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title: "Topologia geral"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral
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# Capítulo 6 — Topologia geral

O volume do segundo ano fez análise em espaços métricos: distâncias, bolas, sequências. Mas as noções fundamentais — [continuidade](#def-b3-topology-continuity), [compacidade](#def-b3-topology-compact), [conexidade](#def-b3-topology-connected) — jamais mencionam o valor numérico de uma distância, apenas a família de *abertos* que ela gera. Este capítulo toma essa família como objeto primitivo. O ganho não é generalidade pela generalidade: as construções por quociente (o círculo como $\R/\Z$, os espaços projetivos), os produtos e as [topologias](#def-b3-topology-topology) do tipo fraco da análise funcional simplesmente não são objetos que nascem métricos. Reconstruímos a [continuidade](#def-b3-topology-continuity), tratamos em seguida a [compacidade](#def-b3-topology-compact) por coberturas abertas (demonstrando que ela equivale, em espaços métricos, à definição sequencial do segundo ano) e a [conexidade](#def-b3-topology-connected) — encerrando com o teorema de que nenhuma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) pode identificar $\R$ com $\R^2$: a [topologia](#def-b3-topology-topology) sabe distinguir dimensões.

## 6.1 Topologias, abertos, continuidade

**Definição 6.1.**

Uma *topologia* sobre um conjunto $X$ é uma família $\mathcal T$ de subconjuntos de $X$ — chamados *conjuntos abertos* — tal que: $\varnothing, X \in
\mathcal T$; toda reunião de abertos é aberta; toda interseção *finita* de abertos é aberta. O par $(X, \mathcal T)$ é um *espaço topológico*. Os complementares dos abertos são os *fechados*. Uma *vizinhança* de $x$ é um conjunto que contém um aberto que contém $x$.

**Exemplo 6.2.**

(a) Um espaço métrico, com “aberto” no sentido do segundo ano (reuniões de bolas abertas): a *[topologia](#def-b3-topology-topology) métrica*; métricas diferentes podem dar a mesma [topologia](#def-b3-topology-topology) (métricas equivalentes). Um espaço cuja [topologia](#def-b3-topology-topology) provém de alguma métrica é *metrizável*. (b) A [topologia](#def-b3-topology-topology) *discreta* (todos os subconjuntos) e a [topologia](#def-b3-topology-topology) *grosseira* $\{\varnothing, X\}$. (c) A [topologia](#def-b3-topology-topology) *cofinita* sobre um conjunto infinito: aberto $=$ vazio ou cofinito. Não é metrizável, como veremos ([Exercício 6.3](#exo-b3-topology-3)). (d) Em $\R$, a [topologia](#def-b3-topology-topology) usual; em $\bar\R = \R \cup
\{\pm\infty\}$, a [topologia](#def-b3-topology-topology) da ordem gerada pelas semirretas — o que faz de “$x_n \to +\infty$” um caso de convergência comum.

**Definição 6.3.**

Para $A \subseteq X$: o *interior* $\mathring A$ é o maior aberto contido em $A$ (a reunião de todos eles); o *fecho* $\bar A$ é o menor fechado que contém $A$; a *fronteira* é $\partial A = \bar A
\setminus \mathring A$. $A$ é *denso* se $\bar A = X$. Tem-se $x \in \bar A$ se, e somente se, toda [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $x$ encontra $A$ (se alguma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) não encontra $A$, o complementar de seu núcleo aberto é um fechado menor em torno de $A$; e reciprocamente).

**Definição 6.4.**

Uma *base* de $\mathcal T$ é uma família $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ tal que todo aberto é uma reunião de membros de $\mathcal B$ (por exemplo, as bolas abertas em um espaço métrico; os intervalos abertos em $\R$). Uma família $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ é base de *alguma* [topologia](#def-b3-topology-topology) se, e somente se, ela cobre $X$ e, para $B_1, B_2 \in \mathcal B$ e $x \in B_1 \cap B_2$, existe $B_3 \in \mathcal B$ com $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — e então “as reuniões de membros” formam uma [topologia](#def-b3-topology-topology), a [topologia](#def-b3-topology-topology) *gerada* por $\mathcal B$.

**Definição 6.5.**

$f \colon X \to Y$ é *contínua* se $f^{-1}(V)$ é aberto para todo aberto $V \subseteq Y$ — equivalentemente, as pré-imagens de fechados são fechadas; equivalentemente, para todo $x$ e toda [vizinhança](#def-b3-topology-topology) $V$ de $f(x)$, $f^{-1}(V)$ é [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $x$ (continuidade *em* cada $x$). Basta verificar sobre uma [base](#def-b3-topology-basis) de $Y$. Composições de aplicações contínuas são contínuas. Um *homeomorfismo* é uma bijeção contínua de inversa contínua; a [topologia](#def-b3-topology-topology) estuda as propriedades preservadas por homeomorfismos.

**Proposição 6.6 (Continuidade e fecho; colagem).**

(a) $f$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) se, e somente se, $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ para todo $A \subseteq X$. (b) Se $X = F_1 \cup F_2$ com $F_1, F_2$ fechados e $f\colon X
\to Y$ se restringe [continuamente](#def-b3-topology-continuity) a cada $F_i$, então $f$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity).

**Demonstração.** (a) Se $f$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity): $f^{-1}(\overline{f(A)})$ é fechado e contém $A$, logo contém $\bar A$. Reciprocamente, aplique o critério a $A = f^{-1}(F)$, com $F$ fechado: $f(\bar A) \subseteq
\overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$, logo $\bar A
\subseteq f^{-1}(F) = A$: as pré-imagens de fechados são fechadas. (b) Para $F \subseteq Y$ fechado: $f^{-1}(F) =
(f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1}
(F)$, uma reunião de dois conjuntos fechados em $F_1$ e em $F_2$, respectivamente, logo fechados em $X$ (os $F_i$ são fechados: fechado dentro de fechado é fechado). ∎

**Definição 6.7.**

$X$ é *de Hausdorff* (ou *separado*) se dois pontos distintos quaisquer têm [vizinhanças](#def-b3-topology-topology) disjuntas. Os espaços métricos são de Hausdorff (bolas de raio $d(x,y)/2$). Uma sequência $(x_n)$ *converge* para $x$ se toda [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $x$ contém todos os $x_n$ salvo um número finito; em um espaço de Hausdorff, os limites são únicos (dois limites teriam [vizinhanças](#def-b3-topology-topology) disjuntas contendo, cada uma, uma cauda). Em um espaço de Hausdorff, os pontos — e portanto os conjuntos finitos — são fechados.

**Observação 6.8.**

Em espaços métricos, as sequências detectam tudo: $x \in \bar A$ se, e somente se, alguma sequência de $A$ converge para $x$ (tome $x_n \in A \cap
B(x, 1/n)$), e $f$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) se, e somente se, é sequencialmente [contínua](#def-b3-topology-continuity). Em espaços gerais, ambas as equivalências falham; os substitutos corretos das sequências (filtros, redes) pertencem a um curso mais avançado. Enunciaremos os resultados baseados em sequências em espaços métricos e os baseados em coberturas em geral — e demonstraremos sua equivalência onde ela vale.

## 6.2 Subespaços, produtos, quocientes

**Definição 6.9.**

Três maneiras de fabricar espaços novos a partir de antigos:

1. *Subespaço* : em $A \subseteq X$ , os abertos são os $U \cap A$ , com $U$ aberto em $X$ — a [topologia](#def-b3-topology-topology) menos fina que torna a inclusão [contínua](#def-b3-topology-continuity) .
2. *Produto* : em $X \times Y$ (e nos produtos finitos), a [topologia](#def-b3-topology-topology) de [base](#def-b3-topology-basis) os *blocos abertos* $U \times  V$ ; em um produto infinito $\prod_i X_i$ , a [base](#def-b3-topology-basis) é formada pelos blocos $\prod U_i$ com $U_i = X_i$ para *todos salvo um número finito* de índices $i$ — a [topologia](#def-b3-topology-topology) menos fina que torna [contínua](#def-b3-topology-continuity) toda projeção.
3. *Quociente* : se $\sim$ é uma equivalência em $X$ e $\pi\colon X \to X/{\sim}$ é a projeção, declare $V  \subseteq X/{\sim}$ aberto se, e somente se, $\pi^{-1}(V)$ é aberto — a [topologia](#def-b3-topology-topology) mais fina que torna $\pi$ [contínua](#def-b3-topology-continuity) .

**Proposição 6.10 (Propriedades universais).**

(a) $f \colon Z \to X \times Y$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) se, e somente se, ambas as componentes $\pi_X \circ f$, $\pi_Y \circ f$ o são (o mesmo vale para produtos arbitrários). (b) $g \colon X/{\sim} \to Z$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) se, e somente se, $g \circ \pi
\colon X \to Z$ o é.

**Demonstração.** (a) Necessidade: composições. Suficiência: basta verificar as pré-imagens dos blocos da [base](#def-b3-topology-basis): $f^{-1}(U \times V) = (\pi_Xf)^{-1}(U)
\cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$, aberto (apenas um número finito de fatores $\neq X_i$ no caso infinito). (b) Necessidade: composição. Suficiência: para $W \subseteq Z$ aberto, $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ é aberto, o que, pela definição da [topologia quociente](#def-b3-topology-constructions), significa que $g^{-1}(W)$ é aberto. ∎

**Exemplo 6.11.**

O quociente $\R/\Z$ (identificando $x$ e $x + n$) é [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) ao círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$: a aplicação $x
\mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ passa a uma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) $\R/\Z \to S^1$ ([Proposição 6.10](#prop-b3-topology-universal)(b)); sua inversa é [contínua](#def-b3-topology-continuity) pelo argumento de [compacidade](#def-b3-topology-compact) do [Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) abaixo (o [Exercício 6.5](#exo-b3-topology-5) detalha tudo, inclusive por que $\R/\Z$ é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) e [compacto](#def-b3-topology-compact)). Do mesmo modo, $[0,1]$ com as extremidades coladas é $S^1$, o quadrado com os lados opostos colados é o toro, e colar é, enfim, um teorema, não um desenho.

## 6.3 Compacidade

**Definição 6.12.**

Uma *cobertura aberta* de $X$ é uma família $(U_i)_{i\in I}$ de abertos com $\bigcup U_i = X$. $X$ é *compacto* se é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) e toda cobertura aberta admite uma *subcobertura finita*. Equivalentemente (tomando complementares): toda família de fechados com a *propriedade da interseção finita* (toda subfamília finita tem interseção não vazia) tem interseção total não vazia.

**Teorema 6.13 (Primeiras propriedades).**

Seja $X$ [compacto](#def-b3-topology-compact).

1. Um subconjunto fechado de $X$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) ; um subconjunto [compacto](#def-b3-topology-compact) de um [espaço de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) é fechado.
2. A imagem [contínua](#def-b3-topology-continuity) de um [espaço compacto](#def-b3-topology-compact) em um [espaço de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) é compacta. Em particular, uma [aplicação contínua](#def-b3-topology-continuity) $f\colon X  \to \R$ é limitada e atinge seus extremos.
3. Uma sequência decrescente de fechados não vazios de $X$ tem interseção não vazia.

