---
title: "العدسات والصور والعين"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 10
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye
---

# الفصل 10 — العدسات والصور والعين

كل صورة حادّة — على حسّاس هاتف، أو شاشة سينما، أو في قعر عينك أنت — تأتي من الحيلة نفسها: وسط شفاف منحنٍ يحرف الأشعة [بالانكسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/3-refraction-of-light#def-g10-refraction-refraction) ([الفصل 3](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/3-refraction-of-light#ch-g10-refraction)) حتى تلتقي كل الأشعة المغادرة لنقطة واحدة عند نقطة أخرى. ويروّض هذا الفصل الحيلة: [عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) واحدة، وثلاثة أشعة، وصيغة واحدة — ثم يوجّهها إلى آلات التصوير والنظارات [والعدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) الحيّة التي تقرأ هذه الجملة.

## 10.1 العدسات المجمِّعة والمفرِّقة

**تعريف 10.1 (العدسة الرقيقة).**

*العدسة* وسط شفاف يحدّه سطحان، أحدهما منحنٍ على الأقل. فإن كانت أسمك في المركز منها عند الحافة، كانت *مجمِّعة*: فتُحرف الأشعة المتوازية بعضها نحو بعض؛ وإن كانت أسمك عند الحافة، كانت *مفرِّقة*: فتتباعد الأشعة. والعدسة *الرقيقة* عدسة سُمكها مهمَل: فنرسمها قطعة ذات رؤوس سهام إلى الخارج (للمجمِّعة) أو إلى الداخل (للمفرِّقة). ومركزها $O$ هو *المركز البصري*؛ والمستقيم العمودي المارّ بالنقطة $O$ هو *المحور الرئيسي*.

**تعريف 10.2 (البؤرتان والبعد البؤري).**

الأشعة الواصلة موازية لمحور [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) تعبر كلها المحورَ عند نقطة واحدة خلفها، هي *بؤرة الصورة* $F'$؛ وبالتناظر، الأشعة المغادرة من *بؤرة الجسم* $F$ (أمامها، حيث $OF = OF'$) تخرج موازية للمحور. و*البعد البؤري* $f' = \overline{OF'}$ موجب في [العدسة المجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens)؛ أما عبر [عدسة مفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) فتخرج الأشعة المتوازية كأنها آتية من نقطة $F'$ *أمام* [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens): أي $f' < 0$.

**تعريف 10.3 (التقارب).**

*تقارب* عدسةٍ بعدها البؤري $f'$ ([بالمتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) هو $C = 1/f'$، ووحدته *الديوبتر* (رمزه D): $1~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1}$؛ والعدسات [المفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) لها $C < 0$. ويصف اختصاصيو البصريات بالديوبتر: فتقاربات العدسات [الرقيقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) المتلامسة تتجمع ببساطة (نقبله هنا؛ ويُشتقّ في مجلد السنة الأولى).

**مثال 10.4 (قراءة وصفة طبية).**

[عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) لها $f' = 0.50\,\mathrm{m}$ تقاربها $C = 1/0.50 = +2.0$ D: فهي [مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens). ووصفة $-4.0$ D تعني $f' = -0.25\,\mathrm{m}$: أي [مفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens)، وبعدها البؤري $25\,\mathrm{cm}$.

## 10.2 بناء الصورة

**طريقة 10.5 (أشعة البناء الثلاثة).**

ليكن $AB$ جسمًا عموديًّا على المحور عند $A$. ومن بين كل الأشعة المغادرة للرأس $B$، ثلاثة مساراتها معروفة:

1. الشعاع المارّ [بالمركز البصري](#def-g11-lenses-and-eye-lens) $O$ يمضي مستقيمًا؛
2. والشعاع الموازي للمحور يخرج مارًّا [بالبؤرة](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $F'$ ؛
3. والشعاع المارّ [بالبؤرة](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $F$ يخرج موازيًا للمحور.

ويكفي أيّ اثنين منها: فتقاطعهما هو نقطة الصورة $B'$، وتقف الصورة $A'B'$ عمودية على المحور عند $A'$. وإذا تباعدت الأشعة الخارجة، التقت امتداداتها *الخلفية* (المتقطعة) عند نقطة [صورة خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images).

