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title: "La masse volumique : pourquoi les objets flottent"
book: "Physique du primaire et du collège"
subject: physics
language: fr
chapter: 44
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/44-la-masse-volumique-pourquoi-les-objets-flottent
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# Chapitre 44 — La masse volumique : pourquoi les objets flottent

Dès ta toute première année, une minuscule pièce de monnaie coulait pendant qu’un grand tronc flottait, et nous avions promis que le « pourquoi » serait un trésor de ce cours. Tu l’as mérité. La clé a été forgée en deux chapitres — la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) pour la matière, le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) pour la place — et aujourd’hui les deux tournent ensemble dans la serrure.

## 44.1 La masse d’un centimètre cube

**Exemple 44.1 (Une comparaison enfin honnête).**

Comparer un tronc entier à une pièce entière n’a jamais été honnête : tailles différentes, formes différentes. La compétition honnête prend des *[volumes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) égaux* : un [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de chaque concurrent. Un $\mathrm{cm}^{3}$ d’eau a une [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) de $1\,\mathrm{g}$. Un $\mathrm{cm}^{3}$ de chêne : environ $0.6\,\mathrm{g}$. De pierre : environ $2.5\,\mathrm{g}$. De fer : $7.9\,\mathrm{g}$. Des places égales, des matières follement inégales — voilà le nombre que le jeu de la flottaison attendait.

**Définition 44.2 (Masse volumique).**

La *masse volumique* d’une substance est la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) d’un [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de cette substance, en [grammes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units). La [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) volumique de l’eau vaut $1\,\mathrm{g}$ par $\mathrm{cm}^{3}$ ; celle du chêne, environ $0.6$ ; celle du fer, $7.9$. Pour trouver une [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) volumique, aucun instrument nouveau n’est nécessaire : on mesure la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) et le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) d’un échantillon, puis on divise — on partage les [grammes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) également entre les [centimètres cubes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume), et la réponse est la part de chaque [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume).

![La compétition honnête : la même place pour tous, et chaque substance affiche la masse qui lui sert de signature.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/fig-49f99bad875e.svg)

*La compétition honnête : la même place pour tous, et chaque substance affiche la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) qui lui sert de signature.*

**Proposition 44.3 (La masse volumique est une signature).**

La [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) d’une substance pure est la même pour chacun de ses morceaux, grand ou petit : un éclat de chêne et une poutre entière portent tous deux environ $0.6\,\mathrm{g}$ dans chaque [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). La [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) identifie donc les substances, comme le font les [températures de fusion](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/21-fondre-et-bouillir-les-changements-detat#def-g4-changes-of-state-melting-point) : on mesure la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) et le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) d’un objet mystérieux, on divise, et on compare avec le tableau — la substance avoue souvent sur-le-champ.

**Méthode 44.4 (Mesurer une masse volumique).**

Pour un caillou — ou pour une couronne :

1. [mesurer](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/37-la-mesure-en-science-unites-et-instruments#def-g6-measurement-in-science-measuring) sa [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) à la [balance](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/17-leviers-et-balances#def-g3-levers-and-scales-scale) : disons $75\,\mathrm{g}$ ;
2. [mesurer](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/37-la-mesure-en-science-unites-et-instruments#def-g6-measurement-in-science-measuring) son [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) par la montée d’eau : disons $30\,\mathrm{cm}^{3}$ ;
3. diviser les [grammes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) par les [centimètres cubes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) : $75 \div 30 = 2.5$ — chaque [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) porte $2.5\,\mathrm{g}$ ;
4. consulter le tableau : [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) $2.5$ — notre caillou est une pierre ordinaire.

## 44.2 La règle de la flottaison

**Proposition 44.5 (Pourquoi les objets flottent).**

Un objet [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) dans l’eau si sa [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) est *plus petite* que celle de l’eau — moins de $1\,\mathrm{g}$ par [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) — et il [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) si sa [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) est plus grande. L’eau, pour ainsi dire, compare l’intrus à elle-même, place pour place : plus-léger-que-moi-par-place voyage à la surface ; plus-lourd-par-place descend. La même règle gouverne tous les [liquides](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-liquid), chacun avec sa propre [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) pour arbitre.

