---
title: "الكثافة: لماذا تطفو الأشياء"
book: "الفيزياء في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: physics
language: ar
chapter: 44
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/44-density-why-things-float
---

# الفصل 44 — الكثافة: لماذا تطفو الأشياء

في سنتك الأولى غرقت قطعة نقود صغيرة وطفا جذع عظيم، ووعدنا بأن “اللماذا” كنز من كنوز هذا المنهاج. وقد استحققته. فالمفتاح صيغ عبر فصلين — [الكتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) للمادة، [والحجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) للحيّز — واليوم يدوران معًا في القفل.

## 44.1 كتلة سنتيمتر مكعّب واحد

**مثال 44.1 (مقارنة عادلة أخيرًا).**

لم تكن مقارنة جذع كامل بقطعة نقود كاملة عادلة قطّ: أحجام مختلفة وأشكال مختلفة. أما المباراة العادلة فتأخذ *أحجامًا متساوية*: سنتيمترًا مكعّبًا واحدًا من كل متبارٍ. [فسنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) من الماء كتلته $1\,\mathrm{g}$. [وسنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) من البلّوط: نحو $0.6\,\mathrm{g}$. ومن الحجر: نحو $2.5\,\mathrm{g}$. ومن الحديد: $7.9\,\mathrm{g}$. أحياز متساوية ومادة متفاوتة تفاوتًا جامحًا — وهذا هو العدد الذي كانت لعبة [الطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) تنتظره.

**تعريف 44.2 (الكثافة).**

*كثافة* مادة هي [كتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) واحد منها بالغرامات. فكثافة الماء $1\,\mathrm{g}$ لكل $\mathrm{cm}^{3}$؛ وكثافة البلّوط نحو $0.6$؛ وكثافة الحديد $7.9$. ولإيجاد كثافة لا يلزم جهاز جديد: قِس [كتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) عيّنة وحجمها، ثم اقسم — وزّع الغرامات بالتساوي على السنتيمترات المكعّبة، فيكون الجواب حصة كل [سنتيمتر](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/7-measuring-length#def-g2-measuring-length-units).

![المباراة العادلة: الحيّز نفسه للجميع، فتُظهر كل مادة كتلتها التي توقّعها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/fig-ac6254b0b1c1.svg)

*المباراة العادلة: الحيّز نفسه للجميع، فتُظهر كل مادة كتلتها التي توقّعها.*

**قضية 44.3 (الكثافة توقيع).**

[كثافة](#def-g6-density-floating-density) مادة نقية واحدة في كل قطعة منها، كبيرة كانت أم صغيرة: فشظيّة بلّوط وعارضة كاملة تحملان نحو $0.6\,\mathrm{g}$ في كل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). [فالكثافة](#def-g6-density-floating-density) إذن تعرّف الموادّ، كما تفعل درجات [الانصهار](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/39-water-in-all-its-states#def-g6-water-states-changes): قِس [كتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) جسم غامض وحجمه، واقسم، وقارن بالجدول — فكثيرًا ما تعترف المادة في الحال.

**طريقة 44.4 (كيف تقيس كثافة).**

لحصاة — أو لتاج:

1. قِس كتلتها بالميزان: ولنقل $75\,\mathrm{g}$ ؛
2. وقِس حجمها بارتفاع الماء: ولنقل $30\,\mathrm{cm}^{3}$ ؛
3. واقسم الغرامات على السنتيمترات المكعّبة: $75 \div 30 = 2.5$ — فكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) يحمل $2.5\,\mathrm{g}$ ؛
4. وراجِع الجدول: [الكثافة](#def-g6-density-floating-density) $2.5$ — فحصاتنا حجر عادي.

