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title: "Espaços de Banach e os teoremas fundamentais"
book: "Matemática universitária — Graduação 3"
subject: math
language: pt
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/8-espacos-de-banach-e-os-teoremas-fundamentais
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# Capítulo 8 — Espaços de Banach e os teoremas fundamentais

A análise funcional estuda os espaços normados de dimensão infinita por meio dos operadores e funcionais que vivem sobre eles. Sua descoberta fundadora é que a *[completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete)*, via o teorema de Baire, impõe fortes uniformidades: famílias de operadores pontualmente limitadas são limitadas em norma (Banach–Steinhaus), bijeções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) têm inversas [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (aplicação aberta) e os gráficos detectam a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (gráfico fechado). O outro pilar, *Hahn–Banach*, não exige [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) alguma — apenas o lema de Zorn — e garante que os [espaços duais](#def-b3-banach-operator) sejam ricos o bastante para enxergar todo vetor. Este capítulo demonstra os quatro teoremas e os testa nos espaços clássicos de sequências $\ell^p$, em cálculos concretos de duais e em uma aplicação genuinamente surpreendente: existem funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periódicas cuja série de Fourier *diverge* em um ponto — resolvendo negativamente uma questão que o segundo ano deixou em aberto.

Ao longo de todo o capítulo, $E, F$ são espaços normados sobre $K = \R$ ou $\C$; *espaço de Banach* significa espaço normado [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete).

## 8.1 Operadores limitados; espaços de sequências

**Definição 8.1.**

$\mathcal L(E, F)$ denota o espaço das aplicações lineares *limitadas* (= [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), segundo ano) com a *norma de operador* $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq
1}\norm{Tx}$; ela é submultiplicativa: $\vertiii{ST} \leq
\vertiii S\,\vertiii T$. O *dual* é $E' = \mathcal L(E, K)$.

**Proposição 8.2.**

Se $F$ é um espaço de Banach, $\mathcal L(E, F)$ também é; em particular, $E'$ é sempre um espaço de Banach.

**Demonstração.** Seja $(T_n)$ de Cauchy para $\vertiii\cdot$. Para cada $x$, $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$: $(T_nx)$ é de Cauchy em $F$ e, portanto, convergente; chame o limite de $Tx$. $T$ é linear (limites de identidades lineares); passando ao limite em $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ($n, m \geq N$) obtém-se $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$: $T_n \to T$ em [norma de operador](#def-b3-banach-operator), e $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} +
\varepsilon < \infty$. ∎

**Definição 8.3.**

Os espaços clássicos de sequências (sobre $K$, indexados por $\N$):

$$
\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n
\abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p <
\infty),
$$

$$
\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},
$$

e $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ com $\norm\cdot_\infty$. Que $\norm\cdot_p$ é uma norma decorre da desigualdade de Minkowski, demonstrada no caso discreto exatamente como no [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#ch-b3-lp) (ou somando a desigualdade em dimensão finita do segundo ano). Todos são espaços de Banach, e $c_0$ é um subespaço fechado de $\ell^\infty$ ([Exercício 8.3](#exo-b3-banach-3)).

![Bolas unitárias das normas p no plano, encaixadas à medida que p cresce de 1 (losango), passando por 2 (disco) e 4 (superelipse), até ∈fty (quadrado). A convexidade de cada bola é a desigualdade de Minkowski; os cantos em p = 1 e p = ∈fty são onde a convexidade estrita, a unicidade das melhores aproximações e os casos de igualdade do degeneram todos de uma só vez.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-banach/fig-ab47c70fb946.svg)

*Bolas unitárias das normas $p$ no plano, encaixadas à medida que $p$ cresce de $1$ (losango), passando por $2$ (disco) e $4$ (superelipse), até $\infty$ (quadrado). A convexidade de cada bola *é* a desigualdade de Minkowski; os cantos em $p = 1$ e $p = \infty$ são onde a convexidade estrita, a unicidade das melhores aproximações e os casos de igualdade do [Exercício 12.12](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/12-os-espacos-lp#exo-b3-lp-12) degeneram todos de uma só vez.*

**Proposição 8.4 (Série de Neumann).**

Sejam $E$ de Banach e $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ com $\vertiii T < 1$. Então $I - T$ é inversível em $\mathcal
L(E)$, com $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergente em [norma de operador](#def-b3-banach-operator)). Consequentemente, o conjunto dos operadores inversíveis é aberto, e a inversão é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) nele.

**Demonstração.** A série converge absolutamente ($\vertiii{T^n} \leq \vertiii
T^n$, geométrica) no espaço de Banach $\mathcal L(E)$ ([Proposição 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete); [Exercício 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)). Telescopando, $(I - T)\sum_{n \leq
N}T^n = I - T^{N+1} \to I$, e analogamente do outro lado. Quanto à abertura: se $S$ é inversível e $\vertiii{H} <
1/\vertiii{S^{-1}}$, então $S + H = S(I + S^{-1}H)$ com $\vertiii{S^{-1}H} < 1$: inversível. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) da inversão: a expressão em série dá $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} =
O(\vertiii H)$ localmente. ∎

**Exemplo 8.5 (Uma equação de Volterra, resolvida por Neumann).**

Em $E = \mathcal C(\intcc01)$, considere a equação integral

$$
u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t,
\qquad\text{isto é}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu,
\quad (Tu)(x) = \int_0^xu .
$$

Aqui $\vertiii T \leq 1$, de modo que, para $\abs\lambda < 1$, a [série de Neumann](#prop-b3-banach-neumann) se aplica diretamente: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 =
\sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$. Calculando, $T^n\mathbf 1 =
\frac{x^n}{n!}$, logo

$$
u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} =
\eu^{\lambda x} ,
$$

como a derivação confirma. Melhor ainda: $\vertiii{T^n} \leq
\frac1{n!}$ (o núcleo iterado encolhe fatorialmente), de modo que $\sum\lambda^nT^n$ converge para *todo* $\lambda$ — o operador $I - \lambda T$ é inversível para todo $\lambda
\in \C$, ainda que $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ acabe ocorrendo: o que importa é o decaimento espectral das potências, não a primeira norma. Os operadores de Volterra trazem esse decaimento fatorial embutido ([Exercício 7.4](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-4)(a) explorou exatamente isso), e é por isso que os problemas de valor inicial nunca sofrem os fenômenos de ressonância dos problemas de valores de contorno ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/15-operadores-compactos-e-o-teorema-espectral#ch-b3-spectral)).

## 8.2 Hahn–Banach

**Teorema 8.6 (Hahn–Banach, forma analítica).**

Sejam $E$ um espaço vetorial *real*, $p \colon E \to \R$ *sublinear* ($p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ e $p(tx) =
tp(x)$ para $t \geq 0$), $F \subseteq E$ um subespaço e $f
\colon F \to \R$ linear com $f \leq p$ em $F$. Então $f$ se estende a uma aplicação linear $\tilde f \colon E \to \R$ com $\tilde f \leq p$ em $E$.

**Demonstração.** *Extensão de um passo.* Seja $x_0 \notin F$; estendemos $f$ a $F \oplus \R x_0$ escolhendo $\alpha = \tilde f(x_0)$ corretamente: precisamos que, para todos $y \in F$ e $t > 0$,

$$
f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0)
\quad\text{e}\quad
f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),
$$

o que, após dividir por $t$ (sublinearidade), se reduz a

$$
\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr]
\;\leq\; \alpha \;\leq\;
\inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].
$$

Um tal $\alpha$ existe se, e somente se, todo membro esquerdo é $\leq$ a todo membro direito: com efeito, $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq
p(u + x_0) + p(v - x_0)$, isto é, $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u +
x_0) - f(u)$.

*Zorn.* Ordene por extensão as extensões de $f$ dominadas por $p$ (pares: subespaço, funcional); uma cadeia tem a reunião por cota superior; um elemento maximal tem de estar definido em todo $E$, pois do contrário a extensão de um passo contradiria a maximalidade. ∎

**Corolário 8.7.**

Seja $E$ um espaço normado ($K = \R$ ou $\C$).

