = \sum_i x_i^2 + (j + j^2)\sum_{i 0$: $\eta_0 = \frac{\sqrt5 - 1}2$, donde $\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}4$, e $\eta_1 = \frac{-1-\sqrt5}2$. O grupo $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_5)/\Q) \cong (\Z/5\Z)^\times$ é cíclico de ordem $4$: ele tem um *único* subgrupo de ordem $2$ ($\{\pm 1\}$, isto é, $\zeta \mapsto \zeta^{\pm1}$), de modo que $\Q(\zeta_5)$ tem um único subcorpo quadrático ([Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)), que contém $\eta_0 \notin \Q$: é $\Q(\eta_0) = \Q(\sqrt5)$. Construtibilidade: $\cos\frac{2\pi}5$ está na torre quadrática $\Q \subseteq \Q(\sqrt5)$, e $\zeta_5$ um passo quadrático acima: o [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) constrói o pentágono. **Exercício 4.10 ★★★.** Sejam $K = \mathbb F_p(S, T)$ (funções racionais em duas indeterminadas) e $L = K(S^{1/p}, T^{1/p})$. (a) Mostre que $[L:K] = p^2$ e que $\alpha^p \in K$ para todo $\alpha \in L$. (b) Deduza que $L/K$ *não* é simples: não existe elemento primitivo — a inseparabilidade é fatal para o [Teorema 4.17](#thm-b3-galois-primitive). **Solução de Exercício 4.10.** (a) Escreva $s = S^{1/p}$, $t = T^{1/p}$ (elementos de um [fecho algébrico](#def-b3-galois-closure) escolhido, com $s^p = S$, $t^p = T$). $X^p - S$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre as frações de $K = \mathbb F_p(S, T) = (\mathbb F_p(T))(S)$: [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-criteria) no [elemento primo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) $S$ do [DFU](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-pidufd) $\mathbb F_p(T)[S]$ ([Teorema 2.25](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-criteria)). Logo $[K(s):K] = p$; do mesmo modo, $X^p - T$ é de [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-criteria) em $T$ sobre as frações de $K(s) = \mathbb F_p(s)(T)$ — $T$ permanece primo em $\mathbb F_p(s)[T]$ —, dando $[L : K(s)] = p$ e $[L:K] = p^2$. Para $\alpha \in L$: $L = K[s, t]$, de modo que $\alpha = \sum c_{ij}s^it^j$ ($c_{ij} \in K$), e pelo morfismo de [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) $\alpha^p = \sum c_{ij}^p S^iT^j \in K$. (b) Se $L = K(\alpha)$, então $[K(\alpha):K] = p^2$; mas $\alpha^p = a \in K$ significa que $\alpha$ anula $X^p - a$, de modo que $\deg\pi_\alpha \leq p < p^2$: contradição. Nenhum elemento primitivo: o [Teorema 4.17](#thm-b3-galois-primitive) realmente precisa da separabilidade (aqui todo $\pi_\alpha$ divide algum $X^p - a = (X - \alpha)^p$: puramente inseparável). **Exercício 4.11 ★★★.** Sejam $P = X^5 - 4X + 2$ e $G$ seu [grupo de Galois](#def-b3-galois-galois) sobre $\Q$, agindo sobre as $5$ raízes. (a) Mostre que $P$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) e deduza $5 \mid \abs G$; conclua que $G$ contém um $5$-ciclo (Cauchy, [Teorema 1.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-cauchy)). (b) Mostre, estudando as variações de $x \mapsto x^5 - 4x + 2$, que $P$ tem exatamente $3$ raízes reais; deduza que a conjugação complexa se restringe a uma transposição em $G$. (c) Mostre que um subgrupo de $S_5$ que contém uma transposição e um $5$-ciclo é $S_5$ *(conjugue a transposição por potências do ciclo)*. Conclua $G \cong S_5$ e, com o [Teorema 4.29](#thm-b3-galois-solvable), que $P$ não é [solúvel por radicais](#def-b3-galois-radical). **Solução de Exercício 4.11.** (a) [Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-criteria) em $2$ ($2 \mid 4, 2$; $4 \nmid 2$): $P$ [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility). Se $\alpha$ é uma raiz, $[\Q(\alpha):\Q] = 5$ divide $[L:\Q] = \abs G$ ($L$ o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting)): Cauchy ([Teorema 1.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-cauchy)) dá um elemento de ordem $5$ em $G \leq S_5$; em $S_5$, só os $5$-ciclos têm ordem $5$ (as ordens são mmc dos comprimentos dos ciclos). (b) $P'(x) = 5x^4 - 4$ se anula em $\pm(4/5)^{1/4} \approx \pm 0.946$: um máximo local e depois um mínimo local. Valores: $P(-2) = -22 < 0$, $P(0) = 2 > 0$, $P(1) = -1 < 0$, $P(2) = 26 > 0$: três mudanças de sinal, e no máximo três raízes reais (dois pontos críticos): exatamente $3$ raízes reais, logo um par de raízes complexas conjugadas. Tome o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) $L$ dentro de $\C$: a conjugação complexa leva $L$ nele mesmo (ela permuta as raízes, que geram $L$) e fixa $\Q$, de modo que define um elemento de $G$; ela fixa as três raízes reais e troca as outras duas: uma transposição. (c) Sejam $\tau = (a\,b)$ e $\sigma$ um $5$-ciclo em $G$. Alguma potência $\sigma^k$ leva $a$ em $b$ ($k \ne 0 \bmod 5$), e $\sigma^k$ é ainda um $5$-ciclo: renomeando, suponha $\sigma = (1\,2\,3\,4\,5)$ e $\tau = (1\,2)$. Conjugando, $\sigma^m\tau\sigma^{-m} = (\sigma^m(1)\ \sigma^m(2))$: as transposições adjacentes $(1\,2), (2\,3), (3\,4), (4\,5), (5\,1)$ estão todas em $G$; as transposições adjacentes geram $S_5$ (toda transposição $(i\,j)$ é um produto de adjacentes, e as transposições geram). Logo $G = S_5$, não [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) ([Corolário 1.34](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#cor-b3-groups-snnotsolvable)), e o [Teorema 4.29](#thm-b3-galois-solvable) conclui: $X^5 - 4X + 2$ não é [solúvel por radicais](#def-b3-galois-radical). **Exercício 4.12 ★★★.