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title: "A gravitação"
book: "Física do ensino fundamental"
subject: physics
language: pt
chapter: 63
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/63-a-gravitacao
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# Capítulo 63 — A gravitação

Uma maçã solta o galho e cai. A [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon), acima do mesmo pomar, não cai. Por milhares de anos esses pareceram dois fatos sem relação — até que uma intuição genial os juntou: a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) *está* caindo, sem parar, em volta da Terra, segurada exatamente pelo puxão que reclama a maçã. Uma lei só para o pomar e para o céu — a equação mais ousada já escrita até aquele dia, e o seu último ano deste livro se abre com ela.

## 63.1 A atração universal

**Definição 63.1 (Gravitação).**

A *gravitação* é a atração mútua entre todas as [massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass): toda porção de matéria do universo puxa todas as outras. É a [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) sem toque que você encontrou como “o puxão da Terra” anos atrás — revelada agora como universal: a Terra puxa a maçã, a maçã puxa a Terra, a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) puxa os mares, o Sol puxa os [planetas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet), e dois livros numa prateleira se puxam, fraquinho, para sempre.

**Proposição 63.2 (A lei da gravitação universal).**

Dois corpos de [massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) $m_A$ e $m_B$ (em $\mathrm{kg}$), com os centros a uma distância $d$ um do outro (em $\mathrm{m}$), se atraem com forças iguais e opostas ao longo da linha que os une, de intensidade

$$
F = G \times \frac{m_A \times m_B}{d^2},
$$

com $F$ em newtons ($\mathrm{N}$) — a [unidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/37-medir-na-ciencia-unidades-e-instrumentos#def-g6-measurement-in-science-measuring) de [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) cuja história completa começa no próximo capítulo — e $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$, a *constante gravitacional*, o mesmo número em todo lugar do universo. A [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) cresce com cada [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) e morre com o *quadrado* da distância: ao dobro da distância, quatro vezes mais fraca; a dez vezes a distância, cem vezes mais fraca.

![A gravitação universal: duas massas, dois puxões iguais e opostos ao longo da linha que as une — a maçã puxa a Terra exatamente com a mesma força com que a Terra puxa a maçã.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g9-gravitation/fig-da62f45b31db.svg)

*A [gravitação](#def-g9-gravitation-gravitation) universal: duas [massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass), dois puxões iguais e opostos ao longo da linha que as une — a maçã puxa a Terra exatamente com a mesma [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) com que a Terra puxa a maçã.*

**Exemplo 63.3 (Lendo a lei).**

Cada traço da fórmula fala. As [massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) se multiplicam: dobre qualquer uma das parceiras, e a [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) dobra. A distância aparece ao quadrado no denominador: a gravidade é um sussurro que desvanece depressa — a diluição pelo inverso do quadrado que você vai reencontrar com a [luz](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/3-luz-e-sombras#def-g1-light-and-shadows-source) e com o [som](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/19-o-som-ao-nosso-redor#def-g3-sound-around-us-sound), pois ela é a geometria de qualquer coisa que se espalhe pelo espaço. E o tamanho minúsculo de $G$ — onze zeros depois do ponto decimal — proclama a [gravitação](#def-g9-gravitation-gravitation) a fracota entre as [forças](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) da natureza: ela governa o cosmos apenas porque as [massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) lá em cima são monstruosas e nada a cancela.

**Exemplo 63.4 (Por que as prateleiras não se atracam).**

Dois livros de $1\,\mathrm{kg}$, com os centros a $0.1\,\mathrm{m}$ um do outro:

$$
F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{1 \times 1}{0.1^2}
= 6.67 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}
$$

— uns poucos bilionésimos de newton, o [peso](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/24-peso-e-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) do cisco de poeira de um cisco de poeira. Agora a Terra e a maçã: troque um livro por $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ de [planeta](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) e a distância pelo raio de $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ dele, e a mesma lei entrega o puxão familiar de uma tarde de pomar. Universal quer dizer universal — só as [massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) decidem quem percebe.

