---
title: "التحريكيات في بعدين"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 24
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions
---

# الفصل 24 — التحريكيات في بعدين

راقب سيارة تدور في دوّار [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: فلا تتحرك الإبرة قط، ومع ذلك يحسّ كل راكب بجذب جانبي — فالحركة تتغير، وليست [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) هي المتغيرة. ولم يعد عدد واحد لكل لحظة يكفي: فالحركة في المستوي تحتاج سهامًا. ويزوّد هذا الفصل نقطةً متحركة بثلاثة — الموضع [والسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) والتسارع — مسلسَلةً بالاشتقاق، ويقرأ عائلات كاملة من الحركات من هندستها.

## 24.1 متجهة الموضع

لا وجود للحركة إلا بالنسبة إلى [مرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) مذكور — أي جسم صلب مع ساعة ([الفصل 5](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#ch-g10-relative-motion)). والجديد هذه السنة هو الدقة: أرفِق [بالمرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) مبدأً $O$ ومحورين متعامدين مدرّجين $Ox$ و$Oy$، وسجّل أين تقع النقطة في كل لحظة، زوجَ دالّتين.

**تعريف 24.1 (متجهة الموضع).**

في [مرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) مزوَّد بمبدأ $O$ ومحورين $Ox$ و$Oy$، تكون *متجهة الموضع* لنقطة متحركة $M$ عند اللحظة $t$ هي $\vect{OM}(t)$، وإحداثياها $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$: أي دالّتان للزمن، واحدة لكل محور. والمنحني الذي يرسمه $M$ بتغير $t$ هو مسارها.

## 24.2 متجهة السرعة

**تعريف 24.2 (متجهة السرعة).**

على مدى فترة قصيرة تنتقل النقطة بمقدار $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$؛ فاقسم على $\Delta t$ ودع الفترة تتقلص: وهذا هو الاشتقاق من درس الرياضيات، مطبَّقًا على كل إحداثي. و*متجهة سرعة* النقطة $M$ هي مشتقة متجهة موضعها، $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$، [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وناظمها $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ هو *السرعة* — أي العدد الوحيد الذي يعرضه عدّاد السرعة.

**مثال 24.3 (طائرة مسيّرة في طيران أفقي).**

تطير مسيّرة بحيث $x(t) = 4.0\,t$ و$y(t) = 3.0\,t$ ([بالمتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) و [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)): فمسارها المستقيم $y = \tfrac34 x$، وسرعتها $\vect v = (4.0, 3.0)$ في كل حين، وقيمة [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وهي ثابتة.

**قضية 24.4 (مماسّة للمسار).**

في كل لحظة، تكون $\vect v(t)$ مماسّة [للمسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) عند الموضع الحالي للنقطة $M$، وتتجه في جهة السير.

**برهان.** الانتقال وتر من أوتار [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)؛ وكلما تقلص $\Delta t$، صار اتجاه الوتر اتجاه المماسّ. ∎

## 24.3 متجهة التسارع

**تعريف 24.5 (متجهة التسارع).**

*متجهة تسارع* النقطة $M$ هي مشتقة متجهة سرعتها، $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) =
\bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$، [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: أي كم، وفي أي اتجاه، تتغير [متجهة السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) في اللحظة الحالية.

**ملاحظة 24.6 (تسارع بلا ازدياد في السرعة).**

يكون $\vect a \neq \vect 0$ كلما تغيرت *متجهة* [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) — في الطول *أو في الاتجاه*: فالسيارة الكابحة تتسارع (إلى الوراء)؛ والسيارة المنعطفة [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة تتسارع (جانبيًّا). وهذا هو المقدار الذي تتحكم فيه القوى (الفصول [16](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#ch-g11-forces-and-motion) و[25](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#ch-g12-newtons-laws)).

**طريقة 24.7 (قراءة تصوير متعاقب).**

*التصوير المتعاقب* يسجّل مواضع $M_0, M_1, M_2, \dots$ نقطةٍ متحركة على فترات زمنية متساوية $\Delta t$.

