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title: "Espaços completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass
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# Capítulo 7 — Espaços completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

A [completude](#def-b3-complete-complete) — toda sequência de Cauchy converge — é a propriedade que permite à análise *produzir* objetos: pontos fixos de contrações, somas de séries, soluções de equações obtidas como limites. Este capítulo reúne as três grandes máquinas de existência da teoria métrica. O *teorema de Baire* mostra que um espaço [completo](#def-b3-complete-complete) não pode ser reunião enumerável de pedaços desprezíveis e conjura objetos (funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em parte alguma deriváveis!) a partir de um raciocínio de puro tipo cardinal. *Arzelà–Ascoli* identifica os subconjuntos [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $\mathcal C(K)$ e é o cavalo de batalha da análise em matéria de [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) — o problema de fim de semana o usa para demonstrar o teorema de existência de Peano para equações diferenciais. *Stone–Weierstrass* mostra que os polinômios, e muito mais, são densos em $\mathcal C(K)$: a aproximação torna-se uma verificação [algébrica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic). Pelo [caminho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-pathconnected), construímos [completamentos](#thm-b3-complete-completion) e demonstramos o teorema de extensão das aplicações uniformemente [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), o pão de cada dia do Capítulos [12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#ch-b3-lp), [13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#ch-b3-hilbert) e [14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/14-a-transformada-de-fourier#ch-b3-fouriertransform).

## 7.1 Espaços completos, completamentos, extensões

**Definição 7.1.**

Um espaço métrico é *completo* se toda sequência de Cauchy converge (segundo ano: $\R^n$ é completo; $\mathcal C(\intcc01)$ com $\norm\cdot_\infty$ é completo). Um subconjunto fechado de um espaço completo é completo; um subconjunto completo de um espaço métrico qualquer é fechado.

**Demonstração.** Quanto às duas afirmações: uma sequência de Cauchy do fechado $F$ converge em $X$, e seu limite, aderente a $F$, está em $F$; uma sequência de um $A$ [completo](#def-b3-complete-complete) que converge em $X$ é de Cauchy, logo converge em $A$, e os limites são únicos. ∎

**Teorema 7.2 (Extensão das aplicações uniformemente contínuas).**

Sejam $D \subseteq X$ denso, $Y$ [completo](#def-b3-complete-complete) e $f \colon D \to
Y$ uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Então $f$ se estende de maneira *única* a uma [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\bar f \colon X \to Y$, e $\bar f$ é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity).

**Demonstração.** Unicidade: duas extensões [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) coincidem no denso $D$ e, portanto, em toda parte (o conjunto de coincidência $\{g = h\}$ é fechado: pré-imagem da diagonal fechada por $x\mapsto(g(x), h(x))$). Existência: para $x \in X$ tome $d_n \to x$, $d_n \in D$. A sequência $(f(d_n))$ é de Cauchy: dado $\varepsilon$, a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme fornece $\delta$ com $d(u,v) < \delta \Rightarrow
d(f(u), f(v)) < \varepsilon$, e $(d_n)$ é de Cauchy. Defina $\bar f(x) = \lim f(d_n)$; o limite não depende da sequência escolhida (entrelace duas delas). $\bar f$ estende $f$ (sequências constantes) e herda o módulo de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): se $d(x, x') < \delta$, aproximar ambos por pontos de $D$ a distância $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ dá $d(\bar f(x), \bar
f(x')) \leq \varepsilon$ no limite — $\bar f$ é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). ∎

**Teorema 7.3 (Completamento).**

Todo espaço métrico $X$ mergulha isometricamente como subconjunto denso de um [espaço métrico completo](#def-b3-complete-complete) $\hat X$, único a menos de uma isometria que fixa $X$ ponto a ponto: seu *completamento*.

**Demonstração.** *Existência.* Seja $\mathcal X$ o conjunto das sequências de Cauchy de $X$, com a pseudodistância

$$
D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),
$$

cujo limite existe porque $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)}
\leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ torna a sequência real de Cauchy. Ponha $\hat X = \mathcal X/{\sim}$, identificando as sequências a $D$-distância $0$; $D$ desce a uma distância. Mergulhe $X$ pelas sequências constantes: uma isometria de imagem densa (uma sequência de Cauchy é $D$-aproximada pelas constantes construídas sobre seus próprios termos: $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm
const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ quando $k \to \infty$, por ser de Cauchy). [Completude](#def-b3-complete-complete) de $\hat X$: seja $(\xi^k)$ de Cauchy em $\hat X$; por densidade, escolha $x_k \in X$ com $D(\xi^k, x_k)
\leq 2^{-k}$; então $(x_k)$ é de Cauchy em $X$ (desigualdade triangular através dos $\xi$), define um ponto $\xi \in \hat
X$, e $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (a distância da constante $x_k$ à classe de $(x_j)_j$ é $\lim_j d(x_k, x_j)$, pequena para $k$ grande).

*Unicidade*: dois [completamentos](#thm-b3-complete-completion) $\hat X_1, \hat X_2$ contêm $X$ densamente; a identidade de $X$, uma isometria, é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), logo se estende a $\hat X_1 \to \hat X_2$ ([Teorema 7.2](#thm-b3-complete-extension)), ainda uma isometria em um [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) e, portanto, em toda parte; simetricamente no outro sentido, e as compostas fixam o denso $X$: elas são as identidades. ∎

**Teorema 7.4 (Ponto fixo de Banach).**

Sejam $X$ [completo](#def-b3-complete-complete) e não vazio e $f \colon X \to X$ uma *contração*: $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ com $k < 1$. Então $f$ tem um único ponto fixo $x^*$, e toda [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) converge para ele, com a taxa explícita $d(x_n, x^*) \leq
\frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$.

**Demonstração.** (O segundo ano demonstrou isto; registramos de novo o argumento de duas linhas para que o texto se baste.) A [órbita](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-action) $x_{n+1} = f(x_n)$ satisfaz $d(x_{n+1},
x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$, logo é de Cauchy (série geométrica); seu limite $x^*$ é fixo ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $f$) e único, pois dois pontos fixos satisfazem $d \leq k\,d$. A taxa: some a cauda geométrica. ∎

**Exemplo 7.5 (Perturbando a identidade).**

Seja $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$-lipschitziana com $k < 1$. Então $\varphi = \mathrm{id} + g$ é um *[homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $\R^d$ sobre $\R^d$*. Injetividade, com um módulo quantitativo:

$$
\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} -
\norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .
$$

A sobrejetividade é o teorema do ponto fixo: resolver $\varphi(x) = y$ significa $x = y - g(x)$, e $x \mapsto y -
g(x)$ é uma $k$-contração do espaço [completo](#def-b3-complete-complete) $\R^d$ — existe uma única solução $x = \psi(y)$ para cada $y$. A desigualdade exibida torna a inversa $\psi$ lipschitziana de constante $\frac1{1-k}$: um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), com cotas explícitas para ambos os módulos. Esse enunciado de aparência inofensiva é o motor dentro do teorema da função inversa ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/20-subvariedades-de-rn#ch-b3-submanifolds)): perto de um ponto em que $Df$ é inversível, $f$ *é* uma aplicação linear inversível mais uma pequena perturbação lipschitziana, e o exemplo de hoje faz o resto. Ele também quantifica a robustez numérica: um sistema perturbado por menos do que a margem da inversa permanece [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived), com a solução deslocando-se no máximo $\frac{1}{1-k}$ vezes a perturbação.

## 7.2 O teorema de Baire

**Teorema 7.6 (Baire).**

Em um [espaço métrico completo](#def-b3-complete-complete), uma interseção enumerável de abertos densos é densa. Equivalentemente: se $X = \bigcup_{n}F_n$ com cada $F_n$ fechado, então algum $F_n$ tem [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) não vazio.

**Demonstração.** Sejam $(U_n)$ abertos densos e $B_0 = B(x_0, r_0)$ uma bola aberta qualquer; encontramos um ponto de $\bigcap U_n$ em $B_0$. Indutivamente: sendo $U_{n}$ denso e aberto, ele encontra a bola aberta $B_{n-1}$ em um aberto, que contém uma bola fechada $\bar B(x_n, r_n)$ com $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ e $\bar B(x_n, r_n) \subseteq
B_{n-1}\cap U_n$. Os [centros](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) formam uma sequência de Cauchy ($x_m \in
B_n$ para $m \geq n$, com raios $\to 0$); o limite $x$ está em toda $\bar B(x_n, r_n)$ (por serem fechadas), logo em todo $U_n$ e em $B_0$. Quanto à segunda forma: se nenhum $F_n$ tem [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), os $U_n = X \setminus F_n$ são abertos e densos, e um ponto de $\bigcap U_n$ escapa a $\bigcup F_n = X$: absurdo. ∎

**Observação 7.7.**

Vocabulário: um conjunto é *nunca denso* se seu [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) tem [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio, e *magro* (de primeira categoria) se é uma reunião enumerável de conjuntos nunca densos. Baire: *um [espaço métrico completo](#def-b3-complete-complete) não é [magro](#rem-b3-complete-meagre) em si mesmo*, e o complementar de um [conjunto magro](#rem-b3-complete-meagre) é denso. “[Magro](#rem-b3-complete-meagre)” é uma noção de pequenez ortogonal à de medida (o [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida#ch-b3-measure) produzirá [conjuntos magros](#rem-b3-complete-meagre) de medida total), e os argumentos de Baire demonstram *existência por abundância*: para exibir um objeto sem a propriedade P, mostre que os objetos com P formam um [conjunto magro](#rem-b3-complete-meagre).

