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title: "Volume, massa, densidade"
book: "Física do ensino fundamental"
subject: physics
language: pt
chapter: 46
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/46-volume-massa-densidade
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# Capítulo 46 — Volume, massa, densidade

No ano passado você desmascarou um ourives fraudulento dividindo [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). Neste ano, o seu curso de matemática entregou a você um poder novo: letras que representam números. A [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) é o lugar perfeito para gastá-lo — uma fórmula curtinha que empacota três receitas, um kit de detetive e a regra inteira da flutuação em cinco símbolos.

## 46.1 A fórmula

**Definição 46.1 (Densidade, por fórmula).**

A *densidade* $\rho$ (a letra grega *rô*) de uma substância é a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) dela por [unidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/37-medir-na-ciencia-unidades-e-instrumentos#def-g6-measurement-in-science-measuring) de [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume): para uma amostra de [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) $m$ e [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) $V$,

$$
\rho = \frac{m}{V}.
$$

Com $m$ em [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) e $V$ em [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume), $\rho$ sai em *[gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)* ($\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$) — a “[massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de um [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)” do ano passado, agora de uniforme. A densidade da água: $\rho = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. E, como um [litro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) são $1000$ [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume), o mesmo número serve também como [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [litro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume): a água tem $1.0\,\mathrm{kg}$ por [litro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume).

**Exemplo 46.2 (Lendo as letras).**

Uma fórmula é uma frase em taquigrafia. $\rho = m/V$ se lê: “para encontrar a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula), divida a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) da amostra pelo [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) dela”. As letras são lugares vazios — para *este* seixo, $m$ vira $75\,\mathrm{g}$ e $V$ vira $30\,\mathrm{cm}^{3}$:

$$
\rho = \frac{m}{V} = \frac{75}{30} = 2.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.
$$

A mesma divisão do ano passado — mas a fórmula guarda a receita para todos os seixos que ainda vierem.

**Proposição 46.3 (Três receitas numa fórmula).**

Como a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) amarra a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) e o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) em proporção, uma única fórmula atende a três necessidades:

1. *encontrar uma [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula)* : $\rho = m/V$ — divida a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) pelo [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) ;
2. *encontrar uma [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass)* : $m = \rho \times V$ — cada [centímetro cúbico](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) carrega $\rho$ [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) , e há $V$ deles;
3. *encontrar um [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)* : $V = m/\rho$ — reparta a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) em porções de $\rho$ [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) ; o número de porções é o número de [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) .

**Exemplo 46.4 (As receitas em ação).**

*[Massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) a partir do [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)*: quanto pesam $250\,\mathrm{cm}^{3}$ de ferro ($\rho = 7.9$)? $m = 7.9 \times 250 = 1975\,\mathrm{g}$ — quase dois [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) no [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de uma caneca de café. *[Volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) a partir da [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass)*: que espaço ocupam $540\,\mathrm{g}$ de carvalho ($\rho = 0.6$)? $V = 540 \div 0.6 = 900\,\mathrm{cm}^{3}$. *Parceiro do bom senso*: as respostas do ferro devem ser pesadas-e-pequenas, as da madeira leves-e-grandes — a tabela de [densidades](#def-g7-volume-mass-density-formula) é a melhor amiga do passo do julgamento.

![A tabela de densidades como uma silhueta de cidade: do 0.2 leve como pena da cortiça ao 19.3 monumental do ouro. O 1.0 da água é a fronteira da flutuação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g7-volume-mass-density/fig-79c60c8fabb3.svg)

*A tabela de [densidades](#def-g7-volume-mass-density-formula) como uma silhueta de cidade: do $0.2$ leve como pena da cortiça ao $19.3$ monumental do ouro. O $1.0$ da água é a fronteira da flutuação.*

## 46.2 Medir densidades

**Método 46.5 (Densidade de um líquido).**

Os [líquidos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) não ficam sozinhos no prato de uma balança — então empreste o truque da tara:

1. ponha uma proveta vazia na balança e tare para zero;
2. despeje um [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) conveniente — digamos $V = 80\,\mathrm{cm}^{3}$ do [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) misterioso, lendo o [menisco](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#met-g6-mass-and-volume-cylinder) direito;
3. a balança agora mostra só a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) do [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) : digamos $m = 68\,\mathrm{g}$ ;
4. divida: $\rho = 68 \div 80 = 0.85\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — mais leve que a água: provavelmente um óleo.