1. تباعد النقاط يقرأ [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) : فالتباعدات المتساوية تعني [سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة؛ والمتسعة تعني تسارعًا؛ والمتضايقة تعني تباطؤًا.
2. [والسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) عند $M_i$ هي الوتر المتناظر، $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ ، مرسومًا عند $M_i$ ، مماسًّا [للمسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) المنقَّط.
3. وللتسارع عند $M_i$ : انسخ $\vect v_{i-1}$ و $\vect v_{i+1}$ إلى $M_i$ ، وارسم $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ رأسًا إلى رأس؛ ومنه $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

![تصوير متعاقب لكرة مقذوفة: تُنسخ v_2 وv_4، المبنيتان من الأوتار، إلى M_3؛ ويسلّم فرقهما v المتجهةَ a — عمودية إلى أسفل.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-294866202bd1.svg)

*[تصوير متعاقب](#met-g12-kinematics-2d-chrono) لكرة مقذوفة: تُنسخ $\vect v_2$ و$\vect
v_4$، المبنيتان من الأوتار، إلى $M_3$؛ ويسلّم فرقهما $\Delta\vect v$ المتجهةَ $\vect a$ — عمودية إلى أسفل.*

## 24.4 الحركات المستقيمة

على مستقيم يكفي محور واحد: $x(t)$ و$v(t) = x'(t)$ و $a(t) = v'(t)$، وكلها أعداد ذات [إشارة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-signal).

**تعريف 24.8 (الحركة المستقيمة المنتظمة).**

تكون الحركة *مستقيمة منتظمة* إذا كانت $\vect v$ متجهةً ثابتة: [فالمسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) مستقيم، [والسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة، و$\vect a = \vect 0$. ومنه $x(t) = v\,t + x_0$.

**قضية 24.9 (الحركة المستقيمة المتسارعة بانتظام).**

إذا تحركت نقطة على $Ox$ بتسارع *ثابت* $a$، منطلقةً عند $t = 0$ من الموضع $x_0$ [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$، فإن

$$
v(t) = a\,t + v_0,
\qquad
x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .
$$

**برهان.** $v$ دالة أصلية للثابت $a$: أي $v(t) = a t + C$، ويفرض $t = 0$ أن $C = v_0$. وبدوره $x$ دالة أصلية [للسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $a t + v_0$: أي $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$، مع $C' = x_0$. ∎

![حركة متسارعة بانتظام (a = 2.0\, m/ s2، v_0 = 1.0\, m/ s، x_0 = 0): كل مخطط مشتقة الذي فوقه — قطع مكافئ، ثم ميله، ثم ميل ميله.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-ad4c6ed03948.svg)

*[حركة متسارعة بانتظام](#prop-g12-kinematics-2d-uarm) ($a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $x_0 = 0$): كل مخطط مشتقة الذي فوقه — قطع مكافئ، ثم ميله، ثم ميل ميله.*

**مثال 24.10 (مسافة التوقف).**

سيارة [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$ تكبح بتباطؤ ثابت $a$ (أي بتسارع $-a$). فتتوقف حين $v(t) = -a t + v_0 = 0$، عند $t_s = v_0/a$، وقد قطعت $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s =
v_0^2/(2a)$. والتربيع هو عنوان السلامة على الطرق: فمضاعفة [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) *تربّع* مسافة التوقف — فبأخذ $a =
6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، تكون $16\,\mathrm{m}$ من $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$، و$64\,\mathrm{m}$ من $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

## 24.5 الحركة الدائرية المنتظمة ومعلم فريني

**تعريف 24.11 (الحركة الدائرية المنتظمة).**

تكون الحركة *دائرية منتظمة* إذا كان [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) دائرة نصف قطرها $R$ [والسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v$ ثابتة. و*الدور* $T$ هو مدة دورة واحدة، و*التواتر* $f = 1/T$ ([بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{Hz}$) هو عدد الدورات في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$.

[سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة — ومع ذلك تدور [متجهة السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity): أي أن ثمة *تسارعًا* فعلًا. فإلى أي جهة، وبأي مقدار؟

**مبرهنة 24.12 (التسارع المركزي).**

في [حركة دائرية منتظمة](#def-g12-kinematics-2d-ucm) نصف قطرها $R$ وسرعتها $v$، يتجه التسارع — ويسمّى *مركزيًّا* — من النقطة المتحركة نحو مركز الدائرة، وناظمه ثابت

$$
a = \frac{v^2}{R}.
$$

**برهان.** ضع مبدأ المحاور في مركز الدائرة واجعل $\omega = v/R$، بحيث يقابل القوس $v t$ الزاوية $\omega t$: فيكون الموضع $x(t) = R\cos(\omega t)$، $y(t) = R\sin(\omega t)$. وبالاشتقاق، $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$، وناظمها ثابت $R\omega = v$؛ وبالاشتقاق مرة أخرى، $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$: أي معاكسة [لمتجهة الموضع](#def-g12-kinematics-2d-position) — نحو المركز — وناظمها $\omega^2 R = v^2/R$. ∎

![حركة دائرية منتظمة: v مماسّة وطولها ثابت؛ وa مصوَّبة نحو المركز وطولها ثابت v2/R — فتدير السرعة أبدًا دون أن تمدّها قط.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-213e819fb580.svg)

*[حركة دائرية منتظمة](#def-g12-kinematics-2d-ucm): $\vect v$ مماسّة وطولها ثابت؛ و$\vect a$ مصوَّبة نحو المركز وطولها ثابت $v^2/R$ — فتدير [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) أبدًا دون أن تمدّها قط.*

**تعريف 24.13 (معلم فريني).**

*معلم فريني* عند الموضع الحالي لنقطة على [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) منحنٍ هو زوج المتجهتين الواحديتين المتعامدتين $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$: فالمتجهة $\vect{u_t}$ مماسّة، في جهة الحركة؛ و$\vect{u_n}$ ناظمية، نحو مركز الدائرة ذات نصف القطر $R$ التي تلائم المنحني هناك أفضل ملاءمة.

**قضية 24.14 (التسارع في معلم فريني).**

على أي [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) مستوٍ نصف قطره المحلي $R$، يُقطع [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v(t)$، يكون

$$
\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n},
\qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t},
\qquad a_n = \frac{v^2}{R}:
$$

و*التسارع المماسّي* $a_t$ يغيّر [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity)؛ و*التسارع الناظمي* $a_n$ يدير [متجهة السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 24.15 (أين يقيم البرهان).**

لقد برهنّا على الطرفين: $a_t$ خالصًا على مستقيم ([القضية 24.9](#prop-g12-kinematics-2d-uarm))، و$a_n$ خالصًا على دائرة ([المبرهنة 24.12](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal))؛ أما التفكيك العام فيُشتقّ في مجلد السنة الأولى.

**مثال 24.16 (الكبح داخل منعطف).**

تدخل سيارة منعطفًا نصف قطره $R = 50\,\mathrm{m}$ [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وهي تكبح بمقدار $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: فيكون $a_t =
-3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، ومنه $a =
\sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، متجهًا إلى الوراء *وإلى* داخل المنعطف. ويجب أن توفّر الإطارات الاثنين معًا — ولذلك يكبح سائقو السباقات *قبل* المنعطف.

## 24.6 تمارين

**تمرين 24.1 ★.**

من أجل $x(t) = 3.0\,t$، $y(t) = 4.0\,t$ ([بالمتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) [والثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit))، أعطِ $\vect v$، وقيمة [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity)، [والمسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)، وصنف الحركة.

**حل التمرين 24.1.**

$\vect v = (3.0, 4.0)$، وهي ثابتة؛ وقيمة [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} =
5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [والمسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory): المستقيم $y = \tfrac43 x$. [ومتجهة سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة: أي [حركة مستقيمة منتظمة](#def-g12-kinematics-2d-uniform).

