--- title: "الدارات الكهربائية والاستطاعة" book: "فيزياء المرحلة الثانوية" subject: physics language: ar chapter: 12 exercises: 15 source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power --- # الفصل 12 — الدارات الكهربائية والاستطاعة اضغط مفتاحًا: فيضيء مصباح، لأن مولّدًا على بعد كيلومترات كثيرة يدفع الشحنة في حلقة من النحاس عبر جدارك. وقد رسمت السنوات [السابقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) خريطة الدارة — التيار [والتوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) [وقانون أوم](#prop-g11-circuits-and-power-ohm). ويعيد هذا الفصل فتحها بدفتر حسابات [الفصل 9](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#ch-g10-energy-conservation): ما الذي يحاسب عليه العدّاد، ولماذا تتوهّج الأسلاك [الرقيقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-lens)، ولماذا تشتغل الشبكة عند $400\,\mathrm{kV}$. ## 12.1 الشحنة في حركة **تعريف 12.1 (التيار والكولوم).** *التيار الكهربائي* تدفق منظَّم للشحنة (وهي الإلكترونات في المعدن). وشدته $I$، [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) *الأمبير* ($\mathrm{A}$)، هي الشحنة العابرة لمقطع من السلك في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): فالتيار الثابت $I$ الجاري مدة $t$ ينقل الشحنة $$ q = I\,t , $$ [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) *الكولوم* ($\mathrm{C}$)، حيث $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$. والشحنة الأولية $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. ويقاس التيار بمقياس تيار يُدرج على التسلسل. **مثال 12.2 (الصاعقة في مقابل الهاتف).** تحمل ضربة برق نحو $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ مدة نحو $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$: أي $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$. أما هاتفك، عند $2.0\,\mathrm{A}$، فينقل الشحنة نفسها كل $1.5$ [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit). **تعريف 12.3 (التوتر والفولط).** *التوتر* $U$ بين نقطتين من دارة، [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) *الفولط* ($\mathrm{V}$)، هو [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المتبادَلة لكل [وحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) شحنة تنتقل بينهما: أي $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$، ومن ثم فإن شحنة $q$ تعبر جهازًا تحت التوتر $U$ تتبادل معه [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $E = qU$. ويقيسه مقياس توتر يوصَّل على التفرع. **قضية 12.4 (قوانين الدارة).** في دارة تشتغل في نظام دائم: 1. *قانون العقدة:* مجموع التيارات الواصلة إلى عقدة يساوي مجموع التيارات المغادرة لها؛ 2. *قانون التسلسل:* التوترات على [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) تتجمع: $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ؛ 3. *قانون التفرع:* فرعان يلتقيان عند النقطتين نفسيهما يحملان [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) نفسه. **برهان.** في النظام الدائم لا تتراكم الشحنة في أي موضع، فما يدخل عقدةً يخرج منها. [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) لكل [كولوم](#def-g11-circuits-and-power-current) تجميعية على [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) وهي لا تتوقف إلا على طرفيه — لا على الفرع المسلوك بينهما. ∎ ## 12.2 قانون أوم وشبكات المقاومات **تعريف 12.5 (المقاومة).** *مقاومة* ناقل هي النسبة $R = U/I$ بين [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) بين طرفيه والتيار المارّ فيه، وتقاس [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) *الأوم* ($\Omega$): أي $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$. **قضية 12.6 (قانون أوم).** في ناقل معدني محفوظ عند درجة حرارة ثابتة، تكون $R$ ثابتة: أي أن [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) والتيار متناسبان، $$ U = R\,I . $$ **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **ملاحظة 12.7.** هو قانون تجريبي لا قانون كوني: فالثنائي، أو شعيرة مصباح متوهّج، أو جلدك أنت، لا تخضع له. أما لماذا تخضع له المعادن فيُشتقّ في المجلدات الجامعية. **قضية 12.8 (المقاومات على التسلسل وعلى التفرع).** مقاومتان على التسلسل تكافئان [مقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) واحدة $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$؛ ومقاومتان على التفرع تكافئان [مقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) واحدة $R_{\text{p}}$ تُعطى بالعلاقة $$ \frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} , \qquad\text{أي}\quad R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) . $$ **برهان.