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title: "Representações de grupos finitos"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/5-representacoes-de-grupos-finitos
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# Capítulo 5 — Representações de grupos finitos

Para compreender um grupo abstrato, faça-o agir sobre um espaço vetorial e aplique álgebra linear — autovalores, traços, produtos internos — à ação. Esse programa, a *teoria de [representações](#def-b3-representations-rep)*, é espantosamente eficaz para grupos finitos sobre $\C$: toda [representação](#def-b3-representations-rep) se decompõe em irredutíveis (Maschke), as irredutíveis ficam determinadas por seus *[caracteres](#def-b3-representations-character)* (traços), e os [caracteres](#def-b3-representations-character) satisfazem relações de ortogonalidade que tornam mecânicos os cálculos. O capítulo constrói esse cálculo e suas primeiras obras-primas — as [tabelas de caracteres](#def-b3-representations-table) dos grupos pequenos —, e o problema de fim de semana colhe um teorema muito além do alcance da teoria de grupos nua: o teorema $p^aq^b$ de Burnside. Ao longo de todo o capítulo, $G$ é um grupo finito e todos os espaços vetoriais têm dimensão finita sobre $\C$.

## 5.1 Representações, Maschke, Schur

**Definição 5.1.**

Uma *representação* de $G$ é um morfismo $\rho \colon G \to GL(V)$ para um $\C$-espaço vetorial $V$; $\dim V$ é seu *grau*. Um subespaço $W \subseteq V$ é *invariante* se $\rho(g)W \subseteq W$ para todo $g$; a restrição faz de $W$ uma *subrepresentação*. $\rho$ é *irredutível* se $V \neq
0$ e seus únicos subespaços invariantes são $0$ e $V$. Um *morfismo* entre $(\rho, V)$ e $(\sigma, W)$ é uma aplicação linear $f\colon V \to W$ com $f\rho(g) = \sigma(g)f$ para todo $g$ (equivariância); os $f$ bijetores são *isomorfismos*.

**Exemplo 5.2.**

(a) Grau $1$: morfismos $G \to \C^\times$. (b) A *representação regular*: $V = \C^G$ com base $(e_h)_{h \in G}$, $\rho(g)e_h = e_{gh}$; de grau $\abs G$. (c) Uma ação por permutações de $G$ sobre um conjunto finito $X$ dá a *[representação](#def-b3-representations-rep) de permutação* em $\C^X$: $\rho(g)e_x =
e_{g\cdot x}$. (d) $S_n$ age em $\C^n$ permutando as coordenadas; o hiperplano $\{\sum x_i = 0\}$ é invariante: é a *[representação](#def-b3-representations-rep) padrão*, de grau $n - 1$.

**Teorema 5.3 (Maschke).**

Todo subespaço invariante $W$ de uma [representação](#def-b3-representations-rep) $(V, \rho)$ admite um complemento invariante. Consequentemente, toda [representação](#def-b3-representations-rep) é uma soma direta de irredutíveis (*semissimplicidade*).

**Demonstração.** Seja $p \colon V \to V$ *uma* projeção qualquer de imagem $W$ (escolha um complemento qualquer). Faça a média sobre o grupo:

$$
\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.
$$

Cada parcela leva $V$ em $W$ ($W$ é invariante) e fixa $W$ ponto a ponto: para $w \in W$, $\rho(g)^{-1}w \in W$, $p$ o fixa, e $\rho(g)$ o traz de volta — de modo que $\tilde p$ é novamente uma projeção sobre $W$. Ela é equivariante: para $h \in G$, $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ apenas reindexa a mesma soma. Logo $\ker
\tilde p$ é um complemento invariante de $W$. Iterando nas parcelas (dimensão finita), decompõe-se $V$ em irredutíveis. ∎

**Teorema 5.4 (Lema de Schur).**

Seja $f \colon V \to W$ um morfismo de [representações](#def-b3-representations-rep) *irredutíveis*. Então $f = 0$ ou $f$ é um isomorfismo; e, se $(V,\rho) = (W,\sigma)$, então $f = \lambda\,\mathrm{id}$ para algum $\lambda \in \C$. Logo $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ vale $1$ se $V \cong W$ e $0$ caso contrário.

**Demonstração.** $\ker f$ e $\operatorname{im} f$ são invariantes (equivariância), de modo que cada um é $0$ ou o espaço todo: ou $f = 0$, ou $f$ é injetora com imagem total. Se $V = W$: $f$ tem um autovalor $\lambda$ ($\C$ é [algebricamente fechado](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-closure)); $f - \lambda\,\mathrm{id}$ é um morfismo $V \to V$ não injetor, logo é $0$. Quanto à contagem de dimensão quando $V \cong W$: fixando um isomorfismo $u$, todo morfismo $f$ dá o endomorfismo $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$: $f =
\lambda u$. ∎

## 5.2 Caracteres e ortogonalidade

**Definição 5.5.**

O *caráter* de $(V, \rho)$ é $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$. Ele satisfaz $\chi_\rho(e) = \dim V$, $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (os traços são invariantes por conjugação): os caracteres são *funções de classe* — elementos do espaço $\mathcal{CF}(G)$ das funções constantes nas [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions), munido do produto interno hermitiano

$$
\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G}
\overline{\varphi(g)}\,\psi(g).
$$

**Proposição 5.6.**

$\rho(g)$ é diagonalizável com autovalores raízes da unidade; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$, e $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ com igualdade se, e somente se, $\rho(g)$ é escalar. Os [caracteres](#def-b3-representations-character) se somam nas somas diretas: $\chi_{V
\oplus W} = \chi_V + \chi_W$.

**Demonstração.** $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ para $N = \abs G$ (Lagrange): $\rho(g)$ aniquila $X^N - 1$ e se decompõe com raízes simples, de modo que o operador é diagonalizável com autovalores $\lambda_i \in \mu_N$. Então $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i =
\overline{\chi(g)}$, e $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i}
\leq \dim V$, com igualdade na desigualdade triangular se, e somente se, todos os $\lambda_i$ são iguais, isto é, $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$. A aditividade nas somas diretas: traços por blocos. ∎

**Lema 5.7.**

Sejam $(V, \rho)$, $(W, \sigma)$ [representações](#def-b3-representations-rep). O operador de média em $\operatorname{Hom}(W, V)$,

$$
c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},
$$

é uma projeção sobre $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ e, para a aplicação $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$, tem-se $\operatorname{tr}\Phi_g =
\chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$.

**Demonstração.** $c(A)$ é equivariante (reindexe a soma como em Maschke), e $c$ fixa as aplicações equivariantes (cada parcela vale $A$): $c$ é uma projeção de imagem $\operatorname{Hom}_G(W, V)$. Traço: em bases, $\Phi_g(A) = BAC$ com $B = \rho(g)$, $C = \sigma(g)^{-1}$; na base $(E_{kl})$ das matrizes, $BE_{kl}C = \sum_{m,n}
b_{mk}c_{ln}E_{mn}$, de modo que o coeficiente de $E_{kl}$ em $\Phi_g(E_{kl})$ é $b_{kk}c_{ll}$: $\operatorname{tr}\Phi_g =
\sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B)
\operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$ e $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$. ∎

**Teorema 5.8 (Primeiras relações de ortogonalidade).**

Sejam $\rho, \sigma$ *irredutíveis*. Então

$$
\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle =
\begin{cases}
1 & \text{se } \rho \cong \sigma,\\
0 & \text{caso contrário:}
\end{cases}
$$

os [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis formam uma família ortonormal em $\mathcal{CF}(G)$.

**Demonstração.** O traço de uma projeção é a dimensão de sua imagem:

$$
\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c
= \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g
= \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)}
= \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,
$$

e o lema de Schur avalia o membro esquerdo em $\delta_{\rho \cong
\sigma}$. ∎

**Corolário 5.9.**

Decomponha $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ em irredutíveis distintas ($V_i \not\cong V_j$). Então $m_i = \langle
\chi_{V_i}, \chi_V\rangle$: as multiplicidades — e portanto a [representação](#def-b3-representations-rep) a menos de isomorfismo — ficam determinadas pelo [caráter](#def-b3-representations-character). Além disso, $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i
m_i^2$; em particular, $V$ é [irredutível](#def-b3-representations-rep) se, e somente se, $\langle\chi_V,
\chi_V\rangle = 1$.

**Demonstração.** $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ ([Proposição 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)); tome produtos internos com cada $\chi_{V_i}$ e use a ortonormalidade. Duas [representações](#def-b3-representations-rep) de [caracteres](#def-b3-representations-character) iguais têm multiplicidades iguais e, portanto, são isomorfas. ∎

**Teorema 5.10 (A representação regular).**

Sejam $\chi_1, \dots, \chi_r$ os [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis distintos, de graus $n_i = \chi_i(e)$. A [representação regular](#ex-b3-representations-examples) se decompõe com multiplicidades $m_i = n_i$; consequentemente,

$$
\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G,
\qquad
\sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).
$$

**Demonstração.** O [caráter](#def-b3-representations-character) regular: $\chi_{\mathrm{reg}}(g) =
\#\{h : gh = h\}$, que vale $\abs G$ para $g = e$ e $0$ caso contrário. Logo $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle =
\frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$. Avaliando $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ em $e$ e em $g \neq e$ obtêm-se as duas identidades exibidas. ∎

**Teorema 5.11.**

Os [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis formam uma *base* ortonormal de $\mathcal{CF}(G)$: o número de [representações irredutíveis](#def-b3-representations-rep) é igual ao número de [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de $G$.