**تمرين 24.2 ★.**

على [تصوير متعاقب](#met-g12-kinematics-2d-chrono) يُلتقط كل $0.10\,\mathrm{s}$، تقع النقاط على مستقيم، ومتباعدة بانتظام بمقدار $0.35\,\mathrm{m}$. عيّن الحركة و احسب [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity). وعلامَ كانت تدلّ تباعدات متسعة؟

**حل التمرين 24.2.**

مستقيم، وتباعدات متساوية: أي [حركة مستقيمة منتظمة](#def-g12-kinematics-2d-uniform)؛ و$v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. أما التباعدات المتسعة فكانت ستعني أن [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) تتزايد.

**تمرين 24.3 ★.**

من أجل $x(t) = 2.0\,t^2$ على $Ox$ ([بالمتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) [والثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit))، اشتقّ $v(t)$ و$a(t)$، وسمِّ صنف الحركة، واحسب [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) عند $t = 3.0\,\mathrm{s}$.

**حل التمرين 24.3.**

$v(t) = 4.0\,t$، $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: أي تسارع ثابت، فحركة مستقيمة متسارعة بانتظام. و$v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**تمرين 24.4 ★.**

يركب [حصان](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-power) دوّامة دائرةً نصف قطرها $4.5\,\mathrm{m}$، ودورة كل $8.0\,\mathrm{s}$: احسب [التواتر](#def-g12-kinematics-2d-ucm) [والسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) والتسارع (ناظمًا واتجاهًا).

**حل التمرين 24.4.**

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$؛ $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، متجهًا نحو محور الدوّامة.

**تمرين 24.5 ★.**

يصعد مخطط $v(t)$ مستقيمًا من $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $t = 0$ إلى $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $t = 4.0\,\mathrm{s}$. اقرأ التسارع، ثم المسافة المقطوعة (وهي المساحة تحت المخطط).

**حل التمرين 24.5.**

الميل: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. والمساحة (شبه منحرف): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$.

**تمرين 24.6 ★★.**

يأخذ قطار سريع منعطفًا نصف قطره $6.0\,\mathrm{km}$ [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. احسب $a_n$ وقارنه بالمقدار $g$؛ ولماذا يجب أن تتجنب الخطوط السريعة المنعطفات الضيقة، ولو كانت مائلة ميلًا تامًّا؟

**حل التمرين 24.6.**

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}
\approx 0.13\,g$. وبما أن $a_n = v^2/R$، فإن $v$ العالية تقتضي $R$ هائلًا لإبقاء التسارع الجانبي ([والقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) على السكة و الركاب) مقبولًا — والميل يغيّر من يوفّره، لا مقداره.

**تمرين 24.7 ★★.**

لعربة على سكة مستقيمة $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ ([بالمتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) [والثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)). جِد $v(t)$ و$a$، ولحظة الانعكاس وموضعه، وصِف الحركة قبله وبعده.

**حل التمرين 24.7.**

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$؛ $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، وهو ثابت. والانعكاس عند $v = 0$: $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$، عند $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$. وقبله: إلى الأمام متباطئًا؛ وبعده: إلى الوراء متسارعًا — وهي متسارعة بانتظام طول الوقت.

**تمرين 24.8 ★★.**

[تصوير متعاقب](#met-g12-kinematics-2d-chrono) على مستقيم، كل $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$، يعطي $x = 0$، $0.10$، $0.28$، $0.54$، $0.88\,\mathrm{m}$. قدّر [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) عند النقاط الداخلية الثلاث ([الطريقة 24.7](#met-g12-kinematics-2d-chrono))، ثم التسارع؛ واستنتج.

**حل التمرين 24.8.**

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. فتكسب [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ كل $0.20\,\mathrm{s}$: أي $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، وهو ثابت — فحركة مستقيمة متسارعة بانتظام.