**Exemplo 46.6 (Densidade de um sólido, do começo ao fim).**

Uma medalha afirma ser de prata ($\rho = 10.5$). Balança: $m = 84\,\mathrm{g}$. Proveta: a água sobe de $60.0\,\mathrm{cm}^{3}$ para $68.0\,\mathrm{cm}^{3}$, então $V = 8.0\,\mathrm{cm}^{3}$. Aí $\rho = 84 \div 8.0 = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — a assinatura bate: bem pode ser prata. (Um metal mais barato vestido de banho de prata teria se traído aqui — a não ser que fosse escolhido com astúcia, como o problema de fim de semana vai mostrar.)

**Observação 46.7 (Unidades nas fórmulas).**

Uma fórmula só é honesta se as [unidades](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/37-medir-na-ciencia-unidades-e-instrumentos#def-g6-measurement-in-science-measuring) dela combinarem. Com $m$ em [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) e $V$ em $\mathrm{cm}^{3}$, $\rho$ fala em $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$; alimente-a com [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) e [litros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) e ela responde em $\mathrm{kg}/\mathrm{L}$ — felizmente, o mesmo número para qualquer substância. Mas misture [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) com [litros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) e a fórmula, sem reclamar, entrega uma bobagem. Regra dos profissionais: antes de calcular, passe as [unidades](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/37-medir-na-ciencia-unidades-e-instrumentos#def-g6-measurement-in-science-measuring) em revista; depois de calcular, escreva-as na resposta.

## 46.3 Pensar por densidade

**Exemplo 46.8 (Ligas e intermediários).**

Misture duas substâncias e a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) da mistura cai *entre* as assinaturas delas — mais perto do ingrediente mais generoso. O bronze (cobre $9.0$ com um pouco de estanho) assina perto de $8.8$; a mistura de ouro com prata da coroa assinou entre $10.5$ e $19.3$; a água do mar, sal dissolvido em água, sobe para cerca de $1.03$. Estar no meio já é uma pista: uma leitura de $12$ numa barra de “ouro puro” é uma confissão de companhia.

**Exemplo 46.9 (A densidade decide o mundo da flutuação).**

A regra da flutuação, agora de uniforme: um objeto [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) num [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) quando $\rho_{\text{objeto}} < \rho_{\text{líquido}}$. Carvalho ($0.6$) na água ($1.0$): [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words). Gelo ($0.9$) no óleo ($0.85$): [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) — consulte a tabela, e não os seus instintos. Um nadador ($\approx 1.0$) nos famosos lagos ultrassalgados ($\approx 1.2$): [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) como uma rolha, com o jornal na mão. Uma desigualdade, o porto inteiro.

**Observação 46.10 (Olhe a multidão, não o pacote).**

$\rho = m/V$ descreve *substâncias*; os navios e os coletes salva-vidas inflados são *pacotes* — substância mais [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air) preso — e é o $m/V$ geral do pacote que enfrenta a regra da flutuação. A fórmula dá conta dos dois, desde que você a alimente com o $m$ e o $V$ certos: a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) do próprio aço para a substância, a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) do casco inteiro sobre o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) do casco inteiro para o pacote. Quase todos os “paradoxos” da flutuação são só as duas contabilidades confundidas.

## 46.4 Exercícios

**Exercício 46.1 ★.**

Escreva a fórmula da [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula), diga o nome de cada letra e dê a [unidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/37-medir-na-ciencia-unidades-e-instrumentos#def-g6-measurement-in-science-measuring) que acompanha [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) e [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume).

**Solução de Exercício 46.1.**

$\rho = m/V$: $\rho$ é a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula), $m$ é a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) da amostra e $V$ é o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) dela. Com [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) e [centímetros cúbicos](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume), $\rho$ sai em $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.

**Exercício 46.2 ★.**

Calcule a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula): $m = 270\,\mathrm{g}$, $V = 100\,\mathrm{cm}^{3}$. Qual metal do gráfico é esse?

**Solução de Exercício 46.2.**

$\rho = 270 \div 100 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$: alumínio.

**Exercício 46.3 ★.**

Use a receita certa: a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de $40\,\mathrm{cm}^{3}$ de cobre ($\rho = 9.0$); o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de $1930\,\mathrm{g}$ de ouro ($\rho = 19.3$).

