--- title: "Eenvoudige machines: hefbomen, katrollen, hellende vlakken" book: "Natuurkunde basisschool en onderbouw" subject: physics language: nl chapter: 31 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/31-eenvoudige-machines-hefbomen-katrollen-hellende-vlakken --- # Hoofdstuk 31 — Eenvoudige machines: hefbomen, katrollen, hellende vlakken Geen motor, geen elektriciteit — en toch hesen oude bouwers met een paar balken, touwen en hellingen stenen omhoog die hele ossenspannen niet konden verslepen. In hun gereedschapskist zaten de *[eenvoudige machines](#def-g5-simple-machines-machine)*: uitvindingen zonder enige motor, die van een zwakke, comfortabele trek een machtige maken. De eerste bezit je al; maak kennis met de hele familie. ## 31.1 De familie van de moeitebesparers **Definitie 31.1 (Eenvoudige machine).** Een *eenvoudige machine* is een werktuig zonder motor dat een [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) verandert zodat ze ons uitkomt: door haar sterker te maken, of door haar richting te veranderen, of allebei. De klassiekers: de *[hefboom](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/17-hefbomen-en-balansweegschalen#def-g3-levers-and-scales-lever)* die je kent van de wip en de koevoet, de *[katrol](#def-g5-simple-machines-pulley)*, en het *[hellend vlak](#def-g5-simple-machines-ramp)* — de nederige helling. **Voorbeeld 31.2 (De hefboom, opnieuw bekeken).** De regel van de [hefboom](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/17-hefbomen-en-balansweegschalen#def-g3-levers-and-scales-lever) heb je al: muntjes maal streepjes — jouw kleine [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) ver van het [draaipunt](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/17-hefbomen-en-balansweegschalen#def-g3-levers-and-scales-lever) verslaat een grote last vlakbij. Let nu ook nog op iets anders: jouw kant van de koevoet zwaait een heel eind omlaag terwijl de zwerfkei maar een klein stukje omhoog komt. Stop die waarneming in je zak; ze staat op het punt een wet te worden. ## 31.2 Katrollen **Definitie 31.3 (Katrol).** Een *katrol* is een wiel met een groef voor een touw. Een *vaste* katrol hangt aan een balk en verandert alleen de richting van de trek: trek omlaag, en de last gaat omhoog. Een *losse* katrol rijdt op het touw mee met de last eraan gehaakt: de last hangt dan aan *twee* touwdelen, en elk deel draagt maar de helft van het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight). ![Twee katrollen, twee cadeaus. De vaste katrol keert jouw trek om; de losse katrol laat twee touwdelen de last delen, zodat jouw hand maar de helft draagt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g5-simple-machines/fig-fd28d069353e.svg) *Twee katrollen, twee cadeaus. De vaste [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) keert jouw trek om; de losse [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) laat twee touwdelen de last delen, zodat jouw hand maar de helft draagt.* ![De katrol van de put: het touw loopt in de groef, en een trek omlaag wordt een lift omhoog.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g5-simple-machines/img-3cbc3e8be90f.jpg) *De [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) van de put: het touw loopt in de groef, en een trek omlaag wordt een lift omhoog.* **Voorbeeld 31.4 (Katrollen aan het werk).** De vlag klimt langs de mast omhoog terwijl je handen comfortabel *omlaag* trekken: een vaste [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) bovenaan — richting veranderd, moeite gelijk, maar omlaag trekken laat je eigen [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) meehelpen. Het takelblok van de bouwer schakelt meerdere katrollen zodat de last aan vier of zes touwdelen hangt: elk deel draagt een kwart of een zesde van het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight), en één arbeider hijst een piano. Let wel op die arbeider: [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) na [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) touw raast door zijn handen, terwijl de piano traag omhoog kruipt. ## 31.3 Het hellend vlak **Definitie 31.5 (Hellend vlak).** Een *hellend vlak* — een helling — is een schuine baan om lasten omhoog te brengen zonder ze recht op te tillen. Hoe flauwer de helling, hoe kleiner de duw die nodig is om de last erlangs te bewegen: een vat een lange, flauwe helling op rollen is makkelijk; een korte, steile helling op, moordend; recht omhoog, onmogelijk. **Methode 31.6 (Voel het met de elastiekunster).