**Corolário 7.8.**

(a) $\R$ é não enumerável. (b) $\Q$ não é uma interseção enumerável de abertos de $\R$, e um [espaço métrico completo](#def-b3-complete-complete) não vazio sem pontos isolados é não enumerável.

**Demonstração.** (a) $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ sobre um conjunto enumerável faria algum conjunto unitário ter [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior). (b) Se $\Q = \bigcap_n V_n$ com $V_n$ abertos (necessariamente densos, pois $\supseteq \Q$), então os conjuntos $V_n$ e os complementares $\R\setminus\{q\}$, $q \in \Q$, formam uma família enumerável de abertos densos com interseção vazia — contradizendo Baire. Se $X$ é [completo](#def-b3-complete-complete), sem pontos isolados e enumerável, $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ o exibe como reunião enumerável de fechados de [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio (ausência de pontos isolados): Baire de novo. ∎

**Teorema 7.9 (Os monstros de Weierstrass existem).**

Existem funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $\intcc01$ que não são deriváveis em ponto algum. Mais ainda: o conjunto das $f \in \mathcal C(\intcc01)$ que têm derivada (finita) em ao menos um ponto é [magro](#rem-b3-complete-meagre) em $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$.

**Demonstração.** Para $n \geq 1$, ponha

$$
F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\
\forall h \neq 0 \text{ com } x + h \in \intcc01,\
\abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.
$$

Se $f$ é derivável em $x$, então $f \in F_n$ para algum $n$: o quociente $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ é limitado para $\abs h
\leq \delta$ (derivabilidade: ele tende a $\abs{f'(x)}$) e limitado por $2\norm f_\infty/\delta$ para $\abs h \geq \delta$. Assim $\bigcup F_n$ contém todas as funções deriváveis em algum ponto, e basta mostrar que cada $F_n$ é fechado e tem [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio.

*Fechado*: seja $f_k \to f$ uniformemente, com $f_k \in F_n$ e testemunhas $x_k \to x$ ([compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), após extração). Para $h$ com $x + h \in \intcc01$: escolha $h_k \to h$ com $x_k + h_k
\in \intcc01$ (por exemplo $h_k = h + x - x_k$ truncado); então $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)}
\leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$, usando a convergência uniforme e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $f$ nos pontos relevantes: $f \in F_n$.

*[Interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio*: dados $f \in F_n$ e $\varepsilon > 0$, encontramos $g$ com $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ e $g
\notin F_n$. Primeiro, aproxime $f$ a menos de $\varepsilon/2$ por uma função $\varphi$ afim por partes ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme: interpole em uma grade fina), de inclinações limitadas por algum $M$. Some um pequeno dente de serra: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$, em que $s_N(x)$ é o zigue-zague $\frac1N$-periódico de amplitude $1$ e inclinação $\pm 2N$. Em todo $x$, de um dos lados existe $h$ arbitrariamente pequeno com o dente de serra contribuindo com inclinação $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 =
\pm\varepsilon N$ em $[x, x+h]$: o quociente de diferenças de $g$ ultrapassa $\varepsilon N - M > n$ para $N$ grande. Logo $g \notin
F_n$, a qualquer distância uniforme $\leq \varepsilon$ de $f$. Conclusão: $\bigcup F_n$ é [magro](#rem-b3-complete-meagre); por Baire, seu complementar — formado por [funções em parte alguma deriváveis](#thm-b3-complete-nowherediff) — é denso em $\mathcal C(\intcc01)$: tais funções existem *em abundância*. ∎

## 7.3 Arzelà–Ascoli

Ao longo de toda esta seção, $K$ é um espaço métrico *[compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)* e $\mathcal
C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$, com $\norm f_\infty = \sup_K
\norm{f(x)}$: um espaço [completo](#def-b3-complete-complete) (limites uniformes de [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) são [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) — segundo ano).

**Definição 7.10.**

Uma família $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ é *equicontínua* se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que

$$
d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon
\quad\text{para \emph{toda} } f \in \mathcal F
$$

(um único $\delta$ para toda a família — por exemplo, qualquer família com uma constante de Lipschitz comum, ou um módulo de Hölder comum), e é *pontualmente limitada* se $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ para cada $x$.

**Teorema 7.11 (Arzelà–Ascoli).**

Um subconjunto $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ é relativamente [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) (tem [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)) se, e somente se, é [equicontínuo](#def-b3-complete-equicontinuous) e pontualmente limitado. Em particular, toda *sequência* [equicontínua](#def-b3-complete-equicontinuous) e pontualmente limitada tem uma subsequência uniformemente convergente.

**Demonstração.** ($\Leftarrow$) Seja $(f_k)$ uma sequência de $\mathcal F$. O [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) métrico $K$ é *separável*: para cada $n$, um número finito de bolas de raio $\frac1n$ cobre $K$ ([Teorema 6.16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#thm-b3-topology-metriccompact)); seus [centros](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#ex-b3-groups-actions) formam um conjunto enumerável denso $D = \{x_1, x_2, \dots\}$. Pela limitação pontual e por Bolzano–Weierstrass, extraia sucessivamente subsequências que convergem em $x_1$, depois também em $x_2$, etc., e tome a subsequência *diagonal* $(g_j)$: ela converge em todo ponto de $D$. A [equicontinuidade](#def-b3-complete-equicontinuous) eleva isso a uniformemente de Cauchy: dado $\varepsilon$, tome $\delta$ como na definição, cubra $K$ por um número finito de bolas $B(x_i, \delta)$ com $x_i \in D$ ($i \leq m$) e escolha $J$ tão grande que $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ para $j, j' \geq
J$, $i \leq m$. Para $x \in B(x_i, \delta)$ arbitrário:

$$
\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)}
\leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)}
+ \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .
$$

Logo $(g_j)$ é uniformemente de Cauchy e converge no espaço [completo](#def-b3-complete-complete) $\mathcal C(K)$. Assim, toda sequência de $\mathcal F$ tem subsequência convergente: $\bar{\mathcal F}$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) (sequencialmente e, portanto, pelo [Teorema 6.16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#thm-b3-topology-metriccompact)).

($\Rightarrow$) Se $\bar{\mathcal F}$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): a limitação pontual é clara (a avaliação é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)). Quanto à [equicontinuidade](#def-b3-complete-equicontinuous), cubra $\mathcal F$ por um número finito de bolas $B(f_i, \varepsilon)$ de raio $\mathcal C(K)$; cada $f_i$ é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (Heine, [Corolário 6.17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#cor-b3-topology-heineborel)), o que dá um $\delta$ comum para $i \leq m$; então, para $f \in B(f_i, \varepsilon)$ e $d(x,y)
< \delta$: $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon +
\norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$. ∎

**Exemplo 7.12.**

A bola unitária fechada de $\mathcal C(\intcc01)$ *não* é compacta ($f_n(x) = x^n$ não tem subsequência uniformemente convergente: o limite pontual é descontínuo) e, com efeito, $(x^n)$ não é [equicontínua](#def-b3-complete-equicontinuous) em $1$. Em contraste, $\{f : \norm
f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): limitado, [equicontínuo](#def-b3-complete-equicontinuous) por serem todas $1$-lipschitzianas, e fechado. Ascoli explica *por que* a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) falha em dimensão infinita (Riesz, segundo ano) e o que acrescentar para restaurá-la: um módulo de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme.

## 7.4 Stone–Weierstrass

**Lema 7.13 (Dini).**

Sejam $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e $(f_n)$ uma sequência *monótona* de funções reais [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) que converge *pontualmente* para uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $f$. Então a convergência é uniforme.

**Demonstração.** Digamos $f_n \uparrow f$; ponha $g_n = f - f_n \downarrow 0$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Dado $\varepsilon$, os abertos $U_n = \{g_n <
\varepsilon\}$ crescem e cobrem $K$ (convergência pontual); extraia uma subcobertura finita: $K = U_{n_0}$ para algum $n_0$ (família crescente), isto é, $0 \leq g_n < \varepsilon$ em toda parte para $n \geq n_0$. ∎

**Lema 7.14.**

Existe uma sequência de *polinômios* $u_n$ com $u_n(t) \to
\sqrt t$ uniformemente em $\intcc01$.

**Demonstração.** Defina $u_0 = 0$, $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t -
u_n(t)^2\bigr)$: são polinômios. Por indução, $0 \leq u_n(t) \leq
\sqrt t$ em $\intcc01$: admitindo isso para $n$,

$$
\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr)
\Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,
$$

pois $\sqrt t + u_n \leq 2$; e $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$. Assim $(u_n(t))$ é não decrescente e limitada por $\sqrt t$: ela converge pontualmente, e o limite $\ell(t)$ satisfaz $\ell =
\ell + \frac12(t - \ell^2)$: $\ell(t) = \sqrt t$, que é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Dini ([Lema 7.13](#lem-b3-complete-dini)) eleva a convergência a uniforme. ∎

**Teorema 7.15 (Stone–Weierstrass, versão real).**

Sejam $K$ um [espaço compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ([de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-hausdorff)) e $\mathcal A \subseteq
\mathcal C(K, \R)$ uma *subálgebra* (estável por somas, produtos e múltiplos escalares) que *contém as constantes* e *separa pontos* (para $x \neq y$, algum $f \in
\mathcal A$ satisfaz $f(x) \neq f(y)$). Então $\mathcal A$ é densa em $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$.