**Solução de Exercício 46.3.**

$m = 9.0 \times 40 = 360\,\mathrm{g}$ de cobre. $V = 1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ de ouro — o próprio número do caso da coroa.

**Exercício 46.4 ★.**

No [Método 46.5](#met-g7-volume-mass-density-liquid), por que a proveta é tarada primeiro? Quais duas leituras alimentam então a fórmula?

**Solução de Exercício 46.4.**

A tara remove a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) da própria proveta, para que a balança informe só o [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) — é a regra do zero honesto. A fórmula é então alimentada com a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) $m$ da balança e a leitura $V$ do [menisco](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#met-g6-mass-and-volume-cylinder).

**Exercício 46.5 ★.**

Um [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid): $V = 50\,\mathrm{cm}^{3}$, $m = 70\,\mathrm{g}$. Qual é a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) dele? Um cubo de gelo ($0.9$) [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) ou [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) nele?

**Solução de Exercício 46.5.**

$\rho = 70 \div 50 = 1.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — parecido com mel. O gelo, com $0.9$, é bem menos denso: ele [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) bem alto nesse [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid).

**Exercício 46.6 ★.**

Por que a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) da água é o mesmo número em $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ e em [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) por [litro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)? Qual aviso a [Observação 46.7](#rem-g7-volume-mass-density-units) prega sobre misturar [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) com [litros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume)?

**Solução de Exercício 46.6.**

As duas [unidades](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/37-medir-na-ciencia-unidades-e-instrumentos#def-g6-measurement-in-science-measuring) mudam de escala juntas: um [litro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) são $1000$ $\mathrm{cm}^{3}$ e um [quilograma](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) são $1000$ [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units), então os dois milhares se cancelam — um número serve para os dois casos. Misturar [gramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) com [litros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) pula esse cancelamento e entrega um número mil vezes errado.

**Exercício 46.7 ★.**

Uma pulseira marcada como “ouro puro” tem $m = 58\,\mathrm{g}$ e $V = 5.0\,\mathrm{cm}^{3}$. Calcule a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) dela e dê o seu veredito, com a tabela como testemunha.

**Solução de Exercício 46.7.**

$\rho = 58 \div 5.0 = 11.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — perto do $11.3$ do chumbo, nem perto do $19.3$ do ouro. Veredito: não é ouro puro; provavelmente um impostor de coração de chumbo em roupa de ouro.

**Exercício 46.8 ★★.**

Um [metro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units) cúbico é um cubo de $100 \times 100 \times 100$ [centímetros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units). Quantos $\mathrm{cm}^{3}$ são — e qual é a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de um [metro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units) cúbico de água, em [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units)? (A resposta explica por que camas d’água preocupam os síndicos.)

**Solução de Exercício 46.8.**

$100 \times 100 \times 100 = 1000000$ $\mathrm{cm}^{3}$ — um milhão. A $1\,\mathrm{g}$ cada, isso dá $1\,000\,000\,\mathrm{g}$ $=$ $1000\,\mathrm{kg}$: uma tonelada inteira por [metro](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units) cúbico de água — e é por isso que uma cama d’água grande é móvel de térreo.

**Exercício 46.9 ★★.**

Um troféu “de prata”: $m = 420\,\mathrm{g}$, subida da água de $200\,\mathrm{cm}^{3}$ para $260\,\mathrm{cm}^{3}$. Qual é a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula)? Entre quais duas substâncias da tabela ela cai — e o que esse estar-no-meio sussurra?

**Solução de Exercício 46.9.**

$V = 260 - 200 = 60\,\mathrm{cm}^{3}$; $\rho = 420 \div 60 = 7.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — entre o alumínio ($2.7$) e o ferro ($7.9$), logo abaixo do ferro. O estar-no-meio sussurra: uma mistura ou um impostor banhado, com certeza não a prata de $10.5$.

**Exercício 46.10 ★★.**

Uma garrafa vazia pesa $380\,\mathrm{g}$; cheia até a marca de $75\,\mathrm{cL}$ com um [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) misterioso, ela pesa $1010\,\mathrm{g}$. Encontre a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) do [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid) em $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ e proponha a identidade dele.

**Solução de Exercício 46.10.**

[Massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) do [líquido](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/14-solidos-liquidos-gases#def-g3-solids-liquids-gases-liquid): $1010 - 380 = 630\,\mathrm{g}$; [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume): $75\,\mathrm{cL} = 750\,\mathrm{cm}^{3}$; então $\rho = 630 \div 750 = 0.84\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — um óleo.

