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title: "Densidade: por que as coisas flutuam"
book: "Física do ensino fundamental"
subject: physics
language: pt
chapter: 44
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/44-densidade-por-que-as-coisas-flutuam
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# Capítulo 44 — Densidade: por que as coisas flutuam

No seu primeiro ano, uma moedinha afundou enquanto um tronco enorme flutuava, e prometemos que o “porquê” era um tesouro deste curso. Você o conquistou. A chave foi forjada ao longo de dois capítulos — a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) para o material, o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) para o espaço — e hoje as duas giram juntas na fechadura.

## 44.1 A massa de um centímetro cúbico

**Exemplo 44.1 (Enfim uma comparação justa).**

Comparar um tronco inteiro com uma moeda inteira nunca foi justo: tamanhos diferentes, formatos diferentes. A disputa justa toma *[volumes](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) iguais*: um [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de cada concorrente. Um $\mathrm{cm}^{3}$ de água tem [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de $1\,\mathrm{g}$. Um $\mathrm{cm}^{3}$ de carvalho: cerca de $0.6\,\mathrm{g}$. De pedra: cerca de $2.5\,\mathrm{g}$. De ferro: $7.9\,\mathrm{g}$. Espaços iguais, materiais loucamente desiguais — esse é o número que o jogo da flutuação estava esperando.

**Definição 44.2 (Densidade).**

A *densidade* de uma substância é a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de um [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) dela, em [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units). A densidade da água é de $1\,\mathrm{g}$ por $\mathrm{cm}^{3}$; a do carvalho, cerca de $0.6$; a do ferro, $7.9$. Para encontrar uma densidade, não é preciso nenhum instrumento novo: meça a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) e o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de uma amostra e depois divida — reparta os [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) igualmente entre os [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume), e a resposta é a cota de cada [centímetro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units).

![A disputa justa: o mesmo espaço para todos, e cada substância mostra a massa que é a assinatura dela.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/fig-fe5000fab634.svg)

*A disputa justa: o mesmo espaço para todos, e cada substância mostra a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) que é a assinatura dela.*

**Proposição 44.3 (A densidade é uma assinatura).**

A [densidade](#def-g6-density-floating-density) de uma substância pura é a mesma para qualquer pedaço dela, grande ou pequeno: uma lasca de carvalho e uma viga inteira carregam ambas cerca de $0.6\,\mathrm{g}$ em cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). Por isso a [densidade](#def-g6-density-floating-density) identifica substâncias, como fazem os [pontos de fusão](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/21-fusao-e-ebulicao-as-mudancas-de-estado#def-g4-changes-of-state-melting-point): meça a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) e o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de um objeto misterioso, divida e compare com a tabela — muitas vezes a substância confessa na hora.

**Método 44.4 (Medir uma densidade).**

Para um seixo — ou uma coroa:

1. meça a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) dele com a balança: digamos $75\,\mathrm{g}$ ;
2. meça o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) dele pela subida da água: digamos $30\,\mathrm{cm}^{3}$ ;
3. divida os [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) pelos [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) : $75 \div 30 = 2.5$ — cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) carrega $2.5\,\mathrm{g}$ ;
4. consulte a tabela: [densidade](#def-g6-density-floating-density) $2.5$ — o nosso seixo é pedra comum.

## 44.2 A regra da flutuação

**Proposição 44.5 (Por que as coisas flutuam).**

Um objeto [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) na água se a [densidade](#def-g6-density-floating-density) dele for *menor* que a da água — menor que $1\,\mathrm{g}$ por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) — e [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) se a [densidade](#def-g6-density-floating-density) dele for maior. A água, por assim dizer, compara o intruso consigo mesma, espaço por espaço: quem é mais leve que eu por espaço passeia em cima; quem é mais pesado por espaço desce. A mesma regra governa qualquer [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid), cada um com a própria [densidade](#def-g6-density-floating-density) como juiz.

![O gelo é só um pouquinho menos denso que a água — então um iceberg flutua fundo, escondendo a maior parte do volume dele abaixo da linha da água.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/img-028e91187a7c.jpg)

*O gelo é só um pouquinho menos denso que a água — então um iceberg [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) fundo, escondendo a maior parte do [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) dele abaixo da linha da água.*

**Exemplo 44.6 (Seis anos de enigmas, resolvidos).**

O tronco ($0.6$): [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words), por maior que seja — cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) dele oferece menos que a água. A moeda (bronze, perto de $9$): [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words), por menor que seja. O patinho de plástico, a rolha, o lápis: abaixo de $1$, todos flutuadores. O gelo, com $0.9$ — o [sólido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-solid) inchado da própria água — [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) no próprio [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) por um fio, e é por isso que os lagos usam tampa e os icebergs navegam. E o barquinho de massinha? Modelado como tigela, o pacote *barco mais [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air)* guarda muito [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air) por espaço: a [densidade](#def-g6-density-floating-density) do pacote cai abaixo de $1$, e lá no porto o mesmo truque lança navios de aço de dez mil toneladas.