1. Todo $f \in F'$ (com $F$ subespaço) se estende a $\tilde f  \in E'$ com $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
2. Para todo $x \neq 0$ existe $f \in E'$ com $\norm f  = 1$ e $f(x) = \norm x$ . Em particular, $E'$ separa os pontos de $E$ , e $\norm x = \sup_{\norm f \leq  1}\abs{f(x)}$ .
3. Para um subespaço fechado $F$ e $x \notin F$ , existe $f  \in E'$ que se anula em $F$ , com $f(x) = d(x, F)$ e $\norm f \leq 1$ .

**Demonstração.** (1) Caso real: aplique o [Teorema 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach) com $p(x)
= \norm f_{F'}\,\norm x$ (sublinear); a extensão satisfaz $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$, logo $\norm{\tilde f} \leq \norm f$, e $\geq$ vem da restrição. Caso complexo: ponha $u = \operatorname{Re}f$, um funcional real com $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$; note que $f(x) = u(x) -
\iu\,u(\iu x)$ (verifique nas partes real e imaginária: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$). Estenda $u$ de maneira real-linear com a mesma cota e ponha $\tilde f(x) =
\tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$: é $\C$-linear (verificação direta na multiplicação por $\iu$) e estende $f$; quanto à norma, para $x$ dado escreva $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$, e então $\abs{\tilde f(x)}
= \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x)
\leq \norm f\,\norm x$.

(2) Em $F = Kx$, defina $f(tx) = t\norm x$: de norma $1$ em $F$; estenda por (1). A fórmula de dualidade: $\leq$ é claro, e $\geq$ vem desse $f$.

(3) Em $F \oplus Kx$, defina $f(y + tx) = t\,d(x, F)$; então, para $t \neq 0$, $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs
t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$: $\norm f \leq 1$ no subespaço; estenda por (1). ∎

**Observação 8.8.**

Por (2), a aplicação canônica $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) =
f(x)$, é uma isometria ([Exercício 8.10](#exo-b3-banach-10)): todo espaço normado se aloja dentro de seu bidual. Os espaços com $J$ sobrejetora são chamados *reflexivos*; o problema de fim de semana mostra que $\ell^p$ ($1 < p < \infty$) é [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual), ao passo que $\ell^1$ não é.

## 8.3 A trilogia de Baire

**Teorema 8.9 (Banach–Steinhaus, limitação uniforme).**

Sejam $E$ um espaço *de Banach*, $F$ normado e $(T_i)_{i\in
I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ uma família com $\sup_i
\norm{T_ix} < \infty$ para todo $x \in E$. Então $\sup_i
\vertiii{T_i} < \infty$.

**Demonstração.** Os conjuntos $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ são fechados (interseções de pré-imagens de bolas fechadas) e cobrem $E$. Baire ([Teorema 7.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) dá $n_0$ e uma bola $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$. Para $\norm z < r$: $\norm{T_iz}
\leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$, logo $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ para todo $i$. ∎

**Corolário 8.10.**

Se $E$ é de Banach e $T_n \in \mathcal L(E,F)$ convergem *pontualmente* ($T_nx \to Tx$ para cada $x$), então $\sup_n
\vertiii{T_n} < \infty$, $T \in \mathcal L(E, F)$, e $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$.

**Demonstração.** Sequências convergentes são limitadas: eis a limitação pontual; Banach–Steinhaus limita as normas por algum $M$; então $\norm{Tx}
= \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ($T$ é linear por ser limite pontual), e a cota mais fina segue passando a $\liminf$ em $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$. ∎

**Teorema 8.11 (Séries de Fourier divergentes).**

Existem funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $2\pi$-periódicas $f$ cuja série de Fourier diverge em $0$: $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} =
\infty$. Mais ainda, tais $f$ formam um subconjunto denso de $\mathcal
C(S^1)$.

**Demonstração.** Trabalhamos em $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$, um espaço de Banach, com os funcionais $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) =
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (núcleo de Dirichlet, segundo ano). Cada $\Lambda_N$ é [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), com

$$
\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd
t \;=\; L_N .
$$

($\leq$ é claro; $\geq$: tome $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), $\norm f_\infty
\leq 1$, aproximando $\operatorname{sign}D_N$ — o sinal tem um número finito de saltos; suavizar cada salto em um intervalo de comprimento $\varepsilon$ altera a integral de $O(N\varepsilon)$.) As *constantes de Lebesgue* $L_N$ tendem ao infinito:

$$
L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}}
\,\dd t
\geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}
\frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t
= \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin
u}}{u}\,\dd u
$$

(usando $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ em $[0, \pi]$ e substituindo em seguida $u = (N + \tfrac12)t$). Cortando em arcos:

$$
\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u
\geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u =
\frac{2}{k\pi},
\qquad\text{logo}\qquad
L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k
\xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .
$$

Se toda $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) tivesse $\sup_N
\abs{\Lambda_N(f)} < \infty$, Banach–Steinhaus forçaria $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$: contradição. Logo alguma $f$ — de fato, um conjunto não [magro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) e denso de $f$ (o complementar de $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$, uma reunião enumerável de fechados que, não tendo [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) pelo que precede aplicado em qualquer bola, é magra) — satisfaz $\sup_N\abs{S_Nf(0)} =
\infty$. ∎

**Teorema 8.12 (Aplicação aberta).**

Sejam $E, F$ espaços de Banach e $T \in \mathcal L(E, F)$ *sobrejetora*. Então $T$ é aberta: $T(B_E(0,1)) \supseteq
B_F(0, c)$ para algum $c > 0$. Consequentemente, um operador limitado bijetor entre espaços de Banach tem inversa limitada.

**Demonstração.** Escreva $B = B_E(0,1)$. A sobrejetividade dá $F = \bigcup_n
\overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$; Baire ([Teorema 7.6](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-baire)) dá [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) a $\overline{T(B)}$: algum $B_F(y_0, 4c) \subseteq
\overline{T(B)}$. Recentrando em $0$: para $\norm y < 4c$, tanto $y_0 + y$ quanto $y_0$ são limites de imagens $Tu_k$, $Tv_k$ com $u_k, v_k \in B$, de modo que $y = \lim T(u_k - v_k)$ com $u_k - v_k
\in 2B$: $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$, isto é, $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$.

*Removendo o [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior)* (é aqui que entra a [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) de $E$): seja $\norm y < c$. Tome $x_1 \in \frac12 B$ com $\norm{y -
Tx_1} < c/2$ ($B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ reescalado por $\frac12$); e, indutivamente, $x_k \in 2^{-k}B$ com $\norm{y -
T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$. A série $\sum x_k$ converge absolutamente no espaço de Banach $E$, para um $x \in B$ (de norma $<
\sum 2^{-k} = 1$), e $Tx = y$ por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $B_F(0, c)
\subseteq T(B)$. A abertura de $T$ em abertos arbitrários segue por translação e reescalamento; quanto ao corolário, ser $T$ aberta significa que $T^{-1}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). ∎

**Corolário 8.13 (Normas equivalentes).**

Se um espaço vetorial é [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) para duas normas comparáveis ($\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$), então as normas são equivalentes.

**Demonstração.** A identidade $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ é limitada e bijetora entre espaços de Banach: sua inversa é limitada. ∎

**Teorema 8.14 (Gráfico fechado).**

Sejam $E, F$ de Banach e $T \colon E \to F$ linear. Se o gráfico $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ é fechado em $E \times F$ (isto é, $x_n \to x$ e $Tx_n \to y$ implicam $y = Tx$), então $T$ é limitada.

**Demonstração.** $E \times F$ com $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ é de Banach; $\Gamma$, subespaço fechado, é de Banach. A projeção $\pi_E\colon \Gamma \to E$ é limitada e bijetora, de modo que sua inversa $x \mapsto (x, Tx)$ é limitada ([Teorema 8.12](#thm-b3-banach-openmapping)): $\norm{Tx} \leq \norm{(x,
Tx)} \leq C\norm x$. ∎

**Método 8.15.**

Quando recorrer a qual teorema. *Hahn–Banach*: para produzir um funcional com comportamento prescrito (normar um vetor, anular-se em um subespaço, estender de um subespaço) — não é preciso [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) alguma. *Banach–Steinhaus*: para converter informação pontual em cotas uniformes — tipicamente, para mostrar que uma operação de limite é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ou, na contrapositiva, para demonstrar *divergência* para algum elemento, como no caso das séries de Fourier. *Aplicação aberta / gráfico fechado*: para obter [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de graça a partir da bijetividade [algébrica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) ou de uma propriedade de [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) do gráfico — uso típico: comparar duas normas [completas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), ou demonstrar [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) automática. Os três teoremas de Baire exigem [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) *da fonte*; do contrário há contraexemplos ([Exercício 8.7](#exo-b3-banach-7)).