**Demonstração.** (1) Sejam $F \subseteq X$ fechado e $(U_i)$ uma cobertura aberta de $F$ (por abertos de $X$): acrescentar $X \setminus F$ dá uma cobertura aberta de $X$; uma subcobertura finita, retirado $X \setminus F$, cobre $F$. Que o subespaço é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) é claro. Reciprocamente, sejam $K \subseteq Y$ [compacto](#def-b3-topology-compact), $Y$ [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) e $y \notin K$: para cada $x \in K$ escolha abertos disjuntos $U_x \ni x$, $V_x \ni y$; um número finito dos $U_x$ cobre $K$, e a interseção dos $V_x$ correspondentes é uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $y$ disjunta da cobertura de $K$ e, portanto, de $K$: o complementar de $K$ é aberto.

(2) Se $(V_j)$ cobre $f(X)$, então $(f^{-1}(V_j))$ cobre $X$; uma subcobertura finita embaixo provém da subcobertura finita em cima. A imagem é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) por ser subespaço. Para $f$ real: $f(X)$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) em $\R$, logo fechado e limitado (cubra por $(-n, n)$ para a limitação; fechado por (1)), e um conjunto fechado e limitado contém seu supremo.

(3) Se $\bigcap F_n = \varnothing$, os abertos $X \setminus F_n$ cobrem $X$; um número finito basta, de modo que algum $F_{n_0} =
\varnothing$ (a sequência é decrescente) — contradição. ∎

**Corolário 6.14.**

Uma *bijeção* [contínua](#def-b3-topology-continuity) de um [espaço compacto](#def-b3-topology-compact) em um [espaço de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity).

**Demonstração.** A inversa é [contínua](#def-b3-topology-continuity) se, e somente se, as imagens diretas de fechados são fechadas; um fechado $F$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) ([Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)), sua imagem é compacta (2) e, portanto, fechada (1) no alvo [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff). ∎

**Teorema 6.15 (Produtos finitos).**

Um produto finito de [espaços compactos](#def-b3-topology-compact) é [compacto](#def-b3-topology-compact).

**Demonstração.** Basta tratar $X \times Y$. A propriedade [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) é herdada (separe em uma coordenada). Seja $(W_i)$ uma cobertura aberta de $X
\times Y$; podemos supor que os $W_i$ são blocos da [base](#def-b3-topology-basis) $U_i \times
V_i$ (refine: cada ponto está em um bloco contido em algum $W_i$; uma subcobertura finita de blocos fornece uma dos $W_i$). Fixe $x \in X$: a *fatia* $\{x\}\times Y \cong Y$ é compacta, de modo que um número finito de blocos $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ a cobre, com $x \in U_j$ para todo $j$; então $U^x = \bigcap_{j \leq k} U_j$ é uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) aberta de $x$ com $U^x \times Y$ coberto por um número finito de blocos (o *lema do tubo*: para $(x', y) \in U^x \times Y$, $y \in V_j$ para algum $j$, pois os blocos cobriam $\{x\}\times Y$ no nível $y$, e $x' \in U^x \subseteq U_j$, logo $(x', y) \in U_j
\times V_j$). Ora, um número finito de $U^x$ cobre o [compacto](#def-b3-topology-compact) $X$; as coleções finitas de blocos correspondentes cobrem $X \times Y$. ∎

**Teorema 6.16 (Compacidade em espaços métricos).**

Para um espaço métrico $(X, d)$, são equivalentes:

1. $X$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) (Borel–Lebesgue);
2. toda sequência em $X$ tem uma subsequência convergente ( [compacidade sequencial](#thm-b3-topology-metriccompact) — a definição do segundo ano);
3. $X$ é completo e *totalmente limitado* : para todo $\varepsilon > 0$ , um número finito de bolas de raio $\varepsilon$ cobre $X$ .

**Demonstração.** (1)$\Rightarrow$(2): suponha que $(x_n)$ não tenha subsequência convergente. Então cada $x \in X$ tem uma bola aberta $B_x$ que contém $x_n$ apenas para um número finito de índices $n$ (do contrário, uma subsequência convergiria para $x$: tome os raios $1/k$). Um número finito de $B_x$ cobre $X$, de modo que só existe um número finito de índices $n$: absurdo.

(2)$\Rightarrow$(3): completude: uma sequência de Cauchy com uma subsequência convergente converge (segundo ano). Total limitação: se algum $\varepsilon$ não admite cobertura finita, escolha indutivamente $x_{n+1}$ fora de $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$: a sequência satisfaz $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ para $m \neq n$, e não tem subsequência de Cauchy, nem convergente.

(3)$\Rightarrow$(1): primeiro, (3) implica (2): dada $(x_n)$, cubra $X$ por um número finito de bolas de raio $1$: uma delas, $B_1$, contém uma subsequência; cubra $X$ por bolas de raio $1/2$: uma delas contém uma nova subsequência; itere e diagonalize: a subsequência diagonal é de Cauchy (dois termos posteriores à etapa $k$ estão em uma bola comum de raio $2^{-k}$, a menos do habitual $2\cdot$) e, portanto, converge. Seja agora $(U_i)$ uma cobertura aberta e suponha que não haja subcobertura finita. *Argumento do número de Lebesgue*: para cada $n$, alguma bola $B(y_n, 2^{-n})$ não é coberta por um número finito de $U_i$ — com efeito, cubra $X$ por um número finito de bolas de raio $2^{-n}$; se cada uma fosse finitamente coberta, $X$ também seria. Por (2), uma subsequência $y_{n_k} \to y$; escolha $i$ com $y \in U_i$ e $r > 0$ com $B(y, r) \subseteq U_i$. Para $k$ grande, $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$: coberta por *um único* $U_i$ — contradição. ∎

**Corolário 6.17 (Heine–Borel; Heine).**

(a) Um subconjunto de $\R^n$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) se, e somente se, é fechado e limitado. (b) Uma [aplicação contínua](#def-b3-topology-continuity) de um espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) em um espaço métrico é uniformemente [contínua](#def-b3-topology-continuity).

**Demonstração.** (a) Fechado e limitado $\Rightarrow$ contido em um cubo $[-M,M]^n$, que é [compacto](#def-b3-topology-compact): $[-M, M]$ o é (sequencialmente, por Bolzano–Weierstrass — ou diretamente por dicotomia para as coberturas), e o [Teorema 6.15](#thm-b3-topology-tychonoff) cuida do produto; depois aplique o [Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1). Reciprocamente, um subconjunto [compacto](#def-b3-topology-compact) é fechado ([Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(1)) e limitado (cubra por bolas concêntricas).

(b) Sejam $f \colon X \to Y$, $\varepsilon > 0$. As bolas $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ com $f\bigl(B(x,
2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ cobrem $X$; extraia uma subcobertura finita $B(x_j, \delta_{x_j})$ e ponha $\delta = \min_j \delta_{x_j}$. Se $d(x, x') < \delta$: $x
\in B(x_j, \delta_{x_j})$ para algum $j$, e então ambos $x, x'
\in B(x_j, 2\delta_{x_j})$, de modo que $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$. ∎

**Definição 6.18.**

$X$ é *localmente compacto* se é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) e todo ponto tem uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) compacta ($\R^n$; os abertos de $\R^n$; os espaços discretos — mas não $\Q$, veja o [Exercício 6.9](#exo-b3-topology-9)). Todo espaço localmente [compacto](#def-b3-topology-compact) mergulha em um [compacto](#def-b3-topology-compact): a *compactificação por um ponto* $\hat X = X
\cup \{\infty\}$, cujos abertos são os de $X$ junto com os complementares (em $\hat X$) dos subconjuntos [compactos](#def-b3-topology-compact) de $X$. Os axiomas se verificam diretamente; $\hat X$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) (uma cobertura tem um membro contendo $\infty$, cujo complementar é [compacto](#def-b3-topology-compact), coberto por um número finito dos demais) e [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) (separe $x$ de $\infty$ por uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) compacta de $x$ e seu complementar). Exemplo: $\hat\R \cong S^1$, e $\widehat{\R^n} \cong S^n$ por projeção estereográfica ([Exercício 6.11](#exo-b3-topology-11)).

## 6.4 Conexidade

**Definição 6.19.**

$X$ é *conexo* se não é a reunião de dois abertos disjuntos não vazios — equivalentemente, seus únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados são $\varnothing$ e $X$; equivalentemente, toda [aplicação contínua](#def-b3-topology-continuity) $X \to \{0, 1\}$ (discreto) é constante. Um subconjunto é conexo se o for como subespaço.

**Teorema 6.20.**

1. Os subconjuntos [conexos](#def-b3-topology-connected) de $\R$ são exatamente os intervalos.
2. As imagens [contínuas](#def-b3-topology-continuity) de [conexos](#def-b3-topology-connected) são [conexas](#def-b3-topology-connected) (donde o teorema do valor intermediário: uma aplicação real [contínua](#def-b3-topology-continuity) em um [espaço conexo](#def-b3-topology-connected) tem por imagem um intervalo).
3. Se os $(A_i)$ são [conexos](#def-b3-topology-connected) com um ponto em comum, $\bigcup  A_i$ é [conexo](#def-b3-topology-connected) . Se $A$ é [conexo](#def-b3-topology-connected) e $A \subseteq  B \subseteq \bar A$ , então $B$ é [conexo](#def-b3-topology-connected) .
4. Produtos finitos de [conexos](#def-b3-topology-connected) são [conexos](#def-b3-topology-connected) .

**Demonstração.** Ao longo de toda a demonstração usamos o critério de $\{0,1\}$: toda $f \colon X \to
\{0,1\}$ [contínua](#def-b3-topology-continuity) tem de ser constante.

(1) Um $A$ que não é intervalo deixa de conter algum $c$ entre $a, b \in A$: $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ o desconecta. Reciprocamente, sejam $I$ um intervalo e $f \colon I
\to \{0,1\}$ [contínua](#def-b3-topology-continuity) com $f(a) = 0$, $f(b) = 1$, $a < b$. Seja $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$; a [continuidade](#def-b3-topology-continuity) em $c$ força $f(c) = 0$ (limite de valores $0$: toda [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $c$ encontra $\{f = 0\}$; $\{f=0\}$ é fechado) e, então, $c < b$ com $f \equiv 1$ em $(c, b]$, de modo que $f(c) = 1$ pelo mesmo argumento de [fecho](#def-b3-topology-interior) sobre $\{f = 1\} \ni c$: contradição.

(2) Uma [aplicação contínua](#def-b3-topology-continuity) $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ dá $g \circ f$ constante, de modo que $g$ é constante na imagem.

(3) Uma [aplicação contínua](#def-b3-topology-continuity) $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ é constante em cada $A_i$, com o mesmo valor no ponto comum. Quanto ao [fecho](#def-b3-topology-interior): $f \colon B \to \{0,1\}$ é constante $= c$ em $A$; todo $x \in B \subseteq \bar A$ está no [fecho](#def-b3-topology-interior) de $A$, e $f^{-1}
(f(x))$ é uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $x$ (pré-imagem de um aberto), que tem de encontrar $A$: $f(x) = c$.

(4) Para $X \times Y$ e $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$: dois pontos quaisquer $(x,y), (x',y')$ são ligados pelo “cotovelo” $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$, reunião de dois [conexos](#def-b3-topology-connected) ([homeomorfos](#def-b3-topology-continuity) a $Y$ e a $X$) que se encontram em $(x, y')$: por (3) e (2), $f$ coincide nos dois pontos. ∎

**Definição 6.21.**

$X$ é *conexo por caminhos* se dois pontos quaisquer são ligados por um *caminho* (uma [aplicação contínua](#def-b3-topology-continuity) $\gamma
\colon [0,1] \to X$). [Conexo](#def-b3-topology-connected) por caminhos implica [conexo](#def-b3-topology-connected): dois valores de uma $f \colon X \to \{0,1\}$ [contínua](#def-b3-topology-continuity) em $x, y$ são valores da aplicação constante $f\circ\gamma$ ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(1)–(2)). Os subconjuntos convexos de espaços normados são [conexos](#def-b3-topology-connected) por caminhos (segmentos); também o são $\R^n
\setminus \{0\}$ para $n \geq 2$ (contorne a origem) e $S^n$ para $n \geq 1$ (projete caminhos a partir de $\R^{n+1}\setminus
\{0\}$).

