---
title: "رتب القدر: قياس الكون"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 1
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe
---

# الفصل 1 — رتب القدر: قياس الكون

تبدأ الفيزياء حيث ينتهي الرأي: عند القياس. غير أن ما تقيسه الفيزياء يمتد على مدى مذهل — فقطر نواة الذرة نحو $10^{-15}\,\mathrm{m}$، وقطر الكون المرصود نحو $10^{27}\,\mathrm{m}$: أي بعامل قدره $10^{42}$، وهو أبعد من أن تسعه صورة ذهنية. يركّب هذا الفصل العُدّة التي تروّض هذا المدى — الوحدات وقوى العشرة [والأرقام المعنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) — وعادتين ترافقان كل صفحة بعده: اكتب [الوحدة](#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، وتحقّق من [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

## 1.1 الوحدات: قواعد لغة القياس

**تعريف 1.1 (المقادير الفيزيائية ووحدات النظام الدولي).**

*المقدار الفيزيائي* خاصية من خواص العالم يمكن قياسها: طول أو مدة أو كتلة. وقياسه يعني عدّ المرات التي ينطبق فيها مقدار مرجعي — هو *الوحدة* — على المقدار المقيس. و*النظام الدولي للوحدات* (SI) يثبّت سبع وحدات أساسية، ثلاث منها تحكم هذا المجلد كله: *المتر* ($\mathrm{m}$) للطول، و*الكيلوغرام* ($\mathrm{kg}$) للكتلة، و*الثانية* ($\mathrm{s}$) للزمن. (أما الأربع الباقية — الأمبير والكلفن والمول والشمعة — فتلتحق بنا حين تدخل الكهرباء والحرارة والكيمياء في القصة.)

**ملاحظة 1.2 (عدد بلا وحدة ليس نتيجة).**

قولنا “المسافة $384$” لا يعني شيئًا: إذ إنّ $384\,\mathrm{mm}$ و$384\,\mathrm{km}$ و$384\,\mathrm{Mm}$ ثلاثة عوالم مختلفة (وآخرها يصادف أنه المسافة إلى القمر). في 1999 أضاعت NASA مسبار *مارس كلايمت أوربيتر*، وقد كلّف $327 مليون دولار، لأن برنامجًا حسب قوى الدفع بالرطل-قوة بينما قرأها برنامج آخر بالنيوتن. قاعدة البيت، من هذا السطر إلى آخر الكتاب: كل عدد مقيس أو محسوب يحمل وحدته، في كل سطر من الحساب.

**تعريف 1.3 (سوابق النظام الدولي).**

*السابقة* الملصقة [بوحدة](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) تضربها في قوة ثابتة من قوى العشرة:

| فمتو | f | $10^{-15}$ | سنتي | c | $10^{-2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| بيكو | p | $10^{-12}$ | كيلو | k | $10^{3}$ |
| نانو | n | $10^{-9}$ | ميغا | M | $10^{6}$ |
| ميكرو | $\mu$ | $10^{-6}$ | جيغا | G | $10^{9}$ |
| مِلّي | m | $10^{-3}$ | تيرا | T | $10^{12}$ |

وهكذا $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ و$1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}$.

**مثال 1.4 (قراءة السوابق).**

طول موجة الضوء الأخضر نحو $500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$؛ وسُمك شعرة الإنسان نحو $70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$؛ ويدور القمر على بعد $384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. وكتلة قطرة مطر واحدة نحو $30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ — ولاحظ أن [وحدة](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) الكتلة الأساسية في النظام الدولي تحمل سابقة أصلًا، وحدها من بين السبع.

## 1.2 الكتابة العلمية والأرقام المعنوية

**تعريف 1.5 (الكتابة العلمية).**

يكون العدد مكتوبًا *بالكتابة العلمية* إذا كُتب على الصورة

$$
a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ عدد صحيح.}
$$

ويسمّى العامل $a$ *المُعامِل*، ويسمّى العدد الصحيح $n$ *الأُسّ*. وهكذا $149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8}$ و $0.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}$.

**قضية 1.6 (الحساب بقوى العشرة).**

مهما يكن العددان الصحيحان $m$ و$n$:

$$
10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad
\frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad
\left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.
$$

**برهان جزئي.** في حالة الأسس الموجبة، عُدّ العوامل: إنّ $10^{m} \times 10^{n}$ جداء $m + n$ عشرة، و$(10^m)^n$ يسلسل $n$ مجموعة من $m$ عشرة. وكتابة $10^{-n}$ بدل $1/10^{n}$ هي بالضبط الاصطلاح الذي يبقي القاعدة الأولى صحيحة مهما يكن [الأس](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) صحيحًا: فهو يفرض $10^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1$. ويدرس مجلد الرياضيات المرافق قواعد الأسس دراسة كاملة. ∎

**مثال 1.7 (الضرب بالكتابة العلمية).**

كم أرضًا تسع الشمس، كتلةً؟ بأخذ $m_{\text{الشمس}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ و $m_{\text{الأرض}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$:

$$
\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}}
= \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24}
= 0.333 \times 10^{6}
= 3.33 \times 10^{5}.
$$

تُعالَج المعاملات والأسس على حدة؛ ثم تُعاد كتابة الجواب النهائي حتى يعود [المعامل](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) إلى المجال $[1, 10)$.

