--- title: "قوانين نيوتن" book: "فيزياء المرحلة الثانوية" subject: physics language: ar chapter: 25 exercises: 15 source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws --- # الفصل 25 — قوانين نيوتن هرّب ميزان حمّام إلى مصعد. فحين تشدّ المقصورة إلى أعلى تقرأ الإبرة زيادة ثلاثة كيلوغرامات؛ وقرب القمة تقرأ نقصانًا؛ وبين الحالتين، الحقيقة العارية — إذ لم يتغير شيء على المتن إلا الحركة. ويذكر هذا الفصل القوانين الثلاثة وراء تلك الإبرة ويصوغها في الطريقة التي تدير الميكانيك كله: اختر جملة، وارسم قواها، وأسقِط $\sum \vect F = m\vect a$. ## 25.1 كمية الحركة، والقانون الأول مضبوطًا **تعريف 25.1 (كمية الحركة).** *كمية الحركة* لجسم كتلته $m$ ($\mathrm{kg}$) يتحرك [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\vect v$ هي المتجهة $$ \vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}): $$ أي [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) موزونةً بالكتلة؛ وفي جملة، هي المجموع المتجهي على أجزائها. **تعريف 25.2 (المرجع العُطالي).** *المرجع العُطالي* [مرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) يتحرك فيه كل جسم معزول — لا قوى عليه، أو قوى تتعادل — في خط مستقيم [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة ([الفصل 6](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#ch-g10-inertia)). والأرض [مرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) كهذا بدقة ممتازة، وكذلك أي مقصورة في [حركة مستقيمة منتظمة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-uniform) عليها؛ أما قطار يكبح أو دوّامة تدور فلا: إذ تتسارع فيهما الأمتعة السائبة دون أن يدفعها شيء. **مبرهنة 25.3 (قانون نيوتن الأول).** في [مرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) عُطالي، لا تتغير كمية حركة جملة معزولة: أي أن $\vect p$ ثابتة، أي $d\vect p/dt = \vect 0$. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **ملاحظة 25.4 (العطالة، مشحوذة مرتين).** مبدأ العطالة في [الفصل 6](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#ch-g10-inertia)، مرقًّى مرتين: فهو يقول *أين* يصحّ — إذ يعرّف المراجع العُطالية بأنها التي يصحّ فيها — ويحرس متجهةً، هي $m\vect v$، تؤتي محاسبتها ثمارها في آخر الفصل. ## 25.2 قانون نيوتن الثاني **مبرهنة 25.5 (قانون نيوتن الثاني).** في [مرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) عُطالي، تساوي [القوة المحصّلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-netforce) على جسم معدلَ تغير كمية حركته؛ وفي حالة كتلة ثابتة، وبما أن $\vect p = m\vect v$، فإن $$ \sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a . $$ **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **ملاحظة 25.6 (قانون طبيعة، ووحدته).** لا برهان: فهذا قانون طبيعة، وُزن في مواجهة التجربة ثلاثة قرون. وقد أعطى [الفصل 16](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#ch-g11-forces-and-motion) في السنة الماضية ظلَّه، $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$؛ أما الاشتقاق ([الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#ch-g12-kinematics-2d)) فيجعله مضبوطًا في كل لحظة — وتنتظر تفاصيله الدقيقة في مجلد السنة الأولى. وتنال [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [وحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ ويخضع جسم تحت وزنه وحده للعلاقة $m\vect a = m\vect g$: فكل كتلة تسقط بتسارع $\vect a = \vect g$، و $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — فالقراءتان واحدة. **مثال 25.7 (القوة المتوسطة، بلا حاجة إلى التفاصيل).** سيارة كتلتها $1300\,\mathrm{kg}$ تنتقل من السكون إلى $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) في $8.0\,\mathrm{s}$: فمهما تكن القصة لحظةً بلحظة، تكون [القوة المحصّلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-netforce) المتوسطة $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — [فكمية الحركة](#def-g12-newtons-laws-momentum) تحوّل سؤالًا عن [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) إلى محاسبة قبل وبعد. ## 25.3 قانون نيوتن الثالث **مبرهنة 25.8 (قانون نيوتن الثالث).** إذا مارس جسم $A$ قوةً $\vect F_{A \to B}$ على جسم $B$، مارس $B$ على $A$ [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$: بمستقيم التأثير نفسه، وبالشدة نفسها، وباتجاهين متعاكسين — في كل لحظة، ومهما تكن الحركة، تماسًّا كان أو تأثيرًا عن بعد. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **مثال 25.9 (الكتاب والطاولة والأرض).** كتاب يستقر على طاولة: تفاعلان، وزوجان. فالثقالي: الأرض تجذب الكتاب إلى أسفل ($\vect P$)، والكتاب يجذب الأرض إلى أعلى. والتماسّي: الطاولة تدفع الكتاب إلى أعلى ($\vect N$)، والكتاب يضغط الطاولة إلى أسفل. والمشي الصفقة نفسها: ادفع الأرض إلى الوراء؛ فرد فعلها هو [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الوحيدة التي تدفعك إلى الأمام. ![كتاب واحد، وتفاعلان، وأربعة سهام: الزوج الثقالي (الأرض تجذب الكتاب، والكتاب يجذب الأرض) والزوج التماسّي (الطاولة تدفع الكتاب، والكتاب يضغط الطاولة). وP وN ليستا شريكتين: فهما تؤثران في الكتاب نفسه — ولا تتلاشيان إلا لأن تسارعه معدوم.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-5c42f24de5f5.svg) *كتاب واحد، وتفاعلان، وأربعة سهام: الزوج الثقالي (الأرض تجذب الكتاب، والكتاب يجذب الأرض) والزوج التماسّي (الطاولة تدفع الكتاب، والكتاب يضغط الطاولة). و$\vect P$ و$\vect N$ *ليستا* شريكتين: فهما تؤثران في الكتاب نفسه — ولا تتلاشيان إلا لأن تسارعه معدوم.* ## 25.4 الطريقة: اختر وارسم وأسقِط **طريقة 25.10 (حلّ مسألة في الديناميك).** 1. *الجملة* : سمِّ الجسم (أو مجموعة الأجسام) المدروس. 2. *[المرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame)* : اختر مرجعًا عُطاليًّا ومحاور ملائمة للحركة — محاور المنحدر، أو [معلم فريني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet) في منحنٍ ( [الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#ch-g12-kinematics-2d) ). 3. *الجرد* : أحصِ كل [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) — [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) ، ثم [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) واحدة لكل تماس، ولا شيء غير ذلك — وارسم [مخطط القوى](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-diagram) المعزول: نقطة واحدة، وسهم واحد لكل [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) . 4. *الإسقاط* : اكتب $\sum \vect F = m\vect a$ ، وأسقِطها على كل محور. 5. *حُلّ وتحقّق* : من الوحدات والإشارات والحالات الحدية ( $\mu \to 0$ ، $\alpha \to 0$ ، …). **تعريف 25.11 (القوة الناظمية والاحتكاك).** يؤثر السطح في جسم بمركّبتين: *القوة الناظمية* $\vect N$، وهي عمودية على السطح، [والاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$، وهو مماسّي. وتعطي التجربة قوانين [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory): فما دام الجسم لا ينزلق، يضبط [الاحتكاك السكوني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-friction) نفسه حتى سقف قدره $f_s \leq \mu_s N$؛ ومتى انزلق، صار [الاحتكاك الحركي](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-friction) $f_k = \mu_k N$، ضد الانزلاق. و*معاملا [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)* $\mu_s$ و$\mu_k$ ($\mu_k \leq \mu_s$) لا يتوقفان إلا على المادتين. **مثال 25.12 (المنحدر، مرتين).** تنزلق كتلة على منحدر زاويته $\alpha$؛ والمحاور: $x$ نازلًا على المنحدر، و$y$ عموديًّا عليه. فعلى $y$: $N = mg\cos\alpha$. وعلى $x$، بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory): $ma = mg\sin\alpha$، ومنه $a = g\sin\alpha$ — بلا كتلة؛ وعند $\alpha = 30^\circ$، $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. ومع [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) حركي: $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$؛ ومن أجل $\mu_k = 0.20$، $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. أما بقاؤها في مكانها أصلًا فلم يكن إلا ما دام [الاحتكاك السكوني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-friction) اللازم يسع تحت سقفه: $\tan\alpha \leq \mu_s$. ![مخطط القوى المعزول على المنحدر: الوزن P، والقوة الناظمية N، والاحتكاك f صاعدًا على المنحدر لكتلة تنزلق نازلة. وتقسم المحاور الموازية و العمودية للمنحدر المتجهةَ P إلى mg وmg (بالمتقطع).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-0b658db3e7ea.svg) *[مخطط القوى](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-diagram) المعزول على المنحدر: [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$، [والقوة الناظمية](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$، [والاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ صاعدًا على المنحدر لكتلة تنزلق نازلة. وتقسم المحاور الموازية و العمودية للمنحدر المتجهةَ $\vect P$ إلى $mg\sin\alpha$ و$mg\cos\alpha$ (بالمتقطع).