**Demonstração.** Seja $\bar{\mathcal A}$ o [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior), ainda uma álgebra (produtos de limites uniformes em conjuntos limitados convergem).

*Etapa 1: $\bar{\mathcal A}$ é um reticulado*, isto é, estável por $\max$ e $\min$. Como $\max(f,g) = \frac{f + g +
\abs{f-g}}2$, e analogamente para $\min$, basta que $f \in
\bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$: com $M = \norm f_\infty > 0$, $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$, e o [Lema 7.14](#lem-b3-complete-sqrt) dá polinômios $u_n$ com $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ uniformemente; polinômios em membros da álgebra (com termo constante: as constantes lá estão) permanecem em $\bar{\mathcal A}$.

*Etapa 2: interpolação em dois pontos.* Para $x \neq y$ e $a,
b \in \R$, algum $g \in \mathcal A$ satisfaz $g(x) = a$, $g(y) = b$: tome $h$ que separe $x, y$ e ponha $g = a + (b -
a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$.

*Etapa 3.* Sejam $f \in \mathcal C(K)$, $\varepsilon > 0$. Para cada par $x, y$ escolha $g_{x,y} \in \mathcal A$ com $g_{x,y}(x) = f(x)$, $g_{x,y}(y) = f(y)$ (Etapa 2; para $x = y$ tome a função constante $g_{x,x} = f(x)$). Fixe $x$: para cada $y$, o aberto $V_y = \{g_{x,y} < f +
\varepsilon\}$ contém $y$; a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) extrai $y_1, \dots,
y_m$ com $K = \bigcup V_{y_j}$, e $h_x = \min_j g_{x, y_j}
\in \bar{\mathcal A}$ (Etapa 1) satisfaz $h_x < f +
\varepsilon$ em toda parte, além de $h_x(x) = f(x)$. Agora varie $x$: $W_x =
\{h_x > f - \varepsilon\}$ é aberto e contém $x$; extraia $x_1,
\dots, x_l$ cobrindo $K$, e $h = \max_i h_{x_i} \in
\bar{\mathcal A}$ satisfaz $f - \varepsilon < h < f +
\varepsilon$: $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$. Logo $f \in \bar{\mathcal A}$. ∎

**Corolário 7.16.**

(a) (*Weierstrass*) Os polinômios são densos em $\mathcal
C(\intcc ab, \R)$; os polinômios em $n$ variáveis são densos em $\mathcal C(K, \R)$ para $K \subseteq \R^n$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). (b) (*Versão complexa*) Se $\mathcal A \subseteq \mathcal
C(K, \C)$ é uma subálgebra que contém as constantes, separa pontos e é *estável por conjugação*, então ela é densa. (c) (*Versão trigonométrica*) Os polinômios trigonométricos $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ são densos no espaço das funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periódicas com $\norm\cdot_\infty$.

**Demonstração.** (a) Os polinômios formam uma álgebra com constantes; as funções coordenadas separam os pontos de $\R^n$. (b) As partes real e imaginária $\frac{f + \bar f}2$, $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ dos membros de $\mathcal A$ formam uma álgebra real $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ com constantes; ela separa pontos ($f(x) \ne f(y)$ força $\operatorname{Re}f$ ou $\operatorname{Im}f$ a separar). Aplique o teorema real e recombine. (c) Veja as funções $2\pi$-periódicas como $\mathcal C(S^1, \C)$ ($S^1 = \R/2\pi\Z$, [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): [Exercício 6.5](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#exo-b3-topology-5)); a álgebra gerada por $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ e pelas constantes é estável por conjugação e separa os pontos do círculo ($\eu^{\iu t}$ é injetora nele). Aplique (b). ∎

**Observação 7.17.**

A versão trigonométrica repara, e generaliza amplamente, a lacuna deixada no capítulo de Fourier do segundo ano: a densidade dos polinômios trigonométricos em $(\mathcal C(S^1), \norm\cdot_2)$ decorre a fortiori ($\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ a menos da constante de normalização), o que fará do sistema de Fourier uma *base* ortonormal no [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#ch-b3-hilbert), demonstrando enfim Parseval em plena generalidade.

## 7.5 Exercícios

**Exercício 7.1 ★.**

(a) Mostre que $\mathcal C(\intcc01, \R)$ com $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ *não* é [completo](#def-b3-complete-complete): as funções $f_n$ iguais a $0$ em $\intcc0{\frac12}$, a $1$ em $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$ e afins entre esses trechos são de Cauchy para $\norm\cdot_1$ sem limite [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). (b) Mostre que um espaço normado em que toda série absolutamente convergente converge é [completo](#def-b3-complete-complete). *(Extraia de uma sequência de Cauchy uma subsequência com $\norm{x_{n_{k+1}} -
x_{n_k}} \leq 2^{-k}$.)*

**Solução de Exercício 7.1.**

(a) Para $m \geq n$, $f_n - f_m$ se anula fora de um intervalo de comprimento $\frac1n$ e é limitada por $1$: $\norm{f_n - f_m}_1
\leq \frac1n \to 0$: de Cauchy. Se $f_n \to f$ em $\norm\cdot_1$ com $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): para $\alpha <
\frac12$ fixo, $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f -
f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ ($f_n \equiv 0$ ali para $n$ grande), de modo que $f \equiv 0$ em $[0, \frac12)$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)); do mesmo modo $f \equiv 1$ em $(\frac12, 1]$: nenhuma função [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) faz as duas coisas. Logo o espaço é incompleto — o completado é $L^1$, construído no [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#ch-b3-lp).

(b) Seja $(x_n)$ de Cauchy; escolha $n_1 < n_2 < \cdots$ com $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$. A série $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ converge absolutamente, logo converge; suas somas parciais são $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$, de modo que $(x_{n_k})$ converge, e uma sequência de Cauchy com uma subsequência convergente converge.

**Exercício 7.2 ★.**

Usando Baire: (a) mostre que um espaço normado [completo](#def-b3-complete-complete) não tem base ([algébrica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic)) enumerável — deduza que o espaço dos polinômios não é [completo](#def-b3-complete-complete) para *norma alguma*; (b) mostre que, se uma sequência de funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $f_n \colon \R \to \R$ converge pontualmente para $f$, o conjunto dos pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $f$ é denso. *(Para (b): admita ou demonstre que $\Omega_\delta = \{x :
\operatorname{osc}_x f < \delta\}$ é aberto, e mostre que ele é denso usando $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\
\forall n,m \geq N\}$, fechados que cobrem $\R$; trabalhe em uma bola fechada arbitrária para aplicar Baire.)*

**Solução de Exercício 7.2.**

(a) Suponha $E$ [completo](#def-b3-complete-complete) com base [algébrica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) $(e_n)_{n\in\N}$ e seja $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$: fechado (subespaços de dimensão finita são [completos](#def-b3-complete-complete), logo fechados — volume do segundo ano), de [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio: se $B(x, r) \subseteq F_n$, tome $v \notin F_n$; então $x + \frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r)
\setminus F_n$, absurdo. Mas $E = \bigcup F_n$ (todo vetor é uma combinação finita): contradiz Baire ([Teorema 7.6](#thm-b3-complete-baire)). O espaço $\R[X]$ tem a base enumerável $(X^n)$, de modo que nenhuma norma o torna [completo](#def-b3-complete-complete).

(b) Fixe $\delta > 0$ e uma bola aberta não vazia $B$; encontramos em $B$ um ponto de $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf <
\delta\}$, onde $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni
x}\operatorname{diam} f(V)$. ($\Omega_\delta$ é aberto: se $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ para um aberto $V \ni x$, todo $y \in V$ tem oscilação $< \delta$.) Os conjuntos

$$
F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\
\ \forall\, n, m \geq N \bigr\}
$$

são fechados (interseções de pré-imagens de fechados) e cobrem $\R$ (a convergência pontual torna $(f_n(x))$ de Cauchy). Aplicando Baire dentro do [completo](#def-b3-complete-complete) $\bar B$: algum $F_N \cap
\bar B$ contém uma bola $B' = B(x_0, \rho)$. Fazendo $m \to
\infty$: $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$ em $B'$. Pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $f_N$ em $x_0$, encolha para $B'' \ni x_0$ onde $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$; então, para $x \in B''$,

$$
\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) -
f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:
$$

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$, de modo que $x_0 \in
\Omega_{3\delta} \cap B$. Assim, cada $\Omega_\delta$ é aberto e denso; $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — o conjunto dos pontos de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) — é denso por Baire.

**Exercício 7.3 ★★.**

(a) Mostre que $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ ($a >
1$) é uma contração de $[\sqrt a, +\infty)$ e identifique seu ponto fixo — o método de Heron. Estime o número de iterações para uma precisão de $10^{-12}$ partindo de $x_0 = a$, no caso $a = 2$. (b) (Equação de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ e $m \in \R$, mostre que $x = m + e\sin x$ tem uma única solução, que depende [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $m$.