**تعريف 1.8 (الأرقام المعنوية).**

*الأرقام المعنوية* لعدد مقيس هي الأرقام التي يضمنها القياس فعلًا: كل الأرقام المكتوبة عدا الأصفار البادئة. والأصفار اللاحقة تُحسب — إذ إنّ $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (ثلاثة أرقام معنوية) يَعِد بأكثر مما يعد به $5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (رقمان). [والكتابة العلمية](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) تُظهر عددها بنظرة واحدة: [فالمعامل](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) يحمل الأرقام المعنوية بالضبط.

**طريقة 1.9 (كم رقمًا نحتفظ به).**

لا يمكن لنتيجة محسوبة أن تكون أدقّ من مكوّناتها.

1. في الجداء أو القسمة، احتفظ من [الأرقام المعنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) بعدد العامل *الأقل* دقة.
2. قرّب الجواب النهائي وحده، ولا تقرّب الخطوات الوسيطة أبدًا.
3. عند الشك، ثلاثة [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) هي دقة العمل في هذا الكتاب.

**مثال 1.10 (محيط الأرض).**

قطر الأرض $d = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (ثلاثة [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig))، فمحيطها إذن $\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — ثلاثة أرقام، لا الثمانية التي تعرضها الآلة الحاسبة. وكتابة $39\,898\,227\,\mathrm{m}$ ادّعاء بمعرفة الكوكب حتى [المتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

![مسطرة تضرب فيها كل خطوة متساوية في عشرة. أما التدريجات الصغيرة فهي 200, 300, …, 900: عقد كامل يتزاحم في كل قطعة. وعلى هذه المسطرة يميل 300 نحو 102 ويميل 7000 نحو 104 — وتلك رتبتا قدرهما.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-75f975736dc2.svg)

*مسطرة تضرب فيها كل خطوة متساوية *في عشرة*. أما التدريجات الصغيرة فهي $200, 300, \dots, 900$: عقد كامل يتزاحم في كل قطعة. وعلى هذه المسطرة يميل $300$ نحو $10^{2}$ ويميل $7000$ نحو $10^{4}$ — وتلك رتبتا قدرهما.*

## 1.3 سُلّم الكون

**تعريف 1.11 (رتبة القدر).**

*رتبة القدر* لمقدار ما هي أقرب قوة من قوى العشرة إليه: تكتب المقدار على الصورة $a \times 10^{n}$ حيث $1 \leq a < 10$، ثم تأخذ $10^{n}$ إذا كان $a < 5$، و$10^{n+1}$ إذا كان $a \geq 5$. (ولا يهمّ اصطلاح الحدّ الفاصل بدقة أبدًا: فالقول برتبة القدر لا يُقصد به قط إلا ما هو مضبوط في حدود عامل قدره عشرة.)

**مثال 1.12 (رتب القدر).**

يعيش الإنسان نحو $80$ سنة، أي $80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$: [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}\,\mathrm{s}$ — بضعة مليارات من الثواني، فأحسِن إنفاقها. وطول الإنسان $1.7\,\mathrm{m}$: [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{0}\,\mathrm{m}$. وقمة إفرست، $8848\,\mathrm{m}$: [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{4}\,\mathrm{m}$، لأن $8.848 \geq 5$.

ورصّ هذه التقديرات حسب [الأس](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) ينتج الصورة الجامعة لهذا الفصل: سُلّم كل درجة فيه عالم أوسع عشر مرات من العالم الذي تحته.

![سُلّم الكون، بالمتر: 42 قوة من قوى العشرة تفصل نواة الذرة عن الكون المرصود، والإنسان يقف على بعد عشر درجات من الذرة وسبع وعشرين من القمة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-87c5dc9b3e0c.svg)

*سُلّم الكون، [بالمتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $42$ قوة من قوى العشرة تفصل نواة الذرة عن الكون المرصود، والإنسان يقف على بعد عشر درجات من الذرة وسبع وعشرين من القمة.*

وفوق درجة الأرض يكفّ [المتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) عن كونه ملائمًا؛ ولعلم الفلك وحداته الخاصة، وكلتاهما معرَّفة من السُّلّم نفسه.

**تعريف 1.13 (الوحدة الفلكية والسنة الضوئية).**

*الوحدة الفلكية* ($1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) هي متوسط المسافة بين الأرض والشمس. و*السنة الضوئية* ($\mathrm{ly}$) هي المسافة التي يقطعها الضوء في سنة واحدة. وينتقل الضوء في الخلاء بسرعة

$$
c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},
$$

وهي أكبر سرعة تسمح بها الطبيعة — ولذلك فالسنة الضوئية مسافة لا زمن.

