--- title: "Teoria da medida" book: "Matemática universitária — Graduação 3" subject: math language: pt chapter: 9 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/9-teoria-da-medida --- # Capítulo 9 — Teoria da medida Qual é o comprimento de um subconjunto de $\R$? A resposta ingênua — atribuir a todo conjunto um comprimento invariante por translação que estenda o dos intervalos — é *impossível*: a construção de Vitali, no fim deste capítulo, produz um conjunto sem comprimento coerente. A teoria da [medida](#def-b3-measure-measure) é a retirada disciplinada: restringimos a atenção a uma classe rica de conjuntos *mensuráveis*, sobre a qual existe, e é única, uma noção de comprimento enumeravelmente aditiva. As recompensas são imensas — a integral de Lebesgue ([Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)), os espaços $L^p$ da análise funcional e toda a probabilidade moderna ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-b3-probability)) assentam-se sobre os três teoremas aqui demonstrados: o lema de unicidade de Dynkin, o teorema de extensão de Carathéodory e a existência da [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter). ## 9.1 $\sigma$-álgebras **Definição 9.1.** Uma *$\sigma$-álgebra* sobre um conjunto $X$ é uma família $\mathcal A$ de subconjuntos que contém $\varnothing$ e é estável por complementação e por reuniões *enumeráveis* (logo, por interseções enumeráveis e por diferenças de conjuntos, e contém $X$). O par $(X, \mathcal A)$ é um *espaço mensurável*; os membros de $\mathcal A$ são os *conjuntos mensuráveis*. Para uma família $\mathcal E$ de subconjuntos, $\sigma(\mathcal E)$ denota a menor $\sigma$-álgebra que contém $\mathcal E$ (a interseção de todas elas — uma interseção de $\sigma$-álgebras também o é). **Definição 9.2.** A *$\sigma$-álgebra de Borel* de um espaço [topológico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) é $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{abertos}\})$. Em $\R$: $\mathcal B(\R)$ é gerada também pelos intervalos abertos, pelos intervalos fechados, pelas semirretas $(-\infty, a]$ e pelas semirretas com extremidades racionais ([Exercício 9.1](#exo-b3-measure-1)) — cada família gera os abertos por operações enumeráveis; por exemplo, todo aberto de $\R$ é uma reunião enumerável de intervalos abertos com dados racionais. **Definição 9.3.** Um *$\pi$-sistema* é uma família estável por interseções finitas. Um *$\lambda$-sistema* (classe de Dynkin) é uma família $\mathcal D$ com: $X \in \mathcal D$; $A, B \in \mathcal D$, $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B \setminus A \in \mathcal D$; e $A_n \uparrow A$, $A_n \in \mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$. **Teorema 9.4 (Lema π\piπ–λ\lambdaλ de Dynkin).** Se um $\lambda$-sistema $\mathcal D$ contém um $\pi$-sistema $\mathcal P$, então $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$. **Demonstração.** Seja $\mathcal D_0$ o menor $\lambda$-sistema que contém $\mathcal P$ (interseção de todos eles); basta mostrar que $\mathcal D_0$ é uma $\sigma$-álgebra, pois então $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal D$. Um $\lambda$-sistema estável por interseções finitas *é* uma $\sigma$-álgebra: complementos ($X \setminus A = X \setminus A$ com $A \subseteq X$), reuniões finitas ($A \cup B = X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$) e reuniões enumeráveis via $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$. Demonstramos, portanto, que $\mathcal D_0$ é um $\pi$-sistema, em duas etapas. Seja $$ \mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}. $$ $\mathcal D_1$ é um $\lambda$-sistema (os três axiomas se verificam intersectando com $P$: por exemplo, $(B\setminus A)\cap P = (B \cap P)\setminus(A \cap P)$, uma diferença própria dentro de $\mathcal D_0$) e contém $\mathcal P$ (que é $\pi$-sistema): $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$. Seja agora $$ \mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}. $$ Pela etapa anterior, $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$; e $\mathcal D_2$ é um $\lambda$-sistema pela mesma verificação: $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$, o que diz exatamente que $\mathcal D_0$ é estável por interseções. ∎ ## 9.2 Medidas **Definição 9.5.** Uma *medida* em $(X, \mathcal A)$ é uma aplicação $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ com $\mu(\varnothing) = 0$ que é *$\sigma$-aditiva*: para $(A_n)_{n\in\N}$ dois a dois disjuntos, $$ \mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n). $$ $(X, \mathcal A, \mu)$ é um *espaço de medida*; $\mu$ é *finita* se $\mu(X) < \infty$, é uma *medida de probabilidade* se $\mu(X) = 1$, e é *$\sigma$-finita* se $X$ é reunião enumerável de conjuntos de medida finita. Exemplos: a medida de contagem em $(\N, \mathcal P(\N))$; a massa de Dirac $\delta_a(A) = \mathbf 1_{a \in A}$; e, objeto deste capítulo, a [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter). **Proposição 9.6.** Seja $\mu$ uma [medida](#def-b3-measure-measure). (a) Monotonicidade: $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$. (b) Subaditividade enumerável: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$. (c) [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por baixo: $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$. (d) [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por cima: $A_n \downarrow A$ *com $\mu(A_1) < \infty$* $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$. **Demonstração.** (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$. (b) Disjuntifique: os $B_n = A_n \setminus \bigcup_{k b$, terminamos ($b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$); do contrário, o segmento $\intcc{b_{k_1}}b$ é coberto pelos $N - 1$ intervalos restantes, e a indução dá $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k) \geq b - b_{k_1}$, ao passo que $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$: some. ∎ **Teorema 9.12 (Medida de Lebesgue).** Todo boreliano de $\R$ é $\lambda^*$-mensurável. A restrição $\lambda$ de $\lambda^*$ à $\sigma$-álgebra $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (a *$\sigma$-álgebra de Lebesgue*) é a única [medida](#def-b3-measure-measure) em $\mathcal B(\R)$ que atribui a cada intervalo seu comprimento; ela é invariante por translações e $\sigma$-finita. **Demonstração.** Pelo [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory), basta mostrar que cada semirreta $A = \intoo{-\infty}c$ é $\lambda^*$-mensurável (as semirretas geram $\mathcal B$, [Definição 9.2](#def-b3-measure-borel)). Sejam $E \subseteq \R$ com $\lambda^*(E) < \infty$ e $\bigcup I_n \supseteq E$ uma cobertura com $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$. Cada $I_n$ se reparte nos dois intervalos $I_n' = I_n \cap A$ e $I_n'' = I_n\setminus A$ (um intervalo menos uma semirreta é um intervalo) com $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$; os $I_n'$ cobrem $E \cap A$ e os $I_n''$ cobrem $E \setminus A$ (aumente cada um até um intervalo aberto de comprimento $\ell + \varepsilon2^{-n}$ para permanecer dentro da definição), de modo que $$ \lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A) \leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon \leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon . $$ Unicidade: duas [medidas](#def-b3-measure-measure) que coincidem com o comprimento no $\pi$-sistema dos intervalos $\intoc ab$ (finitas neles) coincidem em $\sigma(\text{intervalos}) = \mathcal B$ pelo [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) com $P_k = \intoc{-k}k$. $\sigma$-finitude: $\R = \bigcup(-k, k]$. ∎ **Teorema 9.13 (Regularidade).** Para todo $A \in \mathcal L$: $$ \lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ aberto}\} = \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compacto}\}. $$ **Demonstração.