![La glace n’est qu’un peu moins dense que l’eau — un iceberg flotte donc très enfoncé, en cachant l’essentiel de sa masse sous la ligne de flottaison.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/img-028e91187a7c.jpg)

*La glace n’est qu’un peu moins dense que l’eau — un iceberg [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) donc très enfoncé, en cachant l’essentiel de sa [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) sous la ligne de flottaison.*

**Exemple 44.6 (Six ans d’énigmes, résolues).**

Le tronc ($0.6$) : il [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words), aussi énorme soit-il — chacun de ses [centimètres cubes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) fait une offre inférieure à celle de l’eau. La pièce (en bronze, près de $9$) : elle [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words), aussi petite soit-elle. Le canard en plastique, le bouchon de liège, le crayon : au-dessous de $1$, tous flotteurs. La glace, à $0.9$ — le [solide](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-solid) gonflé de l’eau elle-même — [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) sur son propre [liquide](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) d’un cheveu, ce qui explique que les étangs portent des couvercles et que les icebergs naviguent. Et le bateau en pâte à modeler ? Façonné en barquette, le colis *bateau-plus-air* contient beaucoup d’[air](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/10-lair-autour-de-nous#def-g2-air-around-us-air) par [unité](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/37-la-mesure-en-science-unites-et-instruments#def-g6-measurement-in-science-measuring) de place : la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) du colis passe au-dessous de $1$, et sur les quais, la même astuce lance des navires d’acier de dix mille tonnes.

![L’écriture de la masse volumique : les liquides s’empilent du plus dense en bas, et la glace à 0.9 ne laisse qu’un dixième d’elle-même au-dessus de l’eau.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/fig-ef64a8708b3e.svg)

*L’écriture de la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) : les [liquides](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) s’empilent du plus dense en bas, et la glace à $0.9$ ne laisse qu’un dixième d’elle-même au-dessus de l’eau.*

**Exemple 44.7 (La tour de liquides).**

Verse du miel, puis de l’eau colorée à l’encre, puis de l’huile doucement le long de la paroi d’un grand verre : trois couches, le miel ($1.4$) au fond, l’huile ($0.9$) au sommet, refusant de mélanger leurs rangs. Fais-y tomber des invités : un grain de raisin ($1.05$) traverse l’huile, traverse l’eau, et se pose sur le miel — plus dense que deux étages, plus léger que le troisième. La tour est la règle de la flottaison jouée au théâtre.

**Remarque 44.8 (Lire l’iceberg).**

Le $0.9$ de la glace face au $1.0$ de l’eau fait plus que faire [flotter](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) l’iceberg : il fixe la ligne de flottaison. Neuf dixièmes du [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) d’un iceberg voyagent *sous* la surface — la fameuse [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) cachée qui a coulé de fiers navires. *Pourquoi*, exactement, la fraction immergée est égale au rapport des [masses volumiques](#def-g6-density-floating-density) est une magnifique loi du savant antique de la baignoire lui-même, honnêtement démontrée dans le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) du lycée ; le tableau des [masses volumiques](#def-g6-density-floating-density) en murmure déjà la réponse.

## 44.3 La couronne, enfin

**Exemple 44.9 (Archimède clôt l’affaire).**

Achevons maintenant l’histoire commencée deux chapitres plus tôt. La [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) de la couronne : facile, la [balance](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/17-leviers-et-balances#def-g3-levers-and-scales-scale) la donne. Son [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) : impossible pour un chef-d’œuvre biscornu — jusqu’à ce que la leçon de la baignoire livre la méthode de la montée d’eau. La [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) divisée par le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) : la *[masse volumique](#def-g6-density-floating-density)* de la couronne — et une [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) est une signature. L’or pur signe $19.3$ ; l’argent signe $10.5$ ; un mélange secret signe quelque part entre les deux. La légende dit que la couronne de l’orfèvre avoua une [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) bien inférieure à celle de l’or, et que la fraude fut démasquée sans une égratignure sur la couronne. Le problème du week-end te remet ses nombres.

## 44.4 Exercices

**Exercice 44.1 ★.**

Qu’est-ce que la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) d’une substance ? Donne celle de l’eau, et énonce la règle de la flottaison.