![مسافات انطلاقًا من الأرض على المسطرة الضربية، وتحتها بالأحمر زمن انتقال الضوء: فالقمر على بعد ثوانٍ ضوئية، والكواكب على بعد ساعات ضوئية، والنجوم على بعد سنوات ضوئية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-40c4e9c90574.svg)

*مسافات انطلاقًا من الأرض على المسطرة الضربية، وتحتها بالأحمر زمن انتقال الضوء: فالقمر على بعد ثوانٍ ضوئية، والكواكب على بعد ساعات ضوئية، والنجوم على بعد سنوات ضوئية.*

**مثال 1.14 (السنة الضوئية بالمتر).**

تحوي السنة $365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ (وهو رقم قريب على نحو لطيف من $\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}$). ومنه

$$
1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.
$$

وتقع بروكسيما قنطورس، أقرب نجم بعد الشمس، على بعد $4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$: فالضوء الذي يعبر المسافة بين الأرض والشمس في ثماني دقائق يحتاج إلى أكثر من أربع سنوات ليصل من هناك.

**طريقة 1.15 (التحقق برتبة القدر).**

قبل الوثوق بأي نتيجة محسوبة:

1. قرّب كل معطًى إلى رتبة قدره؛
2. أعِد الحساب بقوى العشرة وحدها، مستعملًا [القضية 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers) — ولا يستغرق ذلك إلا ثوانيَ؛
3. قارن: يجب أن يوافق الجواب الدقيق التقديرَ في حدود عامل قدره عشرة أو نحو ذلك، وأن تكون وحدته هي الصحيحة. فإن أخفق أحد التحققين، فتعقّب الخطأ قبل أن تمضي.

**ملاحظة 1.16 (لِمَ كل هذا العناء).**

سوف تخبرك الآلة الحاسبة راضيةً بأن كتلة تفاحة $4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ — فهي لا تملك أن تعرف أكثر. ولا صيغة تكشف السخيف؛ إنما تكشفه العادة. فالفيزيائيون يقدّرون أولًا ويحسبون ثانيًا: والتقدير يمسك بالفواصل العشرية في غير موضعها، وبالوحدات المتبادلة، وبالكسور المقلوبة، وهي الأخطاء الثلاثة وراء أكثر الأجوبة الخاطئة في كل مستوى.

## 1.4 القياس والارتياب

لا تقرأ أداة القيمة الحقيقية. والقياس لا يكون أمينًا إلا إذا أخبر كذلك عن مقدار ما قد يبتعد عنها.

**تعريف 1.17 (الارتياب المطلق والارتياب النسبي).**

يُكتب قياس مقدار $x$ على الصورة

$$
x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,
$$

حيث $x_{\text{m}}$ هي القيمة المقيسة، و*الارتياب المطلق* $\Delta x > 0$، [بالوحدة](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) نفسها، يحدّ الخطأ الممكن: إذ يُدّعى أن القيمة الحقيقية تقع بين $x_{\text{m}} - \Delta x$ و$x_{\text{m}} + \Delta x$. أما *الارتياب النسبي* فهو النسبة $\Delta x / x_{\text{m}}$، وتُذكر عادة بالمئة؛ وهو ما تقيسه كلمة “دقيق”.

**طريقة 1.18 (قراءة أداة مدرّجة).**

في المسطرة والمخبار المدرّج والمؤشر:

1. اقرأ التدريجة الأقرب إلى العلامة، والعين عمودية على السلّم (فالعين المائلة تزيح القراءة)؛
2. خذ نصف أصغر تدريجة على الأقل ارتيابًا مطلقًا — وأكثر إن كانت حافة الجسم أو سطح السائل غير حادّة؛
3. اكتب النتيجة على الصورة $x_{\text{m}} \pm \Delta x$ مع وحدتها، ولا تحتفظ بأي رقم بعد الرقم المرتاب فيه.

![قراءة مسطرة مِلّيمترية: تقع نهاية القضيب أقرب ما تكون إلى التدريجة 127\, mm، والشريط المظلّل بمقدار نصف تدريجة على كل جانب هو الادّعاء الأمين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-9ff0d7ee00e5.svg)

*قراءة مسطرة مِلّيمترية: تقع نهاية القضيب أقرب ما تكون إلى التدريجة $127\,\mathrm{mm}$، والشريط المظلّل بمقدار نصف تدريجة على كل جانب هو الادّعاء الأمين.*

**مثال 1.19 (الدقة النسبية).**

للقراءة [السابقة](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) ارتياب نسبي $\frac{0.5}{127} \approx 0.4\%$. وحين تقيس المسطرة نفسها برغيًّا طوله $12\,\mathrm{mm}$ تعطي $\frac{0.5}{12} \approx 4\%$: فالأداة عينها أقلّ دقة عشر مرات على الجسم الصغير. فالدقة خاصية *للقياس* لا للأداة.