** *Exterior*: uma cobertura $\bigcup I_n$ com $\sum\ell(I_n) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ é um aberto $U \supseteq A$ com $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (subaditividade); se $\lambda(A) = \infty$, o enunciado é trivial. *[Interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior)*: primeiro suponha $A$ limitado, $A \subseteq [-M, M]$. Escolha um aberto $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ com $\lambda(U) \leq \lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$; então $K = [-M, M]\setminus U$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), $K \subseteq A$, e $$ \lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U) \geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) + \varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon . $$ Para $A$ geral: $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por baixo) e aplique o caso limitado por dentro. ∎ **Exemplo 9.14.** O conjunto de Cantor ([Exercício 6.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#exo-b3-topology-10)) satisfaz $\lambda(C) = 0$: $C \subseteq C_n$, reunião de $2^n$ intervalos de comprimento $3^{-n}$, de modo que $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$. Um conjunto nulo não enumerável — a cardinalidade não enxerga a [medida](#def-b3-measure-measure). Reciprocamente, os *conjuntos de Cantor gordos* ([Exercício 9.5](#exo-b3-measure-5)) são nunca densos e têm [medida](#def-b3-measure-measure) positiva: a [topologia](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) tampouco enxerga a [medida](#def-b3-measure-measure). O problema de fim de semana leva essa interação à sua conclusão marcante: existem conjuntos Lebesgue-mensuráveis que não são borelianos. **Teorema 9.15 (Vitali).** Não existe [medida](#def-b3-measure-measure) sobre *todos* os subconjuntos de $\R$ que seja invariante por translações e atribua a cada intervalo seu comprimento. Em particular, $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$: existem conjuntos não mensuráveis. **Demonstração.** Suponha que $\mu$ fosse uma tal [medida](#def-b3-measure-measure). Em $\intcc01$, considere a equivalência $x \sim y \iff x - y \in \Q$; pelo *axioma da escolha*, tome um representante em $\intcc01$ por classe: um conjunto $V$. Para $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$, os transladados $V + q$ são dois a dois disjuntos (dois pontos de $V$ que diferissem por um racional seriam equivalentes e, no entanto, representantes distintos) e $$ \intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q) \subseteq \intcc{-1}2 : $$ a primeira inclusão porque todo $x \in \intcc01$ difere de seu representante $v$ por um racional $q = x - v \in \intcc{-1}1$. A monotonicidade e a $\sigma$-aditividade dão $$ 1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3, \qquad\text{com } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ para todo } q . $$ Uma soma infinita da constante $\mu(V)$ vale $0$ ou $\infty$: as duas cotas não podem valer simultaneamente. Logo, não existe uma tal $\mu$ — e $V \notin \mathcal L$, pois $\lambda$ em $\mathcal L$ tem todas as propriedades usadas. ∎ **Observação 9.16.** Em $\R^3$ o fracasso é mais dramático: o paradoxo de Banach–Tarski decompõe uma bola em cinco pedaços que se remontam, por rotações e translações, em *duas* bolas do mesmo raio — de modo que não existe sequer um volume finitamente aditivo e invariante por rotações sobre todos os subconjuntos de $\R^3$. Os pedaços são, claro, não mensuráveis. A mensurabilidade não é cautela burocrática; é a fronteira da coerência. **Método 9.17.** O *princípio dos bons conjuntos*: para demonstrar que todos os conjuntos de $\sigma(\mathcal E)$ têm uma propriedade, mostre que os bons conjuntos formam uma $\sigma$-álgebra (ou um $\lambda$-sistema, se a propriedade for de natureza medida-teórica e $\mathcal E$ for um $\pi$-sistema — e então use Dynkin) contendo $\mathcal E$. Quase toda demonstração deste capítulo e do próximo é um caso particular. Para demonstrar que duas [medidas](#def-b3-measure-measure) são iguais: verifique-o em um $\pi$-sistema gerador, mais a $\sigma$-finitude ([Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)). Para construir uma [medida](#def-b3-measure-measure): construa uma [medida exterior](#def-b3-measure-outer) por coberturas e invoque Carathéodory. ## 9.5 Exercícios **Exercício 9.1 ★.** (a) Mostre que $\{A \subseteq X : A$ ou $X\setminus A$ é enumerável$\}$ é uma $\sigma$-álgebra: a gerada pelos conjuntos unitários. (b) Mostre que $\mathcal B(\R)$ é gerada por cada uma das famílias: intervalos abertos; intervalos fechados; semirretas $\intoc{-\infty}a$; semirretas com $a \in \Q$. (c) A família das *reuniões finitas disjuntas de intervalos* $\intoc ab$ é uma $\sigma$-álgebra? É uma álgebra (estável por complementação e reuniões finitas)? **Solução de Exercício 9.1.** (a) A complementação troca os dois casos da definição. Uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável; se um dos membros é coenumerável, a união é coenumerável: a estabilidade vale. Ela contém os conjuntos unitários, e toda $\sigma$-álgebra que os contenha contém todos os conjuntos enumeráveis (uniões enumeráveis) e seus complementares: ela é $\sigma(\{\text{conjuntos unitários}\})$. (b) Escreva $\mathcal B = \sigma(\text{abertos})$. Todo aberto de $\R$ é união enumerável de intervalos abertos de extremos racionais (em torno de cada ponto racional do aberto, um intervalo de raio racional contido nele), de modo que os abertos $\in \sigma(\text{intervalos abertos}) \subseteq \sigma(\text{rational data})$. Conversões: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ e reciprocamente $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$; semirretas racionais: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$. Cada família gera as outras por operações enumeráveis: todas as quatro geram $\mathcal B$. (c) Com extremos apenas finitos, a família nem sequer é uma álgebra: o complementar de $\intoc01$ contém semirretas ilimitadas. Permitindo extremos infinitos ($\intoc{-\infty}b$, $\intoo a{+\infty}$), ela se torna uma álgebra (complementares e uniões finitas de tais uniões são desse tipo), mas não uma $\sigma$-álgebra: $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ não é união finita de intervalos não degenerados. **Exercício 9.2 ★.** (a) Demonstre o princípio da inclusão–exclusão para uma [medida](#def-b3-measure-measure) finita: $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$, e a versão com três conjuntos. (b) Dê um exemplo mostrando que a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por cima ([Proposição 9.6](#prop-b3-measure-basics)(d)) falha sem a hipótese de finitude. (c) Mostre que um conjunto enumerável tem [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) nula. Deduza $\lambda(\Q) = 0$ e $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$. **Solução de Exercício 9.2.** (a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$, de modo que $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (a finitude permite a subtração). Três conjuntos: aplique duas vezes a fórmula para dois conjuntos, $$ \mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) + \mu(A\cap B\cap C) $$ (somas sobre os conjuntos de índices evidentes). (b) Para a [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter), $A_n = [n, +\infty) \downarrow \varnothing$, mas $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$. (c) Um ponto está num intervalo de comprimento $\varepsilon$: $\lambda(\{x\}) = 0$; a subaditividade enumerável mata os conjuntos enumeráveis. Logo $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ e, por aditividade, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$: os irracionais carregam todo o comprimento. **Exercício 9.3 ★★.