** Je elastiekunster van vorig jaar proeft het verschil: 1. laad een speelgoedautootje op een plank en haak het elastiekje eraan; 2. zet de plank als flauwe helling op een laag stapeltje boeken; trek het autootje er langzaam aan het elastiekje op en noteer de rek; 3. zet dezelfde plank veel steiler, op een stoelzitting, en trek opnieuw. De steile trek rekt het elastiekje veel verder uit: steilere helling, grotere moeite. Flauwe hellingen zijn werkelijk flauw — jouw instrument zegt het. ![Dezelfde kist, dezelfde hoogte te winnen: de lange flauwe helling vraagt een kleine duw over een lange weg; de steile helling een grote duw over een korte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g5-simple-machines/fig-c974767a7fcb.svg) *Dezelfde kist, dezelfde hoogte te winnen: de lange flauwe helling vraagt een kleine duw over een lange weg; de steile helling een grote duw over een korte.* **Voorbeeld 31.7 (Hellingen in het landschap).** Rolstoelhellingen lopen lang en flauw naast korte trappen — met opzet zachtaardig. Bergwegen zigzaggen: in plaats van de top recht aan te vallen, wikkelen ze een lang, flauw [hellend vlak](#def-g5-simple-machines-ramp) heen en weer over de berghelling. En de schroef is een helling in vermomming — een schuine baan om een staafje gewikkeld, zodat elke makkelijke draai van de schroevendraaier de schroef een piepklein stapje dieper laat kruipen. ## 31.4 De gulden regel **Propositie 31.8 (De gulden regel van de machines).** Geen enkele [eenvoudige machine](#def-g5-simple-machines-machine) geeft iets voor niets: wat ze aan [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) bespaart, brengt ze in afstand in rekening. De helft van de [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) — twee keer zoveel touw binnenhalen, of twee keer zo’n lange weg; een tiende van de [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) — tien keer zo’n lange weg. Machine na machine is de ruil exact: comfort koop je met [meters](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units). **Voorbeeld 31.9 (De regel controleren).** De losse [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley): je hand trekt met de helft van de [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force), en om de last $1\,\mathrm{m}$ te laten stijgen haal je $2\,\mathrm{m}$ touw binnen — beide touwdelen moeten een [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) korter worden. De koevoet: jouw kant veegt een lange boog, de zwerfkei verroert zich nauwelijks. De helling: de kist bereikt dezelfde hoogte, maar je hebt hem de hele schuine baan langs geduwd. Elke besparing precies betaald. **Opmerking 31.10 (Waarom de regel niet te bedriegen is).** Onder de gulden regel schuilt onze oude bekende uit het energiehoofdstuk: een last naar een hoogte tillen kost een vaste portie [energie](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/29-energie-in-het-dagelijks-leven#def-g5-everyday-energy-energy), en geen enkele opstelling van touwen en planken verandert die prijs. Machines laten je alleen in kleinere muntjes betalen — meer ervan. Een kleine [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) over een lange weg draagt dezelfde [energie](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/29-energie-in-het-dagelijks-leven#def-g5-everyday-energy-energy) over als een grote [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) over een korte. De eeuwige machines mislukten om precies deze reden: de rekening blijft de rekening. ## 31.5 Oefeningen **Oefening 31.1 ★.** Noem de drie klassieke [eenvoudige machines](#def-g5-simple-machines-machine), en van elk één alledaagse plek waar je haar vindt. **Oplossing van Oefening 31.1.** De [hefboom](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/17-hefbomen-en-balansweegschalen#def-g3-levers-and-scales-lever) (koevoet, wip, schaar), de [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) (vlaggenmast, put, kraan), het [hellend vlak](#def-g5-simple-machines-ramp) (rolstoelhelling, bergweg, laadhelling). **Oefening 31.2 ★.** Wat verandert een vaste [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) aan jouw trek? En wat verandert een losse [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley)? **Oplossing van Oefening 31.2.** De vaste [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) verandert alleen de richting van de trek (trek omlaag, last omhoog). De losse [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) verandert de grootte: de last hangt aan twee touwdelen, dus draagt de hand maar de helft van het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight). **Oefening 31.3 ★.** Waarom is een vlag omhoog hijsen door *omlaag* te trekken comfortabeler dan hetzelfde [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) recht optillen, terwijl de moeite even groot is? **Oplossing van Oefening 31.3.** Omlaag trekken schakelt je eigen [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) in: je kunt achteroverleunen of zelfs aan het touw hangen, en zo de aantrekking van de Aarde je spieren laten helpen. Bij omhoog tillen vechten je armen alleen. **Oefening 31.4 ★.** Met één losse [katrol](#def-g5-simple-machines-pulley) hangt de last aan twee touwdelen. Welk deel van het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) houdt jouw hand? Hoeveel touw moet je binnenhalen om de last $3\,\mathrm{m}$ te laten stijgen? **Oplossing van Oefening 31.4.