**Solução de Exercício 7.3.**

(a) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ leva $[\sqrt a, \infty)$ em si mesmo (MA–MG: $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$), e $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$ ali: uma contração $\frac12$-lipschitziana de um conjunto fechado ([completo](#def-b3-complete-complete)). Ponto fixo: $x = f(x) \iff x^2 = a$: $x^* = \sqrt a$. Velocidade ([Teorema 7.4](#thm-b3-complete-banach)): $d(x_n, \sqrt a) \leq
2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$. Para $a = 2$, $x_0 = 2$: $d(x_1, x_0) =
\frac12$, de modo que $n = 40$ garante $2^{-40} < 10^{-12}$. (Na realidade, o método de Newton converge quadraticamente: um punhado de iterações basta; a estimativa por contração é pessimista, mas gratuita.)

(b) $f_m(x) = m + e\sin x$ é $e$-lipschitziana com $e < 1$ no [completo](#def-b3-complete-complete) $\R$: único ponto fixo $x(m)$. Para dois parâmetros:

$$
\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))}
\leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},
$$

de modo que $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$: até lipschitziana em $m$.

**Exercício 7.4 ★★.**

(a) Sejam $X$ [completo](#def-b3-complete-complete) e $f \colon X \to X$ tal que algum iterado $f^p$ é uma contração. Mostre que $f$ tem um único ponto fixo. Aplicação: o operador integral $T$ em $\mathcal C(\intcc0a)$, $Tf(x) = \int_0^x f$, satisfaz $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ — deduza que $u = g + \lambda Tu$ é [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) para toda $\lambda$. (b) (Edelstein) Sejam $K$ *[compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)* e $f\colon K \to K$ com $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ para $x \neq y$. Mostre que $f$ tem um único ponto fixo, mas que a taxa de contração pode se perder: em $X = [1, +\infty)$ ([completo](#def-b3-complete-complete), não [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)), $f(x) = x
+ \frac1x$ não tem ponto fixo, apesar de diminuir estritamente as distâncias.

**Solução de Exercício 7.4.**

(a) Seja $x^*$ o único ponto fixo de $f^p$. Então $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$: $f(x^*)$ é um ponto fixo de $f^p$, de modo que $f(x^*) = x^*$. Um ponto fixo de $f$ é um de $f^p$: a unicidade se transfere. Para $T$: por indução $\abs{T^pf(x)}
\leq \norm f_\infty x^p/p!$ (cada integração acrescenta um fator $\frac xk$), de modo que $\norm{T^p} \leq a^p/p!$. A aplicação $S(u) = g +
\lambda Tu$ satisfaz $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$, de norma $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$: algum $S^p$ é uma contração, e $S$ tem um único ponto fixo: a equação de Volterra $u = g + \lambda Tu$ é unicamente [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) para *toda* $\lambda$.

(b) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K$: atinge seu mínimo em algum $x_0$. Se $f(x_0) \neq x_0$, então $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) =
\min\varphi$: absurdo. Unicidade: dois pontos fixos $x \ne y$ dariam $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$. Sem [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): $f(x) = x + \frac1x$ em $[1, \infty)$ satisfaz, para $x < y$, $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) <
y - x$, e, no entanto, $f(x) > x$ sempre: nenhum ponto fixo — a diminuição estrita das distâncias é mais fraca que um fator de contração uniforme.

**Exercício 7.5 ★★.**

(a) Duas [aplicações contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em um [espaço de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-hausdorff) que coincidem em um subconjunto denso coincidem em toda parte; onde isso foi usado no capítulo? (b) Sejam $D \subseteq X$ denso e $f \colon D \to Y$ uma bijeção isométrica sobre um subconjunto denso de um $Y$ [completo](#def-b3-complete-complete), com $X$ [completo](#def-b3-complete-complete). Mostre que $f$ se estende a uma bijeção isométrica $X \to Y$. Deduza novamente a unicidade dos [completamentos](#thm-b3-complete-completion).

**Solução de Exercício 7.5.**

(a) O conjunto $A = \{g = h\}$ é a pré-imagem da diagonal $\Delta_Y$ por $x \mapsto (g(x), h(x))$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity); $\Delta_Y$ é fechada porque $Y$ é [de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-hausdorff) (para $y_1 \neq y_2$, [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) abertas disjuntas dão um bloco aberto em torno de $(y_1,
y_2)$ disjunto da diagonal, de modo que o complementar de $\Delta_Y$ é aberto): logo $A$ é fechado, contém um [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) e é igual a $X$. Usado: a unicidade no [Teorema 7.2](#thm-b3-complete-extension) e, portanto, na unicidade dos completados.

(b) $f$, uma isometria, é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): estende-se a $F\colon X \to Y$ ([Teorema 7.2](#thm-b3-complete-extension)), ainda isométrica (a relação $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ vale num [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) de pares e ambos os membros são [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)). Do mesmo modo, $f^{-1}\colon f(D) \to X$ se estende a $G \colon Y \to X$. A composta $G \circ F$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e fixa o denso $D$: é $\mathrm{id}_X$ (parte (a)); simetricamente $F \circ G =
\mathrm{id}_Y$. Logo $F$ é uma bijeção isométrica. Unicidade dos completados: aplique isso a $D = X$ mergulhado densamente em dois completados.

**Exercício 7.6 ★★.**

Quais das famílias seguintes são [equicontínuas](#def-b3-complete-equicontinuous), pontualmente limitadas e relativamente compactas em $\mathcal C(\intcc01)$?

$$
\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad
\{x \mapsto x^n\}_n,
$$

$$
\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\
\norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad
\{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.
$$

Justifique cada resposta com Ascoli ou com uma sequência que sirva de contraexemplo.

**Solução de Exercício 7.6.**

$\{\sin(nx)\}$: pontualmente limitada por $1$; *não* [equicontínua](#def-b3-complete-equicontinuous): em $x = 0$, $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ com $\frac\pi{2n} \to 0$, violando qualquer $\delta$ comum para $\varepsilon = \frac12$. Não relativamente compacta (necessidade em Ascoli, [Teorema 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)).

$\{x^n\}$: limitada; não [equicontínua](#def-b3-complete-equicontinuous) em $1$: $1 - (1 -
\delta)^n \to 1$ quando $n \to \infty$ para $\delta$ fixo. Não relativamente compacta — coerentemente, seu limite pontual é descontínuo, de modo que nenhuma subsequência converge uniformemente.

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$: a desigualdade do valor médio torna a família $1$-lipschitziana, logo [equicontínua](#def-b3-complete-equicontinuous); limitada: relativamente compacta por Ascoli. (Não compacta: ela não é fechada — limites uniformes não precisam ser $\mathcal C^1$; seu [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) são as funções $1$-lipschitzianas de norma $\leq 1$.)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$: [equicontínua](#def-b3-complete-equicontinuous); pontualmente limitada ($\abs{f(x)} \leq x \leq 1$); e fechada por limites uniformes (a desigualdade de Lipschitz e o valor em $0$ passam ao limite): compacta.

**Exercício 7.7 ★★★.**

(Operadores integrais [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)) Sejam $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ e, para $f \in \mathcal C(\intcc01)$, $Tf(x) =
\int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$. (a) Mostre que $T$ leva a bola unitária de $\mathcal C(\intcc01)$ em um conjunto [equicontínuo](#def-b3-complete-equicontinuous) e uniformemente limitado; conclua que $T$ é um *operador [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)*: as imagens de conjuntos limitados são relativamente compactas. (b) Deduza que, se $(f_n)$ é limitada, $(Tf_n)$ tem subsequência uniformemente convergente, e que $T$ não pode ser uma bijeção de inversa [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). *(A imagem da bola unitária seria uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) compacta de $0$ em $\mathcal C(\intcc01)$: proibido pelo teorema de Riesz do segundo ano.)*

**Solução de Exercício 7.7.**

(a) Para $\norm f_\infty \leq 1$: $\abs{Tf(x)} \leq
\norm k_\infty$, e

$$
\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) -
k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),
$$

onde $\omega_k$ é um módulo de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme de $k$ no quadrado [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) (Heine): a imagem da bola unitária é uniformemente limitada e [equicontínua](#def-b3-complete-equicontinuous), logo relativamente compacta (Ascoli). Por linearidade, todo conjunto limitado tem imagem relativamente compacta: $T$ é um operador [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact).

(b) A afirmação sobre subsequências é a definição de [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) relativa aplicada a $\{Tf_n\}$. Se $T$ fosse bijetor com inverso [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), então $T(B(0,1)) \supseteq B(0,
\varepsilon)$ para algum $\varepsilon > 0$ ($T^{-1}$ [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $0$); a bola fechada $\bar B(0,\varepsilon)$, subconjunto fechado do [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\overline{T(B(0,1))}$, seria compacta — impossível no espaço de dimensão infinita $\mathcal
C(\intcc01)$ pelo teorema de Riesz (volume do segundo ano).

**Exercício 7.8 ★★.**

Demonstre ou refute, para $f_n \colon \intcc01 \to \R$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): (a) $f_n \downarrow 0$ pontualmente $\Rightarrow$ uniformemente (Dini — redemonstre-o); (b) o mesmo sem monotonicidade; (c) o mesmo com monotonicidade, mas com $f$ descontínua; (d) o mesmo com monotonicidade e limite [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), mas em $\intoo01$.