** على التسلسل: يعبر التيار $I$ نفسه كلتيهما وتتجمع التوترات ([القضية 12.4](#prop-g11-circuits-and-power-laws))، ومنه $U = (R_1 + R_2)\,I$. وعلى التفرع: تقع كلتاهما تحت [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) $U$ نفسه وتتجمع التيارات، ومنه $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$. ∎ ![التسلسل (يمينًا): تيار واحد، والتوترات تتجمع. والتفرع (يسارًا): توتر واحد، والتيارات تتجمع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-d1c9f5a77cbc.svg) ![التسلسل (يمينًا): تيار واحد، والتوترات تتجمع. والتفرع (يسارًا): توتر واحد، والتيارات تتجمع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-cbe8d59b292d.svg) *التسلسل (يمينًا): تيار واحد، والتوترات تتجمع. والتفرع (يسارًا): [توتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) واحد، والتيارات تتجمع.* **مثال 12.9 (المقاومة المكافئة).** $R_1 = 100\,\Omega$ و$R_2 = 150\,\Omega$: على التسلسل، $250\,\Omega$؛ وعلى التفرع، $\frac{100 \times 150}{250} = 60\,\Omega$ — أي أقل من كلتيهما: فالتيار يجد طريقًا ثانيًا. ## 12.3 الطاقة والاستطاعة في دارة **قضية 12.10 (الاستطاعة الكهربائية).** الجهاز الذي يقع تحت [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) $U$ ويعبره تيار $I$ يتلقى [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) بالمعدل $$ P = U\,I , \qquad\text{أي}\quad E = U\,I\,t \ \text{خلال زمن } t . $$ **برهان.** خلال زمن $t$ تعبر الشحنة $q = It$ الجهازَ ([التعريف 12.1](#def-g11-circuits-and-power-current)) ويسلّم كل [كولوم](#def-g11-circuits-and-power-current) $U$ جولًا ([التعريف 12.3](#def-g11-circuits-and-power-voltage)): ومنه $E = qU = UIt$. ∎ **قضية 12.11 (الاستطاعة في مقاومة).** [المقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ التي يجري فيها تيار $I$ تبدّد $$ P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R} . $$ **برهان.** عوّض [قانون أوم](#prop-g11-circuits-and-power-ohm) في $P = UI$: فتحصل على $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$. ∎ **مثال 12.12 (قراءة لوحة بيانات).** غلاية مكتوب عليها “$230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$” تسحب $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ ومقاومتها $R = U^2/P = 230^2/2200 = 24\,\Omega$. وإذا اشتغلت $150\,\mathrm{s}$ استعملت $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — أي نحو سنتين. **ملاحظة 12.13 (الجول والكيلوواط ساعة).** يعدّ العدّاد [الكيلوواط ساعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) ([التعريف 9.17](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh)): $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$. [فالجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) [وحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) الفيزيائي؛ أما [الكيلوواط ساعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) فيسعّر الفواتير. ![استطاعات الأجهزة على محور لوغاريتمي: فكل ما يسخّن (بالأحمر) يعيش على بعد عامل قدره عشرة فوق كل ما يحسب أو يضيء (بالأزرق).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-5d200881885c.svg) *استطاعات الأجهزة على محور لوغاريتمي: فكل ما يسخّن (بالأحمر) يعيش على بعد عامل قدره عشرة فوق كل ما يحسب أو يضيء (بالأزرق).* ## 12.4 مفعول جول: من المحمصة إلى برج النقل **تعريف 12.14 (مفعول جول).** التبديد $P = RI^2$ الذي يحوّل [الطاقة الكهربائية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-forms) حرارةً في كل [مقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) هو *مفعول جول*. فالمدافئ والغلايات والمحمصات والمصابيح القديمة مقاومات بالتصميم؛ و *المِصهر* سلك رفيع معايَر لينصهر — فيفتح الدارة — حين يتجاوز التيار حدّه. **مثال 12.15 (لماذا تشتغل أبراج النقل على توتر عالٍ).** تحتاج قرية $P = 100\,\mathrm{kW}$ عبر خط مقاومته $R_\ell = 5.0\,\Omega$. فإذا وُصّلت عند $U = 500\,\mathrm{V}$: $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ ويبدّد الخط $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ — أي ضعف ما يُوصَّل: وهذا سخف. وعند $U = 20\,\mathrm{kV}$: $I = 5.0\,\mathrm{A}$ و $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$. أي تيار أقلّ أربعين مرة، وضياع أقلّ $1600$ مرة. ![توصيل : رفع U عند P = UI ثابتة يقلّص I، ويهبط الضياع مع I2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-577a25185bfd.svg) *توصيل [المثال 12.15](#ex-g11-circuits-and-power-transmission): رفع $U$ عند $P = UI$ ثابتة يقلّص $I$، ويهبط الضياع مع $I^2$.