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title: "Alavancas e balanças de pratos"
book: "Física do ensino fundamental"
subject: physics
language: pt
chapter: 17
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/17-alavancas-e-balancas-de-pratos
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# Capítulo 17 — Alavancas e balanças de pratos

No ano passado, na gangorra, descobrimos que o peso e a distância contam os dois — e prometemos uma regra precisa, com números de verdade dentro dela. Está na hora de cumprir a promessa. No caminho vamos levantar pedras pesadas demais para os nossos braços e conhecer o instrumento que pesou as mercadorias do mundo durante milhares de anos.

## 17.1 A alavanca

**Definição 17.1 (Alavanca e ponto de apoio).**

Uma *alavanca* é uma barra rígida apoiada num ponto de sustentação em torno do qual ela pode pender. Esse ponto de sustentação se chama *ponto de apoio*. Uma gangorra é uma alavanca; um pé de cabra debaixo de uma pedra também é, e a garra de um martelo puxando um prego também.

**Exemplo 17.2 (O multiplicador de força).**

Um jardineiro enfia uma barra comprida de ferro debaixo de um pedregulho, apoia a barra numa tora perto do pedregulho e empurra para baixo a ponta distante — e o pedregulho, que dez mãos não conseguiam levantar, tomba mansinho. O segredo da [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) é a distância: empurre *longe* do [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever), e o seu empurrão pequeno faz o trabalho de um gigante perto dele. Uma história antiga conta que um grande cientista da Antiguidade se gabou: “Deem-me um [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever) e uma [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) comprida o bastante, e moverei a Terra.”

![O pé de cabra: um empurrão pequeno longe do ponto de apoio levanta uma pedra pesada que está perto dele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g3-levers-and-scales/fig-54556fee3214.svg)

*O pé de cabra: um empurrão pequeno longe do [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever) levanta uma pedra pesada que está perto dele.*

![O pé de cabra em ação: um empurrão pequeno longe do ponto de apoio levanta um pedregulho que mão nenhuma moveria.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g3-levers-and-scales/img-92b33f9ea65c.jpg)

*O pé de cabra em ação: um empurrão pequeno longe do [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever) levanta um pedregulho que mão nenhuma moveria.*

## 17.2 A regra da alavanca

**Método 17.3 (A gangorra de moedas).**

Monte uma gangorra em miniatura para caçar a regra:

1. equilibre uma régua sobre um lápis, na marca do meio dela;
2. use moedas iguais como passageiras, colocadas em marcas de números inteiros: “uma moeda no $4$ ” quer dizer quatro marcas a partir do lápis;
3. carregue os dois lados e anote quando a régua se equilibra.

Experimente: uma moeda no $6$ equilibra uma moeda no $6$. Duas moedas empilhadas no $3$ equilibram uma moeda no $6$. Três moedas no $2$ — de novo equilibram uma no $6$!

**Proposição 17.4 (A regra da alavanca).**

Para cada lado da [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever), multiplique o número de moedas pela distância delas até o [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever). A [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) se equilibra exatamente quando os dois lados têm o *mesmo produto*:

$$
2 \text{ moedas} \times 3 \text{ marcas} = 6
\qquad\text{equilibra}\qquad
1 \text{ moeda} \times 6 \text{ marcas} = 6 .
$$

Se o produto de um dos lados for maior, esse lado desce.

![A regra da alavanca numa régua: produtos iguais, barra na horizontal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g3-levers-and-scales/fig-5c0d8627802f.svg)

*A regra da [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) numa régua: produtos iguais, barra na horizontal.*

**Exemplo 17.5 (Usando a regra).**

Quatro moedas estão na marca $2$: o produto delas é $4 \times 2 = 8$. Para equilibrá-las com moedas na marca $4$, precisamos de um produto $8$ também desse lado: $8 = 2 \times 4$, então duas moedas no $4$ resolvem. E será que uma única moeda equilibraria as quatro? Ela teria de ficar na marca $8$: $1 \times 8 = 8$. Quanto mais leve a passageira, mais longe ela precisa sentar — exatamente o que a gangorra do pai nos ensinou, agora com números.