** (A quártica diedral) Sejam $\alpha = \sqrt[4]2$ e $L = \Q(\alpha, \iu)$, o [corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) de $X^4 - 2$ sobre $\Q$. (a) Mostre que $[L : \Q] = 8$ e que $G = \operatorname{Gal}(L/\Q)$ é gerado por $\sigma\colon \alpha \mapsto \iu\alpha,\ \iu \mapsto \iu$ e pela conjugação complexa $\tau$, com $\sigma^4 = \tau^2 = e$ e $\tau\sigma\tau = \sigma^{-1}$: $G \cong D_4$. (b) Liste o reticulado de subgrupos de $D_4$ (dez subgrupos) e associe cada um ao seu corpo fixo; verifique em particular que $\Q(\sqrt2)$, $\Q(\iu)$, $\Q(\iu\sqrt2)$ são os três subcorpos quadráticos, e localize $\Q(\alpha)$, $\Q(\iu\alpha)$, $\Q(\sqrt2, \iu)$. (c) Quais corpos intermediários são [de Galois](#def-b3-galois-galois) sobre $\Q$? Confronte sua resposta com os [subgrupos normais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) de $D_4$ e explique por que $\Q(\alpha)/\Q$ falha enquanto $\Q(\sqrt2)/\Q$ funciona. **Solução de Exercício 4.12.** (a) $X^4 - 2$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) ([Eisenstein](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#thm-b3-rings-criteria) em $2$): $[\Q(\alpha):\Q] = 4$; $\iu \notin \Q(\alpha) \subseteq \R$, de modo que $[L : \Q(\alpha)] = 2$ e $[L:\Q] = 8$. A extensão é galoisiana ([corpo de decomposição](#thm-b3-galois-splitting) de um [polinômio separável](#def-b3-galois-separable): as raízes são $\iu^k\alpha$), logo $\abs G = 8$. Um automorfismo leva $\alpha$ a uma das quatro raízes e $\iu$ a $\pm\iu$: no máximo $8$ aplicações, todas realizadas. O $\sigma$ indicado (de ordem $4$: $\sigma^2(\alpha) = -\alpha$, $\sigma^4 = e$) e $\tau$ (de ordem $2$) satisfazem $$ \tau\sigma\tau(\alpha) = \tau\sigma(\alpha) = \tau(\iu\alpha) = -\iu\alpha = \sigma^{-1}(\alpha), \qquad \tau\sigma\tau(\iu) = \iu\cdot(-1)(-1) = \iu , $$ mais precisamente: $\tau\sigma\tau(\iu) = \tau\sigma(-\iu) = \tau(-\iu) = \iu = \sigma^{-1}(\iu)$. Logo $\tau\sigma\tau = \sigma^{-1}$: a apresentação de $D_4$. (b) Os dez subgrupos de $D_4 = \langle\sigma, \tau\rangle$: $\{e\}$; cinco de ordem $2$: $\langle\sigma^2\rangle$, $\langle\tau\rangle$, $\langle\sigma^2\tau\rangle$, $\langle\sigma\tau\rangle$, $\langle\sigma^3\tau\rangle$; três de ordem $4$: $\langle\sigma\rangle$, $\{e, \sigma^2, \tau, \sigma^2\tau\}$, $\{e, \sigma^2, \sigma\tau, \sigma^3\tau\}$; e $D_4$. Corpos fixos ([grau](#def-b3-galois-extension) = índice): $\{e\} \leftrightarrow L$; os subgrupos de ordem $2$ $\leftrightarrow$ os cinco corpos quárticos $$ \langle\tau\rangle \leftrightarrow \Q(\alpha),\quad \langle\sigma^2\tau\rangle \leftrightarrow \Q(\iu\alpha), \quad \langle\sigma^2\rangle \leftrightarrow \Q(\sqrt2, \iu),\quad \langle\sigma\tau\rangle \leftrightarrow \Q\bigl((1+\iu)\alpha\bigr),\quad \langle\sigma^3\tau\rangle \leftrightarrow \Q\bigl((1-\iu)\alpha\bigr) . $$ Verificações: $\tau$ fixa o real $\alpha$; $\sigma^2\tau$ leva $\alpha \mapsto -\alpha$ e $\iu \mapsto -\iu$, fixando $\iu\alpha$; e como $\sigma\tau(\alpha) = \iu\alpha$, $\sigma\tau(\iu) = -\iu$: $$ \sigma\tau\bigl((1+\iu)\alpha\bigr) = (1 - \iu)\,\iu\alpha = (1 + \iu)\alpha, \qquad \sigma^3\tau\bigl((1-\iu)\alpha\bigr) = (1 + \iu)(-\iu)\alpha = (1 - \iu)\alpha : $$ cada reflexão fixa seu gerador, e o corpo fixo, de [grau](#def-b3-galois-extension) $4 =$ índice, é exatamente o corpo que ele gera (o gerador é raiz de $X^4 + 8$, [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility)). Os subgrupos de ordem $4$ $\leftrightarrow$ os três corpos quadráticos: $\langle\sigma\rangle \leftrightarrow \Q(\iu)$ ($\sigma$ fixa $\iu$); $\{e, \sigma^2, \tau, \sigma^2\tau\} \leftrightarrow \Q(\sqrt2)$ (todos os quatro fixam $\alpha^2$ a menos de verificações de sinal: $\tau(\sqrt2) = \sqrt2$, $\sigma^2(\alpha^2) = (-\alpha)^2$); $\{e, \sigma^2, \sigma\tau, \sigma^3\tau\} \leftrightarrow \Q(\iu\sqrt2)$ ($\sigma\tau(\iu\alpha^2) = (-\iu)(\iu\alpha)^2 = \iu\alpha^2$). (c) Galoisiano sobre $\Q$ $\leftrightarrow$ [subgrupos normais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) de $D_4$: $\{e\}$, $\langle\sigma^2\rangle$ (o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions)), os três subgrupos de ordem $4$ e $D_4$ — de modo que os corpos intermediários galoisianos são $L$, $\Q(\sqrt2, \iu)$, os três corpos quadráticos e $\Q$. Os cinco corpos quárticos fixados por reflexões não normais não são galoisianos: $\Q(\alpha)$ contém uma raiz de $X^4 - 2$, mas não $\iu\alpha$ (ele é real) — a conjugação por $\sigma$ move $\langle\tau\rangle$ para $\langle\sigma^2\tau\rangle$, exatamente como move $\Q(\alpha)$ para $\Q(\iu\alpha)$: a não normalidade do subgrupo *é* a existência de um corpo conjugado. ## 4.10 Problema: Gauss e o 17-ágono regular **Problema 4.1.