**Exemplo 6.22 (A curva seno do topólogo).**

Sejam $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ e $S =
\bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo ponto $(0,
y)$, com $\abs y \leq 1$, é limite de pontos de $\Gamma$: resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$). Então $S$ é *[conexo](#def-b3-topology-connected)* — [fecho](#def-b3-topology-interior) do [conexo](#def-b3-topology-connected) $\Gamma$, imagem [contínua](#def-b3-topology-continuity) de $(0, 1]$ ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)) — mas *não é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected)*: um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) de $(1, \sin 1)$ até $(0,0)$ teria de percorrer abscissas $\to 0$ enquanto a ordenada oscila entre $\pm1$; o [Exercício 6.9](#exo-b3-topology-9) torna isso rigoroso. [Conexidade](#def-b3-topology-connected) e [conexidade](#def-b3-topology-connected) por [caminhos](#def-b3-topology-pathconnected) diferem de verdade.

![A curva seno do topólogo: o gráfico de 1x (em vermelho) acumula-se sobre todo o segmento \0\×(-1,1) (em azul). A reunião é conexa mas não é conexa por caminhos: nenhum caminho contínuo pode atravessar as infinitas oscilações em tempo de parâmetro finito.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-topology/fig-f1cdfcf49061.svg)

*A [curva seno do topólogo](#ex-b3-topology-sinecurve): o gráfico de $\sin\frac1x$ (em vermelho) acumula-se sobre todo o segmento $\{0\}\times[-1,1]$ (em azul). A reunião é [conexa](#def-b3-topology-connected) mas não é [conexa por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected): nenhum [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) [contínuo](#def-b3-topology-continuity) pode atravessar as infinitas oscilações em tempo de parâmetro finito.*

**Definição 6.23.**

A *componente conexa* de $x
\in X$ é a reunião de todos os [conexos](#def-b3-topology-connected) que contêm $x$ — o maior deles ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(3)). As componentes formam uma partição de $X$ e são fechadas ([fechos](#def-b3-topology-interior) de [conexos](#def-b3-topology-connected) são [conexos](#def-b3-topology-connected)). $X$ é *totalmente desconexo* se todas as componentes são unitárias ($\Q$; o conjunto de Cantor do problema de fim de semana).

**Teorema 6.24.**

$\R$ não é [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) a nenhum $\R^n$ com $n \geq 2$.

**Demonstração.** Suponha que $h \colon \R \to \R^n$ seja um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity). Retirando um ponto: $\R \setminus \{0\}$ é [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) a $\R^n \setminus
\{h(0)\}$. Mas $\R\setminus\{0\}$ é desconexo, ao passo que $\R^n\setminus\{\text{ponto}\}$ é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected) para $n \geq
2$ ([Definição 6.21](#def-b3-topology-pathconnected); translade o ponto para $0$): a [conexidade](#def-b3-topology-connected) é um invariante por [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)) — contradição. (Que $\R^2 \not\cong \R^3$ exige invariantes mais finos — [topologia](#def-b3-topology-topology) [algébrica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic); o problema de fim de semana mostra o perigo: *sobrejeções [contínuas](#def-b3-topology-continuity)* $\R \to \R^2$ existem de fato.) ∎

**Método 6.25.**

Para demonstrar que um conjunto é [conexo](#def-b3-topology-connected): exiba-o como imagem [contínua](#def-b3-topology-continuity), como reunião de [conexos](#def-b3-topology-connected) que se sobrepõem, como [fecho](#def-b3-topology-interior) ou como produto ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)); para subconjuntos de espaços normados, demonstre a [conexidade](#def-b3-topology-connected) por [caminhos](#def-b3-topology-pathconnected) com [caminhos](#def-b3-topology-pathconnected) explícitos (segmentos, arcos, cotovelos). Para demonstrar que dois espaços *não* são [homeomorfos](#def-b3-topology-continuity): encontre um invariante [topológico](#def-b3-topology-topology) que difira — [compacidade](#def-b3-topology-compact), [conexidade](#def-b3-topology-connected), número de componentes, ou as componentes depois de retirado um conjunto finito bem escolhido (o truque do [Teorema 6.24](#thm-b3-topology-rnotr2): ele também demonstra $[0,1) \not\cong
(0,1)$ e $S^1 \not\cong [0,1]$).

## 6.5 Exercícios

**Exercício 6.1 ★.**

(a) Liste todas as [topologias](#def-b3-topology-topology) sobre $\{a, b\}$, classifique-as a menos de [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) e determine quais são [conexas](#def-b3-topology-connected) e quais são [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff). (b) Em $\R$ ([topologia](#def-b3-topology-topology) usual), calcule [interior](#def-b3-topology-interior), [fecho](#def-b3-topology-interior) e fronteira de $\Q$, de $[0,1) \cup \{2\}$ e de $\{1/n : n \geq
1\}$.

**Solução de Exercício 6.1.**

(a) Quatro [topologias](#def-b3-topology-topology) sobre $\{a,b\}$: a indiscreta $\{\varnothing, X\}$; a discreta; as duas [topologias](#def-b3-topology-topology) de *Sierpiński* $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ e $\{\varnothing,
\{b\}, X\}$. As duas últimas são [homeomorfas](#def-b3-topology-continuity) (troque $a, b$): três classes. [Conexas](#def-b3-topology-connected): todas, exceto a discreta (só a [topologia](#def-b3-topology-topology) discreta contém um aberto-fechado próprio não vazio). Hausdorff: só a discreta (nas outras, a única [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $b$ é $X$, ou a de $a$).

(b) $\Q$: [interior](#def-b3-topology-interior) $\varnothing$ (todo intervalo contém irracionais), [fecho](#def-b3-topology-interior) $\R$ (densidade), fronteira $\R$. $[0,1)
\cup \{2\}$: [interior](#def-b3-topology-interior) $(0,1)$, [fecho](#def-b3-topology-interior) $[0,1]\cup\{2\}$, fronteira $\{0, 1, 2\}$. $\{1/n\}$: [interior](#def-b3-topology-interior) $\varnothing$, [fecho](#def-b3-topology-interior) $\{1/n\}\cup\{0\}$, fronteira o próprio [fecho](#def-b3-topology-interior).

**Exercício 6.2 ★.**

(a) Mostre que $f\colon X \to Y$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) se, e somente se, $f^{-1}(B)$ é aberto para todo $B$ em uma [base](#def-b3-topology-basis) fixada de $Y$. (b) Mostre que $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ não é [contínua](#def-b3-topology-continuity), mas é *[contínua](#def-b3-topology-continuity) à direita*. Verifique que os intervalos semiabertos $[a, b)$ formam a [base de uma topologia](#def-b3-topology-basis) na fonte $\R$ (a *reta de Sorgenfrey*), que essa [topologia](#def-b3-topology-topology) é estritamente mais fina do que a usual, e que uma função $\R \to
\R$ (com alvo usual) é [contínua](#def-b3-topology-continuity) a partir da reta de Sorgenfrey se, e somente se, é [contínua](#def-b3-topology-continuity) à direita em todo ponto.

**Solução de Exercício 6.2.**

(a) Todo aberto $V \subseteq Y$ é uma união $\bigcup B_j$ de conjuntos da [base](#def-b3-topology-basis), e $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$: se estes últimos são abertos, o primeiro também é; a recíproca é trivial.

(b) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ não é aberto: $f$ não é [contínua](#def-b3-topology-continuity); a [continuidade](#def-b3-topology-continuity) à direita em cada ponto é clara ($f$ é localmente constante à direita de cada ponto). Os conjuntos $[a, b)$ satisfazem o critério de [base](#def-b3-topology-basis) ([Definição 6.4](#def-b3-topology-basis)): $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c),
\min(b,d))$. A [topologia](#def-b3-topology-topology) de Sorgenfrey é mais fina que a usual, pois $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$; estritamente: $[0,1)$ é aberto de Sorgenfrey, mas não é aberto usual. [Continuidade](#def-b3-topology-continuity) a partir da reta de Sorgenfrey em $x$: uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de Sorgenfrey de $x$ contém um conjunto da [base](#def-b3-topology-basis) $[a, b) \ni x$, logo contém $[x, b)$ — de modo que a condição de [continuidade](#def-b3-topology-continuity) se lê: para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ com $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ sempre que $x \leq t < x + \delta$. Isso é exatamente a [continuidade](#def-b3-topology-continuity) à direita em $x$.

**Exercício 6.3 ★.**

Em um conjunto infinito com a [topologia](#def-b3-topology-topology) cofinita, mostre: dois abertos não vazios quaisquer se encontram (de modo que o espaço não é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) e, portanto, não é metrizável); toda sequência injetora converge para *todo* ponto. Onde a demonstração da unicidade dos limites usa Hausdorff?

**Solução de Exercício 6.3.**

Dois abertos não vazios têm complementares finitos, de modo que sua interseção tem complementar finito: não vazia (o conjunto é infinito) — dois pontos nunca têm [vizinhanças](#def-b3-topology-topology) disjuntas: não é Hausdorff, logo não é metrizável ([Definição 6.7](#def-b3-topology-hausdorff)). Seja $(x_n)$ injetiva e $x$ arbitrário: uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $x$ contém um aberto cofinito $U$; os finitos pontos de $X\setminus U$ são atingidos por, no máximo, finitos índices (injetividade), de modo que uma cauda da sequência está em $U$: $x_n \to x$, para *todo* $x$. A demonstração da unicidade precisa de duas [vizinhanças](#def-b3-topology-topology) disjuntas para separar dois supostos limites — precisamente o que falha aqui.

**Exercício 6.4 ★★.**

(a) Mostre que as projeções $\pi_X, \pi_Y$ de um produto são [contínuas](#def-b3-topology-continuity) e *abertas* (as imagens de abertos são abertas), mas não fechadas em geral ($\{xy = 1\}$ em $\R^2$). (b) Mostre que uma sequência em um produto enumerável $\prod_n X_n$ de espaços métricos converge se, e somente se, cada coordenada converge, e que $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n, y_n))$ metriza a [topologia produto](#def-b3-topology-constructions). (c) Em $\R^\N$, mostre que a “[topologia](#def-b3-topology-topology) das caixas” (todos os produtos de abertos são abertos) é estritamente mais fina: a sequência $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ converge para $0$ na [topologia produto](#def-b3-topology-constructions), mas não na [topologia](#def-b3-topology-topology) das caixas.

**Solução de Exercício 6.4.**

(a) A [continuidade](#def-b3-topology-continuity) é por construção ([Definição 6.9](#def-b3-topology-constructions)). Abertura: um aberto $W
\subseteq X \times Y$ é uma união de blocos $U_i\times V_i$, e $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (blocos não vazios se projetam sobre seus fatores), aberto. Não fechada: $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ é fechado em $\R^2$ (pré-imagem de $\{1\}$ pelo produto, [contínuo](#def-b3-topology-continuity)), mas $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ não é fechado.