* **ملاحظة 12.16 (قاعدة الشبكة الحديدية).** عند [استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) موصَّلة ثابتة $P = UI$، يهبط ضياع الخط $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ مثل *مربع* [توتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) النقل. ومن هنا: حوّل إلى أعلى ($400\,\mathrm{kV}$) للسفر، وإلى أسفل ($230\,\mathrm{V}$) للعيش معه. **ملاحظة 12.17 (سلامة المنزل).** خط قدره $230\,\mathrm{V}$ محميّ [بمصهر](#def-g11-circuits-and-power-joule) $16\,\mathrm{A}$ يغذّي على الأكثر $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$: فغلايتان معًا تصهران [المصهر](#def-g11-circuits-and-power-joule) — وهو بالتصميم الحلقة الأرفع والأضعف، وهو أرخص بكثير من حريق داخل الجدار. ## 12.5 البطاريات الحقيقية: القوة المحركة الكهربائية **تعريف 12.18 (القوة المحركة والمقاومة الداخلية).** تحوّل البطارية [الطاقة الكيميائية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-forms) إلى كهربائية. و *قوتها المحركة الكهربائية* $\mathcal{E}$، [بالفولط](#def-g11-circuits-and-power-voltage)، هي [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) التي تسلّمها لكل [كولوم](#def-g11-circuits-and-power-current) يعبرها؛ أما *مقاومتها الداخلية* $r$ فتفسّر مفعول جول داخل كيميائها. والنموذج: منبع مثالي $\mathcal{E}$ على التسلسل مع $r$ (والحرف المزخرف $\mathcal{E}$: لأن $E$ [للطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)). **قضية 12.19 (التوتر بين المربطين).** البطارية التي توصّل تيارًا $I$ تُظهر بين مربطيها $$ U = \mathcal{E} - r\,I . $$ **برهان.** يوفّر الكيمياء $\mathcal{E}I$، وتأكل [المقاومة الداخلية](#def-g11-circuits-and-power-emf) $rI^2$، وتتلقى الدارة $UI$: فيعطي [انحفاظ الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#thm-g10-energy-conservation-conservation) ([الفصل 9](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#ch-g10-energy-conservation)) العلاقة $UI = \mathcal{E}I - rI^2$. ∎ **مثال 12.20 (بطارية تحت حمل).** بطارية ($\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$، $r = 1.0\,\Omega$) تغذّي مصباحًا مقاومته $R = 8.0\,\Omega$. وتخضع الحلقة للعلاقة $\mathcal{E} = rI + RI$، ومنه $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ و$U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 = 8.0\,\mathrm{V}$: فيتلقى المصباح $8.0\,\mathrm{W}$ بينما تبدّد البطارية $1.0\,\mathrm{W}$ في تسخين نفسها. ![مميزة تفريغ بطارية : تقع النقاط المقيسة على المستقيم U = E - rI، وميله -r = -1.0\, V/ A.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-bc8a0b06fb5f.svg) *مميزة تفريغ بطارية [المثال 12.20](#ex-g11-circuits-and-power-discharge): تقع النقاط المقيسة على المستقيم $U = \mathcal{E} - rI$، وميله $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$.* **ملاحظة 12.21 (المستقبِلات).** المحرك أو البطارية أثناء الشحن يجريان التحويل معكوسًا: فيمتصّان تحت $U = \mathcal{E}' + r'I$، ويحوّلان $\mathcal{E}'I$ إلى حركة أو كيمياء ويضيّعان $r'I^2$. فالمنابع تدفع، والمستقبِلات تدفع مقابلةً. **مثال 12.22 (مردود بطارية).** [مردود](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) ([التعريف 9.12](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency)) التفريغ أعلاه: أي $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ مفيدة من $\mathcal{E}I = 9.0\,\mathrm{W}$، ومنه $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — وهو يهبط كلما تسلّق التيار: فالبطاريات الكادحة تشتغل ساخنة. ## 12.6 تمارين **تمرين 12.1 ★.** تُشحن بطارية هاتف بتيار ثابت $2.0\,\mathrm{A}$ مدة $90\,\mathrm{min}$. فأيّ شحنة تعبر الكابل، [بالكولوم](#def-g11-circuits-and-power-current)؟ وكم شحنة أولية هي ($e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$)؟ **حل التمرين 12.1.** $q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$. وعدد الشحنات الأولية: $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx 6.8 \times 10^{22}$. **تمرين 12.2 ★.** [مقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $220\,\Omega$ بين طرفي $12\,\mathrm{V}$: فأيّ تيار يجري؟ وعنصر تسخين يسحب $0.50\,\mathrm{A}$ عند $230\,\mathrm{V}$: فأيّ [مقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) له؟ **حل التمرين 12.2.** $I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$؛ $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$. **تمرين 12.3 ★.** احسب [المقاومة المكافئة](#prop-g11-circuits-and-power-networks) للمقاومتين $R_1 = 120\,\Omega$ و$R_2 = 60\,\Omega$ على التسلسل، ثم على التفرع. وأيّهما أصغر من كلتيهما، ولماذا؟ **حل التمرين 12.3.** على التسلسل: $120 + 60 = 180\,\Omega$. وعلى التفرع: $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — أي أصغر من كلتيهما: [فالتوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) نفسه، لكن التيار يجد مسارًا ثانيًا، فيزداد التيار الكلي وتقلّ [المقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance). **تمرين 12.4 ★.** مِكواة سفر تسحب $8.7\,\mathrm{A}$ عند $230\,\mathrm{V}$. احسب استطاعتها، ثم [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) التي تستعملها في $4.0\,\mathrm{min}$، [بالجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) وبالكيلوواط ساعة. **حل التمرين 12.4.** $P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$. وفي $t = 240\,\mathrm{s}$: $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6 \times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. **تمرين 12.5 ★.** يوصّل شاحن حاسوب محمول $60\,\mathrm{W}$ مدة $5.0\,\mathrm{h}$ في اليوم: فما [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) اليومية [بالكيلوواط ساعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) وبالجول، والكلفة بسعر $0.25$ يورو لكل $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$؟ **حل التمرين 12.5.** $E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times 3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$. والكلفة: $0.30 \times 0.25 = 0.075$ يورو في اليوم. **تمرين 12.6 ★★.** مدفأة كهربائية مقنَّنة على $1200\,\mathrm{W}$ عند $230\,\mathrm{V}$. 1. احسب مقاومتها والتيار الذي تسحبه. 2. وإذا وُصّلت ( [بالمقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) نفسها) بمنبع $115\,\mathrm{V}$ ، فأيّ [استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) توصّل؟ ولماذا ليست النصف؟ **حل التمرين 12.6.** *1.* $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$؛ $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$. *2.* $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$: أي الربع، لا النصف، لأن تنصيف $U$ ينصّف كذلك $I$، و$P = UI \propto U^2$. **تمرين 12.7 ★★.** $R_1 = 40\,\Omega$ و$R_2 = 20\,\Omega$ على التسلسل بين طرفي $12\,\mathrm{V}$. احسب التيار، [والتوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) بين طرفي كل [مقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance)، [والاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) المبدَّدة في كلٍّ منهما؛ وتحقّق من أن مجموع الاستطاعتين $UI$. **حل التمرين 12.7.** $R_{\text{s}} = 60\,\Omega$، ومنه $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$. و$U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$، $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (والمجموع $12\,\mathrm{V}$)؛ و$P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$، $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$: والمجموع $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$، كما يجب. **تمرين 12.8 ★★.** $R_1 = 60\,\Omega$ و$R_2 = 30\,\Omega$ على التفرع بين طرفي $12\,\mathrm{V}$. احسب تيار كل فرع، والتيار الكلي، [والمقاومة المكافئة](#prop-g11-circuits-and-power-networks) بطريقتين. **حل التمرين 12.8.** $I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$، $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$، والمجموع $I = 0.60\,\mathrm{A}$. والمكافئة: $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$، وفعلًا $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$. **تمرين 12.9 ★★.** توصّل بطارية $U = 5.5\,\mathrm{V}$ عند $I = 0.50\,\mathrm{A}$، و $U = 4.0\,\mathrm{V}$ عند $I = 2.0\,\mathrm{A}$. جِد قوتها المحركة $\mathcal{E}$ و [مقاومتها الداخلية](#def-g11-circuits-and-power-emf) $r$، ثم تيار القصر $\mathcal{E}/r$. **حل التمرين 12.9.** $\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ و$\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$؛ وبالطرح، $1.5\,r = 1.5$، ومنه $r = 1.0\,\Omega$ و$\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$. وفي القصر: $\mathcal{E}/r = 6.0\,\mathrm{A}$. **تمرين 12.10 ★★.