** Problema de fim de semana — construtibilidade do 17-ágono Em 30 de março de 1796, Gauss, aos dezenove anos, mostrou que o $17$-ágono regular é [construtível](#def-b3-galois-constructible) — o primeiro avanço sobre a questão desde a Antiguidade. Reconstruímos seu cálculo com as ferramentas deste capítulo. Ponha $\zeta = \eu^{2\iu\pi/17}$, $L = \Q(\zeta)$, $G = \operatorname{Gal}(L/\Q)$. **Parte I — O grupo e sua filtração.** 1. Justifique: $[L:\Q] = 16$ , $G \cong (\Z/17\Z)^\times$ , cíclico de ordem $16$ . Verifique que $3$ é gerador de $(\Z/17\Z)^\times$ *(calcule as potências de $3$ módulo $17$: $3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, \dots$)* . 2. Sejam $\sigma \in G$ com $\sigma(\zeta) = \zeta^3$ , e $H_k = \langle \sigma^{2^k}\rangle$ para $k = 0, \dots, 4$ . Mostre que $G = H_0 \supset H_1 \supset H_2 \supset H_3 \supset H_4 = \{e\}$ com cada índice $[H_k : H_{k+1}] = 2$ , e que os corpos fixos $\Q = L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset L_3 \subset L_4 = L$ formam uma torre de extensões quadráticas. 3. Conclua *a priori* , usando o [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel) , que $\zeta$ — e portanto o $17$ -ágono — é [construtível](#def-b3-galois-constructible) . O restante do problema torna a torre explícita. **Parte II — Os períodos de comprimento 8.** Defina os *períodos de Gauss* $$ \eta_0 = \sum_{k \text{ par}} \zeta^{3^k \bmod 17} = \zeta^{1} + \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16} + \zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2}, \qquad \eta_1 = \sum_{k \text{ ímpar}} \zeta^{3^k \bmod 17}. $$ 4. Mostre que $\eta_0, \eta_1$ são fixados por $H_1$ e trocados por $\sigma$ ; deduza $\eta_0, \eta_1 \in L_1$ e que eles são as duas raízes de uma quadrática sobre $\Q$ . 5. Calcule $\eta_0 + \eta_1 = -1$ . Mostre que $\eta_0\eta_1 = -4$ *(cada produto $\zeta^a\zeta^b$ é algum $\zeta^c$, $c \neq 0$; conte quantas vezes cada $c$ ocorre, ou argumente que o produto é um inteiro racional fixado por $G$, igual à soma sobre todos os $64$ produtos, e use que cada resto não nulo aparece o mesmo número de vezes)* . 6. Deduza $\eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}2$ , $\eta_1 = \frac{-1-\sqrt{17}}2$ (identifique numericamente qual é qual: $\eta_0 \approx 1.56$ ) e $L_1 = \Q(\sqrt{17})$ . **Parte III — Períodos de comprimento 4 e 2.** Defina $$ \beta_0 = \zeta + \zeta^{13} + \zeta^{16} + \zeta^{4},\quad \beta_1 = \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12},\quad \beta_2 = \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^{8} + \zeta^{2},\quad \beta_3 = \zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} + \zeta^{6}. $$ 7. Mostre que $\beta_0 + \beta_2 = \eta_0$ , $\beta_1 + \beta_3 = \eta_1$ , e que $\beta_0, \beta_2$ são fixados por $H_2$ e trocados por $\sigma^2$ . 8. Calcule $\beta_0\beta_2 = -1$ e $\beta_1\beta_3 = -1$ *(expanda: os dezesseis expoentes obtidos cobrem $1, \dots, 16$ exatamente uma vez)* . 9. Deduza $\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2$ (confira o sinal numericamente: $\beta_0 \approx 2.05$ ) e a fórmula análoga para $\beta_1$ ; logo $L_2 = \Q(\beta_0)$ , quadrática sobre $L_1$ . 10. Sejam $\gamma_0 = \zeta + \zeta^{16} = 2\cos\frac{2\pi}{17}$ e $\gamma_1 = \zeta^{13} + \zeta^4$ . Mostre que $\gamma_0 + \gamma_1 = \beta_0$ e $\gamma_0\gamma_1 = \beta_1$ , de modo que $\gamma_0 = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}2$ . 11. Monte a cadeia de fórmulas que exprime $\cos\frac{2\pi}{17}$ por radicais quadráticos encaixados e dê uma verificação decimal ( $\cos\frac{2\pi}{17} \approx 0.93247$ ). **Parte IV — Epílogo.** 12. Onde exatamente o argumento usou que $17$ é um *primo de Fermat* ( $17 = 2^{2^2} + 1$ )? Mostre que, para um primo $p$ , o $p$ -ágono regular é [construtível](#def-b3-galois-constructible) se, e somente se, $p = 2^{2^t} + 1$ para algum $t$ *(se $p - 1 = 2^m$, mostre que $m$ tem de ser ele próprio uma potência de $2$)* . 13. Deduza a lista completa dos $n$ -ágonos regulares [construtíveis](#def-b3-galois-constructible) para $n \leq 20$ , usando o critério de Gauss–Wantzel do [Corolário 4.26](#cor-b3-galois-impossible) . **Parte V — Somas de Gauss e reciprocidade quadrática.** Os períodos da Parte II escondem um tesouro. Para um primo ímpar $p$, o *símbolo de Legendre* $\bigl(\frac ap\bigr)$ vale $+1$ se $a$ é um quadrado não nulo módulo $p$, $-1$ se não é, e $0$ se $p \mid a$; o [Exercício 4.4](#exo-b3-galois-4)(b) (critério de Euler) dá $\bigl(\frac ap\bigr) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod p$, donde a multiplicatividade. Escreva $\zeta = \eu^{2\iu\pi/p}$, $p^* = (-1)^{(p-1)/2}p$, e defina a *soma de Gauss* $$ g \;=\; \sum_{a=1}^{p-1}\Bigl(\frac ap\Bigr)\zeta^a . $$ 14. Mostre que $\sum_{a=1}^{p-1}\bigl(\frac ap\bigr) = 0$ (há tantos quadrados quanto não quadrados) e demonstre a forma alternativa $g = \sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a^2}$ *(cada quadrado não nulo é atingido duas vezes, e $\sum_{a}\zeta^a = 0$)* . Para $p = 17$ : relacione $g$ com os períodos da Parte II — mostre que $g = \eta_0 - \eta_1$ *(os quadrados módulo $17$ são exatamente as potências pares do gerador $3$)* . 