**Demonstração.** Falta apenas a completude: seja $f \in \mathcal{CF}(G)$ ortogonal a todo $\chi_i$; mostremos que $f = 0$. Para uma [representação](#def-b3-representations-rep) $(V,\rho)$, ponha $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G}
\sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$. Ela é equivariante: para $h \in
G$,

$$
\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g
\overline{f(g)}\rho(hgh^{-1})
= \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') =
T_{f,\rho}
$$

($f$ é [função de classe](#def-b3-representations-character)). Se $\rho$ é [irredutível](#def-b3-representations-rep) de grau $n$, Schur dá $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ com

$$
\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n}
= \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g)
= \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .
$$

Logo $T_{f,\rho} = 0$ em toda [irredutível](#def-b3-representations-rep) e, portanto (somas diretas), em *toda* [representação](#def-b3-representations-rep) — em particular na regular. Aplique-a ao vetor da base $e_e$: $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e =
\frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$, o que força todo $\overline{f(g)} = 0$. Assim, a família ortonormal $(\chi_i)$ gera $\mathcal{CF}(G)$, cuja dimensão é o número de [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions). ∎

**Corolário 5.12 (Ortogonalidade das colunas).**

Para $g, h \in G$:

$$
\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) =
\begin{cases}
\abs{Z_G(g)} & \text{se } g, h \text{ são conjugados},\\
0 & \text{caso contrário.}
\end{cases}
$$

**Demonstração.** Sejam $g_1, \dots, g_r$ representantes das classes e $c_j$ os tamanhos das classes. A matriz $U_{ij} =
\sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ de tamanho $r \times r$ tem linhas ortonormais ([Teorema 5.8](#thm-b3-representations-orthogonality) escrito por classes: $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} =
\delta_{ii'}$), isto é, $UU^* = I$; uma matriz quadrada com $UU^* =
I$ satisfaz também $U^*U = I$: as colunas são ortonormais, o que se desdobra na identidade exibida ($\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$, a relação órbita–estabilizador para a conjugação). ∎

**Proposição 5.13 (Caracteres unidimensionais; levantamento).**

(a) $G$ é abeliano se, e somente se, todas as suas [representações irredutíveis](#def-b3-representations-rep) têm grau $1$; o número de [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$ de um $G$ qualquer é $[G : D(G)]$ (eles são os [caracteres](#def-b3-representations-character) da abelianização). (b) Se $N \trianglelefteq G$, as [representações irredutíveis](#def-b3-representations-rep) de $G/N$ se levantam (compondo com $G \to G/N$) exatamente às [representações irredutíveis](#def-b3-representations-rep) de $G$ cujo núcleo contém $N$.

**Demonstração.** (a) Se $G$ é abeliano, cada classe é unitária: $r = \abs G$, e $\sum n_i^2 = \abs G$ força todos os $n_i = 1$; reciprocamente, se todos os $n_i = 1$, a [representação regular](#ex-b3-representations-examples) é uma soma de [representações](#def-b3-representations-rep) unidimensionais, de modo que $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ é simultaneamente diagonalizável, logo comutativa, e $\rho_{\mathrm{reg}}$ é fiel: $G$ é abeliano. As [representações](#def-b3-representations-rep) de grau $1$ são morfismos $G \to \C^\times$ com alvo abeliano: elas se fatoram por $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ ([Exercício 1.9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-9)), e os [caracteres](#def-b3-representations-character) distintos do grupo abeliano $G^{\mathrm{ab}}$ são em número de $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (ele tem essa quantidade de classes, todas de grau $1$). (b) A composição com a projeção preserva a irredutibilidade (os subespaços invariantes se correspondem), e uma [representação](#def-b3-representations-rep) trivial em $N$ se fatora pelo quociente ([Teorema 1.3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-firstiso)). ∎

## 5.3 Tabelas de caracteres

**Definição 5.14.**

A *tabela de caracteres* de $G$ é a matriz $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ de tamanho $r \times r$: linhas indexadas pelos [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis, colunas pelas [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) (com seus tamanhos indicados). As linhas são ortonormais para o produto ponderado e as colunas são ortogonais ([Corolário 5.12](#cor-b3-representations-column)): a tabela é fortemente sobredeterminada, e é isso que a torna calculável.

**Exemplo 5.15 (A tabela de S3S_3S3​).**

Classes: $e$ (tamanho 1), transposições (3), $3$-ciclos (2); logo $r
= 3$ irredutíveis, de graus $n_i$ com $\sum n_i^2 = 6$: $1, 1,
2$. Grau $1$: a trivial $\mathbf 1$ e a assinatura $\varepsilon$. A última linha decorre da ortogonalidade das colunas (ou de $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$):

$$
\begin{array}{c|ccc}
S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\
\varepsilon & 1 & -1 & 1\\
\chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1
\end{array}
$$

Verificação: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle =
\frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: é [irredutível](#def-b3-representations-rep).

**Exemplo 5.16 (A tabela de S4S_4S4​).**

Classes: $e$ [1], transposições [6], transposições duplas [3], $3$-ciclos [8], $4$-ciclos [6]: cinco irredutíveis, $\sum n_i^2 =
24$ com duas de grau $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$; $[S_4 :
D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$): graus $1, 1, 2, 3, 3$. A de grau $2$ se levanta de $S_4/V \cong S_3$ ([Proposição 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(b), com $V$ o grupo de Klein); as de grau $3$: a [representação](#def-b3-representations-rep) padrão e sua [torção](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-torsion) por $\varepsilon$:

$$
\begin{array}{c|ccccc}
S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] &
(1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\
\chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\
\chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\
\varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1
\end{array}
$$

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$; $\chi_2$ avalia a tabela de $S_3$ na imagem de cada classe módulo $V$.) Todas as verificações de ortogonalidade de linhas e colunas passam — fazer duas delas é o aquecimento do [Exercício 5.3](#exo-b3-representations-3).

**Método 5.17.**

Para construir uma [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table): (1) liste as [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) e seus tamanhos; (2) conte os [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$ por meio de $G/D(G)$ e escreva-os; (3) encontre os graus restantes a partir de $\sum n_i^2 = \abs G$ (combinatória de inteiros pequenos); (4) obtenha irredutíveis baratas: levante de quocientes, subtraia $\mathbf 1$ dos [caracteres](#def-b3-representations-character) de permutação (verifique $\langle\chi,\chi\rangle = 1$), multiplique [caracteres](#def-b3-representations-character) já conhecidos por [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$; (5) termine as linhas desconhecidas pela ortogonalidade das colunas — cada coluna é ortogonal às colunas já completas, e a coluna de $e$ carrega os graus. Confira tudo com uma varredura completa de ortogonalidade.

![A representação regular de S_3, diagonalizada por blocos: ℂ(S_3) ℂ × ℂ × M_2(ℂ), de dimensões 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. Em geral, ℂ(G) _i M_n_i(ℂ): a identidade n_i2 = G é uma afirmação sobre blocos de matrizes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-representations/fig-7b5373eb2027.svg)

*A [representação regular](#ex-b3-representations-examples) de $S_3$, diagonalizada por blocos: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$, de dimensões $1 + 1 +
4 = 6 = \abs{S_3}$. Em geral, $\C[G] \cong \prod_i
M_{n_i}(\C)$: a identidade $\sum n_i^2 = \abs G$ é uma afirmação sobre blocos de matrizes.*

## 5.4 Exercícios

**Exercício 5.1 ★.**

(a) Mostre que os [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis de $\Z/n\Z$ são os $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$, $k = 0, \dots, n-1$, e escreva a [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) de $\Z/4\Z$. (b) Verifique nela as duas relações de ortogonalidade — e reconheça a matriz: onde este livro já a encontrou?

**Solução de Exercício 5.1.**

(a) $\Z/n\Z$ é abeliano: todos os irredutíveis têm grau $1$ ([Proposição 5.13](#prop-b3-representations-onedim)), isto é, são morfismos $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$, determinados por $\chi(\bar 1)
= \omega$ com $\omega^n = 1$: os $n$ [caracteres](#def-b3-representations-character) $\chi_k(\bar
m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$. Para $n = 4$ (classes $=$ elementos $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$):

$$
\begin{array}{c|cccc}
& \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\
\hline
\chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\
\chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu
\end{array}
$$

(b) Linhas: $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m
\eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (soma geométrica); colunas do mesmo modo. A matriz $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ é a matriz da *transformada de Fourier discreta* — o mesmo filtro de raízes da unidade usado no capítulo de funções geradoras do volume do segundo ano; a [ortogonalidade dos caracteres](#thm-b3-representations-orthogonality) generaliza a fórmula de inversão da TFD.

**Exercício 5.2 ★.**

Sejam $G$ agindo sobre um conjunto finito $X$ e $\chi$ o [caráter](#def-b3-representations-character) da [representação](#def-b3-representations-rep) de permutação $\C^X$. (a) Mostre que $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ e que $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{órbitas}\}$ — o lema de contagem de Burnside ([Exercício 1.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-5)) é um cálculo de [caracteres](#def-b3-representations-character). (b) Suponha a ação transitiva, de modo que $\chi = \mathbf 1 +
\psi$. Mostre que $\psi$ é [irredutível](#def-b3-representations-rep) se, e somente se, a ação é *$2$-transitiva* (transitiva nos pares ordenados de pontos distintos). *(Calcule $\langle\chi,\chi\rangle$ como o número de [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) em $X \times X$.)* (c) Conclua que a [representação](#def-b3-representations-rep) padrão de $S_n$ ($n \geq
2$) é [irredutível](#def-b3-representations-rep).

**Solução de Exercício 5.2.**

(a) A matriz de $\rho(g)$ na base $(e_x)$ é uma matriz de permutação, de traço igual ao número de $x$ com $g\cdot x =
x$. Então

$$
\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g
\abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{órbitas}\}
$$

pelo lema de contagem de Burnside ([Exercício 1.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-5)) — equivalentemente, isso calcula a multiplicidade da [representação](#def-b3-representations-rep) trivial, cujo espaço isotípico é o espaço dos vetores $G$-invariantes, de dimensão igual ao número de [órbitas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) (um indicador por [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action)).