** خط مطبخ قدره $230\,\mathrm{V}$ محميّ [بمصهر](#def-g11-circuits-and-power-joule) $16\,\mathrm{A}$. وتشتغل غلاية $2.2\,\mathrm{kW}$ ومحمصة $1.0\,\mathrm{kW}$ معًا: فهل يصمد [المصهر](#def-g11-circuits-and-power-joule)؟ ثم يضيف أحدهم مدفأة $1.5\,\mathrm{kW}$: بيّن أنه ينصهر. **حل التمرين 12.10.** الغلاية $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$، والمحمصة $1000/230 = 4.3\,\mathrm{A}$: والمجموع $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$، فيصمد [المصهر](#def-g11-circuits-and-power-joule). ومع المدفأة $1500/230 = 6.5\,\mathrm{A}$: يصير المجموع $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$، فينصهر (أو بالمكافئ، $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$). **تمرين 12.11 ★★.** تحتاج ورشة $10\,\mathrm{kW}$ عبر كابل تغذية مقاومته $2.0\,\Omega$. احسب التيار وضياع جول إذا وُصّلت [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) عند $200\,\mathrm{V}$، ثم عند $4.0\,\mathrm{kV}$. وقارن الضياعين واشرح النسبة. **حل التمرين 12.11.** عند $200\,\mathrm{V}$: $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$، والضياع $RI^2 = 2.0 \times 50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — أي نصف ما يُوصَّل. وعند $4.0\,\mathrm{kV}$: $I = 2.5\,\mathrm{A}$، والضياع $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$. والنسبة $400 = 20^2$: فعشرون ضعف [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) تعني تيارًا أقلّ عشرين مرة، و الضياع يتغير مثل $I^2$. **تمرين 12.12 ★★★.** باستعمال ثلاث مقاومات متطابقة قدرها $60\,\Omega$ جميعًا، أحصِ كل [مقاومة مكافئة](#prop-g11-circuits-and-power-networks) متمايزة (تسلسل، تفرع، مختلط)؛ واحسب كلًّا منها. **حل التمرين 12.12.** أربعة تركيبات: الثلاث على التسلسل، $3 \times 60 = 180\,\Omega$؛ والثلاث على التفرع، $60/3 = 20\,\Omega$؛ وواحدة على التسلسل مع اثنتين على التفرع، $60 + 30 = 90\,\Omega$؛ وواحدة على التفرع مع اثنتين على التسلسل، $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$. **تمرين 12.13 ★★★.** بطارية ($\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$، $r = 1.5\,\Omega$) تغذّي [مقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R = 6.0\,\Omega$. 1. احسب $I$ و $U$ ، [والاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) المفيدة في $R$ ، [والاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) الضائعة في $r$ ، [والمردود](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) . 2. بيّن أن [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) التي تتلقاها [مقاومة](#def-g11-circuits-and-power-resistance) متغيرة $R$ ، أي $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ ، تكون أعظمية حين $R = r$ (تلميح: $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ )، واحسب تلك القيمة العظمى. **حل التمرين 12.13.** *1.* $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$؛ $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$؛ والمفيدة $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$؛ والضائعة $rI^2 = 1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$؛ و$\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 = 0.80$. *2.* بالتلميح، $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R + 4r\big]$؛ والمقدار بين القوسين أصغر ما يكون ($= 4r$) حين $R = r$ بالضبط، ومنه $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$. **تمرين 12.14 ★★★.** غلاية $2.2\,\mathrm{kW}$ مردودها $0.90$ تُغلي $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء من $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ (وتسخين الماء يتطلب $4180\,\mathrm{J}$ لكل [كيلوغرام](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ولكل درجة). احسب الحرارة اللازمة، [والطاقة الكهربائية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-forms) المسحوبة، وزمن التسخين، والكلفة بسعر $0.25$ يورو لكل $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. **حل التمرين 12.14.** الحرارة: $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. والكهربائية: $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. والزمن: $t = E/P = 3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$، أي دون ثلاث دقائق. والكلفة: $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$، أي نحو $2.6$ سنتات. **تمرين 12.15 ★★★.