**ملاحظة 1.20 (مطلق صغير ونسبي هائل — والعكس).**

تقيس محطات الليزر المسافة بين الأرض والقمر، $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، إلى نحو $\pm3\,\mathrm{cm}$: أي بارتياب نسبي قدره $10^{-10}$، وهو من أحدّ ما قيس على الإطلاق — بخطأ مطلق لا تتباهى به مسطرة. فاسأل دائمًا *نسبةً إلى ماذا*: فالزوج $(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}})$ يروي القصة كاملة، وكل من العددين وحده قد يضلّل.

## 1.5 تمارين

**تمرين 1.1 ★.**

حوّل إلى [المتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، [بالكتابة العلمية](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

1. $750\,\mathrm{nm}$ (طول موجة الضوء الأحمر)؛
2. $2.5\,\mathrm{km}$ ؛
3. $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ (جرثومة تربة)؛
4. $0.15\,\mathrm{Tm}$ (المسافة بين الأرض والشمس، في زيّ غير مألوف).

**حل التمرين 1.1.**

*1.* $750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$. *2.* $2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$. *3.* $3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$. *4.* $0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ — أي [وحدة فلكية](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) واحدة.

**تمرين 1.2 ★.**

اكتب [بالكتابة العلمية](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) وأعطِ عدد [الأرقام المعنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig):

1. المسافة بين الأرض والشمس، $149\,600\,000\,\mathrm{km}$ ، [بالمتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ؛
2. قطر ذرة الهيدروجين، $0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m}$ ؛
3. سكان العالم، نحو $8\,100\,000\,000$ ؛
4. مدة قدرها $0.005\,20\,\mathrm{s}$ .

**حل التمرين 1.2.**

*1.* $149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$: $4$ [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *2.* $1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$: $3$ [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (الأصفار البادئة لا تُحسب أبدًا). *3.* $8.1 \times 10^{9}$: $2$ [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *4.* $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$: $3$ [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (الصفر اللاحق وعدٌ).

**تمرين 1.3 ★.**

احسب دون آلة حاسبة، وأعطِ كل نتيجة [بالكتابة العلمية](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

$$
(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad
\frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad
(5\times10^{6})^{2}, \qquad
\frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
$$

**حل التمرين 1.3.**

المعاملات والأسس على حدة ([القضية 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers)):

$$
3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad
\tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
$$

$$
5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad
\tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .
$$

**تمرين 1.4 ★.**

أعطِ [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom)، مع وحدتها، لكل مما يلي: طول إنسان قدره $1.7\,\mathrm{m}$؛ قمة إفرست، $8848\,\mathrm{m}$؛ جرثومة *الإشريكية القولونية*، $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$؛ كتلة الأرض، $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**حل التمرين 1.4.**

الإنسان: $1.7 < 5$، [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{0}\,\mathrm{m}$. إفرست: $8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ و$8.848 \geq 5$: [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{4}\,\mathrm{m}$. الجرثومة: [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{-6}\,\mathrm{m}$. الأرض: $5.97 \geq 5$، [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{25}\,\mathrm{kg}$.

**تمرين 1.5 ★.**

مسطرة مدرّجة بالمِلّيمتر. قِست بها قلمًا فوجدته $127\,\mathrm{mm}$.

1. اكتب النتيجة مع ارتيابها المطلق.
2. احسب [الارتياب النسبي](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
3. تقيس المسطرة نفسها ممحاة طولها $12\,\mathrm{mm}$ . أيّ القياسين أدقّ، وبأي عامل؟

**حل التمرين 1.5.**

*1.* نصف تدريجة: $L = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$. *2.* $\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\%$. *3.* الممحاة: $0.5/12 \approx 4\%$. قياس القلم أدقّ نحو عشر مرات — المسطرة نفسها، [والارتياب المطلق](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) نفسه، وجسم أطول عشر مرات.

**تمرين 1.6 ★★.**

باستعمال $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و$1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$:

1. عبّر [بالمتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) عن المسافة إلى بروكسيما قنطورس ( $4.24\,\mathrm{ly}$ ) وإلى الشعرى اليمانية ( $8.6\,\mathrm{ly}$ ).
2. يبعد المسبار *فوياجر 1* نحو $2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$ عن الأرض. كم تستغرق إشارته اللاسلكية، المنتقلة بالسرعة $c$ ، ليصل إلينا؟ عبّر عن الجواب بالساعات.

**حل التمرين 1.6.**

*1.* بروكسيما: $4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$. الشعرى اليمانية: $8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ (رقمان معنويان، كما في المعطيات). *2.* $t = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$، أي $8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}$: أي يومًا كاملًا تقريبًا لكل رسالة من المسبار.