![A letra da densidade: os líquidos se empilham com o mais denso embaixo, e o gelo com 0.9 passeia com só um décimo de si mesmo acima da água.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g6-density-floating/fig-0cbe29a1ec98.svg)

*A letra da [densidade](#def-g6-density-floating-density): os [líquidos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) se empilham com o mais denso embaixo, e o gelo com $0.9$ passeia com só um décimo de si mesmo acima da água.*

**Exemplo 44.7 (A torre de líquidos).**

Despeje mel, depois água tingida com tinta e depois óleo, com cuidado, pela parede de um copo alto: três camadas, o mel ($1.4$) no fundo, o óleo ($0.9$) em cima, recusando-se a misturar as suas patentes. Solte convidados lá dentro: uma uva ($1.05$) [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) pelo óleo, [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) pela água e descansa sobre o mel — mais densa que dois andares, mais leve que o terceiro. A torre é a regra da flutuação encenada como teatro.

**Observação 44.8 (Lendo o iceberg).**

O $0.9$ do gelo contra o $1.0$ da água faz mais do que fazer o iceberg [flutuar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words): ele define a linha da água. Nove décimos do [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de um iceberg viajam *abaixo* da superfície — a famosa [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) escondida que afundou navios orgulhosos. Explicar exatamente *por que* a fração submersa acompanha a razão das [densidades](#def-g6-density-floating-density) é uma bela lei do próprio cientista da banheira antiga, provada com honestidade no volume do ensino médio; a tabela de [densidades](#def-g6-density-floating-density) já sussurra a resposta.

## 44.3 A coroa, enfim

**Exemplo 44.9 (Arquimedes encerra o caso).**

Agora termine a história começada dois capítulos atrás. A [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) da coroa: fácil, a balança dá. O [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) dela: impossível para uma obra-prima cheia de saliências — até a lição da banheira dar o método da subida. [Massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) dividida pelo [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume): a *[densidade](#def-g6-density-floating-density)* da coroa — e [densidade](#def-g6-density-floating-density) é assinatura. O ouro puro assina $19.3$; a prata assina $10.5$; uma mistura secreta assina algo entre os dois. A lenda conta que a coroa do ourives confessou uma [densidade](#def-g6-density-floating-density) bem abaixo da do ouro, e a fraude foi exposta sem um arranhão na coroa. O problema de fim de semana entrega a você os números dele.

## 44.4 Exercícios

**Exercício 44.1 ★.**

O que é a [densidade](#def-g6-density-floating-density) de uma substância? Dê a da água e enuncie a regra da flutuação.

**Solução de Exercício 44.1.**

A [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de um [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) da substância, em [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units); a da água é $1\,\mathrm{g}$ por $\mathrm{cm}^{3}$. A regra: menos denso que a água [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words), mais denso [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Exercício 44.2 ★.**

Preveja se [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) ou [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) na água: carvalho ($0.6$); pedra ($2.5$); cortiça ($0.2$); ferro ($7.9$); gelo ($0.9$).

**Solução de Exercício 44.2.**

O carvalho [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words); a pedra [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words); a cortiça [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words); o ferro [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words); o gelo [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) — por um fio.

**Exercício 44.3 ★.**

Um bloco tem [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de $120\,\mathrm{g}$ e [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de $80\,\mathrm{cm}^{3}$. Encontre a [densidade](#def-g6-density-floating-density) dele. [Flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) ou [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words)?

**Solução de Exercício 44.3.**

$120 \div 80 = 1.5$: [densidade](#def-g6-density-floating-density) $1.5$ — mais denso que a água, ele [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Exercício 44.4 ★.**

Um pedaço misterioso: [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) $158\,\mathrm{g}$, subida na proveta $20\,\mathrm{cm}^{3}$. Qual é a [densidade](#def-g6-density-floating-density) dele — e, pelos números do capítulo, qual é a substância provável?

**Solução de Exercício 44.4.**

$158 \div 20 = 7.9$: a assinatura do ferro.

**Exercício 44.5 ★.**

Por que a [densidade](#def-g6-density-floating-density) de uma lasca de carvalho é a mesma de uma viga inteira de carvalho? Para que serve essa propriedade?

**Solução de Exercício 44.5.**

A [densidade](#def-g6-density-floating-density) pertence à substância, e não ao pedaço: cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de carvalho carrega a mesma cota de [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units), seja lasca ou viga. É isso que faz da [densidade](#def-g6-density-floating-density) uma carteira de identidade para substâncias desconhecidas.