## 8.4 Espaços duais, concretamente

**Teorema 8.16.**

Isometricamente: $(c_0)' \cong \ell^1$ e $(\ell^1)' \cong
\ell^\infty$, por meio do emparelhamento $\langle x, y\rangle = \sum_n
x_ny_n$.

**Demonstração.** Demonstramos $(c_0)' \cong \ell^1$; a segunda identificação é o [Exercício 8.5](#exo-b3-banach-5). A $y \in \ell^1$ associe $\Lambda_y(x)
= \sum x_ny_n$ ($x \in c_0$): absolutamente convergente, com $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$, de modo que $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$. Reciprocamente, seja $\Lambda \in
(c_0)'$; ponha $y_n = \Lambda(e_n)$ (com $e_n$ as sequências unitárias). Para todo $N$, teste em $x^{(N)} = \sum_{n \leq N}
\operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (de norma $\leq
1$; no caso complexo, use fatores unimodulares $\bar y_n/\abs
{y_n}$): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq
\norm\Lambda$. Logo $y \in \ell^1$ com $\norm y_1 \leq
\norm\Lambda$. Por fim, $\Lambda = \Lambda_y$: ambos coincidem nos $e_n$, portanto nas sequências finitas, densas em $c_0$ (truncamento: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n}
\to 0$ precisamente porque $x_n \to 0$); e funcionais [contínuos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) que coincidem em um [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) são iguais. A correspondência é linear, bijetora e isométrica ($\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$, pelas duas desigualdades). ∎

## 8.5 Exercícios

**Exercício 8.1 ★.**

Calcule as [normas de operador](#def-b3-banach-operator): (a) dos deslocamentos $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ e $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ em $\ell^2$; (b) do operador de multiplicação $M_a x = (a_nx_n)$ em $\ell^2$, para $a \in \ell^\infty$; (c) do funcional $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f -
\int_{1/2}^1f$ em $\mathcal C(\intcc01)$ — mostre que $\norm\Lambda = 1$ e que a norma *não é atingida*.

**Solução de Exercício 8.1.**

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$: $S$ é uma isometria, $\vertiii S =
1$. Para o deslocamento à esquerda: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq
2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$, com igualdade para $x = e_2$: $\vertiii{S^*} = 1$.

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm
a_\infty^2\norm x_2^2$; testar $x = e_n$ dá $\vertiii{M_a}
\geq \abs{a_n}$ para todo $n$: $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$.

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$: $\norm\Lambda \leq 1$. Para $\varepsilon > 0$, seja $f_\varepsilon$ igual a $1$ em $[0, \frac12 - \varepsilon]$, $-1$ em $[\frac12 +
\varepsilon, 1]$, afim entre eles: $\norm{f_\varepsilon}_\infty =
1$ e $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$: $\norm\Lambda = 1$. Não atingida: $\Lambda(f) = 1$ com $\norm
f_\infty \leq 1$ força $\int_0^{1/2}f = \frac12$ e $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$, isto é ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), $\abs f \leq 1$), $f \equiv 1$ em $[0, \frac12]$ e $f \equiv -1$ em $[\frac12,
1]$: contradição em $\frac12$.

**Exercício 8.2 ★.**

Sejam $E$ de Banach, $T \in \mathcal L(E)$ inversível e $S$ com $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$. Mostre que $S$ é inversível e estime $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$. Aplicação: se um sistema linear $Tx = b$ é [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived) com $T$ inversível, uma perturbação suficientemente pequena de $T$ o mantém unicamente [solúvel](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived), com uma cota quantitativa para a variação da solução.

**Solução de Exercício 8.2.**

Escreva $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ com $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} =
\theta < 1$: pela [Proposição 8.4](#prop-b3-banach-neumann), $S$ é inversível com $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T -
S)\bigr)^nT^{-1}$, donde

$$
\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq
\sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}}
= \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.
$$

Para o sistema linear: $x_T = T^{-1}b$ e $x_S = S^{-1}b$ diferem, no máximo, dessa cota vezes $\norm b$ — pequenas perturbações de um sistema inversível permanecem unicamente [solúveis](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/1-teoria-dos-grupos#def-b3-groups-derived), com dependência lipschitziana da solução em relação ao operador.

**Exercício 8.3 ★★.**

(a) Demonstre que $\ell^1$, $\ell^\infty$ e $c_0$ são espaços de Banach, e que $c_0$ é o [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) em $\ell^\infty$ do espaço das sequências finitas. (b) Mostre que $\ell^p \subseteq \ell^q$ com $\norm\cdot_q \leq
\norm\cdot_p$ para $1 \leq p \leq q \leq \infty$, e que a inclusão é estrita.

**Solução de Exercício 8.3.**

(a) $\ell^1$: seja $(x^{(k)})$ de Cauchy. Cada coordenada é de Cauchy ($\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} -
x^{(l)}}_1$): seja $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$. Dado $\varepsilon$, para $k, l \geq K$: $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}
\leq \varepsilon$ para todo $N$; faça $l \to \infty$ e depois $N \to
\infty$: $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$, e $x =
x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$. $\ell^\infty$: ser de Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ é ser uniformemente de Cauchy: converge uniformemente para uma sequência limitada. $c_0$ é fechado em $\ell^\infty$: se $x^{(k)} \to x$ uniformemente com $x^{(k)}_n \to_n 0$, então $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ dá $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$: $x \in c_0$; um subespaço fechado de um espaço de Banach é de Banach. Sequências finitas: seu [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) contém todo $x \in c_0$ (as truncaturas convergem: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$) e está contido no fechado $c_0$.

(b) Por homogeneidade, suponha $\norm x_p = 1$: então $\abs{x_n} \leq
1$ para todo $n$, de modo que $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ e $\norm
x_q \leq 1 = \norm x_p$; para $q = \infty$, $\abs{x_n} \leq
\norm x_p$ diretamente. Estrita: $x_n = n^{-\alpha}$ com $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ está em $\ell^q \setminus
\ell^p$ (série de Riemann).

**Exercício 8.4 ★★.**

Sejam $F \subseteq E$ um subespaço fechado e $x \notin F$. Usando o [Corolário 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed), demonstre a fórmula de dualidade

$$
d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\
f\restriction_F = 0\bigr\}
$$

(atenção: um *máximo*). Deduza que $F = \bigcap\{\ker f : f
\in E',\ f\restriction_F = 0\}$: os subespaços fechados são exatamente as interseções de núcleos de funcionais.

**Solução de Exercício 8.4.**

($\leq$) Se $\norm f \leq 1$ e $f\restriction_F = 0$: para todo $y \in F$, $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x -
y}$; tome o ínfimo. ($\geq$, atingido) O [Corolário 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3) produz $f$ com $f\restriction_F = 0$, $\norm f \leq 1$, $f(x) = d(x, F)$: o supremo é um máximo. Consequência: $F \subseteq \bigcap\{\ker
f : f\restriction_F = 0\}$ trivialmente, e um ponto $x \notin F$ é excluído da interseção pelo funcional acima ($f(x) = d(x,F) > 0$, sendo $F$ fechado).

**Exercício 8.5 ★★.**

Demonstre $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ isometricamente, seguindo o esquema do [Teorema 8.16](#thm-b3-banach-duals) (as sequências finitas são densas em $\ell^1$). Onde o argumento se quebra para $(\ell^\infty)'$?

**Solução de Exercício 8.5.**

Para $y \in \ell^\infty$: $\abs{\Lambda_y(x)} =
\abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$, de modo que $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$; testando em $e_n$: $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$: igualdade. Reciprocamente, dado $\Lambda \in (\ell^1)'$, ponha $y_n =
\Lambda(e_n)$: $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$, de modo que $y \in
\ell^\infty$; $\Lambda$ e $\Lambda_y$ coincidem nas sequências finitas, densas em $\ell^1$ ($\norm{x - \sum_{n\leq
N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$): $\Lambda =
\Lambda_y$. A aplicação $y \mapsto \Lambda_y$ é linear, isométrica e sobrejetora. Para $(\ell^\infty)'$, o mesmo início produz uma sequência $y_n = \Lambda(e_n)$, mas as sequências finitas *não* são densas em $\ell^\infty$ (a sequência constante $\mathbf 1$ está à distância $1$ de todas elas), de modo que $\Lambda$ não fica determinada pelos $y_n$ — e, de fato, $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ([Problema 8.1](#pb-b3-banach-1)).