![أشعة البناء الثلاثة: الجسم AB وراء F، والصورة A'B' حقيقية ومقلوبة (وهنا OA = -2f': بالحجم الطبيعي، = -1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-46d807f5b378.svg)

*أشعة البناء الثلاثة: الجسم $AB$ وراء $F$، والصورة $A'B'$ [حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) ومقلوبة (وهنا $\overline{OA} = -2f'$: بالحجم الطبيعي، $\gamma = -1$).*

**تعريف 10.6 (الصور الحقيقية والصور الخيالية).**

تكون الصورة *حقيقية* إذا مرّت بها الأشعة الخارجة فعلًا: فتلتقطها شاشة توضع هناك؛ وتكون *خيالية* إذا لم تلتقِ إلا امتداداتها الخلفية: فلا تلتقطها شاشة، لكن عينًا تنظر في [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) تراها تمام الرؤية. وتعطي [العدسة المجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) صورة حقيقية مقلوبة لأي جسم وراء $F$؛ وأزلِق الجسم داخل [البعد البؤري](#def-g11-lenses-and-eye-focal) فتنقلب الصورة خيالية معتدلة مكبَّرة.

![جسم داخل البعد البؤري (وضع المكبّرة): تبني الامتدادات الخلفية صورة خيالية معتدلة مكبَّرة A'B'.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-8ad9403171ff.svg)

*جسم داخل [البعد البؤري](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (وضع [المكبّرة](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier)): تبني الامتدادات الخلفية [صورة خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة مكبَّرة $A'B'$.*

## 10.3 صيغة واحدة: علاقة الاقتران

يبيّن البناء *أين* تقع الصورة؛ أما الصيغة فتحسبها. وجّه المحور في جهة الضوء واستعمل *القياسات الجبرية*: و$\overline{OA}$ فاصلة $A$ بالنسبة إلى $O$ (وهي سالبة في حالة جسم حقيقي أمام [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens))؛ والارتفاعات $\overline{AB}$ تُعدّ موجبة إلى أعلى.

**مبرهنة 10.7 (علاقة الاقتران للعدسة الرقيقة).**

عبر [عدسة رقيقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) بعدها البؤري $f'$، تُصوَّر نقطة جسم $A$ على المحور عند النقطة $A'$ حيث

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .
$$

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 10.8.**

تنتج العلاقة عن تطبيق [قانون سنيل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/3-refraction-of-light#thm-g10-refraction-snell) على الأشعة القريبة من المحور؛ ويُجعل الاشتقاق — وحدود نموذج [العدسة الرقيقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — أمينًا في مجلد السنة الأولى.

**تعريف 10.9 (التكبير).**

*تكبير* الصورة هو

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
       = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .
$$

ويقارن $\abs{\gamma}$ الأحجام، وتقارن إشارته الاتجاهات ($\gamma < 0$: مقلوبة)؛ أما [إشارة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-signal) $\overline{OA'}$ فتقرأ الطبيعة (موجبة: [حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) خلف [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens)؛ وسالبة: [خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) أمامها).

**مثال 10.10 (الصيغة في العمل).**

يقف جسم على بعد $30\,\mathrm{cm}$ أمام [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) لها $f' = 10\,\mathrm{cm}$: فيكون $\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}$، ومنه

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15},
\qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm},
\qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :
$$

أي [صورة حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) على بعد $15\,\mathrm{cm}$ خلف [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens)، مقلوبة، بنصف الحجم — وهو بالضبط ما ترسمه الأشعة الثلاثة.

## 10.4 العين

**تعريف 10.11 (العين جملةً بصرية).**

بصريًّا، العين [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) تواجه شاشة: فتعمل *القرنية* و*العدسة البلورية* عمل [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) واحدة بعدها البؤري قابل للضبط؛ أما *الشبكية*، على بعد نحو $17\,\mathrm{mm}$ خلفها، فهي الشاشة الثابتة. ويجري التبؤر بعصر [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) لا بتحريكها كما في آلة التصوير: و*التكيّف* هو تغيّر $f'$ الذي تُحدثه العضلات الهدبية. وأقرب نقطة تُرى حادّة عند تمام التكيّف هي *النقطة القريبة* — ونحو $25\,\mathrm{cm}$ في *العين المعيارية* — وأبعدها، في الراحة، هي *النقطة البعيدة* (وهي اللانهاية في العين المعيارية).