* **تعريف 25.13 (الوزن الظاهري).** *الوزن الظاهري* لجسم هو [القوة الناظمية](#def-g12-newtons-laws-friction) بينه وبين سنده — أي ما يقرؤه ميزان تحته. **مثال 25.14 (المصعد).** مسافر كتلته $70\,\mathrm{kg}$ يقف على ميزان في مصعد تسارعه العمودي $a_z$ (وإلى أعلى موجب): فيكون $N - mg = ma_z$، ومنه $N = m(g + a_z)$. وعند [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) إلى أعلى بمقدار $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $792\,\mathrm{N}$، فيثقل؛ وعند الكبح قرب القمة: $582\,\mathrm{N}$، فيخفّ؛ وفي الانسياب الثابت: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — أي القانون الأول؛ وفي السقوط الحر، $a_z = -g$: $N = 0$، أي انعدام [وزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) على ميزان. **مثال 25.15 (كتلتان وبكرة).** كتلة $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ على طاولة بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) مربوطة بحبل خفيف، فوق بكرة مثالية، بكتلة معلّقة $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$. وينقل الحبل [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $T$ نفسه عند الطرفين؛ وتتقاسم الكتلتان قيمة تسارع واحدة $a$. وقانون ثانٍ لكلٍّ، على امتداد حركتها: $m_1 a = T$ و$m_2 a = m_2 g - T$، ومنه $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و$T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — وهو أصغر من $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$، كما يجب لتتسارع $m_2$ إلى أسفل. ![كتلتان، وحبل خفيف واحد، وبكرة مثالية واحدة: الشدّ T نفسه يسحب الطرفين، وتتقاسم الكتلتان قيمة تسارع واحدة — فقانون ثانٍ لكلٍّ، ومعادلتان ومجهولان.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-2e421ec922ba.svg) *كتلتان، وحبل خفيف واحد، وبكرة مثالية واحدة: [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $T$ نفسه يسحب الطرفين، وتتقاسم الكتلتان قيمة تسارع واحدة — فقانون ثانٍ لكلٍّ، ومعادلتان ومجهولان.* **مثال 25.16 (المنعطف المستوي).** سيارة كتلتها $m$ تدور في منعطف مستوٍ نصف قطره $R$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة $v$. وفي [معلم فريني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#ch-g12-kinematics-2d)) يكون التسارع ناظميًّا خالصًا، $a_N = v^2/R$، مصوَّبًا نحو المركز. وعموديًّا، $N = mg$؛ وأفقيًّا، [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) المركزية الوحيدة المعروضة هي [الاحتكاك السكوني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-friction) بين الطريق والإطارات: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$، ومنه $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$، مهما تكن الكتلة. ومن أجل $R = 90\,\mathrm{m}$، وطريق جافّ ($\mu_s = 0.70$): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$)؛ وعلى الجليد ينهار السقف — والعلاقة [التمرين 25.13](#exo-g12-newtons-laws-13) تميل الطريق؛ و[التمرين 25.10](#exo-g12-newtons-laws-10) يؤرجح الإسقاط نفسه على سلك. ![سيارة في منعطف مستوٍ بسرعة ثابتة: من أعلى (يمينًا) تكون السرعة مماسّة والقوة المحصّلة مصوَّبة نحو المركز؛ ومن الخلف (يسارًا) توازن N المقدارَ P، ويكون الاحتكاك السكوني الجانبي للطريق هو القوة المركزية كلها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-f4c28bbb91c4.svg) ![سيارة في منعطف مستوٍ بسرعة ثابتة: من أعلى (يمينًا) تكون السرعة مماسّة والقوة المحصّلة مصوَّبة نحو المركز؛ ومن الخلف (يسارًا) توازن N المقدارَ P، ويكون الاحتكاك السكوني الجانبي للطريق هو القوة المركزية كلها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-98c744ef8036.svg) *سيارة في منعطف مستوٍ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة: من أعلى (يمينًا) تكون [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) مماسّة [والقوة المحصّلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-netforce) مصوَّبة نحو المركز؛ ومن الخلف (يسارًا) توازن $\vect N$ المقدارَ $\vect P$، ويكون [الاحتكاك السكوني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-friction) الجانبي للطريق هو [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) المركزية كلها.