(b) ($\Rightarrow$) As projeções são [contínuas](#def-b3-topology-continuity). ($\Leftarrow$) Seja $x^{(k)} \to x$ componente a componente e $W = \prod U_n$ uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) básica de $x$, com $U_n = X_n$ salvo para $n \in F$ finito. Para cada $n \in F$, $x_n^{(k)} \in U_n$ para $k \geq
K_n$; para $k \geq \max_F K_n$, $x^{(k)} \in W$. A fórmula $d$ define uma métrica (cada parcela é uma, a menos da verificação usual de que $\min(1, d_n)$ o é); suas bolas: $B_d(x,
2^{-N})$ contém o bloco básico $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\
n \leq N'\}$ para $N'$ adequado (a cauda $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ é pequena) e, reciprocamente, todo bloco básico contém uma $d$-bola: as duas [topologias](#def-b3-topology-topology) têm as mesmas [vizinhanças](#def-b3-topology-topology) de cada ponto.

(c) Na [topologia produto](#def-b3-topology-constructions), $x^{(k)} \to 0$ por (b). O conjunto $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$, aberto na [topologia](#def-b3-topology-topology) das caixas, contém $0$, mas $x^{(k)} \notin U$ para todo $k$ (a $n$-ésima coordenada $1/k
\geq 1/n$ quando $n \geq k$): nenhuma cauda entra em $U$. A [topologia](#def-b3-topology-topology) das caixas é estritamente mais fina e não é, para fins de convergência, uma [topologia](#def-b3-topology-topology) do tipo produto.

**Exercício 6.5 ★★.**

O círculo, de três maneiras. Mostre que os seguintes espaços são dois a dois [homeomorfos](#def-b3-topology-continuity), com aplicações explícitas: (i) $S^1 \subseteq \R^2$; (ii) $\R/\Z$ ([topologia quociente](#def-b3-topology-constructions)); (iii) $[0,1]/(0 \sim 1)$. *(Para (ii): mostre que $\R/\Z$ é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) — levante duas classes a representantes a distância $\leq \frac12$ — e que $\pi([0,1])$ é o espaço todo, de modo que o quociente é [compacto](#def-b3-topology-compact); use então o [Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo).)*

**Solução de Exercício 6.5.**

$\varphi \colon \R \to S^1$, $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$, é [contínua](#def-b3-topology-continuity), sobrejetora e constante nas classes módulo $\Z$: ela induz uma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) $\bar\varphi \colon \R/\Z \to
S^1$ ([Proposição 6.10](#prop-b3-topology-universal)(b)). A projeção $\pi$ é *aberta*: para $U \subseteq \R$ aberto, $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ é aberto, de modo que $\pi(U)$ é aberto. Hausdorff: sejam $\bar x \neq \bar y$; escolha representantes com $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$; as imagens dos intervalos de raio $\delta/3$ em torno de $x$ e $y$ são abertas (abertura de $\pi$), contêm $\bar x, \bar y$ e são disjuntas (dois pontos das pré-imagens distariam $< 2\delta/3$ módulo $\Z$). [Compacto](#def-b3-topology-compact): $\R/\Z = \pi([0,1])$, imagem [contínua](#def-b3-topology-continuity) de um [espaço compacto](#def-b3-topology-compact) ([Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2)). Agora $\bar\varphi$ é uma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) de um [espaço compacto](#def-b3-topology-compact) no [espaço de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) $S^1$: um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) ([Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

Para (iii): a composta $[0,1] \hookrightarrow \R
\xrightarrow{\pi} \R/\Z$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity), sobrejetora e identifica exatamente $0 \sim 1$: ela induz uma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ de um [espaço compacto](#def-b3-topology-compact) (imagem [contínua](#def-b3-topology-continuity) de $[0,1]$ pela projeção quociente) em um [espaço de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity). Compondo: os três espaços são [homeomorfos](#def-b3-topology-continuity).

**Exercício 6.6 ★★.**

Seja $X$ um espaço métrico. (a) Mostre que uma reunião finita de [compactos](#def-b3-topology-compact) é compacta, e que uma interseção arbitrária também é. (b) Se $K$ é [compacto](#def-b3-topology-compact), $F$ é fechado e $K \cap F = \varnothing$, mostre que $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$; dê um contraexemplo com dois fechados disjuntos. (c) Mostre que $X$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) se, e somente se, *toda* [aplicação contínua](#def-b3-topology-continuity) $f
\colon X \to \R$ é limitada. *(Se alguma sequência não tem subsequência convergente, construa uma função [contínua](#def-b3-topology-continuity) ilimitada com suporte perto de seus termos; ou use funções do tipo $x \mapsto
d(x, \cdot)$ — um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) limpo: se $(x_n)$ não tem ponto de acumulação, o conjunto $\{x_n\}$ é fechado e discreto, e $f(x_n) = n$ se estende [continuamente](#def-b3-topology-continuity) sem recorrer a Tietze: $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ para $r_n$ suficientemente pequenos.)*

**Solução de Exercício 6.6.**

(a) Uma cobertura de $K_1 \cup \dots \cup K_m$ se restringe a uma cobertura de cada $K_j$: finitos abertos por peça bastam. Uma interseção $\bigcap K_i$ é fechada no [compacto](#def-b3-topology-compact) $K_{i_0}$ ([compactos](#def-b3-topology-compact) são fechados no espaço métrico ambiente), logo compacta.

(b) $x \mapsto d(x, F)$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) ($1$-lipschitziana) e estritamente positiva em $K$ ($d(x, F) = 0$ significa $x \in \bar F =
F$); no [compacto](#def-b3-topology-compact) $K$ ela atinge um mínimo $m > 0$: $d(K, F)
\geq m$. Contraexemplo sem [compacidade](#def-b3-topology-compact): $F_1 = \{n : n \geq
2\}$ e $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ são fechados, disjuntos, à distância $\inf_n \frac1n = 0$.

(c) Se $X$ é [compacto](#def-b3-topology-compact), toda $f$ [contínua](#def-b3-topology-continuity) é limitada ([Teorema 6.13](#thm-b3-topology-compactprops)(2)). Reciprocamente, se $X$ não é [compacto](#def-b3-topology-compact), tome $(x_n)$ sem subsequência convergente ([Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)); passando a uma subsequência, podemos supor os $x_n$ dois a dois distintos, e nenhum ponto de $X$ é valor de aderência da sequência, de modo que

$$
r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq
n\}\bigr)\Bigr) > 0,
$$

e as bolas $B(x_n, r_n)$ são duas a duas disjuntas (um ponto comum à $n$-ésima e à $m$-ésima daria $d(x_n, x_m) < r_n +
r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$). Defina

$$
f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x,
x_n)}{r_n}\Bigr):
$$

em cada $x$ há no máximo uma parcela não nula, e $f(x_n) = n$. [Continuidade](#def-b3-topology-continuity) em $x$: seja $y_k \to x$; cada valor $f(y_k)$ é $0$ ou um único valor de pico $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$. Se algum índice $n$ ocorre uma infinidade de vezes, ao longo dessa subsequência $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to
\mathrm{bump}_n(x)$, que é igual a $f(x)$ (se $x \in B(x_n,
r_n)$, toda a cauda está nessa bola aberta e nenhum outro índice ocorre; se $x \notin B(x_n, r_n)$, então $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$, pois $x$, aderente à $n$-ésima bola, não está em nenhuma outra bola aberta). Se $n_k \to \infty$: $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$, de modo que $x_{n_k}
\to x$, tornando $x$ valor de aderência de $(x_n)$ — excluído; assim esse caso diz respeito apenas a finitos $k$. Em todos os casos $f(y_k) \to f(x)$: $f$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) e ilimitada.

**Exercício 6.7 ★★.**

(Número de Lebesgue) Seja $(U_i)$ uma cobertura aberta de um espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) $X$. Mostre que existe $\delta > 0$ tal que todo subconjunto de diâmetro $< \delta$ está contido em um único $U_i$. *(Do contrário, tome $A_n$ de diâmetro $< 1/n$ em nenhum $U_i$, e um ponto de acumulação de $x_n \in A_n$ escolhidos.)* Deduza de novo o teorema de Heine ([Corolário 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)(b)).

**Solução de Exercício 6.7.**

Suponha que nenhum $\delta$ funcione: para cada $n$ existe $A_n$ de diâmetro $< 1/n$ que não está contido em nenhum $U_i$; tome $x_n \in
A_n$. Por [compacidade](#def-b3-topology-compact) ([Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact)), uma subsequência $x_{n_k} \to x$; escolha $i$ e $r > 0$ com $B(x,
r) \subseteq U_i$. Para $k$ grande: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ e $1/n_k < r/2$, de modo que $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k)
\subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — contradição. Heine: dado $\varepsilon$, cubra $Y$ por bolas $B(y, \varepsilon/2)$; as pré-imagens formam uma cobertura aberta de $X$; seja $\delta$ um número de Lebesgue: se $d(x, x') < \delta$, o par $\{x, x'\}$ tem diâmetro $< \delta$, está contido em uma pré-imagem, e $d(f(x),
f(x')) < \varepsilon$.

**Exercício 6.8 ★★.**

(a) Mostre que $GL_n(\R)$ é um subconjunto aberto e [denso](#def-b3-topology-interior) de $M_n(\R)$, e que é desconexo: o sinal do determinante o separa em (ao menos) duas peças. Mostre, por outro lado, que $GL_n(\C)$ é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected). *(Para $A, B \in GL_n(\C)$: $\lambda \mapsto \det\bigl((1 -
\lambda)A + \lambda B\bigr)$ é um polinômio não identicamente nulo, de modo que tem um número finito de raízes em $\C$: escolha um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) de $\lambda$ em $\C$ de $0$ a $1$ que as evite.)* (b) Demonstre a densidade: $A + \varepsilon I$ é inversível para $\varepsilon > 0$ pequeno.

**Solução de Exercício 6.8.**

(a) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ é aberto ($\det$ é polinomial, logo [contínuo](#def-b3-topology-continuity)). Desconexo: $\det$ o leva sobre $\R\setminus\{0\}$, e um [espaço conexo](#def-b3-topology-connected) tem imagens [contínuas](#def-b3-topology-continuity) [conexas](#def-b3-topology-connected) ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)(2)); $\R\setminus\{0\}$ não é um intervalo. $GL_n(\C)$: para $A, B$ inversíveis, $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda
B\bigr)$ é um polinômio em $\lambda$ com $p(0), p(1) \neq 0$, logo não identicamente nulo: tem finitas raízes em $\C$. O plano menos finitos pontos é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected) (contorne os pontos), de modo que existe um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) $\lambda(t)$ de $0$ a $1$ com $p(\lambda(t)) \neq 0$: $t \mapsto
(1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ é um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) em $GL_n(\C)$.

(b) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ se anula para no máximo $n$ valores de $\varepsilon$: matrizes inversíveis $A + \varepsilon I \to A$ quando $\varepsilon \to 0$: densidade.