** بطارية سيارة: $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$، $r = 0.020\,\Omega$، وسعتها $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$. 1. حوّل السعة إلى [الكولوم](#def-g11-circuits-and-power-current) ، وقدّر [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة ( $E \approx \mathcal{E} q$ ) [بالجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) وبالكيلوواط ساعة. 2. يسحب المُقلِع $150\,\mathrm{A}$ : احسب [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) بين المربطين، و [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) الموصَّلة، [والاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) الضائعة في الداخل. 3. اشرح لماذا تخفت المصابيح الأمامية أثناء إدارة المحرك. **حل التمرين 12.15.** *1.* $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$؛ $E \approx \mathcal{E}q = 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. *2.* $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$؛ والموصَّلة $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$؛ والضائعة $rI^2 = 0.020 \times 150^2 = 450\,\mathrm{W}$. *3.* تقع المصابيح الأمامية بين المربطين: وأثناء الإدارة يهبط [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) بين المربطين من $12.7$ إلى $9.7\,\mathrm{V}$، فتتلقى [استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) أقلّ وتخفت. ## 12.7 مسألة: من السدّ إلى المحمصة **مسألة 12.1.** مسألة نهاية الأسبوع — رحلة الألف كيلومتر لكيلوواط ساعة، من الماء الساقط إلى الخبز المحمّر، مع فاتورة الرحلة كاملة سدّ جبلي يحبس الماء على ارتفاع $200\,\mathrm{m}$ فوق عنفاته، وهي تبتلع $50\,\mathrm{m}^{3}$ — أي $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)؛ وتحوّل العنفة والمولّد التناوبي [بمردود](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) $0.90$. وعبر خط مقاومته الكلية $R_\ell = 32\,\Omega$ ($1000\,\mathrm{km}$ ذهابًا وإيابًا) تغذّي المحطة مدينةً تنتظر فيها محمصتك $900\,\mathrm{W}$ عند $230\,\mathrm{V}$. ويعطي المولّد $20\,\mathrm{kV}$؛ وتحوّل المحوّلات ([ومردود](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) كلٍّ منها $0.99$) التوترات كما نشاء. وتُباع الكهرباء بسعر $0.25$ يورو لكل $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$؛ و$g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$. **الجزء I — عند السدّ.** 1. كم [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) كامنة يحرّرها الماء الساقط في كل [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ؟ استنتج [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) المتاحة للعنفات. 2. وأيّ [استطاعة كهربائية](#prop-g11-circuits-and-power-power) تغادر المولّد؟ 3. وعند $20\,\mathrm{kV}$ مباشرة من المولّد، أيّ تيار يجري؟ 4. احسب ضياع جول $R_\ell I^2$ عند ذلك التيار وقارنه بخرج المحطة. واستنتج. 5. [استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) المدينة $P = UI$ يحدّدها الطلب. فما السبيل الوحيد إلى تقليص $I$ ، وأيّ جهاز يؤديه؟ **الجزء II — على الخط.** 6. محوّلة، تُعامَل في هذا السؤال بلا ضياع، ترفع $88\,\mathrm{MW}$ إلى $400\,\mathrm{kV}$ : فأيّ تيار يجري الآن؟ 7. احسب ضياع الخط الجديد، بالميغاواط. 8. وأيّ جزء من خرج المحطة يضيع في الخط؟ 9. بيّن أن الجزء الضائع يساوي $R_\ell P/U^2$ ، وتحقّق من أنه يفسّر العامل بين السؤالين 4 و7. 10. احسب هبوط [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) $R_\ell I$ على طول الخط عند $400\,\mathrm{kV}$ . أيتوافق مع السؤال 8؟ **الجزء III — في المطبخ.** 11. حوّل $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ إلى [الجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ؛ فماذا يضرب العدّاد؟ 12. احسب تيار المحمصة ومقاومتها عند $230\,\mathrm{V}$ . 13. ثلاث دقائق من التحميص: [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) [بالجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) و [بالكيلوواط ساعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) ، وثمنها. 14. تبدّد المحمصة $RI^2$ : اشرح في جملة واحدة لماذا تكون الصيغة نفسها ضياعًا على الخط ومنتَجًا في المطبخ. 15. تتقاسم المحمصة [مصهر](#def-g11-circuits-and-power-joule) $16\,\mathrm{A}$ مع غلاية $2.2\,\mathrm{kW}$ : فهل يصمد [المصهر](#def-g11-circuits-and-power-joule) ؟ ثم تنضمّ مدفأة $2.0\,\mathrm{kW}$ : فماذا الآن؟ **الجزء IV — التدقيق.