![التكيّف: لتبئير جسم قريب على الشبكية نفسها، تنتفخ العدسة البلورية — فيزداد تقاربها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-4c52690e61bd.svg)

![التكيّف: لتبئير جسم قريب على الشبكية نفسها، تنتفخ العدسة البلورية — فيزداد تقاربها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-e7a9d9de2b7c.svg)

*[التكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye): لتبئير جسم قريب على [الشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) نفسها، تنتفخ [العدسة البلورية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — فيزداد تقاربها.*

**مثال 10.12 (تقارب عينك).**

تقع [الشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) عند $\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}$. وفي حالة جسم بعيد ($1/\overline{OA} \approx 0$): $C = 1/0.017 \approx 59$ D. وعند [النقطة القريبة](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ($\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}$): $C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx
63$ D. فتكلّف القراءة نحو $4$ D: أي أن العين [عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) قدرها $59$ D فيها ضبط دقيق مدمج قدره $+4$ D.

## 10.5 العيوب وتصحيحها والمكبّرة

**تعريف 10.13 (قصر النظر وطول النظر).**

العين *القصيرة النظر* مفرطة التجميع بالنسبة إلى طولها: فتتبأر الأشعة المتوازية *أمام* [الشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye)، وتتشوّش الأجسام البعيدة، وتقع [النقطة البعيدة](#def-g11-lenses-and-eye-eye) على مسافة منتهية؛ وتصححها [عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) نظارة [مفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens). أما العين *الطويلة النظر* فليست [مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) بما يكفي: إذ ستتبأر الأجسام القريبة خلف [الشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye)، وتتراجع [النقطة القريبة](#def-g11-lenses-and-eye-eye)؛ وتصححها [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens). والتقدم في السنّ يصلّب [العدسة البلورية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (*قصو البصر*)، فيتقلص [التكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — والعلاج نفسه: نظارات القراءة.

**مثال 10.14 (وصفة لقصير النظر).**

عين قصيرة النظر نقطتها البعيدة على $50\,\mathrm{cm}$: فيجب أن تُظهر [عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) التصحيح الأجسام البعيدة *عند [النقطة البعيدة](#def-g11-lenses-and-eye-eye)* — أي جسم في اللانهاية وصورة على $\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m}$ ([خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images)، أمامها). ومنه $1/f' = 1/\overline{OA'}$: أي $f' = -0.50\,\mathrm{m}$، و$C = -2.0$ D؛ فتنظر العين المرتخية إلى تلك [الصورة الخيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) فتراها حادّة.

![عين قصيرة النظر تبئّر الأشعة المتوازية قبل الشبكية (النقطة الحمراء)؛ وعدسة مفرِّقة تُنزل البؤرة على الشبكية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-9e28112600c6.svg)

![عين قصيرة النظر تبئّر الأشعة المتوازية قبل الشبكية (النقطة الحمراء)؛ وعدسة مفرِّقة تُنزل البؤرة على الشبكية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-8fd45372b544.svg)

*عين قصيرة النظر تبئّر الأشعة المتوازية قبل [الشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (النقطة الحمراء)؛ [وعدسة مفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) تُنزل [البؤرة](#def-g11-lenses-and-eye-focal) على [الشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye).*

**تعريف 10.15 (المكبّرة).**

*المكبّرة* [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) قصيرة [البعد البؤري](#def-g11-lenses-and-eye-focal) تُستعمل والجسم *داخل* [البعد البؤري](#def-g11-lenses-and-eye-focal): فتكون [الصورة خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة مكبَّرة ([التعريف 10.6](#def-g11-lenses-and-eye-images))، وتشاهدها العين مرتاحة على مسافة بعيدة.

