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title: "La densidad: por qué flotan las cosas"
book: "Física de primaria y secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 44
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/44-la-densidad-por-que-flotan-las-cosas
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# Capítulo 44 — La densidad: por qué flotan las cosas

En tu primer año, una monedita se hundía mientras un tronco enorme flotaba, y prometimos que el “porqué” era un tesoro de este curso. Te lo has ganado. La llave se forjó a lo largo de dos capítulos — la [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) para la sustancia y el volumen para el sitio — y hoy las dos giran juntas dentro de la cerradura.

## 44.1 La masa de un centímetro cúbico

**Ejemplo 44.1 (Por fin una comparación justa).**

Comparar un tronco entero con una moneda entera no fue nunca justo: tamaños distintos, formas distintas. El certamen justo toma *volúmenes iguales*: un [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de cada concursante. Un $\mathrm{cm}^{3}$ de agua tiene una [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) de $1\,\mathrm{g}$. Un $\mathrm{cm}^{3}$ de roble: unos $0.6\,\mathrm{g}$. De piedra: unos $2.5\,\mathrm{g}$. De hierro: $7.9\,\mathrm{g}$. Sitios iguales, sustancias desaforadamente desiguales — este es el número que estaba esperando el juego de la flotación.

**Definición 44.2 (La densidad).**

La *densidad* de una sustancia es la [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) de un [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de ella, en [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units). La densidad del agua es de $1\,\mathrm{g}$ por $\mathrm{cm}^{3}$; la del roble, unos $0.6$; la del hierro, $7.9$. Para hallar una densidad no hace falta ningún instrumento nuevo: mide la [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) y el volumen de una muestra y divide — reparte los [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) por igual entre los [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume), y la respuesta es la parte que le toca a cada [centímetro](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/7-medir-longitudes#def-g2-measuring-length-units).

![El certamen justo: el mismo sitio para todos, y cada sustancia enseña su masa característica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/fig-02f83dda6340.svg)

*El certamen justo: el mismo sitio para todos, y cada sustancia enseña su [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) característica.*

**Proposición 44.3 (La densidad es una firma).**

La [densidad](#def-g6-density-floating-density) de una sustancia pura es la misma en todos sus trozos, grandes o pequeños: una astilla de roble y una viga entera llevan las dos unos $0.6\,\mathrm{g}$ en cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume). Por eso la [densidad](#def-g6-density-floating-density) identifica sustancias, igual que hacen los [puntos de fusión](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/21-fusion-y-ebullicion-los-cambios-de-estado#def-g4-changes-of-state-melting-point): mide la [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) y el volumen de un objeto misterioso, divide y compara con la tabla — la sustancia confiesa a menudo en el acto.

**Método 44.4 (Medir una densidad).**

Para un guijarro — o para una corona:

1. mide su [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) con la [balanza](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/17-palancas-y-balanzas#def-g3-levers-and-scales-scale) : pongamos $75\,\mathrm{g}$ ;
2. mide su [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) por la subida del agua: pongamos $30\,\mathrm{cm}^{3}$ ;
3. divide los [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) entre los [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) : $75 \div 30 = 2.5$ — cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) lleva $2.5\,\mathrm{g}$ ;
4. consulta la tabla: [densidad](#def-g6-density-floating-density) $2.5$ — nuestro guijarro es piedra corriente.

## 44.2 La regla de la flotación

**Proposición 44.5 (Por qué flotan las cosas).**

Un objeto [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) en el agua si su [densidad](#def-g6-density-floating-density) es *menor* que la del agua — menos de $1\,\mathrm{g}$ por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) — y [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) si su [densidad](#def-g6-density-floating-density) es mayor. El agua, por así decirlo, compara al intruso consigo misma, sitio a sitio: quien pesa menos que yo por sitio viaja arriba; quien pesa más por sitio se va abajo. La misma regla gobierna en cualquier [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid), con su propia [densidad](#def-g6-density-floating-density) de árbitro.