**Solution de Exercice 44.1.**

La [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) d’un [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de la substance, en [grammes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) ; celle de l’eau vaut $1\,\mathrm{g}$ par $\mathrm{cm}^{3}$. La règle : moins dense que l’eau, ça [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) ; plus dense, ça [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Exercice 44.2 ★.**

Prédis « [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) » ou « [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) » dans l’eau : le chêne ($0.6$) ; la pierre ($2.5$) ; le liège ($0.2$) ; le fer ($7.9$) ; la glace ($0.9$).

**Solution de Exercice 44.2.**

Le chêne [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) ; la pierre [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) ; le liège [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) ; le fer [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) ; la glace [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) — d’un cheveu.

**Exercice 44.3 ★.**

Un bloc a une [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) de $120\,\mathrm{g}$ et un [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de $80\,\mathrm{cm}^{3}$. Trouve sa [masse volumique](#def-g6-density-floating-density). Flotte-t-il ou coule-t-il ?

**Solution de Exercice 44.3.**

$120 \div 80 = 1.5$ : [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) $1.5$ — plus dense que l’eau, le bloc [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Exercice 44.4 ★.**

Un morceau mystérieux : [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) $158\,\mathrm{g}$, montée dans l’éprouvette $20\,\mathrm{cm}^{3}$. Sa [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) — et, d’après les nombres du chapitre, sa substance probable ?

**Solution de Exercice 44.4.**

$158 \div 20 = 7.9$ : la signature du fer.

**Exercice 44.5 ★.**

Pourquoi la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) d’un éclat de chêne est-elle la même que celle d’une poutre de chêne entière ? À quoi cette propriété sert-elle ?

**Solution de Exercice 44.5.**

La [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) appartient à la substance, pas au morceau : chaque [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de chêne porte la même part de [grammes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units), éclat ou poutre. Cela fait de la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) une carte d’identité pour les substances inconnues.

**Exercice 44.6 ★.**

Dans la tour de [liquides](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-liquid), pourquoi le miel est-il au fond et l’huile au sommet ? Où s’immobilise un grain de raisin de [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) $1.05$ ?

**Solution de Exercice 44.6.**

Les [liquides](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) s’empilent par [masse volumique](#def-g6-density-floating-density), le plus dense en bas : le miel $1.4$ sous l’eau $1.0$ sous l’huile $0.9$. Le grain de raisin ($1.05$) traverse l’huile et l’eau et se pose sur le plancher de miel — plus dense que les deux étages du dessus, moins dense que le miel.

**Exercice 44.7 ★.**

La glace [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) sur l’eau — pourquoi est-ce étrange pour un [solide](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-solid), et quelle vieille proposition sur l’eau qui [gèle](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/9-glace-eau-vapeur#def-g2-ice-water-steam-meltfreeze) explique le $0.9$ ?

**Solution de Exercice 44.7.**

La plupart des [solides](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-solid) sont plus denses que leur propre [liquide](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) et y coulent. La glace [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) parce que l’eau gonfle en gelant — la même matière dans un dixième de place en plus donne une [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) $0.9 < 1$.

**Exercice 44.8 ★.**

Le grand tronc et la petite pièce de ta première année : donne la réponse finale et complète, avec les nombres du chapitre.

**Solution de Exercice 44.8.**

Le bois signe environ $0.6$ : chaque [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) du tronc fait une offre inférieure au $1\,\mathrm{g}$ de l’eau, et le tronc [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) donc, aussi énorme soit-il. Le bronze signe près de $9$ : chaque [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de la pièce surenchérit sur l’eau, et elle [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) donc, aussi petite soit-elle. La taille n’a jamais compté ; la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) par [unité](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/37-la-mesure-en-science-unites-et-instruments#def-g6-measurement-in-science-measuring) de place a toujours compté.

**Exercice 44.9 ★★.**

Un [litre](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) d’un certain [liquide](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) a une [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) de $800\,\mathrm{g}$. Quelle est sa [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) en [grammes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) par [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) ? Un glaçon ($0.9$) y flottera-t-il ou y coulera-t-il ?

**Solution de Exercice 44.9.**

$1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}$, donc $800 \div 1000 = 0.8$ [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) par [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). La glace, à $0.9$, est *plus dense* que ce [liquide](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/14-solides-liquides-gaz#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) : le glaçon y [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Exercice 44.10 ★★.**

L’acier signe $7.9$, et pourtant les navires en acier flottent. Résous le paradoxe avec l’idée du colis de [Exemple 44.6](#ex-g6-density-floating-settled) — que contient le colis-navire en plus de l’acier, et que doit valoir sa [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) d’ensemble ? À quel moment un navire percé cesse-t-il de satisfaire la règle ?