**مثال 10.16 (مكبّرة جواهري).**

[مكبّرة](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) لها $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$، والحجر على $4.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$، ومنه $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$ و$\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0$: أي [صورة خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة، أكبر خمس مرات، على مسافة مريحة قدرها $20\,\mathrm{cm}$ من [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

## 10.6 تمارين

**تمرين 10.1 ★.**

احسب التقاربات من أجل $f' = 50\,\mathrm{cm}$ و$-20\,\mathrm{cm}$ و $4.0\,\mathrm{mm}$، ثم [البعد البؤري](#def-g11-lenses-and-eye-focal) [لعدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) قدرها $+8.0$ D.

**حل التمرين 10.1.**

$C = 1/0.50 = +2.0$ D؛ $1/(-0.20) = -5.0$ D؛ $1/0.0040 = +250$ D. [وعدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) قدرها $+8.0$ D: $f' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}$.

**تمرين 10.2 ★.**

[عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) أسمك عند الحافتين منها في المركز. أمجمِّعة هي أم [مفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens)؟ وهل تصلح [مكبّرة](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier)؟ وماذا ترى إذا أمسكتها فوق صفحة مطبوعة؟

**حل التمرين 10.2.**

[مفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($f' < 0$). ولا: فمهما تكن مسافة الجسم $d$، يقع $\gamma = f'/(f' - d)$ (كما بُيّن في [التمرين 10.15](#exo-g11-lenses-and-eye-15)) بين $0$ و$1$ — [فالصورة خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة *مصغَّرة* دائمًا. فيبدو المطبوع معتدلًا منكمشًا، لا مكبَّرًا أبدًا.

**تمرين 10.3 ★.**

[عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) لها $f' = 10\,\mathrm{cm}$؛ ويقف جسم على بعد $20\,\mathrm{cm}$ أمامها. ابنِ الصورة باثنين من الأشعة الثلاثة، ثم تحقّق من موضعها وحجمها بعلاقة الاقتران.

**حل التمرين 10.3.**

يقع الجسم عند $2f'$؛ ويتقاطع الشعاعان المركزي والموازي على بعد $20\,\mathrm{cm}$ خلف [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens). وللتحقق: $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20$، ومنه $\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm}$ و$\gamma = 20/(-20) = -1$: أي [حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) مقلوبة بالحجم الطبيعي — كما رُسمت.

**تمرين 10.4 ★.**

يقف جسم على بعد $24\,\mathrm{cm}$ أمام [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) لها $f' = 8.0\,\mathrm{cm}$. احسب $\overline{OA'}$ و$\gamma$، وصِف الصورة (طبيعتها واتجاهها وحجمها).

**حل التمرين 10.4.**

$1/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12$: $\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}$، $\gamma = 12/(-24) = -0.50$. أي [صورة حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) على بعد $12\,\mathrm{cm}$ خلف [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens)، مقلوبة، بنصف الحجم.

**تمرين 10.5 ★.**

في العين: ما الذي يشكّل [العدسة المجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens)؟ وما الذي يقوم [بدور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-period) الشاشة؟ وما الذي يتغير أثناء [التكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — وما الذي لا يقدر أن يتغير؟ وعرّف [النقطة القريبة](#def-g11-lenses-and-eye-eye) للعين المعيارية.

**حل التمرين 10.5.**

تشكّل [القرنية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) [والعدسة البلورية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) العدسةَ [المجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens)؛ [والشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) هي الشاشة. ويغيّر [التكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye) [البعد البؤري](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (أي [التقارب](#def-g11-lenses-and-eye-vergence)) [للعدسة البلورية](#def-g11-lenses-and-eye-eye)؛ أما المسافة بين [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) [والشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) فلا تقدر أن تتغير. [والنقطة القريبة](#def-g11-lenses-and-eye-eye): أقرب نقطة تُرى حادّة عند تمام [التكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — وهي $25\,\mathrm{cm}$ في [العين المعيارية](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**تمرين 10.6 ★★.**

[لعدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) آلة تصوير $f' = 50\,\mathrm{mm}$. فأين يقع الحسّاس عند التبؤر على منظر بعيد؟ احسب المسافة بين [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) والحسّاس في حالة هدف على بعد $3.0\,\mathrm{m}$، والانتقال بين الوضعين.