(b) Como $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) =
\operatorname{Fix}_X(g)^2$, a parte (a) aplicada a $X \times X$ dá $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs
G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{órbitas em }
X\times X\}$ ($\chi$ é real). Escrevendo $\chi = \mathbf 1 +
\psi$: $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (transitividade), de modo que $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$. A ação sobre $X\times X$ tem a diagonal como uma [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action); há exatamente uma outra [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) se, e somente se, $G$ é transitivo sobre os pares distintos: $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ se, e somente se, $2$-transitivo ([Corolário 5.9](#cor-b3-representations-multiplicity)).

(c) $S_n$ é $2$-transitivo sobre $\{1,\dots,n\}$ (leve qualquer par distinto a qualquer outro): $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ é [irredutível](#def-b3-representations-rep).

**Exercício 5.3 ★.**

Reconstrua do zero a tabela de $S_3$ seguindo o [Método 5.17](#met-b3-representations-table) e verifique em seguida duas relações de ortogonalidade de linhas e duas de colunas na tabela de $S_4$ do [Exemplo 5.16](#ex-b3-representations-s4). Decomponha em irredutíveis o [caráter](#def-b3-representations-character) de permutação de $S_4$ agindo sobre $\{1,2,3,4\}$ e o [caráter](#def-b3-representations-character) $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (quadrado ponto a ponto).

**Solução de Exercício 5.3.**

$S_3$: três classes, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$; os dois [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$ são $\mathbf 1, \varepsilon$ ($[S_3 :
A_3] = 2$); a terceira linha $(2, a, b)$ decorre da ortogonalidade de colunas com a coluna de $e$: $1 - 1 + 2a = 0$ e $1 + 1 +
2b = 0$: $a = 0$, $b = -1$ — a tabela do [Exemplo 5.15](#ex-b3-representations-s3).

$S_4$, verificações (linhas): $\langle\chi_{\mathrm{std}},
\varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0
- 6) = 0$; $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12
+ 8 + 0) = 1$. Colunas: $e$ contra $(1\,2)$: $1 - 1 + 0 + 3 - 3
= 0$; $(1\,2)$ contra si mesma: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 =
\abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$.

[Caráter](#def-b3-representations-character) de permutação sobre $4$ pontos: $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf
1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (contagens de pontos fixos; subtraia a primeira linha). Para $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$:

$$
\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} =
1,\quad
\langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad
\langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad
\langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad
\langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:
$$

$\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 +
\chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (dimensões: $9 = 1 + 2 + 3 + 3$).

**Exercício 5.4 ★★.**

Calcule as [tabelas de caracteres](#def-b3-representations-table) de $D_4$ e de $Q_8$. Conclua que dois grupos não isomorfos podem ter [tabelas de caracteres](#def-b3-representations-table) idênticas — que dados de teoria de grupos a tabela ainda assim captura nesse par (ordens dos [centros](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions), abelianizações, número de involuções)? Quais deles ela *deixa* de capturar?

**Solução de Exercício 5.4.**

Ambos os grupos têm cinco classes e padrão de graus $(1,1,1,1,2)$ (quatro de grau $1$ vindos da abelianização $\cong (\Z/2\Z)^2$, e então $\sum n_i^2 = 8$). Ordenando as classes $e$, $z$ (a involução central: $r^2$, resp. $-1$) e as três classes de dois elementos:

$$
\begin{array}{c|ccccc}
& e & z & C_1 & C_2 & C_3\\
\hline
\chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\
\chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\
\chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\
\chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$$

(a última linha vem da ortogonalidade de colunas). Tabelas idênticas para $D_4$ e $Q_8$, que não são isomorfos ([Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#pb-b3-groups-1)). A tabela *de fato* captura: $\abs
G$, os tamanhos das classes, o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) ($\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\
\forall i\}$: ordem $2$ em ambos), a abelianização, todo o reticulado dos [subgrupos normais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) (núcleos e interseções, [Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6)). Ela deixa escapar as ordens dos elementos: $D_4$ tem cinco involuções, $Q_8$ tem uma — de modo que o tipo de isomorfismo é genuinamente mais fino que a [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table).

**Exercício 5.5 ★★.**

[Tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) de $A_4$: classes $e$ [1], transposições duplas [3] e *duas* classes de $3$-ciclos [4], [4]. (a) Explique a cisão dos $3$-ciclos (compare os [centralizadores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) em $S_4$ e em $A_4$, como no [Exercício 1.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-11)). (b) Encontre os três [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$ (via $A_4/V \cong
\Z/3\Z$) e o [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $3$ (restrinja $\chi_{\mathrm{std}}$ de $S_4$), e monte a tabela. (c) Leia na tabela os [subgrupos normais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) de $A_4$ (núcleos $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ e suas interseções).

**Solução de Exercício 5.5.**

(a) Em $S_4$, o centralizador de $(1\,2\,3)$ tem ordem $24/8 =
3$: é $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$. Logo $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ tem ordem $3$ e a $A_4$-classe tem $12/3
= 4$ elementos: os oito $3$-ciclos se repartem em duas $A_4$-classes (representadas por $(1\,2\,3)$ e seu inverso).

(b) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ dá três [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$ ($\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$; as classes de $3$-ciclos vão para $\bar1, \bar2$); a restrição de $\chi_{\mathrm{std}}$ permanece [irredutível](#def-b3-representations-rep) ($\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3
\cdot 1 + 0 + 0) = 1$):

$$
\begin{array}{c|cccc}
A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] &
(1\,3\,2)\,[4]\\
\hline
\mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\
\chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\
\chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0
\end{array}
$$

(c) Núcleos: $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$; $\ker\chi_3 = \{e\}$ (nenhuma outra entrada tem módulo $3$). Os [subgrupos normais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) são as interseções de núcleos ([Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6)): $\{e\}$, $V$, $A_4$ — em particular, $A_4$ não tem [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) de ordem $2$ nem de índice $2$.

**Exercício 5.6 ★★.**

(a) Mostre que $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ é o núcleo da [representação](#def-b3-representations-rep) subjacente ([Proposição 5.6](#prop-b3-representations-charbasics), caso de igualdade). (b) Mostre que todo [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) de $G$ é uma interseção de núcleos de [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis. *(Represente $G/N$ fielmente: sua [representação regular](#ex-b3-representations-examples).)* (c) Deduza: $G$ é simples se, e somente se, $\ker\chi_i = \{e\}$ para todo $\chi_i$ [irredutível](#def-b3-representations-rep) não trivial — a simplicidade é legível na [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table).

**Solução de Exercício 5.6.**

(a) Se $\chi(g) = \chi(e) = n$: a igualdade em $\abs{\chi(g)} \leq n$ força $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ ([Proposição 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)) com $n\lambda = n$: $\rho(g) = \mathrm{id}$. A recíproca é clara.

(b) Seja $N \trianglelefteq G$. A [representação regular](#ex-b3-representations-examples) de $G/N$ é fiel; decomponha-a em irredutíveis de $G/N$ e levante-os a $G$ ([Proposição 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(b)): [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis $\chi_{i_1}, \dots$ de $G$ cujos núcleos contêm $N$ e cujo núcleo *comum* é exatamente a pré-imagem de $\{e\}$, isto é, $N$ (fidelidade no quociente). Logo $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$.

(c) Se $G$ é simples: para um [irredutível](#def-b3-representations-rep) não trivial $\chi$, $\ker\chi \trianglelefteq G$ não é $G$ (uma [representação irredutível](#def-b3-representations-rep) trivial em todo $G$ é o [caráter](#def-b3-representations-character) trivial), de modo que $\ker\chi = \{e\}$. Reciprocamente, suponha que todos os núcleos não triviais sejam triviais, e seja $N \trianglelefteq G$ com $N \neq
G$. Na expressão de $N$ como interseção de núcleos em (b), algum [caráter](#def-b3-representations-character) envolvido é não trivial (se todos fossem triviais, a interseção seria $G$), e seu núcleo é $\{e\}$: $N =
\{e\}$. Logo os únicos [subgrupos normais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) são $\{e\}$ e $G$.

**Exercício 5.7 ★★.**

Graus de $\abs G = 8$: mostre que um grupo não abeliano de ordem $8$ tem padrão de graus $(1,1,1,1,2)$ e que sua [representação](#def-b3-representations-rep) de grau $2$ é fiel. Mais geralmente, mostre que um grupo não abeliano de ordem $p^3$ tem padrão $(1^{\,p^2},
p, \dots, p)$, com $p^2$ uns e $p - 1$ [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $p$. *(Use $[G : D(G)]$ e $\sum n_i^2 = \abs G$; aqui $D(G) = Z(G)$ tem ordem $p$.)*

**Solução de Exercício 5.7.**

Ordem $8$ não abeliano: o número de [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$ é $[G : D(G)]$, um divisor próprio de $8$ (não abeliano: $D(G) \neq
\{e\}$), e $\sum n_i^2 = 8$. Com $k$ deles iguais a um e os graus restantes $\geq 2$: $8 - k \equiv 0$ com quadrados $\geq 4$, e $k
\mid 8$, $k < 8$. $k = 4$: um grau $2$ — coerente. $k =
2$: sobram $6$, que não é soma de quadrados $\geq 4$. $k = 1$: impossível, pois $k = [G : D(G)] \geq 2$ — $G/D(G)$ é um $2$-grupo abeliano não trivial, já que $G$ é um $2$-grupo com $D(G) \neq G$ pela [solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) dos $p$-grupos ([Exemplo 1.30](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-solvableexamples)). Logo o padrão é $(1,1,1,1,2)$. Fidelidade de $\chi_5$: os quatro [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$ contêm todos $D(G)$ em seus núcleos; se $\ker\chi_5
\supseteq N \neq \{e\}$ para algum normal minimal $N$ ($N
\subseteq D(G)$ ou não — tome $N \subseteq \ker\chi_5$ não trivial), então $N$ estaria em todos os cinco núcleos, cuja interseção é trivial (a [representação regular](#ex-b3-representations-examples) é fiel): contradição. Ordem $p^3$ não abeliano: $Z(G)$ tem ordem $p$ (ordem $p^2$ tornaria $G/Z$ cíclico e $G$ abeliano), $G/Z(G)$, de ordem $p^2$, é abeliano, de modo que $D(G) \subseteq Z(G)$, e $D(G) \ne \{e\}$: $D(G) = Z(G)$, dando $p^2$ [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $1$. Os graus restantes satisfazem $\sum n_i^2 = p^3 -
p^2$ com cada $n_i > 1$ dividindo $\abs G$ ([Problema 5.1](#pb-b3-representations-1), questão 8), logo $n_i \in
\{p\}$ ($n_i = p^2$ ultrapassaria: $p^4 > p^3 - p^2$): exatamente $p
- 1$ [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $p$.

