--- title: "Descrever o movimento: trajetória e velocidade" book: "Física do ensino fundamental" subject: physics language: pt chapter: 40 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/40-descrever-o-movimento-trajetoria-e-velocidade --- # Capítulo 40 — Descrever o movimento: trajetória e velocidade Uma folha caindo, um trem de alta [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed), um cavalinho de carrossel, uma cobrança de pênalti: o mundo nunca fica parado. Para estudar o movimento, a física faz duas perguntas organizadas a tudo o que se move: *por qual caminho?* e *com que rapidez ao longo dele?* Caminho e ritmo — [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory) e [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) — são os óculos deste capítulo. ## 40.1 Trajetória: o caminho percorrido **Definição 40.1 (Trajetória).** A *trajetória* de um objeto em movimento é a linha traçada pela viagem dele — o caminho que ele desenha no espaço. Três formatos cobrem quase toda a vida diária: *retilínea* (o elevador, a maçã que cai), *circular* (o cavalinho de carrossel, a ponta do ponteiro de um relógio) e *curva* de jeitos mais livres (o arco da bola lançada, o mergulho da andorinha). ![Três trajetórias do dia a dia: a subida retilínea, o círculo sem fim, o arco do lançamento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-describing-motion/fig-74ddc460ab94.svg) *Três [trajetórias](#def-g6-describing-motion-trajectory) do dia a dia: a subida retilínea, o círculo sem fim, o arco do lançamento.* **Exemplo 40.2 (Trajetória de quem?).** Tome cuidado para dizer *qual ponto* você está acompanhando. O focinho do cavalinho de carrossel desenha um círculo; o centro do carrossel inteiro não desenha nada — ele fica parado. O eixo de uma roda que rola desliza em linha reta, enquanto um ponto da borda dela traça saltinhos graciosos. Uma máquina, muitas [trajetórias](#def-g6-describing-motion-trajectory): a física acompanha um ponto de cada vez. **Observação 40.3 (Em movimento em relação a quê?).** Um passageiro cochilando no trem não desenha [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory) nenhuma para o passageiro sentado à frente — e desenha uma linha de cem quilômetros no mapa para uma vaca que olha do pasto. As duas descrições são honestas: movimento é sempre *movimento em relação a alguma coisa*, e quem descreve precisa dizer em relação a quê. Por enquanto comparamos tudo caladinhos com o chão; toda a [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) de escolher outros pontos de vista é uma história célebre guardada para o volume do ensino médio. ![Uma câmera deixada aberta à noite desenha trajetórias: cada farol traça exatamente o caminho que o seu carro percorreu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-describing-motion/img-48f5ff648899.jpg) *Uma câmera deixada aberta à noite desenha [trajetórias](#def-g6-describing-motion-trajectory): cada farol traça exatamente o caminho que o seu carro percorreu.* ## 40.2 Uniforme ou variado? **Definição 40.4 (Movimento uniforme e variado).** Um movimento é *uniforme* quando percorre distâncias iguais em tempos iguais — a caminhada firme de quem anda no ritmo de um metrônomo, o cruzeiro de um trem entre duas estações. Ele é *variado* quando o ritmo muda: acelerando (o velocista saindo dos blocos), freando (o ônibus parando) ou os dois alternadamente (o eterno anda-e-para do trânsito). **Proposição 40.5 (Lendo o filme pontilhado).