** 16. تحمل أسلاك البيت نفسها، ومقاومتها $0.05\,\Omega$ ، التيارَ $13.5\,\mathrm{A}$ في السؤال 15: احسب الضياع وجزأه من نحو $3.1\,\mathrm{kW}$ الموصَّلة. 17. سلسِل المردودات (العنفة-المولّد، والرفع، والخط، والخفض، وأسلاك البيت) في [مردود](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) شبكة كلي واحد. 18. وكم كيلوغرامًا (وكم مترًا مكعبًا) من ماء السدّ يجب أن يسقط ليبلغ *[كيلوواط ساعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) واحد* محمصتك؟ 19. احسب الجزء الضائع $R_\ell P/U^2$ في السؤال 9 عند $U = 20\,\mathrm{kV}$ . وماذا تعني قيمة تفوق $1$ ؟ 20. بيت القصيد — *ثمن المسافة* : في جملتين، كم يكلّف [كيلوواط ساعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) محمَّص الجبلَ، وأيّ جزء منه يموت في الطريق، وأيّ حيلة واحدة تجعل ذلك ممكنًا؟ **حل المسألة 12.1.** **1.** في كل [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81 \times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$: [فالاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) المتاحة $98\,\mathrm{MW}$. **2.** $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$. **3.** $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} = 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$. **4.** $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx 6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — أي سبعة أضعاف خرج المحطة: فالنقل عند $20\,\mathrm{kV}$ مستحيل. **5.** مع بقاء $P = UI$ ثابتة، لا يقلّص $I$ إلا رفع $U$: أي محوّلة. **6.** $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$. **7.** $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$. **8.** $1.6/88 \approx 0.018$: أي نحو $1.8\%$. **9.** الجزء $= R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2 \propto 1/U^2$: فمن $20\,\mathrm{kV}$ إلى $400\,\mathrm{kV}$ يهبط بمقدار $20^2 = 400$، وفعلًا $620\,\mathrm{MW}/400 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$. **10.** $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$: أي $1.8\%$ من $400\,\mathrm{kV}$، وهو الجزء نفسه في السؤال 8، لأن $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$. **11.** $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$: فالعدّاد يضرب [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) المسحوبة في زمن سحبها، ثم يجمع. **12.** $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$؛ $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$. **13.** $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$: أي نحو $1.1$ سنتات. **14.** فيزياء $RI^2$ واحدة؛ إنما تختلف الغاية — فعلى الخط تكون الحرارة غير مرغوبة، وفي المحمصة تكون الحرارة *هي* المنتَج. **15.** $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$: يصمد. ومع المدفأة $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$: يصير المجموع $22.2\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}$، فينصهر [المصهر](#def-g11-circuits-and-power-joule). **16.** $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$: أي $9.1/3100 \approx 0.3\%$ من [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) الموصَّلة — وهو مهمَل على أسلاك قصيرة. **17.** $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times 0.997 \approx 0.86$. **18.** يحتاج [كيلوواط ساعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) محمَّص واحد $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ في المنبع: أي $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$، ونحو $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ من الماء. **19.** $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times 10^{4})^2 \approx 7$. و“جزء” يفوق $1$ يعني أن الخط سيبدّد أكثر مما يحمل: أي أن التوصيل مستحيل عند ذلك [التوتر](#def-g11-circuits-and-power-voltage) أصلًا. **20.** يكلّف [كيلوواط ساعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) محمَّص واحد الجبلَ نحو طنّين — أي $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — من الماء الساقط من $200\,\mathrm{m}$، ويموت نحو $14\%$ من [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) في الطريق، ومعظمه في العنفات والمحوّلات (ودون $2\%$ في $1000\,\mathrm{km}$ من الخط). أما الحيلة الواحدة التي تجعل الرحلة ممكنة فهي المحوّلة: فالرفع إلى $400\,\mathrm{kV}$ يقسم التيار على $20$ ويقسم ضياع جول على $400$.