**حل التمرين 10.6.**

المنظر: الحسّاس في المستوي البؤري، على بعد $50\,\mathrm{mm}$ من [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens). وعند $3.0\,\mathrm{m}$: $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000$، ومنه $\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}$. والانتقال: نحو $0.8\,\mathrm{mm}$.

**تمرين 10.7 ★★.**

[لمكبّرة](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) $f' = 6.0\,\mathrm{cm}$؛ ويقع طابع بريد على بعد $5.0\,\mathrm{cm}$ تحتها. فما موضع الصورة وطبيعتها واتجاهها وتكبيرها؟

**حل التمرين 10.7.**

$1/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30$: $\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm}$ — أي [خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة، $\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0$: أي ستة أضعاف الطابع، على بعد $30\,\mathrm{cm}$ فوق [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**تمرين 10.8 ★★.**

جسم وشاشة متقابلان؛ وتعطي [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) بينهما صورة حادّة حين يكون كلاهما على بعد $40\,\mathrm{cm}$ من [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens). احسب $f'$ و$\gamma$. ولماذا يجب أن تكون هذه الصورة المتناظرة بالحجم الطبيعي بالضبط؟

**حل التمرين 10.8.**

$1/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20$: $f' = 20\,\mathrm{cm}$؛ $\gamma = 40/(-40) = -1$. ويفرض التناظر $\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}}$، ومنه $\abs{\gamma} = 1$؛ [والصورة حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) مقلوبة، ومن ثم $\gamma = -1$: أي بالحجم الطبيعي بالضبط.

**تمرين 10.9 ★★.**

يقف جسم على بعد $50\,\mathrm{cm}$ أمام [عدسة مفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) لها $f' = -25\,\mathrm{cm}$. احسب $\overline{OA'}$ و$\gamma$؛ وصِف الصورة. ولماذا تبدو عينا قصير النظر أصغر قليلًا عبر نظارته؟

**حل التمرين 10.9.**

$1/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50$: $\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}$، $\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33$: أي [خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة بثلث الحجم. فنظارة قصير النظر [مفرِّقة](#def-g11-lenses-and-eye-lens): وكل ما يُرى عبرها — بما في ذلك عينا لابسها، من الخارج — مصغَّر.

**تمرين 10.10 ★★.**

عين قصيرة النظر نقطتها البعيدة على $40\,\mathrm{cm}$. فأيّ [تقارب](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) يجب أن يكون [لعدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) التصحيح، وأين تضع صورة جبل بعيد؟ ولماذا يُرى الجبل عندئذٍ دون جهد؟

**حل التمرين 10.10.**

صورة اللانهاية عند [النقطة البعيدة](#def-g11-lenses-and-eye-eye): $f' = -0.40\,\mathrm{m}$، ومنه $C = -2.5$ D. وتقع صورة الجبل على بعد $40\,\mathrm{cm}$ أمام [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — أي عند [النقطة البعيدة](#def-g11-lenses-and-eye-eye) بالضبط، وتراها العين المرتخية حادّة بلا [تكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**تمرين 10.11 ★★.**

قارئ مصاب [بقصو البصر](#def-g11-lenses-and-eye-defects) نقطته القريبة على $80\,\mathrm{cm}$ لكنه يريد القراءة على $25\,\mathrm{cm}$: فيجب أن تصوّر النظارة صفحة على $25\,\mathrm{cm}$ صفحةً [خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) على $80\,\mathrm{cm}$. احسب [التقارب](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) المطلوب.

**حل التمرين 10.11.**

$C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25)
= -1.25 + 4.00 = +2.75$ D.

**تمرين 10.12 ★★★.**

يجب أن يقذف جهاز عرض صورة شريحة، مكبَّرة $\gamma = -50$، على شاشة على بعد $5.1\,\mathrm{m}$ من الشريحة.

1. جِد $\overline{OA}$ و $\overline{OA'}$ ، علمًا أن $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ .
2. استنتج [البعد البؤري](#def-g11-lenses-and-eye-focal) [لعدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) العرض.
3. وكم يبلغ ارتفاع صورة شريحة ارتفاعها $24\,\mathrm{mm}$ ؟

**حل التمرين 10.12.**

*1.* يعطي $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50$ $\overline{OA'} = -50\,\overline{OA}$؛ ومع $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$، $-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$: أي $\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m}$، $\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}$.