** Sejam $\mu, \nu$ [medidas](#def-b3-measure-measure) de probabilidade em $\mathcal B(\R)$ com $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ para todo $t \in \R$. Mostre que $\mu = \nu$. (Isso faz da *função de distribuição* $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ um invariante [completo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) — o fundamento do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-b3-probability).) **Solução de Exercício 9.3.** As semirretas $\intoc{-\infty}t$ formam um $\pi$-sistema (a interseção de duas é a menor) que gera $\mathcal B(\R)$ ([Exercício 9.1](#exo-b3-measure-1)). Os conjuntos $P_k = \intoc{-\infty}k$ crescem para $\R$ com $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$: o [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) se aplica, e $\mu = \nu$ em $\mathcal B(\R)$. Assim, a função de distribuição determina a [medida](#def-b3-measure-measure). **Exercício 9.4 ★★.** (Borel–Cantelli, versão de [medida](#def-b3-measure-measure)) Sejam $(A_n)$ mensuráveis com $\sum_n\mu(A_n) < \infty$, e $\limsup A_n = \bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (os pontos que pertencem a uma infinidade de $A_n$). Mostre que $\mu(\limsup A_n) = 0$. Aplicação: para quase todo $x \in \intcc01$, apenas um número finito de $n$ satisfaz $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ para o $n$-ésimo racional $p/q_n$ de uma enumeração de $\Q\cap\intcc01$. **Solução de Exercício 9.4.** Para todo $N$, $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$, de modo que $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$, a cauda de uma série convergente: faça $N \to \infty$. Aplicação: com $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ ($r_n$ o $n$-ésimo racional), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ é somável: $\lambda(\limsup A_n) = 0$, isto é, quase todo $x$ pertence a apenas finitos $A_n$. (E, no entanto, todo $x$ é limite de racionais: o que importa é a *velocidade* $4^{-n}$.) **Exercício 9.5 ★★.** (Conjunto de Cantor gordo) Repita a construção de Cantor em $\intcc01$, mas, na etapa $n$, retire de cada um dos $2^{n-1}$ intervalos apenas um intervalo aberto *centrado* de comprimento $4^{-n}$. Mostre que o $K = \bigcap K_n$ resultante é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), tem [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio (nenhum intervalo sobrevive) e $$ \lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 : $$ um conjunto nunca denso de [medida](#def-b3-measure-measure) $\frac12$. Deduza um subconjunto *[magro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre)* de $\intcc01$ de [medida](#def-b3-measure-measure) total $1$ e um subconjunto aberto denso de [medida](#def-b3-measure-measure) $< \varepsilon$. **Solução de Exercício 9.5.** $K = \bigcap K_n$ é uma interseção de uniões finitas de intervalos fechados: [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact). Na etapa $n$ restam $2^n$ intervalos de comprimento comum $\ell_n \leq 2^{-n}$ (cada etapa divide ao meio e encolhe); um intervalo $I \subseteq K$ estaria dentro de um único intervalo da etapa $n$ para todo $n$, forçando $\ell(I) = 0$: [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio. A [medida](#def-b3-measure-measure) retirada é $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$, sendo todas as retiradas intervalos abertos disjuntos: $\lambda(K) = \frac12$. Variante: retirar intervalos centrais de comprimento $\varepsilon 4^{-n}$ deixa um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de [interior](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) vazio $K^{(\varepsilon)}$ de [medida](#def-b3-measure-measure) $1 - \frac\varepsilon2$. Então $\bigcup_m K^{(1/m)}$ é [magro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) (união enumerável de conjuntos nunca densos) de [medida](#def-b3-measure-measure) $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$: um [conjunto magro](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#rem-b3-complete-meagre) de [medida](#def-b3-measure-measure) total — e seu complementar em $\intoo01$ é um $G_\delta$ denso de [medida](#def-b3-measure-measure) $0$ (topologicamente gordo, metricamente nulo). O complementar de $K^{(\varepsilon)}$ em $\intoo01$ é aberto, denso, de [medida](#def-b3-measure-measure) $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$. **Exercício 9.6 ★★.** Seja $\mu$ uma [medida](#def-b3-measure-measure) em $\mathcal B(\R)$, invariante por translações, com $c = \mu(\intoc01) < \infty$. Mostre que $\mu = c\,\lambda$ em $\mathcal B(\R)$. *(Calcule $\mu$ nos intervalos diádicos dividindo $\intoc01$ em $2^n$ transladados e invoque em seguida o [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)* **Solução de Exercício 9.6.** Cortando $\intoc01$ em $2^n$ transladados de $\intoc0{2^{-n}}$: $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$, de modo que $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$. Por invariância por translação e aditividade, $\mu = c\lambda$ em todo intervalo $\intoc ab$ com $b - a$ um racional diádico e qualquer $a$; um $\intoc ab$ geral é uma união crescente de tais intervalos ($b_k \uparrow b$ passos diádicos a partir de $a$), e a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por baixo estende a igualdade. Os intervalos $\intoc ab$ formam um $\pi$-sistema que gera $\mathcal B(\R)$, com $\intoc{-k}k \uparrow \R$ de [medida](#def-b3-measure-measure) finita ($\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$): o [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) dá $\mu = c\lambda$ em $\mathcal B(\R)$. **Exercício 9.7 ★★.** (Aproximação) Sejam $A \in \mathcal L$ com $\lambda(A) < \infty$ e $\varepsilon > 0$. Mostre que existe uma reunião *finita* de intervalos $B$ com $\lambda(A\,\triangle\,B) < \varepsilon$ ($\triangle$ = diferença simétrica). *(Regularidade: comprima $K \subseteq A \subseteq U$ e use a estrutura do aberto $U$ como reunião enumerável de intervalos, mais a [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de $K$.)* **Solução de Exercício 9.7.** Por regularidade ([Teorema 9.13](#thm-b3-measure-regularity)), escolha $K \subseteq A \subseteq U$ com $K$ [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact), $U$ aberto, $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (ambas as aproximações a menos de $\varepsilon/2$, e $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$). Escreva $U$ como união enumerável disjunta de intervalos abertos $(I_n)$ (as componentes do aberto); o [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $K$ é coberto por finitos deles, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$. Então $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ e $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$: $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — comece com $\varepsilon/2$ para cair abaixo de $\varepsilon$. **Exercício 9.8 ★★★.** (Steinhaus) Seja $A \in \mathcal L$ com $\lambda(A) > 0$. Mostre que $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ contém um intervalo em torno de $0$. *(Reduza a $\lambda(A) < \infty$; por regularidade no estilo do [Exercício 9.7](#exo-b3-measure-7), encontre um intervalo $I$ com $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$; então, para $\abs t < \frac12\ell(I)$, os conjuntos $A\cap I$ e $(A\cap I) + t$ estão ambos em um intervalo de comprimento $\frac32\ell(I)$ e têm [medida](#def-b3-measure-measure) total $> \frac32\ell(I)$: eles têm de se intersectar.)* **Solução de Exercício 9.8.