---
title: "الطاقة الميكانيكية وانحفاظها"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 18
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation
---

# الفصل 18 — الطاقة الميكانيكية وانحفاظها

لا محرك للأفعوانية بعد التلّ الأول: فكل حلقة وكل اندفاعة سرعة بعده تُنفَق من الحساب الذي فُتح في الصعود. ويحوّل هذا الفصل المحاسبة إلى عددين — [الطاقة الحركية](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الكامنة — وقاعدة واحدة: ما دام [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) وحده يشتغل، فمجموعهما لا يتغير. [والاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) هو الرسم؛ وسنتعلم قراءته من الدفاتر.

## 18.1 الطاقة الحركية

**تعريف 18.1 (الطاقة الحركية).**

جسم كتلته $m$ ($\mathrm{kg}$) يتحرك بسرعة $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) يحمل *الطاقة الحركية*

$$
E_k = \tfrac12\, m v^2 .
$$

وتحقّق الوحدات: $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — أي [الجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work)، كما في كل [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ([الفصل 9](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#ch-g10-energy-conservation)).

**مثال 18.2 (رتب القدر).**

- ماشٍ كتلته $70\,\mathrm{kg}$ بسرعة $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ؛
- سيارة كتلتها $1300\,\mathrm{kg}$ بسرعة $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ؛
- قطار سريع كتلته $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ ، بسرعة $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ؛
- رصاصة بندقية كتلتها $8.0\,\mathrm{g}$ بسرعة $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ .

فسبع رتب من القدر تفصل النزهة عن القطار. وينمو $E_k$ مثل *مربع* السرعة: فعند $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ تحمل السيارة $4$ ضعف [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) التي لها عند $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — أي أربعة أضعاف ما يجب أن تنزعه مكابحها.

## 18.2 مبرهنة الطاقة الحركية

**مبرهنة 18.3 (مبرهنة الطاقة الحركية).**

في جسم كتلته $m$ يتحرك على مستقيم من $A$ إلى $B$، يساوي تغيّر [الطاقة الحركية](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) الشغلَ الكلي ([الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#ch-g11-work-of-force)) المتلقّى:

$$
\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),
$$

والمجموع على كل القوى المؤثرة في الجسم. وتمتدّ المبرهنة إلى الحركة على أي [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)، وهو ما نقبله هنا أيضًا.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 18.4 (السقوط الحر، متحقَّقًا منه صورةً صورة).**

تُسقَط كرة كتلتها $0.200\,\mathrm{kg}$ وتُصوَّر؛ وتعطي الصور:

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.10 | 0.20 | 0.30 | 0.40 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| الارتفاع المقطوع $h$ ($\mathrm{m}$) | 0.049 | 0.196 | 0.441 | 0.785 |
| السرعة $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) | 0.98 | 1.96 | 2.94 | 3.92 |
| $E_k = \tfrac12 mv^2$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.384 | 0.864 | 1.54 |
| $W = mgh$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.385 | 0.865 | 1.54 |

وانطلاقًا من $E_k = 0$، يوافق $E_k$ في كل صورة شغلَ $mgh$ [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight): أي $\Delta E_k = W(\vect P)$، أي $v^2 = 2gh$ — وهي المبرهنة، متحقَّقًا منها في حدود دقة القراءات.

**ملاحظة 18.5 (أين يقيم البرهان).**

تنتج الصيغة العامة — الصحيحة على أي [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)، لا على مستقيم وحده — عن قانون نيوتن الثاني وقليل من التحليل، وكلاهما لاحق في هذا الكتاب (الفصول [25](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#ch-g12-newtons-laws) و[29](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/29-work-and-mechanical-energy#ch-g12-work-and-energy))؛ وإلى ذلك الحين يكون تحقّق السقوط الحر ضماننا، ونقبل صيغة [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) المنحني ونستعملها بحرية.