** Fotografe um objeto em movimento em batidas iguais de tempo — muitos instantâneos rápidos numa mesma [imagem](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/32-espelhos-e-reflexao#prop-g5-mirrors-reflection-image) — e o movimento assina o próprio nome em pontos: 1. pontos igualmente espaçados: [movimento uniforme](#def-g6-describing-motion-uniform) ; 2. pontos se afastando ao longo do caminho: acelerando; 3. pontos se aglomerando: freando. Há tempos iguais entre cada par de pontos, então os vãos entre os pontos comparam as distâncias — o diagnóstico inteiro num relance. ![Três filmes pontilhados, um instantâneo por batida: espaçamento igual, afastando, aglomerando — uniforme, acelerado, freando.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-describing-motion/fig-7635fa820024.svg) *Três filmes pontilhados, um instantâneo por batida: espaçamento igual, afastando, aglomerando — uniforme, acelerado, freando.* **Método 40.6 (Fazer um filme pontilhado).** Qualquer câmera de celular produz esses retratos: 1. filme o objeto em movimento — um colega passando de bicicleta, uma bola descendo uma rampa — segurando a câmera parada; 2. avance pelo vídeo, pausando em passos iguais (a cada meio segundo de reprodução, por exemplo); 3. em cada pausa, marque a posição do objeto num papel vegetal sobre a tela, ou anote-a em relação às estacas de uma cerca ao fundo; 4. alinhe as suas marcas numa fileira e leia-as com a [Proposição 40.5](#prop-g6-describing-motion-dots) . Um aviso dos profissionais: segure a câmera parada — uma câmera que se desloca acrescenta o movimento dela ao filme e embaralha de quem é cada [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory) (exatamente o aviso da [Observação 40.3](#rem-g6-describing-motion-relative)). ## 40.3 Pondo números no ritmo **Exemplo 40.7 (Velocidade por proporcionalidade).** Um bonde em [movimento uniforme](#def-g6-describing-motion-uniform) percorre $9\,\mathrm{km}$ em $20$ minutos. Que [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) é essa, nos quilômetros-por-hora de sempre? A proporcionalidade responde sem nenhuma maquinaria nova: uma hora são três porções de $20$ minutos, então o bonde percorre $3 \times 9 = 27\,\mathrm{km}$ em uma hora — a [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) dele é de $27$ quilômetros por hora. Numa tabela: | minutos | $20$ | $60$ | | --- | --- | --- | | quilômetros | $9$ | $27$ | O [movimento uniforme](#def-g6-describing-motion-uniform) *é* a proporcionalidade entre distância e tempo — o seu curso de matemática e o seu curso de física acabaram de se cumprimentar. **Exemplo 40.8 (O quadro dos ritmos).** Ritmos do dia a dia, para julgar qualquer resposta: passeando, cerca de $4$ quilômetros por hora; caminhando depressa, $6$; pedalando sem esforço, $15$; um ônibus urbano com paradas, $20$; um carro em estrada aberta, $90$; um trem de alta [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed), até $300$. Quando uma conta entrega a você um pedestre a $40$ quilômetros por hora, o quadro dos ritmos devolve a conta. **Observação 40.9 (Velocidade num instante).** Um [movimento variado](#def-g6-describing-motion-uniform) não tem uma única [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) — o ônibus que freia está rápido, depois lento, depois parado. O ponteiro do velocímetro de um carro responde a uma pergunta mais sutil: *quão rápido agora?* Definir essa velocidade-de-agora com precisão é genuinamente profundo — ela precisa de uma matemática que você vai conhecer no último ano do ensino médio, e abriu um dos maiores capítulos de toda a ciência. Para este ano: os [movimentos uniformes](#def-g6-describing-motion-uniform) ganham um número honesto; os [movimentos variados](#def-g6-describing-motion-uniform) ganham uma história. ## 40.4 Exercícios **Exercício 40.1 ★.** Diga o formato da [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory): uma gota de chuva descendo por uma vidraça parada; a ponta do ponteiro dos minutos; um arremesso de basquete rumo à cesta; o slalom de um esquiador. **Solução de Exercício 40.1.