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title: "गुरुत्वाकर्षण"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय भौतिकी"
subject: physics
language: hi
chapter: 63
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/63-gravitation
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# अध्याय 63 — गुरुत्वाकर्षण

एक सेब अपनी डाल छोड़ता है और गिर जाता है। उसी बग़ीचे के ऊपर बैठा [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) नहीं गिरता। हज़ारों साल तक ये दो अलग-अलग तथ्य लगते रहे — जब तक प्रतिभा की एक कौंध ने उन्हें जोड़ नहीं दिया: [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) गिर *रहा* है, लगातार, पृथ्वी के गिर्द, और उसे थामे हुए वही खिंचाव है जो सेब पर अपना दावा ठोकता है। बग़ीचे और आकाश के लिए एक ही नियम — उस दिन तक लिखा गया सबसे साहसी समीकरण, और इस पुस्तक का तुम्हारा आख़िरी साल उसी से खुलता है।

## 63.1 सार्वत्रिक आकर्षण

**परिभाषा 63.1 (गुरुत्वाकर्षण).**

*गुरुत्वाकर्षण* सारे द्रव्यमानों के बीच का आपसी [आकर्षण](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/6-magnets#def-g1-magnets-magnet) है: ब्रह्मांड में पदार्थ का हर हिस्सा हर दूसरे हिस्से को खींचता है। यह वही बिना-छुए वाला [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) है जिससे बरसों पहले “पृथ्वी का खिंचाव” कहकर तुम्हारी मुलाक़ात हुई थी — और जो अब सार्वत्रिक होकर सामने आता है: पृथ्वी सेब को खींचती है, सेब पृथ्वी को, [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) समुद्रों को, सूर्य ग्रहों को, और ताक पर रखी दो किताबें भी एक-दूसरे को खींचती हैं — कमज़ोरी से, पर हमेशा।

**प्रतिज्ञप्ति 63.2 (सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम).**

$m_A$ और $m_B$ [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) वाले दो पिंड ($\mathrm{kg}$ में), जिनके केंद्र $d$ दूरी पर हों ($\mathrm{m}$ में), एक-दूसरे को उन्हें जोड़ने वाली रेखा के साथ-साथ बराबर और उलटे बलों से खींचते हैं, जिनकी ताक़त है

$$
F = G \times \frac{m_A \times m_B}{d^2},
$$

जहाँ $F$ न्यूटन ($\mathrm{N}$) में है — यानी [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) का वह [मात्रक](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/37-measurement-in-science-units-and-instruments#def-g6-measurement-in-science-measuring) जिसकी पूरी कहानी अगले अध्याय से शुरू होती है — और $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ *गुरुत्वीय स्थिरांक* है, जो ब्रह्मांड में हर जगह वही अंक रहता है। यह [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) हर [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) के साथ बढ़ता है, और दूरी के *वर्ग* के साथ मरता है: दोगुनी दूर, चार गुना कमज़ोर; दस गुना दूर, सौ गुना कमज़ोर।

![सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण: दो द्रव्यमान, और उन्हें जोड़ने वाली रेखा के साथ-साथ दो बराबर तथा उलटे खिंचाव — सेब पृथ्वी को ठीक उतने ही ज़ोर से खींचता है जितने ज़ोर से पृथ्वी सेब को।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g9-gravitation/fig-584be7a421ef.svg)

*सार्वत्रिक [गुरुत्वाकर्षण](#def-g9-gravitation-gravitation): दो [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass), और उन्हें जोड़ने वाली रेखा के साथ-साथ दो बराबर तथा उलटे खिंचाव — सेब पृथ्वी को ठीक उतने ही ज़ोर से खींचता है जितने ज़ोर से पृथ्वी सेब को।*