** Substituindo $A$ por $A \cap [-M, M]$ de [medida](#def-b3-measure-measure) positiva (algum $M$ serve, por [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por baixo), suponha $0 < \lambda(A) < \infty$. Tome $U \supseteq A$ aberto com $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ e decomponha $U = \bigsqcup_nI_n$ em intervalos abertos disjuntos: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$. Se todo $n$ tivesse $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$, somando obteríamos $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$: algum intervalo $I$ satisfaz $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$. Ponha $B = A \cap I$ e seja $\abs t < \frac12\ell(I)$: tanto $B$ quanto $B + t$ estão no intervalo $I \cup (I + t)$, de comprimento $< \frac32\ell(I)$. Se fossem disjuntos, $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ superaria a [medida](#def-b3-measure-measure) do intervalo que os contém — impossível. Logo $B \cap (B + t) \neq \varnothing$: algum $x \in B$ se escreve $x = y + t$ com $y \in B$, e $t = x - y \in A - A$. Logo $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$. **Exercício 9.9 ★★★.** Mostre que todo $A \in \mathcal L$ com $\lambda(A) > 0$ contém um subconjunto não mensurável. *(Intersecte $A$ com os transladados $V + q$ do conjunto de Vitali: se todos os $A \cap (V+q)$ fossem mensuráveis, cada um seria nulo pelo argumento do [Teorema 9.15](#thm-b3-measure-vitali) — Steinhaus ([Exercício 9.8](#exo-b3-measure-8)) ajuda: um conjunto mensurável de [medida](#def-b3-measure-measure) positiva dentro de $V + q$ daria a $(V+q) - (V+q) \supseteq$ um intervalo, contradizendo o fato de que esse conjunto de diferenças encontra $\Q$ apenas em $0$; conclua por subaditividade.)* **Solução de Exercício 9.9.** Os transladados de Vitali $(V + q)_{q\in\Q}$ formam uma partição de $\R$ (todo real é equivalente a exatamente um representante). Suponha que todos os conjuntos $B_q = A \cap (V + q)$ fossem mensuráveis. Dois elementos quaisquer de $V + q$ diferem por um irracional ou por zero (dois representantes distintos não são equivalentes), de modo que $B_q - B_q$ encontra $\Q$ apenas em $\{0\}$: ele não contém intervalo algum, e Steinhaus ([Exercício 9.8](#exo-b3-measure-8)) força $\lambda(B_q) = 0$. Então $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$, contradizendo $\lambda(A) > 0$. Logo algum $B_q \subseteq A$ não é mensurável. **Exercício 9.10 ★★.** Mostre que $A \subseteq \R$ com $\lambda^*(A) < \infty$ é Lebesgue-mensurável se, e somente se, para todo $\varepsilon > 0$ existe um aberto $U \supseteq A$ com $\lambda^*(U \setminus A) < \varepsilon$, e se, e somente se, existe um conjunto $G_\delta$ $G \supseteq A$ com $\lambda^*(G\setminus A) = 0$. (Assim, os conjuntos de Lebesgue são os borelianos a menos de conjuntos nulos.) **Solução de Exercício 9.10.** *Mensurável $\Rightarrow$ aproximação a $\varepsilon$*: pela regularidade exterior ([Teorema 9.13](#thm-b3-measure-regularity)), tome $U \supseteq A$ aberto com $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$; a mensurabilidade permite a subtração $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq \varepsilon$. *Versão $\varepsilon$ $\Rightarrow$ versão $G_\delta$*: tome $U_n$ com $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ e $G = \bigcap U_n$: um $G_\delta$ com $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$. *Versão $G_\delta$ $\Rightarrow$ mensurável*: $G\setminus A$ é $\lambda^*$-nulo, logo mensurável por [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)), e $A = G \setminus (G\setminus A)$ é mensurável ($G$ é boreliano). Assim, os conjuntos de Lebesgue são exatamente “borelianos módulo nulos”. **Exercício 9.11 ★★.** ([Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ao longo de limites monótonos, e sua precisão) (a) Mostre que, para conjuntos mensuráveis, $\mu(\liminf A_n) \leq \liminf\mu(A_n)$ (Fatou para conjuntos) e que, se $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$, também $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$. (b) Exiba, para a [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) em $\R$, uma sequência com $\mu(A_n) = 1$ para todo $n$ e, no entanto, $\mu(\limsup A_n) = 0$: a hipótese de finitude na segunda desigualdade não é decorativa. (c) Deduza: se $\sum\mu(A_n) < \infty$, então $\mu(\limsup A_n) = 0$ (Borel–Cantelli de novo), e, se os $A_n$ crescem ou decrescem (com $\mu(A_1) < \infty$ no caso decrescente), $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$. **Solução de Exercício 9.11.** (a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ é uma união crescente dos conjuntos $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$, de modo que $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por baixo); e $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$, cujo limite é $\liminf\mu(A_n)$. Para o $\limsup$: aplique o mesmo aos complementares dentro do ambiente de [medida](#def-b3-measure-measure) finita $U = \bigcup A_n$ — a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por cima na sequência decrescente $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ exige $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$ e dá $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$. (b) O intervalo móvel $A_n = \intcc n{n+1}$: todo ponto pertence a no máximo dois dos $A_n$ e a nenhum a partir de certa ordem, de modo que $\limsup A_n = \varnothing$; e, no entanto, $\mu(A_n) = 1$. Assim, $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$: sem um envelope de [medida](#def-b3-measure-measure) finita, a segunda desigualdade de (a) falha — a massa escapa para o infinito, onde nenhum conjunto fixo pode capturá-la. (c) Se $\sum\mu(A_n) < \infty$: $\mu(C_N) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ e $\limsup A_n = \bigcap C_N$ tem [medida](#def-b3-measure-measure) $\leq \inf\mu(C_N) = 0$. Casos monótonos: crescente é a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por baixo; decrescente com $\mu(A_1) < \infty$ é a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por cima — ambas demonstradas nas propriedades básicas do [Capítulo 9](#ch-b3-measure); o contraexemplo $A_n = \intco n\infty$ (decrescendo para $\varnothing$ com $\mu \equiv \infty$) mostra que a finitude é, de novo, essencial. **Exercício 9.12 ★★★.** (Teorema de Egorov) Sejam $\mu(X) < \infty$ e $f_n \to f$ pontualmente, todas mensuráveis (a valores reais). Para $k, N \geq 1$, ponha $$ E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)} \leq \tfrac1k\Bigr\} . $$ (a) Mostre que, para $k$ fixado, $E_{k,N} \nearrow X$ quando $N \to \infty$, e deduza a existência de $N_k$ com $\mu(X \setminus E_{k,N_k}) \leq \varepsilon2^{-k}$. (b) Conclua o *teorema de Egorov*: para todo $\varepsilon > 0$ existe um conjunto mensurável $A$ com $\mu(X\setminus A) \leq \varepsilon$ tal que $f_n \to f$ *uniformemente em $A$* — a convergência pontual é convergência uniforme fora de um conjunto arbitrariamente pequeno. (c) Mostre que o teorema falha em $(\R, \lambda)$: as ondas móveis $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergem pontualmente para $0$, mas não uniformemente no complementar de nenhum conjunto de [medida](#def-b3-measure-measure) finita. Onde (a) usou $\mu(X) < \infty$? **Solução de Exercício 9.12.** (a) Os conjuntos $E_{k,N}$ crescem com $N$ (menos restrições), e todo $x$ acaba satisfazendo $\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \frac1k$ para todo $n \geq N(x)$ (convergência pontual): $\bigcup_NE_{k,N} = X$. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por baixo: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$, de modo que $\mu(X\setminus E_{k,N}) \to 0$; escolha $N_k$ de acordo. (b) Seja $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$: $\mu(X\setminus A) \leq \sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$. Em $A$: para todo $k$, todos os $n \geq N_k$ satisfazem $\sup_A\abs{f_n - f} \leq \frac1k$ — exatamente a convergência uniforme em $A$. (c) Para o pico móvel, a convergência uniforme em $A$ exige que $A$ acabe evitando todo $\intcc n{n+1}$ — mais precisamente, $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ força $A \cap \intcc n{n+1}$ a ser vazio para $n$ grande, de modo que $X \setminus A$ contém uma cauda $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$, de [medida](#def-b3-measure-measure) infinita. Em (a), a finitude converteu “$E_{k,N}\nearrow X$” em “as [medidas](#def-b3-measure-measure) dos complementares tendem a $0$”: a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) por cima precisa de um início finito, e, em [espaços de medida](#def-b3-measure-measure) infinita, a fuga para o infinito é precisamente o que ela não consegue ver. ## 9.6 Problema: a escada de Cantor–Vitali e um conjunto mensurável que não é boreliano ![A escada de Cantor–Vitali: constante em toda lacuna do conjunto de Cantor e, ainda assim, subindo continuamente de 0 a 1. Sua derivada se anula quase em toda parte — toda a subida acontece em um conjunto nulo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-5/b3-measure/fig-86d48a949602.svg) *A escada de Cantor–Vitali: constante em toda lacuna do conjunto de Cantor e, ainda assim, subindo [continuamente](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $0$ a $1$. Sua derivada se anula quase em toda parte — toda a subida acontece em um conjunto nulo.* **Problema 9.1.** Problema de fim de semana — a escada do diabo, e $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$ Construímos a *função de Cantor–Vitali* (a escada do diabo), usamo-la para transportar [medida](#def-b3-measure-measure) de maneira patológica e concluímos com um teorema que nenhum argumento leve fornece: existem conjuntos Lebesgue-mensuráveis que não são borelianos. Notação: $C$ é o conjunto de Cantor, $C_n$ sua $n$-ésima etapa ($2^n$ intervalos de comprimento $3^{-n}$), e todo $x \in C$ tem dígitos ternários $x = \sum 2b_n3^{-n}$, $b_n \in \{0,1\}$ ([Exercício 6.10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#exo-b3-topology-10)). **Parte I — A escada.** Defina $c_0(x) = x$ e $c_{n+1}$ a partir de $c_n$ por $$ c_{n+1}(x) = \begin{cases} \tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt] \tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt] \tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1. \end{cases} $$ 1. Mostre que cada $c_n$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) , não decrescente, com $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , e que $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ . 2. Deduza que $(c_n)$ converge uniformemente para uma função $c$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e não decrescente com $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ ( *a* função de Cantor–Vitali), que satisfaz as mesmas relações autossemelhantes que os $c_{n+1}$ acima. 3. Mostre que $c$ é constante em cada [componente conexa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-components) de $\intcc01\setminus C$ e que, para $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ , $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : a escada lê em binário os dígitos de Cantor (a função $g$ do [Problema 6.1](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#pb-b3-topology-1) , tornada monótona e global). 4. Deduza que $c$ é derivável, com $c' = 0$, em todo ponto de $\intcc01\setminus C$: $c' = 0$ *$\lambda$-quase em toda parte* ([Exemplo 9.14](#ex-b3-measure-cantor)). Conclua que o teorema fundamental do cálculo falha para $c$: $$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$$ (a integral sendo tomada sobre o conjunto de [medida](#def-b3-measure-measure) total em que $c' = 0$; antecipando o [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue), os conjuntos nulos não afetam integrais). Que hipótese do teorema fundamental $\mathcal C^1$ é violada? 5. Mostre que $c(C) = \intcc01$ : o conjunto nulo $C$ é levado *sobre* um conjunto de [medida](#def-b3-measure-measure) total. **Parte II — O [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) torto.** Seja $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$. 6. Mostre que $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ é um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (estritamente crescente, [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) , sobrejetor). 7. Mostre que $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = \tfrac12$ : em cada lacuna de comprimento $\ell$ , $h$ age como uma aplicação afim de inclinação $\tfrac12$ , e as lacunas têm comprimento total $1$ . 8. Deduza que $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : a imagem [homeomorfa](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de um conjunto nulo pode ter [medida](#def-b3-measure-measure) positiva. (Em que ponto isso contraria a intuição ingênua sobre “tamanho”?) **Parte III — Um conjunto mensurável que não é boreliano.** 9. Pelo [Exercício 9.9](#exo-b3-measure-9) , escolha um $W \subseteq h(C)$ não mensurável. Mostre que $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ é Lebesgue-mensurável. *(É subconjunto de um conjunto nulo; [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete), [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory).)* 10. Mostre que a pré-imagem de um boreliano por uma [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) é boreliana. *(Princípio dos bons conjuntos: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ é uma $\sigma$-álgebra que contém os abertos — atenção ao sentido da aplicação.)* 11. Conclua que $Z$ *não* é boreliano: se fosse, $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ seria boreliano (aplique a questão 10 à [aplicação contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $h^{-1}$), logo mensurável — contradição. Portanto, $$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$$ e a [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) amplia genuinamente o mundo boreliano. 12. Exiba uma função Lebesgue-mensurável $g$ e uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\varphi$ tais que $g \circ \varphi$ não seja Lebesgue-mensurável: a mensurabilidade, ao contrário da [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) , não se compõe. *(Tome $g = \mathbf 1_Z$ e $\varphi = h^{-1}$, antecipando a definição de funções mensuráveis do [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue): as pré-imagens de borelianos são conjuntos de Lebesgue. Onde é preciso cuidado quanto a qual $\sigma$-álgebra se usa no alvo?)* **Parte IV — Epílogo.** 13. Ordene por inclusão estrita as classes seguintes e justifique cada estrita com um exemplo deste capítulo ou de seu problema: conjuntos enumeráveis; borelianos nulos; conjuntos nulos de Lebesgue; borelianos; conjuntos de Lebesgue; conjuntos arbitrários. **Parte V — A [medida](#def-b3-measure-measure) de Cantor: massa em um conjunto nulo.** A escada é a função de distribuição de uma [medida](#def-b3-measure-measure) notável, que construímos agora com as ferramentas do próprio capítulo. 14. (Lebesgue–Stieltjes, existência) Seja $F\colon\R\to\R$ não decrescente, [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e limitada. Em intervalos semiabertos, defina $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ e, para $A \subseteq \R$, $$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) - F(a_k)\bigr) : A \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$$ Mostre que $\mu_F^*$ é uma [medida exterior](#def-b3-measure-outer) e que $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ *(imite o argumento de [compacidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) do [Teorema 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue), aumentando cada $\intoc{a_k}{b_k}$ até um intervalo aberto a um custo em $F$ de $\leq \varepsilon2^{-k}$ — onde se usa a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $F$?)*. 15. Mostre que todo boreliano é $\mu_F^*$ -mensurável no sentido de Carathéodory *(como no caso de Lebesgue, basta testar semirretas; siga a demonstração da aplicação do [Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory))* , de modo que $\mu_F = \mu_F^*$ restrita a $\mathcal B(\R)$ é uma [medida](#def-b3-measure-measure) com $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : a *[medida](#def-b3-measure-measure) de Lebesgue–Stieltjes* de $F$ . 