## 63.2 A Lua que cai

**Exemplo 63.5 (O canhão na montanha).**

A experiência de pensamento da própria intuição. Dispare uma bala de canhão na horizontal do alto de um pico: ela faz um arco e cai. Dispare mais rápido: ela cai mais longe — com o puxão da Terra entortando o caminho dela o tempo todo. Agora imagine dispará-la tão rápido que, enquanto ela cai, a superfície redonda da Terra *se encurve para longe embaixo dela no mesmo ritmo*: a bala cai sem parar e nunca pousa — ela dá voltas no [planeta](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet). Essa queda perpétua tem um nome familiar: uma *[órbita](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/43-o-sistema-solterralua#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit)*. Nada segura um corpo em [órbita](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/43-o-sistema-solterralua#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) “lá em cima”; ele está caindo com estilo.

![O canhão da montanha: cada tiro mais rápido cai mais longe em volta da Terra que se encurva — até que a queda e a curvatura se igualam, e a bala entra em órbita.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g9-gravitation/fig-f4cbfcab743c.svg)

*O canhão da montanha: cada tiro mais rápido cai mais longe em volta da Terra que se encurva — até que a queda e a curvatura se igualam, e a bala entra em [órbita](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/43-o-sistema-solterralua#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit).*

**Proposição 63.6 (O que a gravitação comanda).**

Uma lei, o céu inteiro: a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) é a bala de canhão eterna da Terra, caindo em volta de [nós](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/30-circuitos-em-serie-e-em-paralelo#def-g5-series-parallel-circuits-parallel) uma vez por mês; os [planetas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) caem do mesmo jeito em volta do Sol — os mais próximos mais depressa, como o inverso do quadrado exige; os cometas mergulham vindos do escuro em longos laços de queda; e todo satélite artificial — olhos do tempo, balizas de navegação, a [estação](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/18-o-sol-no-ceu-dias-e-estacoes#def-g3-sun-days-seasons-year) tripulada dando uma volta a cada noventa minutos — viaja na matemática do canhão da montanha. Nada nos céus está suspenso. Tudo cai, e erra o alvo.

**Exemplo 63.7 (As marés: a Lua puxa de volta).**

A mutualidade tem uma assinatura escrita na água. O puxão da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) sobre a Terra é mais forte no oceano voltado para ela e mais fraco no lado oposto — e assim os mares se amontoam suavemente na direção da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) e no sentido contrário ao mesmo tempo, e, conforme a Terra gira embaixo dos montes de água, as costas veem a água subir e descer: as *marés*, duas vezes na maioria dos dias. O Sol põe a mão dele — alinhada na lua nova e na [lua cheia](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#ex-g2-moon-in-the-sky-shapes), dando as grandes marés de sizígia. Os pescadores leem a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) há milênios; a lei a lê de volta.

**Observação 63.8 (O que a lei não diz).**

A grande equação calcula a [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) com uma exatidão primorosa e não explica coisa nenhuma sobre *como* dois corpos se agarram através do nada vazio — o próprio autor dela chamou a pergunta de aberta e a deixou, magnificamente, sem resposta. Respostas mais profundas existem — os anos de universidade deste curso chegam à moderna, na qual a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) encurva a própria geometria que habita —, mas todo físico honesto desde então repetiu a lição que você pode levar desta página: uma lei pode ser perfeitamente útil, perfeitamente testada e mesmo assim guardar o segredo final dela.

![A queda livre, vivida todo dia: a estação espacial e tudo o que há dentro dela caem juntos em volta da Terra, e por isso nada faz pressão sobre nada — câmeras, canetas, maçãs e água flutuam.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-1/g9-gravitation/img-6e727ca484a7.jpg)

*A queda livre, vivida todo dia: a estação espacial e tudo o que há dentro dela caem juntos em volta da Terra, e por isso nada faz pressão sobre nada — câmeras, canetas, maçãs e água flutuam.*

## 63.3 Exercícios

**Exercício 63.1 ★.**

Enuncie a lei da [gravitação](#def-g9-gravitation-gravitation) universal — fórmula, [unidades](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/37-medir-na-ciencia-unidades-e-instrumentos#def-g6-measurement-in-science-measuring) e as duas características ([massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass), distância) em palavras.

**Solução de Exercício 63.1.**

$F = G \, m_A m_B / d^2$, com as [massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) em [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units), $d$ em [metros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units) entre os centros, $F$ em newtons e $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$. Em palavras: o puxão cresce com cada [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) e morre com o quadrado da distância — e age igualmente sobre os dois parceiros, em sentidos opostos.