** De helft van het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight). Om de last $3\,\mathrm{m}$ te laten stijgen moeten beide touwdelen $3\,\mathrm{m}$ korter worden: je hand haalt $2 \times 3 = 6\,\mathrm{m}$ touw binnen. **Oefening 31.5 ★.** Welke helling rekt in [Methode 31.6](#met-g5-simple-machines-measure) het elastiekje verder uit? Wat betaalt de kleinere rek van de flauwere helling? **Oplossing van Oefening 31.5.** De steile helling rekt het verder uit. De kleinere moeite van de flauwe helling wordt in afstand betaald: dezelfde hoogte wordt over een veel langere weg gewonnen — de ruil van de gulden regel. **Oefening 31.6 ★.** Waarom zigzaggen bergwegen in plaats van recht de helling op te lopen? Welke [eenvoudige machine](#def-g5-simple-machines-machine) is de hele weg? **Oplossing van Oefening 31.6.** Recht de helling op zou de benodigde trek elke motor of elk muildier de baas zijn; de zigzags wikkelen een lang, flauw [hellend vlak](#def-g5-simple-machines-ramp) over de berghelling — kleine moeite, lange weg. De hele weg is één uitgerekte helling. **Oefening 31.7 ★.** Formuleer de gulden regel van de machines. Een machine laat je met een tiende van de [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) trekken — wat brengt ze je in rekening? **Oplossing van Oefening 31.7.** Geen enkele machine geeft iets voor niets: bespaarde [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) wordt precies in afstand terugbetaald. Een tiende van de [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) kost tien keer zo’n lange weg (of touw). **Oefening 31.8 ★.** Hoe is een schroef een [hellend vlak](#def-g5-simple-machines-ramp) in vermomming? Wat speelt de rol van de lange flauwe weg? **Oplossing van Oefening 31.8.** Zijn schroefdraad is een lange flauwe helling om het staafje gewikkeld. De vele makkelijke draaien van de schroevendraaier zijn de lange weg; het piepkleine stukje dat de schroef per draai zakt is de kleine gewonnen hoogte. **Oefening 31.9 ★★.** Een takelblok laat een piano aan vier touwdelen hangen. Welk deel van het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) van de piano trekt de hand van de arbeider? Hoeveel [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) touw gaat er door zijn handen om de piano $2\,\mathrm{m}$ te laten stijgen? **Oplossing van Oefening 31.9.** Een kwart van het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/24-gewicht-en-massa#def-g4-weight-and-mass-weight). Elk van de vier touwdelen moet $2\,\mathrm{m}$ korter worden: $4 \times 2 = 8\,\mathrm{m}$ touw gaat door de handen van de arbeider. **Oefening 31.10 ★★.** Een laadhelling is $6\,\mathrm{m}$ lang en stijgt $1\,\mathrm{m}$; een kist erop duwen kost een bescheiden duw. De ongeduldige verhuizers zagen een nieuwe helling van maar $3\,\mathrm{m}$ lang naar hetzelfde platform. Vergelijk met de gulden regel de nieuwe duw met de oude — en leg uit waarom “de halve weg” geen koopje was. **Oplossing van Oefening 31.10.** De nieuwe helling klimt dezelfde $1\,\mathrm{m}$ over de halve weg, dus is ze twee keer zo steil, en verdubbelt de duw ruwweg. De gulden regel int meteen: weg gehalveerd, [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) verdubbeld — de klim van de kist kost hoe dan ook hetzelfde, en de verhuizers hebben alleen veel comfortabele muntjes ingeruild voor een paar zware. **Oefening 31.11 ★★.** Een advertentie biedt een katrolset aan “die zo slim is dat je één [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) touw met de helft van de [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) trekt — en de last een hele [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) stijgt”. Zet de bewering voor het gerecht van de gulden regel en de energierekening van [Opmerking 31.10](#rem-g5-simple-machines-whygolden): zou enige opstelling van wielen en touwen haar kunnen waarmaken? **Oplossing van Oefening 31.11.** Geen enkele opstelling kan haar waarmaken. De last één [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) laten stijgen kost een vaste portie [energie](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/29-energie-in-het-dagelijks-leven#def-g5-everyday-energy-energy); wie met de helft van de [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) betaalt, moet *twee* [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) touw binnenhalen — de halve [kracht](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/12-duwen-en-trekken-krachten#def-g2-pushes-and-pulls-force) over slechts één [meter](https://one-course.com/books/physics/1/nl/chapter/7-lengte-meten#def-g2-measuring-length-units) draagt maar de helft van de rekening over. De advertentie belooft een betaalde lift voor de halve prijs: precies het gratis lunchje dat de gulden regel, en de mislukte eeuwige machines, verbieden.