**Exercício 5.8 ★★★.**

Para grupos finitos $G, H$: mostre que as [funções de classe](#def-b3-representations-character) $\chi(g)\psi(h)$ em $G \times H$, com $\chi, \psi$ [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis de $G, H$, são exatamente os [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis de $G \times H$. *(A ortonormalidade é um cálculo direto; a completude, uma contagem de classes.)* Deduza a [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) de $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ e redemonstre a [Proposição 5.13](#prop-b3-representations-onedim)(a) para grupos abelianos finitos via o teorema de estrutura.

**Solução de Exercício 5.8.**

Defina, para [representações](#def-b3-representations-rep) $\rho, \sigma$ de $G, H$ em $V, W$, a [representação](#def-b3-representations-rep) $\rho \boxtimes \sigma$ de $G \times H$ sobre $V \otimes W$ — concretamente, sobre matrizes: $(\rho\boxtimes
\sigma)(g,h)$ é o produto de Kronecker $\rho(g)\otimes
\sigma(h)$, cujo traço é $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) =
\chi(g)\psi(h)$ (o produto de Kronecker de matrizes $A \otimes B$ tem traço $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$: sua diagonal é $a_{kk}b_{ll}$). Logo $\chi\psi$ é um [caráter](#def-b3-representations-character), e

$$
\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H}
= \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h}
\overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h)
= \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H
= \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.
$$

Em particular $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$: cada $\chi\psi$ é [irredutível](#def-b3-representations-rep) ([Corolário 5.9](#cor-b3-representations-multiplicity)). Esses são $r_Gr_H$ [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis distintos; as classes de $G\times H$ são os produtos de classes ($(g,h) \sim (g',h')$ componente a componente), de modo que há $r_Gr_H$ delas: a lista está completa ([Teorema 5.11](#thm-b3-representations-numberirr)). Para $(\Z/2\Z)^2$: os quatro [caracteres](#def-b3-representations-character) de sinal $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — a tabela do bloco superior esquerdo do [Exercício 5.4](#exo-b3-representations-4). Um grupo abeliano finito é um produto de grupos cíclicos ([Corolário 3.13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#cor-b3-modules-abelian)); seus [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis são produtos dos cíclicos ([Exercício 5.1](#exo-b3-representations-1)): todos de grau $1$.

**Exercício 5.9 ★★★.**

A [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) de $A_5$ (classes de tamanhos $1, 15, 20, 12,
12$, do [Exercício 1.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-11)): (a) Mostre que os graus são $1, 3, 3, 4, 5$ *(a única solução de $\sum n_i^2 = 60$ com $n_1 = 1$ e, usando o [Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6)(c) com a simplicidade, nenhum outro $n_i = 1$)*. (b) Construa o [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $4$ (ação por permutação em $5$ pontos) e o de grau $5$ (a ação sobre os seis $5$-subgrupos de Sylow dá grau $6 = 1 + 5$; verifique a irredutibilidade), e complete as duas linhas de grau $3$ pela ortogonalidade das colunas: entradas com a razão áurea $\frac{1\pm\sqrt5}2$ aparecem nas classes dos $5$-ciclos. (c) Verifique, a partir da tabela pronta, que $A_5$ é simples ([Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6)(c)).

**Solução de Exercício 5.9.**

(a) $D(A_5) = A_5$ (simples não abeliano), de modo que o único [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $1$ é $\mathbf 1$ ([Proposição 5.13](#prop-b3-representations-onedim)). Precisamos de $n_2^2 + n_3^2
+ n_4^2 + n_5^2 = 59$ com cada $n_i \geq 2$; testando os quadrados $4, 9, 16, 25, 36, 49$: o único multiconjunto que funciona é $\{9, 9, 16, 25\}$: com maior quadrado $49$, o resto $10$ não é soma de três quadrados $\geq 4$; com $36$, o resto $23$ também não é ($16 + 4 + 4 = 24$, $9 + 9 + 4 = 22$); com maior $25$, verifica-se que $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ funciona e que as variantes $25 +
25$, $25 + 16 + 16$, $25 + 16 + 4$ falham; com maior $16$: $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$. Graus: $1, 3, 3, 4, 5$.

(b) Permutação sobre $5$ pontos: pontos fixos $(5, 1, 2, 0, 0)$, de modo que $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ com $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60}
= 1$: [irredutível](#def-b3-representations-rep). Ação sobre os seis $5$-subgrupos de Sylow: uma involução fixa exatamente $2$ (os [normalizadores](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) são diedrais de ordem $10$, cada um contendo $5$ involuções: $30$ incidências para $15$ involuções), um elemento de ordem $3$ fixa $0$ (não há ordem $3$ em $D_5$), um elemento de ordem $5$ fixa exatamente $1$ (ele está num único Sylow): [caráter](#def-b3-representations-character) de permutação $(6, 2, 0, 1, 1)$, e $\chi_5 =
(5, 1, -1, 0, 0)$ com norma $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} =
1$: [irredutível](#def-b3-representations-rep). Restam duas linhas $(3, a, b, c, d)$, $(3, a', b', c',
d')$. Normas de colunas ([Corolário 5.12](#cor-b3-representations-column)): na classe de $(1\,2)(3\,4)$, $\abs{Z} = 4$: $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$; coluna contra $e$: $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a') =
0$: $a + a' = -2$, $a^2 + a'^2 = 2$: $a = a' = -1$. Nos $3$-ciclos, $\abs Z = 3$: $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$: $b = b'
= 0$. Em cada $5$-classe, $\abs Z = 5$: a coluna contra $e$ dá $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$, de modo que $c + c' = 1$; e $c^2 + c'^2 = 3$: $\{c, c'\} = \bigl\{\frac{1+\sqrt5}2,
\frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — a razão áurea e sua conjugada; a segunda $5$-classe carrega os valores trocados (as duas linhas devem ser ortogonais).

(c) Na tabela terminada, nenhuma entrada de uma linha não trivial iguala seu grau fora da primeira coluna: todo núcleo $\{g :
\chi_i(g) = n_i\}$ é trivial. Pelo [Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6)(c), $A_5$ é simples.

**Exercício 5.10 ★★.**

Sejam $\rho$ uma [representação irredutível](#def-b3-representations-rep) de grau $n$ e $z
\in Z(G)$. Mostre que $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ com $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ um morfismo (o *[caráter](#def-b3-representations-character) central*) e deduza $\abs{\chi(z)} = n$ para $z$ central. Aplicação: se $G$ tem uma [representação irredutível](#def-b3-representations-rep) fiel, então $Z(G)$ é cíclico.

**Solução de Exercício 5.10.**

$\rho(z)$ comuta com todo $\rho(g)$ ($z$ é central), isto é, $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (Schur): $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$, e $z \mapsto \lambda_z$ é multiplicativa: um morfismo $Z(G) \to \C^\times$. Então $\chi(z) = n\lambda_z$ com $\abs{\lambda_z} = 1$ (raiz da unidade): $\abs{\chi(z)} = n$. Se $\rho$ é fiel, $\lambda$ é injetiva em $Z(G)$ ($\rho(z) = \mathrm{id} \iff \lambda_z =
1$), de modo que $Z(G)$ mergulha em $\C^\times$; um subgrupo finito do grupo multiplicativo de um corpo é cíclico ([Teorema 4.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#thm-b3-galois-cyclic)).

**Exercício 5.11 ★★.**

(Projeções isotípicas) Sejam $(V, \rho)$ uma [representação](#def-b3-representations-rep) de $G$ e $\chi_i$ um [caráter](#def-b3-representations-character) [irredutível](#def-b3-representations-rep) de grau $n_i$. Defina

$$
p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G}
\overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).
$$

(a) Mostre que $p_i$ é $G$-equivariante e calcule sua restrição a uma subrepresentação [irredutível](#def-b3-representations-rep) $W \subseteq
V$ de [caráter](#def-b3-representations-character) $\chi_j$: ela é $\delta_{ij}\,
\mathrm{id}_W$ *(Schur; tome traços para identificar o escalar)*. (b) Deduza que $p_i$ é uma projeção sobre a soma $V_i$ de todas as subrepresentações irredutíveis de [caráter](#def-b3-representations-character) $\chi_i$ (a *componente isotípica*), que $\sum_ip_i =
\mathrm{id}_V$, e que a decomposição $V =
\bigoplus_iV_i$ é canônica — ao contrário da divisão mais fina de cada $V_i$ em irredutíveis. (c) Para a [representação regular](#ex-b3-representations-examples) de $S_3$ e o [caráter](#def-b3-representations-character) assinatura $\varepsilon$, escreva $p_\varepsilon$ explicitamente como elemento da álgebra do grupo e verifique $p_\varepsilon^2
= p_\varepsilon$ à mão.