**Exercício 8.6 ★★.**

Sejam $E, F, G$ normados com $E$ de Banach, e $B \colon E \times
F \to G$ bilinear, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em cada variável separadamente. Mostre que $B$ é (conjuntamente) [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $\norm{B(x,y)} \leq
C\norm x\norm y$. *(Aplique Banach–Steinhaus à família $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$.)*

**Solução de Exercício 8.6.**

Para cada $x$ fixo, $y \mapsto B(x, y)$ é linear [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$. Logo a família $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (cada membro [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) em $x$) é pontualmente limitada no espaço de Banach $E$: Banach–Steinhaus ([Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) fornece $C$ com $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ para todo $\norm y \leq 1$; a homogeneidade em $y$ conclui: $\norm{B(x,y)} \leq
C\norm x\norm y$.

**Exercício 8.7 ★★.**

(a) Em $E = \mathcal C(\intcc01)$, compare $\norm\cdot_\infty$ e $\norm\cdot_1$: a identidade $(E, \norm\cdot_\infty) \to
(E, \norm\cdot_1)$ é limitada e bijetora, mas sua inversa é ilimitada. Que hipótese do [Corolário 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms) falha? (b) Exiba uma aplicação linear descontínua de um subespaço denso de $\ell^2$ em $K$ (por exemplo, nas sequências finitas) e explique por que isso não contradiz o teorema do gráfico fechado.

**Solução de Exercício 8.7.**

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$: a identidade é limitada e bijetora. Sua inversa é ilimitada: $f_n(x) = x^n$ tem $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$, mas $\norm{f_n}_\infty = 1$. Nenhuma contradição com o [Corolário 8.13](#cor-b3-banach-equivnorms): $(\mathcal
C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ *não* é [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Exercício 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)); o corolário exige [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) dos dois lados.

(b) No espaço $E_0$ das sequências finitas (denso em $\ell^2$), $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ é linear e ilimitado ($\varphi(e_n) = n$ com $\norm{e_n}_2 = 1$). O teorema do gráfico fechado não se aplica: $E_0$ não é [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — e $\varphi$ não tem extensão [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) a $\ell^2$, ilustrando que densidade sem [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) uniforme nada pode ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#thm-b3-complete-extension)).

**Exercício 8.8 ★★★.**

(Hellinger–Toeplitz) Seja $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ linear (definida em toda parte) e *simétrica*: $\langle Tx,
y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos $x, y$, em que $\langle
x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$. Mostre que $T$ é limitada. *(Gráfico fechado: se $x_k \to x$ e $Tx_k \to z$, teste contra $y$ arbitrário.)* Moral: operadores simétricos ilimitados — as hamiltonianas da mecânica quântica — jamais podem ser definidos no espaço todo.

**Solução de Exercício 8.8.**

Verificamos a hipótese do gráfico fechado. Sejam $x_k \to x$ e $Tx_k \to z$ em $\ell^2$. Para todo $y$:

$$
\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle
= \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle
= \langle Tx, y\rangle,
$$

usando a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) do produto interno em cada entrada (Cauchy–Schwarz) e a simetria duas vezes. Logo $z - Tx$ é ortogonal a todo $y$, em particular a si mesmo: $z = Tx$. O gráfico é fechado e $\ell^2$ é de Banach: $T$ é limitado ([Teorema 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)). Assim, um operador simétrico definido em *todo* $\ell^2$ é automaticamente limitado; operadores simétricos genuinamente ilimitados (posição, momento, hamiltonianos) devem viver em subespaços densos próprios.

**Exercício 8.9 ★★★.**

(Teorema de Pólya sobre quadraturas) Para cada $n$, seja $\Lambda_n(f)
= \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ uma regra de quadratura em $\mathcal C(\intcc01)$ ($x_{i,n} \in \intcc01$, $w_{i,n} \in
\R$). Mostre que $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ para *toda* $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) se, e somente se: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ para todo polinômio $P$, e (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} <
\infty$. *(Calcule $\norm{\Lambda_n}$; use Banach–Steinhaus e Weierstrass.)* Verifique que as regras com pesos *positivos* exatas nas constantes satisfazem (ii) automaticamente.

**Solução de Exercício 8.9.**

Primeiro, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$: $\leq$ é a desigualdade triangular; $\geq$ testando com uma $f$ linear por partes com $\norm f_\infty \leq 1$ e $f(x_{i,n}) =
\operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpole linearmente entre os finitos nós; onde os nós coincidem, os sinais concordam).

($\Rightarrow$) A convergência pontual em toda $f$ implica (i) e a limitação pontual, de modo que Banach–Steinhaus ([Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus)) no espaço de Banach $\mathcal
C(\intcc01)$ dá (ii).

($\Leftarrow$) Seja $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$. Dados $f$ e $\varepsilon$, escolha um polinômio $P$ com $\norm{f -
P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ ([Corolário 7.16](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#cor-b3-complete-weierstrass)); então

$$
\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr|
\leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP -
\int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr|
\leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to
\varepsilon .
$$

Pesos positivos, exatidão nas constantes: $\sum_i\abs{w_{i,n}}
= \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ para regras exatas nas constantes — (ii) vale com constante $1$.

**Exercício 8.10 ★★.**

Mostre que $J \colon E \to E''$, $J(x)(f) = f(x)$, é uma isometria linear (use o [Corolário 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2)) e que ela é sobrejetora quando $\dim E < \infty$. Mostre também que, se $E'$ é separável, então $E$ também é. *(Tome $x_n$ que quase normem uma sequência densa de $E'$ e mostre que o subespaço fechado que geram é $E$, via o [Corolário 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3).)*

**Solução de Exercício 8.10.**

A linearidade de $J$ é formal; $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq
1}\abs{f(x)} = \norm x$ pelo [Corolário 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(2). Se $\dim E = n$: $\dim E' =
n$ (uma base dá os funcionais coordenados), de modo que $\dim E'' = n$, e o $J$ injetor (isométrico) é sobrejetor. Separabilidade: seja $(f_n)$ denso em $E'$ e escolha $\norm{x_n} = 1$ com $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$. Seja $F =
\overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$; se $F \neq E$, tome $g
\in E'$, $g \neq 0$, nulo em $F$ ([Corolário 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)(3)); escolha $f_{n_k} \to g$:

$$
\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})}
= \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}}
\geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),
$$

de modo que $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$: contradição. Logo $F = E$, e as combinações racionais (ou $\Q + \iu\Q$) dos $x_n$ formam um conjunto enumerável denso.

**Exercício 8.11 ★★.**

(Espaços quocientes) Sejam $E$ um espaço de Banach e $F \subseteq
E$ um subespaço *fechado*. Em $E/F$, defina

$$
\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .
$$

(a) Mostre que isso define uma *norma* em $E/F$ (onde entra o fato de $F$ ser fechado?) e que a projeção $\pi
\colon E \to E/F$ satisfaz $\vertiii\pi \leq 1$ e leva a bola unitária aberta sobre a bola unitária aberta. (b) Mostre que $E/F$ é [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete). *(Use o critério de séries do [Exercício 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b): dadas classes $\bar x_k$ com $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$, levante cada uma a $x_k \in E$ com $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ e some em $E$.)* (c) Calcule: para $E = c$ (sequências convergentes) e $F =
c_0$, mostre que $c/c_0 \cong K$ isometricamente, via $\bar x \mapsto
\lim_nx_n$.