**Exercício 63.2 ★.**

A Terra puxa a maçã com $1\,\mathrm{N}$. Com que [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) a maçã puxa a Terra? Por que só um dos dois acelera visivelmente?

**Solução de Exercício 63.2.**

Com exatamente $1\,\mathrm{N}$ — os puxões da lei vêm sempre em pares iguais e opostos. A maçã acelera visivelmente porque a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) dela é minúscula; o mesmo $1\,\mathrm{N}$ aplicado a $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ de [planeta](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) o mexe de um jeito imensurável de tão pequeno.

**Exercício 63.3 ★.**

Dois satélites orbitam a distâncias $d$ e $2d$ do centro da Terra. Compare as [forças](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) gravitacionais sobre eles ([massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) iguais). E a $10 d$?

**Solução de Exercício 63.3.**

A $2d$: um quarto da [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) que há em $d$ — o quadrado de dois. A $10d$: um centésimo.

**Exercício 63.4 ★.**

Calcule a atração entre dois dançarinos de $80\,\mathrm{kg}$ a $0.5\,\mathrm{m}$ um do outro — e comente sobre romance contra [gravitação](#def-g9-gravitation-gravitation).

**Solução de Exercício 63.4.**

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 80 \times 80 \div 0.25 =
1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ — menos de dois milionésimos de newton: seja lá o que aproxime dois dançarinos, não é a [gravitação](#def-g9-gravitation-gravitation).

**Exercício 63.5 ★.**

Na história do canhão da montanha, que dois ritmos se igualam exatamente para o tiro em [órbita](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/43-o-sistema-solterralua#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit)? O que é uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/43-o-sistema-solterralua#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit), em três palavras?

**Solução de Exercício 63.5.**

O ritmo com que a bala cai e o ritmo com que a superfície redonda da Terra se encurva para longe embaixo dela. Uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/43-o-sistema-solterralua#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit): cair e errar.

**Exercício 63.6 ★.**

“Os astronautas flutuam porque não existe gravidade lá em cima.” Derrube essa frase com a bala de canhão: o que a [estação](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/18-o-sol-no-ceu-dias-e-estacoes#def-g3-sun-days-seasons-year) e a tripulação estão as duas fazendo?

**Solução de Exercício 63.6.**

Na altitude da [estação](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/18-o-sol-no-ceu-dias-e-estacoes#def-g3-sun-days-seasons-year), a gravidade mantém quase a [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) inteira que tem na superfície — é ela que segura a [estação](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/18-o-sol-no-ceu-dias-e-estacoes#def-g3-sun-days-seasons-year) no círculo dela. A [estação](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/18-o-sol-no-ceu-dias-e-estacoes#def-g3-sun-days-seasons-year) e a tripulação estão as duas *caindo*, juntas, em volta da Terra: companheiros de queda não fazem pressão em nada, e [flutuar](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/5-flutuar-e-afundar#def-g1-floating-and-sinking-words) é a sensação da queda livre compartilhada.

**Exercício 63.7 ★.**

Por que a [gravitação](#def-g9-gravitation-gravitation), a fracota da natureza, governa mesmo assim o cosmos? Dois motivos, tirados do capítulo.

**Solução de Exercício 63.7.**

Porque os céus lidam com [massas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) monstruosas — [planetas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) e [estrelas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-star) multiplicam o débil $G$ até [forças](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) poderosas — e porque a [gravitação](#def-g9-gravitation-gravitation) nunca é cancelada: ela só [atrai](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/6-imas#def-g1-magnets-magnet), e assim cada [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) a mais aprofunda o puxão.

**Exercício 63.8 ★.**

De onde vêm as marés, e por que duas vezes na maioria dos dias? Quando as maiores acontecem?

**Solução de Exercício 63.8.**

O puxão da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) amontoa os mares tanto na direção dela (a água mais próxima, puxada com mais [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force)) como no sentido oposto (a água mais distante, puxada com menos); a Terra girando leva cada costa por baixo dos dois montes todo dia — duas marés. As maiores acontecem na lua nova e na [lua cheia](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#ex-g2-moon-in-the-sky-shapes), quando a mão do Sol se alinha com a da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon): as marés de sizígia.

**Exercício 63.9 ★★.**

A [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) ($7.3 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$) orbita a $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ da Terra ($5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$). Calcule a atração entre elas, em notação científica do começo ao fim — e admire quantos algarismos a potência de dez da resposta carrega.