![El hielo es solo un poco menos denso que el agua — así que un iceberg flota muy hundido y esconde casi todo su volumen bajo la línea de flotación.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/img-028e91187a7c.jpg)

*El hielo es solo un poco menos denso que el agua — así que un iceberg [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) muy hundido y esconde casi todo su [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) bajo la línea de flotación.*

**Ejemplo 44.6 (Seis años de enigmas, zanjados).**

El tronco ($0.6$): [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words), por enorme que sea — todos sus [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) pujan por debajo del agua. La moneda (de bronce, cerca de $9$): [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words), por pequeña que sea. El patito de plástico, el corcho, el lápiz: por debajo de $1$, todos flotadores. El hielo, en $0.9$ — el [sólido](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-solid) hinchado de la propia agua —, [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) en su propio [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) por los pelos, y por eso los estanques llevan tapa y los icebergs navegan. ¿Y el barco de plastilina? Con forma de cuenco, el paquete *barco más [aire](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/10-el-aire-que-nos-rodea#def-g2-air-around-us-air)* guarda mucho [aire](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/10-el-aire-que-nos-rodea#def-g2-air-around-us-air) por sitio ocupado: la [densidad](#def-g6-density-floating-density) del paquete baja de $1$, y abajo en los muelles el mismo truco bota barcos de acero de diez mil toneladas.

![La letra de la densidad: los líquidos se apilan con el más denso abajo, y el hielo, en 0.9, navega con solo una décima parte de sí mismo por encima del agua.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/fig-311a321715c2.svg)

*La letra de la [densidad](#def-g6-density-floating-density): los [líquidos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) se apilan con el más denso abajo, y el hielo, en $0.9$, navega con solo una décima parte de sí mismo por encima del agua.*

**Ejemplo 44.7 (La torre de líquidos).**

Vierte con suavidad, por la pared de un vaso alto, primero miel, después agua teñida con tinta y por último aceite: tres capas, con la miel ($1.4$) en el fondo y el aceite ($0.9$) arriba, negándose a mezclar sus rangos. Echa dentro invitados: una uva ($1.05$) [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) por el aceite, [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) por el agua y se posa sobre la miel — más densa que dos pisos y más ligera que el tercero. La torre es la regla de la flotación representada como teatro.

**Observación 44.8 (Leer el iceberg).**

El $0.9$ del hielo frente al $1.0$ del agua hace más que hacer [flotar](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) el iceberg: fija la línea de flotación. Nueve décimas partes del [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de un iceberg viajan *por debajo* de la superficie — la famosa [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) escondida que hundió barcos orgullosos. *Por qué* exactamente la fracción sumergida coincide con la razón de [densidades](#def-g6-density-floating-density) es una ley preciosa del propio científico de la bañera antigua, demostrada con honradez en el volumen de secundaria; la tabla de [densidades](#def-g6-density-floating-density) ya susurra la respuesta.

## 44.3 La corona, por fin

**Ejemplo 44.9 (Arquímedes cierra el caso).**

Termina ahora la historia empezada hace dos capítulos. La [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) de la corona: fácil, la da la [balanza](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/17-palancas-y-balanzas#def-g3-levers-and-scales-scale). Su [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume): imposible para una obra maestra llena de bultos — hasta que la lección de la bañera dio el método de la subida. La [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) dividida entre el volumen: la *[densidad](#def-g6-density-floating-density)* de la corona — y la [densidad](#def-g6-density-floating-density) es una firma. El oro puro firma $19.3$; la plata firma $10.5$; una mezcla secreta firma algo intermedio. Cuenta la leyenda que la corona del orfebre confesó una [densidad](#def-g6-density-floating-density) muy lejos de la del oro, y el fraude quedó al descubierto sin un solo arañazo en la corona. El problema de fin de semana te entrega sus números.

## 44.4 Ejercicios

**Ejercicio 44.1 ★.**

¿Qué es la [densidad](#def-g6-density-floating-density) de una sustancia? Da la del agua y enuncia la regla de la flotación.

**Solución de Ejercicio 44.1.**

La [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) de un [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de la sustancia, en [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units); la del agua es $1\,\mathrm{g}$ por $\mathrm{cm}^{3}$. La regla: lo menos denso que el agua [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) y lo más denso [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Ejercicio 44.2 ★.**

Predice si [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) o [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) en agua: el roble ($0.6$); la piedra ($2.5$); el corcho ($0.2$); el hierro ($7.9$); el hielo ($0.9$).