**Solução de Exercício 8.11.**

(a) Boa definição: $d(x, F)$ depende apenas de $\bar x$ (transladar $x$ por $F$ não muda a distância). A homogeneidade e a desigualdade triangular passam de $\norm\cdot$ pelo ínfimo. A separação precisa que o subespaço seja fechado: $\norm{\bar
x} = 0$ significa $d(x, F) = 0$, isto é, $x \in \bar F = F$, isto é, $\bar x = 0$. $\vertiii\pi \leq 1$: $\norm{\bar x} \leq
\norm x$. Bola aberta sobre bola aberta: se $\norm{\bar x} < 1$, algum representante tem $\norm{x - y} < 1$; reciprocamente, $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ pela desigualdade entre normas — de modo que $\pi$ é aberta, o caso modelo do teorema da aplicação aberta.

(b) Seja $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ e levante com $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$: então $\sum\norm{x_k} < \infty$, de modo que $s = \sum_kx_k$ converge no espaço de Banach $E$ ([Exercício 7.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#exo-b3-complete-1)(b)), e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $\pi$ dá $\sum_k\bar x_k = \bar s$: toda série absolutamente convergente de $E/F$ converge, o que é equivalente à [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) (mesmo exercício).

(c) A aplicação $\lambda(x) = \lim_nx_n$ é linear $c \to K$, anula-se exatamente em $c_0$ e, portanto, induz uma bijeção linear $c/c_0 \to K$. Isometria: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$: subtraia de $x$ a sequência $x - \lambda(x)\mathbf
1 \in c_0$, deixando $\lambda(x)\mathbf 1$ de norma $\abs{\lambda(x)}$; $\geq$: para $y \in c_0$, $\norm{x -
y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$.

**Exercício 8.12 ★★.**

(Projeções limitadas e subespaços complementados) Sejam $E$ um espaço de Banach e $P \colon E \to E$ linear com $P^2 = P$ (uma projeção [algébrica](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic)), $V = \operatorname{im}P$, $W =
\ker P$. (a) Suponha $P$ limitada. Mostre que $V$ e $W$ são fechados e que $E = V \oplus W$, com a decomposição $x = Px + (x -
Px)$. (b) Reciprocamente, suponha $E = V \oplus W$ com $V,
W$ *ambos* fechados, e seja $P$ a projeção sobre $V$ ao longo de $W$. Mostre que $P$ é limitada. *(Gráfico fechado: se $x_n \to x$ e $Px_n \to z$, então $z \in V$, $x_n - Px_n \to x - z \in
W$, e a unicidade da decomposição identifica $z =
Px$.)* (c) Deduza a *equivalência*: um subespaço $V$ admite projeção limitada se, e somente se, é fechado e tem complemento [algébrico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/4-extensoes-de-corpos-e-teoria-de-galois#def-b3-galois-algebraic) fechado — e note (sem demonstração) que existem subespaços fechados sem essa propriedade ($c_0$ dentro de $\ell^\infty$ é o exemplo clássico): os espaços de Hilbert, em que $V^\perp$ sempre funciona ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#ch-b3-hilbert)), são a exceção, não a regra.

**Solução de Exercício 8.12.**

(a) $W = \ker P$ é fechado (pré-imagem de $0$ por uma [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)); $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (de fato, $Px = x$ se, e somente se, $x \in \operatorname{im}P$, usando $P^2 =
P$), fechado do mesmo modo. Todo $x$ se reparte como $Px + (x - Px)$ com $Px \in V$, $x - Px \in W$, e $V \cap W = 0$ ($x = Px
= 0$): $E = V \oplus W$.

(b) O argumento do gráfico: sejam $x_n \to x$ e $Px_n \to z$. Então $z \in V$ ($V$ fechado, $Px_n \in V$) e $x_n - Px_n \to
x - z \in W$ ($W$ fechado). Logo $x = z + (x - z)$ com $z \in
V$, $x - z \in W$; pela unicidade da decomposição, $z =
Px$. O gráfico de $P$ é fechado e $E$ é de Banach: $P$ é limitado ([Teorema 8.14](#thm-b3-banach-closedgraph)).

(c) (a) e (b) juntos são a equivalência. Num espaço de Hilbert, todo $V$ fechado tem o complemento fechado $V^\perp$ ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/13-espacos-de-hilbert#ch-b3-hilbert)): todo subespaço fechado é complementado. Em espaços de Banach gerais isso falha — $c_0$ não tem complemento fechado em $\ell^\infty$ (teorema de Phillips, além de nossas ferramentas) —, de modo que projeções limitadas são um privilégio, e o teorema do gráfico fechado é exatamente o que converte decomposições geométricas em operadores limitados.

## 8.6 Problema: a dualidade dos espaços $\ell^p$

**Problema 8.1.**

Problema de fim de semana — $(\ell^p)' = \ell^q$, reflexividade e a estranheza de $\ell^\infty$

Fixe $1 < p < \infty$ e seja $q$ o expoente conjugado, $\frac1p + \frac1q = 1$. O emparelhamento em todo o problema é $\langle x,
y\rangle = \sum_n x_ny_n$.

**Parte I — Hölder e Minkowski para sequências.**

1. (Desigualdade de Young) Para $a, b \geq 0$ , mostre que $ab \leq  \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , usando a concavidade de $\log$ ou estudando $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
2. (Hölder) Deduza: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq  \norm x_p\norm y_q$ para $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ ; identifique o caso de igualdade.
3. (Minkowski) Deduza a desigualdade triangular para $\norm\cdot_p$ . *(Escreva $\abs{x_n + y_n}^p \leq  \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} +  \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ e aplique Hölder a cada termo.)*
4. Demonstre que $\ell^p$ é [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) e que as sequências finitas são densas nele.

**Parte II — A dualidade $(\ell^p)' =
\ell^q$.**

5. Para $y \in \ell^q$ , mostre que $\Lambda_y(x) = \langle  x, y\rangle$ define $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ com $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ e, testando em $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (convenientemente truncado e normalizado), que $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
6. Reciprocamente, dado $\Lambda \in (\ell^p)'$ , ponha $y_n =  \Lambda(e_n)$ ; mostre que $y \in \ell^q$ com $\norm y_q \leq  \norm\Lambda$ *(teste em truncamentos como na questão 5 e faça o comprimento do truncamento crescer)* , e conclua $\Lambda = \Lambda_y$ : a aplicação $y \mapsto \Lambda_y$ é um isomorfismo isométrico $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
7. Deduza que $\ell^p$ é *[reflexivo](#rem-b3-banach-bidual)* para $1 < p <  \infty$ : compondo as duas dualidades, todo elemento de $(\ell^p)''$ provém de $\ell^p$ ; verifique com cuidado que a composta é a aplicação canônica $J$ .

**Parte III — $\ell^1$ e $\ell^\infty$ são animais diferentes.**

8. Mostre que $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) e $c_0$ são separáveis, mas $\ell^\infty$ não é. *(As não enumeráveis sequências indicadoras de subconjuntos de $\N$ estão duas a duas a distância $1$.)*
9. Deduza do [Exercício 8.10](#exo-b3-banach-10) que $(\ell^1)'  \cong \ell^\infty$ , mas $(\ell^\infty)' \not\cong  \ell^1$ : $\ell^1$ *não* é [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual) . *(Se $(\ell^\infty)'$ fosse $\ell^1$, ele seria separável, o que forçaria $\ell^\infty$ separável.)*
10. (Um limite de Banach, explicitamente) Em $\ell^\infty_\R$ , ponha $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Mostre que $p$ é sublinear e que, no subespaço $c$ das sequências convergentes, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ satisfaz $\mathrm{LIM} \leq p$ . Estenda por Hahn–Banach a $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ e mostre: $\mathrm{LIM}$ é positivo ( $x \geq 0 \Rightarrow  \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), invariante por deslocamento ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), estende o limite e satisfaz $\liminf x \leq  \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
11. Mostre que um tal $\mathrm{LIM}$ , visto em $(\ell^\infty)'$ , *não* é da forma $\Lambda_y$ para nenhum $y \in \ell^1$ ; conclua de novo que $(\ell^\infty)'  \neq \ell^1$ . *(Avalie nas sequências unitárias $e_n$ e, depois, na sequência constante $1$.)*
12. Avalie $\mathrm{LIM}$ em $(0,1,0,1,\dots)$ e mostre que não pode existir extensão *multiplicativa* do limite que seja invariante por deslocamento *(considere $x =  (0,1,0,1,\dots)$ e $x\cdot Sx$, em que $S$ é o deslocamento)* .