**उदाहरण 63.3 (नियम को पढ़ना).**

इस सूत्र की हर ख़ासियत कुछ कहती है। [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) गुणा होते हैं: दोनों में से किसी एक साथी को दोगुना कर दो, [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) दोगुना। दूरी हर में वर्ग होकर बैठती है: गुरुत्व एक तेज़ी से फीकी पड़ती फुसफुसाहट है — वही प्रतिलोम-वर्ग वाली तनुता, जो तुम्हें [प्रकाश](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/3-light-and-shadows#def-g1-light-and-shadows-source) और [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/19-sound-around-us#def-g3-sound-around-us-sound) के साथ भी दोबारा मिलेगी, क्योंकि अंतरिक्ष में फैलती हर चीज़ की ज्यामिति यही है। और $G$ का नन्हा-सा नाप — दशमलव के बाद ग्यारह शून्य — ऐलान करता है कि [गुरुत्वाकर्षण](#def-g9-gravitation-gravitation) क़ुदरत के बलों का कमज़ोर सदस्य है: वह ब्रह्मांड पर सिर्फ़ इसलिए राज करता है कि वहाँ ऊपर [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) राक्षसी हैं और उसे काटने वाला कुछ भी नहीं।

**उदाहरण 63.4 (ताक की किताबें आपस में क्यों नहीं भिड़ जातीं).**

$1\,\mathrm{kg}$ की दो किताबें, जिनके केंद्र $0.1\,\mathrm{m}$ दूर हैं:

$$
F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{1 \times 1}{0.1^2}
= 6.67 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}
$$

— यानी न्यूटन के कुछ अरबवें हिस्से, जो धूल के किसी कण के कण के [भार](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/24-weight-and-mass#def-g4-weight-and-mass-weight) जितना है। अब पृथ्वी और सेब: एक किताब की जगह $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ का [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) रख दो और दूरी की जगह उसकी $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ की त्रिज्या, और वही नियम बग़ीचे की दोपहर वाला जाना-पहचाना खिंचाव थमा देता है। सार्वत्रिक का मतलब सार्वत्रिक है — बस [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) तय करते हैं कि किसे पता चलेगा।

## 63.2 गिरता हुआ चंद्रमा

**उदाहरण 63.5 (पहाड़ पर रखी तोप).**

उसी कौंध का अपना विचार-प्रयोग। किसी ऊँची चोटी से तोप का गोला आड़ा दाग़ो: वह चाप बनाकर गिर पड़ता है। तेज़ दाग़ो: वह और दूर गिरता है — और इस पूरे वक़्त पृथ्वी का खिंचाव उसका रास्ता मोड़ता रहता है। अब कल्पना करो कि उसे इतना तेज़ दाग़ा जाए कि गिरते-गिरते गोल पृथ्वी की सतह *उसके नीचे उतनी ही तेज़ी से मुड़ती चली जाए*: तब गोला बिना रुके गिरता रहेगा और उतरेगा कभी नहीं — वह [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) का चक्कर लगाने लगेगा। इस लगातार गिरते रहने का एक जाना-पहचाना नाम है: *[कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit)*। [कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) में घूमते किसी पिंड को कोई “ऊपर” नहीं थामे रखता; वह बस शान से गिर रहा होता है।

![पहाड़ की तोप: हर तेज़ गोला मुड़ती हुई पृथ्वी के गिर्द और दूर जाकर गिरता है — जब तक गिरना और मुड़ना मेल न खा जाएँ, और गोला कक्षा में न घूमने लगे।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g9-gravitation/fig-d919a1a31ed5.svg)

*पहाड़ की तोप: हर तेज़ गोला मुड़ती हुई पृथ्वी के गिर्द और दूर जाकर गिरता है — जब तक गिरना और मुड़ना मेल न खा जाएँ, और गोला [कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) में न घूमने लगे।*

**प्रतिज्ञप्ति 63.6 (गुरुत्वाकर्षण क्या-क्या चलाता है).**

एक नियम, पूरा आकाश: [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) पृथ्वी का सनातन तोप-गोला है, जो महीने में एक बार हमारे गिर्द गिरता है; [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) वैसे ही सूर्य के गिर्द गिरते हैं — और पास वाले तेज़, जैसा प्रतिलोम वर्ग माँगता है; धूमकेतु अँधेरे से लंबी गिरती हुई तोरणों पर भीतर की ओर झपटते हैं; और हर बनावटी उपग्रह — मौसम की आँखें, दिशा बताने वाले प्रकाश-स्तंभ, हर नब्बे मिनट में चक्कर लगाता चालक दल वाला अंतरिक्ष केंद्र — पहाड़ी तोप के उसी गणित पर सवार है। आकाश में कुछ भी लटका हुआ नहीं है। हर चीज़ गिरती है, और चूक जाती है।