**Exercício 44.6 ★.**

Na torre de [líquidos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid), por que o mel fica no fundo e o óleo em cima? Onde uma uva de [densidade](#def-g6-density-floating-density) $1.05$ vai parar?

**Solução de Exercício 44.6.**

Os [líquidos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) se empilham por [densidade](#def-g6-density-floating-density), com o mais denso no fundo: mel $1.4$ abaixo da água $1.0$, abaixo do óleo $0.9$. A uva ($1.05$) [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) pelo óleo e pela água e descansa no piso de mel — mais densa que os dois andares de cima, menos densa que o mel.

**Exercício 44.7 ★.**

O gelo [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) na água — por que isso é estranho para um [sólido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-solid), e qual proposição antiga sobre a água congelando explica o $0.9$?

**Solução de Exercício 44.7.**

A maioria dos [sólidos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-solid) é mais densa que o próprio [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) e [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) nele. O gelo [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) porque a água incha ao [congelar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/9-gelo-agua-vapor#def-g2-ice-water-steam-meltfreeze) — o mesmo material num décimo a mais de espaço dá [densidade](#def-g6-density-floating-density) $0.9 < 1$.

**Exercício 44.8 ★.**

O tronco enorme e a moedinha do seu primeiro ano: dê a resposta final e completa, com os números do capítulo.

**Solução de Exercício 44.8.**

A madeira assina cerca de $0.6$: cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) do tronco oferece menos que $1\,\mathrm{g}$ de água, então o tronco [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) por maior que seja. O bronze assina perto de $9$: cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) da moeda oferece mais que a água, então ela [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) por menor que seja. O tamanho nunca importou; a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) por espaço sempre importou.

**Exercício 44.9 ★★.**

Um [litro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de certo [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) tem [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de $800\,\mathrm{g}$. Qual é a [densidade](#def-g6-density-floating-density) dele em [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)? Um cubo de gelo ($0.9$) vai [flutuar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) ou [afundar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) nele?

**Solução de Exercício 44.9.**

$1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}$, então $800 \div 1000 = 0.8$ [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). O gelo, com $0.9$, é *mais denso* que esse [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid): o cubo de gelo [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) nele.

**Exercício 44.10 ★★.**

O aço assina $7.9$ e, mesmo assim, os navios de aço flutuam. Resolva o paradoxo com a ideia do pacote do [Exemplo 44.6](#ex-g6-density-floating-settled) — o que pertence ao pacote do navio além do aço, e qual precisa ser a [densidade](#def-g6-density-floating-density) geral dele? Quando um navio com um rombo deixa de satisfazer a regra?

**Solução de Exercício 44.10.**

O pacote que [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) é o casco inteiro: a casca de aço *mais* o enorme [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air) que ela encerra. Na média de todo esse espaço, a [densidade](#def-g6-density-floating-density) do pacote cai abaixo de $1$, e a regra manda [flutuar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words). Um rombo deixa a água substituir o [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air): a [densidade](#def-g6-density-floating-density) do pacote sobe na direção da do próprio aço, passa de $1$ — e a regra, impassível, manda [afundar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words).

**Exercício 44.11 ★★.**

A água do mar é um pouco mais densa que a água doce — cerca de $1.03$. Explique por que os nadadores flutuam nitidamente melhor no mar e preveja o que acontece com a linha d’água de um navio quando ele sai do mar salgado e entra num rio de água doce.

**Solução de Exercício 44.11.**

O juiz mudou: contra o $1.03$ da água do mar, o corpo de um nadador, perto de $1$, fica confortavelmente do lado de quem [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words), e por isso o mar carrega você mais alto. Entrando na água doce ($1.0$), o navio perde essa margem e [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) mais: a linha d’água sobe pelo casco.

**Exercício 44.12 ★★★.**

Uma esfera oca de metal [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) exatamente com metade submersa. Deduza a [densidade](#def-g6-density-floating-density) do *pacote esfera inteira* (casca de metal mais o [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air) de dentro). Depois argumente para que lado ela se move se a água for vazando para dentro, e em que momento ela começa a [afundar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) — a regra e o pacote, trabalhando juntos.

**Solução de Exercício 44.12.**

Com metade submersa, a esfera fica exatamente tão fundo na água quanto deve ficar um pacote com metade da [densidade](#def-g6-density-floating-density) da água: a casca mais o [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air) dão na média cerca de $0.5$ [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) — o [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air) escondido fazendo quase todo o trabalho de aliviar. Conforme a água vaza para dentro, ela substitui o [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air), a [densidade](#def-g6-density-floating-density) média do pacote sobe e a esfera [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) cada vez mais; no instante em que a média passa do $1.0$ da água, a regra da flutuação troca de lado e a esfera vai ao fundo.