**Exercício 46.11 ★★.**

Uma boia oca de alumínio tem [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) total de $4000\,\mathrm{cm}^{3}$ e [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) total de $1200\,\mathrm{g}$. Calcule a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) do *pacote* e preveja se ela [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) ou [afunda](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) — e depois explique, com a [Observação 46.10](#rem-g7-volume-mass-density-parcel), por que o $2.7$ do próprio alumínio era o número errado a consultar.

**Solução de Exercício 46.11.**

[Densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) do pacote: $1200 \div 4000 = 0.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — bem abaixo do $1.0$ da água: a boia [flutua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) bem alto. O $2.7$ do alumínio descreve só a casca de metal; o pacote é quase todo [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air) fechado dentro, e é o pacote — [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) total sobre [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) total — que enfrenta a regra da flutuação.

**Exercício 46.12 ★★★.**

Projete um protocolo completo para decidir se uma corrente é de cobre puro: liste cada medida, a receita aplicada, o número esperado para a pureza e *dois* motivos honestos pelos quais o seu veredito ainda poderia estar errado (pense em elos ocos e em misturas astutas cuja [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) caia perto da do cobre). Qual teste extra apertaria o caso?

**Solução de Exercício 46.12.**

Protocolo: pese a corrente ($m$); meça o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) dela pelo método da subida, toda submersa, sem bolhas ($V$); calcule $\rho = m/V$; a pureza espera cerca de $9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. Dúvidas honestas: elos ocos prendem [ar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/10-o-ar-ao-nosso-redor#def-g2-air-around-us-air) e incham o $V$, forjando uma [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) baixa; e uma mistura astuta (ou um núcleo banhado) pode cair perto de $9.0$ sem conter nem um pouco de cobre puro. Teste que aperta o caso: repetir a medida de [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) depois de inundar os elos (sacudindo as bolhas para fora) e acrescentar uma assinatura independente — por exemplo o [ímã](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/6-imas#def-g1-magnets-magnet) (um núcleo de aço se trai na hora) ou, numa oficina, um comportamento de [fusão](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/39-a-agua-em-todos-os-seus-estados#def-g6-water-states-changes) medido.

## 46.5 Problema: O detetive do ferro-velho

**Problema 46.1.**

Problema de fim de semana — uma tarde com a detetive de metais do ferro-velho; quatro lotes misteriosos, um lingote impostor; os limites do teste de densidade

O ferro-velho compra metal pelo que ele *é*, e não pelo que parece, e a detetive do pátio trabalha com uma balança, um recipiente graduado grande e a tabela de [densidades](#def-g7-volume-mass-density-formula). Você é o aprendiz. (Trecho da tabela: alumínio $2.7$; ferro $7.9$; cobre $9.0$; chumbo $11.3$; ouro $19.3$; tungstênio $19.3$.)

**Parte I — Quatro lotes.**

1. Lote A, um lingote cinzento: $m = 5400\,\mathrm{g}$ , deslocamento $V = 2000\,\mathrm{cm}^{3}$ . [Densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) e identidade?
2. Lote B, um rolo de fio: $m = 1800\,\mathrm{g}$ , $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . [Densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) e identidade?
3. Lote C, uma chapa opaca e pesada: $m = 4520\,\mathrm{g}$ , $V = 400\,\mathrm{cm}^{3}$ . [Densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) e identidade — e por que o lote C precisa ser manuseado com luvas e respeito?
4. Lote D, um saco de sucata clara e misturada: $m = 8100\,\mathrm{g}$ , $V = 1500\,\mathrm{cm}^{3}$ . Mostre que a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) do lote D cai entre dois metais da tabela e diga o que o saco provavelmente contém.

**Parte II — Preços e previsões.** O pátio paga por [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass), mas planeja o transporte por [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume).

5. Um comprador quer $540\,\mathrm{g}$ de alumínio cortados do lote A. Que [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) de lingote é isso?
6. O rolo de cobre do lote B vai ser derretido em cubos de $25\,\mathrm{cm}^{3}$ cada um. Qual é a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) de um cubo, e quantos cubos cheios o rolo rende?
7. Um engradado pode carregar no máximo $20\,\mathrm{kg}$ . Quantos desses cubos de cobre ele pode legalmente levar?
8. O poço do caminhão comporta mais $3000\,\mathrm{cm}^{3}$ de sucata de ferro. Que [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) extra, em [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) , a detetive está autorizada a carregar?