**تمرين 1.7 ★★.**

كم يستغرق الضوء ليصل إلى الأرض من القمر ($3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$) ومن الشمس ($1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) ومن نبتون ($4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$)؟ أعطِ كل جواب [بوحدة](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) معقولة، وأتمّ الجملة: “حين تنظر إلى نبتون فأنت تراه كما كان…”

**حل التمرين 1.7.**

$t = d/c$ في كل مرة. القمر: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$. الشمس: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx
8.3\,\mathrm{min}$. نبتون: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx
4.2\,\mathrm{h}$. فحين تنظر إلى نبتون تراه كما كان قبل أربع ساعات تقريبًا — فكل مقراب آلة زمن متواضعة.

**تمرين 1.8 ★★.**

رزمة من $500$ ورقة، قيست بمسطرة مِلّيمترية، سُمكها $52.0\,\mathrm{mm}$ بارتياب $\pm0.5\,\mathrm{mm}$.

1. استنتج سُمك ورقة واحدة مع ارتيابه المطلق.
2. ما [الارتياب النسبي](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) لهذا السُّمك؟
3. لماذا يكون قياس الرزمة أفضل بكثير جدًّا من قياس ورقة واحدة مباشرة بالمسطرة نفسها؟ حدّد ذلك عدديًّا.

**حل التمرين 1.8.**

*1.* الورقة الواحدة: $52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm}
= 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. والارتياب ينقسم كذلك: $0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}$، ومنه $t = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}$. *2.* $1/104 \approx 1\%$. *3.* قياس ورقة واحدة مباشرة يعطي $(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$: أي ارتيابًا نسبيًّا قدره نحو $500\%$ — فالمسطرة لا تكاد تثبت وجود الورقة أصلًا. أما رصّ $500$ ورقة فيضرب الطول المقيس في $500$ بينما يبقى [الارتياب المطلق](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) للمسطرة ثابتًا: فينكمش [الارتياب النسبي](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) بهذا العامل نفسه $500$.

**تمرين 1.9 ★★.**

خذ $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ قطرًا للذرة. كم ذرة، جنبًا إلى جنب، تمتدّ على: جرثومة طولها $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ وشعرة سُمكها $70\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ وإنسان طوله $1.7\,\mathrm{m}$؟ أعطِ الجواب الأخير برتبة قدره أيضًا.

**حل التمرين 1.9.**

اقسم كل طول على $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$. الجرثومة: $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4}$ ذرة. الشعرة: $7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}$. الإنسان: $1.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}$، [رتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{10}$: أي عشرة مليارات ذرة من الرأس إلى القدم.

**تمرين 1.10 ★★.**

مجسّم بمقياس يمثّل الشمس (قطرها $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$) بكرة قدم قطرها $22\,\mathrm{cm}$.

1. احسب عامل مقياس المجسّم.
2. جِد قطر الأرض في المجسّم ( $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ) وبعدها عن كرة القدم فيه (المسافة الحقيقية $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).
3. كم يبعد القمر المجسّم عن الأرض المجسّمة (المسافة الحقيقية $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )؟ وكم يبعد نبتون المجسّم (المسافة الحقيقية $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ )؟

**حل التمرين 1.10.**

*1.* $s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}$. *2.* الأرض: $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} =
2.0\,\mathrm{mm}$ — حبة فلفل — تدور على بعد $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx
24\,\mathrm{m}$ من كرة القدم. *3.* القمر: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm}$ من حبة الفلفل. نبتون: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}$: فالمجسّم لا يسع ساحة المدرسة.

**تمرين 1.11 ★★.**

[الأرقام المعنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) في العمل.

1. ورقة A4 أبعادها $21.0\,\mathrm{cm}$ في $29.7\,\mathrm{cm}$ . أعطِ مساحتها بالعدد الصحيح من [الأرقام المعنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) .
2. يقطع عدّاء $100.0\,\mathrm{m}$ في $12.3\,\mathrm{s}$ . أعطِ السرعة المتوسطة مقرَّبة تقريبًا صحيحًا.
3. اشرح في جملة واحدة ما وجه عدم الأمانة في الإعلان عن المساحة بالقيمة $623.70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

**حل التمرين 1.11.**

*1.* $21.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}$، مقرَّبة إلى [الأرقام المعنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) الثلاثة للمعطيات: $624\,\mathrm{cm}^{2}$. *2.* $v = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (ثلاثة أرقام، يحدّدها الزمن). *3.* خمسة [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) تدّعي معرفة المساحة حتى $0.01\,\mathrm{cm}^{2}$، وهي دقة لم تعطها قط معطيات على مستوى المِلّيمتر — والرقم العشري المزوَّر يبقى تزويرًا.

**تمرين 1.12 ★★★.**

قطرة زيت حجمها $1.0\,\mathrm{mm}^{3}$ تُوضع على ماء ساكن فتنتشر في غشاء دائري قطره $1.1\,\mathrm{m}$ — وهو غشاء ستبيّن فصول لاحقة أن سُمكه جزيء واحد.