**Solução de Exercício 63.9.**

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times (7.3 \times 10^{22} \times
5.97 \times 10^{24}) \div (3.8 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — um $2$ seguido de vinte zeros de newtons segurando a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) no contrato de aluguel dela.

**Exercício 63.10 ★★.**

Na superfície da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon), o seu [peso](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/24-peso-e-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) encolheu para um sexto (lembre dos astronautas aos pulos). Usando os dois botões da lei — a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) menor da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon), o raio menor dela — explique como um sexto pode sair de um corpo oitenta vezes mais leve que a Terra.

**Solução de Exercício 63.10.**

Dois botões giram um contra o outro: a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon), umas oitenta vezes menor, corta o puxão em oitenta; mas o raio dela, quase quatro vezes menor, *aumenta* o puxão na superfície por quatro ao quadrado — umas catorze vezes. Oitenta para baixo, catorze para cima: sobra perto de um sexto.

**Exercício 63.11 ★★.**

Mercúrio dá uma volta no Sol em $88$ dias, Netuno em $165$ anos. Leia esse padrão a partir do inverso do quadrado: o que o desvanecimento da gravidade com a distância faz com a garra do Sol e, portanto, com o ritmo da família de fora?

**Solução de Exercício 63.11.**

O inverso do quadrado afina a garra do Sol com a distância, e uma garra mais fraca só consegue segurar uma queda em volta mais lenta: os [planetas](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) de fora ficam presos com folga e passeiam, os de dentro são agarrados com força e disparam — a corrida de Mercúrio e a caminhada de 164 anos de Netuno são a mesma lei lida a duas distâncias.

**Exercício 63.12 ★★★.**

Um satélite geoestacionário fica pendurado aparentemente imóvel sobre um ponto do equador — as antenas parabólicas nunca se mexem. Concilie a aparência com a [Proposição 63.6](#prop-g9-gravitation-runs): qual precisa ser o período orbital dele, para que lado ele precisa dar voltas e por que “ficar pendurado” aqui quer dizer “cair em passo perfeito com a Terra que gira”?

**Solução de Exercício 63.12.**

O período dele precisa ser exatamente um dia, dando voltas para leste — o sentido do próprio giro da Terra. Aí o satélite e a antena giram em passo perfeito: a parabólica “pendurada” está olhando uma bala de canhão que cai em volta do [planeta](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) precisamente no ritmo com que o [planeta](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) gira embaixo dela — imóvel só aos olhos de quem observa girando junto.

## 63.4 Problema: A herança da bala de canhão

**Problema 63.1.**

Problema de fim de semana — do pomar à órbita; a maçã, o canhão e a Lua auditados com uma lei só; o painel de lançamento de satélites

Uma noite no plantão de divulgação da agência espacial: uma lei, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$, [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) da Terra $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, raio da Terra $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$.

**Parte I — A auditoria da maçã.**

1. Calcule o puxão da Terra sobre uma maçã de $0.1\,\mathrm{kg}$ na superfície (centros separados por um raio terrestre).
2. A maçã puxa a Terra de volta com que [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) ? Diga a palavra da lei para essa contabilidade de mão dupla.
3. Levante a maçã até o dobro do raio da Terra contado a partir do centro. O que acontece com o puxão?
4. Uma visitante pergunta por que a fórmula usa a distância até o *centro* da Terra e não até o chão. Ofereça a resposta curta e honesta (o [planeta](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) inteiro puxa, e os puxões espalhados dele somam como se viessem do centro — um teorema que o próprio grande autor levou anos para provar).

**Parte II — O painel de lançamento.**

5. O satélite de hoje tem $2000\,\mathrm{kg}$ . O [peso](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/24-peso-e-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) dele na superfície, pela lei? (Ou pelo atalho que o próximo capítulo batiza: cerca de $9.8\,\mathrm{N}$ por [quilograma](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-units) .)
6. Na [órbita](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/43-o-sistema-solterralua#def-g6-sun-earth-moon-axisorbit) de trabalho dele, a $1.28 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ do centro — dois raios terrestres —, que fração do [peso](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/24-peso-e-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) na superfície a gravidade ainda exerce sobre ele?
7. “Então ainda existe gravidade de verdade lá em cima?” Confirme com o número — e explique o que o satélite está fazendo com esse puxão em vez de cair.
8. O comentário do lançamento diz que “a [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/52-graficos-do-movimento-e-velocidade-media#def-g7-motion-average-speed-formula) orbital precisa casar com a queda”. Reconte a história do canhão da montanha em duas frases para o folheto dos visitantes.