**Solución de Ejercicio 44.2.**

El roble [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words); la piedra [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words); el corcho [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words); el hierro [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words); el hielo [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) — por los pelos.

**Ejercicio 44.3 ★.**

Un bloque tiene una [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) de $120\,\mathrm{g}$ y un [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de $80\,\mathrm{cm}^{3}$. Halla su [densidad](#def-g6-density-floating-density). ¿[Flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) o [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words)?

**Solución de Ejercicio 44.3.**

$120 \div 80 = 1.5$: [densidad](#def-g6-density-floating-density) $1.5$ — más denso que el agua, así que [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Ejercicio 44.4 ★.**

Un trozo misterioso: [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) $158\,\mathrm{g}$, subida en la probeta $20\,\mathrm{cm}^{3}$. ¿Su [densidad](#def-g6-density-floating-density) y, con los números del capítulo, su sustancia más probable?

**Solución de Ejercicio 44.4.**

$158 \div 20 = 7.9$: la firma del hierro.

**Ejercicio 44.5 ★.**

¿Por qué es la [densidad](#def-g6-density-floating-density) de una astilla de roble la misma que la de una viga entera de roble? ¿Para qué sirve esta propiedad?

**Solución de Ejercicio 44.5.**

La [densidad](#def-g6-density-floating-density) pertenece a la sustancia, no al trozo: todos los [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de roble llevan la misma ración de [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units), sean de una astilla o de una viga. Eso convierte a la [densidad](#def-g6-density-floating-density) en un carné de identidad para sustancias desconocidas.

**Ejercicio 44.6 ★.**

En la torre de [líquidos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid), ¿por qué se sienta la miel en el fondo y el aceite arriba? ¿Dónde acaba posándose una uva de [densidad](#def-g6-density-floating-density) $1.05$?

**Solución de Ejercicio 44.6.**

Los [líquidos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) se apilan por [densidad](#def-g6-density-floating-density), con el más denso abajo: la miel $1.4$ debajo del agua $1.0$ y esta debajo del aceite $0.9$. La uva ($1.05$) [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) por el aceite y por el agua y se posa en el suelo de miel — más densa que los dos pisos de arriba y menos densa que la miel.

**Ejercicio 44.7 ★.**

El hielo [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) en el agua — ¿por qué es raro esto en un [sólido](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-solid) y qué vieja proposición sobre el agua que [se congela](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/9-hielo-agua-vapor#def-g2-ice-water-steam-meltfreeze) explica el $0.9$?

**Solución de Ejercicio 44.7.**

Casi todos los [sólidos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-solid) son más densos que su propio [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) y se hunden en él. El hielo [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) porque el agua se hincha al [congelarse](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/9-hielo-agua-vapor#def-g2-ice-water-steam-meltfreeze) — la misma sustancia en una décima parte más de sitio da una [densidad](#def-g6-density-floating-density) de $0.9 < 1$.

**Ejercicio 44.8 ★.**

El tronco enorme y la monedita de tu primer año: da la respuesta final y completa, con los números del capítulo.

**Solución de Ejercicio 44.8.**

La madera firma unos $0.6$: todos los [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) del tronco pujan por debajo del $1\,\mathrm{g}$ del agua, así que el tronco [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) por enorme que sea. El bronce firma cerca de $9$: todos los [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de la moneda pujan por encima del agua, así que [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) por pequeña que sea. El tamaño no importó nunca; la [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) por sitio ocupado importó siempre.

**Ejercicio 44.9 ★★.**

Un [litro](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de cierto [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) tiene una [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) de $800\,\mathrm{g}$. ¿Cuál es su [densidad](#def-g6-density-floating-density) en [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume)? ¿Flotará o se hundirá en él un cubito de hielo ($0.9$)?

**Solución de Ejercicio 44.9.**

$1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}$, así que $800 \div 1000 = 0.8$ [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume). El hielo, con $0.9$, es *más denso* que este [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/14-solidos-liquidos-y-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid): el cubito [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) en él.

**Ejercicio 44.10 ★★.**

El acero firma $7.9$ y, sin embargo, los barcos de acero flotan. Resuelve la paradoja con la idea del paquete del [Ejemplo 44.6](#ex-g6-density-floating-settled) — ¿qué forma parte del paquete barco además del acero y cuál tiene que ser su [densidad](#def-g6-density-floating-density) global? ¿Cuándo deja de cumplir la regla un barco con una vía de agua?