**उदाहरण 63.7 (ज्वार-भाटा: चंद्रमा भी खींचता है).**

आपसीपन के दस्तख़त पानी पर लिखे हैं। [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) का खिंचाव पृथ्वी पर सबसे तगड़ा उस महासागर पर पड़ता है जो उसके सामने हो, और सबसे कमज़ोर दूसरी ओर — इसलिए समुद्र एक साथ [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) की ओर और उससे दूर की ओर, दोनों ओर हौले-हौले ढेर हो जाते हैं; और उन ढेरों के नीचे पृथ्वी के घूमते जाने से किनारों को पानी चढ़ता-उतरता दिखता है: यानी *ज्वार-भाटा*, ज़्यादातर दिनों में दो बार। सूर्य भी अपना हाथ जोड़ता है — अमावस और पूर्णिमा पर एक क़तार में आकर, जिससे बड़े ज्वार आते हैं। मछुआरे हज़ारों साल से [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) को पढ़ते आए हैं; और यह नियम उसे उन्हें पढ़कर सुना देता है।

**टिप्पणी 63.8 (नियम जो नहीं कहता).**

वह महान समीकरण [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) का हिसाब बेहद बारीकी से लगा देता है और इस बात की एक रत्ती भी नहीं समझाता कि दो पिंड ख़ाली शून्य के पार एक-दूसरे को थामते *कैसे* हैं — ख़ुद उसके लेखक ने इस सवाल को खुला कहा और शानदार ढंग से बिना जवाब छोड़ दिया। गहरे जवाब मौजूद हैं — इस पाठ्यक्रम के विश्वविद्यालय वाले साल आधुनिक जवाब तक पहुँचते हैं, जहाँ [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) उसी ज्यामिति को मोड़ देता है जिसमें वह बसता है — पर तब से हर ईमानदार भौतिकशास्त्री ने वही सबक़ दोहराया है जो तुम इस पन्ने से ले सकते हो: कोई नियम पूरी तरह काम का, पूरी तरह जाँचा हुआ हो सकता है, और फिर भी अपना आख़िरी भेद अपने पास रख सकता है।

![मुक्त पतन, रोज़ जिया हुआ: अंतरिक्ष केंद्र और उसके भीतर की हर चीज़ एक साथ पृथ्वी के गिर्द गिरते हैं, इसलिए कोई किसी पर दबाव नहीं डालता — कैमरे, क़लम, सेब और पानी तैरते रहते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g9-gravitation/img-6e727ca484a7.jpg)

*मुक्त पतन, रोज़ जिया हुआ: अंतरिक्ष केंद्र और उसके भीतर की हर चीज़ एक साथ पृथ्वी के गिर्द गिरते हैं, इसलिए कोई किसी पर दबाव नहीं डालता — कैमरे, क़लम, सेब और पानी तैरते रहते हैं।*

## 63.3 अभ्यास

**अभ्यास 63.1 ★.**

सार्वत्रिक [गुरुत्वाकर्षण](#def-g9-gravitation-gravitation) का नियम बताओ — सूत्र, [मात्रक](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/37-measurement-in-science-units-and-instruments#def-g6-measurement-in-science-measuring), और दोनों ख़ासियतें ([द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass), दूरी) शब्दों में।

**हल — अभ्यास 63.1.**

$F = G \, m_A m_B / d^2$, जहाँ [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-units) में, $d$ केंद्रों के बीच [मीटर](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/7-measuring-length#def-g2-measuring-length-units) में, $F$ न्यूटन में और $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$. शब्दों में: यह खिंचाव हर [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) के साथ बढ़ता है और दूरी के वर्ग के साथ मरता है — और यह दोनों साथियों पर बराबर, उलटी दिशाओं में लगता है।

**अभ्यास 63.2 ★.**

पृथ्वी सेब को $1\,\mathrm{N}$ से खींचती है। सेब पृथ्वी को कितने [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) से खींचता है? दोनों में से सिर्फ़ एक का ही त्वरण दिखाई क्यों देता है?