** Retilínea (descendo a vidraça); circular; curva (um arco); curva (um S serpenteante). **Exercício 40.2 ★.** Numa bicicleta rolando, que [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory) o eixo da roda desenha? E a válvula do pneu, na borda? (Uma palavra e um esboço para cada.) **Solução de Exercício 40.2.** O eixo: uma linha reta, deslizando paralela à rua. A válvula: uma curva de saltinhos graciosos — subindo, arqueando e tocando o chão a cada volta da roda. **Exercício 40.3 ★.** Uniforme ou variado: um trem em cruzeiro entre estações; o mesmo trem saindo da plataforma; um paraquedista descendo a um ritmo constante; um disco deslizando e perdendo [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) num gelo áspero? **Solução de Exercício 40.3.** Uniforme; variado (acelerando); uniforme; variado (freando). **Exercício 40.4 ★.** Um filme pontilhado mostra vãos de $2\,\mathrm{cm}$, $2\,\mathrm{cm}$, $2\,\mathrm{cm}$, $2\,\mathrm{cm}$ entre os instantâneos. Diagnostique o movimento. Outro mostra $1\,\mathrm{cm}$, $2\,\mathrm{cm}$, $4\,\mathrm{cm}$, $7\,\mathrm{cm}$: diagnostique esse também. **Solução de Exercício 40.4.** Vãos iguais: [movimento uniforme](#def-g6-describing-motion-uniform). Vãos crescendo ($1, 2, 4, 7$): acelerando — mais distância em cada batida igual. **Exercício 40.5 ★.** Por que a câmera precisa ficar parada ao se fazer um filme pontilhado? Qual observação do capítulo está em jogo? **Solução de Exercício 40.5.** Uma câmera que se desloca acrescenta o movimento dela ao registro — os pontos então misturam a viagem do objeto com a da câmera. O movimento é sempre movimento em relação a alguma coisa, e o filme precisa fixar essa “alguma coisa”: é a observação sobre pontos de vista. **Exercício 40.6 ★.** Uma balsa em [movimento uniforme](#def-g6-describing-motion-uniform) percorre $12\,\mathrm{km}$ em $30$ minutos. Monte a tabela de proporcionalidade e dê a [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) dela em quilômetros por hora. **Solução de Exercício 40.6.** Tabela: $30$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$, então $60$ min $\to$ $24\,\mathrm{km}$: a [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) da balsa é de $24$ quilômetros por hora. **Exercício 40.7 ★.** Um ciclista afirma manter $14$ quilômetros por hora. Que distância ele percorre em $30$ minutos? E em $15$ minutos? (Tabelas, não fórmulas.) **Solução de Exercício 40.7.** $60$ min $\to$ $14\,\mathrm{km}$; $30$ min $\to$ $7\,\mathrm{km}$; $15$ min $\to$ $3.5\,\mathrm{km}$. **Exercício 40.8 ★.** Diante do quadro dos ritmos do [Exemplo 40.8](#ex-g6-describing-motion-paces), julgue estas afirmações: um passeante percorrendo $12\,\mathrm{km}$ em uma hora; um ônibus urbano percorrendo $10\,\mathrm{km}$ em $30$ minutos; um trem de alta [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) percorrendo $75\,\mathrm{km}$ em $15$ minutos. **Solução de Exercício 40.8.** Um passeante a $12$ quilômetros por hora: rejeitado — três vezes o ritmo de passeio. O ônibus: $10$ km em $30$ min dá $20$ quilômetros por hora — exatamente o ritmo de ônibus urbano, aceito. O trem: $75$ km em $15$ min dá $300$ quilômetros por hora — topo do quadro, mas plausível para um trem de alta [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed): aceito. **Exercício 40.9 ★★.** O passageiro cochilando da [Observação 40.3](#rem-g6-describing-motion-relative): descreva o movimento dele — [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory) e ritmo — primeiro para o passageiro sentado à frente e depois para a vaca no pasto. Por que as duas descrições são honestas? **Solução de Exercício 40.9.