## 44.2 قاعدة الطفو

**قضية 44.5 (لماذا تطفو الأشياء).**

[يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) الجسم في الماء إذا كانت كثافته *أقلّ* من [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الماء — أي أقلّ من $1\,\mathrm{g}$ لكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) — [ويغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) إذا كانت كثافته أكبر. فالماء، إن صحّ التعبير، يقارن الداخل الجديد بنفسه، حيّزًا بحيّز: فالأخفّ منّي لكل حيّز يركب في الأعلى؛ والأثقل لكل حيّز ينزل. والقاعدة نفسها تحكم أي [سائل](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/14-solids-liquids-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid)، ولكل واحد كثافته حَكَمًا.

![الثلج أقلّ كثافة من الماء بقليل لا غير — فيطفو الجبل الجليدي غاطسًا، مخبّئًا معظم كتلته تحت خطّ الماء.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/img-028e91187a7c.jpg)

*الثلج أقلّ [كثافة](#def-g6-density-floating-density) من الماء بقليل لا غير — [فيطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) الجبل الجليدي غاطسًا، مخبّئًا معظم كتلته تحت خطّ الماء.*

**مثال 44.6 (ستّ سنوات من الأحاجي، محسومةً).**

الجذع ($0.6$): [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words)، مهما ضخم — فكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) منه يزايد دون الماء. وقطعة النقود (برونز، قرب $9$): تغرق، مهما صغرت. والبطّة البلاستيكية والفلّينة والقلم: دون $1$، فكلها طافية. والثلج، عند $0.9$ — وهو صلب الماء المنتفخ — [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) على سائله بشعرة، ولهذا تلبس البِرَك أغطية وتبحر الجبال الجليدية. وقارب المعجونة؟ مشكَّلًا وعاءً، يحمل طرد *القارب مع [الهواء](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/10-air-around-us#def-g2-air-around-us-air)* هواءً كثيرًا لكل حيّز: فتهبط [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الطرد دون $1$، وفي الموانئ تُطلق الحيلة نفسها سفنًا فولاذية وزنها عشرة آلاف طنّ.

![خطّ الكثافة: السوائل تتراصّ الأكثف في الأسفل، والثلج عند 0.9 يركب ولا يعلو منه فوق الماء إلا العشر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/fig-3eae456c24a0.svg)

*خطّ [الكثافة](#def-g6-density-floating-density): السوائل تتراصّ الأكثف في الأسفل، والثلج عند $0.9$ يركب ولا يعلو منه فوق الماء إلا العشر.*

**مثال 44.7 (برج السوائل).**

اسكب عسلًا، ثم ماءً ملوّنًا بحبر، ثم زيتًا برفق على جدار كأس طويلة: ثلاث طبقات، العسل ($1.4$) في القاع، والزيت ($0.9$) في الأعلى، يرفضان خلط مراتبهما. وأدخِل ضيوفًا: حبّة عنب ($1.05$) تغرق عبر الزيت، وتغرق عبر الماء، وتستقرّ على العسل — أكثف من طابقين وأخفّ من الثالث. والبرج قاعدة [الطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) مؤدّاةً على خشبة مسرح.

**ملاحظة 44.8 (قراءة الجبل الجليدي).**

[كثافة](#def-g6-density-floating-density) الثلج $0.9$ في مواجهة [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الماء $1.0$ تفعل أكثر من إطفاء الجبل: فهي تحدّد خطّ الماء. فتسعة أعشار [كتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) الجبل الجليدي تركب *تحت* السطح — وهي [الكتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) الخفيّة المشهورة التي أغرقت سفنًا معتدّة. أما *لماذا* يطابق الجزء الغاطس نسبة الكثافتين فقانون بديع لعالِم حوض الحمّام القديم نفسه، مبرهَن على أصوله في مجلّد المرحلة الثانوية؛ وجدول الكثافات يهمس بالجواب أصلًا.