**Solução de Exercício 7.8.**

(a) Dini: veja o [Lema 7.13](#lem-b3-complete-dini) — o argumento de cobertura. (b) Falso: o pico móvel $f_n(x) = \max(0, 1 -
\abs{nx - 1})$ tende a $0$ pontualmente (para $x > 0$, $f_n(x) =
0$ assim que $n > 2/x$; $f_n(0) = 0$), mas $\norm{f_n}_\infty = 1$. (c) Falso: $f_n(x) = x^n$ decresce para a descontínua $\mathbf 1_{\{1\}}$; $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)}
x^n = 1$. (d) Falso: $x^n \downarrow 0$ pontualmente no não [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\intoo01$, com $\sup_{(0,1)}x^n = 1$. Cada hipótese de Dini é necessária.

**Exercício 7.9 ★★.**

(a) (Os momentos determinam) Seja $f \in \mathcal C(\intcc01)$ com $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ para todo $n \in \N$. Mostre que $f =
0$. *(Aproxime $f$ uniformemente por polinômios e calcule $\int f^2$.)* (b) Mostre que os polinômios pares são densos em $\mathcal
C(\intcc01)$ mas *não* em $\mathcal C(\intcc{-1}1)$; onde falha a hipótese de Stone–Weierstrass? (c) A álgebra gerada apenas por $x \mapsto \eu^{\iu x}$ (sem $\eu^{-\iu x}$) é densa em $\mathcal C(S^1, \C)$? *(Considere $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$.)*

**Solução de Exercício 7.9.**

(a) Por linearidade, $\int_0^1 fP = 0$ para todo polinômio $P$. Escolha $P_n \to f$ uniformemente ([Corolário 7.16](#cor-b3-complete-weierstrass)): $\int_0^1 f^2 =
\lim\int_0^1 fP_n = 0$, e a função [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $f^2 \geq 0$ de integral nula se anula identicamente.

(b) Em $\intcc01$: os polinômios em $x^2$ formam uma álgebra com as constantes, que separa pontos ($x \mapsto x^2$ é injetora em $\intcc01$): densa por Stone–Weierstrass. Em $\intcc{-1}1$: $x^2$ assume valores iguais em $\pm x$, e todo polinômio em $x^2$ também: um limite uniforme desses é uma função par. Se funções pares $g_n$ convergissem uniformemente para a identidade, então $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ para todo $x$: absurdo — não é densa. A hipótese de separação falha nos pares $\{x, -x\}$.

(c) Não. Para $f$ na álgebra $\mathcal A$ gerada pelas constantes e por $\eu^{\iu t}$ — combinações lineares de $\eu^{\iu nt}$, $n \geq 0$ —, tem-se $\Lambda(f) =
\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ (cada $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$). $\Lambda$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) para $\norm\cdot_\infty$ ($\abs{\Lambda(f)}\leq
2\pi\norm f_\infty$), de modo que $\Lambda$ se anula em $\bar{\mathcal
A}$; mas $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$: $\eu^{-\iu t}
\notin \bar{\mathcal A}$. (Stone–Weierstrass não se aplica: $\mathcal A$ não é estável por conjugação — e o obstáculo é precisamente o que a teoria das funções holomorfas sistematizará no [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/16-funcoes-holomorfas#ch-b3-holomorphic).)

**Exercício 7.10 ★★★.**

(Limitação uniforme, versão métrica) Sejam $X$ um [espaço métrico completo](#def-b3-complete-complete) e $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ uma família *pontualmente* limitada: $\sup_{f \in \mathcal
F}\abs{f(x)} < \infty$ para cada $x$. Mostre que existe um aberto não vazio $U \subseteq X$ no qual $\mathcal F$ é *uniformemente* limitada: $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$. *(Considere $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$.)* Este é o motor por trás de Banach–Steinhaus no [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais#ch-b3-banach).

**Solução de Exercício 7.10.**

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ é uma interseção de fechados: fechado. A limitação pontual dá $X = \bigcup_n F_n$. Baire ([Teorema 7.6](#thm-b3-complete-baire)) fornece $n_0$ com $U = \mathring F_{n_0} \neq \varnothing$: em $U$, $\abs f \leq n_0$ para toda $f \in \mathcal F$ simultaneamente.

**Exercício 7.11 ★★.**

($\mathcal C^1$ precisa de sua própria norma) Em $E = \mathcal
C^1(\intcc01, \R)$, considere $\norm f_{\mathcal C^1} = \norm
f_\infty + \norm{f'}_\infty$. (a) Mostre que $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ é [completo](#def-b3-complete-complete) *(uma sequência de Cauchy para $\mathcal C^1$ tem $f_n \to f$ e $f_n' \to g$ uniformemente; identifique $g = f'$ passando ao limite em $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$)*. (b) Mostre que $(E, \norm\cdot_\infty)$ *não* é [completo](#def-b3-complete-complete): exiba um limite uniforme de funções $\mathcal C^1$ que não é derivável (por exemplo, aproximações suaves de $\abs{x - \tfrac12}$). (c) Deduza de (a), (b) e do círculo de ideias da aplicação aberta — ou diretamente — que nenhuma constante $C$ satisfaz $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ em $E$: exiba uma sequência que o ateste. A derivação é ilimitada; esse é o precipício por trás do [Teorema 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).

**Solução de Exercício 7.11.**

(a) Uma sequência de Cauchy para $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ é uniformemente de Cauchy junto com suas derivadas: $f_n \to f$ e $f_n' \to g$ uniformemente, com $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). Passando ao limite (a convergência uniforme o permite sob o sinal de integral) em $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$, obtém-se $f(x) = f(0) + \int_0^xg$: $f$ é $\mathcal C^1$ com $f' = g$, e $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$. [Completo](#def-b3-complete-complete).

(b) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ é um limite uniforme de funções $\mathcal C^1$, por exemplo $h_n(x) = \sqrt{(x -
\frac12)^2 + \frac1n}$ ($\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ pela cota da quantidade conjugada), e, no entanto, $h \notin E$: a norma $\sup$ em $E$ não é [completa](#def-b3-complete-complete) — seu completado é $\mathcal C(\intcc01)$.

(c) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ tem $\norm{f_n}_\infty = 1$ e $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$: não existe $C$. (Conceitualmente: se a derivação fosse limitada para a norma do sup, as duas normas de (a)–(b) seriam equivalentes, tornando $(E, \norm\cdot_\infty)$ [completo](#def-b3-complete-complete) — contradizendo (b). Essa ilimitação é exatamente a razão pela qual funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) genéricas podem não ser deriváveis em ponto algum, [Teorema 7.9](#thm-b3-complete-nowherediff).)

**Exercício 7.12 ★★★.**

(Lema de Croft) Seja $f\colon\intoo0\infty\to\R$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e suponha que, para todo $x > 0$, $f(nx) \to 0$ quando o inteiro $n \to \infty$. Mostre que $f(t) \to 0$ quando $t \to
+\infty$. *(Fixe $\varepsilon > 0$; os conjuntos $$F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n
\geq N\}$$ são fechados e cobrem $\intoo0\infty$; Baire em algum intervalo $\intcc ab$ dá $N$ e um subintervalo $\intcc{a'}{b'}
\subseteq F_N$; então os dilatados $\bigl[na', nb'\bigr]$, $n
\geq N$, cobrem toda uma [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $+\infty$ assim que $n(b' - a') \geq a'$.)* Onde se usa a hipótese “para todo $x$” (e não apenas para $x$ racional)?

**Solução de Exercício 7.12.**

Fixe $\varepsilon > 0$. Cada $F_N$ é uma interseção, sobre $n
\geq N$, de pré-imagens do fechado $\intcc{-\varepsilon}
\varepsilon$ pela [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $x \mapsto f(nx)$: fechado. A hipótese diz que todo $x > 0$ está em algum $F_N$. Por Baire aplicado dentro do [completo](#def-b3-complete-complete) $\intcc ab$ (qualquer $0 < a <
b$), algum $F_N$ é denso num subintervalo; sendo fechado, ele contém um intervalo $\intcc{a'}{b'}$ com $0 < a' < b'$. Então, para todo $n \geq \max(N, \frac{a'}{b' - a'})$, os intervalos $\intcc{na'}{nb'}$ e $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ se sobrepõem ($nb' \geq (n+1)a'$), de modo que

$$
\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq
\intco{n_0a'}{+\infty},
$$

e todo $t \geq n_0a'$ é $t = nx$ com $n \geq N$, $x \in
\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$: $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$. Logo $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$ para todo $\varepsilon$: $f \to 0$. A hipótese [completa](#def-b3-complete-complete) é necessária porque $F_N$ precisa *cobrir* um intervalo inteiro de $x$ — só com $x$ racionais, a união dos $F_N$ é enumerável e Baire nada dá; e, de fato, há contraexemplos [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) que se anulam ao longo de todas as semirretas racionais, mas não no infinito.