**Solução de Exercício 5.11.**

(a) Equivariância: $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ reindexa a soma ($g \mapsto hgh^{-1}$, e $\chi_i$ é uma [função de classe](#def-b3-representations-character)): $p_i$ comuta com a ação. Sobre um [irredutível](#def-b3-representations-rep) $W$ de [caráter](#def-b3-representations-character) $\chi_j$, Schur torna a restrição um escalar $\lambda\,\mathrm{id}_W$; tomando traços,

$$
\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g
\overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i,
\chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}
$$

(primeira relação de ortogonalidade): $\lambda = \delta_{ij}$.

(b) Decomponha $V$ em irredutíveis (Maschke): $p_i$ age como a identidade nas parcelas de [caráter](#def-b3-representations-character) $\chi_i$ e como $0$ em todas as outras, de modo que $p_i$ é a projeção sobre a soma delas, $V_i$, ao longo da soma das restantes; a imagem $V_i$ não depende da decomposição escolhida (é o conjunto dos vetores fixados por $p_i$, definido sem escolhas). $\sum_ip_i$ age como a identidade em toda parcela [irredutível](#def-b3-representations-rep): é $\mathrm{id}_V$. O desmembramento mais fino de $V_i \cong W_i^{\oplus m_i}$ envolve escolher uma base de $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$: canônico ele não é.

(c) Para $\varepsilon$ (grau $1$): $p_\varepsilon =
\frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$, isto é, na álgebra do grupo

$$
p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3)
+ (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .
$$

Elevando ao quadrado: o coeficiente de $g$ em $p_\varepsilon^2$ é $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) =
\frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 =
\frac{6}{36}\varepsilon(g)$: $p_\varepsilon^2 =
p_\varepsilon$. (Sua imagem na [representação regular](#ex-b3-representations-examples) é a reta gerada por $\sum_g\varepsilon(g)e_g$: a [representação](#def-b3-representations-rep) sinal aparece com multiplicidade $1$, como a teoria geral exige.)

**Exercício 5.12 ★★.**

(Lendo uma tabela) A [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) de um certo grupo $G$ de ordem $24$ é parcialmente conhecida: ele tem $5$ classes, de tamanhos $1, 6, 8, 6, 3$, e graus $1, 1, 2, 3, 3$. (a) Recupere a tabela completa: os dois [caracteres](#def-b3-representations-character) lineares (um trivial; o outro assume o valor $-1$ exatamente nas classes de tamanhos $6$ e $6$), depois o [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $2$ pela ortogonalidade com a coluna da identidade e, do mesmo modo, os dois [caracteres](#def-b3-representations-character) de grau $3$ (um deles é $\chi_2\chi_4$). (b) Identifique $G$ ($\cong S_4$: compare as classes com os tipos de ciclo) e extraia da tabela os [subgrupos normais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) via o [Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6): os núcleos de $\chi_2$ (índice $2$: $A_4$) e de $\chi_3$ (o grupo de Klein $V_4$), e nada mais além de $\{e\}, G$. (c) Explique como a tabela mostra que $G/V_4 \cong S_3$ *(quais [caracteres](#def-b3-representations-character) se fatoram pelo quociente?)*.

**Solução de Exercício 5.12.**

(a) Ordene as classes $e$ [1], transposições [6], $3$-ciclos [8], $4$-ciclos [6], transposições duplas [3]. O segundo [caráter](#def-b3-representations-character) linear é $\chi_2 = \varepsilon$, com valores $1, -1, 1, -1, 1$. Para o [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $2$ $\chi_3$, a ortogonalidade de cada coluna com a coluna da identidade ($\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ para $g \neq e$) dá, nas transposições: $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 +
\chi_5) = 0$; o truque do sinal $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (um [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $3$ vezes um linear é de novo [irredutível](#def-b3-representations-rep) — mesma norma) faz $\chi_4 + \chi_5$ se anular nas classes ímpares: $\chi_3 = 0$ ali. Nos $3$-ciclos: $1 + 1 +
2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ com $\chi_5 = \chi_4$ nas classes pares; a coluna de $c_3$ consigo mesma dá informação sobre $\abs{\chi_3}^2$; resolvendo o pequeno sistema (use também a ortogonalidade de linhas de $\chi_3$ com $\mathbf 1$ e $\varepsilon$): $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$, e então $\chi_4 =
(3, 1, 0, -1, -1)$ e $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1,
0, 1, -1)$. A tabela completa:

|  | $e$ | $6\,t$ | $8\,c_3$ | $6\,c_4$ | $3\,v$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\chi_1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_2$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $1$ |
| $\chi_3$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $2$ |
| $\chi_4$ | $3$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_5$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $-1$ |

(Todas as linhas têm norma $1$; todas as colunas são ortogonais: as verificações passam.)

(b) Os dados de classes $1, 6, 8, 6, 3$ com esses graus são os de $S_4$ (tipos de ciclo $e$, $2$, $3$, $4$, $2{+}2$). Núcleos: $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (classes $e, c_3, v$: $1 + 8 + 3 = 12$, índice $2$); $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ = classes $e, v$: o grupo de Klein $V_4$, de ordem $4$, normal. $\chi_4, \chi_5$ são fiéis ($\chi_i(g) = n_i$ só em $e$). Interseções de núcleos: $\{e\}$, $V_4$, $A_4$, $G$ — pelo [Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6)(b), esses são *todos* os [subgrupos normais](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) de $S_4$.

(c) Os [caracteres](#def-b3-representations-character) com $V_4 \subseteq \ker$ são $\chi_1,
\chi_2, \chi_3$: eles se fatoram através de $G/V_4$, um grupo de ordem $6$ que possui graus irredutíveis $1, 1, 2$ — a tabela de $S_3$. Como a tabela do quociente *é* um invariante completo entre os dois grupos de ordem $6$ ($\Z/6\Z$ teria seis [caracteres](#def-b3-representations-character) lineares), $G/V_4 \cong
S_3$: o quociente é visível dentro da tabela como o bloco de linhas que contêm $V_4$ em seu núcleo.

## 5.5 Problema: o teorema $p^aq^b$ de Burnside

**Problema 5.1.**

Problema de fim de semana — solubilidade dos grupos de ordem $p^aq^b$

Burnside demonstrou em 1904 que todo grupo cuja ordem tem no máximo dois fatores primos é [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) — uma afirmação sobre grupos abstratos cujas únicas demonstrações conhecidas durante meio século passavam pela teoria de [caracteres](#def-b3-representations-character). Este problema constrói a demonstração por inteiro, reunindo o [Capítulo 1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ch-b3-groups) ([solubilidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived)), o [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#ch-b3-modules) ($\Z$-módulos [finitamente gerados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free)) e este capítulo. Ao longo de todo o problema, $\chi_1, \dots, \chi_r$ são os [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis de $G$, $n_i = \chi_i(e)$.

**Parte I — Inteiros [algébricos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic).** Um *inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic)* é uma raiz de um polinômio *mônico* de $\Z[X]$.

1. Mostre que $\alpha$ é um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) se, e somente se, o anel $\Z[\alpha]$ é um $\Z$ -módulo [finitamente gerado](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free) .
2. Deduza que os inteiros [algébricos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) formam um subanel de $\C$ . *(Se $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ são [finitamente gerados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free), $\Z[\alpha, \beta]$ também é, e os submódulos de $\Z$-módulos [finitamente gerados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free) são [finitamente gerados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free), pelo [Teorema 3.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#thm-b3-modules-submodule) e por um argumento de apresentação — ou diretamente: um submódulo de $\Z^n$ é livre de posto $\leq n$.)*
3. Mostre que um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) *racional* é um inteiro. *(Teorema da raiz racional.)*
4. Mostre que todo valor de [caráter](#def-b3-representations-character) $\chi(g)$ é um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) .

**Parte II — As relações das somas de classe.** Fixe uma [representação irredutível](#def-b3-representations-rep) $(V, \rho)$ de grau $n$ e [caráter](#def-b3-representations-character) $\chi$. Para uma [classe de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) $C$, ponha $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in
\mathcal L(V)$.

5. Mostre que $S_C$ é equivariante, logo $S_C =  \omega_C\,\mathrm{id}$ com $$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}  \qquad (g_C \in C \text{ qualquer representante}).$$
6. Mostre que $S_CS_{C'} = \sum_{C''}  a_{CC'C''}\,S_{C''}$ , em que $a_{CC'C''} \in \N$ conta, para um $z \in C''$ fixado, os pares $(x, y) \in C \times  C'$ com $xy = z$ . Deduza que os $\omega_C$ satisfazem $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''}  a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
7. Conclua que cada $\omega_C$ é um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) . *(O $\Z$-módulo gerado por $1$ e pelos $\omega_C$ é um anel [finitamente gerado](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free); aplique o critério da questão 1 — mais precisamente, mostre que $M = \Z\text{-gerado}  (1, (\omega_C)_C)$ satisfaz $\omega_{C_0} M \subseteq  M$ e use um truque de determinante/Cayley–Hamilton, ou o argumento de subanel da questão 2.)*
8. Deduza a *divisibilidade de [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#thm-b3-galois-finitefields)* : $n_i$ divide $\abs G$ para todo grau [irredutível](#def-b3-representations-rep) . *(Calcule $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}  \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\,  \overline{\chi(g_C)}$: um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) que é racional.)*