**Parte IV — Epílogo: por que a reflexividade importa.**

13. Usando o [Corolário 8.10](#cor-b3-banach-bslimits) e a questão 6, mostre que toda sequência limitada de $\ell^p$ ( $1 < p <  \infty$ ) tem uma subsequência $(x^{(k)})$ que converge *fracamente* : $\Lambda(x^{(k)})$ converge para todo $\Lambda \in (\ell^p)'$ . *(Extração diagonal nas enumeráveis coordenadas; identifique o limite fraco em $\ell^p$ usando a limitação uniforme das normas e Hölder.)* Mostre com um exemplo ( $e_n$ em $\ell^1$ , contra elementos bem escolhidos de $\ell^\infty$ ) que isso falha em $\ell^1$ : a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) fraca é um privilégio dos [espaços reflexivos](#rem-b3-banach-bidual) .

**Parte V — A [topologia](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) fraca em ação, e a surpresa de Schur.** Escreva $x^{(k)} \rightharpoonup x$ em um espaço normado $E$ (*convergência fraca*) quando $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ para todo $\Lambda \in E'$.

14. Complete o censo: mostre que $(c_0)' \cong \ell^1$ isometricamente, pelo esquema das questões 5–6 (o que substitui as sequências de teste?). Monte a cadeia $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ de duais sucessivos e assinale onde a reflexividade falha.
15. Mostre que toda sequência fracamente convergente de um espaço de Banach é limitada: veja os $x^{(k)}$ , através do mergulho canônico $J$ , como funcionais em $E'$ e aplique Banach–Steinhaus ( [Teorema 8.9](#thm-b3-banach-banachsteinhaus) ) — em qual espaço de Banach, e por que a [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) está disponível ali?
16. Mostre que, em $\ell^p$ com $1 < p < \infty$ : $x^{(k)}  \rightharpoonup x$ se, e somente se, $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p <  \infty$ e $x^{(k)}_n \to x_n$ para toda coordenada $n$ *(uma das implicações usa Banach–Steinhaus através do mergulho canônico; para a outra, aproxime $y  \in \ell^q$ por sequências finitas)* . Deduza $e_k  \rightharpoonup 0$ em $\ell^2$ , embora $\norm{e_k}_2 =  1$ : os limites fracos podem perder massa.
17. Mostre que a norma é fracamente semicontínua inferiormente: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ implica $\norm x \leq  \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ *(tome um funcional que norme $x$, [Corolário 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed))* .
18. (Radon–Riesz em $\ell^2$ ) Mostre que, em $\ell^2$ , a convergência fraca junto com a convergência das normas implica convergência em norma *(expanda $\norm{x^{(k)} -  x}_2^2$)* . Dê um contraexemplo para o mesmo enunciado sem a hipótese sobre as normas.
19. (Schur, etapa 1) Seja $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ em $\ell^1$ e suponha, por absurdo, $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ ao longo de uma subsequência. Mostre primeiro que $x^{(k)}_n \to 0$ para cada $n$ (quais funcionais?), e depois construa recursivamente índices $k_1 < k_2 < \cdots$ e inteiros $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ tais que a massa de $x^{(k_j)}$ se concentre no bloco $B_j =  \intoc{N_{j-1}}{N_j}$: $$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$$
20. (Schur, etapa 2) Defina $y \in \ell^\infty$ por $y_n =  \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ para $n \in  B_j$ . Mostre que $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq  \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq  \frac{8\delta}{10}$ e obtenha uma contradição com $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Conclua o *teorema de Schur* : em $\ell^1$ , as sequências fracamente convergentes convergem em norma.
21. Deduza que $(e_k)$ não tem subsequência fracamente convergente em $\ell^1$ (seu único candidato a limite é $0$ , coordenada a coordenada — aplique então Schur), recuperando a falha de [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) fraca da questão 13; e resolva o aparente paradoxo: em $\ell^1$ as convergências fraca e em norma de *sequências* coincidem, e no entanto as *[topologias](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology)* fraca e da norma diferem e os conjuntos limitados continuam a não ser fracamente sequencialmente [compactos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) — não há contradição, apenas a falha da reflexividade.
22. (Tabela de síntese) Para $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\  (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabule: o [dual](#def-b3-banach-operator) ; a separabilidade; a reflexividade; se as sequências limitadas admitem subsequências fracamente convergentes; e uma propriedade característica de cada espaço, justificada em uma linha a partir deste problema.

**Parte VI — Complementos: pontos mais próximos, convergência em média e o valor de um limite de Banach.**

23. (Pontos mais próximos: um dividendo da reflexividade) Sejam $F$ um subespaço fechado de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) e $x \in \ell^p$ . Mostre que $d = \operatorname{dist}(x,  F)$ é *atingida* : extraia de uma sequência minimizante uma subsequência fracamente convergente (questão 13), mantenha o limite fraco dentro de $F$ construindo, via Hahn–Banach, um funcional que se anula em $F$ mas não em um ponto fora dele, e conclua com a questão 17. Mostre em seguida que o privilégio não é universal: em $c_0$ , para $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ , demonstre que $\norm\Lambda = 1$ não é atingida na bola unitária, estabeleça a fórmula de distância $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) =  \abs{\Lambda(x)}$ e deduza que nenhum $x \notin  \ker\Lambda$ tem ponto mais próximo no hiperplano fechado $\ker\Lambda$ .
24. (Banach–Saks em $\ell^2$) Seja $x^{(k)}  \rightharpoonup 0$ em $\ell^2_{\R}$ com $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$. Construa uma subsequência $(y_j)$ com $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq  \frac1j$ para todos $i < j$, e deduza $$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2  \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$$ após extração, as médias de Cesàro convergem em *norma*. Confira em $(e_k)$, cujas médias têm norma $\frac1{\sqrt m}$: a convergência fraca, inútil para a própria sequência (questão 16), torna-se convergência em norma para as médias.
25. (O valor de um limite de Banach) Sejam $L$ um limite de Banach qualquer (questão 10) e $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots  + S^{m-1}x)$ . Mostre que $L(A_mx) = L(x)$ e $\liminf A_mx  \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; deduza que *todos* os limites de Banach coincidem nas sequências periódicas, com valor a média sobre um período — $\frac13$ em $(1, 0, 0, 1,  0, 0, \dots)$ , coerente com o $\frac12$ da questão 12. Mostre em seguida que a coincidência falha em geral: para a sequência em blocos $x$ igual a $1$ em $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ para $j$ par e a $0$ nos demais índices, mostre que as médias de Cesàro oscilam entre $\leq  \frac13$ e $\geq \frac23$ , e construa dois limites de Banach $L_\pm$ com $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23  \leq L_+(x)$ *(estenda a partir de $c \oplus \R x$ com os valores admissíveis extremos $\pm$: verifique que $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ é dominado pelo $p$ sublinear da questão 10)* .

**Solução de Problema 8.1.**

**1.** Para $a, b > 0$: pela concavidade de $\log$, $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log
a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$; exponencie. (Se $ab = 0$, a desigualdade é trivial.) Igualdade se, e somente se, $a^p = b^q$.

**2.** Podemos supor $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (homogeneidade; os casos nulos são triviais). Então

$$
\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n}
\leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p +
\frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 =
\norm x_p\norm y_q .
$$

A igualdade exige $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ para todo $n$ (caso de igualdade em Young) e o alinhamento das fases de $x_ny_n$.

**3.** $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} +
\abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$; somando e aplicando Hölder ($p$ contra $q$, notando $(p - 1)q = p$):

$$
\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm
y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q}
= \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};
$$

se $\norm{x + y}_p \neq 0$ (senão é trivial), divida por $\norm{x+y}_p^{p/q}$ e use $p - \frac pq = 1$. (Finitude de $\norm{x+y}_p$ antes: $\abs{x_n+y_n}^p \leq
2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$.)

**4.** [Completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete): como para $\ell^1$ ([Exercício 8.3](#exo-b3-banach-3)), limites coordenada a coordenada mais a cota uniforme das caudas $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p
\leq \varepsilon^p$, fazendo $l$ e depois $N$ tenderem ao infinito. Densidade das sequências finitas: $\norm{x - \sum_{n\leq
N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$.