## 7.6 Problema: o teorema de existência de Peano

**Problema 7.1.**

Problema de fim de semana — existência de soluções de $x' = f(t, x)$ sem Lipschitz

Cauchy–Lipschitz (segundo ano; redemonstrado no [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#ch-b3-ode)) exige $f$ lipschitziana em $x$. Peano (1890): *a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $f$ já garante a existência* — embora não a unicidade. Demonstramo-lo com poligonais de Euler e Ascoli. Cenário: $f \colon R
\to \R^d$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no retângulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0
+ a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$, $M =
\sup_R\norm f$, e

$$
T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr)
\qquad (\text{se } M = 0 \text{ o problema é trivial}).
$$

**Parte I — Poligonais de Euler.** Para $n \geq 1$, subdivida $[t_0, t_0 + T]$ por $t_k = t_0 + kT/n$ ($0 \leq k
\leq n$) e defina $\varphi_n$ de maneira afim por partes: $\varphi_n(t_0) = x_0$ e, em $[t_k, t_{k+1}]$,

$$
\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t -
t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).
$$

1. Mostre por indução que $\varphi_n$ está bem definida, com $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ em $[t_0, t_0 + T]$ — de modo que os pontos de avaliação permanecem em $R$ . *(É aqui que $T \leq b/M$ entra.)*
2. Mostre que cada $\varphi_n$ é $M$ -lipschitziana.
3. Deduza de Arzelà–Ascoli ( [Teorema 7.11](#thm-b3-complete-ascoli) ) que uma subsequência $(\varphi_{n_j})$ converge uniformemente em $[t_0, t_0 +  T]$ para alguma $\varphi$ , ela própria $M$ -lipschitziana e com $\varphi(t_0) = x_0$ .

**Parte II — O limite resolve a equação.** Defina o *defeito* $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) -
f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ nos pontos que não são da grade.

4. Mostre que $f$ é uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $R$ e deduza: para todo $\varepsilon > 0$ existe $n_0$ tal que, para $n \geq n_0$ e todo $t$ fora da grade, $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ . *(Em $(t_k,  t_{k+1})$, $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, e $(t, \varphi_n(t))$ está a distância no máximo $(1 + M)\,T/n$ de $(t_k, \varphi_n(t_k))$.)*
5. Estabeleça a forma integral: para todo $t$, $$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}  f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s +  \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$$ sendo o integrando do meio [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por partes.
6. Passe ao limite ao longo de $(n_j)$: mostre que $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ *uniformemente* ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme de $f$, de novo), e conclua $$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t  f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$$
7. Deduza que $\varphi$ é $\mathcal C^1$ em $[t_0, t_0 +  T]$ e resolve $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x_0$ ; estenda a construção a $[t_0 - T, t_0]$ (inversão do tempo). *Este é o teorema de Peano.*

**Parte III — A unicidade falha de verdade.** Considere $x' = 2\sqrt{\abs x}$, $x(0) = 0$, em $\R$.

8. Verifique que $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) mas não é lipschitziana em [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) alguma de $0$ .
9. Verifique que $x \equiv 0$ e, para todo $c \geq 0$, $$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t  \geq c,\end{cases}$$ são todas soluções por $(0,0)$: um [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de soluções distintas.
10. Onde exatamente a iteração de Picard (ponto fixo de Banach) se quebra para esse $f$ ?

**Parte IV — Limites do método.**

11. Mostre que o teorema de Peano falha em dimensão infinita: admitimos (ou você pode aceitar de boa-fé) o exemplo clássico de Dieudonné no espaço $c_0$ das sequências nulas; em vez disso, demonstre o ingrediente de dimensão finita que ali falha: a bola unitária fechada de $c_0$ (norma do supremo) não é compacta — exiba uma sequência limitada sem subsequência convergente e explique qual etapa da Parte I se quebra.
12. Resuma: que hipóteses dão existência? e existência mais unicidade? Enuncie com precisão os dois teoremas (Peano; Cauchy–Lipschitz) lado a lado.

**Parte V — Osgood: unicidade além de Lipschitz.** Seja $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), não decrescente, com

$$
\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty
\qquad(\text{divergência em } 0),
$$

e suponha que $f$ satisfaça $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq
\omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ em $R$.

13. Verifique que $\omega(r) = Lr$ serve (é lipschitziana), que $\omega(r) = r\log\frac1r$ (estendida por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) , para $r$ pequeno) serve, embora *não* seja $O(r)$ , e que $\omega(r) = 2\sqrt r$ não serve. Calcule a integral em cada caso.
14. Sejam $x_1, x_2$ soluções da equação em $[t_0, t_0 + T]$ com $x_1(t_0) = x_2(t_0)$, e ponha $\delta(t) =  \norm{x_1(t) - x_2(t)}$. Mostre, apenas a partir das formas integrais, que para $t_0 \leq s \leq t$: $$\delta(t) \leq \delta(s) +  \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$$
15. (Teorema de Osgood) Suponha $\delta(t_1) > 0$ para algum $t_1$, e seja $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) =  0\}$. Para $s \in \intoo\tau{t_1}$, ponha $u(t) = \delta(s)  + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$. Mostre que $\delta \leq  u$, $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$, e deduza $$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}  \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$$ Faça $s \downarrow \tau$ e obtenha uma contradição com a divergência da integral. Conclua: *soluções que passam por uma mesma condição inicial coincidem* — unicidade sob a condição de Osgood.
16. Tire as consequências: a unicidade de Cauchy–Lipschitz é o caso $\omega(r) = Lr$ ; a equação $x' =  x\log\frac1{\abs x}$ (estendida por $0$ em $0$ ) tem soluções únicas embora seu lado direito não seja lipschitziano em $0$ ; e, para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , a convergência de $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ é exatamente o que permite a uma solução deixar $0$ em tempo finito — compare o valor da integral $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ com o comportamento de fuga de $x_c$ .

**Parte VI — Taxas, esquemas, funis.**

17. (Lema integral de Grönwall) Seja $e, \eta \geq 0$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $[t_0, t_0+T]$ com $e(t) \leq \int_{t_0}  ^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ para todo $t$. Mostre que $$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} -  1\bigr)$$ *(ponha $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$, note que $G'  \leq LG + \sup\eta$ e derive $\eu^{-Lt}G(t)$)*.
18. (Euler converge com uma taxa) Suponha agora $f$ $L$-lipschitziana em $x$ e $L'$-lipschitziana em $t$ em $R$. Combinando a cota do defeito da questão 4 (tornada quantitativa: $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$) com a questão 17, demonstre $$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi}  \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot  \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$$ em que $\varphi$ é *a* solução: com dados lipschitzianos, a sequência inteira converge, com uma taxa explícita — sem precisar de subsequências. Por que a unicidade eleva a convergência de subsequências à convergência plena, mesmo sem esse cálculo?
19. (O esquema escolhe) Para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) =  0$ : mostre que toda poligonal de Euler é identicamente nula, de modo que o esquema converge para a solução $x \equiv 0$ ; mas, iniciado em $x(0) = \varepsilon > 0$ , ele converge (quando $n \to \infty$ e, em seguida, $\varepsilon \to 0$ ) para $t  \mapsto t^2$ , uma solução *diferente* pela origem. A não unicidade ressurge como sensibilidade do esquema numérico a perturbações.
20. Mostre que o conjunto $\mathcal S$ de *todas* as soluções de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ em $[t_0, t_0+T]$ (com valores em $\bar B(x_0, b)$ ) é não vazio (Parte II), uniformemente $M$ -lipschitziano e fechado em $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d),  \norm\cdot_\infty\bigr)$ ; conclua por Ascoli que $\mathcal S$ é *[compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact)* . (O teorema de Kneser acrescenta que $\mathcal S$ é [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) ; não o demonstraremos.)
21. Verifique o fenômeno de Kneser no exemplo: para $x' =  2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , em $[0, 1]$ , mostre que $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ com $x_\infty \equiv 0$ *(para uma solução qualquer, ponha $c =  \sup\{t : x(t) = 0\}$ e integre $(\sqrt x)' = 1$ em $\{x > 0\}$)* , que $c \mapsto x_c$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $\intcc0\infty$ ( [compactificação por um ponto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-locallycompact) , isto é, com $c = \infty$ colado como limite) em $\mathcal C([0,1])$ , e conclua que $\mathcal S$ é de fato [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) — um funil em forma de segmento.
22. (Conjuntos atingíveis) Deduza da questão 20 que, para cada $t$ fixado, o *conjunto atingível* $\mathcal S(t) =  \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) ; calcule-o para o exemplo da questão 21 e verifique que ele é também [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) : $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — todo estado intermediário é atingido por alguma solução.

**Parte VII — Complementos: dependência, otimalidade e um esquema calculado à mão.**

23. (Dependência [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)) Suponha $f$ $L$-lipschitziana em $x$ em $R$ e sejam $x, y$ duas soluções com valores iniciais $x_0, y_0$ em $t_0$. Adaptando a demonstração da questão 17 à desigualdade $e(t) \leq \norm{x_0  - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$, mostre que $$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\,  \eu^{L(t - t_0)},$$ e verifique em $x' = Lx$ que a cota é atingida: Grönwall é ótimo. Deduza de novo a unicidade ($x_0 =  y_0$) e que a aplicação de fluxo $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ é lipschitziana, de constante $\eu^{LT}$, onde quer que esteja definida.
24. (Osgood é ótimo) Reciprocamente, seja $\omega$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), não decrescente, positiva em $\intoo0\infty$, com $\omega(r) \to 0$ quando $r \to 0^+$, mas $$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$$ e estenda $f(x) = \omega(\abs x)$ por $f(0) = 0$. Mostre que $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ é uma bijeção crescente de $\intoc0{1}$ sobre $\intoc0{\Omega(1)}$, que sua inversa $g$ resolve $g'  = \omega(g)$ com $g(0^+) = 0$, e que $g$, estendida por $0$ para $t \leq 0$, é uma solução $\mathcal C^1$ de $x' = f(x)$ por $(0, 0)$ distinta de $x \equiv  0$ *(para $g'(0) = 0$, limite $\frac{g(t)}t$ por $\omega(g(t))$)*. Conclua: a hipótese de divergência da questão 15 não é uma comodidade, mas a fronteira exata da unicidade; recupere a Parte III a partir de $\omega(r) = 2\sqrt r$, $\Omega(x) = \sqrt x$.
25. (Euler calculado à mão) Para $x' = x$, $x(0) = 1$ em $[0, 1]$: mostre que a poligonal de Euler satisfaz $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$. Demonstre a expansão $$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}  = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr)  \Bigr),$$ de modo que o erro em $t = 1$ é $\frac{\eu}{2n} +  O(n^{-2})$: a taxa $O(\frac1n)$ da questão 18, com a constante exata. Confira numericamente para $n = 10$: $1.1^{10} = 2.59374$ contra $\eu \approx 2.71828$, um erro $0.12454$ a comparar com $\frac{\eu}{20}  \approx 0.13591$.