** Para o passageiro à frente: nenhum movimento — nenhuma [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory), ritmo zero. Para a vaca: uma longa [trajetória retilínea](#def-g6-describing-motion-trajectory) no ritmo completo do trem. As duas descrições são honestas: cada uma descreve o passageiro que cochila em relação ao próprio ponto de vista, e movimento é sempre movimento em relação a alguma coisa. **Exercício 40.10 ★★.** Uma linha de metrô tem $9\,\mathrm{km}$ de ponta a ponta. O horário prevê $18$ minutos, incluindo seis paradas de um minuto em [estações](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/18-o-sol-no-ceu-dias-e-estacoes#def-g3-sun-days-seasons-year). Durante o tempo em que o metrô realmente anda, o ritmo médio dele está acima ou abaixo de $45$ quilômetros por hora? (Descubra primeiro o tempo de deslocamento e depois use uma tabela.) **Solução de Exercício 40.10.** Tempo de deslocamento: $18 - 6 = 12$ minutos para $9\,\mathrm{km}$. Tabela: $12$ min $\to$ $9$ km, então $60$ min $\to$ $45$ km — exatamente $45$ quilômetros por hora: nem acima nem abaixo, mas certinho. **Exercício 40.11 ★★.** Projete um filme pontilhado para resolver uma discussão em família: o cachorro corre a um ritmo constante quando busca a bolinha, ou ele dispara e depois desliza? Liste os seus passos, o que você vai [medir](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/37-medir-na-ciencia-unidades-e-instrumentos#def-g6-measurement-in-science-measuring) e que veredito cada padrão de pontos daria. **Solução de Exercício 40.11.** Filme a busca da bolinha com a câmera parada; pause a cada meio segundo; marque as posições do cachorro em relação às estacas da cerca; meça os vãos. Vãos iguais o tempo todo: ritmo constante. Vãos que se abrem e depois encolhem (ou que alternam largos e estreitos): dispara e desliza. Os pontos entregam o veredito, não importa o que a família tenha gritado. **Exercício 40.12 ★★★.** Uma bola rola até a beirada de uma mesa e cai. Esboce a [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory) dela da beirada da mesa até o chão, vista por alguém em pé na sala. Depois argumente — pontos de vista de novo! — que [trajetória](#def-g6-describing-motion-trajectory) veria um observador minúsculo montado num carrinho que rolasse por baixo da bola em queda, exatamente no ritmo do avanço dela. (Um dos dois vê uma curva; o outro vê algo bem mais simples. Este quebra-cabeça volta, resolvido, no volume do ensino médio.) **Solução de Exercício 40.12.** Da sala: uma curva — a bola arqueia para a frente e para baixo, da beirada da mesa até o chão. Do carrinho que rola no ritmo do avanço da bola: a bola não ganha nem perde terreno — ela parece cair *em linha reta para baixo*. A mesma queda, dois pontos de vista, e a vista mais simples pertence ao observador em movimento: uma semente de uma grande ideia. ## 40.5 Problema: O filme pontilhado da Linha 7 **Problema 40.1.** Problema de fim de semana — uma engenheira de transportes lê os filmes pontilhados de uma linha de bonde; diagnosticar a viagem, cronometrar a linha, pegar a mentira do horário Uma engenheira de transportes filmou viagens de bonde com uma câmera de beira de rua que marca a posição do bonde a cada batida (uma batida $=$ $10$ segundos) e entrega os filmes a você. **Parte I — Lendo os filmes.** O filme A, entre duas estações, mostra os vãos (em [metros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units)): $50, 50, 50, 50, 50$. 1. Diagnostique o movimento do filme A. 2. Que distância o bonde percorreu durante os $50$ segundos do filme A? 3. O filme B, saindo de uma [estação](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/18-o-sol-no-ceu-dias-e-estacoes#def-g3-sun-days-seasons-year) , mostra os vãos $10, 25, 40, 50, 50$ . Conte a história da viagem em palavras. 4. No filme B, em quais intervalos entre batidas o movimento é (quase) uniforme? **Parte II — O ritmo verdadeiro da linha.