**5.** Hölder dá $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm
x_p\norm y_q$: $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$. Testando: seja $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ para $n \leq N$, $0$ além disso (com $\operatorname{sign}$ a fase unimodular, de modo que $x_ny_n = \abs{y_n}^q$). Então $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ e $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq
N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (pois $(q-1)p = q$), de modo que

$$
\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq
N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{}
\norm y_q .
$$

**6.** Ponha $y_n = \Lambda(e_n)$. Com os mesmos vetores de teste, $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq
\norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$, donde $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq
\norm\Lambda$ para todo $N$: $y \in \ell^q$, $\norm y_q \leq
\norm\Lambda$. Os funcionais $\Lambda$ e $\Lambda_y$ coincidem nas sequências finitas densas (questão 4): $\Lambda =
\Lambda_y$. Com a questão 5, $y \mapsto \Lambda_y$ é um isomorfismo isométrico $\ell^q \cong (\ell^p)'$.

**7.** Seja $\xi \in (\ell^p)''$. Compondo com a isometria $\ell^q \cong (\ell^p)'$ da questão 6, $\xi$ define um elemento de $(\ell^q)'$, que (questão 6 com $p, q$ trocados) é $\Lambda_z$ para um único $z \in \ell^p$: para todo $y \in \ell^q$, $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$. Por outro lado, $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$: o mesmo valor. Como todo elemento de $(\ell^p)'$ é algum $\Lambda_y$, $\xi = J(z)$: $J$ é sobrejetora — $\ell^p$ é [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual).

**8.** As sequências finitas com entradas racionais (parte real e imaginária) são enumeráveis e densas em $\ell^p$ ($p < \infty$) e em $c_0$. Em $\ell^\infty$: a família $\{\mathbf 1_A : A
\subseteq \N\}$ é não enumerável, com $\norm{\mathbf 1_A -
\mathbf 1_B}_\infty = 1$ para $A \neq B$; as bolas $B(\mathbf
1_A, \frac12)$ são duas a duas disjuntas, e um [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) deve encontrar cada uma: não existe [conjunto denso](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) enumerável.

**9.** Se $\ell^1$ fosse [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual), então $(\ell^\infty)'
\cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ seria separável (imagem isométrica do separável $\ell^1$); pelo [Exercício 8.10](#exo-b3-banach-10), a separabilidade do [dual](#def-b3-banach-operator) $(\ell^\infty)'$ forçaria $\ell^\infty$ separável — contradizendo a questão 8. Logo $\ell^1$ não é [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual) (e $(\ell^\infty)'$ é estritamente maior que $\ell^1$, como a questão 11 torna concreto).

**10.** A homogeneidade de $p$ é clara; a subaditividade: as médias são lineares, e $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n +
\limsup v_n$. Em $c$: as médias de Cesàro de uma convergente convergem para seu limite, de modo que $p(x) = \lim x =
\mathrm{LIM}(x)$ ali; em particular, $\mathrm{LIM} \leq p$ em $c$. Hahn–Banach ([Teorema 8.6](#thm-b3-banach-hahnbanach)) estende $\mathrm{LIM}$ a $\ell^\infty_\R$ com $\mathrm{LIM} \leq p$ globalmente. Positividade: para $x \geq 0$, $-\mathrm{LIM}(x) =
\mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{méd}(-x) \leq 0$. Invariância por deslocamento: as médias de $x - Sx$ telescopam em $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$, de modo que $p(\pm(x - Sx)) = 0$ e $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$. Cotas: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x)
\leq \limsup x$ (as médias ficam atrás dos supremos), e aplicar isso a $-x$ dá a cota inferior.

**11.** $e_n \in c_0$, de modo que $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ para todo $n$. Se $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ com $y \in \ell^1$, então $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ para todo $n$: $\Lambda_y = 0$; mas $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$. Logo $\mathrm{LIM} \in
(\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$: $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$, de novo.

**12.** Para $x = (0,1,0,1,\dots)$: $x + Sx = \mathbf 1$, de modo que $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) =
1$: $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$. Se $\varphi$ fosse uma extensão multiplicativa e invariante por deslocamento do limite: $x\cdot
Sx = 0$ dá $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$, de modo que $\varphi(x) = 0$; mas $\varphi(x) + \varphi(Sx) =
\varphi(\mathbf 1) = 1$ dá $2\varphi(x) = 1$: contradição. Média e multiplicação não podem coexistir.

**13.** Seja $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$. As coordenadas são limitadas por $M$: uma extração diagonal dá uma subsequência (ainda escrita $x^{(k)}$) com $x^{(k)}_n \to x_n$ para todo $n$. Então $x \in \ell^p$: $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p =
\lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ para todo $N$. Convergência fraca: para $y \in \ell^q$ e $N$ arbitrário,

$$
\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq
\Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr|
+ 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},
$$

em que o primeiro termo tende a $0$ quando $k \to \infty$ (finitas coordenadas) e o segundo é pequeno para $N$ grande (Hölder na cauda): $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ para todo $y$ — convergência fraca, já que todo funcional é um $\Lambda_y$ (questão 6). Em $\ell^1$ isso falha: considere $(e_n)$, limitada. Toda subsequência $(e_{n_k})$ converge coordenada a coordenada para $0$, de modo que seu único candidato a limite fraco é $0$; mas, testando contra $y \in \ell^\infty$ definida por $y_{n_k} =
(-1)^k$ (e $0$ nas demais), $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ diverge. Nenhuma subsequência fracamente convergente: a [compacidade sequencial](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#thm-b3-topology-metriccompact) fraca das bolas caracteriza o mundo [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual).

**14.** Para $y \in \ell^1$, $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ está definida em $c_0$ com $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm
x_\infty\norm y_1$, e testar em $x^{(N)} =
(\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0,
\dots) \in c_0$ dá $\Lambda_y(x^{(N)}) =
\sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$: $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$. Reciprocamente, para $\Lambda \in
(c_0)'$ ponha $y_n = \Lambda(e_n)$; os mesmos testes dão $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq
\norm\Lambda$, de modo que $y \in \ell^1$, e $\Lambda = \Lambda_y$ nas sequências finitas densas, logo em toda parte. A cadeia dos duais: $(c_0)' = \ell^1$, $(\ell^1)' = \ell^\infty$ ([Exercício 8.10](#exo-b3-banach-10)), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (questões 9–11): a reflexividade falha logo no primeiro passo — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — e nunca se recupera.

**15.** $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ é uma família de funcionais limitados no espaço *de Banach* $E'$ (duais são [completos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), [Proposição 8.2](#prop-b3-banach-llcomplete)); para cada $\Lambda \in E'$, a sequência $Jx^{(k)}(\Lambda) =
\Lambda(x^{(k)})$ converge, logo é limitada. Banach–Steinhaus em $E'$ dá $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} <
\infty$, e $J$ é isométrica ([Observação 8.8](#rem-b3-banach-bidual)): $\sup_k\norm{x^{(k)}} <
\infty$.

**16.** ($\Rightarrow$) A limitação é a questão 15; as coordenadas são os funcionais $\Lambda_{e_n}$. ($\Leftarrow$) Sejam $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$, $y \in
\ell^q$, $\varepsilon > 0$; escolha $N$ com $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$. Então

$$
\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq
\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} +
\norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon
\leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} +
(M + \norm x_p)\,\varepsilon,
$$

e a soma finita tende a $0$: $\limsup \leq (M + \norm
x_p)\varepsilon$ para todo $\varepsilon$. (Que $x \in
\ell^p$ com $\norm x_p \leq M$ decorre de cotas de seções finitas ao estilo de Fatou: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p =
\lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$.) Para $e_k$ em $\ell^2$: limitada, coordenada a coordenada $\to 0$, de modo que $e_k
\rightharpoonup 0$, mas $\norm{e_k} = 1$: a unidade de massa escapa para índices infinitos, invisível a todo funcional fixo.

**17.** Tome $\Lambda$ com $\norm\Lambda = 1$ e $\Lambda(x) = \norm x$ ([Corolário 8.7](#cor-b3-banach-hbnormed)). Então $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq
\liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} =
\liminf\norm{x^{(k)}}$. (Com $e_k \rightharpoonup 0$: $0
\leq \liminf 1$, e a desigualdade pode ser estrita.)