* ## 25.5 الجمل المعزولة: كمية الحركة محفوظة **قضية 25.17 (انحفاظ كمية الحركة).** في جسمين تنعدم القوى الخارجية عليهما أو تتعادل، تكون [كمية الحركة](#def-g12-newtons-laws-momentum) الكلية $\vect p_1 + \vect p_2$ ثابتة، مهما تكن القوى التي يمارسها أحدهما على الآخر. **برهان.** اجمع القانونين الثانيين: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{الخارجية}}$: فيتلاشى الزوج الداخلي بالقانون الثالث، و$\vect F_{\text{الخارجية}} = \vect 0$ بالفرض. ∎ **مثال 25.18 (الارتداد).** متزلجة كتلتها $60\,\mathrm{kg}$ ساكنة على جليد أملس تقذف كرة طبية كتلتها $4.0\,\mathrm{kg}$ أفقيًّا [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. فقبل: $\vect p = \vect 0$؛ وبعد: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$، ومنه $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — فتنجرف إلى الوراء. ولم يدفعها شيء خارجي: بل دفعتها الكرة (بالقانون الثالث)، وتبقى الدفاتر عند الصفر. **ملاحظة 25.19 (كيف يدفع صاروخ لا شيء).** الصاروخ آلة لرمي الكتلة. ففي كل [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) تقذف محركاته دفعة من الغاز إلى الوراء؛ ويحمل الغاز كمية حركة خلفية، فيكسب الصاروخ القدر نفسه إلى الأمام — أي [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) دفع ثابتة، تساوي تقريبًا الكتلة المقذوفة في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) مضروبةً في [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) القذف. فالصاروخ يدفع عادمه هو، لا الهواء: ولذلك يعمل أفضل ما يعمل في الفضاء الخالي. ## 25.6 تمارين **تمرين 25.1 ★.** احسب كمية حركة (أ) عدّاء كتلته $70\,\mathrm{kg}$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ (ب) سيارة كتلتها $1300\,\mathrm{kg}$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$؛ (ج) رصاصة كتلتها $8.0\,\mathrm{g}$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ورتّبها. ولماذا يأتي الأسرع في المرتبة الأخيرة؟ **حل التمرين 25.1.** (أ) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ب) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. فالسيارة $>$ العدّاء $>$ الرصاصة: فخمس رتب من القدر في الكتلة أكثر مما تقدر [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) على شرائه. **تمرين 25.2 ★.** مسافر كتلته $70\,\mathrm{kg}$ يقف على ميزان في مصعد. فماذا يقرأ الميزان حين تتسارع المقصورة (أ) إلى أعلى بمقدار $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ (ب) تصعد [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ (ج) تتسارع إلى أسفل بمقدار $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؟ وأيّ قانون يحسم (ب)؟ **حل التمرين 25.2.** $N = m(g + a_z)$: (أ) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$؛ (ب) $a_z = 0$، ومنه $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — أي القانون الأول: [فالسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة والقوى تتعادل؛ (ج) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$. **تمرين 25.3 ★.** تُطلق كتلة على منحدر بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) زاويته $30^\circ$. احسب تسارعها، ثم سرعتها بعد انزلاق $3.0\,\mathrm{m}$. وأين ذهبت الكتلة؟ **حل التمرين 25.3.** $a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وتتلاشى الكتلة بين $ma$ و$mg\sin\alpha$. **تمرين 25.4 ★.** تصل كرة تنس كتلتها $58\,\mathrm{g}$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وتُردّ على المستقيم نفسه [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ ويدوم التماس $5.0\,\mathrm{ms}$. احسب تغير [كمية الحركة](#def-g12-newtons-laws-momentum) [والقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) المتوسطة للأوتار؛ وقارن تلك [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [بوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) الكرة. **حل التمرين 25.4.** الانعكاس: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — أي نحو $800$ ضعف [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) $0.57\,\mathrm{N}$، ولهذا تُهمل [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) أثناء التماس. **تمرين 25.5 ★.** كتاب يستقر على طاولة. سمِّ القوتين المؤثرتين في الكتاب، ولكلٍّ منهما شريكها في زوج الفعل ورد الفعل (أيّ جسم؟ وأيّ اتجاه؟). ولماذا لا يكون [وزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) الكتاب ودفع الطاولة شريكين أحدهما للآخر؟ **حل التمرين 25.5.** [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) (الأرض على الكتاب، إلى أسفل): شريكه = الكتاب يجذب الأرض، إلى أعلى. [والقوة الناظمية](#def-g12-newtons-laws-friction) (الطاولة على الكتاب، إلى أعلى): شريكها = الكتاب يضغط الطاولة، إلى أسفل. أما [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) [والقوة الناظمية](#def-g12-newtons-laws-friction) فيؤثران في الجسم *نفسه* وينتميان إلى تفاعلين مختلفين — ولا يتساويان هنا إلا لأن $\vect a = \vect 0$. **تمرين 25.6 ★★.** صندوق كتلته $50\,\mathrm{kg}$ يستقر على أرضية أفقية، و$\mu_s = 0.45$، و$\mu_k = 0.35$. (أ) فأيّ دفعة أفقية تكفي لتحريكه؟ (ب) وإذا حُفظت تلك الدفعة، فما تسارعه؟ (ج) وأيّ دفعة تبقيه متحركًا [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة؟ **حل التمرين 25.6.** $N = mg = 490\,\mathrm{N}$. (أ) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$. (ب) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (ج) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$. **تمرين 25.7 ★★.** يُوضع الصندوق نفسه على منحدر قابل للضبط ($\mu_s = 0.45$، $\mu_k = 0.35$). (أ) فعند أي زاوية يبدأ بالانزلاق؟ (ب) وعند $30^\circ$، احسب تسارعه. (ج) ومتى انطلق عند زاوية (أ)، فهل يظل متسارعًا؟ ولماذا؟ **حل التمرين 25.7.** (أ) تنزلق حين $\tan\alpha > \mu_s$: $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$. (ب) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (ج) نعم: فمتى انزلقت، هبط [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) إلى $\mu_k < \mu_s$، ومنه $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$. **تمرين 25.8 ★★.** كتلة $3.0\,\mathrm{kg}$ على طاولة بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) مربوطة فوق بكرة مثالية بكتلة معلّقة $2.0\,\mathrm{kg}$. احسب التسارع [والشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory). ولماذا وجب أن يخرج [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) أصغر من [وزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) الكتلة المعلّقة؟ **حل التمرين 25.8.** $a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$. فالكتلة المعلّقة تتسارع إلى أسفل، ومن ثم تتجه [القوة المحصّلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-netforce) عليها إلى أسفل: فيجب أن يقلّ $T$ عن $m_2 g$. **تمرين 25.9 ★★.** منعطف نصف قطره $50\,\mathrm{m}$ مستوٍ. احسب أقصى [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) لسيارة من أجل $\mu_s = 0.70$ (جافّ) و$0.40$ (مبتلّ)، [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. ولماذا يصحّ الجواب لدراجة نارية صغيرة ولشاحنة سواءً؟ **حل التمرين 25.9.** $v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$: الجافّ $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$؛ والمبتلّ $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. فكلٌّ من $mv^2/R$ و$\mu_s mg$ يحمل $m$: فتتلاشى. **تمرين 25.10 ★★.** كرة كتلتها $0.30\,\mathrm{kg}$ على سلك طوله $1.2\,\mathrm{m}$ ترسم دائرة أفقية، والسلك يحفظ زاوية ثابتة $25^\circ$ مع العمودي (وهو نوّاس مخروطي). أسقِط القانون الثاني عموديًّا، ثم على امتداد نصف القطر: واحسب [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) [والسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity). **حل التمرين 25.10.** عموديًّا: $T\cos\theta = mg$، ومنه $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$. ونصف القطر $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$؛ وشعاعيًّا: $T\sin\theta = mv^2/R$، ومنه $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **تمرين 25.11 ★★.** طرد كتلته $5.0\,\mathrm{kg}$ يركب ميزانًا في مصعد شحن؛ والقراءات: | الطور | $0\text{ to }2\,\mathrm{s}$ | $2\text{ to }8\,\mathrm{s}$ | $8\text{ to }10\,\mathrm{s}$ | | --- | --- | --- | --- | | الميزان ($\mathrm{N}$) | 54.0 | 49.0 | 44.1 | احسب التسارع في كل طور وصِف رحلة ممكنة. وهل كان يمكن أن يكون المصعد متحركًا *إلى أسفل* طول الوقت؟ **حل التمرين 25.11.** $a_z = (N - mg)/m$ مع $mg = 49.05\,\mathrm{N}$: $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، $0$، $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. فرحلة صاعدة مثلًا : تسارع، ثم انسياب، ثم كبح. ونعم: فلو دخل نازلًا أصلًا، لعنت القراءات نفسها كبحًا، ثم انسيابًا، ثم تسارعًا مجددًا نازلًا — فالميزان يقرأ التسارع لا [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity). **تمرين 25.12 ★★★.