16. Aplique isso à escada ($F = c$ estendida por $0$ em $\R_-$ e por $1$ em $\intco1\infty$): a *[medida](#def-b3-measure-measure) de Cantor* $\mu$. Mostre que $\mu(\R) = 1$, que toda lacuna do conjunto de Cantor é $\mu$-nula ($c$ é ali constante) e conclua $$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$$ $\mu$ e $\lambda$ vivem em suportes disjuntos ($C$ e seu complementar). Duas [medidas](#def-b3-measure-measure) nessa situação são ditas *mutuamente singulares*, o que se escreve $\mu \perp \lambda$. 17. Mostre que $\mu$ não tem átomos: $\mu(\{x\}) = 0$ para todo $x$ *([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $c$)* . Uma [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidade sem átomos, carregada por um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) de [medida de Lebesgue](#def-b3-measure-lebesgueouter) nula: compare com as únicas [medidas](#def-b3-measure-measure) vistas até aqui. 18. (Lançamentos de moeda disfarçados) Para uma palavra $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ , seja $C_{\varepsilon}$ o conjunto dos $x \in C$ cujos dígitos ternários satisfazem $b_i(x) = \varepsilon_i$ para $i \leq m$ (uma das $2^m$ peças de Cantor de profundidade $m$ ). Mostre que $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ *(a escada sobe $2^{-m}$ ao atravessar essa peça: use a questão 3 da Parte I)* . A [medida](#def-b3-measure-measure) de Cantor é a lei de uma sequência infinita de lançamentos de uma moeda honesta lidos em ternário — o [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/22-probabilidade-fundamentos-e-a-lei-dos-grandes-numeros#ch-b3-probability) tornará isso exato. 19. Demonstre a autossemelhança: para todo boreliano $A$, $$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) + \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$$ em que $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ *(verifique-a nos intervalos geradores $\intoc ab$ via as relações autossemelhantes de $c$ e invoque em seguida a unicidade, [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness))*. 20. Mostre que a reflexão $s(x) = 1 - x$ preserva $\mu$ : $\mu(s(A)) = \mu(A)$ *(via $c(1 - x) = 1 - c(x)$, que decorre da simetria da construção — demonstre-a)* . 21. Calcule os dois primeiros momentos de $\mu$, isto é, de um ponto aleatório $X$ de lei $\mu$ (as integrais podem ser tratadas como limites de somas sobre as peças de profundidade $m$, antecipando o [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)): a simetria dá $\int x\,\dd\mu = \frac12$, e a autossemelhança dá $$\int x^2\,\dd\mu = \frac38, \qquad\text{logo}\qquad \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$$ Compare com a lei uniforme em $\intcc01$ (variância $\frac1{12}$): a massa de Cantor, empurrada para as bordas, espalha-se *mais*. 22. Mostre que o *suporte* ( [topológico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) ) de $\mu$ — o menor fechado de [medida](#def-b3-measure-measure) total — é exatamente $C$ . 23. (Síntese) A escada $c$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e não decrescente e, ainda assim, falha o teorema fundamental do cálculo (Parte I); a [medida](#def-b3-measure-measure) $\mu_c$ é uma probabilidade, sem átomos, singular em relação a $\lambda$ . Explique em um parágrafo curto como essas são duas faces de um mesmo fenômeno e enuncie a moral geral: as funções não decrescentes correspondem a [medidas](#def-b3-measure-measure) ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), a derivabilidade q.t.p. corresponde à “parte absolutamente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ”, e $c$ é a testemunha padrão de que uma $F$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) pode não carregar parte absolutamente [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) *alguma* . 24. (O módulo de [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) exato) Seja $s = \frac{\ln 2}{\ln 3}$. Mostre que $c$ é hölderiana de expoente $s$: $$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s} \qquad (x, y \in \intcc01),$$ e que nenhum expoente $t > s$ pode funcionar, nem mesmo localmente. Deduza a forma medida-teórica: para todo $x$ e todo $r \in \intoc01$, $$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$$ *(Compare uma grade triádica de profundidade $m$ com a escala de $\abs{x - y}$; a questão 18 dá a subida ao longo de cada peça. O expoente $s$ é a dimensão [de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-hausdorff) de $C$, como dirão cursos posteriores.)* 25. (A autossemelhança caracteriza $\mu$) Demonstre a recíproca da questão 19: se $\nu$ é uma [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidade em $\mathcal B(\R)$ carregada por $\intcc01$ e satisfaz $$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2) \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$$ então $\nu = \mu$. *(Itere a relação $m$ vezes para espalhar $\nu$ sobre as $2^m$ peças de Cantor de profundidade $m$, estime $\nu(\intoc ab)$ contra a contagem de peças dentro de $\intoc ab$, e faça $m \to \infty$; termine com o [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness).)* **Solução de Problema 9.1.** **1.** Indução. [Continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity): as três fórmulas coincidem nas junções ($\frac12c_n(1) = \frac12$ e $\frac12 + \frac12c_n(0) = \frac12$); cada peça é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity). A monotonicidade e os valores nos extremos são herdados. Para a estimativa de contração: em $[0,\frac13]$, $\abs{c_{n+1} - c_n}(x) = \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$; no terço médio a diferença é $0$; no terço direito, o mesmo que no esquerdo. **2.** $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq 2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$: a série dos incrementos converge uniformemente, de modo que $c_n \to c$ uniformemente; $c$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), não decrescente, $c(0) = 0$, $c(1) = 1$ (tudo preservado por limites uniformes) e, passando ao limite na recursão que a define, vê-se que $c$ satisfaz ela própria as três identidades autossemelhantes. **3.** Pela identidade do meio, $c \equiv \frac12$ em $\intcc{\frac13}{\frac23}$, a primeira lacuna. Toda lacuna de $C$ é imagem da primeira lacuna por uma composição das duas contrações afins $x \mapsto \frac x3$, $x\mapsto\frac{x + 2}3$; as identidades transportam a constância correspondentemente (com valores nos racionais diádicos). Para a fórmula dos dígitos, tome $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$: se $b_1 = 0$, então $x \in [0,\frac13]$ e $c(x) = \frac12c(3x)$, com $3x$ tendo dígitos $(b_2, b_3, \dots)$; se $b_1 = 1$, então $x \in [\frac23, 1]$ e $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$, mesmo deslocamento. Por indução, os $N$ primeiros dígitos binários de $c(x)$ são $b_1, \dots, b_N$ para todo $N$: $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$. **4.** Fora de $C$, $c$ é localmente constante: derivável, com derivada $0$. Como $\lambda(C) = 0$ ([Exemplo 9.14](#ex-b3-measure-cantor)), $c' = 0$ quase em toda parte. E, no entanto, $c(1) - c(0) = 1$: o teorema fundamental na forma $\mathcal C^1$ exige que $c$ seja derivável *em toda parte*, com derivada [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) (ou ao menos integrável, mais a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) absoluta — veja o [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue)); $c$ não é derivável nos pontos de $C$ e, mais fundamentalmente, $c$ falha na *[continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) absoluta*: ela sobe num conjunto nulo. **5.