15. Demonstre que $g^2 = p^*$: expanda $$g^2 = \sum_{a,b\neq0}\Bigl(\frac{ab}p\Bigr) \zeta^{a+b} = \sum_{c}\ \sum_{a \neq 0}\Bigl(\frac{a(c - a)}p\Bigr)\zeta^{c}$$ (ponha $b = c - a$), substitua $c - a = at$ para avaliar a soma interna como $\bigl(\frac{-1}p\bigr)(p - 1)$ para $c = 0$ e $-\bigl(\frac{-1}p\bigr)$ nos demais casos, e conclua com a questão 14. Confira numericamente: para $p = 17$, $(\eta_0 - \eta_1)^2 = 17$ (Parte II). 16. Deduza $\sqrt{p^*} \in \Q(\zeta_p)$ e conclua que o *único* subcorpo quadrático de $\Q(\zeta_p)$ é $\Q(\sqrt{p^*})$ — único porque $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q)$ é cíclico ( [Teorema 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred) ) e um grupo cíclico tem exatamente um subgrupo de índice $2$ . (Todo corpo quadrático mergulha em algum corpo ciclotômico — este é o primeiro caso do teorema de Kronecker–Weber, cuja forma geral está muito à frente.) 17. Seja agora $q \neq p$ outro primo ímpar. Trabalhando no anel $\Z[\zeta]$ módulo $q$, demonstre $$g^q \equiv \Bigl(\frac qp\Bigr)\,g \pmod{q\Z[\zeta]}$$ *(sonho do calouro: $(x + y)^q \equiv x^q + y^q$ módulo $q$ em qualquer anel comutativo; depois $g^q \equiv \sum_a\bigl(\frac ap\bigr)^q\zeta^{aq}$, reindexe $b = aq$ e ponha $\bigl(\frac{q^{-1}}p\bigr) = \bigl(\frac qp\bigr)$ em evidência)*. 18. Por outro lado, $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,(p^*)^{(q-1)/2}$; usando o critério de Euler módulo $q$, deduza $g^q \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr)g \pmod{q\Z[\zeta]}$ e, então — multiplicando as duas expressões de $g^q$ por $g$ e usando $g^2 = p^*$, inversível módulo $q$ —, conclua $$\Bigl(\frac qp\Bigr) = \Bigl(\frac{p^*}q\Bigr) .$$ *(Por que uma congruência entre os inteiros $\pm p^*$ módulo $q\Z[\zeta]$ implica sua igualdade? Intersecte com $\Z$.)* 19. Desenvolva $\bigl(\frac{p^*}q\bigr) = \bigl(\frac{-1}q\bigr)^{(p-1)/2}\bigl(\frac pq\bigr)$ e $\bigl(\frac{-1}q\bigr) = (-1)^{(q-1)/2}$ para obter a *lei da reciprocidade quadrática*: $$\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigl(\frac qp\Bigr) = (-1)^{\frac{p-1}2\cdot\frac{q-1}2} .$$ Verifique-a em $(p, q) = (17, 3)$, listando os quadrados módulo $17$ e módulo $3$, e use-a para decidir em três linhas se $x^2 \equiv 219 \pmod{383}$ tem solução ($383$ é primo, $219 = 3\cdot73$). **Parte VI — Contando polinômios irredutíveis: o teorema dos números primos de $\mathbb F_q[X]$.** Fixe uma potência de primo $q$ e seja $N_q(n)$ o número de polinômios *mônicos irredutíveis* de [grau](#def-b3-galois-extension) $n$ sobre $\mathbb F_q$; recorde do [Exercício 4.6](#exo-b3-galois-6) a fatoração de $X^{q^n} - X$ e a identidade $q^n = \sum_{d\mid n}d\,N_q(d)$, que agora invertemos, reinterpretamos e exploramos. 20. (Palavras) Diga que uma palavra $w \in \mathbb F_q^n$ é *primitiva* se não é uma potência $u^{n/d} = u\cdots u$ de uma palavra $u$ estritamente mais curta, e seja $A(d)$ o número de palavras primitivas de comprimento $d$ . Mostre que toda palavra de comprimento $n$ é, de maneira única, uma potência de uma palavra primitiva de algum comprimento $d \mid n$ , de modo que $q^n = \sum_{d \mid n}A(d)$ ; comparando com o [Exercício 4.6](#exo-b3-galois-6) , conclua $A(d) = d\,N_q(d)$ para todo $d$ e explique essa coincidência por uma bijeção explícita: um elemento $\alpha \in \mathbb F_{q^d}$ de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$ tem [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) de [Frobenius](#thm-b3-galois-finitefields) $(\alpha, \alpha^q, \dots, \alpha^{q^{d-1}})$ com exatamente $d$ elementos distintos, e os elementos de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$ correspondem $d$ a um aos irredutíveis de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$ . 21. Demonstre a *fórmula de inversão de Möbius*: se $f(n) = \sum_{d\mid n}g(d)$ para todo $n$, então $g(n) = \sum_{d\mid n}\mu(d)\,f(n/d)$, onde $\mu$ é a função de Möbius ($\mu(m) = (-1)^{\#\text{prime factors}}$ se $m$ é livre de quadrados, $0$ caso contrário) *(lema-chave: $\sum_{d \mid m}\mu(d) = 0$ para $m > 1$ — emparelhe os divisores com e sem um fator primo fixado)*. Deduza $$N_q(n) = \frac1n\sum_{d \mid n}\mu(d)\,q^{n/d} .$$ 22. Mostre que $N_q(n) \geq \frac1n\bigl(q^n - 2q^{n/2}\bigr) > 0$ para todo $n \geq 1$ : uma nova demonstração de que $\mathbb F_{q^n}$ existe para todo $n$ . Interprete o termo dominante: um polinômio mônico aleatório de [grau](#def-b3-galois-extension) $n$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) com probabilidade $\sim \frac1n$ — o análogo [perfeito](#prop-b3-galois-perfect) do teorema dos números primos, com $\log x$ trocado por $n$ ; verifique numericamente para $q = 2$ , $n \leq 4$ (o [Exercício 4.6](#exo-b3-galois-6) dá as contagens). 