** متزلجة كتلتها $60\,\mathrm{kg}$ ساكنة على جليد أملس تقذف كرة كتلتها $4.0\,\mathrm{kg}$ أفقيًّا. (أ) تغادر الكرة [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *بالنسبة إلى الأرض*: فما [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ارتدادها؟ (ب) ثم تُقاس $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *بالنسبة إليها*: أعِد حساب السرعتين. (ج) وأيّ [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) دفعتها إلى الوراء؟ **حل التمرين 25.12.** (أ) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$: $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ب) الكرة عند $8.0 + V$ بالنسبة إلى الأرض: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$، ومنه $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وتطير الكرة [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) دفع الكرة على يديها — أي شريك رميتها في القانون الثالث. **تمرين 25.13 ★★★.** منعطف طريق سريع نصف قطره $80\,\mathrm{m}$ مصمَّم [لسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بلا مساعدة من [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory). بيّن أنه يجب إمالة سطح الطريق بالزاوية $\theta$ المعطاة بالعلاقة $\tan\theta = v^2/(gR)$ واحسبها. وماذا يجب أن يفعل [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) في حالة سيارة تأخذ المنعطف أبطأ — أو أسرع؟ **حل التمرين 25.13.** بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory): $N\cos\theta = mg$ (عموديًّا) و$N\sin\theta = mv^2/R$ (شعاعيًّا)؛ وبالقسمة، $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$: $\theta \approx 27^\circ$. وإذا كانت أبطأ: مالت السيارة إلى الانزلاق نازلةً على الميل، فوجب أن يتجه [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) صاعدًا على المنحدر؛ وإذا كانت أسرع: فالعكس. **تمرين 25.14 ★★★.** تقذف محركات صاروخ $250\,\mathrm{kg}$ من الغاز في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (أ) فكم كمية حركة تغادر في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) — وأيّ [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) دفع تردّها الغازات؟ (ب) وكتلة الصاروخ $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ عند الإشعال: فما وزنه؟ وما تسارعه عند الإقلاع؟ (ج) ولماذا يعمل المحرك بالكفاءة نفسها في الفضاء الخالي؟ **حل التمرين 25.14.** (أ) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في كل [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): [فقوة الدفع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$. (ب) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$؛ $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (ج) لأنه يدفع عادمه هو (بالقانون الثالث)، لا الهواء. **تمرين 25.15 ★★★.** كتلة $4.0\,\mathrm{kg}$ على طاولة ($\mu_s = 0.35$، $\mu_k = 0.25$) مربوطة فوق بكرة مثالية بكتلة معلّقة $m_2$. (أ) فأيّ $m_2$ دنيا تُبدئ الحركة؟ (ب) ومن أجل $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$، احسب التسارع [والشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory). (ج) وتحقّق من أن $\mu_k = 0$ يستعيد صيغة انعدام [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) في [التمرين 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8). **حل التمرين 25.15.** (أ) $m_2 g > \mu_s m_1 g$: $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$. (ب) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$. (ج) يعطي $\mu_k = 0$ النتيجة $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$: أي صيغة [التمرين 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8). ## 25.7 مسألة: العربة المعلّقة **مسألة 25.1.** مسألة نهاية الأسبوع — اعتماد العربة المعلّقة: الشدّ الذي يقتضيه المنحدر في السكون، والزيادة عند الانطلاق، والراحة فوق البرج، وثمن التوقف الطارئ — والعدد الوحيد الذي تجوز للافتة في المقصورة أن تَعِد به عربة جبلية معلّقة — مقصورة مع عربة، وكتلتها فارغة $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — تسير على كابل حمل مائل بزاوية $\alpha = 30^\circ$، يجرّها كابل جرّ موازٍ للمنحدر [بشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $\vect T$. [واحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) التدحرج مهمَل؛ و تبقى أرضية المقصورة أفقية طول الوقت. وتسع المقصورة $25$ مسافرًا متوسط كتلتهم $80\,\mathrm{kg}$؛ وأنت مهندس الاعتماد. وما لم يُذكر خلاف ذلك، تكون المقصورة ممتلئة: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$. **الجزء I — في السكون على المنحدر.