## 17.3 A balança de pratos

**Definição 17.6 (Balança de pratos).**

Uma *balança de pratos* é uma [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) construída para ser justa: dois pratos pendurados a distâncias *exatamente iguais* do [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever). Com distâncias iguais, os produtos coincidem exatamente quando os pesos coincidem — então a balança pende para o prato mais pesado e fica na horizontal quando os dois pratos carregam cargas igualmente pesadas.

![Uma balança de pratos: uma alavanca com dois pratos a distâncias iguais. Pratos na horizontal querem dizer cargas igualmente pesadas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g3-levers-and-scales/fig-dde8a9e3707c.svg)

*Uma [balança de pratos](#def-g3-levers-and-scales-scale): uma [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) com dois pratos a distâncias iguais. Pratos na horizontal querem dizer cargas igualmente pesadas.*

**Exemplo 17.7 (Pesar comparando).**

Durante milhares de anos, os comerciantes venderam farinha, ouro e pimenta com [balanças de pratos](#def-g3-levers-and-scales-scale): a mercadoria num prato, pequenos blocos de metal de referência no outro, acrescentando blocos até os pratos ficarem na horizontal. A balança não conhece número nenhum — ela só responde “mais pesado”, “mais leve” ou “igual”. Mas comparar com blocos bem escolhidos é tudo de que uma feira justa precisa — e, como o último capítulo desta parte vai mostrar, é o caminho para [medir](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-measure) a própria massa.

**Observação 17.8 (Confira a balança vazia).**

Uma balança justa tem de ficar na horizontal quando está *vazia*. Se um braço for mais comprido ou um prato mais pesado, os produtos já são diferentes antes mesmo de a mercadoria chegar, e toda pesagem dali em diante engana. Os comerciantes honestos provavam que a balança vazia estava nivelada na frente do freguês — um jeito antigo e sem palavras de dizer “jogo limpo”.

## 17.4 Exercícios

**Exercício 17.1 ★.**

Aponte a [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) e o [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever) em: uma gangorra; um pé de cabra sobre uma tora; uma tesoura. (A tesoura esconde duas [alavancas](#def-g3-levers-and-scales-lever) — onde fica o apoio delas?)

**Solução de Exercício 17.1.**

Gangorra: a prancha é a [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever), o suporte do meio é o [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever). Pé de cabra: a barra é a [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever), a tora é o [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever). Tesoura: cada lâmina com o seu cabo é uma [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever), e as duas se apoiam no parafuso central.

**Exercício 17.2 ★.**

Para levantar uma pedra pesada com um pé de cabra, você deve empurrar perto do [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever) ou longe dele? Por quê, em uma frase?

**Solução de Exercício 17.2.**

Longe do [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever): quanto mais longe o empurrão, maior o produto dele — um empurrão pequeno lá longe vence uma pedra pesada que está perto.

**Exercício 17.3 ★.**

Na gangorra de moedas, calcule o produto para: $3$ moedas na marca $4$; $2$ moedas na marca $5$; $1$ moeda na marca $6$. Quais pares entre esses se equilibram?

**Solução de Exercício 17.3.**

$3 \times 4 = 12$; $2 \times 5 = 10$; $1 \times 6 = 6$. Nenhum desses produtos é igual a outro, então nenhum par entre eles se equilibra.

**Exercício 17.4 ★.**

Uma moeda está na marca $8$ do lado esquerdo. Onde você precisa pôr $2$ moedas do lado direito para equilibrar? E $4$ moedas?

**Solução de Exercício 17.4.**

O produto da esquerda é $1 \times 8 = 8$. Duas moedas precisam de $8 = 2 \times 4$: marca $4$. Quatro moedas precisam de $8 = 4 \times 2$: marca $2$.