** Dado $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ ($\beta_n \in \{0,1\}$), o ponto $x = \sum_n2\beta_n3^{-n} \in C$ tem $c(x) = y$ pela questão 3: $c(C) = \intcc01$, um conjunto de [medida](#def-b3-measure-measure) $1$ — o conjunto nulo $C$ carrega, através de $c$, o intervalo inteiro. **6.** $h$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e estritamente crescente ($x$ é, $c$ é não decrescente); $h(0) = 0$, $h(1) = 1$, de modo que, pelo teorema do valor intermediário, $h$ é uma bijeção [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $\intcc01$; uma bijeção [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de um [espaço compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) em um [de Hausdorff](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-hausdorff) é um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) ([Corolário 6.14](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#cor-b3-topology-compacthomeo)). **7.** Numa lacuna $(u, v)$ (comprimento $\ell$), $c$ é constante, de modo que $h$ é afim de inclinação $\frac12$: $h((u,v))$ é um intervalo de comprimento $\frac\ell2$. As lacunas são disjuntas e $h$ é injetora: as imagens são disjuntas, de [medida](#def-b3-measure-measure) total $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$. **8.** $h(\intcc01) = \intcc01$ e $h(C)$ é [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) (imagem [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)), logo mensurável, com $$ \lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 - \lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 . $$ Um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) pode inflar um conjunto nulo até a [medida](#def-b3-measure-measure) $\frac12$: “tamanho [topológico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology)” (categoria, dimensão) e “[medida](#def-b3-measure-measure)” são transportados por [homeomorfismos](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de maneiras muito diferentes — só o primeiro é um invariante [topológico](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology). **9.** $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ tem $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$: um conjunto nulo, logo Lebesgue-mensurável por [completude](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/7-espacos-completos-baire-ascoli-stoneweierstrass#def-b3-complete-complete) ([Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)). **10.** Seja $\varphi$ [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) e $\mathcal D = \{B : \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$. As pré-imagens comutam com complementares e uniões enumeráveis, de modo que $\mathcal D$ é uma $\sigma$-álgebra; ela contém os abertos ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)): $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — pré-imagens de borelianos por [aplicações contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) são borelianas. **11.** Se $Z$ fosse boreliano, aplique a questão 10 à [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) $\varphi = h^{-1}$: $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ seria boreliano, logo Lebesgue-mensurável — contradizendo a escolha de $W$. Logo $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$: a $\sigma$-álgebra de Lebesgue contém estritamente a de Borel. **12.** $g = \mathbf 1_Z$ é Lebesgue-mensurável ($Z \in \mathcal L$) e $\varphi = h^{-1}$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), mas $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ não é mensurável: $g \circ \varphi$ não é Lebesgue-mensurável. O cuidado necessário: “função Lebesgue-mensurável” significa que as pré-imagens de conjuntos *borelianos* caem em $\mathcal L$; compor exige que as pré-imagens de conjuntos *de Lebesgue* sejam de Lebesgue, o que a [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) não garante (aqui $\varphi^{-1}(Z) \notin \mathcal L$, ainda que $\varphi$ seja um [homeomorfismo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)). **13.** As cadeias, com testemunhas da estrita inclusão: $$ \{\text{enumerável}\} \subsetneq \{\text{Borel-nulo}\} \subsetneq \{\text{Lebesgue-nulo}\} \subsetneq \mathcal L \subsetneq \mathcal P(\R), \qquad \{\text{Borel-nulo}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq \mathcal L . $$ Testemunhas: $C$ é boreliano, nulo, não enumerável (primeira lacuna); $Z$ é Lebesgue-nulo, mas não boreliano (segunda e, dentro de $\mathcal B \subsetneq \mathcal L$, sexta); um conjunto de Cantor gordo é boreliano, nunca denso, de [medida](#def-b3-measure-measure) positiva (separando os conjuntos nulos dos borelianos); o $V$ de Vitali não está em $\mathcal L$ (última lacuna). [Medida](#def-b3-measure-measure), [topologia](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) e cardinalidade fatiam $\mathcal P(\R)$ segundo linhas genuinamente diferentes. **14.** [Medida exterior](#def-b3-measure-outer): $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (cubra por um intervalo que se anula), a monotonicidade é clara, e a subaditividade enumerável decorre de emendar coberturas $\varepsilon2^{-k}$-ótimas, exatamente como para $\lambda^*$. A cobertura por um único intervalo dá $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$. Reciprocamente, seja $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$. Pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $F$, tome $b_k' > b_k$ com $F(b_k') \leq F(b_k) + \varepsilon2^{-k}$, e $a' \in \intoo ab$ com $F(a') \leq F(a) + \varepsilon$. O [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) $\intcc{a'}b$ é coberto pelos abertos $\intoo{a_k}{b_k'}$: finitos bastam, e o argumento de encadeamento do [Teorema 9.12](#thm-b3-measure-lebesgue) (caminhe de $a'$ até $b$ por intervalos que se sobrepõem, telescopando os incrementos de $F$, com a monotonicidade absorvendo as sobreposições) fornece $F(b) - F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) - F(a_k)) + \varepsilon$. Faça $\varepsilon \to 0$: igualdade. (A [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $F$ é o que permitiu abrir os intervalos a um custo em $F$ arbitrariamente pequeno.) **15.** Basta demonstrar que cada semirreta $H_t = \intoc{-\infty}t$ é Carathéodory-mensurável, já que os conjuntos mensuráveis formam uma $\sigma$-álgebra ([Teorema 9.9](#thm-b3-measure-caratheodory)) e as semirretas geram $\mathcal B$. Dados $A$ e uma cobertura $\varepsilon$-ótima $(\intoc{a_k}{b_k})$ de $A$: cada intervalo se reparte como $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (uma das peças possivelmente vazia), com custos em $F$ que somam exatamente $F(b_k) - F(a_k)$; as primeiras peças cobrem $A \cap H_t$, as segundas $A \setminus H_t$. Logo $\mu_F^*(A\cap H_t) + \mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$, e a desigualdade recíproca é a subaditividade. Restringindo a [medida](#def-b3-measure-measure) resultante a $\mathcal B$: a [medida](#def-b3-measure-measure) de Lebesgue–Stieltjes $\mu_F$. **16.** $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ ([continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) da [medida](#def-b3-measure-measure) ao longo de $\intoc{-n}n$). Numa lacuna $\intoo uv$ de $C$, $c$ é constante, de modo que todo subintervalo semiaberto é $\mu$-nulo, e a lacuna também (união enumerável); fora de $\intcc01$, $c$ também é constante. Logo $\mu(\R\setminus C) = 0$, $\mu(C) = 1$, ao passo que $\lambda(C) = 0$ ([Exemplo 9.14](#ex-b3-measure-cantor)): cada uma de $\mu, \lambda$ é carregada por um conjunto que a outra declara nulo — mutuamente singulares. **17.** $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0} \mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) de $c$: sem átomos. Logo $\mu$ é uma [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidade sem átomos carregada por um [compacto](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-compact) Lebesgue-nulo — nem difusa com densidade como as restrições de $\lambda$, nem atômica como as [medidas](#def-b3-measure-measure) de contagem: uma terceira espécie. **18.