**تمرين 24.9 ★★.**

يدور القمر حول الأرض على شبه دائرة نصف قطرها $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ في $27.3\,\mathrm{d}$. احسب سرعته وتسارعه المركزي؛ وقارن الأخير بالمقدار $g$، علمًا أن القمر يبعد نحو $60$ نصف قطر أرضي ([الفصل 4](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#ch-g10-universal-gravitation)).

**حل التمرين 24.9.**

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6}
\approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. والنسبة: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — [فالجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four)، مخفَّفةً كمقلوب مربع المسافة ([الفصل 4](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#ch-g10-universal-gravitation))، تفسّر دوران القمر بالضبط.

**تمرين 24.10 ★★.**

حلّة غسّالة نصف قطرها $25\,\mathrm{cm}$ تدور [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $1200$ دورة في الدقيقة. احسب $f$ و$T$، [وسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) الحافة وتسارع الحافة بمضاعفات $g$. ولماذا يبقى الغسيل ملتصقًا بينما يغادر الماء؟

**حل التمرين 24.10.**

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$، $T = 0.050\,\mathrm{s}$؛ $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$. فجدار الحلّة يوفّر $a_n$ للغسيل؛ أما عبر الثقوب فلا شيء يدفع الماء إلى الداخل، فيطير على المماسّ.

**تمرين 24.11 ★★.**

سيارة [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ تكبح بمقدار ثابت $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: احسب زمن التوقف ومسافة التوقف، وارسم $v(t)$.

**حل التمرين 24.11.**

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$؛ $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$. والمخطط: قطعة مستقيمة من $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ نزولًا إلى $0$ عند $t_s$.

**تمرين 24.12 ★★★.**

من أجل $x(t) = R\cos(\omega t)$، $y(t) = R\sin(\omega t)$: احسب $\vect v$؛ وتحقّق من أن [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) هي الثابت $R\omega$ ومن أن $\vect v \perp \vect{OM}$؛ واحسب $\vect a$، وبيّن أنها $-\omega^2\,\vect{OM}$، واستخرج $a = v^2/R$.

**حل التمرين 24.12.**

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$، وناظمها ثابت $R\omega$؛ وجداؤها السلّمي مع $\vect{OM}$ ينعدم، ومن ثم فهي عمودية على نصف القطر، أي مماسّة. وبالاشتقاق مرة أخرى، $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$: أي نحو $O$، وناظمها $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$.

**تمرين 24.13 ★★★.**

تدخل دراجة نارية منعطفًا نصف قطره $80\,\mathrm{m}$ [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وهي تكبح بمقدار $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. احسب $a_t$ و$a_n$، [وناظم](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/3-refraction-of-light#def-g10-refraction-angles) $\vect a$ وزاويتها مع جهة الحركة. وتتماسك الإطارات حتى $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ في المجموع: فهل السائق ضمن الحدّ؟

**حل التمرين 24.13.**

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (إلى الوراء)، $a_n = 20^2/80 =
5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ والزاوية مع جهة الحركة: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (أي $63^\circ$ عن الاتجاه الخلفي المستقيم). و$5.6 < 7.0$: أي ضمن التماسك، ولا يفيض إلا القليل.

**تمرين 24.14 ★★★.**

يتسارع مترو من السكون بمقدار $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ حتى $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، ثم ينساب $40\,\mathrm{s}$، ثم يكبح بمقدار $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ إلى التوقف. احسب مدة كل طور وطوله، والمسافة الكلية و [السرعة المتوسطة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-speed). وارسم $v(t)$ وتحقّق من المسافة مساحةً.

**حل التمرين 24.14.**

الانطلاق: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$، $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$. والانسياب: $40\,\mathrm{s}$، $800\,\mathrm{m}$. والكبح: $t_3 = 20/1.5 \approx
13\,\mathrm{s}$، $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$. والمجموع: $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ في $70\,\mathrm{s}$؛ والمتوسط $1100/70 \approx
16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). و$v(t)$ شبه منحرف مساحته، $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$، تتحقق من المجموع.