23. Demonstre a companheira multiplicativa da questão 21: $$\prod_{\substack{\pi \text{ mônico irred.}\\ \deg\pi = n}}\pi \;=\; \prod_{d \mid n} \bigl(X^{q^d} - X\bigr)^{\mu(n/d)}$$ *(inversão de Möbius no grupo abeliano das funções racionais não nulas)*; verifique-a à mão para $q = 2$, $n = 2$: $(X^4 - X)/(X^2 - X) = X^2 + X + 1$. **Parte VII — Duas codas.** 24. (O segundo complemento) O método da Parte V também calcula $\bigl(\frac2q\bigr)$. Sejam $\omega = \eu^{2\iu\pi/8}$ e $g = \omega + \omega^{-1}$. Mostre que $g^2 = 2$ *($\omega^2 = \iu$)*; depois, para um primo ímpar $q$, demonstre em $\Z[\omega]$ módulo $q$ que $$g^q \equiv \omega^q + \omega^{-q} \pmod{q\Z[\omega]},$$ e que o lado direito é igual a $g$ se $q \equiv \pm1 \pmod 8$ e a $-g$ se $q \equiv \pm3 \pmod 8$. Comparando com $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac2q\bigr)g$ como na questão 18, conclua $$\Bigl(\frac2q\Bigr) = (-1)^{(q^2-1)/8},$$ verificando que $(q^2 - 1)/8$ é par exatamente quando $q \equiv \pm1 \pmod 8$. Confira: $2$ é quadrado módulo $7$ e módulo $17$ ($3^2$ e $6^2$), e não é módulo $3$ nem módulo $5$. 25. (A função zeta de $\mathbb F_q[X]$) Demonstre a identidade de séries formais de potências em $t$: $$\prod_{n \geq 1}\bigl(1 - t^n\bigr)^{-N_q(n)} = \frac1{1 - qt}$$ *(fatoração única em mônicos irredutíveis: expanda cada fator como série geométrica e conte os polinômios mônicos de [grau](#def-b3-galois-extension) $n$)*. Recupere a identidade $q^m = \sum_{d \mid m}d\,N_q(d)$ do [Exercício 4.6](#exo-b3-galois-6) tomando logaritmos. Confira à mão o coeficiente de $t^2$ para $q = 2$, e use a fórmula da questão 21 para calcular $N_2(6) = 9$, verificando $2^6 = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 6\cdot9$. **Solução de Problema 4.1.** **1.** $\Phi_{17}$ é [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) ([Teorema 4.23](#thm-b3-galois-cyclotomicirred), ou o [Exemplo 2.26](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#ex-b3-rings-eisenstein) para índice primo): $[L:\Q] = \varphi(17) = 16$ e $G \cong (\Z/17\Z)^\times$, cíclico de ordem $16$ ([Teorema 4.12](#thm-b3-galois-cyclic)). Potências de $3$ módulo $17$: $$ 3,\ 9,\ 10,\ 13,\ 5,\ 15,\ 11,\ 16,\ 14,\ 8,\ 7,\ 4,\ 12,\ 2,\ 6,\ 1 $$ — dezesseis valores distintos: $3$ gera. **2.** $G = \langle\sigma\rangle$ cíclico de ordem $16$; $H_k = \langle\sigma^{2^k}\rangle$ tem ordem $2^{4-k}$, e $[H_k : H_{k+1}] = 2$. Pelo teorema fundamental ([Teorema 4.21](#thm-b3-galois-fundamental)), $L_k = L^{H_k}$ satisfazem $[L_k : \Q] = [G : H_k] = 2^k$: cada $[L_{k+1}:L_k] = 2$. **3.** $\zeta \in L = L_4$ está no topo de uma torre de extensões quadráticas de $\Q$: pelo [Teorema 4.25](#thm-b3-galois-wantzel), $\zeta$ é [construtível](#def-b3-galois-constructible); o $17$-ágono tem vértices $\zeta^k$. **4.** $\sigma^2$ multiplica os expoentes por $9$; os expoentes de $\eta_0$ são as potências pares de $3$, $$ \{3^{2k} \bmod 17\} = \{1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2\}, $$ um conjunto estável pela multiplicação por $9 = 3^2$; assim $\eta_0$ (e, do mesmo modo, $\eta_1$) é fixado por $H_1 = \langle\sigma^2\rangle$: $\eta_0, \eta_1 \in L_1$, um corpo quadrático. $\sigma$ leva potências pares em ímpares: ele troca $\eta_0, \eta_1$. Logo $\eta_0 + \eta_1$ e $\eta_0\eta_1$ são fixados por todo $G$: racionais; $\eta_0, \eta_1$ são as raízes de uma quadrática racional. **5.** $\eta_0 + \eta_1 = \sum_{c=1}^{16}\zeta^c = -1$. O produto se expande em $64$ termos $\zeta^{a + b}$, com $a$ no conjunto par e $b$ no conjunto ímpar. Nenhum termo é $\zeta^0$: $b = -a$ é impossível, pois $-1 = 16 = 3^8$ é uma potência *par*, de modo que $-a$ permanece no conjunto par. Assim $\eta_0\eta_1 = \sum_{c \neq 0} n_c\zeta^c$ com $\sum n_c = 64$; aplicar $\sigma$ fixa $\eta_0\eta_1$ (ele troca os fatores) e permuta os $\zeta^c$ transitivamente sobre todos os $c \neq 0$, de modo que todos os $n_c$ são iguais: $n_c = 4$ e $\eta_0\eta_1 = 4\sum_{c\neq0}\zeta^c = -4$. **6.** $\eta_{0,1}$ resolvem $Y^2 + Y - 4 = 0$: $\frac{-1 \pm \sqrt{17}}2$. Numericamente, agrupando expoentes conjugados, $\eta_0 = 2\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{17} + \cos\tfrac{4\pi}{17} + \cos\tfrac{8\pi}{17} + \cos\tfrac{16\pi}{17}\bigr) \approx 1.56 > 0$: $\eta_0 = \frac{-1+\sqrt{17}}2$, $\eta_1 = \frac{-1-\sqrt{17}}2$, e $L_1 = \Q(\eta_0) = \Q(\sqrt{17})$. **7.** Os conjuntos de expoentes: $\beta_0$: $\{1, 13, 16, 4\}$ = potências $3^{4k}$; $\beta_2$: $\{9, 15, 8, 2\}$ = $9 \times$ desse conjunto. União: o conjunto par: $\beta_0 + \beta_2 = \eta_0$; do mesmo modo, $\beta_1 + \beta_3 = \eta_1$. A multiplicação por $13 = 3^4$ estabiliza o conjunto de expoentes de cada $\beta_i$: fixado por $H_2 = \langle\sigma^4\rangle$; e $\sigma^2$ ($\times 9$) leva $\{1,13,16,4\}$ em $\{9, 15, 8, 2\}$: troca $\beta_0, \beta_2$. **8.