## 18.3 الطاقة الكامنة الثقالية

**تعريف 18.6 (الطاقة الكامنة الثقالية).**

جسم كتلته $m$ على الارتفاع $z$، مقيسًا إلى أعلى من *مستوى مرجعي* مختار حيث $z = 0$، يخزّن *الطاقة الكامنة الثقالية*

$$
E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

**ملاحظة 18.7 (الفروق وحدها تهمّ).**

الانتقال من $A$ إلى $B$ يغيّر $E_p$ بمقدار $mg(z_B - z_A) =
-W_{AB}(\vect P)$: أي عكس شغل [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) ([الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#ch-g11-work-of-force)). [والمستوى المرجعي](#def-g11-mechanical-energy-potential) اختيار حرّ — الأرضية، أو مستوى البحر، أو سطح طاولة — وتغييره يزيح $E_p$ في كل موضع بثابت يسقط من كل فرق. فضعه حيث تكون الأعداد أبسط، ولا تحرّكه في منتصف المسألة.

**مثال 18.8 (كتاب على رفّ).**

كتاب كتلته $1.2\,\mathrm{kg}$ يقع على ارتفاع $1.8\,\mathrm{m}$ فوق الأرضية، وهي نفسها على ارتفاع $9.0\,\mathrm{m}$ فوق الشارع. فبالمرجع عند الأرضية: $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$؛ وبالمرجع في الشارع: $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$. والسقوط إلى الأرضية يحرّر $21\,\mathrm{J}$ في الحسابين معًا.

## 18.4 الطاقة الميكانيكية وانحفاظها

**تعريف 18.9 (الطاقة الميكانيكية).**

*الطاقة الميكانيكية* لجسم هي

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .
$$

**مبرهنة 18.10 (انحفاظ الطاقة الميكانيكية).**

إذا كانت [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الوحيدة التي تشتغل على جسم هي وزنه (بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)؛ والقوى الأخرى، كرد فعل [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) عديم [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)، عمودية على الحركة)، انحفظت $E_m$: فمن أجل أي نقطتين $A$ و$B$ من الحركة،

$$
\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .
$$

**برهان.** بمبرهنة [الطاقة الحركية](#def-g11-mechanical-energy-kinetic)، $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) =
mg(z_A - z_B) = E_p(A) - E_p(B)$: فما تكسبه $E_k$ تفقده $E_p$. ∎

**مثال 18.11 (زحلوقة مائية).**

يبدأ طفل ساكنًا في أعلى زحلوقة عديمة [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) ارتفاعها $h = 3.2\,\mathrm{m}$. وبالمرجع عند الأسفل: $mgh = \tfrac12 mv^2$، ومنه $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) — مهما تكن الكتلة *ومهما يكن شكل الزحلوقة*: مستقيمة أو منحنية أو حلزونية، فلا يدخل إلا هبوط الارتفاع.

**مثال 18.12 (النوّاس).**

تُسحب كرة نوّاس جانبًا حتى ترتفع $h = 12\,\mathrm{cm}$ فوق أخفض نقطة لها، ثم تُطلق. وعند الطرفين $v = 0$؛ وعند الأسفل تكون $mgh$ كلها حركية، $v = \sqrt{2gh} \approx 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وعلى الجانب الآخر تصعد الكرة عائدةً إلى $12\,\mathrm{cm}$ بالضبط.