1. احسب مساحة الغشاء، ثم سُمكه.
2. استنتج رتبة قدر لحجم الجزيء، ثم قارنها بدرجة الذرة من السُّلّم.

(هذه التجربة الحسابية البسيطة، وقد جرّبها أول مرة بنجامين فرانكلين على بركة في لندن، كانت من أوائل ما قاسته البشرية بأمانة في عالم الجزيئات.)

**حل التمرين 1.12.**

*1.* نصف القطر $r = 0.55\,\mathrm{m}$، والمساحة $A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}$. الحجم $V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}$، والغشاء (مساحة) $\times$ (سُمك)، ومنه

$$
e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}}
= 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .
$$

*2.* رتبة قدر الجزيء $10^{-9}\,\mathrm{m}$ — أي درجة واحدة فوق درجة الذرة $10^{-10}\,\mathrm{m}$، وهذا متوافق مع كون الجزيء عنقودًا صغيرًا من الذرات. لقد هدّأت ملعقة فرانكلين من الزيت نصف فدّان من البركة، وقاست، من حيث لا يدري، النانومتر.

**تمرين 1.13 ★★★.**

قدّر عدد نبضات القلب في عمر إنسان. اذكر فرضياتك (تواتر القلب في الراحة، ومدة العمر)، واقصر الحساب على قوى العشرة ورقم واحد من [المعامل](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot)، وأعطِ الجواب النهائي برتبة قدر فقط. ولماذا يكون ذكره بأربعة [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) عديم المعنى؟

**حل التمرين 1.13.**

الفرضيات: نحو $70$ نبضة في الدقيقة في الراحة، وعمر قدره $80$ سنة. في اليوم: $70 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5}$ نبضة. وفي السنة: $1 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}$. وفي العمر: $4 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9}$ — أي رتبة قدر $10^{9}$، بضعة مليارات من النبضات. أما أربعة [أرقام معنوية](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) فتدّعي معرفة تواتر القلب، دقيقة بدقيقة، على مدى ثمانين سنة: فالمعطيات تخمينات [برتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom)، ولا مخرج يعلو على مدخلاته ([الطريقة 1.9](#met-g10-orders-of-magnitude-sigfig)).

**تمرين 1.14 ★★★.**

سُمك ورقة $0.10\,\mathrm{mm}$، وكل طيّة تضاعف سُمك الرزمة. باستعمال $2^{10} \approx 10^{3}$:

1. بعد كم طيّة تتجاوز الرزمة قمة إفرست ( $8848\,\mathrm{m}$ )؟
2. وبعد كم طيّة تبلغ القمر ( $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )؟
3. لا يمكن عمليًّا طيّ ورقة أكثر من سبع مرات تقريبًا. فهل يبطل ذلك الحساب أم التجربة وحدها؟

**حل التمرين 1.14.**

بعد $n$ طيّة يصير السُّمك $2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. *1.* المطلوب $2^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}$. وبما أن $2^{26} \approx 6.7 \times 10^{7}$ لا يكفي بينما $2^{27} \approx 1.3 \times 10^{8}$ يكفي: فالجواب $27$ طيّة (والرزمة $\approx 13\,\mathrm{km}$). *2.* المطلوب $2^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}$: إنّ $2^{41} \approx
2.2 \times 10^{12}$ لا يكفي، و$2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ يبلغ — أي $42$ طيّة، والرزمة $4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، وهو ما يتجاوز القمر بأريحية. *3.* التجربة وحدها: فكل طيّة تنصّف المساحة، وبعد سبع طيّات تصير الرزمة أسمك منها عرضًا. أما حساب المضاعفة فلا يمسّه شيء — إنما النمو الأسّي يسبق ببساطة ما يقدر الورق (والحدس) على متابعته.

**تمرين 1.15 ★★★.**

يعطي القياس بالليزر المسافة بين الأرض والقمر $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}$؛ وتعطي مسطرة جيدة طول طاولة $1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}$.

1. احسب الارتيابين النسبيين. أيّ القياسين أدقّ، وبأي عامل؟
2. بأي ارتياب مطلق ينبغي أن تقيس الطاولة لتبلغ الدقة النسبية لقياس القمر؟ قارن هذا الطول بحجم الذرة، واستنتج بما يليق من إجلال.

**حل التمرين 1.15.**

*1.* القمر: $0.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}$. الطاولة: $0.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}$. فقياس القمر أدقّ بعامل قدره $1.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7}$ — أي أكثر من عشرة ملايين. *2.* بلوغ $7.8 \times 10^{-11}$ على طاولة طولها [متر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) واحد يعني $\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$، وهو أصغر من ذرة واحدة ($\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}$): بل إن حافة الطاولة ليست *معرَّفة* بهذه الحدّة أصلًا. فنسبيًّا، يُعدّ قياس المسافة بين الأرض والقمر بالليزر من أرقى ما تملكه بنو البشر من قياسات.