**हल — अभ्यास 63.2.**

ठीक $1\,\mathrm{N}$ से — इस नियम के खिंचाव हमेशा बराबर, उलटी जोड़ियों में ही आते हैं। सेब का त्वरण इसलिए दिखता है कि उसका [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) नन्हा है; जबकि वही $1\,\mathrm{N}$ $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ के [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) पर लगकर उसे नापने लायक हद से भी कम हिलाता है।

**अभ्यास 63.3 ★.**

दो उपग्रह पृथ्वी के केंद्र से $d$ और $2d$ दूरी पर [कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) में हैं। उन पर लगते गुरुत्वीय बलों की तुलना करो ([द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) बराबर)। और $10 d$ पर?

**हल — अभ्यास 63.3.**

$2d$ पर: $d$ वाले [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) का चौथाई — यानी दो का वर्ग। और $10d$ पर: सौवाँ हिस्सा।

**अभ्यास 63.4 ★.**

$0.5\,\mathrm{m}$ दूर खड़े $80\,\mathrm{kg}$ के दो नाचने वाले साथियों के बीच का [आकर्षण](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/6-magnets#def-g1-magnets-magnet) निकालो — और प्रेम बनाम [गुरुत्वाकर्षण](#def-g9-gravitation-gravitation) पर टिप्पणी करो।

**हल — अभ्यास 63.4.**

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 80 \times 80 \div 0.25 =
1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ — न्यूटन के बीस लाखवें हिस्से से भी कम: नाचने वाले साथियों को जो भी पास खींचता हो, वह [गुरुत्वाकर्षण](#def-g9-gravitation-gravitation) तो नहीं है।

**अभ्यास 63.5 ★.**

पहाड़ी तोप वाली कहानी में [कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) में घूमते गोले के लिए कौन-सी दो दरें ठीक-ठीक मेल खाती हैं? [कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) क्या है, तीन शब्दों में?

**हल — अभ्यास 63.5.**

वह दर जिससे गोला गिरता है, और वह दर जिससे गोल पृथ्वी की सतह उसके नीचे मुड़ती चली जाती है। [कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit): गिरना और चूकना।

**अभ्यास 63.6 ★.**

“अंतरिक्ष-यात्री इसलिए तैरते हैं कि वहाँ ऊपर गुरुत्व है ही नहीं।” इसे तोप के गोले से ढहाओ: केंद्र और उसका चालक दल, दोनों क्या कर रहे हैं?

**हल — अभ्यास 63.6.**

अंतरिक्ष केंद्र की ऊँचाई पर गुरुत्व अपनी लगभग पूरी सतह वाली ताक़त बनाए रखता है — वही तो केंद्र को उसके वृत्त पर थामे है। केंद्र और चालक दल, दोनों एक साथ पृथ्वी के गिर्द *गिर* रहे हैं: साथ-साथ गिरने वाले किसी पर दबाव नहीं डालते, और [तैरना](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/5-floating-and-sinking#def-g1-floating-and-sinking-words) उसी साझा मुक्त पतन का एहसास है।

**अभ्यास 63.7 ★.**

क़ुदरत का कमज़ोर सदस्य होने के बावजूद [गुरुत्वाकर्षण](#def-g9-gravitation-gravitation) ब्रह्मांड पर हुक्म क्यों चलाता है? अध्याय से दो वजहें।

**हल — अभ्यास 63.7.**

क्योंकि आकाश राक्षसी द्रव्यमानों में सौदा करता है — [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) और तारे उस कमज़ोर $G$ को गुणा करके ताक़तवर [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) बना देते हैं — और क्योंकि [गुरुत्वाकर्षण](#def-g9-gravitation-gravitation) कभी कटता नहीं: वह सिर्फ़ खींचता है, इसलिए जुड़ता हर [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) खिंचाव और गहरा कर देता है।

**अभ्यास 63.8 ★.**

ज्वार-भाटा आता कहाँ से है, और ज़्यादातर दिनों में दो बार क्यों? सबसे बड़े कब आते हैं?