**Exercício 6.9 ★★.**

(a) Mostre que as [componentes conexas](#def-b3-topology-components) de $\Q$ são os conjuntos unitários, e que $\Q$ não é [localmente compacto](#def-b3-topology-locallycompact) (uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) compacta de $0$ em $\Q$ conteria $[-r, r]\cap\Q$, cujo [fecho](#def-b3-topology-interior) em $\Q$ não é [compacto](#def-b3-topology-compact): corte em um irracional). (b) Complete o [Exemplo 6.22](#ex-b3-topology-sinecurve): nenhum [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) liga $(0,0)$ a $\Gamma$. *(Se $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ é um tal [caminho](#def-b3-topology-pathconnected), seja $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$; para $t
> t^*$ o ponto se move sobre o gráfico; escolha $t_k \downarrow
t^*$ com $\gamma_1(t_k) \to 0$ atingindo abscissas em que $\sin$ vale alternadamente $\pm1$ — o teorema do valor intermediário as fornece —, contradizendo a [continuidade](#def-b3-topology-continuity) de $\gamma_2$ em $t^*$.)*

**Solução de Exercício 6.9.**

(a) Seja $A \subseteq \Q$ contendo $p < q$ e tome um irracional $\alpha \in (p, q)$: $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup
(A\cap(\alpha, +\infty))$ reparte $A$ em duas peças não vazias, relativamente abertas: $A$ é desconexo. As componentes são os pontos. A [compacidade](#def-b3-topology-compact) local falha: uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) compacta $V$ de $0$ em $\Q$ contém $[-r, r]\cap\Q$ para algum $r > 0$, que é fechado em $V$, logo [compacto](#def-b3-topology-compact); mas uma sequência de racionais em $[-r,r]$ que converge (em $\R$) a um irracional não tem subsequência convergente *em $\Q$*: contradição com o [Teorema 6.16](#thm-b3-topology-metriccompact).

(b) Seja $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) com $\gamma(0) = (0,0)$ e $\gamma(1) \in \Gamma$. O conjunto $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ é fechado e não contém $1$; seja $t^*$ seu supremo, de modo que $\gamma_1(t^*) = 0$ e $\gamma_1 > 0$ em $(t^*, 1]$. Pela [continuidade](#def-b3-topology-continuity) de $\gamma_2$ em $t^*$, escolha $\delta$ com $\abs{\gamma_2(t) -
\gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ para $t \in [t^*, t^* + \delta]$. Fixe $t_0 = t^* + \delta$ (podemos supor $\leq 1$): $\gamma_1(t_0) > 0$, e $\gamma_1$ assume todos os valores de $(0, \gamma_1(t_0)]$ em $[t^*, t_0]$ (teorema do valor intermediário, [Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)). Escolha $k$ grande com $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ e $b_k =
\frac1{3\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$: existem $s, s' \in
(t^*, t_0]$ com $\gamma_1(s) = a_k$, $\gamma_1(s') = b_k$; como os pontos estão no gráfico, $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) =
1$ e $\gamma_2(s') = -1$. Ambos não podem estar a menos de $\frac12$ de $\gamma_2(t^*)$: contradição. $S$ é [conexo](#def-b3-topology-connected), mas não é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected).

**Exercício 6.10 ★★★.**

O conjunto de Cantor dos terços médios $C = \bigcap_n C_n$, em que $C_0 =
[0,1]$ e $C_{n+1}$ remove o terço médio aberto de cada intervalo de $C_n$. (a) Mostre que $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in
\{0,2\}\bigr\}$, e que $C$ é [compacto](#def-b3-topology-compact), de [interior](#def-b3-topology-interior) vazio, e não tem ponto isolado (é *[perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect)*). (b) Mostre que $C$ é totalmente desconexo. (c) Mostre que $x \mapsto (a_n(x))_n$ é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) $C \to
\{0,2\}^\N$ ([topologia produto](#def-b3-topology-constructions) sobre o espaço discreto de dois pontos); deduza que $C$ é não enumerável e que $C \times C
\cong C$.

**Solução de Exercício 6.10.**

(a) $C_n$ consiste exatamente nos $x$ que admitem uma expansão ternária com dígitos em $\{0, 2\}$ até a ordem $n$ (indução: retirar os terços médios elimina o primeiro dígito $1$, etc.; os extremos têm duas expansões, uma delas evitando os $1$), de modo que $C = \bigcap C_n$ é o conjunto das somas $\sum a_n3^{-n}$, $a_n \in \{0,2\}$. [Compacto](#def-b3-topology-compact): cada $C_n$ é uma união finita de intervalos fechados; $C$ é fechado em $[0,1]$. [Interior](#def-b3-topology-interior) vazio: $C \subseteq C_n$, união de intervalos de comprimento $3^{-n}$; um intervalo [interior](#def-b3-topology-interior) de comprimento $\ell > 0$ caberia em um deles para todo $n$. [Perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect): dados $x \in C$ e $m$, troque o dígito $a_m$: o novo ponto está em $C$, é distinto e dista menos de $2\cdot3^{-m}$ de $x$.

(b) Se $x \neq y \in C$, suas expansões diferem pela primeira vez em alguma ordem $k$; entre eles está um terço médio retirado (a lacuna de ordem $k$ que separa o dígito $0$ do dígito $2$), fornecendo um ponto $c \notin C$, $x < c < y$ (digamos): $C =
(C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap (c, \infty))$ reparte qualquer subconjunto que contenha ambos os pontos. As componentes são os pontos.

(c) A aplicação dos dígitos $\beta\colon x \mapsto (a_n(x))$ é uma bijeção sobre $\{0,2\}^\N$ (existência e unicidade das expansões em $\{0,2\}$: sequências de dígitos distintas dão pontos à distância $\geq 3^{-k} > 0$ na ordem em que diferem pela primeira vez, como no [Problema 6.1](#pb-b3-topology-1), questão 1). Ela é [contínua](#def-b3-topology-continuity): $\abs{x - y} < 3^{-m}$ força a coincidência dos $m$ primeiros dígitos (mesmo cálculo), de modo que $\beta$ leva bolas pequenas em blocos da [base](#def-b3-topology-basis). Uma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) do [compacto](#def-b3-topology-compact) $C$ no produto [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) ([Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo); o produto é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): separe numa coordenada em que difiram). Não enumerabilidade: diagonal de Cantor em $\{0,2\}^\N$. Por fim, $\{0,2\}^\N \times
\{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ intercalando dígitos (um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity): [continuidade](#def-b3-topology-continuity) componente a componente nos dois sentidos), de modo que $C
\times C \cong C$.

**Exercício 6.11 ★★★.**

Projeção estereográfica: a partir do polo norte $N = (0, \dots,
0, 1)$ de $S^n \subseteq \R^{n+1}$, a aplicação $\sigma(x) =
\frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) $S^n
\setminus \{N\} \to \R^n$ (dê a inversa explicitamente). Deduza que $S^n$ é [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) à [compactificação por um ponto](#def-b3-topology-locallycompact) $\widehat{\R^n}$, e que retirar *qualquer* ponto de $S^n$ deixa um espaço [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) a $\R^n$.

**Solução de Exercício 6.11.**

Para $y \in \R^n$, ponha

$$
\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 -
1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.
$$

Verifica-se que $\norm{\tau(y)} = 1$, $\tau(y) \neq N$, e $\sigma(\tau(y)) = y$, $\tau(\sigma(x)) = x$: $\sigma$ e $\tau$ são mutuamente inversas, ambas [contínuas](#def-b3-topology-continuity) (fórmulas racionais com denominadores que não se anulam): $S^n\setminus\{N\} \cong
\R^n$. Estenda a $\hat\sigma \colon S^n \to \widehat{\R^n}$ por $N \mapsto \infty$: uma bijeção, [contínua](#def-b3-topology-continuity) em todo ponto de $S^n\setminus\{N\}$, e em $N$: uma [vizinhança](#def-b3-topology-topology) básica de $\infty$ é $\widehat{\R^n}\setminus K$, $K$ [compacto](#def-b3-topology-compact), $K
\subseteq \bar B(0, R)$; como $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 +
x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to \infty$ quando $x_{n+1} \to 1$, o conjunto $\{x \in S^n : x_{n+1} > 1 - \eta\}$ é levado para fora de $\bar B(0,R)$ para $\eta$ pequeno: [continuidade](#def-b3-topology-continuity). Uma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) do [compacto](#def-b3-topology-compact) $S^n$ no [espaço de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) $\widehat{\R^n}$ é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity). Retirando outro ponto $p$: uma rotação de $S^n$ leva $p$ a $N$ (rotações são [homeomorfismos](#def-b3-topology-continuity)), reduzindo ao caso calculado: $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$.

**Exercício 6.12 ★★★.**

(A [curva seno do topólogo](#ex-b3-topology-sinecurve)) Seja

$$
T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\}
\cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .
$$

(a) Mostre que $T$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) e que é o [fecho](#def-b3-topology-interior) da parte do gráfico. (b) Mostre que $T$ é [conexo](#def-b3-topology-connected) *(o gráfico é [conexo](#def-b3-topology-connected) por ser imagem [contínua](#def-b3-topology-continuity); seu [fecho](#def-b3-topology-interior) permanece [conexo](#def-b3-topology-connected))*. (c) Mostre que $T$ *não* é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected): nenhum [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) [contínuo](#def-b3-topology-continuity) liga $(0,0)$ a $(1, \sin1)$. *(Se $\gamma =
(\gamma_1, \gamma_2)$ é um tal [caminho](#def-b3-topology-pathconnected), seja $t^* = \sup\{t :
\gamma_1(t) = 0\}$; logo após $t^*$, $\gamma_1$ assume todos os valores positivos pequenos (teorema do valor intermediário), de modo que $\gamma_2$ oscila entre $\pm1$ em todo intervalo $(t^*, t^* + \delta)$ — contradiga a [continuidade](#def-b3-topology-continuity) em $t^*$.)* (d) Conclua que a [conexidade](#def-b3-topology-connected) por [caminhos](#def-b3-topology-pathconnected) é estritamente mais forte do que a [conexidade](#def-b3-topology-connected), e mostre que nenhum exemplo desse tipo pode ser aberto em $\R^n$: um subconjunto *aberto* [conexo](#def-b3-topology-connected) de $\R^n$ é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected) *(o conjunto dos pontos que se podem ligar a um [ponto-base](#def-b3-topology-basis) por um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) é aberto e fechado no domínio)*.

**Solução de Exercício 6.12.**

(a) $T$ é limitado e fechado: um limite de pontos de $T$ com abscissas $\to x_0 > 0$ permanece no gráfico (localmente fechado) pela [continuidade](#def-b3-topology-continuity) de $\sin\frac1x$ em $\intoc01$; um limite com abscissas $\to 0$ tem ordenada em $\intcc{-1}1$, logo está no segmento. [Compacto](#def-b3-topology-compact) por Heine–Borel ([Corolário 6.17](#cor-b3-topology-heineborel)). [Fecho](#def-b3-topology-interior) do gráfico $\Gamma$: todo ponto $(0, y)$, $y \in \intcc{-1}1$, é limite de pontos do gráfico — resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$ (a função varre $\intcc{-1}1$ em cada intervalo $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$): $\bar\Gamma = T$.

(b) $\Gamma$ é a imagem [contínua](#def-b3-topology-continuity) do [conexo](#def-b3-topology-connected) $\intoc01$ por $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$: [conexo](#def-b3-topology-connected); e o [fecho](#def-b3-topology-interior) de um conjunto [conexo](#def-b3-topology-connected) é [conexo](#def-b3-topology-connected) ([Teorema 6.20](#thm-b3-topology-connectedbasics)): $T = \bar\Gamma$ é [conexo](#def-b3-topology-connected).

(c) Suponha $\gamma\colon\intcc01\to T$ [contínua](#def-b3-topology-continuity) com $\gamma(0) = (0,0)$, $\gamma(1) = (1, \sin1)$, e seja $t^*
= \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$: por [continuidade](#def-b3-topology-continuity), $\gamma_1(t^*)
= 0$ e $\gamma_1 > 0$ em $\intoc{t^*}1$. Para todo $\delta > 0$, o intervalo $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ tem $\gamma_1$ assumindo todos os valores de algum $\intoc0\eta$ (teorema do valor intermediário, $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$); em particular, ele contém abscissas da forma $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ e $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ para $k$ arbitrariamente grandes, nas quais $\gamma_2 = \pm1$. Logo, em toda [vizinhança](#def-b3-topology-topology) à direita de $t^*$, $\gamma_2$ assume ambos os valores $1$ e $-1$: $\gamma_2$ não tem limite em $t^{*+}$, contradizendo a [continuidade](#def-b3-topology-continuity). Não existe [caminho](#def-b3-topology-pathconnected).