**Solución de Ejercicio 44.10.**

El paquete que [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) es el casco entero: la cáscara de acero *más* el enorme [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de [aire](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/10-el-aire-que-nos-rodea#def-g2-air-around-us-air) que encierra. Promediada sobre todo ese sitio, la [densidad](#def-g6-density-floating-density) del paquete cae por debajo de $1$, y la regla dice [flotar](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words). Una vía de agua deja que el agua sustituya al [aire](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/10-el-aire-que-nos-rodea#def-g2-air-around-us-air): la [densidad](#def-g6-density-floating-density) del paquete sube hacia la del propio acero, pasa de $1$ — y la regla, impasible, dice [hundirse](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Ejercicio 44.11 ★★.**

El agua del mar es un poco más densa que el agua dulce — alrededor de $1.03$. Explica por qué los nadadores flotan claramente mejor en el mar y predice qué le pasa a la línea de flotación de un barco cuando navega del mar salado a un río de agua dulce.

**Solución de Ejercicio 44.11.**

El árbitro ha cambiado: frente al $1.03$ del agua de mar, el cuerpo de un nadador, cercano a $1$, queda cómodamente del lado de la flotación, así que el mar te lleva más alto. Al entrar en agua dulce ($1.0$), el barco pierde ese margen y [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) más: su línea de flotación sube por el casco.

**Ejercicio 44.12 ★★★.**

Una esfera metálica hueca [flota](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) exactamente medio sumergida en agua. Razona la [densidad](#def-g6-density-floating-density) del *paquete esfera completo* (la cáscara de metal más el [aire](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/10-el-aire-que-nos-rodea#def-g2-air-around-us-air) de dentro). Argumenta después hacia dónde se mueve si se le va colando agua dentro poco a poco y en qué momento empieza a [hundirse](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) — la regla y el paquete, trabajando juntos.

**Solución de Ejercicio 44.12.**

Medio sumergida, la esfera [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) en el agua exactamente lo que debería [hundirse](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) un paquete con la mitad de la [densidad](#def-g6-density-floating-density) del agua: la cáscara más el [aire](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/10-el-aire-que-nos-rodea#def-g2-air-around-us-air) promedian alrededor de $0.5$ [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) — y quien más aligera es el [aire](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/10-el-aire-que-nos-rodea#def-g2-air-around-us-air) escondido. Según entra agua, esta sustituye al [aire](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/10-el-aire-que-nos-rodea#def-g2-air-around-us-air), la [densidad](#def-g6-density-floating-density) media del paquete sube y la esfera [se hunde](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/5-flotar-y-hundirse#def-g1-floating-and-sinking-words) cada vez más; en el momento en que esa media pasa del $1.0$ del agua, la regla de la flotación cambia de bando y la esfera se va al fondo.

## 44.5 Problema: la corona del rey

**Problema 44.1.**

Problema de fin de semana — el caso de la corona del rey, reabierto con tus instrumentos; el juicio del orfebre, resuelto por una división

Reabre el caso de fraude más famoso de la Antigüedad con números modernos. Firmas: oro $19.3$, plata $10.5$ ([gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume)).

**Parte I — Las pruebas.** El rey le dio al orfebre $1930\,\mathrm{g}$ de oro puro. La corona terminada, en la [balanza](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/17-palancas-y-balanzas#def-g3-levers-and-scales-scale): $1930\,\mathrm{g}$ exactamente.

1. La [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) coincide a la perfección. ¿Por qué no demuestra eso, por sí solo, nada sobre el fraude? (¿Qué podría haber hecho el orfebre y seguir cuadrando?)
2. ¿Qué [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) deberían ocupar $1930\,\mathrm{g}$ de *oro puro* ? (Reparte los [gramos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) : ¿cuántos [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) a $19.3\,\mathrm{g}$ cada uno?)
3. Arquímedes sumerge la corona en un recipiente lleno hasta el borde y recoge lo que se desborda: $130\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Cuál es el volumen verdadero de la corona?
4. Compara los dos volúmenes. ¿Qué está gritando ya esa comparación?