## 44.5 Problema: A coroa do rei

**Problema 44.1.**

Problema de fim de semana — o caso da coroa do rei, reaberto com os seus instrumentos; o julgamento do ourives, resolvido por uma divisão

Reabra o caso de fraude mais famoso da Antiguidade com números modernos. Assinaturas: ouro $19.3$, prata $10.5$ ([gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)).

**Parte I — As provas.** O rei entregou ao ourives $1930\,\mathrm{g}$ de ouro puro. A coroa pronta, na balança: $1930\,\mathrm{g}$ exatamente.

1. A [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) bate perfeitamente. Por que isso sozinho não prova nada sobre a fraude? (O que o ourives poderia ter feito e ainda assim bater a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) ?)
2. Que [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) $1930\,\mathrm{g}$ de *ouro puro* deveriam ocupar? (Reparta os [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) : quantos [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) a $19.3\,\mathrm{g}$ cada um?)
3. Arquimedes mergulha a coroa num recipiente cheio até a borda e recolhe o transbordamento: $130\,\mathrm{cm}^{3}$ . Qual é o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) verdadeiro da coroa?
4. Compare os dois [volumes](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) . O que essa comparação já grita?

**Parte II — A assinatura.**

5. Calcule a [densidade](#def-g6-density-floating-density) da coroa a partir da [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) e do [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) medido dela (uma casa decimal basta).
6. Ponha as três assinaturas lado a lado: ouro, coroa, prata. Onde a coroa cai?
7. Explique ao rei, em uma frase, por que a coroa não pode ser de ouro puro.
8. O ourives protesta: “Talvez a balança tenha errado!” Conceda a ele um erro generoso de $30\,\mathrm{g}$ para mais ou para menos. Alguma [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) entre $1900\,\mathrm{g}$ e $1960\,\mathrm{g}$ salva uma coroa de ouro puro de [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) $130\,\mathrm{cm}^{3}$ ? (Confira a faixa de [densidades](#def-g6-density-floating-density) .)

**Parte III — Quanto foi roubado?** Suponha que o ourives tenha guardado um pouco de ouro e o substituído, [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units), por prata.

9. Por que trocar ouro por prata, [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) , mantém a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) certa mas *incha* o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) ?
10. Teste um palpite: uma coroa de $965\,\mathrm{g}$ de ouro $+$ $965\,\mathrm{g}$ de prata. Qual é o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) da parte de ouro? E o da parte de prata? (Uma casa decimal.)
11. Some o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) da coroa palpitada e julgue o palpite diante dos $130\,\mathrm{cm}^{3}$ medidos: prata demais ou prata de menos?
12. O tribunal precisa de uma frase de veredito: diga o que ficou provado sem dúvida (ouro puro ou não), qual foi o método e por que a coroa nunca precisou ser danificada — o verdadeiro triunfo de Arquimedes.

**Solução de Problema 44.1.**

**1.** Nada: trocar ouro por uma *[massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass)* igual de prata deixa a balança feliz — a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) sozinha não enxerga a substituição. **2.** $1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$. **3.** $130\,\mathrm{cm}^{3}$ — o transbordamento é o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) da coroa, por deslocamento. **4.** A coroa ocupa $30\,\mathrm{cm}^{3}$ a mais de espaço do que ouro puro da [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) dela deveria ocupar: alguma coisa mais volumosa que o ouro se esconde lá dentro. **5.** $1930 \div 130 \approx 14.8$. **6.** Ouro $19.3$ — coroa $14.8$ — prata $10.5$: a coroa cai entre as duas assinaturas. **7.** “Majestade, cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de ouro puro carrega $19.3\,\mathrm{g}$; a sua coroa carrega apenas uns $15$ — de ouro puro ela não é.” **8.** A faixa dá [densidades](#def-g6-density-floating-density) de $1900 \div 130 \approx 14.6$ até $1960 \div 130 \approx 15.1$ — nem perto de $19.3$: nenhum erro plausível de balança salva o ourives. **9.** A prata é menos densa: cada [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) de ouro roubado foi devolvido como um [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) de prata que precisa de *mais espaço* — a troca [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [grama](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) preserva a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) e infla o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). **10.** Parte de ouro: $965 \div 19.3 = 50.0\,\mathrm{cm}^{3}$; parte de prata: $965 \div 10.5 \approx 91.9\,\mathrm{cm}^{3}$. **11.** Total $\approx 142\,\mathrm{cm}^{3}$ — mais que os $130$ medidos: o palpite meio a meio usou prata demais; o roubo verdadeiro foi menor (o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) medido fica entre $100$ e $142$). **12.** “Provado: a coroa não é de ouro puro. Método: a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) dela repartida pelo [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) medido com água dá uma [densidade](#def-g6-density-floating-density) muito abaixo da assinatura imutável do ouro. E a coroa nunca precisou nem de um arranhão: a água leu o segredo dela por fora — esse é o triunfo.”