![يقايض النوّاس E_p مع E_k ثم بالعكس: كلها كامنة عند الطرفين، وكلها حركية عند الأسفل، والصعود h نفسه مرتين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-8240e3c22564.svg)

*يقايض النوّاس $E_p$ مع $E_k$ ثم بالعكس: كلها كامنة عند الطرفين، وكلها حركية عند الأسفل، والصعود $h$ نفسه مرتين.*

![مخطط أعمدة الطاقة لأفعوانية عديمة الاحتكاك: عند كل موضع يتراكم عمودا E_p وE_k ليعطيا المجموع E_m نفسه (الخط المتقطع).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-e1246bdcf5fd.svg)

*مخطط أعمدة [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) لأفعوانية عديمة [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory): عند كل موضع يتراكم عمودا $E_p$ و$E_k$ ليعطيا المجموع $E_m$ نفسه (الخط المتقطع).*

**مثال 18.13 (سرعة الهبوط في قفزة تزلج).**

يغادر قافز تزلج منصة الانطلاق بسرعة $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ويهبط على انخفاض $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$. وبإهمال [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء، $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx
38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ولا حاجة إلى معرفة [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) الطيران.

![قفزة التزلج: مهما يكن المنحني المطار من A إلى B، لا يدخل في ميزانية الطاقة إلا الهبوط z.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-77b4169c48e1.svg)

*قفزة التزلج: مهما يكن المنحني المطار من $A$ إلى $B$، لا يدخل في ميزانية [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) إلا الهبوط $\Delta z$.*

## 18.5 التبديد بالاحتكاك

**تعريف 18.14 (التبديد).**

يقال عن [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) التي تغادر الحساب الميكانيكي إنها *مبدَّدة*: فهي تعود إلى الظهور طاقةً حرارية في السطحين المتدالكين وفي الهواء. [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الكلية محفوظة ([الفصل 9](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#ch-g10-energy-conservation))؛ أما [الطاقة الميكانيكية](#def-g11-mechanical-energy-em) وحدها فلا.

**قضية 18.15 (العجز يقيس الاحتكاك).**

إذا اشتغلت [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ هي أيضًا على امتداد الحركة، فإن

$$
\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:
$$

أي أن فقدان [الطاقة الميكانيكية](#def-g11-mechanical-energy-em) يساوي شغل [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory).

**برهان.** تصير مبرهنة [الطاقة الحركية](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) الآن $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) +
W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p + W_{AB}(\vect f)$؛ فانقل $\Delta E_p$ إلى الطرف الآخر. [والاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) يعاكس الحركة، ومن ثم يكون شغله سالبًا. ∎

**مثال 18.16 (تدقيق زحّافة).**

يبدأ طفل وزحّافة ($m = 40\,\mathrm{kg}$) ساكنين، فيهبطان $h = 5.0\,\mathrm{m}$ على $12\,\mathrm{m}$ من الثلج، ويصلان بسرعة $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بدل $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في حالة انعدام [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory). وبالمرجع عند الأسفل: $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times 7.0^2 - 40 \times 9.81
\times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$. ومنه $W(\vect f) =
-982\,\mathrm{J}$ على مدى $12\,\mathrm{m}$: أي [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) متوسطة $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$، و$982\,\mathrm{J}$ من الدفء في الزلاجتين وفي الثلج.

![E_m على امتداد حركة: مستوية بلا احتكاك، ومتناقصة معه — والهبوط في كل لحظة هو الحرارة المنتَجة حتى تلك اللحظة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-b748fbf20438.svg)

*$E_m$ على امتداد حركة: مستوية بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)، ومتناقصة معه — والهبوط في كل لحظة هو الحرارة المنتَجة حتى تلك اللحظة.*

**طريقة 18.17 (محاسبة الطاقة).**

1. اختر مستوًى مرجعيًّا واحفظه؛ وسمِّ $A$ (المعطيات) و $B$ (المطلوب).
2. اكتب $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ عند $A$ وعند $B$ .
3. بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(A) = E_m(B)$ ؛ وحُلّ — وعادةً $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ .
4. ومع [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ (حيث $\ell$ = طول [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) )؛ وحُلّ لإيجاد المجهول.
5. وتحقّق: يتراكم عمودا $E_k$ و $E_p$ ليعطيا $E_m$ ، مستويًا ما لم يكن ثمة [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) .