**Exercício 17.5 ★.**

Lado esquerdo: $3$ moedas na marca $3$. Lado direito: $2$ moedas na marca $4$. Calcule os dois produtos. Qual lado desce?

**Solução de Exercício 17.5.**

Esquerda: $3 \times 3 = 9$. Direita: $2 \times 4 = 8$. O produto do lado esquerdo é maior, então o lado esquerdo desce.

**Exercício 17.6 ★.**

Por que os dois pratos de uma [balança de pratos](#def-g3-levers-and-scales-scale) ficam pendurados a distâncias exatamente iguais do [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever)? O que um braço esquerdo mais comprido faria com todas as pesagens?

**Solução de Exercício 17.6.**

Com braços iguais, pratos na horizontal querem dizer pesos iguais — a comparação é justa. Um braço esquerdo mais comprido multiplicaria a carga da esquerda por uma distância maior, e a balança mentiria a favor daquele lado em toda pesagem.

**Exercício 17.7 ★.**

Uma [balança de pratos](#def-g3-levers-and-scales-scale) fica na horizontal com um saquinho de bolinhas de gude num prato e $6$ blocos iguais no outro. O que aprendemos sobre o saquinho? O que a balança responde se tirarmos um bloco?

**Solução de Exercício 17.7.**

O saquinho pesa exatamente o mesmo que os $6$ blocos. Tirando um bloco, o prato do saquinho fica mais pesado e a balança pende para o lado do saquinho.

**Exercício 17.8 ★.**

Numa gangorra: Tom pesa o mesmo que $2$ sacos e senta na marca $3$; a irmãzinha dele pesa o mesmo que $1$ saco. Em que marca ela precisa sentar para equilibrá-lo?

**Solução de Exercício 17.8.**

O produto de Tom: $2 \times 3 = 6$. A irmã dele precisa de $1 \times 6 = 6$: ela tem de sentar na marca $6$.

**Exercício 17.9 ★.**

A garra do martelo puxa um prego: a sua mão empurra a ponta do cabo, longe do lugar em que a cabeça do martelo se apoia na madeira. Qual é o [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever), e por que o prego — que os seus dedos nunca conseguiriam puxar — sai?

**Solução de Exercício 17.9.**

O [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever) é o lugar em que a cabeça do martelo se apoia na madeira. A sua mão empurra na ponta distante do cabo — uma distância grande, então um produto grande — enquanto o prego resiste bem pertinho do [ponto de apoio](#def-g3-levers-and-scales-lever): a [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) transforma o seu empurrão confortável no puxão de um gigante.

**Exercício 17.10 ★★.**

O avô (pesado como $4$ sacos) quer brincar de gangorra com a pequena Zoe (pesada como $1$ saco). A gangorra tem marcas de $1$ a $8$ de cada lado. Encontre *duas* maneiras diferentes de sentá-los para que a gangorra fique equilibrada.

**Solução de Exercício 17.10.**

O [equilíbrio](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/13-equilibrio#def-g2-balance-equilibrium-equilibrium) exige $4 \times (\text{marca do avô}) = 1 \times
(\text{marca de Zoe})$. Duas maneiras: o avô no $1$ com Zoe no $4$ ($4 = 4$), ou o avô no $2$ com Zoe no $8$ ($8 = 8$).

**Exercício 17.11 ★★.**

Um comerciante trapaceiro deixa às escondidas um dos braços da balança um pouquinho mais comprido, e sempre põe a mercadoria do lado do braço comprido. Os fregueses levam mais mercadoria do que pagam ou menos? Explique com a regra da [alavanca](#def-g3-levers-and-scales-lever) — e com a [Observação 17.8](#rem-g3-levers-and-scales-fair).

**Solução de Exercício 17.11.**

Menos. No braço comprido, até uma carga leve dá um produto grande, então os pratos se nivelam quando a mercadoria pesa *menos* que os blocos honestos do braço curto. A conferência da balança vazia o denuncia: sem nada nos pratos, a balança dele já pende para o lado do braço comprido.