*2.* $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2$: $f' \approx 9.8\,\mathrm{cm}$.

*3.* $50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}$، مقلوبة — ولهذا تُحمَّل الشرائح مقلوبة.

**تمرين 10.13 ★★★.**

تقع [الشبكية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) على بعد $17\,\mathrm{mm}$ خلف [عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) العين.

1. احسب [تقارب](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) العين مبأَّرة على اللانهاية، ثم على [النقطة القريبة](#def-g11-lenses-and-eye-eye) المعيارية ( $25\,\mathrm{cm}$ ). واستنتج [سعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-amplitude) [التكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye) للعين المعيارية.
2. عين متقدمة في السنّ نقطتها القريبة على $1.0\,\mathrm{m}$ . احسب سعتها والجزء الباقي من [السعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-amplitude) المعيارية.

**حل التمرين 10.13.**

*1.* $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D؛ $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. [والسعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-amplitude): $1/0.25 = 4.0$ D.

*2.* [السعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $= 1/1.0 = 1.0$ D: أي أن الباقي ربع ($25\%$) [سعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-amplitude) [العين المعيارية](#def-g11-lenses-and-eye-eye) البالغة $4.0$ D.

**تمرين 10.14 ★★★.**

[مكبّرة](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) تُباع على أنها “$\times 3$” بعدها البؤري معطًى بالعلاقة $3 = 0.25/f'$ ($f'$ [بالمتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)).

1. احسب $f'$ .
2. وأين يجب أن يقع جسم لتقع صورته [الخيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) على بعد $25\,\mathrm{cm}$ أمام [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ؟ احسب $\gamma$ ؛ وقارنه بالقيمة $\times 3$ المعلَنة.

**حل التمرين 10.14.**

*1.* $f' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}$.

*2.* $\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25$، ومنه $\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm}$ و $\gamma = (-25)/(-6.25) = +4.0$ — أي أفضل من $\times 3$ المعلَن، الذي يفترض الصورة في اللانهاية؛ فجرّها إلى [النقطة القريبة](#def-g11-lenses-and-eye-eye) يكسب [وحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) واحدة.

**تمرين 10.15 ★★★.**

يقف جسم حقيقي على المسافة $d > 0$ أمام [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($\overline{OA} = -d$، $f' > 0$). بيّن أن $\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'}$ و $\gamma = \frac{f'}{f' - d}$. واستنتج: أنها [حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) ومقلوبة حين $d > f'$؛ [وخيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة *مكبَّرة* ($\gamma > 1$) حين $0 < d < f'$ — فكل [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) مكبّرةٌ، إذا استُعملت من مسافة قريبة بما يكفي.

**حل التمرين 10.15.**

$1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd)$، ومنه $\overline{OA'} = f'd/(d - f')$ و $\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d)$. فإذا كان $d > f'$: $\overline{OA'} > 0$ (أي [حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images)) و$\gamma < 0$ (أي مقلوبة). وإذا كان $0 < d < f'$: $\overline{OA'} < 0$ (أي [خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images)) و $\gamma = f'/(f' - d) > 1$: أي معتدلة مكبَّرة — وهو وضع [المكبّرة](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier).

## 10.7 مسألة: صيغة واحدة وثلاث أدوات

**مسألة 10.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — علاقة الاقتران نفسها تبئّر آلة تصوير، وتصف نظارة قراءة، وتصمّم مكبّرة، وتقيس التقريب المدمج في عينك أنت

يحرّك مصوّر [عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) $50\,\mathrm{mm}$، وتمسك جدّة الجريدة على مدّ ذراعها، وينحني جواهري على ماسة: فسطر واحد من الجبر، $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ ([المبرهنة 10.7](#thm-g11-lenses-and-eye-conjugate))، يدير المهن الثلاث — ثم يدير العين نفسها.

**الجزء I — صيغة واحدة.** [عدسة مجمِّعة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) لها $f' = 20\,\mathrm{cm}$.