** 5. No trecho uniforme, o bonde percorre $50\,\mathrm{m}$ a cada $10$ segundos. Monte a tabela até um minuto: que distância por minuto? 6. Continue até a hora: qual é a [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de cruzeiro do bonde em quilômetros por hora? 7. A linha inteira tem $12\,\mathrm{km}$ . Na [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de cruzeiro, sem paradas, quantos minutos de ponta a ponta? 8. O horário prevê $50$ minutos de ponta a ponta. Quantos minutos a linha real perde, ao todo, com [estações](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/18-o-sol-no-ceu-dias-e-estacoes#def-g3-sun-days-seasons-year) , sinais vermelhos e trechos lentos? **Parte III — O anúncio em julgamento.** O cartaz da empresa se gaba: “Linha 7 — atravesse a cidade a $18$ quilômetros por hora, o dobro do melhor ritmo de um pedestre!” 9. Confira a aritmética do cartaz contra o horário: $12\,\mathrm{km}$ em $50$ minutos — monte a tabela até uma hora. “ $18$ quilômetros por hora” é honesto para a viagem *inteira* ? 10. Um sabichão objeta: “Um número desses nunca aparece no velocímetro — o bonde ou está em cruzeiro a $18$ ou está parado no $0$ !” Explique o que uma [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de viagem inteira realmente descreve, e por que ela ainda é o número justo para uma viagem de muitos ritmos. 11. A engenheira propõe pular duas estações para economizar quatro minutos. Qual seria o novo tempo de ponta a ponta e — tabela de novo — a nova [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de viagem inteira, em quilômetros por hora? (Arredonde com bom senso.) 12. Escreva o relatório de uma frase da engenheira: em qual número os passageiros devem confiar para se planejar, na [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de cruzeiro ou na [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de viagem inteira, e por quê? **Solução de Problema 40.1.** **1.** Vãos iguais de $50\,\mathrm{m}$: [movimento uniforme](#def-g6-describing-motion-uniform). **2.** $5 \times 50 = 250\,\mathrm{m}$. **3.** O bonde arranca do repouso: vãos curtos que vão crescendo — acelerando nas três primeiras batidas — e depois se acomodam em vãos constantes de $50\,\mathrm{m}$: cruzeiro. **4.** Nos dois últimos intervalos, de $50\,\mathrm{m}$ cada. **5.** $10$ s $\to$ $50\,\mathrm{m}$, então $60$ s $\to$ $300\,\mathrm{m}$ por minuto. **6.** $60$ min $\to$ $60 \times 300 = 18\,000\,\mathrm{m}$: [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de cruzeiro de $18$ quilômetros por hora. **7.** Tabela: $18\,\mathrm{km}$ por $60$ min, então $12\,\mathrm{km}$ em $40$ minutos. **8.** $50 - 40 = 10$ minutos perdidos com paradas e trechos lentos. **9.** $50$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$, então $60$ min $\to$ $12 \times 60 \div 50 = 14.4\,\mathrm{km}$: a viagem inteira corre a cerca de $14$ quilômetros por hora — os $18$ do cartaz são honestos só para os trechos de cruzeiro, e não para “atravessar a cidade”. **10.** Uma [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de viagem inteira descreve o percurso *como se* ele fosse uniforme: o único ritmo constante que cobriria os mesmos $12\,\mathrm{km}$ nos mesmos $50$ minutos. Velocímetro nenhum a mostra e, ainda assim, ela é o número justo para o planejamento, porque já contém cada parada e cada trecho lento. **11.** $50 - 4 = 46$ minutos; $12 \times 60 \div 46 \approx 15.7\,\mathrm{km}$ por hora — digamos uns $16$. **12.** Por exemplo: “Os passageiros devem se planejar pela [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/35-velocidade-distancia-e-tempo#def-g5-speed-distance-time-speed) de viagem inteira — cerca de $14$ quilômetros por hora hoje — porque ela é o único número que inclui as esperas; os $18$ de cruzeiro bajulam a linha e ignoram todas as paradas.”