(d) $T$ é [conexo](#def-b3-topology-connected), mas não é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected): as duas noções diferem. Para $U \subseteq \R^n$ aberto [conexo](#def-b3-topology-connected) e $a \in U$, seja $V$ o conjunto dos pontos de $U$ ligáveis a $a$ por um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) em $U$. $V$ é aberto: em torno de $x \in V$, uma bola $B(x, r)
\subseteq U$ é estrelada, e concatenar o [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) até $x$ com um segmento alcança todo ponto da bola. $V$ é fechado em $U$: se $x \in U \setminus V$, o mesmo argumento da bola mostra que $B(x, r) \cap V = \varnothing$ (um ponto de $V$ na bola ligaria $a$ a $x$). Não vazio ($a \in
V$), aberto e fechado no [conexo](#def-b3-topology-connected) $U$: $V = U$. A curva do seno escapa disso por ser fechada de [interior](#def-b3-topology-interior) vazio: seu ponto “ruim” $(0,0)$ não tem bola alguma dentro de $T$ para transpor as oscilações.

## 6.6 Problema: o conjunto de Cantor e uma curva que preenche o quadrado

**Problema 6.1.**

Problema de fim de semana — as curvas de Peano existem, e por que não são homeomorfismos

Em 1890, Peano espantou a análise com uma *sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity)* $[0,1] \to [0,1]^2$: uma curva que preenche um quadrado. Construímos uma delas com as próprias mãos a partir do conjunto de Cantor $C$ do [Exercício 6.10](#exo-b3-topology-10) (cujos resultados podem ser usados livremente) e, em seguida, demonstramos que nenhuma tal aplicação pode ser injetora: quadrados não são curvas. Ao longo de todo o problema, os elementos de $C$ são escritos $x =
\sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ com dígitos $b_n(x) \in
\{0, 1\}$.

**Parte I — Ler dígitos de maneira [contínua](#def-b3-topology-continuity).**

1. Mostre que, se $x, y \in C$ satisfazem $\abs{x - y} <  3^{-m}$ , então $b_n(x) = b_n(y)$ para todo $n \leq m$ . *(Se o primeiro dígito diferente é $b_k$, então $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j}  = \frac1{3^k}$.)*
2. Deduza que cada função dígito $b_n \colon C \to \{0,  1\}$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) e redemonstre o [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) $C  \cong \{0,1\}^\N$ do [Exercício 6.10](#exo-b3-topology-10) (c).

**Parte II — Uma sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) $C \to
[0,1]^2$.**

3. Defina $g \colon C \to [0,1]$ por $g(x) = \sum_{n\geq1}  b_n(x)\,2^{-n}$ (leia os dígitos de Cantor como binários). Mostre que $g$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) (use a questão 1) e sobrejetora. Ela é injetora?
4. Defina $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ por $$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\  \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$$ (os dígitos ímpares dão a abscissa; os pares, a ordenada). Mostre que $\Phi$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) e sobrejetora.

**Parte III — Preenchendo as lacunas: a curva de Peano.**

5. O complementar $[0,1] \setminus C$ é uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos $(u, v)$ (os terços médios removidos) cujas extremidades estão em $C$. Defina $f \colon  [0,1] \to [0,1]^2$ por $f = \Phi$ em $C$, estendida *afinamente* em cada lacuna: $$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) +  \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v),  \qquad t \in (u, v).$$ Mostre que $f$ está bem definida e é sobrejetora sobre $[0,1]^2$.
6. Mostre que $f$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) em todo ponto de $[0,1]  \setminus C$ (localmente afim) e em todo ponto de $C$ : dado $\varepsilon$ , tome $m$ com $2^{-m} <  \varepsilon/2$ e use a questão 1 para controlar $\Phi$ em $C$ perto de $x$ ; verifique então que a interpolação afim não pode escapar: em uma lacuna $(u,v) \subseteq  (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ , os valores $f(t)$ estão sobre o segmento $[\Phi(u), \Phi(v)]$ , com ambas as extremidades próximas de $\Phi(x)$ . Conclua: $f$ é uma *sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity)* $[0,1] \to [0,1]^2$ .
7. Deduza sobrejeções [contínuas](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^n$ para todo $n \geq 2$ , e $\R \to \R^2$ .

**Parte IV — Mas nunca injetora.**

8. Mostre que uma *injeção* [contínua](#def-b3-topology-continuity) $f \colon [0,1]  \to [0,1]^2$ seria um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) sobre sua imagem ( [Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) ).
9. Mostre que $[0,1]$ e $[0,1]^2$ não são [homeomorfos](#def-b3-topology-continuity) : retire um ponto bem escolhido e compare a [conexidade](#def-b3-topology-connected) ( [Método 6.25](#met-b3-topology-connectargument) ).
10. Conclua: uma sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ nunca pode ser injetora — uma injetora tornaria $[0,1]^2 = f([0,1])$ [homeomorfo](#def-b3-topology-continuity) a $[0,1]$ pela questão 8, contradizendo a questão 9. Onde exatamente entrou no argumento a [compacidade](#def-b3-topology-compact) de $[0,1]$ ?
11. (Culminância) Junte a moral: existe uma sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) , mas nenhuma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to  [0,1]^2$ . O que isso diz sobre a “dimensão” como noção [topológica](#def-b3-topology-topology) ? Formule com precisão um teorema demonstrado neste problema e um enunciado plausível que permanece fora do alcance de nossas ferramentas (invariância do domínio).

**Parte V — A aritmética do conjunto de Cantor.**

12. Demonstre que $C + C = [0, 2]$ : dado $t \in [0, 1]$ , escreva $t = \sum_n d_n3^{-n}$ com dígitos $d_n \in \{0,  1, 2\}$ e reparta cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ com $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ ; conclua que $\frac C2 +  \frac C2 = [0, 1]$ *(que subconjunto de $[0,1]$ é $\frac C2$, em termos de dígitos ternários?)* e reescale. Nunca é preciso “vai um” — diga por que esse é o ponto crucial.
13. Interprete geometricamente: a “poeira de Cantor” $C \times  C \subseteq \R^2$ , de [interior](#def-b3-topology-interior) vazio, projeta uma sombra *cheia* sobre a diagonal: a projeção $(x,  y) \mapsto x + y$ a leva sobre $[0, 2]$ . Registre também a autossemelhança $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +  \frac23\bigr)$ , a equação por trás de toda figura de $C$ .
14. Mostre que o entrelaçamento de dígitos define um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) $C  \to C \times C$ e deduza $C \cong C^n$ para todo $n$ — o conjunto de Cantor é seu próprio quadrado, cubo, … Que espaços familiares compartilham essa propriedade?
15. Mostre que $\frac14 \in C$ *(calcule sua expansão ternária: $\frac14 = \sum_{k\geq1} 2\cdot3^{-2k}$)* , embora $\frac14$ não seja extremidade de nenhum intervalo removido; deduza — contando as extremidades — que as extremidades formam um subconjunto enumerável e próprio de $C$ .
16. Mostre que a aplicação de leitura binária $g$ da questão 3 é no máximo $2$ para $1$ e descreva exatamente quais pontos de $[0,1]$ têm duas pré-imagens. ( $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ colando enumeráveis pares: a sombra combinatória da escada de Cantor, que reencontraremos no [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#ch-b3-measure) .)

**Parte VI — [Compactos](#def-b3-topology-compact) [perfeitos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect): Cantor em toda parte.** Um espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) não vazio $P$ é *[perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect)* se não tem ponto isolado.

17. Sejam $P$ [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) [compacto](#def-b3-topology-compact) , $x \in P$ e $r > 0$ . Mostre que a bola $B(x, r)$ contém dois pontos $y_0  \neq y_1$ de $P$ e, portanto, duas bolas fechadas *disjuntas* $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1, \rho)$ dentro de $B(x, r)$ , centradas em pontos de $P$ , de raio $\rho  \leq r/4$ tão pequeno quanto se queira. Explique por que a perfeição (ausência de pontos isolados) é exatamente o que permite repetir essa cisão dentro de *cada* uma das duas novas bolas.
18. Itere: construa fechados $F_w \neq \varnothing$ indexados por palavras binárias finitas $w$ , com $F_{w0},  F_{w1} \subseteq F_w$ disjuntos e $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w}  \operatorname{diam}P$ . Mostre que, para toda palavra infinita $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ , a interseção $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ é um único ponto $h(\varepsilon)$ *(propriedade da interseção finita do [compacto](#def-b3-topology-compact) $P$)* .
19. Mostre que $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ é injetora e [contínua](#def-b3-topology-continuity) , e conclua: *todo espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) é não enumerável* — na verdade, de cardinalidade ao menos a de $\{0,1\}^\N$ . Recupere: $[0,1]$ e $C$ são não enumeráveis.
20. Mostre que $h$ é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) sobre sua imagem *(injeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) a partir de um [compacto](#def-b3-topology-compact), [Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo))* : todo espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) contém uma cópia [homeomorfa](#def-b3-topology-continuity) do conjunto de Cantor. O conjunto de Cantor não é uma esquisitice, mas o germe universal da perfeição compacta.
21. Deduza que todo espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) enumerável tem um ponto isolado, e exiba um em que os pontos isolados são [densos](#def-b3-topology-interior) mas não são tudo: $K = \{0\} \cup  \{\frac1n : n \geq 1\}$ .
22. (Cantor–Bendixson para $\R$ ) Seja $F \subseteq \R$ fechado. Diga que $x$ é um *ponto de condensação* de $F$ se toda [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $x$ encontra $F$ de maneira não enumerável. Mostre que os pontos de condensação de um fechado não enumerável $F$ formam um fechado [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) não vazio $P$ , e que $F  \setminus P$ é enumerável *(cubra os pontos que não são de condensação por enumeráveis intervalos racionais que encontram $F$ de maneira enumerável)* . Conclua: todo subconjunto fechado de $\R$ é enumerável ou tem a cardinalidade do [contínuo](#def-b3-topology-continuity) — a hipótese do [contínuo](#def-b3-topology-continuity) vale para os fechados.