**Parte III — O livro-caixa da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon).**

9. Com a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) a $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , a quantos raios terrestres ela viaja? (Uma casa decimal.)
10. Pelo inverso do quadrado, a gravidade lá desvaneceu para aproximadamente que fração da [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) na superfície? (Eleve a sua resposta anterior ao quadrado.)
11. A grande intuição, recontada: a maçã do pomar cai cerca de cinco [metros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units) no primeiro segundo dela; a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) , a cada segundo, “cai” na direção da Terra mal um milímetro — e no entanto nunca chega. Ligue os dois fatos por meio das suas respostas 9 e 10: por que a queda da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) é milhares de vezes mais suave, e por que ela é infinita?
12. Encerre a noite de divulgação: uma lei, três artistas — maçã, satélite, [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) . Escreva a frase de encerramento do painel unindo os três.

**Solução de Problema 63.1.**

**1.** $F = 6.67 \times 10^{-11} \times (0.1 \times
5.97 \times 10^{24}) \div (6.4 \times 10^{6})^2 \approx 0.97\,\mathrm{N}$ — chame de um newton: o puxão do pomar, calculado a partir da constante do universo. **2.** $0.97\,\mathrm{N}$ também — mutualidade: os puxões da lei só vêm em pares iguais e opostos. **3.** Dobrar a distância entre os centros divide o puxão por quatro: cerca de $0.24\,\mathrm{N}$. **4.** Cada migalha do [planeta](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/26-o-sistema-solar#def-g4-solar-system-planet) puxa a maçã — montanhas próximas, núcleo profundo, antípodas distantes — e a soma de todos esses puxões dá exatamente o mesmo que se a [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) inteira estivesse no centro: um teorema, e não uma suposição, e o autor dele adiou a publicação por anos até conseguir prová-lo. **5.** Cerca de $2000 \times 9.8 \approx 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ — vinte mil newtons (a lei com $d$ igual a um raio terrestre dá o mesmo). **6.** A dois raios, o inverso do quadrado deixa um quarto: cerca de $4900\,\mathrm{N}$ para os $19\,600\,\mathrm{N}$ de [peso](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/24-peso-e-massa#def-g4-weight-and-mass-weight) dele na superfície. **7.** Sim — um quarto da gravidade cheia não é vazio nenhum sem [peso](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/24-peso-e-massa#def-g4-weight-and-mass-weight). O satélite gasta esse puxão encurvando o caminho dele: ele cai em volta da Terra, errando o alvo para sempre, exatamente como o canhão da montanha ensinou. **8.** “Disparada rápido o bastante, a descida de uma bala de canhão em queda casa com a curva da Terra, e ela dá voltas para sempre — caindo sem pousar. Todo satélite é aquela bala de canhão, lançada de lado depressa o bastante para continuar errando o chão.” **9.** $3.8 \times 10^{8} \div 6.4 \times 10^{6} \approx 59.4$ raios terrestres. **10.** Cerca de $1 \div 59.4^2 \approx 1/3500$ da [força](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/12-empurroes-e-puxoes-as-forcas#def-g2-pushes-and-pulls-force) na superfície. **11.** Suave porque a gravidade a sessenta raios está diluída por três mil e quinhentas vezes — a descida de cinco [metros](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/7-medir-comprimentos#def-g2-measuring-length-units) no primeiro segundo encolhe para cerca de um milímetro. Infinita porque esse milímetro de queda casa exatamente com o milímetro pelo qual a superfície da Terra se encurva para longe embaixo do deslize lateral da [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon): a queda nunca ganha terreno. **12.** Por exemplo: “A maçã, o satélite e a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) obedecem a uma frase só: toda [massa](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/20-medir-a-massa#def-g3-measuring-mass-mass) cai na direção de todas as outras, por $G m_A m_B / d^2$ — a maçã pousa, o satélite e a [Lua](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/11-a-lua-no-ceu#def-g2-moon-in-the-sky-moon) continuam errando, e a diferença é apenas a [velocidade](https://one-course.com/books/physics/1/pt/chapter/52-graficos-do-movimento-e-velocidade-media#def-g7-motion-average-speed-formula) de lado.”