** 1. اختر الجملة؛ وقل لماذا يفي [المرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) الجبلي بأن يكون مرجعًا عُطاليًّا؛ واجرد القوى الثلاث باتجاهاتها. 2. وأيّ قانون يحكم الانتظار؟ أسقِطه على امتداد المنحدر وعموديًّا عليه للتعبير عن $T$ وعن [القوة الناظمية](#def-g12-newtons-laws-friction) لكابل الحمل $N$ . 3. احسب $T$ و $N$ . 4. أعِد حساب $T$ للمقصورة الفارغة. ولماذا تتناسب $T$ مع الكتلة الكلية؟ 5. ينقطع كابل الجرّ والمكابح مطفأة: بيّن أن تسارع الانفلات $g \sin\alpha$ ، محمَّلةً كانت أو فارغة، واحسبه. **الجزء II — الانطلاق.** يسرّع الملفاف المقصورة الممتلئة بمقدار $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ صاعدةً على المنحدر حتى تنساب [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. 6. عبّر عن [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $T'$ خلال هذا الطور واحسبه. 7. وبأي كسر يرفع الانطلاق الشدَّ فوق قيمته في السكون؟ 8. وكم يدوم الطور، وعلى أي مسافة؟ 9. وتقف مسافرة كتلتها $80\,\mathrm{kg}$ على الأرضية الأفقية. أسقِط القانون الثاني عموديًّا للتعبير عن وزنها الظاهري وحسابه؛ وقارنه بالمقدار $mg$ . 10. وأيّ [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) تسرّعها أفقيًّا، وكم مقدارها؟ ولماذا يميل المسافرون؟ **الجزء III — فوق البرج.** عند [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، ينحني كابل الحمل فوق برج سند على قوس دائري عمودي نصف قطره $R = 40\,\mathrm{m}$؛ وعند القمة تكون [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) أفقية. 11. في [معلم فريني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet) عند القمة ( [الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#ch-g12-kinematics-2d) )، أعطِ مركّبتَي التسارع كلتيهما بقيمتيهما. 12. أسقِط القانون الثاني على [الناظم](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/3-refraction-of-light#def-g10-refraction-angles) للتعبير عن [القوة الناظمية](#def-g12-newtons-laws-friction) $N'$ للكابل على العربة وحسابها. 13. والسؤال نفسه [للوزن الظاهري](#def-g12-newtons-laws-apparent) للمسافرة عند القمة: بأي كسر تخفّ؟ 14. وعند أي [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) تنعدم $N'$ ؟ قارنها [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الانسياب وعلّق. 15. وأيّ [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) تمارسها العربة على الكابل فوق البرج — وأيّ قانون يقول ذلك، وبأي شدة واتجاه؟ **الجزء IV — الكبح، وقفزة، واللافتة.** 16. على مقطع الوصول الأفقي، يأخذ توقف طارئ المقصورة الممتلئة من $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إلى السكون في $1.5\,\mathrm{s}$ : اقرأ $\sum \vect F = d\vect p/dt$ متوسطًا على مدى التوقف لحساب [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الكبح. 17. وأيّ [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) أفقية يجب أن توقف مسافرة كتلتها $80\,\mathrm{kg}$ ، وهل يقدر [الاحتكاك السكوني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-friction) بين الحذاء والأرضية ( $\mu_s = 0.40$ ) على توفيرها؟ استنتج. 18. وعند الرصيف، والمكابح مطفأة، تتدلى المقصورة الفارغة حرةً ساكنة؛ ويقفز آخر مسافر ( $80\,\mathrm{kg}$ ) أفقيًّا [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *بالنسبة إلى المقصورة* . احسب [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ارتداد المقصورة و [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) المسافر بالنسبة إلى الأرض. 19. وفي جملة واحدة: أيّ جهاز دفع يعيش على مبدأ الارتداد هذا، وما الذي يثبّت [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) دفعه؟ 20. *الاعتماد.* ينقطع كابل الجرّ عند $100\,\mathrm{kN}$ ؛ وتحدّ الأنظمة [شدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) التشغيل بخُمس ذلك. بيّن أن أسوأ حالة لقيتها أعلاه هي الانطلاق، واستنتج الكتلة الكلية القصوى، واطبع اللافتة: كم مسافرًا كتلة كلٍّ $80\,\mathrm{kg}$ يجوز أن يركبوا؟ وتحقّق من عامل الأمان. **حل المسألة 25.1.