**Solution de Exercice 44.10.**

Le colis flottant est la coque tout entière : la coquille d’acier *plus* le grand [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) d’[air](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/10-lair-autour-de-nous#def-g2-air-around-us-air) qu’elle enferme. Moyennée sur toute cette place, la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) du colis passe au-dessous de $1$, et la règle dit : ça [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words). Une brèche laisse l’eau remplacer l’[air](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/10-lair-autour-de-nous#def-g2-air-around-us-air) : la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) du colis grimpe vers celle de l’acier, dépasse $1$ — et la règle, imperturbable, dit : ça [coule](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Exercice 44.11 ★★.**

L’eau de mer est un peu plus dense que l’eau douce — environ $1.03$. Explique pourquoi les nageurs flottent nettement mieux en mer, et prédis ce qui arrive à la ligne de flottaison d’un navire qui passe de la mer salée à un fleuve d’eau douce.

**Solution de Exercice 44.11.**

L’arbitre a changé : face au $1.03$ de l’eau de mer, le corps d’un nageur, proche de $1$, se trouve confortablement du côté des flotteurs, et la mer le porte donc plus haut. En entrant dans l’eau douce ($1.0$), le navire perd cette marge et s’enfonce davantage : sa ligne de flottaison remonte sur la coque.

**Exercice 44.12 ★★★.**

Une sphère métallique creuse [flotte](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) exactement à moitié immergée dans l’eau. Raisonne pour trouver la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) du *colis-sphère entier* (coque métallique plus l’[air](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/10-lair-autour-de-nous#def-g2-air-around-us-air) à l’intérieur). Puis argumente dans quel sens elle se déplace si de l’eau s’infiltre lentement à l’intérieur, et à quel moment elle se met à [couler](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/5-flotter-et-couler#def-g1-floating-and-sinking-words) — la règle et le colis, main dans la main.

**Solution de Exercice 44.12.**

À moitié immergée, la sphère s’enfonce exactement comme doit le faire un colis de [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) égale à la moitié de celle de l’eau : la coquille plus l’[air](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/10-lair-autour-de-nous#def-g2-air-around-us-air) donnent en moyenne environ $0.5$ [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) par [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) — c’est l’[air](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/10-lair-autour-de-nous#def-g2-air-around-us-air) caché qui allège le plus. À mesure que l’eau s’infiltre, elle remplace l’[air](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/10-lair-autour-de-nous#def-g2-air-around-us-air), la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) moyenne du colis grimpe, et la sphère s’enfonce de plus en plus ; à l’instant où cette moyenne dépasse le $1.0$ de l’eau, la règle de la flottaison change de camp et la sphère descend.

## 44.5 Problème : la couronne du roi

**Problème 44.1.**

Problème du week-end — l’affaire de la couronne du roi, rouverte avec tes instruments ; le procès de l’orfèvre, résolu par une division

Rouvre la plus célèbre affaire de fraude de l’Antiquité avec des nombres modernes. Signatures : l’or $19.3$, l’argent $10.5$ (en [grammes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) par [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)).

**Partie I — les preuves.** Le roi a remis à l’orfèvre $1930\,\mathrm{g}$ d’or pur. La couronne achevée, sur la [balance](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/17-leviers-et-balances#def-g3-levers-and-scales-scale) : $1930\,\mathrm{g}$ exactement.

1. La [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) correspond parfaitement. Pourquoi cela ne prouve-t-il rien à soi seul au sujet de la fraude ? (Qu’aurait pu faire l’orfèvre tout en obtenant la même [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) ?)
2. Quel [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) $1930\,\mathrm{g}$ d’ *or pur* devraient-ils occuper ? (Partage les [grammes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) : combien de [centimètres cubes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) à $19.3\,\mathrm{g}$ chacun ?)
3. Archimède plonge la couronne dans un récipient plein à ras bord et recueille le débordement : $130\,\mathrm{cm}^{3}$ . Quel est le vrai [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de la couronne ?
4. Compare les deux [volumes](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) . Que crie déjà cette comparaison ?