**Parte III — O impostor.** Um vendedor chega com um lingote reluzente de “ouro”: $m = 3860\,\mathrm{g}$, deslocamento $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$.

9. Calcule a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) do lingote. Ela bate com a assinatura do ouro?
10. A detetive, impassível, consulta a última linha da tabela e suspira. Qual metal mais barato tem exatamente a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) do ouro — e o que isso ensina sobre os limites do teste de [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) ?
11. Qual dos dois instrumentos do pátio foi derrotado aqui: a balança, o recipiente, os dois ou nenhum? Diga com precisão o que o teste de [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) *de fato* estabeleceu com honestidade sobre o lingote.
12. Sugira mais um teste físico, de anos anteriores deste curso, capaz de distinguir o ouro do sósia dele sem danificar o lingote. (Os [pontos de fusão](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/21-fusao-e-ebulicao-as-mudancas-de-estado#def-g4-changes-of-state-melting-point) dos dois diferem enormemente — o ouro perto de $1064\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , o sósia bem acima de qualquer forno daqui — mas ferro-velho nenhum [derrete](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/9-gelo-agua-vapor#def-g2-ice-water-steam-meltfreeze) um possível tesouro: encontre uma evidência mais gentil, talvez o veredito do [ímã](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/6-imas#def-g1-magnets-magnet) sobre núcleos de ferro, ou o [som](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/19-o-som-ao-nosso-redor#def-g3-sound-around-us-sound) de uma barra golpeada, e defenda a sua escolha com honestidade.)

**Parte IV — O ofício da detetive.**

13. Escreva o credo de três linhas da detetive: o que a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) consegue provar, o que ela só consegue sugerir e o que ela nunca consegue fazer sozinha.

**Solução de Problema 46.1.**

**1.** $5400 \div 2000 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$: alumínio. **2.** $1800 \div 200 = 9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$: cobre. **3.** $4520 \div 400 = 11.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$: chumbo — denso, mole e venenoso se manuseado sem cuidado: luvas. **4.** $8100 \div 1500 = 5.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — entre o alumínio ($2.7$) e o ferro ($7.9$): um saco misturado dos dois, mais ou menos meio a meio em [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume). **5.** $V = 540 \div 2.7 = 200\,\mathrm{cm}^{3}$. **6.** Um cubo: $m = 9.0 \times 25 = 225\,\mathrm{g}$. Os $1800\,\mathrm{g}$ do rolo rendem $1800 \div 225 = 8$ cubos cheios. **7.** $20\,\mathrm{kg} = 20\,000\,\mathrm{g}$; $20000 \div 225 = 88.9$: $88$ cubos. **8.** $m = 7.9 \times 3000 = 23\,700\,\mathrm{g} \approx
23.7\,\mathrm{kg}$. **9.** $3860 \div 200 = 19.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — um casamento perfeito com o ouro. **10.** O tungstênio — [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) $19.3$, a mesma assinatura até a casa decimal. O teste de [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) identifica candidatos; ele não consegue distinguir substâncias que por acaso dividem uma assinatura. **11.** Nenhum dos instrumentos falhou: a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) e o [volume](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/38-massa-e-volume#def-g6-mass-and-volume-volume) estão certos, e a divisão também. O teste estabeleceu com honestidade que o lingote é *ou* ouro *ou* algo com a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) exata do ouro — ele estreitou os suspeitos a dois. **12.** Escolhas defensáveis: o [som](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/19-o-som-ao-nosso-redor#def-g3-sound-around-us-sound) e o tato de uma barra golpeada (o tungstênio é muito mais duro — uma lima ou um teste de dureza num canto escondido separa os dois depressa), ou uma medida aceita de como a barra conduz [calor](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/34-calor-e-isolamento#def-g5-heat-and-insulation-heat) ou corrente (o ouro está entre os melhores [condutores](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/22-condutores-e-isolantes#def-g4-conductors-insulators-conductor), e o tungstênio fica bem atrás) — mais gentis que qualquer forno e decisivas junto com a [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula). **13.** Por exemplo: “A [densidade](#def-g7-volume-mass-density-formula) consegue provar que uma substância *não* é o que diz ser. Ela só consegue sugerir o que a substância é — as assinaturas estreitam os suspeitos. E sozinha ela nunca consegue condenar: identidade quer duas testemunhas independentes.”