** Expandindo $\beta_0\beta_2$, as dezesseis somas de expoentes $$ \{1,13,16,4\} + \{9,15,8,2\} = \{10,16,9,3,\ 5,11,4,15,\ 8,14,7,1,\ 13,2,12,6\} $$ cobrem $1, \dots, 16$ exatamente uma vez: $\beta_0\beta_2 = \sum_{c\ne0}\zeta^c = -1$. Aplicando $\sigma$ (que leva $\beta_0 \mapsto \beta_1$, $\beta_2 \mapsto \beta_3$: expoentes $\times 3$): $\beta_1\beta_3 = \sigma(\beta_0\beta_2) = -1$. **9.** $\beta_0, \beta_2$ resolvem $Y^2 - \eta_0 Y - 1 = 0$, de modo que $\beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2$ (numericamente $\beta_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17} + 2\cos\frac{8\pi}{17} \approx 2.05 > 0$, o sinal $+$). Do mesmo modo, $\beta_1 = \frac{\eta_1 + \sqrt{\eta_1^2 + 4}}2 \approx 0.344$ (a verificação numérica fixa o sinal de novo). $L_2 = L_1(\beta_0)$, quadrático sobre $L_1$. **10.** $\gamma_0 + \gamma_1 = \zeta + \zeta^{16} + \zeta^{13} + \zeta^4 = \beta_0$. E $$ \gamma_0\gamma_1 = (\zeta + \zeta^{16})(\zeta^{13} + \zeta^4) = \zeta^{14} + \zeta^{5} + \zeta^{12} + \zeta^{3} = \beta_1 . $$ Logo $\gamma_0, \gamma_1$ resolvem $Y^2 - \beta_0Y + \beta_1 = 0$; numericamente $\gamma_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17} \approx 1.865 > \gamma_1 \approx 0.185$: $\gamma_0 = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}2$. **11.** Encadeando: $$ \eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}2, \quad \beta_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}2, \quad \beta_1 = \frac{\eta_1 + \sqrt{\eta_1^2 + 4}}2, \quad \cos\frac{2\pi}{17} = \frac{\beta_0 + \sqrt{\beta_0^2 - 4\beta_1}}4 . $$ Numericamente: $\sqrt{17} \approx 4.1231$, $\eta_0 \approx 1.5616$, $\eta_1 \approx -2.5616$, $\beta_0 \approx 2.0494$, $\beta_1 \approx 0.3441$, $\beta_0^2 - 4\beta_1 \approx 2.8234$ e $\cos\frac{2\pi}{17} \approx \frac{2.0494 + 1.6803}4 \approx 0.93242$ — contra $\cos\frac{2\pi}{17} = 0.93247\dots$: a pequena discrepância é arredondamento nas fórmulas intermediárias; carregar mais dígitos reproduz $0.932472$. **12.** A construção exigiu que $[L:\Q] = p - 1$ fosse uma potência de $2$, para que exista uma cadeia completa de subgrupos de índice $2$. Se $p = 2^m + 1$ é primo e $m = ab$ com $a$ ímpar $> 1$: $x + 1 \mid x^a + 1$ em $x = 2^b$ mostra que $2^b + 1$ divide propriamente $p$ — impossível. Logo $m$ é uma potência de $2$: $p = 2^{2^t} + 1$, um *primo de Fermat* ($3, 5, 17, 257, 65537$, …). Reciprocamente, para tais $p$, $\varphi(p) = 2^{2^t}$ e o argumento das questões 1–3 (ou o [Corolário 4.26](#cor-b3-galois-impossible)) se aplica: o $p$-ágono regular é [construtível](#def-b3-galois-constructible) se, e somente se, $p$ é um primo de Fermat. **13.** $\varphi(n)$ é uma potência de $2$ exatamente quando $n = 2^a p_1\cdots p_r$ com primos de Fermat $p_i$ distintos (multiplicatividade de $\varphi$; uma potência de primo ímpar $p^k$, $k \geq 2$, contribui com o fator $p \nmid 2^m$). Para $n \leq 20$, os $n$-ágonos regulares [construtíveis](#def-b3-galois-constructible) são $$ n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20 $$ com os valores respectivos $$ \varphi(n) = 2,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 8,\ 8,\ 16,\ 8 . $$ Os impossíveis são $n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19$, para os quais $\varphi(n) = 6, 6, 10, 12, 6, 6, 18$ tem um fator primo ímpar. **14.** Os quadrados formam a imagem do morfismo de elevação ao quadrado no cíclico $(\Z/p\Z)^\times$, de índice $2$: $\frac{p-1}2$ quadrados, $\frac{p-1}2$ não quadrados, de modo que os símbolos somam $0$. Então $$ \sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a^2} = 1 + 2\sum_{b \text{ quadrado} \neq 0}\zeta^b = 1 + \sum_{b\neq0}\Bigl(1 + \Bigl(\frac bp\Bigr)\Bigr) \zeta^b = \sum_{b}\zeta^b + g = g, $$ usando $1 + \bigl(\frac bp\bigr) = \#\{a : a^2 = b\}$ e $\sum_{b=0}^{p-1}\zeta^b = 0$. Para $p = 17$: os quadrados módulo $17$ são as potências pares do gerador $3$, isto é, os expoentes que aparecem em $\eta_0$ (Parte II), de modo que $g = \sum_{\text{par }k}\zeta^{3^k} - \sum_{\text{ímpar }k} \zeta^{3^k} = \eta_0 - \eta_1$. **15.** Com $b = c - a$ ($a, b$ percorrem os resíduos não nulos, $c = a + b$ todos os resíduos): $$ g^2 = \sum_c\zeta^c\sum_{a\neq0,\,a\neq c} \Bigl(\frac{a(c-a)}p\Bigr) . $$ Para $c = 0$: $\bigl(\frac{-a^2}p\bigr) = \bigl(\frac{-1}p\bigr)$, somado sobre $p - 1$ valores. Para $c \neq 0$: substitua $c - a = at$, isto é, $t = c/a - 1$; quando $a$ percorre os resíduos não nulos, $t$ percorre bijetivamente os resíduos $\neq -1$ (inverta: $a = c/(1 + t)$). O somando se torna $\bigl(\frac{a^2t}p\bigr) = \bigl(\frac tp\bigr)$, e $$ \sum_{t \neq -1}\Bigl(\frac tp\Bigr) = -\Bigl(\frac{-1}p\Bigr) $$ (a soma completa se anula pela questão 14). Logo $$ g^2 = \Bigl(\frac{-1}p\Bigr)\Bigl[(p-1) - \sum_{c\neq0}\zeta^c\Bigr] = \Bigl(\frac{-1}p\Bigr)\,p = p^* , $$ usando $\sum_{c\neq0}\zeta^c = -1$ e o critério de Euler $\bigl(\frac{-1}p\bigr) = (-1)^{(p-1)/2}$. Para $p = 17$: $(\eta_0 - \eta_1)^2 = (\eta_0 + \eta_1)^2 - 4\eta_0\eta_1 = 1 + 16 = 17$, de acordo com a Parte II. **16.