## 44.3 التاج، أخيرًا

**مثال 44.9 (أرخميدس يُغلق القضية).**

والآن أنهِ القصة التي بدأت قبل فصلين. أما [كتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) التاج: فسهلة، يعطيها الميزان. وأما حجمه: فمستحيل على تحفة متكتّلة — حتى أعطى درس حوض الحمّام طريقة الارتفاع. [والكتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) مقسومة على [الحجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume): *[كثافة](#def-g6-density-floating-density)* التاج — [والكثافة](#def-g6-density-floating-density) توقيع. فالذهب الخالص يوقّع $19.3$؛ والفضة توقّع $10.5$؛ وخليط سرّي يوقّع شيئًا بينهما. وتقول الأسطورة إن تاج الصائغ اعترف [بكثافة](#def-g6-density-floating-density) تقصّر عن [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الذهب كثيرًا، فانكشف الغشّ من غير خدش واحد في التاج. ومسألة نهاية الأسبوع تسلّمك أعداده.

## 44.4 تمارين

**تمرين 44.1 ★.**

ما [كثافة](#def-g6-density-floating-density) مادة؟ أعطِ [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الماء، واذكر قاعدة [الطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words).

**حل التمرين 44.1.**

[كتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) واحد من المادة بالغرامات؛ [وكثافة](#def-g6-density-floating-density) الماء $1\,\mathrm{g}$ لكل $\mathrm{cm}^{3}$. والقاعدة: ما كان أقلّ [كثافة](#def-g6-density-floating-density) من الماء طفا، وما كان أكثف [غرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words).

**تمرين 44.2 ★.**

توقّع [الطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) أو [الغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) في الماء: بلّوط ($0.6$)؛ حجر ($2.5$)؛ فلّين ($0.2$)؛ حديد ($7.9$)؛ ثلج ($0.9$).

**حل التمرين 44.2.**

البلّوط [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words)؛ والحجر [يغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words)؛ والفلّين [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words)؛ والحديد [يغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words)؛ والثلج [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) — بشعرة.

**تمرين 44.3 ★.**

قالب كتلته $120\,\mathrm{g}$ وحجمه $80\,\mathrm{cm}^{3}$. جِد كثافته. أيطفو أم [يغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words)؟

**حل التمرين 44.3.**

$120 \div 80 = 1.5$: [الكثافة](#def-g6-density-floating-density) $1.5$ — وهو أكثف من الماء، [فيغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words).

**تمرين 44.4 ★.**

[كتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) غامضة: كتلتها $158\,\mathrm{g}$، وارتفاع الماء في المخبار $20\,\mathrm{cm}^{3}$. فما كثافتها — وما مادّتها المرجّحة من أعداد الفصل؟

**حل التمرين 44.4.**

$158 \div 20 = 7.9$: وهو توقيع الحديد.

**تمرين 44.5 ★.**

لماذا تكون [كثافة](#def-g6-density-floating-density) شظيّة بلّوط [ككثافة](#def-g6-density-floating-density) عارضة بلّوط كاملة؟ وفيمَ تنفع هذه الخاصّية؟

**حل التمرين 44.5.**

[الكثافة](#def-g6-density-floating-density) تخصّ المادة لا القطعة: فكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) من البلّوط يحمل حصة الغرامات نفسها، شظيّةً كان أم عارضة. وهذا ما يجعل [الكثافة](#def-g6-density-floating-density) [بطاقة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/29-energy-in-everyday-life#def-g5-everyday-energy-energy) هوية للموادّ المجهولة.

**تمرين 44.6 ★.**

في برج السوائل، لماذا يستقرّ العسل في القاع والزيت في الأعلى؟ وأين تستقرّ حبّة عنب كثافتها $1.05$؟

**حل التمرين 44.6.**

السوائل تتراصّ [بالكثافة](#def-g6-density-floating-density)، الأكثف في القاع: فالعسل $1.4$ تحت الماء $1.0$ تحت الزيت $0.9$. وحبّة العنب ($1.05$) تغرق عبر الزيت والماء وتستقرّ على أرض العسل — أكثف من الطابقين العلويين، وأقلّ [كثافة](#def-g6-density-floating-density) من العسل.