## 18.6 تمارين

**تمرين 18.1 ★.**

احسب [الطاقة الحركية](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) لكلٍّ من: (أ) دراجة نارية صغيرة وراكبها كتلتهما $90\,\mathrm{kg}$ بسرعة $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$؛ (ب) سيارة كتلتها $1200\,\mathrm{kg}$ بسرعة $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (ج) وبأي عامل تتغير $E_k$ حين تتضاعف السرعة؟ وحين تُثلَّث؟

**حل التمرين 18.1.**

(أ) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$. (ب) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. (ج) $\times 4$؛ $\times 9$ — أي التربيع.

**تمرين 18.2 ★.**

متسلق كتلته $75\,\mathrm{kg}$ يكسب $850\,\mathrm{m}$ من الارتفاع. احسب [كسب](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الكامنة. وهل يتوقف على [المستوى المرجعي](#def-g11-mechanical-energy-potential)؟ وعلى الطريق؟

**حل التمرين 18.2.**

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. ولا: [فالمرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) يزيح القيمتين بالقدر نفسه. ولا: فلا يدخل إلا فرق الارتفاع.

**تمرين 18.3 ★.**

يسقط أصيص من ارتفاع $20\,\mathrm{m}$ من شرفة. بإهمال [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء، جِد سرعته عند الأرض [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وبوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. وأين ذهبت الكتلة؟

**حل التمرين 18.3.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. و$mgh = \tfrac12 mv^2$: فتتلاشى الكتلة.

**تمرين 18.4 ★.**

تكبح سيارة كتلتها $1200\,\mathrm{kg}$ من $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إلى السكون في $50\,\mathrm{m}$. استعمل مبرهنة [الطاقة الحركية](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) لإيجاد شغل المكابح، ثم [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الكبح المتوسطة.

**حل التمرين 18.4.**

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 =
-3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$؛ $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**تمرين 18.5 ★.**

تُطلق كرة نوّاس من ارتفاع $8.0\,\mathrm{cm}$ فوق أخفض نقطة لها. جِد سرعتها عند الأسفل والارتفاع المبلوغ على الجانب الآخر.

**حل التمرين 18.5.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وترتفع عائدةً إلى $8.0\,\mathrm{cm}$ (بالانحفاظ).

**تمرين 18.6 ★★.**

باستعمال [المثال 18.2](#ex-g11-mechanical-energy-orders): بأي عامل تتجاوز [الطاقة الحركية](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) للقطار طاقةَ الرصاصة؟ وإلى أي ارتفاع كانت $E_k$ الخاصة به ستقدر على رفعه ($h = v^2/2g$)؟

**حل التمرين 18.6.**

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$: أي نحو ستمئة ألف رصاصة. و$h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — أي أن سرعته هو كانت ستقدر على رفع القطار $400$ مترًا.

**تمرين 18.7 ★★.**

زحلوقتان عديمتا [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) تهبطان من منصة ارتفاعها $3.0\,\mathrm{m}$ نفسها، إحداهما مستقيمة حادّة، والأخرى طويلة متعرّجة. قارن سرعتي الوصول (واحسبهما) وزمني الوصول (دون حساب).

**حل التمرين 18.7.**

السرعة نفسها $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (فلا يدخل إلا الهبوط). أما الزحلوقة الحادّة فتفوز في الزمن: إذ تبلغ السرعة العالية أبكر ومسارها أقصر.

**تمرين 18.8 ★★.**

تُقذف كرة شاقوليًّا إلى أعلى بسرعة $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. جِد أقصى ارتفاع تبلغه، ثم سرعتها عند $4.0\,\mathrm{m}$ — صعودًا ونزولًا.

**حل التمرين 18.8.**

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$. وعند $4.0\,\mathrm{m}$: $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — وهي نفسها في الاتجاهين: إذ إنّ $E_m$ تتوقف على الارتفاع لا على جهة الانتقال.