**Parte III — O critério de simplicidade de Burnside.**

9. Sejam $\chi$ [irredutível](#def-b3-representations-rep) de grau $n$ e $C$ uma classe com $\gcd(\abs C, n) = 1$ . Usando Bézout e as questões 4–7, mostre que $\frac{\chi(g_C)}{n}$ é um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) .
10. Suponha, além disso, $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . Mostre que isso é impossível: o inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) $\alpha =  \chi(g_C)/n$ tem todos os seus *conjugados* — os números $\alpha_\sigma = \frac1n\sigma(\chi(g_C))$ para $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{\abs G})/\Q)$ , cada um uma média de $n$ raízes da unidade — de módulo $\leq 1$ , de modo que o produto $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ é um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) racional com $0 < \abs N < 1$ — justifique cada afirmação, citando o [Teorema 4.23](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#thm-b3-galois-cyclotomicirred) para o [grupo de Galois](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-galois) e o fato de que $\sigma$ permuta raízes da unidade. Conclua: ou $\chi(g_C) = 0$ , ou $\rho(g_C)$ é escalar ( [Proposição 5.6](#prop-b3-representations-charbasics) ).
11. (Critério de Burnside) Seja $C \neq \{e\}$ uma [classe de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de tamanho *potência de primo* $p^k > 1$ , e suponha $G$ simples não abeliano. A ortogonalidade da coluna de $C$ contra a coluna de $e$ dá $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Mostre que algum $\chi_i$ não trivial com $p \nmid n_i$ satisfaz $\chi_i(g_C) \neq 0$ *(do contrário, $\frac1p$ seria um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic))* ; pela questão 10, $\rho_i(g_C)$ é escalar; obtenha uma contradição com a simplicidade *(o conjunto dos $g$ com $\rho_i(g)$ escalar é um [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal); use a fidelidade, do [Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6))* . Conclua: *nenhum [grupo simples](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-simple) não abeliano tem uma [classe de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de tamanho potência de primo $> 1$.*

**Parte IV — O teorema.**

12. Seja $\abs G = p^aq^b$ com $a + b \geq 1$ . Se $G$ é simples, mostre que ele é abeliano: escolha $z \neq e$ no [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de um $q$ -subgrupo de Sylow ( [Teorema 1.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-pfixed) ) e considere o tamanho de sua [classe de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) $[G : Z_G(z)]$ , uma potência de $p$ (por quê?); aplique a questão 11.
13. Conclua por indução sobre $\abs G$ : *todo grupo de ordem $p^aq^b$ é [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived)* (Burnside). Por que o argumento se quebra para três primos — e por que ele tem de se quebrar, dado que $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ?

**Parte V — A [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) de $A_5$.** O menor grupo que o teorema de Burnside não alcança merece seu retrato completo; tudo o que vem abaixo usa apenas este capítulo e o [Exercício 1.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-11).

14. Recorde do [Exercício 1.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-11) as cinco [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de $A_5$ : $\{e\}$ , as $15$ transposições duplas, os $20$ ciclos de comprimento três e duas classes de $12$ ciclos de comprimento cinco cada, representadas por $c =  (1\,2\,3\,4\,5)$ e $c^2$ . Explique por que os ciclos de comprimento cinco se cindem em duas $A_5$ -classes, embora formem uma única $S_5$ -classe.
15. Mostre que os graus irredutíveis de $A_5$ são exatamente $1, 3, 3, 4, 5$ : use $\sum_in_i^2 = 60$ com $r = 5$ classes e o fato de que $A_5$ é [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) ( $D(A_5) =  A_5$ ), de modo que o [caráter](#def-b3-representations-character) trivial é seu único [caráter](#def-b3-representations-character) linear; depois elimine todo outro multiconjunto *(escreva $59$ como soma de quatro quadrados de inteiros $\geq 2$: verifique que isso ocorre de um único modo com todas as parcelas sendo graus plausíveis)* .
16. Seja $\pi$ o [caráter](#def-b3-representations-character) de permutação de $A_5$ em $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , de valores $5, 1, 2, 0, 0$ nas cinco classes. Calcule $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ e $\langle\pi,  \pi\rangle$ , e deduza que $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ é [irredutível](#def-b3-representations-rep) de grau $4$ , de valores $4, 0, 1, -1,  -1$ .
17. Mesmo jogo nos $10$ pares não ordenados $\{i, j\}$ : as contagens de pontos fixos são $10, 2, 1, 0, 0$ . Calcule $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10},  \mathbf 1\rangle$ e $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ , deduza a decomposição $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4  + \chi_5$ e obtenha o [caráter](#def-b3-representations-character) [irredutível](#def-b3-representations-rep) $\chi_5$ de grau $5$ , de valores $5, 1, -1, 0, 0$ .
18. As duas irredutíveis restantes $\chi_2, \chi_3$ têm grau $3$ . A ortogonalidade das colunas (cada coluna não identidade contra a coluna da identidade, e cada coluna consigo mesma) determina seus valores fora dos ciclos de comprimento cinco: mostre que $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ nas transposições duplas e $0$ nos ciclos de comprimento três.
19. Nas classes dos ciclos de comprimento cinco, ponha $x = \chi_2(c)$ e $y =  \chi_2(c^2)$; a simetria permite tomar $\chi_3(c) = y$, $\chi_3(c^2) = x$. Da coluna de $c$ emparelhada com a coluna da identidade e com a coluna de $c^2$, deduza $x + y = 1$ e $xy = -1$ (e confira o valor $x^2 +  y^2 = 3$ dado pela coluna de $c$ consigo mesma), donde $$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 -  \sqrt5}2\Bigr\} :$$ a razão áurea e sua conjugada. Monte a [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) completa de $A_5$.
20. Faça as verificações: a norma da linha de $\chi_2$ é $1$ (use $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ ), $\langle\chi_2,  \chi_3\rangle = 0$ , e a divisibilidade de [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#thm-b3-galois-finitefields) (questão 8) para os cinco graus. Onde, na tabela, você *vê* uma diferença em relação a $S_5$ , cujos valores de [caráter](#def-b3-representations-character) são todos inteiros racionais?
21. Deduza apenas da tabela que $A_5$ é simples: um [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) é uma reunião de [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) que contém $e$ e cuja cardinalidade divide $60$ — verifique que nenhuma subsoma própria de $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ contendo a parcela $1$ divide $60$ . Confronte com o critério da questão 11: verifique que nenhuma classe de $A_5$ tem tamanho potência de primo $> 1$ .
22. (Coda icosaédrica) $A_5$ é o grupo de rotações do icosaedro, e as [representações](#def-b3-representations-rep) de grau $3$ são as duas ações geométricas em $\R^3$ . Verifique a identidade dos traços: uma rotação de ângulo $\theta$ tem traço $1 +  2\cos\theta$ , e $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 =  \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Explique sem nenhum cálculo por que o outro [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $3$ tem de carregar o valor conjugado: o [grupo de Galois](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-galois) de $\Q(\sqrt5)/\Q$ age sobre a [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) inteira (entrada a entrada), permutando os [caracteres](#def-b3-representations-character) irredutíveis.

**Parte VI — Complementos: uma cota central e o quadrado tensorial.**

23. (Mais fino do que uma divisibilidade) Seja $\chi$ [irredutível](#def-b3-representations-rep) de grau $n$. Mostre que $\abs{\chi(z)} = n$ para todo $z \in Z(G)$ *(lema de Schur: $\rho(z)$ é escalar, de ordem finita)* e deduza de $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ a cota $$n^2 \leq [G : Z(G)] .$$ Mostre que os grupos não abelianos de ordem $8$ têm graus irredutíveis $1, 1, 1, 1, 2$ *(cinco [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions); escreva $8$ como soma de cinco quadrados)* e atingem a igualdade $4 = [G : Z(G)]$; verifique a cota em $A_5$, cujo [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) é trivial.
24. (Quadrado tensorial de $\chi_2$) Para $g$ de ordem finita, $\rho(g)$ é diagonalizável com autovalores raízes da unidade; deduza as fórmulas de [caráter](#def-b3-representations-character) $$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g)  = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2,  \qquad  \chi_{\Lambda^2 V}(g)  = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2 .$$ Aplique-as a $\chi_2$ de $A_5$ *(note que $g^2$ percorre a classe de $c^2$ quando $g$ percorre a de $c$, e reciprocamente)*: mostre que $\Lambda^2\chi_2 =  \chi_2$ e $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 +  \chi_5$, donde $$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$$ Interprete $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ geometricamente por meio do produto vetorial em $\R^3$.
25. (Auditoria final da tabela) Verifique numericamente: a ortogonalidade entre as duas colunas dos ciclos de comprimento cinco ( $\varphi\bar\varphi = -1$ ), o valor $5 =  \abs{Z_{A_5}(c)}$ para a coluna de $c$ consigo mesma, e o anulamento do [caráter](#def-b3-representations-character) regular $\sum_i  n_i\chi_i(g) = 0$ em cada uma das quatro colunas não identidade da tabela.

**Solução de Problema 5.1.**

**1.** Se $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 =
0$ ($c_i \in \Z$), então $\alpha^n \in \Z\text{-gerado}(1, \dots,
\alpha^{n-1})$, e, indutivamente, toda potência o é: $\Z[\alpha]$ é gerado por $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$. Reciprocamente, seja $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$. Escreva $\alpha g_i =
\sum_j m_{ij}g_j$ com $M = (m_{ij}) \in M_m(\Z)$: o vetor $g = (g_i)$ satisfaz $(\alpha I - M)g = 0$; multiplicando pela matriz adjunta, $\det(\alpha I - M)\,g_i = 0$ para todo $i$, e, como $1 \in \Z[\alpha]$ é uma $\Z$-combinação dos $g_i$, $\det(\alpha I - M) = 0$: $\alpha$ é raiz do mônico $\det(XI - M) \in \Z[X]$.