**Parte II — La firma.**

5. Calcula la [densidad](#def-g6-density-floating-density) de la corona a partir de su [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) y de su [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) medido (basta con un decimal).
6. Pon las tres firmas una al lado de la otra: el oro, la corona y la plata. ¿Dónde cae la corona?
7. Explícale al rey en una sola frase por qué la corona no puede ser de oro puro.
8. El orfebre protesta: “¡A lo mejor se equivocó la [balanza](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/17-palancas-y-balanzas#def-g3-levers-and-scales-scale) !”. Concédele un error generoso de $30\,\mathrm{g}$ en cualquiera de los dos sentidos. ¿Salva alguna [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) entre $1900\,\mathrm{g}$ y $1960\,\mathrm{g}$ a una corona de oro puro de [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) $130\,\mathrm{cm}^{3}$ ? (Comprueba el intervalo de [densidades](#def-g6-density-floating-density) .)

**Parte III — ¿Cuánto se robó?** Supón que el orfebre se quedó con algo de oro y lo sustituyó, [gramo](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) a [gramo](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units), por plata.

9. ¿Por qué sustituir oro por plata, [gramo](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) a [gramo](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) , mantiene bien la [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) pero *hincha* el volumen?
10. Pon a prueba una conjetura: una corona de $965\,\mathrm{g}$ de oro $+$ $965\,\mathrm{g}$ de plata. ¿ [Volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de la parte de oro? ¿Y de la parte de plata? (Un decimal.)
11. Suma el volumen de la corona conjeturada y juzga la conjetura frente a los $130\,\mathrm{cm}^{3}$ medidos: ¿demasiada plata o demasiado poca?
12. El tribunal necesita una frase de veredicto: di qué quedó probado sin ninguna duda (oro puro o no), cuál fue el método y por qué no hizo falta dañar la corona — el verdadero triunfo de Arquímedes.

**Solución de Problema 44.1.**

**1.** Nada: cambiar oro por una *[masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass)* igual de plata mantiene contenta a la [balanza](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/17-palancas-y-balanzas#def-g3-levers-and-scales-scale) — la [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) por sí sola no puede ver la sustitución. **2.** $1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$. **3.** $130\,\mathrm{cm}^{3}$ — lo desbordado es el volumen de la corona, por desplazamiento. **4.** La corona ocupa $30\,\mathrm{cm}^{3}$ más de sitio del que debería ocupar el oro puro de su [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass): dentro se esconde algo más voluminoso que el oro. **5.** $1930 \div 130 \approx 14.8$. **6.** Oro $19.3$ — corona $14.8$ — plata $10.5$: la corona cae entre las dos firmas. **7.** “Majestad, cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) de oro puro lleva $19.3\,\mathrm{g}$; vuestra corona lleva solo unos $15$ — de oro puro no es”. **8.** El intervalo da [densidades](#def-g6-density-floating-density) desde $1900 \div 130 \approx 14.6$ hasta $1960 \div 130 \approx 15.1$ — ni de lejos $19.3$: ningún error verosímil de la [balanza](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/17-palancas-y-balanzas#def-g3-levers-and-scales-scale) salva al orfebre. **9.** La plata es menos densa: cada [gramo](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) de oro robado devolvió un [gramo](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) de plata que necesita *más sitio* — la sustitución [gramo](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) a [gramo](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-units) conserva la [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) e infla el volumen. **10.** Parte de oro: $965 \div 19.3 = 50.0\,\mathrm{cm}^{3}$; parte de plata: $965 \div 10.5 \approx 91.9\,\mathrm{cm}^{3}$. **11.** Total $\approx 142\,\mathrm{cm}^{3}$ — más que los $130$ medidos: la conjetura mitad y mitad usó demasiada plata; el robo verdadero fue menor (el volumen medido queda entre $100$ y $142$). **12.** “Probado: la corona no es de oro puro. Método: su [masa](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/20-medir-la-masa#def-g3-measuring-mass-mass) repartida entre su [volumen](https://one-course.com/books/physics/1/es/chapter/38-masa-y-volumen#def-g6-mass-and-volume-volume) medido con agua da una [densidad](#def-g6-density-floating-density) muy por debajo de la firma inmutable del oro. Y la corona no necesitó ni un arañazo: el agua leyó su secreto desde fuera — ese es el triunfo”.