**تمرين 18.9 ★★.**

يغادر قافز تزلج منصة الانطلاق بسرعة $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ويهبط على انخفاض $35\,\mathrm{m}$. تنبّأ بسرعة الهبوط دون [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء؛ فهل القيمة [الحقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) أكبر أم أصغر، ولماذا؟

**حل التمرين 18.9.**

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx
35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وهي أصغر في الواقع: [فمقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء تبدّد جزءًا من $E_m$.

**تمرين 18.10 ★★.**

زحّافة كتلتها $45\,\mathrm{kg}$ تبدأ ساكنة، وتهبط $6.0\,\mathrm{m}$ على $15\,\mathrm{m}$ من المنحدر، فتصل بسرعة $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. جِد [الطاقة الميكانيكية](#def-g11-mechanical-energy-em) المفقودة، ثم [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) المتوسطة. وأين ذهبت [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)؟

**حل التمرين 18.10.**

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times
6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$؛ $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$. وتذهب حرارةً، في الزلاجتين وفي الثلج.

**تمرين 18.11 ★★.**

وتد غاليليو: نوّاس يُطلق من ارتفاع $15\,\mathrm{cm}$ فوق أخفض نقطة له يلاقي وتدًا يحجز النصف الأعلى من الخيط عند الوضع الشاقولي. جِد السرعة عند الأسفل والصعود وراء الوتد؛ فما الذي يغيّره الوتد، وما الذي لا يغيّره؟

**حل التمرين 18.11.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وترتفع إلى $15\,\mathrm{cm}$ مرة أخرى. فالوتد يغيّر [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) (دائرة أضيق)، لا [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy): فالارتفاعات والسرعات لا تُمسّ.

**تمرين 18.12 ★★★.**

ينزل متزلج على لوح في حوض نصف أسطواني من ارتفاع $2.5\,\mathrm{m}$؛ وكل عبور (من جانب إلى جانب) يبدّد $10\%$ من [الطاقة الميكانيكية](#def-g11-mechanical-energy-em). جِد السرعة عند أسفل النزول الأول، ثم — بحساب ارتفاعات الصعود المتتالية — أول عبور ينتهي دون $1.0\,\mathrm{m}$.

**حل التمرين 18.12.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وترتفع ارتفاعات الصعود تناسبًا مع $E_m$، ومنه $\times 0.9$ في كل عبور: $2.25$، $2.03$، $1.82$، $1.64$، $1.48$، $1.33$، $1.20$، $1.08$، $0.97$ — فأول ما يقلّ عن $1.0\,\mathrm{m}$ هو العبور $9$.

**تمرين 18.13 ★★★.**

من قمة جرف ارتفاعه $45\,\mathrm{m}$، يُقذف حجر بسرعة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — إلى أعلى، أو أفقيًّا، أو بأي زاوية. بيّن أن سرعة الهبوط واحدة في كل الحالات واحسبها. وما الذي *يتوقف* على الزاوية؟

**حل التمرين 18.13.**

[الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الابتدائية $E_m = \tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ نفسها مهما تكن الزاوية، ومن ثم تكون سرعة الأرض $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx
33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. أما الزاوية فتثبّت *اتجاه* سرعة الهبوط، وزمن الطيران، والمدى — لا سرعة الهبوط.

**تمرين 18.14 ★★★.**

متزلج منحدرات كتلته $80\,\mathrm{kg}$ يبدأ ساكنًا وينزل $120\,\mathrm{m}$ من الهبوط على [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) طوله $800\,\mathrm{m}$، في مواجهة [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) ثابتة $65\,\mathrm{N}$. جِد سرعة الوصول والجزء المبدَّد من $E_m$.

**حل التمرين 18.14.**

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times
800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$، ومنه $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). والجزء المبدَّد: $52000/94176 \approx 55\%$.