**تمرين 24.15 ★★★.**

[تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) ثابت بالنسبة إلى الأرض يدور على نصف قطر $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ من مركز الأرض [بدور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-period) $86\,164\,\mathrm{s}$. احسب سرعته وتسارعه المركزي. وما الذي يوفّره، ولماذا يتعلّق [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) فوق نقطة استوائية ثابتة واحدة ([الفصل 27](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/27-satellites-and-planetary-motion#ch-g12-satellites-kepler))؟

**حل التمرين 24.15.**

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. وتوفّره جاذبية الأرض على تلك المسافة؛ [والدور](#def-g12-kinematics-2d-ucm) يساوي [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-period) دوران الأرض، ومن ثم يدور [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) والأرض معًا فيتعلّق فوق نقطة استوائية واحدة ([الفصل 27](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/27-satellites-and-planetary-motion#ch-g12-satellites-kepler)).

## 24.7 مسألة: تقرير الحادث

**مسألة 24.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تقرير الحادث: فيلم كاميرا لوحة قيادة يُقرأ صورةً صورة، وقانون كبح يُعاد بناؤه من آثار الانزلاق، و دوّار يشهد على التماسك، وحكم بالكيلومترات في الساعة

تصطدم سيارة بشاحنة صغيرة خرجت من شارع جانبي؛ ولا مصاب، لكن شركات التأمين تختلف. ولدى المحقق تسجيل كاميرا علوية (صورة كل $0.50\,\mathrm{s}$)، وآثار انزلاق مقيسة، و كاميرا لوحة قيادة السيارة. وحدّ [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**الجزء I — قراءة الفيلم.** تعطي الصور [السابقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) لأي ردّ فعل، على امتداد الطريق المستقيم:

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.00 | 0.50 | 1.00 | 1.50 | 2.00 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ ($\mathrm{m}$) | 0.0 | 9.0 | 18.0 | 27.0 | 36.0 |

1. لماذا يجب أن يسمّي التقرير أولًا مرجعًا ومحاور؟ وأيّها مستعمل هنا؟
2. احسب [السرعة المتوسطة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-speed) على كل من الفترات الأربع.
3. وأيّ صنف من الحركات هذا؟ برّر من الجدول.
4. أعطِ [سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) السيارة $v_0$ [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وبوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
5. وما التسارع خلال هاتين الثانيتين؟

**الجزء II — آثار الانزلاق.** تعطي اختبارات الإطارات على هذا الإسفلت الجافّ تباطؤ كبح ثابتًا $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ وطول آثار الانزلاق $d_b = 27\,\mathrm{m}$. خذ $t = 0$، و$x = 0$ عند بدء الكبح، [والسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) المجهولة $v_B$.

6. بالدوال الأصلية، اكتب $v(t)$ و $x(t)$ أثناء الكبح.
7. عبّر عن زمن التوقف $t_s$ ؛ وبيّن أن $d_b = v_B^2/(2a)$ .
8. استنتج $v_B$ من آثار الانزلاق. أمتسق مع الجزء I؟
9. وزمن ردّ الفعل $1.0\,\mathrm{s}$ : احسب مسافة ردّ الفعل ومسافة التوقف الكلية.
10. اشرح، انطلاقًا من السؤال 7، لماذا تربّع مضاعفةُ [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) مسافةَ الكبح؛ واحسب $d_b$ عند $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ بالضبط.

**الجزء III — الدوّار يشهد.** قبل ذلك، تُظهر كاميرا لوحة القيادة السيارة تدور في مسرب دوّار نصف قطره $R = 12.5\,\mathrm{m}$ [بسرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة، وربع دورة في $2.5\,\mathrm{s}$. ويقدر الطريق أن يوفّر $a_n = \mu g$ على الأكثر، بأخذ $\mu = 0.70$.