**18.** Em $\ell^2$, $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 =
\norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)},
x\rangle + \norm x_2^2$ (caso real: $-2\langle x^{(k)},
x\rangle$). A convergência fraca aplicada ao funcional $\Lambda_x$ dá $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm
x_2^2$, e as normas convergem por hipótese: o membro direito tende a $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$. Contraexemplo sem convergência das normas: $e_k
\rightharpoonup 0$, $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$.

**19.** Convergência das coordenadas: aplique os funcionais $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ ($y = e_n$). Construção: tendo escolhido $k_{j-1}, N_{j-1}$, tome $k_j >
k_{j-1}$ tão grande que $\sum_{n \leq
N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (finitas coordenadas, cada uma $\to 0$), e depois $N_j > N_{j-1}$ tão grande que a cauda satisfaça $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} <
\frac\delta{20}$ (convergência da série que define $\norm{x^{(k_j)}}_1$). O bloco $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ carrega então tudo, salvo $\frac\delta{10}$, da massa de $x^{(k_j)}$.

**20.** Com $y$ como definida ($\abs{y_n} \leq 1$ em toda parte):

$$
\langle x^{(k_j)}, y\rangle
= \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n}
+ \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n
\geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) -
\frac\delta{10}
\geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,
$$

a desigualdade do meio porque a massa fora do bloco é no máximo $\frac\delta{10}$ (questão 19). Mas $y \in
\ell^\infty = (\ell^1)'$ e $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ forçam $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$: contradição. Logo as sequências fracamente nulas de $\ell^1$ são nulas em norma e, por translação, as fracamente convergentes convergem em norma: o teorema de Schur.

**21.** Uma subsequência fracamente convergente de $(e_k)$ teria limite $0$ (coordenadas), logo, por Schur, $\norm{e_{k_j}}_1
\to 0$ — mas as normas valem $1$. Assim, não existe subsequência fracamente convergente, como se viu à mão na questão 13. Nenhum paradoxo: Schur diz que as sequências não conseguem distinguir a [topologia](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) fraca da [topologia](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) da norma em $\ell^1$ (as [topologias](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology), essas, diferem — [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) fracas nunca são limitadas em norma), e a [compacidade sequencial](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#thm-b3-topology-metriccompact) fraca da bola unitária é uma propriedade diferente, mais forte, equivalente à reflexividade (Eberlein–Šmulian, além de nossas ferramentas; a falha, ao menos, nós demonstramos).

**22.** *O censo.*

| $E$ | $E'$ | sep. | refl. | bolas fraca. seq. cpt. |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $c_0$ | $\ell^1$ | sim | não | não ($e_1{+}\dots{+}e_k$) |
| $\ell^1$ | $\ell^\infty$ | sim | não | não ($e_k$, q. 21) |
| $\ell^p$ | $\ell^q$ | sim | sim | sim (q. 13) |
| $\ell^\infty$ | $\supsetneq\ell^1$ | não | não | não |

Assinaturas: $c_0$ — seu bidual é $\ell^\infty$: o primeiro passo não [reflexivo](#rem-b3-banach-bidual) (questão 14); $\ell^1$ — a propriedade de Schur (questão 20); $\ell^p$ — reflexividade e [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) fraca (questões 7 e 13); $\ell^\infty$ — não separabilidade e limites de Banach: funcionais que sequência alguma representa (questões 8 e 10–11). Uma família de espaços, quatro mundos diferentes.

**23.** Seja $(f_k) \subseteq F$ com $\norm{x - f_k}
\to d$. Então $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x -
f_k}$: limitada, de modo que, pela questão 13, uma subsequência $f_{k_j}
\rightharpoonup f$. Se $f \notin F$, então $\delta =
\operatorname{dist}(f, F) > 0$ ($F$ fechado); em $F \oplus \R
f$, a forma linear $\lambda(g + tf) = t$ satisfaz $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (pois $\norm{g +
tf} \geq \abs t\,\delta$), e Hahn–Banach a estende a $\Lambda \in (\ell^p)'$ com $\Lambda\restriction_F = 0$, $\Lambda(f) = 1$; mas então $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to
\Lambda(f) = 1$: contradição. Logo $f \in F$, e $x -
f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ dá, pela questão 17,

$$
d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :
$$

a distância é atingida em $f$. Em $c_0$: $\abs{\Lambda(x)}
\leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ para todo $x
\neq 0$ (uma sequência nula não nula não pode satisfazer $\abs{x_n} =
\norm x_\infty$ para todo $n$), ao passo que as truncadas $(1,
\dots, 1, 0, \dots)$ dão $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$: logo $\norm\Lambda = 1$, nunca atingido. Fórmula da distância: para $f
\in \ker\Lambda$, $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)}
\leq \norm{x - f}$, de modo que $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda)
\geq \abs{\Lambda(x)}$; reciprocamente, para $u$ na bola unitária com $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$, o vetor $f = x -
\frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ está em $\ker\Lambda$ com $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$: igualdade. Se algum $f \in \ker\Lambda$ a atingisse, $z = x -
f$ satisfaria $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} =
\norm z \neq 0$, de modo que $\Lambda$ atingiria sua norma em $z/\norm z$: impossível. Um hiperplano fechado de $c_0$ sem pontos mais próximos em lugar algum — a reflexividade não era decorativa.

**24.** Ponha $y_1 = x^{(1)}$. Dado $y_1, \dots, y_j$, cada aplicação $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ tende a $0$ ($y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$), de modo que existe $k_{j+1}$ além do índice anterior com $\abs{\langle y_i,
x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ para $i = 1, \dots,
j$; chame a escolha de $y_{j+1}$. Então

$$
\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2
= \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2
+ 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle
\leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j
\leq mC^2 + 2m,
$$

e, dividindo por $m^2$: $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq
\frac{C^2 + 2}m \to 0$. (Para um limite fraco $x \neq 0$, aplique isso a $x^{(k)} - x$.) Na base ortonormal $(e_k)$ nem sequer é preciso extrair: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots +
e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$. As médias convertem convergência fraca em convergência em norma: a propriedade de Banach–Saks de $\ell^2$.

**25.** $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$, de modo que a linearidade e a invariância por deslocamento dão $L(A_mx) = L(x)$. Para qualquer $u$ limitada e $\varepsilon > 0$, tome $N$ com $u_n \leq
\limsup u + \varepsilon$ para $n \geq N$; a positividade aplicada a $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ e $L(S^Nu) = L(u)$ dá $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ e, simetricamente, $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$: logo $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ para todo $m$. Se $x$ é $T$-periódica, $A_Tx$ é a sequência constante igual à média do período $\mu$: $L(x) = \mu$ para *todo* limite de Banach — $\frac13$ em $(1,0,0,\dots)$, $\frac12$ em $(0,1,0,1,\dots)$, como na questão 12. Para a sequência de blocos: em $N = 3^j$ com $j$ par, o último bloco é só de uns, de modo que a média de Cesàro vale $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$; em $N = 3^j$ com $j$ ímpar, todos os uns estão em $\intoc0
{3^{j-1}}$, de modo que a média vale $\leq \frac13$. Logo $p(x) \geq
\frac23$ e $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n
\leq \frac13$. Em $M = c \oplus \R x$, defina $\Lambda_+(y +
tx) = \lim y + t\,p(x)$. Dominação por $p$: para $t > 0$, a sublinearidade dá $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$, isto é, $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (note $p(\pm y) = \pm\lim
y$ para $y \in c$: as médias de Cesàro de uma convergente convergem para seu limite); para $t = -s < 0$, $p(y) \leq p(y -
sx) + p(sx)$ dá $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$; para $t
= 0$ há igualdade. Logo $\Lambda_+ \leq p$ em $M$, e Hahn–Banach o estende a $L_+ \leq p$ em $\ell^\infty_\R$, que é um limite de Banach exatamente como na questão 10 (a dominação por $p$ fornece a positividade, a invariância por deslocamento e o valor $\lim$ em $c$), com $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$. O mesmo cálculo com $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (usando $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ para o caso $t = -s
< 0$) fornece um limite de Banach $L_-$ com $L_-(x) = -p(-x) \leq
\frac13$. Dois limites de Banach, uma sequência, dois valores: fora do mundo periódico (e, mais geralmente, *quase convergente*), um limite de Banach é uma escolha genuína.