** **1.** الجملة: المقصورة $+$ العربة (مع $+$ مسافرًا). والجبل مثبَّت على الأرض، وهو عُطالي بدقة ممتازة. والقوى: [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) $M\vect g$ (إلى أسفل)، [والقوة الناظمية](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$ لكابل الحمل (عمودية عليه)، [وشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) الجرّ $\vect T$ (صاعدًا على المنحدر). **2.** في السكون، القانون الأول: $\sum \vect F = \vect 0$. وعلى امتداد المنحدر: $T = Mg\sin\alpha$؛ وعموديًّا: $N = Mg\cos\alpha$. **3.** $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$؛ $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$. **4.** فارغة: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$. وكل [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) في التوازن تتناسب مع $M$، ومن ثم يتناسب $T$ معها أيضًا. **5.** على امتداد المنحدر، $Ma = Mg\sin\alpha$: فتتلاشى $M$، و $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ نازلًا على المنحدر. **6.** $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 = 22.0\,\mathrm{kN}$. **7.** $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$. **8.** $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$؛ $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$. **9.** المركّبة العمودية [للقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) $\vect a$: $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، ومنه $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ في مقابل $mg = 785\,\mathrm{N}$: أي أثقل بمقدار $3\%$. **10.** [الاحتكاك السكوني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-friction) للأرضية، وهو أفقي: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$. والميل يجعل دفع الأرضية المجموع يمرّ بمركز كتلتها، فلا يقلبها. **11.** $a_T = dv/dt = 0$ (لأن [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة)؛ و$a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، مصوَّبًا نحو المركز — أي إلى أسفل مباشرة عند القمة. **12.** المحور الناظمي (وإلى أسفل موجب): $Mg - N' = Mv^2/R$، ومنه $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$. **13.** $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$: أي أخفّ بمقدار $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$. **14.** $N' = 0$ عند $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — أي أكثر من ثلاثة أضعاف الانسياب: فتركب العربة الكابل بهامش واسع. **15.** [قانون نيوتن الثالث](#thm-g12-newtons-laws-third): $35.6\,\mathrm{kN}$، ضاغطةً إلى أسفل على الكابل (ومن ثم على البرج) — وهي أقلّ قليلًا من [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) في السكون، مخفَّفةً بالطيران المنحني. **16.** $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$، عكس الحركة ($a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). **17.** $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$؛ والسقف $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$: فالقدمان وحدهما تنزلقان — فأمسِك المقبض. **18.** $0 = M_0 V + m(v_{\text{النسبية}} + V)$: $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ ويتحرك المسافر [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بالنسبة إلى الأرض. **19.** الصاروخ: [فقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) دفعه تثبّتها الكتلة المقذوفة في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) مضروبةً في [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) القذف بالنسبة إليه. **20.** أكبر [شدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) لقيناه هو [شدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) الانطلاق $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (فالسكون يعطي $Mg\sin\alpha$، والقمة أقلّ بعدُ). والحدّ: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$، ومنه $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$: فالحمولة $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$، أي $20$ مسافرًا كتلة كلٍّ $80\,\mathrm{kg}$ (لا $25$). واللافتة: *20 شخصًا*؛ ومنه $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$، و$T' = 19.8\,\mathrm{kN}$، وعامل الأمان $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$.