**تمرين 44.7 ★.**

الثلج [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) على الماء — فلماذا كان ذلك غريبًا في [جسم صلب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/14-solids-liquids-gases#def-g3-solids-liquids-gases-solid)، وأيّ قضية قديمة عن [تجمّد](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/9-ice-water-steam#def-g2-ice-water-steam-meltfreeze) الماء تفسّر [الكثافة](#def-g6-density-floating-density) $0.9$؟

**حل التمرين 44.7.**

أكثر الأجسام الصلبة أكثف من سائلها فتغرق فيه. أما الثلج [فيطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) لأن الماء ينتفخ عند [التجمّد](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/9-ice-water-steam#def-g2-ice-water-steam-meltfreeze) — فالمادة نفسها في حيّز أكبر بالعشر تعطي [كثافة](#def-g6-density-floating-density) $0.9 < 1$.

**تمرين 44.8 ★.**

الجذع العظيم وقطعة النقود الصغيرة في سنتك الأولى: أعطِ الجواب النهائي الكامل، بأعداد من الفصل.

**حل التمرين 44.8.**

الخشب يوقّع نحو $0.6$: فكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) من الجذع يزايد دون $1\,\mathrm{g}$ للماء، [فيطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) الجذع مهما ضخم. والبرونز يوقّع قرب $9$: فكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) من القطعة يزايد فوق الماء، فتغرق مهما صغرت. [فالحجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) لم يهمّ قطّ؛ وإنما همّت دائمًا [الكتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) لكل حيّز.

**تمرين 44.9 ★★.**

[لتر](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) واحد من [سائل](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/14-solids-liquids-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) ما كتلته $800\,\mathrm{g}$. فما كثافته بالغرامات لكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)؟ وهل [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) فيه مكعّب ثلج ($0.9$) أم [يغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words)؟

**حل التمرين 44.9.**

$1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}$، ومنه $800 \div 1000 = 0.8$ [غرام](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-units) لكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). والثلج عند $0.9$ *أكثف* من هذا [السائل](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/14-solids-liquids-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid): [فيغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) مكعّب الثلج فيه.

**تمرين 44.10 ★★.**

الفولاذ يوقّع $7.9$، ومع ذلك تطفو السفن الفولاذية. حُلّ المفارقة بفكرة الطرد في [المثال 44.6](#ex-g6-density-floating-settled) — ما الذي ينتمي إلى طرد السفينة إلى جانب الفولاذ، وكم يجب أن تكون كثافته الكلّية؟ ومتى تكفّ سفينة مثقوبة عن استيفاء القاعدة؟

**حل التمرين 44.10.**

الطرد الطافي هو البدن كله: القشرة الفولاذية *مع* [الحجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) العظيم من [الهواء](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/10-air-around-us#def-g2-air-around-us-air) الذي تحويه. وبتوسيط ذلك الحيّز كله تهبط [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الطرد دون $1$، فتقول القاعدة: [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words). والثقب يدع الماء يحلّ محلّ [الهواء](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/10-air-around-us#def-g2-air-around-us-air): فتصعد [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الطرد نحو [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الفولاذ نفسه، وتتجاوز $1$ — فتقول القاعدة، غير مبالية: [يغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words).

**تمرين 44.11 ★★.**

ماء البحر أكثف قليلًا من الماء العذب — نحو $1.03$. اشرح لماذا [يطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) السبّاحون في البحر طفوًا أحسن بوضوح، وتوقّع ما يحدث لخطّ ماء سفينة وهي تبحر من البحر المالح إلى نهر عذب.

**حل التمرين 44.11.**

تغيّر الحَكَم: ففي مواجهة [كثافة](#def-g6-density-floating-density) ماء البحر $1.03$ يقع جسم السبّاح، وكثافته قرب $1$، في الجانب الطافي بأريحية، فيحملك البحر أعلى. وبدخول الماء العذب ($1.0$) تفقد السفينة ذلك الهامش فتستقرّ أعمق: فيرتفع خطّ مائها على البدن.