**Solução de Problema 7.1.**

**1.** Indução sobre $k$: se $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0}
\leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$, o ponto $(t_k,
\varphi_n(t_k))$ está em $R$, de modo que a inclinação $f(t_k,
\varphi_n(t_k))$ está definida, de norma $\leq M$; então, para $t \in
[t_k, t_{k+1}]$, $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq
\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq
MT \leq b$.

**2.** Cada peça afim tem inclinação de norma $\leq M$; uma função afim por partes com inclinações limitadas por $M$ é $M$-lipschitziana (encadeie pelos pontos da malha).

**3.** A família $(\varphi_n)$ é pontualmente limitada (valores em $\bar B(x_0, b)$) e [equicontínua](#def-b3-complete-equicontinuous) (constante de Lipschitz comum $M$): Ascoli ([Teorema 7.11](#thm-b3-complete-ascoli)) extrai $\varphi_{n_j} \to
\varphi$ uniformemente em $[t_0, t_0 + T]$. As cotas passam ao limite: $\varphi$ é $M$-lipschitziana, $\varphi(t_0) = x_0$.

**4.** $R$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): uniformemente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (Heine, [Corolário 6.17](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#cor-b3-topology-heineborel)); seja $\delta(\varepsilon)$ um módulo. Para $t \in (t_k,
t_{k+1})$ fora da malha: $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$, e os dois pontos de avaliação de $f$ diferem de $\abs{t - t_k} \leq T/n$ no tempo e de $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ no espaço. Para $n \geq n_0$ com $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$: $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$.

**5.** Em cada $[t_k, t_{k+1}]$, $\varphi_n$ é afim, de modo que $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}}
\varphi_n'(s)\dd s$, sendo a derivada a inclinação constante; somando sobre as peças (e cortando a última em $t$): $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$. Escrevendo $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ (integrandos [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por partes, com finitos saltos), obtém-se a fórmula em destaque.

**6.** Dado $\varepsilon$: para $j$ grande, $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$, de modo que $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq
\varepsilon$ para todo $s$: convergência uniforme dos integrandos, e $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to
\int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$ uniformemente em $t$. Além disso, $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}}
\to 0$ (questão 4). Passando ao limite na identidade da questão 5: $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s,
\varphi(s))\,\dd s$.

**7.** O integrando $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), de modo que o membro direito é $\mathcal C^1$ em $t$, com derivada $f(t, \varphi(t))$: $\varphi$ resolve o problema de Cauchy em $[t_0, t_0 + T]$. Para a metade esquerda, ponha $g(t, x) =
-f(2t_0 - t, x)$, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) no retângulo refletido com a mesma cota $M$; uma solução $\psi$ de $y' = g(t,y)$, $y(t_0) = x_0$ em $[t_0, t_0 + T]$ fornece $\varphi(t) =
\psi(2t_0 - t)$, que resolve a equação original em $[t_0 - T,
t_0]$; as duas metades se colam numa solução $\mathcal C^1$ (as duas derivadas laterais em $t_0$ valem $f(t_0, x_0)$). — *Teorema de Peano*: uma $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) admite uma solução local por toda condição inicial.

**8.** A [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) é clara. A condição de Lipschitz perto de $0$ falha: $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$, e $2\sqrt h \leq L h$ é falso para $h < 4/L^2$.

**9.** Para $t \leq c$: $x_c \equiv 0$ resolve. Para $t \geq
c$: $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$. Em $t = c$, as duas derivadas laterais valem $0$: $x_c$ é $\mathcal C^1$ e resolve globalmente, com $x_c(0) = 0$ para todo $c \geq 0$ — junto com $x \equiv 0$, um [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de soluções pela origem.

**10.** A iteração de Picard monta $\Phi(x)(t) = x_0 +
\int_0^t f(x(s))\dd s$ e precisa de $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}
\leq k\norm{x - y}$ com $k < 1$ numa bola adequada — o que decorre de uma cota de Lipschitz sobre $f$, transferida para debaixo da integral. Aqui $\sqrt\cdot$ não admite cota de Lipschitz perto de $0$, e nenhuma escolha de intervalo ou de bola conserta isso. E, de fato, nenhuma demonstração de unicidade poderia ter êxito: a unicidade é *falsa* (questão 9).

**11.** Em $c_0$, os vetores unitários $e_n = (0, \dots, 0, 1,
0, \dots)$ satisfazem $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ para $n \neq
m$: nenhuma subsequência é de Cauchy, de modo que a bola unitária fechada não é compacta. O passo que se quebra é a extração (questão 3): Ascoli para $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ exige que os valores vivam num espaço em que os limitados sejam relativamente [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) — verdade em $\R^d$ (Bolzano–Weierstrass), falso em $c_0$; a extração pontual deixa de estar disponível (de fato, o exemplo de Dieudonné não tem solução local alguma).

**12.** *Peano*: $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) numa [vizinhança](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) de $(t_0, x_0)$ em $\R\times\R^d$ $\Rightarrow$ existe uma solução $\mathcal C^1$ de $x' = f(t,x)$, $x(t_0) = x_0$, em algum $[t_0 - T, t_0 + T]$. *Cauchy–Lipschitz* ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/19-equacoes-diferenciais-ordinarias#ch-b3-ode)): se, além disso, $f$ é localmente lipschitziana na variável $x$, a solução é *única* (duas quaisquer coincidem em seu intervalo comum) — existência e unicidade. O par $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ separa os dois teoremas.

**13.** $\omega(r) = Lr$: $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} =
+\infty$: serve. $\omega(r) = r\log\frac1r$ (perto de $0$): $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr]
\to +\infty$ quando $r \to 0$: serve — e, no entanto, $\omega(r)/r =
\log\frac1r \to \infty$: não lipschitziana. $\omega(r) = 2\sqrt
r$: $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \bigl[\sqrt r\bigr]_0^1
= 1 < \infty$: falha.

**14.** Subtraia as duas formas integrais:

$$
x_1(t) - x_2(t) = x_1(s) - x_2(s) + \int_s^t\bigl(f(v,
x_1(v)) - f(v, x_2(v))\bigr)\dd v,
$$

tome normas e use o módulo de Osgood: $\delta(t) \leq
\delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$.

**15.** $\tau$ está bem definido ($\delta(t_0) = 0$), com $\delta(\tau) = 0$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)) e $\delta > 0$ em $\intoc\tau{t_1}$. Fixe $s \in \intoo\tau{t_1}$. Então $u$ é $\mathcal C^1$, $u(s) = \delta(s) > 0$, $u \geq \delta$ em $[s, t_1]$ (questão 14), e $u' = \omega(\delta) \leq
\omega(u)$ ($\omega$ não decrescente, $u > 0$). Divida e integre:

$$
\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}
= \int_s^{t_1}\frac{u'(v)}{\omega(u(v))}\,\dd v \leq t_1 - s
\leq t_1 - \tau .
$$

Embora $u$ dependa de $s$, a cota $u(t_1) \geq
\delta(t_1)$ vale para todo $s$, de modo que o membro esquerdo é pelo menos $\int_{\delta(s)}^{\delta(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}$, que tende a $+\infty$ quando $s \downarrow \tau$ (então $\delta(s) \to \delta(\tau) = 0$, e a integral diverge em $0$): o membro direito, limitado, é contradito. Logo $\delta \equiv 0$: unicidade.

**16.** Lipschitz é $\omega = Lr$: unicidade recuperada. Para $x' = x\log\frac1{\abs x}$: o membro direito satisfaz o módulo de Osgood $\omega(r) = r\log\frac1r$ perto de $0$ (desigualdade do valor médio em $x \mapsto x\log\frac1x$, cuja derivada $\log\frac1x - 1$ é ilimitada — Lipschitz falha, Osgood vale): soluções únicas; note que $x \equiv 0$ é uma delas, de modo que nenhuma outra solução pode tocar $0$. Para $\omega(r) = 2\sqrt r$: $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — o “orçamento de Osgood” para subir de $0$ até a altura $h^2$ é exatamente o tempo $h$ e, de fato, $x_c(c + h) = h^2$: a solução gasta o tempo $h$ fazendo precisamente o que a integral convergente permite. A divergência da integral é a impossibilidade de deixar $0$ em tempo finito; a convergência é a rota de fuga.

**17.** $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ é $\mathcal C^1$ com $G' = Le + \eta \leq LG + \sup\eta$ (hipótese $e \leq G$). Então $\bigl(\eu^{-Lt}(G +
\tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' = \eu^{-Lt}(G' - LG - \sup\eta)
\leq 0$: o colchete decresce, de modo que $G(t) + \frac{\sup\eta}L
\leq \eu^{L(t - t_0)}\bigl(G(t_0) + \frac{\sup\eta}L\bigr) =
\eu^{L(t-t_0)}\frac{\sup\eta}L$, isto é, $e(t) \leq G(t) \leq
\frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$.