** $g^2 = p^*$ exibe $\sqrt{p^*} = \pm g \in \Q(\zeta_p)$, de modo que $\Q(\sqrt{p^*})$ é um subcorpo quadrático. Unicidade: os subcorpos de [grau](#def-b3-galois-extension) $2$ correspondem, pela [correspondência de Galois](#thm-b3-galois-fundamental), aos subgrupos de índice $2$ do cíclico $\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q) \cong (\Z/p\Z)^\times$, e um grupo cíclico de ordem par tem exatamente um tal subgrupo (os quadrados). Todo corpo quadrático é $\Q(\sqrt{d})$ com $d$ livre de quadrados, e combinar os corpos $\Q(\sqrt{p^*})$, $\Q(\iu) \subseteq \Q(\zeta_4)$ e $\Q(\sqrt2) \subseteq \Q(\zeta_8)$ dentro de um mesmo $\Q(\zeta_N)$ alcança todo $\sqrt d$: o caso quadrático de Kronecker–Weber. **17.** Em qualquer anel comutativo, $(x + y)^q = x^q + y^q + q(\cdots)$: os coeficientes binomiais $\binom qk$, $0 < k < q$, são divisíveis pelo primo $q$. Iterando sobre os $p - 1$ termos de $g$: $$ g^q \equiv \sum_{a}\Bigl(\frac ap\Bigr)^{q}\zeta^{aq} = \sum_a\Bigl(\frac ap\Bigr)\zeta^{aq} \pmod{q\Z[\zeta]}, $$ ($q$ ímpar: o símbolo não muda). Reindexe $b = aq$: $a = q^{-1}b$ e $\bigl(\frac{q^{-1}b}p\bigr) = \bigl(\frac{q}p\bigr)\bigl(\frac bp\bigr)$ (multiplicatividade; $\bigl(\frac{q^{-1}}p\bigr) = \bigl(\frac qp\bigr)$, pois o símbolo de um inverso é igual ao símbolo): $g^q \equiv \bigl(\frac qp\bigr)g$. **18.** $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,(p^*)^{(q-1)/2}$ exatamente (questão 15), e o critério de Euler em $\Z$ dá $(p^*)^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr) \pmod q$, logo módulo $q\Z[\zeta]$: $g^q \equiv \bigl(\frac{p^*}q\bigr)g$. Comparando com a questão 17 e multiplicando por $g$: $$ \Bigl(\frac qp\Bigr)p^* \equiv \Bigl(\frac{p^*}q\Bigr)p^* \pmod{q\Z[\zeta]} . $$ Ambos os lados são inteiros racionais; sua diferença, $0$ ou $\pm2p^*$, está em $q\Z[\zeta] \cap \Z = q\Z$ (um inteiro $m \in q\Z[\zeta]$ tem $m/q \in \Q \cap \Z[\zeta] = \Z$, esta última porque $1, \zeta, \dots, \zeta^{p-2}$ é uma $\Q$-base com coordenadas racionais das quais se lê a integralidade). Como $q \nmid 2p^*$ ($q$ ímpar, $q \neq p$), a diferença é $0$: $\bigl(\frac qp\bigr) = \bigl(\frac{p^*}q\bigr)$. **19.** Por multiplicatividade, $\bigl(\frac{p^*}q\bigr) = \bigl(\frac{-1}q\bigr)^{(p-1)/2}\bigl(\frac pq\bigr) = (-1)^{\frac{q-1}2\cdot\frac{p-1}2}\bigl(\frac pq\bigr)$, de modo que a questão 18 se lê $\bigl(\frac qp\bigr)\bigl(\frac pq\bigr) = (-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}$: a reciprocidade. Verificação $(17, 3)$: o expoente $\frac{16}2\cdot\frac22 = 8$ é par, de modo que os dois símbolos devem coincidir; os quadrados módulo $3$ são $\{1\}$ e $17 \equiv 2$: $\bigl(\frac{17}3\bigr) = -1$; os quadrados módulo $17$ são $\{1, 4, 9, 16, 8, 2, 15, 13\}$ e $3$ está ausente: $\bigl(\frac3{17}\bigr) = -1$. Produto $+1$, como previsto. Para $x^2 \equiv 219 \pmod{383}$: $\bigl(\frac{219}{383}\bigr) = \bigl(\frac3{383}\bigr)\bigl(\frac{73}{383}\bigr)$. Primeiro: $383 \equiv 3 \pmod4$ e $3 \equiv 3$: a reciprocidade dá $\bigl(\frac3{383}\bigr) = -\bigl(\frac{383}3\bigr) = -\bigl(\frac23\bigr) = -(-1) = +1$. Segundo: $73 \equiv 1 \pmod 4$: $\bigl(\frac{73}{383}\bigr) = \bigl(\frac{383}{73}\bigr) = \bigl(\frac{18}{73}\bigr) = \bigl(\frac2{73}\bigr)$ ($18 = 2\cdot3^2$), e $73 \equiv 1 \pmod 8$ torna $2$ um quadrado módulo $73$ (lei complementar, demonstrável por $g = \zeta_8 + \zeta_8^{-1} = \sqrt2$ em $\Q(\zeta_8)$ pelo mesmo método): $+1$. Total $+1$: a congruência é [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived). **20.** Existência e unicidade da raiz primitiva: se $w$ tem conjunto de períodos $\{d : w = u^{n/d},\ \abs u = d\}$, o menor tal $d_0$ divide todo outro período $d$ (se $w$ é ao mesmo tempo uma $d$-potência e uma $d'$-potência, é uma $\gcd(d, d')$-potência: compare letras em índices congruentes módulo o mdc, via Bézout), e o bloco de comprimento $d_0$ é primitivo. Ordenando as $q^n$ palavras pelo comprimento de sua raiz primitiva: $q^n = \sum_{d \mid n}A(d)$. Como $A$ e $d\,N_q(d)$ satisfazem a mesma recorrência com os mesmos valores para $n = 1$ (cada uma determina a outra indutivamente a partir de $q^n = \sum_{d\mid n}(\cdot)$), elas são iguais: $A(d) = d\,N_q(d)$. Bijeção: um elemento $\alpha$ de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$ fornece a palavra $w_\alpha$ dos coeficientes de… melhor, diretamente: os elementos de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$ em $\overline{\mathbb F_q}$ são as raízes dos $N_q(d)$ irredutíveis de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$, cada um contribuindo com suas $d$ raízes distintas (separabilidade): $d\,N_q(d)$ elementos de [grau](#def-b3-galois-extension) $d$, coincidindo com a contagem $q^n = \sum_{d\mid n}\#\{ \text{elementos de grau } d \text{ em } \mathbb F_{q^n}\}$ — o mesmo crivo, uma vez sobre palavras, outra sobre elementos do corpo. **21.