**تمرين 44.12 ★★★.**

كرة معدنية مجوّفة تطفو غاطسة إلى نصفها بالضبط في الماء. استنتج [كثافة](#def-g6-density-floating-density) *طرد الكرة كله* (القشرة المعدنية مع [الهواء](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/10-air-around-us#def-g2-air-around-us-air) الذي في داخلها). ثم احتجّ في أيّ اتجاه تتحرّك إذا تسرّب الماء إلى داخلها على مهل، وفي أيّ لحظة تبدأ [بالغرق](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) — القاعدة والطرد يعملان معًا.

**حل التمرين 44.12.**

غاطسةً إلى نصفها تقف الكرة في الماء وقوف طرد كثافته نصف [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الماء: فالقشرة مع [الهواء](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/10-air-around-us#def-g2-air-around-us-air) يتوسّطان عند نحو $0.5$ [غرام](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-units) لكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) — [والهواء](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/10-air-around-us#def-g2-air-around-us-air) المختبئ يقوم بأكثر التخفيف. وبتسرّب الماء يحلّ محلّ [الهواء](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/10-air-around-us#def-g2-air-around-us-air)، فتصعد [كثافة](#def-g6-density-floating-density) الطرد الوسطى، وتستقرّ الكرة أعمق فأعمق؛ وفي اللحظة التي تتجاوز فيها الكثافةُ الوسطى كثافةَ الماء $1.0$ تنقلب قاعدة [الطفو](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) إلى الجانب الآخر فتنزل الكرة.

## 44.5 مسألة: تاج الملك

**مسألة 44.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — قضية تاج الملك، معادةً بأجهزتك؛ محاكمة الصائغ، محلولةً بالقسمة

أعِد فتح أشهر قضية غشّ في العصور القديمة بأعداد حديثة. والتواقيع: الذهب $19.3$، والفضة $10.5$ (بالغرامات لكل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)).

**الجزء الأول — الأدلّة.** أعطى الملك الصائغ $1930\,\mathrm{g}$ من الذهب الخالص. والتاج المنتهي، على الميزان: $1930\,\mathrm{g}$ بالضبط.

1. [الكتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) مطابقة تمامًا. فلماذا لا يثبت هذا وحده شيئًا عن الغشّ؟ (ما الذي كان يمكن أن يفعله الصائغ ويظلّ مطابقًا؟)
2. وأيّ [حجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) ينبغي أن تشغله $1930\,\mathrm{g}$ من *الذهب الخالص* ؟ (وزّع الغرامات: كم سنتيمترًا مكعّبًا بمعدّل $19.3\,\mathrm{g}$ لكل واحد؟)
3. ويُنزل أرخميدس التاج في إناء ممتلئ حتى الحافة ويجمع الفائض: $130\,\mathrm{cm}^{3}$ . فما [حجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) التاج الحقيقي؟
4. وقارن الحجمين. فبمَ يصيح هذا المقارنة أصلًا؟

**الجزء الثاني — التوقيع.**

5. احسب [كثافة](#def-g6-density-floating-density) التاج من كتلته وحجمه المقيس (منزلة عشرية واحدة تكفي).
6. وضع التواقيع الثلاثة جنبًا إلى جنب: الذهب، والتاج، والفضة. فأين يقع التاج؟
7. واشرح للملك في جملة واحدة لماذا لا يمكن أن يكون التاج ذهبًا خالصًا.
8. ويحتجّ الصائغ: “لعلّ الميزان أخطأ!” فامنحه خطأً سخيًّا قدره $30\,\mathrm{g}$ في الاتجاهين. فهل تنقذ أيّ [كتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) بين $1900\,\mathrm{g}$ و $1960\,\mathrm{g}$ تاجًا من ذهب خالص حجمه $130\,\mathrm{cm}^{3}$ ؟ (افحص مدى [الكثافة](#def-g6-density-floating-density) .)