## 1.6 مسألة: من الذرة إلى أندروميدا

**مسألة 1.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — حبة رمل واحدة تقيس الذرة والمجموعة الشمسية والمجرّة والكون المرصود، وتحدّد موقعك على السُّلّم بينها

حبة الرمل أوضع جسم في الفيزياء، وهي في نهاية هذا الأسبوع تعمل عملًا إضافيًّا: نعدّ أولًا ذراتها، ثم نقلّص الشمس إلى حجمها ونقيس الكون بالخطى، ثم ندع الضوء يتولّى المساحة، وأخيرًا نعدّ الذرات في *جسمك*. المعطيات، وتُستعمل في الكل: قطر الحبة $0.5\,\mathrm{mm}$؛ قطر الذرة $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$؛ كتلة الرمل الحجمية $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$؛ الأقطار: الشمس $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$، الأرض $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$، درب التبانة $9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$، الكون المرصود $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}$؛ المسافات عنا: القمر $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، الشمس $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$، نبتون $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$، بروكسيما قنطورس $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$، مجرّة أندروميدا $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$؛ $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وكتلة جزيء الماء $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ويحوي ثلاث ذرات.

**الجزء I — تشريح الحبة.**

1. اكتب قطر الحبة وقطر الذرة [بالمتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ، [بالكتابة العلمية](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) ، وسمِّ سابقة النظام الدولي الأقرب إلى كل منهما.
2. كم ذرة تصطفّ جنبًا إلى جنب على قطر حبة واحدة؟
3. نمذِج الحبة مكعبًا طول ضلعه $0.5\,\mathrm{mm}$ مرصوصًا بالذرات. قدّر عدد ذرات الحبة برتبة قدر.
4. احسب حجم هذا المكعب، ثم كتلة الحبة. عبّر عن الكتلة بالمِلّيغرام.
5. تحقّق من سلامة النموذج: اقسم كتلة الحبة على عدد ذراتها وقارن [برتبة القدر](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) المعروفة للكتل الذرية (بضعة $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ). فما حكمك؟

**الجزء II — الشمس حبة رمل.** نبني مجسّمًا مصغَّرًا للكون تكون فيه الشمس هي الحبة: فيساوي كل بُعد في المجسّم البُعد الحقيقي مضروبًا في عامل $s$.

6. احسب عامل المقياس $s$ .
7. جِد في المجسّم قطر الأرض وبعدها عن الشمس-الحبة. وأيّ أجسام عالم الجزء I يقارب حجم الأرض المجسّمة؟
8. كم يبعد مدار نبتون المجسّم عن الحبة؟ وأيّ قطعة أثاث تسع المنظومة الكوكبية كلها؟
9. وكم تبعد بروكسيما قنطورس المجسّمة؟
10. حبتا رمل تفصل بينهما $14\,\mathrm{km}$ ولا شيء تقريبًا بينهما: بيّن في جملة أو جملتين ما يكشفه المجسّم عن خواء المجرّة.

**الجزء III — الضوء يتولّى المساحة.**

11. كم يستغرق الضوء ليعبر حبة الرمل الحقيقية؟
12. وكم يستغرق ليصل إلينا من القمر، ومن الشمس؟
13. أعِد حساب [السنة الضوئية](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) [بالمتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) انطلاقًا من $c$ وطول السنة، وتحقّق من أن بُعد بروكسيما في المعطيات يوافق نحو $4.2\,\mathrm{ly}$ .
14. حوّل بُعد أندروميدا إلى سنوات ضوئية. ومتى تقريبًا غادر الضوءُ الداخلُ الآن إلى عينك أندروميدا، وما الذي كان يمشي على الأرض حينها؟
15. كم يقطع الضوء في نانوثانية واحدة؟ ومعالج تواتره $3\,\mathrm{GHz}$ يبدأ عملية كل ثلث نانوثانية: اشرح في جملة واحدة لماذا يجب أن يكون الحاسوب السريع حاسوبًا صغيرًا.

**الجزء IV — أنت، بين الذرة وأندروميدا.**

16. الإنسان تقريبًا $70\,\mathrm{kg}$ من الماء. باستعمال المعطيات، قدّر متوسط كتلة ذرة واحدة في الماء، ثم عدد الذرات في إنسان.
17. قارن هذا العدد بعدد ذرات الحبة (السؤال 3) وبعدد نجوم الكون المرصود البالغ نحو $2\times10^{23}$ . أعطِ العاملين معًا.
18. على السُّلّم، أأنت أقرب إلى الذرة أم إلى الكون المرصود؟ قارن النسبتين $\text{(أنت)}/\text{(الذرة)}$ و $\text{(الكون)}/\text{(أنت)}$ ، بأخذ $1.7\,\mathrm{m}$ طولًا لك.
19. جِد الحجم $x$ الواقع في منتصف السُّلّم تمامًا بين النواة ( $10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) والكون المرصود: يجب أن يحقق $x$ العلاقة $x / 10^{-15} = 10^{26.9} / x$ (بأخذ $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}$ ). وأيّ أجرام المجموعة الشمسية يصادف أن له هذا الحجم بالذات؟
20. بيت القصيد. قلّص الكون المرصود بعامل الجزء II $s$ ، حتى تصير الشمس حبة رمل. أعطِ قطر الكون المجسّم [بالمتر](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ، ثم بالوحدات الفلكية، ثم اختم بجملة واحدة: حتى لو صار كل نجم حبة رمل، يفيض الكون عن كل مقياس بشري — ولا يسعه إلا قوى العشرة.