11. [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة هناك — فهل [متجهة السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة؟ وهل السيارة متسارعة؟ اشرح.
12. احسب [سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) السيارة في الدوّار.
13. احسب تسارعها المركزي (ناظمًا واتجاهًا).
14. احسب أقصى [سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) بلا انزلاق. فهل كانت السيارة ضمنها؟
15. أعطِ [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-period) دورة كاملة وتواترها عند تلك [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) .

**الجزء IV — الحكم.** ظهرت الشاحنة على بعد $D = 41\,\mathrm{m}$ أمام السيارة في اللحظة التي بدأ فيها السائق ردّ فعله.

16. بكم، [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ وبالنسبة المئوية، تجاوزت [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) قبل الكبح الحدَّ؟
17. احسب [سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) السيارة عند الاصطدام.
18. أعِد حساب التوقف عند $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ بالضبط (بردّ الفعل نفسه، والكبح نفسه): فهل تتوقف السيارة، وبأي هامش؟
19. أعطِ الصيغة العامة لمسافة التوقف $d(v)$ ؛ ولماذا تدخل [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) مرتين — مرةً خطيًّا ومرةً مربَّعة؟
20. الحكم، في جملة واحدة بأرقامها: أيّ [سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) كان السائق يقود بها، وهل كان الحادث سيقع عند الحدّ؟

**حل المسألة 24.1.**

**1.** الحركة نسبية ([الفصل 5](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#ch-g10-relative-motion)): فكل موضع وكل [سرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) يجب أن يسمّي مرجعه. وهنا: [المرجع الأرضي](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frames) (الطريق)، و$x$ على امتداد الطريق من موضع الصورة الأولى.

**2.** في كل فترة: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي أربع قيم متساوية.

**3.** طريق مستقيم، وانتقالات متساوية في أزمنة متساوية: أي [حركة مستقيمة منتظمة](#def-g12-kinematics-2d-uniform).

**4.** $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**5.** $\vect a = \vect 0$.

**6.** $v(t) = -a\,t + v_B$؛ $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$.

**7.** يعطي $v(t_s) = 0$ النتيجة $t_s = v_B/a$؛ ثم $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$.

**8.** $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} =
\sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) المصوَّرة بالضبط: فالسائق لم يبطّئ قط قبل الكبح.

**9.** ردّ الفعل: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$؛ والمجموع $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$.

**10.** $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$: فمضاعفة $v_B$ تضرب $d_b$ في $4$. وعند $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$.

**11.** [السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة لكن اتجاه [متجهة السرعة](#def-g12-kinematics-2d-velocity) يدور: فالمتجهة $\vect v$ ليست ثابتة، ومن ثم فالسيارة متسارعة.

**12.** ربع دورة: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$؛ $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**13.** $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، نحو مركز الدوّار.

**14.** $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx
6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} =
\sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). و$7.9 < 9.3$: أي ضمن التماسك — وهو متسق مع المسرب النظيف الخالي من الانزلاق.

**15.** $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s};
f = 0.10\,\mathrm{Hz}$.

**16.** $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ زيادةً — أي نحو $30\%$ فوق الحدّ.

**17.** يؤثر الكبح على مدى $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$: $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$، ومنه $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ عند الاصطدام.

**18.** عند $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 =
13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — فتتوقف السيارة على بعد $11\,\mathrm{m}$ قبل الشاحنة.

**19.** $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$: مرةً خطيًّا (فردّ الفعل يقطع $v t_r$ قبل أن تعمل المكابح)، ومرةً مربَّعة (فالجزء الحركي $v^2/(2a)$) — ولهذا تكلّف التجاوزات المعتدلة كلفةً غير متناسبة.

**20.** تتفق كاميرا لوحة القيادة وآثار الانزلاق: $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ في منطقة $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$؛ وعند الحدّ القانوني كانت السيارة ستتوقف على بعد $11\,\mathrm{m}$ قبل الشاحنة — فالحادث هو $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ الزائدة.