1. جسم على $60\,\mathrm{cm}$ : احسب $\overline{OA'}$ و $\gamma$ ؛ وصِف الصورة.
2. انقل الجسم إلى $30\,\mathrm{cm}$ ؛ وأعِد الحساب. فما الذي تبادل مواضعه مع السؤال 1؟ (فمسارات الضوء عكوسة.)
3. وانقله إلى $10\,\mathrm{cm}$ ، داخل $f'$ : أعِد الحساب وصِف.
4. لخّص: كيف تتحرك الصورة وتتغير طبيعتها كلما انزلق الجسم من بعيد جدًّا نحو $F$ ، ثم تجاوزها؟
5. بيّن أن الجسم البعيد جدًّا ( $1/\overline{OA} \approx 0$ ) يُصوَّر دائمًا في المستوي البؤري: $\overline{OA'} = f'$ .

**الجزء II — المصوّر.** [لعدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) آلة تصوير $f' = 50\,\mathrm{mm}$؛ والحسّاس، وارتفاعه $24\,\mathrm{mm}$، يمكن تحريكه بالنسبة إلى [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

6. أين يقع الحسّاس عند التبؤر على منظر بعيد؟
7. والآن وجه على بعد $1.0\,\mathrm{m}$ : احسب المسافة الجديدة بين [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) والحسّاس والانتقال من وضع المنظر.
8. وتسمح الآلية بمسافة بين [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) والحسّاس أقصاها $55\,\mathrm{mm}$ . احسب أقرب مسافة تبؤر.
9. وعند ذلك التبؤر الأقرب، احسب $\gamma$ . فهل تسع صورة وجه ارتفاعه $20\,\mathrm{cm}$ على الحسّاس؟
10. والتصوير “الماكرو” بالحجم الطبيعي يعني $\gamma = -1$ : فأين يجب أن يقع الجسم والحسّاس عندئذٍ، ولماذا يقتضي ذلك [عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) خاصة؟

**الجزء III — الجدّة.** تتراجع [النقطة القريبة](#def-g11-lenses-and-eye-eye) مع السنّ: فنقطة الجدّة على $1.0\,\mathrm{m}$.

11. اشرح مسألة الجريدة على مدّ الذراع.
12. ولتقرأ على $25\,\mathrm{cm}$ ، يجب أن تحوّل نظارتها صفحة على $25\,\mathrm{cm}$ إلى [صورة خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) على $1.0\,\mathrm{m}$ : احسب [التقارب](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) المطلوب.
13. احسب $\gamma$ . والصورة أكبر أربع مرات، ومع ذلك لا تبدو أكبر: اشرح، مقارنًا الأحجام *والمسافات* .
14. بيّن أن المطبوع لا يكون حادًّا إلا بين $25\,\mathrm{cm}$ و $f' \approx 33\,\mathrm{cm}$ . وماذا عن جسم *بعيد* يُرى عبر النظارة؟
15. استنتج في جملة واحدة لماذا توجد العدسات ثنائية [البؤرة](#def-g11-lenses-and-eye-focal) .

**الجزء IV — الجواهري، وتقريب العين نفسها.** [لمكبّرة](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) الجواهري $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$؛ ونقطته القريبة على $25\,\mathrm{cm}$؛ وشبكيته على بعد $17\,\mathrm{mm}$ خلف [عدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) عينه.

16. حجر على $4.0\,\mathrm{cm}$ تحت [المكبّرة](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) : فما الموضع والطبيعة [والتكبير](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) ؟
17. وأين يجب أن يقع الحجر لتقع صورته عند نقطته القريبة، وما $\gamma$ عندئذٍ؟
18. ولماذا يضع الجواهريون المتمرسون الحجر عند $F$ بالضبط بدل ذلك (فتقع الصورة في اللانهاية)؟
19. والآن العين وحدها: احسب تقاربها وهي تنظر إلى جسم بعيد، ثم إلى جسم على $25\,\mathrm{cm}$ : فكم ديوبترًا من [التكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ؟
20. حوّل التقاربين إلى بعدين بؤريين: فبكم، بالمِلّيمتر وبالمئة، تغيّر العين بعدها البؤري — أي التقريب الذي فعلته آلة التصوير بالانتقال وفعلته الجدّة بمقدار $+3$ D؟

**حل المسألة 10.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30$: $\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}$، $\gamma = -0.50$ — أي [حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) مقلوبة بنصف الحجم.