**Parte VII — Codas: quão regular, e quão longe da perfeição.**

23. (Regularidade de Hölder da curva) Ponha $\alpha =  \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$ e note a identidade $3^\alpha = \sqrt2$. Usando a questão 1, mostre que $$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x -  y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$$ e propague a estimativa através das lacunas afins: mostre que a curva de Peano $f$ da questão 6 satisfaz $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq 6\abs{t - s}^\alpha$ em todo $[0,1]$ *(trate um par na mesma lacuna por interpolação, e depois um par geral passando pelos pontos extremos de $C \cap [t, s]$)*.
24. (O expoente $\frac12$ é uma barreira) Mostre que nenhuma sobrejeção $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ pode ser $\alpha$ -hölderiana com $\alpha > \frac12$ : corte $[0,1]$ em $N$ intervalos, limite os diâmetros de suas imagens e conte os pontos da grade $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , que um conjunto de diâmetro $< \frac1M$ pode conter; escolha $M$ da ordem de $N^\alpha$ e faça $N \to \infty$ . Localize nossa curva ( $\alpha \approx 0.3155$ ) em relação à barreira e registre, sem demonstração, que a curva de Hilbert atinge o expoente crítico $\frac12$ .
25. (Conjuntos derivados: medindo a imperfeição) Para $F$ fechado em $\R$, seja $F'$ o conjunto dos pontos de acumulação de $F$ (um fechado), e itere: $F^{(0)} = F$, $F^{(i+1)}  = (F^{(i)})'$. Verifique que $$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup  \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$$ é um [compacto](#def-b3-topology-compact) enumerável com $K' = \{0\} \cup  \{\frac1m\}$, $K'' = \{0\}$, $K''' = \varnothing$ *(verifique que o $m$-ésimo aglomerado vive no intervalo $(\frac1m, \frac1{m-1})$, de modo que os aglomerados não se entrelaçam)*, e que seus pontos isolados são [densos](#def-b3-topology-interior) em $K$, como prevê a questão 21. Descreva a indução que produz, para todo $j$, um [compacto](#def-b3-topology-compact) enumerável $K_j$ com $K_j^{(j)} = \{0\}$ e $K_j^{(j+1)} =  \varnothing$, e contraste com os conjuntos [perfeitos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) da questão 22, para os quais a derivação nunca se move: ter posto finito é o exato oposto da perfeição.

**Solução de Problema 6.1.**

**1.** Suponha que as expansões de $x, y \in C$ difiram pela primeira vez na ordem $k \leq m$, digamos $b_k(x) = 1$, $b_k(y) = 0$. Então

$$
x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j}
= \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:
$$

contrapositiva: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ força a coincidência até a ordem $m$.

**2.** Pela questão 1, $b_n$ é constante em $C \cap (x -
3^{-n}, x + 3^{-n})$: localmente constante, logo [contínua](#def-b3-topology-continuity). A aplicação $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) (componente a componente, [Proposição 6.10](#prop-b3-topology-universal)(a)) e bijetora (unicidade das expansões em dígitos $\{0,2\}$); do [compacto](#def-b3-topology-compact) $C$ em um [espaço de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff), é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) ([Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo)).

**3.** [Continuidade](#def-b3-topology-continuity): se $\abs{x - y} < 3^{-m}$, os $m$ primeiros dígitos coincidem, de modo que $\abs{g(x) - g(y)} \leq \sum_{n > m}2^{-n}
= 2^{-m}$. Sobrejetividade: todo $t \in [0,1]$ tem uma expansão binária $t = \sum b_n2^{-n}$, e $t = g\bigl(\sum
2b_n3^{-n}\bigr)$. Não injetiva: $g$ identifica os dois pontos de Cantor de dígitos $(0,1,1,1,\dots)$ e $(1,0,0,\dots)$ — ambos vão para $\frac12$ (a ambiguidade diádica $0.0111\ldots_2 =
0.1000\ldots_2$).

**4.** Cada componente de $\Phi$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) pela mesma estimativa (seus dígitos são uma subsequência dos $b_n$). Sobrejetividade: dado $(s, t) \in [0,1]^2$, escolha dígitos binários $(c_n)$ de $s$ e $(d_n)$ de $t$, e intercale: o ponto $x
\in C$ com $b_{2n-1}(x) = c_n$, $b_{2n}(x) = d_n$ satisfaz $\Phi(x) = (s,t)$.

**5.** As lacunas são duas a duas disjuntas, com extremos em $C$, de modo que a fórmula define $f$ sem ambiguidade em $[0,1]$; nos extremos de uma lacuna, a fórmula afim devolve $\Phi(u)$, $\Phi(v)$: coerente com $f = \Phi$ em $C$. Sobrejetividade: já $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$.

**6.** Em $t_0 \notin C$: $t_0$ está numa lacuna aberta em que $f$ é afim: [contínua](#def-b3-topology-continuity). Em $x \in C$: registremos primeiro duas estimativas.

*(i) Em $C$*: se $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$, $y \in C$, então os dígitos coincidem até $M$, de modo que cada componente de $\Phi(y)
- \Phi(x)$ é no máximo $\sum_{n > \lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} =
2^{-\lfloor M/2\rfloor}$.

*(ii) Através de uma lacuna*: uma lacuna $(u,v)$ retirada na etapa $k$ tem comprimento $3^{-k}$, e seus extremos têm dígitos que coincidem até a ordem $k - 1$ (eles diferem a partir da ordem $k$), de modo que $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq
2^{-\lfloor (k-1)/2\rfloor}$.

Agora sejam $\abs{t - x} < 3^{-M}$ com $t$ numa lacuna $(u, v)$ da etapa $k$, e digamos que $u$ seja o extremo do lado de $x$, de modo que $\abs{u - x} < 3^{-M}$ e $0 < t - u < 3^{-M}$. Então

$$
\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty
\leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty
+ \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty
\leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\,
2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .
$$

Para $k \geq M$, o último termo é $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2
\rfloor}$; para $k < M$, como $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq
\sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$,

$$
3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M}
\leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M}
= \sqrt2\; 2^{-M/2}
$$

(a quantidade do meio cresce com $k$). Em todos os casos $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq C\,2^{-M/2}$ com uma constante absoluta $C$: fazendo $M \to \infty$, obtém-se a [continuidade](#def-b3-topology-continuity) em $x$ (os pontos $t \in C$ estão cobertos por (i)). Logo $f$ é uma sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) $[0,1] \to [0,1]^2$ — de fato, as estimativas mostram que ela é hölderiana de expoente do tipo $\log 2/(2\log
3)$, mas [continuidade](#def-b3-topology-continuity) é tudo o que afirmamos.

**7.** Para $[0,1]^n$: reparta os dígitos de $x \in C$ em $n$ subsequências intercaladas e repita as questões 4–6 literalmente. Para $\R \to \R^2$: seja $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ uma sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) (reescale $f$). Defina $F$ em $[m, m
+ \frac12]$ ($m \in \Z$) como uma cópia de $h$ reescalada para preencher $[-(m+1), m+1]^2$ para $m \geq 0$ (e simetricamente para $m <
0$), e em $[m + \frac12, m + 1]$ como o segmento afim que liga os valores nos extremos: $F$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity) (colagem em peças fechadas, [Proposição 6.6](#prop-b3-topology-gluing)(b)) e sua imagem contém $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$.

**8.** $[0,1]$ é [compacto](#def-b3-topology-compact) e $[0,1]^2$ é [de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff): uma injeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) sobre sua imagem ([Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) aplicado à correstrição).

**9.** Retire $\frac12$: $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ é desconexo. Se $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ fosse um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity), $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ também seria desconexo (imagens [homeomorfas](#def-b3-topology-continuity) de espaços desconexos são desconexas); mas o quadrado menos um ponto é [conexo por caminhos](#def-b3-topology-pathconnected): ligue dois pontos por um [caminho](#def-b3-topology-pathconnected) de dois segmentos que evite o furo. Contradição: $[0,1] \not\cong [0,1]^2$.

**10.** Pela questão 8, uma sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) injetora $[0,1] \to [0,1]^2$ seria um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity), contradizendo a questão 9. A [compacidade](#def-b3-topology-compact) entrou exatamente no [Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo): é ela que torna [contínua](#def-b3-topology-continuity) a inversa da bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) (imagens de fechados são compactas, logo fechadas). Sem [compacidade](#def-b3-topology-compact), a conclusão realmente falha: $[0, 2\pi) \to S^1$ é uma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) que não é um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity).

**11.** Demonstrado aqui: *existe uma sobrejeção [contínua](#def-b3-topology-continuity), mas nenhuma bijeção [contínua](#def-b3-topology-continuity), de $[0,1]$ sobre $[0,1]^2$; em particular $[0,1] \not\cong [0,1]^2$.* Assim, a “dimensão” não é preservada por sobrejeções [contínuas](#def-b3-topology-continuity) — a cardinalidade e mesmo a [continuidade](#def-b3-topology-continuity) não a enxergam —, mas ela *é* um invariante [topológico](#def-b3-topology-topology) no nível dos [homeomorfismos](#def-b3-topology-continuity), ao menos entre as dimensões $1$ e $2$, em que a [conexidade](#def-b3-topology-connected) após a remoção de um ponto basta. O enunciado geral — a *invariância do domínio*: $\R^m \cong \R^n$ implica $m =
n$, e uma injeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) $\R^n \to \R^n$ é aberta — é verdadeiro, mas exige [topologia](#def-b3-topology-topology) [algébrica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) (homologia), fora do alcance deste curso.

**12.** Em [base](#def-b3-topology-basis) três, $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} : a_n
\in \{0, 1\}\}$ (dividir por dois os dígitos $\{0,2\}$ dá os dígitos $\{0,1\}$). Para $t \in [0,1]$, tome uma expansão ternária qualquer $t =
\sum_nd_n3^{-n}$, $d_n \in \{0,1,2\}$, e reparta cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ com $a_n, b_n \in \{0,1\}$ ($0 = 0{+}0$, $1 = 1{+}0$, $2 = 1{+}1$): então $t \in \frac C2 + \frac C2$. O ponto crucial é que cada dígito se reparte *dentro de* $\{0,1\}$, de modo que nenhum transporte se propaga e os dígitos podem ser tratados independentemente. A inclusão recíproca é clara (as somas de dígitos permanecem $\leq 2$). Reescalando por $2$: $C + C = [0,2]$.

**13.** A aplicação $(x, y) \mapsto x + y$ leva $C \times C$ sobre $C + C = [0,2]$: a poeira, que não contém nenhum quadrado ([interior](#def-b3-topology-interior) vazio: [Exercício 6.10](#exo-b3-topology-10)), se projeta ao longo da antidiagonal sobre um segmento inteiro. Autossemelhança: o primeiro dígito ternário de um ponto de Cantor é $0$ ou $2$, e retirá-lo dá $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 +
\frac23\bigr)$ — a equação de ponto fixo que gera toda figura de $C$.

**14.** Através de $C \cong \{0,1\}^\N$ (questão 2), a intercalação $(\varepsilon, \varepsilon') \mapsto
(\varepsilon_1, \varepsilon_1', \varepsilon_2,
\varepsilon_2', \dots)$ é uma bijeção $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to \{0,1\}^\N$, [contínua](#def-b3-topology-continuity) nos dois sentidos (cada coordenada de saída depende de uma única coordenada de entrada; [topologia produto](#def-b3-topology-constructions)). Logo $C\times C \cong C$ e, indutivamente, $C^n \cong C$. Espaços familiares não compartilham isso: $\R^2 \not\cong \R$ e $[0,1]^2 \not\cong [0,1]$ (questão 11); produtos infinitos, sim: $([0,1]^\N)^2 \cong
[0,1]^\N$ pela mesma intercalação.

**15.** $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = 2\cdot\frac{1/9}{1
- 1/9} = \frac14$: a expansão ternária de $\frac14$ é $0.\overline{02}$, com dígitos em $\{0,2\}$, de modo que $\frac14 \in
C$; não sendo nem uma expansão finita nem uma de cauda $2$ a partir de certa ordem, ele não é extremo de nenhum terço médio retirado. Os extremos formam um conjunto enumerável (dois por intervalo retirado, uma infinidade enumerável de intervalos), ao passo que $C \cong \{0,1\}^\N$ não é enumerável (argumento diagonal, ou questão 19): quase todo ponto de Cantor é, como $\frac14$, invisível na figura habitual dos extremos.