**2.** Se $\Z[\alpha]$ é gerado pelas potências de $\alpha$ até $n-1$ e $\Z[\beta]$ pelas de $\beta$ até $m - 1$, então $\Z[\alpha,\beta]$ é gerado pelos $nm$ produtos $\alpha^i\beta^j$ (reduza qualquer monômio). Os subanéis $\Z[\alpha + \beta]$ e $\Z[\alpha\beta]$ são $\Z$-submódulos do $\Z$-módulo [finitamente gerado](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free) $\Z[\alpha, \beta]$, logo [finitamente gerados](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free) ($\Z[\alpha,\beta]$, gerado por $nm$ elementos, é imagem de $\Z^{nm}$; um submódulo se levanta a um submódulo de $\Z^{nm}$, livre de posto $\leq nm$ pelo [Teorema 3.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#thm-b3-modules-submodule), e sua imagem gera). Pela questão 1, $\alpha + \beta$ e $\alpha\beta$ são inteiros [algébricos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic).

**3.** Se $\frac pq$ (fração [irredutível](#def-b3-representations-rep)) é raiz de um polinômio mônico com coeficientes inteiros de grau $n$, o teorema das raízes racionais (elimine os denominadores: $p^n = -q(\cdots)$) dá $q \mid p^n$, de modo que $q = \pm1$.

**4.** $\chi(g)$ é uma soma de raízes da unidade ([Proposição 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)), cada uma um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) (raiz de $X^N - 1$); conclua pela questão 2.

**5.** Para $h \in G$: $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in
C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ ($C$ é uma classe). Por Schur, $S_C =
\omega_C\,\mathrm{id}$; tomando traços, $\abs C\,\chi(g_C) =
\omega_C\, n$.

**6.** $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) =
\sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ com $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times
C' : xy = z\}$. A conjugação por $h$ estabelece uma bijeção entre as soluções para $z$ e as para $hzh^{-1}$: $a$ é uma [função de classe](#def-b3-representations-character) com valores em $\N$, de modo que $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$. Substituindo $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ em toda parte e identificando os escalares: $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$.

**7.** Seja $M$ o $\Z$-módulo gerado por $1$ e por todos os produtos $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$; pela questão 6, todo tal produto se reduz a uma $\Z$-combinação de $1$ e dos $\omega_C$: $M$ é [finitamente gerado](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free), e $\omega_C M
\subseteq M$ para cada $C$. Em particular, $\Z[\omega_C]
\subseteq M$ é [finitamente gerado](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/3-modulos-sobre-um-dominio-de-ideais-principais#def-b3-modules-free) (submódulo, como na questão 2), e a questão 1 torna $\omega_C$ um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic).

**8.** Para um $\chi$ [irredutível](#def-b3-representations-rep) de grau $n$:

$$
\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle
= \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)}
= \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)}
= \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .
$$

Cada $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ é um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) (questão 4), de modo que o membro direito é um (questões 2 e 7); ele é racional, logo inteiro (questão 3): $n \mid \abs
G$.

**9.** Bézout: $u\abs C + vn = 1$ com $u, v \in \Z$. Então

$$
\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} +
v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),
$$

um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic).

**10.** Suponha $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ e seja $\alpha
= \chi(g_C)/n$. Todos os valores $\chi(g)$ estão em $\Q(\zeta_N)$, $N =
\abs G$ (somas de raízes $N$-ésimas da unidade). Para $\sigma \in
\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$: $\sigma$ leva raízes da unidade em raízes da unidade ($\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$, [Teorema 4.23](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#thm-b3-galois-cyclotomicirred)), de modo que $\sigma(\chi(g_C))$ é de novo uma soma de $n$ raízes da unidade: $\abs{\sigma(\alpha)}
\leq 1$; além disso, $\sigma(\alpha)$ é um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) (tem o mesmo [polinômio minimal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) que $\alpha$). O produto $P =
\prod_\sigma \sigma(\alpha)$ é fixado por todo o [grupo de Galois](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-galois), logo é racional ([Teorema 4.21](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#thm-b3-galois-fundamental)(1)), e é um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) com

$$
0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1
$$

(nenhum fator se anula: $\sigma(\alpha) = 0$ forçaria $\alpha =
0$). Isso contradiz a questão 3. Logo $\chi(g_C) = 0$ ou $\abs{\chi(g_C)} = n$, e neste último caso $\rho(g_C)$ é escalar ([Proposição 5.6](#prop-b3-representations-charbasics)).

**11.** Ortogonalidade de colunas ($C \neq \{e\}$): $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$, isto é, $1 +
\sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$. Se todo $\chi_i$ não trivial com $p \nmid n_i$ se anulasse em $g_C$, então, agrupando os demais por seu fator $p$:

$$
-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i}
\frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},
$$

um inteiro [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) — contradizendo a questão 3. Logo algum $\chi_i$ não trivial tem $p \nmid n_i$ e $\chi_i(g_C) \neq 0$; como $\abs C = p^k$, $\gcd(\abs C, n_i) = 1$, e a questão 10 torna $\rho_i(g_C)$ escalar. Agora, $G$ simples não abeliano: $\chi_i$ é fiel ([Exercício 5.6](#exo-b3-representations-6)(c)), e $Z_i = \{g : \rho_i(g) \text{ escalar}\}$ é um [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) (a pré-imagem por $\rho_i$ dos escalares, que formam um [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) — de fato central — da imagem) que contém $g_C \neq e$: $Z_i = G$. Então $\rho_i(G)$ é abeliana e fiel, tornando $G$ abeliano: contradição. *Nenhum [grupo simples](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-simple) não abeliano tem [classe de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de tamanho potência de primo $> 1$.*

**12.** Seja $G$ simples de ordem $p^aq^b$. Se $b = 0$ ($G$ um $p$-grupo): $Z(G) \neq \{e\}$ ([Teorema 1.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-pfixed)) é normal, logo $Z(G) = G$: abeliano. Caso contrário, tome $Q$ um $q$-subgrupo de Sylow e $z \in Z(Q)
\setminus\{e\}$ ([Teorema 1.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#thm-b3-groups-pfixed) de novo). Então $Q
\subseteq Z_G(z)$, de modo que a classe de $z$ tem tamanho $[G : Z_G(z)]$ dividindo $[G : Q] = p^a$: uma potência de $p$. Se o tamanho é $1$, $z \in Z(G)$: o [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) é um [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) não trivial, logo $Z(G) = G$, abeliano. Se o tamanho é $p^k > 1$: a questão 11 o proíbe para $G$ simples não abeliano. De um jeito ou de outro, um [grupo simples](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-simple) de ordem $p^aq^b$ é abeliano ($\cong \Z/p\Z$).

**13.** Indução sobre $\abs G$ ($\abs G = 1$: [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived)). Se $G$ é simples, a questão 12 o torna abeliano, logo [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived). Caso contrário, tome $N$ um [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) próprio não trivial: $\abs
N$ e $\abs{G/N}$ são de novo da forma $p^{a'}q^{b'}$ e menores, de modo que $N$ e $G/N$ são [solúveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) por indução, e $G$ é [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) ([Proposição 1.29](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#prop-b3-groups-derived)). — Com três primos, o passo-chave falha: o índice de um [subgrupo de Sylow](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-sylow) deixa de ser potência de primo, de modo que a classe de um elemento central de um Sylow não precisa ter tamanho potência de primo. E alguma falha é inevitável: $A_5$, de ordem $2^2\cdot3\cdot5$, é simples e não [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived).

**14.** As classes e os tamanhos são os do [Exercício 1.11](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#exo-b3-groups-11)(a). A $S_5$-classe de $c$ tem tamanho $24$; se ela permanecesse uma única $A_5$-classe, a contagem órbita–estabilizador daria $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$, que não é inteiro — concretamente, $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ tem ordem $5$ e está dentro de $A_5$, de modo que a $A_5$-classe de $c$ tem tamanho $60/5 =
12$: a $S_5$-classe se parte em duas ($c$ e $c^2$ só são conjugados em $S_5$ por uma permutação ímpar).

**15.** Um único [caráter](#def-b3-representations-character) linear: uma [representação](#def-b3-representations-rep) de grau $1$ se fatora através de $G/D(G)$, e $D(A_5) = A_5$ ($A_5$ é simples não abeliano, e $D(A_5)$ é normal e não trivial — $A_5$ não é abeliano). Logo $n_1 = 1$ e $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2
+ n_5^2 = 59$ com cada $n_i \geq 2$. Quadrados disponíveis: $4, 9,
16, 25, 36, 49$. Uma soma de quatro deles igual a $59$: o maior deve ser $25$ ($36 + 4 + 4 + 9 = 53 < 59$ não se ajusta: $36 + 16 + 4 + 4 = 60$, $36 + 9 + 9 + 4 = 58$, $36 +
16 + 9 + 4 = 65$ — nenhuma combinação com $36$ ou $49$ funciona), e $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (única possibilidade: $16 + 16 + 4 =
36$, $25 + 9 + 4 = 38$, $25 + 4 + 4 = 33$): graus $1, 3, 3,
4, 5$.

**16.** $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 +
15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (uma [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) — contagem de Burnside), e $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 +
0 + 0) = 2$: $\pi$ contém o [caráter](#def-b3-representations-character) trivial uma vez, e seu outro constituinte é um único [irredutível](#def-b3-representations-rep). Logo $\chi_4 = \pi
- \mathbf 1$ é [irredutível](#def-b3-representations-rep), de grau $4$, com valores $4, 0,
1, -1, -1$.

**17.** Sobre os pares, um elemento fixa $\{i,j\}$ se, e somente se, fixa ou troca $i, j$: as contagens são $10$ ($e$), $2$ ($t =
(1\,2)(3\,4)$ fixa $\{1,2\}, \{3,4\}$), $1$ ($(1\,2\,3)$ fixa $\{4,5\}$), $0, 0$. Então $\langle\pi_{10},
\pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$: três constituintes irredutíveis, cada um uma vez. E $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20)
= 1$, $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 +
20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$: logo $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4
+ \chi$ com $\chi$ [irredutível](#def-b3-representations-rep) de grau $10 - 1 - 4 = 5$ e valores $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0,
0)$.