**تمرين 18.15 ★★★.**

ترفع محطة ضخّ وتخزين $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ من الماء ($1000\,\mathrm{kg}$ لكل $\mathrm{m}^{3}$) عبر $300\,\mathrm{m}$. احسب [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة [بالجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) وبوحدة $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$؛ وإذا أُعيد تعنيفها [بمردود](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) $85\%$ ([الفصل 9](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#ch-g10-energy-conservation))، فكم بيتًا يسحب $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ في اليوم تغذّي مدة يوم واحد؟

**حل التمرين 18.15.**

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$: $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J}
= 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. والمسترجَع: $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — أي نحو $1.4 \times 10^{5}$ بيت مدة يوم.

## 18.7 مسألة: تصميم الحلقة

**مسألة 18.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تدقيق طاقي لأفعوانية: ارتفاع الإطلاق الذي تمليه الحلقة، والسرعات التي يَعِد بها، والاحتكاك الذي يعترف به حسّاسان، والمكابح التي تغلق الحساب — والركوب كله معلَّق بعدد واحد

يُطلق قطار كتلته $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ساكنًا من تلّ إطلاق ارتفاعه $H$ فينساب، بلا محرك، عبر حلقة دائرية عمودية نصف قطرها $R = 8.0\,\mathrm{m}$ وقمتها على الارتفاع $2R$. ويوفّر تحليل الحركة الدائرية (السنة القادمة) المعطى الوحيد الذي نستعيره: فعند قمة الحلقة لا يضغط القطار على [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) إلا إذا كان $v_{\text{القمة}}^2 \geq gR$. ويهمل الجزآن I وII [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory).

**الجزء I — التلّ الذي تمليه الحلقة.**

1. احسب أدنى سرعة آمنة عند قمة الحلقة.
2. بالأرض مستوًى مرجعيًّا: احسب [الطاقة الميكانيكية](#def-g11-mechanical-energy-em) للقطار عند قمة الحلقة بتلك السرعة الدنيا.
3. استنتج $H_{\min}$ وبيّن أن $H_{\min} = 5R/2$ — فلا كتلة ولا $g$ .
4. يأخذ الفريق $H = 24\,\mathrm{m}$ : احسب سرعة قمة الحلقة الفعلية والنسبة $v_{\text{القمة}}^2/(gR)$ .
5. وأين ذهبت $m$ ؟ ولماذا يناسب التصميم القطارات الممتلئة والفارغة سواءً؟

**الجزء II — بماذا يَعِد الارتفاع** ($H = 24\,\mathrm{m}$).

6. ما السرعة عند أسفل الحلقة ( $z = 0$ )، [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ؟
7. وما السرعة عند جانب الحلقة ( $z = R$ )؟
8. احسب $E_p$ و $E_k$ عند الإطلاق وعند الأسفل والجانب والقمة في الحلقة؛ وتحقّق من أن كل زوج يجمع إلى $mgH$ .
9. ويلي الحلقةَ نتوء ارتفاعه $12\,\mathrm{m}$ : فما السرعة عند قمته؟
10. أعطِ الصيغة العامة للمقدار $v(z)$ ؛ وأين يكون الركوب أسرع، وأين أبطأ؟

**الجزء III — تدقيق [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory).** حسّاسان على الارتفاع نفسه $z = 2.0\,\mathrm{m}$، يفصل بينهما $60\,\mathrm{m}$ من [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)، يقرآن $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ثم $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

11. احسب تغير [الطاقة الميكانيكية](#def-g11-mechanical-energy-em) بين الحسّاسين. وما وجه الذكاء في وضعهما على الارتفاع نفسه؟
12. استنتج شغل [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) [وقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) المتوسطة.
13. وأين ذهبت [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المفقودة؟ سمِّ الشكل والأماكن.
14. وأيّ جزء من $E_m$ الخاصة بالقطار يضيع في كل $60\,\mathrm{m}$ ؟ ولماذا يكون $H_{\min}$ العاري غير آمن في العالم الحقيقي المحتكّ؟
15. يفصل نحو $90\,\mathrm{m}$ من [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) بين الإطلاق وقمة الحلقة: قدّر $E_m$ هناك؛ فهل ينقذ هامش السؤال 4 الحلقةَ بعدُ؟