**हल — अभ्यास 63.8.**

[चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) का खिंचाव समुद्रों को उसकी ओर भी ढेर करता है (सबसे पास का पानी, सबसे ज़ोर से खिंचा हुआ) और उससे दूर की ओर भी (सबसे दूर का पानी, सबसे कम खिंचा हुआ); और घूमती पृथ्वी हर किनारे को रोज़ दोनों ढेरों के नीचे से ले जाती है — यानी दो ज्वार। सबसे बड़े अमावस और पूर्णिमा पर, जब सूर्य का हाथ [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) के साथ एक क़तार में आ जाता है: बड़े ज्वार।

**अभ्यास 63.9 ★★.**

[चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) ($7.3 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$) पृथ्वी ($5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$) से $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ दूर [कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) में है। उनके बीच का [आकर्षण](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/6-magnets#def-g1-magnets-magnet) निकालो, शुरू से आख़िर तक वैज्ञानिक संकेतन में — और जवाब की दस की घात कितने अंक ढोती है, इसे निहारो भी।

**हल — अभ्यास 63.9.**

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times (7.3 \times 10^{22} \times 5.97 \times 10^{24})
\div (3.8 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — एक $2$, और उसके पीछे न्यूटनों के बीस शून्य, जो [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) को उसके पट्टे पर थामे हैं।

**अभ्यास 63.10 ★★.**

[चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) की सतह पर तुम्हारा [भार](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/24-weight-and-mass#def-g4-weight-and-mass-weight) सिमटकर छठा हिस्सा रह गया था (उछलते अंतरिक्ष-यात्री याद करो)। नियम की दोनों घुंडियों से — [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) का छोटा [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass), और उसकी छोटी त्रिज्या — समझाओ कि पृथ्वी से अस्सी गुना हलके पिंड से छठा हिस्सा कैसे निकल आता है।

**हल — अभ्यास 63.10.**

दोनों घुंडियाँ एक-दूसरे के ख़िलाफ़ घूमती हैं: [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) का [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass), क़रीब अस्सी गुना छोटा, खिंचाव को अस्सी गुना काट देता है; पर उसकी त्रिज्या, लगभग चार गुना छोटी, सतह वाले खिंचाव को चार के वर्ग जितना *चढ़ा* देती है — यानी क़रीब चौदह गुना। अस्सी नीचे, चौदह ऊपर: और लगभग छठा हिस्सा बचा रह जाता है।

**अभ्यास 63.11 ★★.**

बुध सूर्य का चक्कर $88$ दिन में पूरा करता है, और वरुण $165$ साल में। इस नमूने को प्रतिलोम वर्ग से पढ़ो: दूरी के साथ गुरुत्व का फीका पड़ना सूर्य की पकड़ के साथ क्या करता है, और इस तरह बाहरी कुनबे की रफ़्तार के साथ?

**हल — अभ्यास 63.11.**

प्रतिलोम वर्ग दूरी के साथ सूर्य की पकड़ पतली कर देता है, और कमज़ोर पकड़ सिर्फ़ धीमे गिरते-चक्कर को ही थाम सकती है: बाहरी [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) ढीले पट्टे पर बँधे हैं और टहलते हैं, जबकि भीतरी ज़ोर से जकड़े हैं और दौड़ते हैं — बुध की दौड़ और वरुण की $164$ साल लंबी सैर एक ही नियम हैं, दो दूरियों पर पढ़े हुए।

**अभ्यास 63.12 ★★★.**

भूस्थिर उपग्रह भूमध्य रेखा के किसी एक बिंदु के ऊपर देखने में बिना हिले टँगा रहता है — तश्तरी वाले एंटेना कभी हिलते ही नहीं। इस दिखावे को [प्रतिज्ञप्ति 63.6](#prop-g9-gravitation-runs) से मिलाओ: उसका कक्षीय आवर्तकाल क्या होना चाहिए, उसे किस ओर चक्कर लगाना चाहिए, और यहाँ “टँगे रहने” का मतलब “घूमती पृथ्वी के साथ ठीक क़दम मिलाकर गिरते रहना” क्यों है?

**हल — अभ्यास 63.12.**

उसका आवर्तकाल ठीक एक दिन होना चाहिए, और चक्कर पूरब की ओर — ख़ुद पृथ्वी के घूमने की दिशा में। तब उपग्रह और एंटेना ठीक क़दम मिलाकर घूमते हैं: वह “टँगी” तश्तरी दरअसल ऐसे तोप-गोले को देख रही है जो [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) के गिर्द ठीक उसी दर से गिरता है जिस दर से [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) उसके नीचे घूम रहा है — यानी वह सिर्फ़ घूमते हुए प्रेक्षक की आँखों में ही ठहरा हुआ है।