** A peça $C_\varepsilon$ ocupa um intervalo ternário $I_\varepsilon$ de comprimento $3^{-m}$, e a questão 3 da Parte I mostra que, ao longo de $I_\varepsilon$, a escada sobe exatamente $2^{-m}$ (os $m$ primeiros dígitos binários de $c$ ficam congelados em $\varepsilon$, e os demais varrem tudo). Logo $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) = c(\text{extremo direito}) - c(\text{extremo esquerdo}) = 2^{-m}$: os cilindros de dígitos de profundidade $m$ têm todos massa $2^{-m}$, a lei de $m$ moedas honestas. **19.** O membro direito define a [medida](#def-b3-measure-measure) boreliana $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x \mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ avaliada em $A$ — [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidade. Pontualmente, com $c$ estendida globalmente, verifica-se caso a caso ($x \leq 0$; os três terços; $x \geq 1$) a identidade $$ c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2), $$ por exemplo, em $\intcc{1/3}{2/3}$: $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 = \frac12 = c(x)$. Avaliar $\nu$ em $\intoc ab$ dá, portanto, $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$, e duas [medidas](#def-b3-measure-measure) finitas que coincidem no $\pi$-sistema dos intervalos semiabertos coincidem em $\mathcal B$ ([Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness)): $\nu = \mu$. **20.** Por indução sobre $n$: $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$ e, se $c_n$ tem a simetria, então, para $x \in \intcc0{1/3}$: $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x) - 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 - c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$; o terço médio é espelhado em torno de $\frac12$; o terço direito é o caso esquerdo refletido. No limite, $c(1-x) = 1 - c(x)$. Imagem direta: $(s_*\mu)(\intoc ab) = \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ($\mu$ sem átomos, questão 17, de modo que as convenções de bordo nada custam) $= (1 - c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$: $s_*\mu = \mu$ por unicidade. **21.** Seja $X \sim \mu$ (as integrais de funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity) contra $\mu$ existem como limites de somas do tipo de Riemann sobre as peças de profundidade $m$, cada uma de massa $2^{-m}$, com erro de amostragem $\leq \operatorname{osc} \leq \norm{f'}_\infty3^{-m}$; o [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/10-a-integral-de-lebesgue#ch-b3-lebesgue) sistematizará isso). Simetria: $1 - X \sim X$, de modo que $\E X = \frac12$. Autossemelhança: $X$ tem a lei de $\frac Y3$ com probabilidade $\frac12$ e a de $\frac{Y+2}3$ com probabilidade $\frac12$, $Y \sim \mu$, de modo que $$ \E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\, \frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18}, $$ donde $\E X^2 = \frac38$ e $\operatorname{Var}X = \frac38 - \frac14 = \frac18$. A lei uniforme tem variância $\frac1{12} < \frac18$: a massa de Cantor se agarra aos extremos. **22.** $C$ é fechado e $\mu(C) = 1$. Se um aberto $I$ encontra $C$ em $x$, as peças de profundidade $m$ que contêm $x$ encolhem para $x$, de modo que alguma $I_\varepsilon \subseteq I$ e $\mu(I) \geq 2^{-m} > 0$: nenhum fechado menor pode carregar $\mu$. Pontos fora de $C$ têm [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-topology) em lacunas de $\mu$-medida $0$. Logo $\operatorname{supp}\mu = C$ exatamente. **23.** Um fenômeno, dois dialetos. A Parte I diz que o crescimento de $c$ é invisível à sua derivada: $c' = 0$ q.t.p., toda a subida concentrada no conjunto nulo $C$. A Parte V diz que a [medida](#def-b3-measure-measure) associada $\mu_c$ põe toda a sua massa nesse mesmo conjunto nulo: $\mu_c \perp \lambda$, de modo que nenhuma densidade $f \geq 0$ pode satisfazer $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ — uma densidade obriga a anulação em conjuntos $\lambda$-nulos. O dicionário: $F \leftrightarrow$ [medida](#def-b3-measure-measure) finita $\mu_F$ para toda função limitada não decrescente (questões 14–15); $F$ é integral de sua derivada $\leftrightarrow$ $\mu_F$ tem densidade (o caso “absolutamente [contínuo](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity)”); e, em geral, $F'$, que existe q.t.p. para $F$ monótona (teorema de derivação de Lebesgue, além deste capítulo), recupera apenas a parte com densidade. A escada é o extremo: [contínua](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-continuity), com derivada $0$ q.t.p. — sua [medida](#def-b3-measure-measure) é *puramente singular* e o teorema fundamental do cálculo, longe de falhar por acidente, falha exatamente pela quantidade $\mu_c(\R) = 1$ de massa singular. **24.** Fixe $x < y$ em $\intcc01$ e escolha $m \geq 0$ com $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$. Ao longo de qualquer intervalo triádico $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$, a escada sobe no máximo $2^{-m}$: um tal intervalo ou é uma das $2^m$ peças de $C_m$, em que a subida é exatamente $2^{-m}$ (questão 18), ou está contido no [fecho](https://one-course.com/books/math/5/pt/chapter/6-topologia-geral#def-b3-topology-interior) de uma única lacuna de alguma etapa $\leq m$, em que $c$ é constante. Como $y - x \leq 3^{-m}$, o intervalo $\intcc xy$ encontra no máximo dois intervalos triádicos consecutivos de profundidade $m$, de modo que $$ c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m} = 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s} < 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s} = 4\,(y - x)^{s}, $$ usando $3^{s} = 2$ e $3^{-m} < 3(y - x)$. Otimalidade: os extremos $u < v$ de uma peça de Cantor de profundidade $m$ satisfazem $v - u = 3^{-m}$ e $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$; uma cota de Hölder $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ com $t > s$ forçaria $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ (pois $3^{t} > 3^{s} = 2$), e todo subintervalo de $\intcc01$ contém tais peças, de modo que a falha é local também. Forma em [medida](#def-b3-measure-measure): $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq 8r^{s}$ (valores de $c$ estendidos a $\R$ como na questão 16; $\mu$ não tem átomos, questão 17). **25.** Escreva $S_0(x) = \frac x3$ e $S_1(x) = \frac{x+2}3$; a hipótese diz que $\nu = \frac12(S_0)_*\nu + \frac12(S_1)_*\nu$. Iterando $m$ vezes, $$ \nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu, \qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}. $$ Como $\nu$ é carregada por $\intcc01$ e $S_w(\intcc01) = I_w$, a peça de Cantor de profundidade $m$ indexada por $w$, cada $(S_w)_*\nu$ é uma [medida](#def-b3-measure-measure) de probabilidade carregada por $I_w$; as $2^m$ peças são intervalos fechados dois a dois disjuntos de comprimento $3^{-m}$. Fixe $\intoc ab$ e seja $N_m$ o número de peças $I_w \subseteq \intoc ab$. Uma peça que encontra $\intoc ab$ sem estar contida nele deve conter $a$ ou $b$, e um ponto está em no máximo uma peça, de modo que $$ 2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}. $$ A mesma dupla desigualdade vale para $\mu$ (a questão 19 dá a iteração idêntica), com a mesma contagem $N_m$. Logo $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$: $\nu$ e $\mu$ coincidem no $\pi$-sistema dos intervalos semiabertos, e ambas são [medidas](#def-b3-measure-measure) de probabilidade, de modo que o [Teorema 9.7](#thm-b3-measure-uniqueness) dá $\nu = \mu$. A [medida](#def-b3-measure-measure) da escada é, assim, *o* ponto fixo do esquema de média com duas aplicações — o enunciado, no nível das [medidas](#def-b3-measure-measure), da autossemelhança de $C$.