**حل المسألة 1.1.**

**1.** الحبة: $0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$، على سُلّم المِلّي؛ والذرة: $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}$، على سُلّم النانو.

**2.** $5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}$: أي مليونا ذرة عرضًا.

**3.** مكعب فيه $2 \times 10^{6}$ ذرة على كل ضلع يحوي $(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18}$ ذرة: أي رتبة قدر $10^{19}$.

**4.** $V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}$، ومنه $m = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}
= 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}$.

**5.** الكتلة لكل ذرة: $3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ — وهي تقع تمامًا في مجال “بضعة $10^{-26}\,\mathrm{kg}$”. فالمكعب الساذج من الذرات يعيد إنتاج الكتل الذرية الحقيقية: أي أن النموذج ينجح في اختبار السلامة ([الطريقة 1.15](#met-g10-orders-of-magnitude-sanity)) بامتياز.

**6.** $s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}$.

**7.** الأرض المجسّمة: قطرها $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ — أي بحجم جرثومة — على بعد $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm}$ من الحبة: فالأرض ميكروب على بعد خمسة سنتيمترات من حبة رمل.

**8.** $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}$: أي أن المنظومة الكوكبية كلها تدور داخل طاولة طعام.

**9.** $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}
= 14\,\mathrm{km}$.

**10.** أقرب نجم إلى منظومتنا الشمسية الموضوعة على الطاولة حبة رمل أخرى على بعد أربعة عشر كيلومترًا، ولا شيء تقريبًا بينهما: فالمجرّة خواء غالب، ولذلك تكاد تصادمات النجوم لا تُسمع بها أصلًا.

**11.** $t = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ — أي أقل من بيكوثانيتين.

**12.** القمر: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
1.28\,\mathrm{s}$. الشمس: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}$: فضوء الشمس عمره ثماني دقائق دائمًا.

**13.** السنة $365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، ومنه $1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$؛ ثم $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2$: فبُعد المعطيات هو فعلًا نحو $4.2\,\mathrm{ly}$.

**14.** $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}$: أي مليونان ونصف مليون [سنة ضوئية](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). وقد غادر ذلك الضوء أندروميدا قبل نحو $2.5$ مليون سنة، حين كان أوائل أفراد جنس *الإنسان* يتعلمون نحت الحجارة — ولم يكن *الإنسان العاقل* قد وُجد بعد في أي مكان.

**15.** $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}$. وفي ثلث نانوثانية تقطع الإشارة على الأكثر نحو $10\,\mathrm{cm}$، فأي جزأين من الآلة يجب أن يتحاورا خلال نبضة ساعة واحدة عليهما أن يقعا على بعد عشرة سنتيمترات من بعضهما: فالسرعة تحدّ الحجم.

**16.** متوسط كتلة الذرة في الماء: $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$. وعدد الذرات: $70\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}$.

**17.** في مقابل الحبة: $7 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9}$ — أي أنك تحوي من الذرات ما في مليار حبة. وفي مقابل النجوم: $7 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4}$ — أي أن ذراتك تفوق عدد كل نجوم الكون المرصود بخمسة وثلاثين ألف مرة.

**18.** $\text{(أنت)}/\text{(الذرة)} =
1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}$، بينما $\text{(الكون)}/\text{(أنت)} =
8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}$. فأنت على السُّلّم تقف على نحو عشر درجات فوق الذرة وقرابة سبع وعشرين تحت الكون: أي أن البشر، ضربيًّا، يعيشون قريبين جدًّا من ذراتهم.

**19.** يعطي الشرط $x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}$، ومنه $x = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km}$ — وهو تقريبًا قطر سيريس بالضبط، أكبر الكويكبات ($\approx 940\,\mathrm{km}$). ففي منتصف السُّلّم بين النواة والكون يجلس كوكب قزم متواضع.

**20.** $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}$، أي $3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3}$ [وحدة فلكية](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). وبيت القصيد: قلّص الكون حتى تصير الشمس حبة رمل، فيبقى الكون المرصود ممتدًّا على ألفي ضعف المسافة الحقيقية بين الأرض والشمس — فلا مجسّم يهبط بالكون إلى القياس البشري؛ ولا يحمله إلا قوى العشرة.