**Partie II — la signature.**

5. Calcule la [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) de la couronne à partir de sa [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) et de son [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) mesuré (une décimale suffit).
6. Aligne les trois signatures : l’or, la couronne, l’argent. Où tombe la couronne ?
7. Explique au roi, en une phrase, pourquoi la couronne ne peut pas être en or pur.
8. L’orfèvre proteste : « La [balance](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/17-leviers-et-balances#def-g3-levers-and-scales-scale) s’est peut-être trompée ! » Accorde-lui une erreur généreuse de $30\,\mathrm{g}$ dans un sens ou dans l’autre. Une [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) comprise entre $1900\,\mathrm{g}$ et $1960\,\mathrm{g}$ sauve-t-elle une couronne d’or pur de [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) $130\,\mathrm{cm}^{3}$ ? (Contrôle l’intervalle des [masses volumiques](#def-g6-density-floating-density) .)

**Partie III — combien a-t-il volé ?** Supposons que l’orfèvre ait gardé une partie de l’or et l’ait remplacée, [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) pour [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units), par de l’argent.

9. Pourquoi remplacer de l’or par de l’argent, [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) pour [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) , garde-t-il la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) exacte tout en *gonflant* le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) ?
10. Teste une hypothèse : une couronne de $965\,\mathrm{g}$ d’or $+$ $965\,\mathrm{g}$ d’argent. [Volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de la part d’or ? De la part d’argent ? (Une décimale.)
11. Fais le total du [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de cette couronne hypothétique, et juge l’hypothèse face aux $130\,\mathrm{cm}^{3}$ mesurés : trop d’argent, ou trop peu ?
12. La cour attend une phrase de verdict : dis ce qui a été prouvé sans doute possible (or pur ou non), quelle a été la méthode, et pourquoi la couronne n’a jamais eu besoin d’être abîmée — le véritable triomphe d’Archimède.

**Solution de Problème 44.1.**

**1.** Rien : échanger de l’or contre une *[masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass)* égale d’argent laisse la [balance](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/17-leviers-et-balances#def-g3-levers-and-scales-scale) satisfaite — la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) seule ne peut pas voir la substitution. **2.** $1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$. **3.** $130\,\mathrm{cm}^{3}$ — le débordement est le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de la couronne, par déplacement. **4.** La couronne occupe $30\,\mathrm{cm}^{3}$ de plus que ne le devrait de l’or pur de cette [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) : quelque chose de plus volumineux que l’or se cache à l’intérieur. **5.** $1930 \div 130 \approx 14.8$. **6.** L’or $19.3$ — la couronne $14.8$ — l’argent $10.5$ : la couronne tombe entre les deux signatures. **7.** « Sire, chaque [centimètre cube](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) d’or pur porte $19.3\,\mathrm{g}$ ; votre couronne n’en porte qu’environ $15$ — de l’or pur, elle ne l’est pas. » **8.** L’intervalle donne des [masses volumiques](#def-g6-density-floating-density) de $1900 \div 130 \approx 14.6$ à $1960 \div 130 \approx 15.1$ — très loin de $19.3$ : aucune erreur de [balance](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/17-leviers-et-balances#def-g3-levers-and-scales-scale) plausible ne sauve l’orfèvre. **9.** L’argent est moins dense : chaque [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) d’or volé a été rendu sous forme d’un [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) d’argent qui exige *plus de place* — une substitution [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) pour [gramme](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-units) conserve la [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) et gonfle le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). **10.** Part d’or : $965 \div 19.3 = 50.0\,\mathrm{cm}^{3}$ ; part d’argent : $965 \div 10.5 \approx 91.9\,\mathrm{cm}^{3}$. **11.** Total $\approx 142\,\mathrm{cm}^{3}$ — plus que les $130$ mesurés : l’hypothèse moitié-moitié met trop d’argent ; le vrai vol était plus modeste (le [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) mesuré se situe entre $100$ et $142$). **12.** « Prouvé : la couronne n’est pas en or pur. Méthode : sa [masse](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/20-mesurer-la-masse#def-g3-measuring-mass-mass) partagée sur son [volume](https://one-course.com/books/physics/1/fr/chapter/38-masse-et-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) mesuré par l’eau donne une [masse volumique](#def-g6-density-floating-density) très inférieure à l’immuable signature de l’or. Et la couronne n’a pas eu besoin de la moindre égratignure : l’eau a lu son secret de l’extérieur — voilà le triomphe. »