**18.** Defeito quantitativo: em $(t_k, t_{k+1})$, $\Delta_n(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k)) - f(t, \varphi_n(t))$ com $\abs{t - t_k} \leq T/n$ e $\norm{\varphi_n(t) -
\varphi_n(t_k)} \leq MT/n$, de modo que $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n +
LMT/n$. Subtraindo as identidades integrais de $\varphi_n$ (questão 5) e de $\varphi$ e usando a cota de Lipschitz:

$$
\norm{\varphi_n(t) - \varphi(t)} \leq
\int_{t_0}^t L\,\norm{\varphi_n - \varphi}(s)\,\dd s +
\int_{t_0}^t\norm{\Delta_n(s)}\,\dd s,
$$

e a questão 17 com $\eta = \norm{\Delta_n}$ dá a cota $O(1/n)$ enunciada, sendo $\varphi$ única por Cauchy–Lipschitz (ou Osgood). Mesmo sem velocidades: toda subsequência das $(\varphi_n)$, equilimitadas e equilipschitzianas, tem uma sub-subsequência que converge (Ascoli + Parte II) para *uma* solução, que a unicidade obriga a ser $\varphi$: uma sequência cujas subsequências têm todas sub-subsequências de mesmo limite converge.

**19.** De $\varphi_n(t_k) = 0$: a inclinação $2\sqrt0 =
0$ dá $\varphi_n(t_{k+1}) = 0$; indução: $\varphi_n
\equiv 0$, convergindo para a solução nula. De $\varepsilon > 0$: em $[\varepsilon', \infty)$ com $\varepsilon' < \varepsilon$, a função $2\sqrt x$ é lipschitziana, de modo que a questão 18 se aplica e Euler converge para a única solução por $(0, \varepsilon)$, a saber $x(t) =
(t + \sqrt\varepsilon)^2$ (verifique: $x' = 2(t + \sqrt
\varepsilon) = 2\sqrt x$). Quando $\varepsilon \to 0$, $(t +
\sqrt\varepsilon)^2 \to t^2$ uniformemente em $[0,1]$: o limite duplo cai em $x_0(t) = t^2$, não em $0$. Uma perturbação arbitrariamente pequena do dado inicial redireciona o esquema de uma solução para outra: a não unicidade lida como instabilidade numérica.

**20.** Não vazio: Parte II. Toda solução satisfaz $\norm{x'} = \norm{f(t, x)} \leq M$: $\mathcal S$ é uniformemente $M$-lipschitziana e uniformemente limitada (valores em $\bar B(x_0, b)$). Fechado: se $x_n \in \mathcal S \to x$ uniformemente, passe ao limite em $x_n(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x_n(s))\dd s$ (os integrandos convergem uniformemente pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme de $f$ no [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $R$): $x \in \mathcal S$. Ascoli: $\mathcal S$ é um subconjunto fechado, limitado e [equicontínuo](#def-b3-complete-equicontinuous) de $\mathcal C([t_0, t_0+T],
\R^d)$: [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact).

**21.** Toda solução é não decrescente ($x' = 2\sqrt{\abs
x} \geq 0$) com $x(0) = 0$, logo $x \geq 0$. Seja $c =
\sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}$ (possivelmente $c = \infty$ se $x \equiv 0$, caso em que $x = x_\infty$). Para $t > c$: $x
> 0$ (monotonicidade mais a definição de $c$), e ali $(\sqrt
x)' = \frac{x'}{2\sqrt x} = 1$, de modo que $\sqrt{x(t)} = t - c$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $c$): $x = x_c$. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $c \mapsto
x_c$: para $c, c' \in [0, 1]$, $\sup_{[0,1]}\abs{(t - c)_+^2 -
(t - c')_+^2} \leq 2\abs{c - c'}$ (a aplicação $c \mapsto
(t-c)_+^2$ é $2$-lipschitziana uniformemente em $t \in [0,1]$) e, como $x_c \equiv 0$ em $[0,1]$ para todo $c \geq 1$, a família se reduz a $\mathcal S = \{x_c : c \in [0,1]\}$ (com $x_1 = 0 = x_\infty$). Logo $\mathcal S$ é a imagem do [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected) $[0,1]$ pela [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $c
\mapsto x_c$: [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) e [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected). O funil de soluções é um segmento [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) que vai de $t^2$ (fuga imediata) até $0$ (repouso eterno).

**22.** A avaliação $\operatorname{ev}_t\colon
\mathcal C([0,1]) \to \R$, $x \mapsto x(t)$, é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ($\abs{x(t) - y(t)} \leq \norm{x - y}_\infty$), de modo que $\mathcal
S(t) = \operatorname{ev}_t(\mathcal S)$ é imagem [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact): [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) — e de um [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected): [conexo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-connected). Para o exemplo: $x_c(t) = (t - c)_+^2$ varre, quando $c$ percorre $[0, 1]$, todos os valores de $t^2$ (em $c = 0$) até $0$ (em $c \geq t$), [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $\mathcal S(t) =
\intcc0{t^2}$. Em cada instante, a seção transversal do funil é um segmento inteiro: entre o repouso e a fuga máxima, todo compromisso é realizado por uma solução efetiva.

**23.** Subtraindo as formas integrais $x(t) = x_0 +
\int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ e sua análoga para $y$, e pondo $e(t) = \norm{x(t) - y(t)}$, $d = \norm{x_0 - y_0}$:

$$
e(t) \leq d + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s = G(t).
$$

Então $G(t_0) = d$ e $G' = Le \leq LG$, de modo que $\bigl(\eu^{-L(t
- t_0)}G\bigr)' \leq 0$ e $G(t) \leq d\,\eu^{L(t - t_0)}$; logo $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$. Otimalidade: para $x' =
Lx$, as soluções por $x_0$ e $y_0$ são $x_0\eu^{L(t -
t_0)}$ e $y_0\eu^{L(t-t_0)}$, cuja distância é exatamente $d\,\eu^{L(t-t_0)}$. Com $d = 0$, $e \equiv 0$: a unicidade de Cauchy–Lipschitz, reobtida em duas linhas. E, para $t \in [t_0, t_0 + T]$ fixo, $\norm{x(t; x_0) - x(t;
y_0)} \leq \eu^{LT}\norm{x_0 - y_0}$: o fluxo é lipschitziano na condição inicial — dependência determinística, a um preço exponencial controlado.

**24.** Em $\intoc01$, $\Omega$ está bem definida (a integral converge em $0$ por hipótese), $\mathcal C^1$ com $\Omega' = \frac1\omega > 0$: uma bijeção crescente sobre $\intoc0{\Omega(1)}$, com $\Omega(x) \to 0$ quando $x \to 0^+$. Sua inversa $g \colon \intoc0{\Omega(1)} \to \intoc01$ é $\mathcal C^1$ com

$$
g'(t) = \frac1{\Omega'(g(t))} = \omega\bigl(g(t)\bigr) > 0,
\qquad g(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 .
$$

Estenda $g$ por $0$ em $t \leq 0$: a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) é clara e, em $t = 0$, para $t > 0$,

$$
\frac{g(t)}t = \frac1t\int_0^tg'(s)\dd s
= \frac1t\int_0^t\omega\bigl(g(s)\bigr)\dd s
\leq \omega\bigl(g(t)\bigr) \xrightarrow[t\to0^+]{} 0
$$

($\omega$ não decrescente, $g$ crescente, $\omega(0^+) = 0$): $g'(0) = 0 = f(g(0))$, e $g' = f(g)$ vale dos dois lados de $0$. Logo $x \equiv 0$ e $g$ são duas soluções $\mathcal
C^1$ distintas por $(0, 0)$: quando $\int_0\frac{\dd r}
{\omega(r)}$ converge, a unicidade falha — a divergência da questão 15 é exatamente a fronteira. Para $\omega(r) = 2\sqrt
r$: $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \sqrt x$, $g(t) = t^2$, e as translações no tempo dão toda a família $x_c$ da Parte III.

**25.** Com passo $h = \frac1n$: $\varphi_n(t_{k+1}) =
\varphi_n(t_k) + h\,\varphi_n(t_k) = (1 + h)\varphi_n(t_k)$, de modo que $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$ após $n$ passos. Desenvolvimento:

$$
n\log\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)
= n\Bigl(\frac1n - \frac1{2n^2} + O\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr)
\Bigr) = 1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),
$$

e, exponenciando, $(1 + \frac1n)^n = \eu\,\eu^{-1/(2n) +
O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})\bigr)$. O erro em $t = 1$ é, portanto, $\eu - \varphi_n(1) =
\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$: o $O(\frac1n)$ da questão 18, aqui com sua constante exata $\frac\eu2$. Numericamente, $n =
10$: $1.1^{10} = 2.5937424601$ ($1.1^2 = 1.21$, $1.1^4 =
1.4641$, $1.1^8 = 2.14358881$, vezes $1.21$), e $\eu -
2.59374 \approx 0.12454$, contra a previsão assintótica $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$: acordo a menos da correção $O(n^{-2})$, cujo termo dominante aqui rebaixa a previsão em direção ao valor observado.