**16.** $g(x) = g(y)$ significa que as sequências binárias $(b_n(x))$, $(b_n(y))$ representam o mesmo real. Sequências binárias distintas que representam o mesmo número ocorrem exatamente na ambiguidade diádica $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$: no máximo duas pré-imagens, e exatamente duas precisamente nos racionais diádicos de $(0,1)$. Assim $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ colando uma infinidade enumerável de pares — o esqueleto combinatório da escada de Cantor do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#ch-b3-measure).

**17.** $x$ não é isolado em $P$, de modo que $B(x, r/2)$ contém algum $y_0 \in P \setminus \{x\}$; $y_0$ tampouco é isolado, de modo que $B(x, r/2)$ contém um segundo ponto $y_1
\in P$. Qualquer $\rho \leq \min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3,
\frac r4\bigr)$ torna $\bar B(y_0, \rho)$ e $\bar B(y_1,
\rho)$ disjuntas e contidas em $B(x, r)$. Ambas estão centradas em pontos de $P$, onde a mesma extração de dois pontos pode ser repetida: a perfeição é o suprimento inesgotável de pontos próximos que mantém a recursão viva para sempre.

**18.** Construa $F_w$ por indução sobre o comprimento da palavra: $F_\varnothing = P$, e, dentro de cada bola $B(y_w, \rho_w)$, a questão 17 fornece duas bolas fechadas disjuntas de raio $\leq
\min(\rho_w/2,\ 2^{-\abs w-1}\operatorname{diam}P)$ centradas em pontos de $P$; ponha $F_{wi} = \bar B(y_{wi}, \rho_{wi})
\cap P$: não vazia (seu [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions)) e compacta. Para $\varepsilon$ infinita, os [compactos](#def-b3-topology-compact) não vazios encaixados $F_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ têm interseção não vazia (propriedade da interseção finita no [compacto](#def-b3-topology-compact) $P$), de diâmetro $0$: um único ponto $h(\varepsilon)$.

**19.** Palavras que diferem pela primeira vez na ordem $m$ mandam suas imagens para os dois conjuntos *disjuntos* $F_{w0}, F_{w1}$ (prefixo comum $w$): $h$ é injetiva. Se duas palavras coincidem até a ordem $m$, ambas as imagens estão num conjunto de diâmetro $\leq
2^{-m}\operatorname{diam}P$: $h$ é [contínua](#def-b3-topology-continuity). Logo o não enumerável $\{0,1\}^\N$ se injeta em $P$: todo espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) é não enumerável — $[0,1]$ e $C$ entre eles.

**20.** $h$ é uma injeção [contínua](#def-b3-topology-continuity) do [compacto](#def-b3-topology-compact) $\{0,1\}^\N$ no [espaço de Hausdorff](#def-b3-topology-hausdorff) (métrico) $P$: o [Corolário 6.14](#cor-b3-topology-compacthomeo) a promove a um [homeomorfismo](#def-b3-topology-continuity) sobre sua imagem; e $\{0,1\}^\N \cong C$ (questão 2). Todo espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) contém uma cópia do conjunto de Cantor: a perfeição tem um germe universal, e ele é o de Cantor.

**21.** Um espaço métrico [compacto](#def-b3-topology-compact) enumerável não pode ser [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) (questão 19), de modo que ele tem um ponto isolado. Em $K =
\{0\}\cup\{\frac1n : n \geq 1\}$, todo ponto $\frac1n$ é isolado e $0$ não é: pontos isolados podem até ser [densos](#def-b3-topology-interior) sem que o espaço seja discreto — a [compacidade](#def-b3-topology-compact) mantém seu limite dentro.

**22.** Seja $P$ o conjunto dos pontos de condensação de $F$ e $\mathcal B$ a família enumerável dos intervalos abertos de extremos racionais. Todo ponto de $F$ que não é de condensação está em algum $I \in \mathcal B$ com $I \cap F$ enumerável, de modo que $F
\setminus P$ está contido na união desses traços enumeráveis, em quantidade enumerável: enumerável. Como $F$ é não enumerável, $P \neq \varnothing$; $P$ é fechado (se $x \notin P$, o intervalo testemunha $I$ não contém ponto de condensação algum: $I \cap F$ enumerável) e $P \subseteq F$ ($F$ fechado: um ponto de condensação é, em particular, aderente). $P$ é [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect): se $I \cap P = \{x\}$ para algum intervalo $I$, então $I \cap F \subseteq \{x\} \cup (F \setminus P)$ seria enumerável, contradizendo $x \in P$. Agora a construção em árvore das questões 17–19 vale literalmente dentro de $P$: as peças $\bar B(y, \rho) \cap P$ são compactas (subconjuntos fechados e limitados de $\R$), todo [centro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) é não isolado em $P$, e o argumento nunca usou mais do que isso. Logo $\abs P \geq
\abs{\{0,1\}^\N} = \mathfrak c$, e $\abs F \leq \mathfrak
c$ trivialmente: um fechado não enumerável $F \subseteq \R$ tem cardinalidade exatamente $\mathfrak c$. Conjuntos fechados não podem testemunhar uma falha da hipótese do [contínuo](#def-b3-topology-continuity).

**23.** Sejam $x \neq y$ em $C$ e escolha $m \geq 0$ com $3^{-(m+1)} \leq \abs{x - y} < 3^{-m}$. Pela questão 1, os dígitos $b_n(x) = b_n(y)$ coincidem para $n \leq m$; a primeira coordenada de $\Phi$ usa $b_1, b_3, \dots$, a segunda $b_2,
b_4, \dots$, de modo que, em cada coordenada, os dois pontos partilham ao menos $\lfloor m/2\rfloor$ dígitos binários iniciais:

$$
\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty
\leq \sum_{k > \lfloor m/2\rfloor}2^{-k}
= 2^{-\lfloor m/2\rfloor} \leq \sqrt2\cdot2^{-m/2}
= \sqrt2\,\bigl(3^{-m}\bigr)^\alpha
\leq \sqrt2\,\bigl(3\abs{x-y}\bigr)^\alpha,
$$

usando $2^{-m/2} = 3^{-m\alpha}$ (tome logaritmos); e $\sqrt2\cdot3^\alpha = \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$: a cota $2\abs{x-y}^\alpha$ em $C$. Mesma lacuna $(u, v)$: $f$ é afim ali, de modo que, para $t, s \in [u, v]$,

$$
\norm{f(t) - f(s)} = \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,
\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}
\leq \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,2(v-u)^\alpha
\leq 2\abs{t-s}^\alpha,
$$

pois $\frac{\abs{t-s}}{v-u} \leq \bigl(\frac{\abs{t-s}}
{v-u}\bigr)^\alpha$ quando $\abs{t-s} \leq v - u$. Caso geral $t <
s$: se $[t, s]$ encontra $C$, sejam $u'$ e $v'$ o menor e o maior ponto do [compacto](#def-b3-topology-compact) $C \cap [t, s]$; então $t$ está numa lacuna (ou num ponto de $C$) cujo extremo direito é $u'$, $s$ numa cujo extremo esquerdo é $v'$, e

$$
\norm{f(t) - f(s)} \leq 2\abs{t - u'}^\alpha
+ 2\abs{v' - u'}^\alpha + 2\abs{s - v'}^\alpha
\leq 6\abs{t - s}^\alpha ;
$$

se $[t, s]$ não encontra $C$, aplica-se o caso da mesma lacuna. Logo $f$ é $\alpha$-hölderiana com $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$.

**24.** Suponha $\norm{F(t) - F(s)} \leq
C\abs{t-s}^\alpha$ com $F$ sobrejetora e $\alpha >
\frac12$. Corte $[0,1]$ em $N$ intervalos $I_1, \dots, I_N$ de comprimento $\frac1N$: cada imagem $F(I_j)$ tem diâmetro $\leq
CN^{-\alpha}$. Dois pontos distintos da grade $G_M =
\bigl\{\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)\bigr\}_{0 \leq i, j
\leq M}$ estão à distância $\geq \frac1M$, de modo que um conjunto de diâmetro $< \frac1M$ contém no máximo um deles. Escolha $M =
\lfloor N^\alpha/(2C)\rfloor$ (com $N$ grande): então $CN^{-\alpha} \leq \frac1{2M} < \frac1M$, e a sobrejetividade coloca cada um dos $(M+1)^2$ pontos da grade em algum $F(I_j)$, donde

$$
\frac{N^{2\alpha}}{4C^2} \leq (M + 1)^2 \leq N,
$$

e $N^{2\alpha - 1} \leq 4C^2$ falha para $N$ grande quando $2\alpha > 1$: contradição. Nossa curva, com $\alpha \approx
0.3155$, fica abaixo do muro, como deve ser; a curva de Hilbert (admitida) é $\frac12$-hölderiana, de modo que o expoente crítico $\frac12$ é atingido — a regularidade hölderiana, ao contrário da injetividade, é uma questão de grau, e $\frac12$ é exatamente a fronteira que a dimensão $2$ impõe a uma aplicação vinda da dimensão $1$.

**25.** O $m$-ésimo aglomerado $\{\frac1m + \frac1n : n >
m^2\}$ está em $\bigl(\frac1m, \frac1m + \frac1{m^2}\bigr]
\subseteq \bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ para $m \geq 2$, pois $\frac1{m-1} - \frac1m = \frac1{m(m-1)} >
\frac1{m^2}$ (e o primeiro aglomerado está em $(1, \frac32]$): os aglomerados ocupam intervalos disjuntos. Pontos limites de $K$: dentro do $m$-ésimo intervalo, apenas $\frac1m$ (o aglomerado converge para ele e é discreto em si mesmo); globalmente, $0$ (toda [vizinhança](#def-b3-topology-topology) de $0$ contém aglomerados inteiros). Assim $K'
= \{0\} \cup \{\frac1m\}$, depois $K'' = \{0\}$ (cada $\frac1m$ é isolado em $K'$), $K''' = \varnothing$; $K$ contém seus pontos limites, logo é fechado, limitado, enumerável, [compacto](#def-b3-topology-compact), e seus pontos isolados — os pontos dos aglomerados $\frac1m +
\frac1n$ — são [densos](#def-b3-topology-interior) em $K$: todo elemento de $K'$ é limite deles, como o mecanismo da questão 21 prevê. Indução: $K_1 = \{0\}\cup\{\frac1n\}$ tem $K_1^{(1)} = \{0\}$; dado um [compacto](#def-b3-topology-compact) enumerável $K_j \subseteq [0, 1]$ com $K_j^{(j)} =
\{0\}$ e $K_j^{(j+1)} = \varnothing$, ponha

$$
K_{j+1} = \{0\} \cup \bigcup_{m \geq 1}
\Bigl(\frac1m + \varepsilon_m K_j\Bigr),
$$

com $\varepsilon_m$ pequeno o bastante para que a $m$-ésima cópia esteja em $\bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$. A derivação age cópia a cópia (as cópias vivem em intervalos abertos disjuntos), de modo que $K_{j+1}^{(i)} = \{0\} \cup \bigcup_m\bigl(\frac1m +
\varepsilon_mK_j^{(i)}\bigr)$ para $i \leq j$; em $i = j$ isso se lê $\{0\} \cup \{\frac1m\}$, e então $K_{j+1}^{(j+1)} =
\{0\}$ e $K_{j+1}^{(j+2)} = \varnothing$. Toda ordem finita ocorre. Um conjunto [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect) é o outro extremo: $P' = P$, a derivação nunca se move — e Cantor–Bendixson (questão 22) diz precisamente que todo fechado se reparte em um núcleo [perfeito](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#prop-b3-galois-perfect), invisível à derivação, e um resto enumerável que a derivação vai comendo.