## 63.4 समस्या: तोप के गोले की विरासत

**समस्या 63.1.**

सप्ताहांत समस्या — बग़ीचे से कक्षा तक; एक ही नियम से सेब, तोप और चंद्रमा का लेखा; उपग्रह प्रक्षेपण का पटल

अंतरिक्ष एजेंसी की जनसंपर्क मेज़ पर एक शाम: एक नियम, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$, पृथ्वी का [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, और पृथ्वी की त्रिज्या $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$।

**भाग I — सेब का लेखा।**

1. सतह पर रखे $0.1\,\mathrm{kg}$ के सेब पर पृथ्वी का खिंचाव निकालो (केंद्रों के बीच एक पृथ्वी-त्रिज्या का फ़ासला)।
2. सेब पृथ्वी को कितने [बल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/12-pushes-and-pulls-forces#def-g2-pushes-and-pulls-force) से वापस खींचता है? इस दो-तरफ़ा बहीखाते के लिए नियम का शब्द बताओ।
3. सेब को उठाकर केंद्र से पृथ्वी की दोगुनी त्रिज्या पर ले जाओ। खिंचाव का क्या होता है?
4. जनसंपर्क में आया एक दर्शक पूछता है कि सूत्र ज़मीन के बजाय पृथ्वी के *केंद्र* तक की दूरी क्यों लेता है। ईमानदार छोटा जवाब दो (पूरा [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) खींचता है, और उसके बिखरे हुए खिंचाव जुड़कर ठीक ऐसे बनते हैं मानो सब कुछ केंद्र से आ रहा हो — यानी एक प्रमेय, जिसे साबित करने में ख़ुद उस महान लेखक को बरसों लगे थे)।

**भाग II — प्रक्षेपण का पटल।**

5. आज के उपग्रह का [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) $2000\,\mathrm{kg}$ है। नियम से सतह पर उसका [भार](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/24-weight-and-mass#def-g4-weight-and-mass-weight) ? (या अगले अध्याय में नाम पाने वाले उस शॉर्टकट से: क़रीब $9.8\,\mathrm{N}$ प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-units) ।)
6. केंद्र से $1.28 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ की अपनी कामकाजी [कक्षा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/43-the-sunearthmoon-system#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) में — दो पृथ्वी-त्रिज्याओं पर — गुरुत्व उस पर उसके सतह वाले [भार](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/24-weight-and-mass#def-g4-weight-and-mass-weight) का कौन-सा अंश अब भी लगाता है?
7. “तो वहाँ ऊपर सचमुच गुरुत्व है?” अंक से पुष्टि करो — और समझाओ कि उपग्रह उस खिंचाव को गिरकर टकराने के बजाय किस काम में लगा रहा है।
8. प्रक्षेपण की टिप्पणी कहती है “कक्षीय [चाल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/52-motion-graphs-and-average-speed#def-g7-motion-average-speed-formula) को गिरने से मेल खाना चाहिए”। दर्शकों की पुस्तिका के लिए पहाड़ी तोप वाली कहानी दो वाक्यों में दोबारा सुनाओ।

**भाग III — [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) का बहीखाता।**

9. [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ पर है, तो वह कितनी पृथ्वी-त्रिज्याएँ दूर सवार है? (एक दशमलव अंक।)
10. प्रतिलोम वर्ग के हिसाब से वहाँ गुरुत्व फीका पड़कर सतह वाली ताक़त का मोटे तौर पर कौन-सा अंश रह जाता है? (अपने पिछले जवाब का वर्ग करो।)
11. वह महान कौंध, दोबारा: बग़ीचे का सेब अपने पहले सेकंड में क़रीब पाँच [मीटर](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/7-measuring-length#def-g2-measuring-length-units) गिरता है; जबकि [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) हर सेकंड पृथ्वी की ओर बमुश्किल एक मिलीमीटर “गिरता” है — और फिर भी कभी पहुँचता नहीं। अपने जवाबों $9$ और $10$ से इन दोनों तथ्यों को जोड़ो: [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) का गिरना हज़ारों गुना नरम क्यों है, और अनंत क्यों?
12. जनसंपर्क की शाम बंद करो: एक नियम, तीन कलाकार — सेब, उपग्रह, [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) । पटल का वह समापन वाक्य लिखो जो तीनों को जोड़ देता है।