**الجزء IV — إغلاق الحساب.** الحسّاس الأخير، عند مدخل [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) الكبح الأفقي المستقيم ($z = 0$)، يقرأ $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

16. احسب [الطاقة الحركية](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) للقطار هناك.
17. ويجب أن توقفه المكابح في $d = 45\,\mathrm{m}$ : احسب [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الكبح (الثابتة) المطلوبة.
18. تحقّق من الراحة: احسب التباطؤ $a = F/m$ ؛ وقارنه بالمقدار $g$ .
19. وكم [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) بدّدها [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) على مدى الركوب كله؟ وتحقّق من أن [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $+$ المكابح $= mgH$ ، حتى [الجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) .
20. بيت القصيد، في جملة واحدة: أيّ عدد واحد ثبّت أمان الحلقة وكل السرعات وفاتورة [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) [وقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الكبح — وما ثمن إهمال [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) ؟

**حل المسألة 18.1.**

**1.** $v_{\text{القمة}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0}
\approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} +
7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**3.** يعطي $mgH_{\min} = E_m$ النتيجة $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$؛ وجبريًّا $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$.

**4.** $v_{\text{القمة}} = \sqrt{2g(H - 2R)} =
\sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $v_{\text{القمة}}^2/(gR) = 2.0$ — أي ضعف الحدّ الأدنى.

**5.** كل [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) تتناسب مع $m$، ومن ثم تتلاشى $m$: فالسرعات نفسها والأمان نفسه، ممتلئًا أو فارغًا.

**6.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
\approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**7.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx
17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**8.** $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. و$(E_p, E_k)$: عند الإطلاق $(4.71 \times 10^{5}, 0)$؛ وعند الأسفل $(0, 4.71 \times 10^{5})$؛ وعند الجانب $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$؛ وعند القمة $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — ويجمع كل زوج إلى $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**9.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx
15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**10.** $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$: فهو أسرع ما يكون عند أخفض نقطة من [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)، وأبطأ ما يكون عند قمة الحلقة.

**11.** الارتفاع نفسه، ومن ثم $\Delta E_p = 0$ و $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 -
20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$: فيجعل الوضع العجزَ حركيًّا خالصًا، مقروءًا من مقياسي سرعة.

**12.** $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$؛ $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$.

**13.** [طاقة حرارية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-forms)، في العجلات والسكك والهواء.

**14.** $E_m$ عند الحسّاس الأول: $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} =
4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$؛ والضياع $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\%$ لكل $60\,\mathrm{m}$. وعند $H_{\min}$ تُبلَغ قمة الحلقة *بالضبط* عند $\sqrt{gR}$؛ فأي ضياع يهبط بها دون سرعة الأمان.

**15.** بضياع $\approx 10\%$ لكل $60\,\mathrm{m}$، يذهب نحو $15\%$ من $mgH$ ($\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$): أي $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$، وهي ما تزال فوق المطلوب $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — فآمن، ولا يفيض إلا $2\%$. فالهامش لم يكن ترفًا.

**16.** $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 =
3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**17.** $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**18.** $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$: أي حازم لكنه مريح.

**19.** [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory): $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 -
324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. والتدقيق: $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} =
4.71 \times 10^{5} = mgH$ — فكل [جول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) محسوب.

**20.** ارتفاع الإطلاق $H = 24\,\mathrm{m}$ ثبّت أمان الحلقة، وكل سرعة $\sqrt{2g(H - z)}$، وفاتورة [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)، [وقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الكبح؛ أما ثمن إهمال [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) فهو الهامش — أي $4\,\mathrm{m}$ من التلّ التي يستهلكها العالم المحتكّ في صمت.