**الجزء الثالث — كم سُرق؟** افترض أن الصائغ احتفظ ببعض الذهب واستبدل به فضةً، غرامًا [بغرام](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-units).

9. لماذا يُبقي استبدال الفضة بالذهب، غرامًا [بغرام](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-units) ، الكتلةَ صحيحة *وينفخ* الحجمَ؟
10. اختبر حَزْرًا: تاج فيه $965\,\mathrm{g}$ ذهبًا $+$ $965\,\mathrm{g}$ فضة. فما [حجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) حصة الذهب؟ وما [حجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) حصة الفضة؟ (منزلة عشرية واحدة.)
11. واجمع [حجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) التاج المحزور، واحكم على الحَزْر في مواجهة $130\,\mathrm{cm}^{3}$ المقيسة: أفضة أكثر مما ينبغي أم أقلّ؟
12. وتحتاج المحكمة إلى جملة حكم: اذكر ما ثبت بلا شكّ (ذهب خالص أم لا)، وما الطريقة، ولماذا لم يُحتَج إلى إتلاف التاج البتة — وهو انتصار أرخميدس الحقيقي.

**حل المسألة 44.1.**

**1.** لا شيء: فمبادلة الذهب [بكتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) *مساوية* من الفضة تُرضي الميزان — [والكتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) وحدها لا ترى الاستبدال. **2.** $1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$. **3.** $130\,\mathrm{cm}^{3}$ — فالفائض هو [حجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) التاج، بالإزاحة. **4.** التاج يشغل $30\,\mathrm{cm}^{3}$ من الحيّز أكثر ممّا ينبغي لذهب خالص بكتلته: فشيء أضخم من الذهب مختبئ في الداخل. **5.** $1930 \div 130 \approx 14.8$. **6.** الذهب $19.3$ — والتاج $14.8$ — والفضة $10.5$: فالتاج يقع بين التوقيعين. **7.** “مولاي، كل [سنتيمتر مكعّب](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) من الذهب الخالص يحمل $19.3\,\mathrm{g}$؛ وتاجك لا يحمل إلا نحو $15$ — فليس ذهبًا خالصًا.” **8.** المدى يعطي كثافات من $1900 \div 130 \approx
14.6$ إلى $1960 \div 130 \approx 15.1$ — وليست قريبة من $19.3$ البتة: فلا خطأ ميزان معقول ينقذ الصائغ. **9.** الفضة أقلّ [كثافة](#def-g6-density-floating-density): فكل [غرام](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-units) مسروق من الذهب ردّ غرامًا من الفضة يحتاج إلى *حيّز أكبر* — فالاستبدال غرامًا [بغرام](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-units) يحفظ [الكتلة](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) وينفخ [الحجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). **10.** حصة الذهب: $965 \div 19.3 = 50.0\,\mathrm{cm}^{3}$؛ وحصة الفضة: $965 \div 10.5 \approx 91.9\,\mathrm{cm}^{3}$. **11.** المجموع $\approx 142\,\mathrm{cm}^{3}$ — أكثر من $130$ المقيسة: فالحَزْر بالمناصفة استعمل فضة أكثر مما ينبغي؛ والسرقة الحقيقية أصغر ([فالحجم](https://one-course.com/books/physics/1/ar/chapter/38-mass-and-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) المقيس يقع بين $100$ و$142$). **12.** “ثبت: أن التاج ليس ذهبًا خالصًا. والطريقة: كتلته موزَّعةً على حجمه المقيس بالماء تعطي [كثافة](#def-g6-density-floating-density) دون توقيع الذهب الثابت بكثير. ولم يحتج التاج إلى خدش واحد: فقد قرأ الماء سرّه من الخارج — وذلك هو الانتصار.”