**हल — समस्या 63.1.**

**1.** $F = 6.67 \times 10^{-11} \times (0.1 \times 5.97 \times 10^{24})
\div (6.4 \times 10^{6})^2 \approx 0.97\,\mathrm{N}$ — कहो एक न्यूटन: बग़ीचे वाला खिंचाव, ब्रह्मांड के स्थिरांक से निकाला हुआ। **2.** उतने ही $0.97\,\mathrm{N}$ से — यानी आपसीपन: इस नियम के खिंचाव सिर्फ़ बराबर, उलटी जोड़ियों में आते हैं। **3.** केंद्र से दूरी दोगुनी होते ही खिंचाव चौथाई रह जाता है: क़रीब $0.24\,\mathrm{N}$। **4.** [ग्रह](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/26-the-solar-system#def-g4-solar-system-planet) का हर कण सेब को खींचता है — पास के पहाड़, गहरी क्रोड, दूसरी ओर का सिरा — और उन सारे खिंचावों का जोड़ ठीक ऐसे बनता है मानो पूरा [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) केंद्र पर बैठा हो: यानी एक प्रमेय, कोई मान्यता नहीं, और उसके लेखक ने इसे साबित कर पाने तक बरसों छपाई रोके रखी। **5.** क़रीब $2000 \times 9.8 \approx 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ — बीस हज़ार न्यूटन ($d$ को एक पृथ्वी-त्रिज्या लेकर नियम भी वही देता है)। **6.** दो त्रिज्याओं पर प्रतिलोम वर्ग चौथाई छोड़ता है: उसके $19\,600\,\mathrm{N}$ के सतह वाले [भार](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/24-weight-and-mass#def-g4-weight-and-mass-weight) के मुक़ाबले क़रीब $4900\,\mathrm{N}$। **7.** हाँ — पूरे गुरुत्व का चौथाई कोई भारहीन शून्य नहीं है। उपग्रह उस खिंचाव को अपना रास्ता मोड़ने में ख़र्च करता है: वह पृथ्वी के गिर्द गिरता है और हमेशा चूकता रहता है, ठीक जैसा पहाड़ी तोप ने सिखाया था। **8.** “काफ़ी तेज़ दाग़ा गया तोप का गोला गिरते हुए ठीक उतना ही उतरता है जितना पृथ्वी मुड़ जाती है, और वह हमेशा के लिए चक्कर लगाने लगता है — गिरता हुआ, पर उतरता कभी नहीं। हर उपग्रह वही तोप का गोला है, जिसे बग़ल की ओर इतना तेज़ छोड़ा गया कि वह ज़मीन को चूकता ही रहे।” **9.** $3.8 \times 10^{8} \div 6.4 \times 10^{6} \approx 59.4$ पृथ्वी-त्रिज्याएँ। **10.** क़रीब $1 \div 59.4^2 \approx 1/3500$, यानी सतह वाली ताक़त का लगभग साढ़े तीन हज़ारवाँ हिस्सा। **11.** नरम इसलिए कि साठ त्रिज्याओं पर गुरुत्व साढ़े तीन हज़ार गुना तनु हो चुका है — पहले सेकंड की पाँच [मीटर](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/7-measuring-length#def-g2-measuring-length-units) वाली गिरावट सिमटकर क़रीब एक मिलीमीटर रह जाती है। और अनंत इसलिए कि गिरने का वही एक मिलीमीटर ठीक उतना ही है जितना पृथ्वी की सतह [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) की बग़ल वाली सरकन के नीचे मुड़ जाती है: वह गिरावट कभी बढ़त नहीं बनाती। **12.** जैसे: “सेब, उपग्रह और [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) एक ही वाक्य मानते हैं: हर [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) हर दूसरे [द्रव्यमान](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/20-measuring-mass#def-g3-measuring-mass-mass) की ओर गिरता है, और वह भी $G m_A m_B / d^2$ के हिसाब से — सेब उतर जाता है, जबकि उपग्रह और [चंद्रमा](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/11-the-moon-in-the-sky#def-g2-moon-in-the-sky-moon) चूकते रहते हैं; और फ़र्क़ सिर्फ़ बग़ल वाली [चाल](https://one-course.com/books/physics/1/hi/chapter/52-motion-graphs-and-average-speed#def-g7-motion-average-speed-formula) का है।”