**2.** $\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}$، $\gamma = -2$: أي أن الموضعين $30\,\mathrm{cm}$ و$60\,\mathrm{cm}$ تبادلا الدورين، والتكبيران مقلوب أحدهما الآخر — فالضوء المعكوس يتبع [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) نفسه.

**3.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20$: $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$، $\gamma = +2$ — أي [خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة مضاعفة.

**4.** من اللانهاية تبدأ الصورة في المستوي البؤري؛ وكلما اقترب الجسم من $F$ تراجعت [الصورة الحقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) المقلوبة إلى اللانهاية وكبرت؛ وداخل $f'$ تنقلب [خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة مكبَّرة أمام [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**5.** $1/\overline{OA} \approx 0$ يترك $1/\overline{OA'} = 1/f'$: أي $\overline{OA'} = f'$، وهو المستوي البؤري.

**6.** في المستوي البؤري، على بعد $50\,\mathrm{mm}$ خلف [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**7.** $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000$: $\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}$؛ والانتقال $\approx 2.6\,\mathrm{mm}$.

**8.** $1/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550$: فأقرب مسافة تبؤر $550\,\mathrm{mm}$ = $55\,\mathrm{cm}$.

**9.** $\gamma = 55/(-550) = -0.10$: يُصوَّر الوجه على $20\,\mathrm{mm}$، أي داخل الحسّاس $24\,\mathrm{mm}$ بقليل.

**10.** يفرض $\gamma = -1$ أن $\overline{OA'} = -\overline{OA}$، ومنه $2/\overline{OA'} = 1/f'$: أي الجسم على $100\,\mathrm{mm}$ ($= 2f'$) أمامها، والحسّاس على $100\,\mathrm{mm}$ خلفها — أي ضعف سحب المنظر، وهو أبعد بكثير من آلية $55\,\mathrm{mm}$؛ وعدسات الماكرو توفّر الانتقال الزائد.

**11.** كل ما هو أقرب من نقطتها القريبة ($1.0\,\mathrm{m}$) يتشوّش: فمدّ الذراعين يقرّب الصفحة إلى $1.0\,\mathrm{m}$ قدر الإمكان — فتكون حادّة وإن صغرت.

**12.** $C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0$ D.

**13.** $\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0$: أي أكبر أربع مرات لكنها أبعد أربع مرات — فالحجم الزاوي نفسه؛ والمكسب ليس الحجم بل *الحدّة*، لأن الصورة صارت الآن عند نقطتها القريبة.

**14.** تقتضي الحدّة أن تقع الصورة وراء $1.0\,\mathrm{m}$: أي من الصفحة على $25\,\mathrm{cm}$ (والصورة على $1.0\,\mathrm{m}$) إلى الصفحة على $f' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m}$ (والصورة في اللانهاية). أما الجسم البعيد فيُصوَّر على $33\,\mathrm{cm}$ *خلف* النظارة — أي [صورة حقيقية](#def-g11-lenses-and-eye-images) لا تقدر العين على استعمالها: فيتشوّش العالم البعيد.

**15.** ومن هنا العدسات ثنائية [البؤرة](#def-g11-lenses-and-eye-focal): قدرة القراءة في نصف [العدسة](#def-g11-lenses-and-eye-lens) الأسفل، ولا قدرة (أو تصحيح البعد) في نصفها الأعلى.

**16.** $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$: $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$، [خيالية](#def-g11-lenses-and-eye-images) معتدلة، $\gamma = +5.0$.

**17.** $1/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25$: $\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}$؛ $\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0$.

**18.** الحجر عند $F$: فتقع الصورة في اللانهاية، وتُشاهَد بلا [تكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — أي ساعات من الفحص دون إجهاد العين.

**19.** $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D؛ $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D: أي نحو $4$ D من [التكيّف](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**20.** $f' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm}$ مقابل $1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm}$: أي نحو $1.1\,\mathrm{mm}$، بنسبة $6\%$ — وهو التقريب المدمج الذي حاكته آلة التصوير بانتقال قدره $2.6\,\mathrm{mm}$ ورقّعته الجدّة بمقدار $+3$ D.