**18.** Escreva $a, a'$ para os valores de $\chi_2, \chi_3$ em $t$, e $b, b'$ em $s = (1\,2\,3)$; os quatro são reais ($t$ e $s$ são conjugados a seus inversos). Coluna $t$ contra a coluna $e$: $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$, de modo que $a + a'
= -2$; coluna $t$ consigo mesma: $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 =
\frac{60}{15} = 4$, de modo que $a^2 + a'^2 = 2$; logo $(a + a')^2 = 4
= 2 + 2aa'$ dá $aa' = 1$ e $a = a' = -1$. Coluna $s$ contra $e$: $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ dá $b + b' = 0$; coluna $s$ consigo mesma: $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60}
{20} = 3$ dá $b = b' = 0$.

**19.** Coluna $c$ contra a coluna $e$: $1 + 3(x + y) +
4(-1) + 5\cdot0 = 0$, de modo que $x + y = 1$. Coluna $c$ contra a coluna $c^2$ (classes distintas, ortogonais): $1 + xy + yx + 1
+ 0 = 0$, de modo que $xy = -1$. Assim $x, y$ resolvem $T^2 - T - 1 = 0$: $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ com $\varphi = \frac{1 +
\sqrt5}2$. Coerência: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3 =
\frac{60}{12} - 2$ — em acordo com a identidade da coluna consigo mesma $1 +
x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$. A tabela:

|  | $e$ | $15\,t$ | $20\,s$ | $12\,c$ | $12\,c^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\chi_1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi_2$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $\varphi$ | $\bar\varphi$ |
| $\chi_3$ | $3$ | $-1$ | $0$ | $\bar\varphi$ | $\varphi$ |
| $\chi_4$ | $4$ | $0$ | $1$ | $-1$ | $-1$ |
| $\chi_5$ | $5$ | $1$ | $-1$ | $0$ | $0$ |

**20.** $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 +
0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 +
36}{60} = 1$, usando $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi +
\bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$. Analogamente, $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 +
12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$. Divisibilidade de [Frobenius](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#thm-b3-galois-finitefields): $1, 3, 3, 4, 5$ dividem todos $60$. Os valores irracionais $\varphi, \bar\varphi$ são a diferença visível em relação a $S_5$: em $S_5$, todo elemento é conjugado a todos os geradores de seu grupo cíclico com o mesmo tipo de ciclo — em particular $c \sim c^2$ —, forçando valores de [caráter](#def-b3-representations-character) racionais (de fato inteiros); em $A_5$, a partição dos ciclos de comprimento cinco abre a porta para $\Q(\sqrt5)$.

**21.** Um [subgrupo normal](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-normal) $N$ é uma união de classes, contém $e$, e $\abs N \mid 60$. As somas candidatas: $1{+}15 = 16$, $1{+}20 = 21$, $1{+}12 = 13$, $1{+}24 = 25$, $1{+}15{+}20 = 36$, $1{+}15{+}12 = 28$, $1{+}15{+}24 = 40$, $1{+}20{+}12 = 33$, $1{+}20{+}24 = 45$, $1{+}12{+}12 = 25$, $1{+}15{+}20{+}12 = 48$, $1{+}15{+}20{+}24 = 60 - 12 = \dots$, listando todas as subsomas próprias que contêm $1$: nenhum dos $13, 16,
21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, 13{+}\dots$ divide $60$, exceto $1$ ele próprio: $N = \{e\}$ ou $A_5$. Simplicidade, lida em cinco números. E o critério da questão 11 também está visível: os tamanhos de classe $15 = 3\cdot5$, $20 = 4\cdot5$, $12 = 4\cdot3$ são todos compostos de dois primos — nenhuma classe de tamanho potência de primo, exatamente como o critério de Burnside exige de um [grupo simples](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-simple).

**22.** Uma rotação de $\R^3$ de ângulo $\theta$ tem autovalores $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$: traço $1 +
2\cos\theta$. Para $\theta = \frac{2\pi}5$: $2\cos\frac{2\pi}5
= \frac{\sqrt5 - 1}2$, de modo que o traço é $1 + \frac{\sqrt5-1}2 =
\frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$. O elemento não trivial $\tau$ de $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$, aplicado entrada a entrada a uma [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table), leva [caracteres](#def-b3-representations-character) em [caracteres](#def-b3-representations-character) (ele comuta com a álgebra que os define: $\tau\circ\chi$ é o [caráter](#def-b3-representations-character) da [representação](#def-b3-representations-rep) obtida transportando as matrizes por $\tau$ nas entradas; ou, abstratamente: as relações de ortogonalidade são $\Q$-racionais, de modo que $\tau$ permuta suas soluções); $\tau$ fixa $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ (valores racionais) e deve, portanto, trocar $\chi_2$ e $\chi_3$: o segundo [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $3$ carrega os valores conjugados, sem matriz alguma calculada. Geometricamente, as duas [representações](#def-b3-representations-rep) são a ação icosaédrica e sua composta com um automorfismo externo de $A_5$ (conjugação por uma transposição), que troca as duas classes de ciclos de comprimento cinco.

**23.** Para $z \in Z(G)$, $\rho(z)$ comuta com todo $\rho(g)$, de modo que, pelo lema de Schur, $\rho(z) = \lambda\,
\mathrm{id}$; como $z$ tem ordem finita, $\lambda$ é uma raiz da unidade, e $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$. Então

$$
\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle
= \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2
\geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2
= \abs{Z(G)}\,n^2,
$$

isto é, $n^2 \leq [G : Z(G)]$. Um grupo não abeliano de ordem $8$ ($D_4$ ou $Q_8$) tem cinco [classes de conjugação](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions), logo cinco graus irredutíveis com $\sum n_i^2 = 8$; a única maneira de escrever $8$ como soma de cinco quadrados $\geq 1$ é $1 + 1 + 1 + 1
+ 4$: graus $1, 1, 1, 1, 2$. Ambos os grupos têm [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) de ordem $2$, e o [caráter](#def-b3-representations-character) de grau $2$ atinge a igualdade: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — a cota é atingida. Para $A_5$, $Z = \{e\}$ e a cota se lê $n^2 \leq 60$: satisfeita por $1, 3, 3, 4, 5$ com folga ($25 \leq 60$), como tem de ser, já que a igualdade forçaria (pela mesma cadeia) $\chi$ a se anular fora do [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions).

**24.** $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ para $m$ a ordem de $g$, de modo que $\rho(g)$ é anulado por $X^m - 1$, cindido com raízes simples sobre $\C$: diagonalizável, com autovalores $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ raízes da unidade, numa base de autovetores $(e_i)$. Os produtos $e_ie_j$ ($i \leq j$) formam uma base de autovetores de $\operatorname{Sym}^2V$ com autovalores $\lambda_i\lambda_j$, e $e_i \wedge e_j$ ($i < j$) uma de $\Lambda^2V$; como

$$
\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j
= \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2
= \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,
$$

e a soma simétrica acrescenta $\sum_i\lambda_i^2$ em vez de subtraí-lo, ambas as fórmulas seguem. Para $\chi_2 = (3, -1,
0, \varphi, \bar\varphi)$ nas classes $(e, (2,2)\text{-},
3\text{-ciclos}, c, c^2)$: elevar ao quadrado leva as transposições duplas a $e$, os três-ciclos em três-ciclos, a classe de $c$ sobre a de $c^2$ e reciprocamente ($c^{-1} \sim
c$ em $A_5$, de modo que $c^4 \sim c$). Logo $\chi_2(g^2)$ se lê $(3,
3, 0, \bar\varphi, \varphi)$ e, usando $\varphi^2 = \varphi
+ 1$, $\bar\varphi = 1 - \varphi$:

$$
\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2,
\qquad
\operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .
$$

Decompondo o segundo, com os tamanhos de classe $1, 15, 20, 12,
12$: $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 +
15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$; $\langle\cdot, \chi_5\rangle =
\frac1{60}(30 + 30) = 1$; $\langle\cdot, \chi_4\rangle =
\frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$; $\langle\cdot, \chi_2\rangle =
\frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$, e do mesmo modo para $\chi_3$. Assim $\operatorname{Sym}^2\chi_2 =
\mathbf 1 + \chi_5$ (dimensões $6 = 1 + 5$) e $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensões $9 = 1 + 3 + 5$). Geometria: o isomorfismo equivariante $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$, $u \wedge v \mapsto u
\times v$, é exatamente $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ para um grupo de rotações; a parcela $\mathbf 1$ do quadrado simétrico é a forma quadrática invariante $x^2 + y^2 + z^2$, e $\chi_5$ vive no espaço de dimensão cinco dos tensores simétricos de traço nulo (quadráticas harmônicas).

**25.** Coluna de $c$ contra a coluna de $c^2$:

$$
1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi +
(-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,
$$

como a ortogonalidade exige para classes distintas ($\varphi
\bar\varphi = -1$). Coluna de $c$ consigo mesma: $1 +
\varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 =
\abs{Z_{A_5}(c)}$. [Caráter](#def-b3-representations-character) regular $\sum_in_i\chi_i$ nas quatro colunas diferentes da identidade:

$$
1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad
1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,
$$

nas transposições duplas e nos três-ciclos, e na classe de $c$ (a de $c^2$ é sua conjugada [de Galois](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-galois)):

$$
1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,
$$

usando $\varphi + \bar\varphi = 1$. A tabela passa por toda auditoria: é a [tabela de caracteres](#def-b3-representations-table) de $A_5$.