** Lema: $\sum_{d \mid m}\mu(d) = \mathbf 1_{m=1}$. Para $m > 1$, fixe um primo $p \mid m$: os divisores livres de quadrados de $m$ se emparelham como $\{d, pd\}$ com $p \nmid d$, e $\mu(pd) = -\mu(d)$: a soma se cancela. Então, para $f(n) = \sum_{e\mid n}g(e)$: $$ \sum_{d \mid n}\mu(d)\,f\bigl(\tfrac nd\bigr) = \sum_{d \mid n}\mu(d)\!\!\sum_{e \mid n/d}\!\!g(e) = \sum_{e \mid n}g(e)\!\!\sum_{d \mid n/e}\!\!\mu(d) = g(n) . $$ Com $f(n) = q^n$ e $g(n) = nN_q(n)$ ([Exercício 4.6](#exo-b3-galois-6)): $N_q(n) = \frac1n\sum_{d\mid n}\mu(d)\,q^{n/d}$. **22.** O termo $d = 1$ é $q^n$; todo outro termo tem $\abs{\mu(d)q^{n/d}} \leq q^{n/2}$, e grosseiramente $\sum_{d \mid n, d > 1}q^{n/d} \leq \sum_{j \leq n/2}q^j < 2q^{n/2}$ (geométrica, $q \geq 2$). Logo $nN_q(n) > q^n - 2q^{n/2} \geq 0$ para $n \geq 1$: existem irredutíveis de todo [grau](#def-b3-galois-extension), e $\mathbb F_q[X]/(\pi) = \mathbb F_{q^n}$ é (re)construído — existência com um recenseamento. A proporção de irredutíveis entre os $q^n$ polinômios mônicos de [grau](#def-b3-galois-extension) $n$ é $\frac1n(1 + O(q^{-n/2}))$: o teorema dos números primos de $\mathbb F_q[X]$, com $n$ no papel de $\log x$. Para $q = 2$, as contagens $2, 1, 2, 3$ do [Exercício 4.6](#exo-b3-galois-6) batem com a fórmula: por exemplo, $N_2(4) = \frac14(2^4 - 2^2) = 3$. **23.** No grupo abeliano multiplicativo das funções racionais não nulas sobre $\mathbb F_q$, ponha $F(n) = X^{q^n} - X$ e $G(n) = \prod_{\deg\pi = n}\pi$; o [Exercício 4.6](#exo-b3-galois-6) diz que $F(n) = \prod_{d\mid n}G(d)$. O argumento de Möbius da questão 21, escrito multiplicativamente (os expoentes se somam exatamente como as somas faziam), dá $G(n) = \prod_{d \mid n}F(d)^{\mu(n/d)}$. Para $q = 2$, $n = 2$: $G(2) = \frac{X^4 - X}{X^2 - X} = \frac{X(X^3 - 1)}{X(X - 1)} = X^2 + X + 1$, a única quadrática [irredutível](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/2-aneis-e-aritmetica#def-b3-rings-divisibility) sobre $\mathbb F_2$, como deve ser. **24.** $\omega^2 = \iu$ e $\omega^{-2} = -\iu$, de modo que $g^2 = \omega^2 + 2 + \omega^{-2} = 2$. Sonho do calouro no anel comutativo $\Z[\omega]/q\Z[\omega]$: $g^q = (\omega + \omega^{-1})^q \equiv \omega^q + \omega^{-q}$. O valor de $\omega^q + \omega^{-q}$ depende apenas de $q \bmod 8$: para $q \equiv \pm1$, $\omega^q + \omega^{-q} = \omega^{\pm1} + \omega^{\mp1} = g$; para $q \equiv \pm3$, usando $\omega^4 = -1$, $\omega^{3} = -\omega^{-1}$ e $\omega^{-3} = -\omega$, de modo que $\omega^q + \omega^{-q} = -g$. Por outro lado, $g^q = g\,(g^2)^{(q-1)/2} = g\,2^{(q-1)/2} \equiv \bigl(\frac2q\bigr) g \pmod{q\Z[\omega]}$ pelo critério de Euler módulo $q$. Comparando e multiplicando por $g$: $2\bigl(\frac2q\bigr) \equiv \pm2 \pmod{q\Z[\omega]}$; se os sinais discordassem, $q$ dividiria $4$ em $\Z[\omega]$, logo em $\Z$ ($q\Z[\omega] \cap \Z = q\Z$: coordenadas na base $1, \omega, \omega^2, \omega^3$), impossível para $q$ ímpar. Logo $\bigl(\frac2q\bigr) = +1$ se, e somente se, $q \equiv \pm1 \pmod 8$. Verificação de paridade: $q = 8k \pm 1$ dá $(q^2 - 1)/8 = 2k(4k \pm 1)$, par; $q = 8k \pm 3$ dá $(q^2 - 1)/8 = 8k^2 \pm 6k + 1$, ímpar: a fórmula $(-1)^{(q^2-1)/8}$ codifica a separação em casos. Numericamente: $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$ ($7 \equiv -1$), $6^2 = 36 \equiv 2 \pmod{17}$ ($17 \equiv 1$); os quadrados módulo $3$ são $\{0, 1\}$ e módulo $5$ são $\{0, 1, 4\}$, e nenhum contém $2$ ($3 \equiv 3$, $5 \equiv -3 \pmod 8$). **25.** Todo $f \in \mathbb F_q[X]$ mônico se fatora unicamente como $\prod_\pi\pi^{e_\pi}$ sobre os mônicos irredutíveis: ordenando por [grau](#def-b3-galois-extension), $$ \sum_{f \text{ mônico}}t^{\deg f} = \prod_\pi\ \sum_{e \geq 0}t^{e\deg\pi} = \prod_\pi\bigl(1 - t^{\deg\pi}\bigr)^{-1} = \prod_{n \geq 1}\bigl(1 - t^n\bigr)^{-N_q(n)}, $$ todos os produtos legítimos t-adicamente (apenas os [graus](#def-b3-galois-extension) $\leq m$ afetam o coeficiente de $t^m$, e há finitos irredutíveis de cada [grau](#def-b3-galois-extension)). O lado esquerdo é $\sum_m q^mt^m = (1 - qt)^{-1}$: a identidade. Logaritmos: $-\log(1 - qt) = \sum_m\frac{q^m}mt^m$, ao passo que $\sum_nN_q(n)\bigl(-\log(1 - t^n)\bigr) = \sum_nN_q(n)\sum_k\frac{t^{nk}}k$; o coeficiente de $t^m$ dá $\frac{q^m}m = \sum_{dk = m} \frac{N_q(d)}k = \frac1m\sum_{d \mid m}d\,N_q(d)$, isto é, $q^m = \sum_{d\mid m}d\,N_q(d)$. Verificação à mão, $q = 2$, coeficiente de $t^2$: $N_2(1) = 2$, $N_2(2) = 1$, e $(1 - t)^{-2}(1 - t^2)^{-1} = (1 + 2t + 3t^2 + \dots)(1 + t^2 + \dots)$ tem coeficiente de $t^2$ igual a $3 + 1 = 4 = 2^2$. Finalmente, a fórmula da questão 21 com os divisores $1, 2, 3, 6$: $$ N_2(6) = \tfrac16\bigl(2^6 - 2^3 - 2^2 + 2\bigr) = \tfrac{54}6 = 9, $$ e, de fato, $1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 6\cdot9 = 2 + 2 + 6 + 54 = 64 = 2^6$.