---
title: "السقوط الحر وحركة المقذوفات"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 26
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/26-free-fall-and-projectile-motion
---

# الفصل 26 — السقوط الحر وحركة المقذوفات

كل نفّاثة من خرطوم حديقة ترسم المنحني نفسه في الهواء. وكذلك كرة سلة تقوّس نحو السلة، ولاعب وثب طويل، وكرة مدفع: أي جسم مُسلَّم إلى وزنه. ويكسب هذا الفصل ذلك المنحني — وهو قطع مكافئ — من [قانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second) في سطرين من التحليل، ويقرأ الذروة [وزمن الطيران](#def-g12-projectile-motion-range) [والمدى](#def-g12-projectile-motion-range) من معادلته، ثم يدع الهواء يعود ليرى ما يفسده.

## 26.1 السقوط الحر

**تعريف 26.1 (السقوط الحر).**

يكون الجسم في *سقوط حرّ* إذا كانت [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الوحيدة المؤثرة فيه وزنَه $\vect P = m\vect g$: فلا سند ولا خيط، [ومقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء مهمَلة. والحجر المسقَط أو الكرة التي غادرت اليد في سقوط حرّ بدقة جيدة — و“السقوط” يشمل الصعود.

**مبرهنة 26.2 (قانون غاليليو في السقوط الحر).**

في السقوط الحر تشترك كل الأجسام في التسارع نفسه، مهما تكن كتلتها:

$$
\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},
$$

موجَّهًا شاقوليًّا إلى أسفل: أي شدة [المجال](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/14-electric-and-gravitational-fields#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ في [الفصل 4](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#ch-g10-universal-gravitation) بثوبها الآخر، $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**برهان.** [قانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second) ([الفصل 25](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#ch-g12-newtons-laws)) [والوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) هو [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الوحيدة: $m\vect a = m\vect g$، وتتلاشى الكتلة. فلا تختلف المطرقة والريشة إلا عبر الهواء. ∎

**قضية 26.3 (السقوط الشاقولي من السكون).**

إذا أُسقط جسم من السكون، وعُدّ العمق المقطوع $h$ إلى أسفل من نقطة الإطلاق، خضع في السقوط الحر للعلاقتين

$$
a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .
$$

**برهان.** $v(t)$ دالة أصلية للثابت $a = g$ تنعدم عند $t = 0$ ([الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#ch-g12-kinematics-2d))؛ و$h(t)$ دالة أصلية [للسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v = gt$ تنعدم عند $t = 0$. ∎

**مثال 26.4 (رتب القدر).**

بعد $1$ و$2$ و$3$ ثوانٍ من السقوط الحر: $v = 9.8$، $19.6$، $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($35$، $71$، $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) و$h = 4.9$، $19.6$، $44.1\,\mathrm{m}$. ومن سطح ارتفاعه $30\,\mathrm{m}$: $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$، فيصل [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. وتنمو الأزمنة مثل $\sqrt h$ — و بعد بضع ثوانٍ يرفض الهواء أن يبقى مهمَلًا (القسم الأخير).

**مثال 26.5 (القذف الشاقولي).**

إذا قُذف شاقوليًّا إلى أعلى [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$، والمحور $Oy$ إلى أعلى من اليد: أعطت الدالّتان الأصليتان نفساهما $v = v_0 - gt$ و$y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$. و الذروة، حيث $v = 0$، تأتي عند $t = v_0/g$، وارتفاعها $h = v_0^2/2g$ — أي جواب [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $v_0 = \sqrt{2gh}$ في [الفصل 18](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#ch-g11-mechanical-energy) مُجرًى عكسًا؛ وإذا قُذف *إلى أسفل*، انقلبت [إشارة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-signal) $v_0$. ومن أجل $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: الذروة $11.5\,\mathrm{m}$ عند $1.53\,\mathrm{s}$، والعودة عند $3.06\,\mathrm{s}$، [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

## 26.2 المقذوف: قانون واحد ودالّتان أصليتان

**تعريف 26.6 (المقذوف).**

*المقذوف* جسم يُطلق [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\vect v_0$ ثم يُترك في [سقوط حرّ](#def-g12-projectile-motion-freefall). والمحاور عند نقطة الإطلاق: $Ox$ أفقيًّا في المستوي العمودي الحاوي $\vect v_0$، و$Oy$ شاقوليًّا إلى أعلى؛ و *زاوية القذف* $\alpha$ للمتجهة $\vect v_0$ فوق الأفقي تثبّت إحداثييها $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$.

**مبرهنة 26.7 (معادلات الحركة).**

[المقذوف](#def-g12-projectile-motion-projectile) المطلَق من المبدأ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$ وزاوية $\alpha$ له $\vect a = (0,\,-g)$ في كل لحظة، ومنه

$$
\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr),
\qquad
\begin{cases}
x(t) = v_0\cos\alpha\; t,\\[2pt]
y(t) = v_0\sin\alpha\; t - \tfrac12\, g t^2 .
\end{cases}
$$

**برهان.** يعطي [قانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second) $\vect a = \vect g = (0,-g)$. وبالدوال الأصلية محورًا محورًا: $\vect v(t)$ من $\vect a$ بقيمة ابتدائية $(v_0\cos\alpha,\, v_0\sin\alpha)$، ثم الموضع من $\vect v$، ومن $(0,0)$. ∎

**قضية 26.8 (استقلال الحركتين).**

الحركة الأفقية منتظمة — إذ لا يتغير $v_x$ قط — والحركة الشاقولية هي بالضبط القذف الشاقولي في القسم السابق: فلا تذكر أيّ من المعادلتين إحداثيّ الأخرى. وخاصةً، فإن كرة تُطلق أفقيًّا وكرة تُسقط في اللحظة نفسها من الارتفاع نفسه تبقيان في مستوى واحد — وتهبطان معًا.

**برهان.** في [المبرهنة 26.7](#thm-g12-projectile-motion-equations)، لا يحوي $x(t)$ إلا $v_0\cos\alpha$، ولا يحوي $y(t)$ إلا $v_0\sin\alpha$ و$g$؛ وللكرتين $v_y(0) = 0$، ومن ثم تخضع كلتاهما للعلاقة $h = \tfrac12 gt^2$. ∎

![كرة تُسقط وكرة تُطلق أفقيًّا في اللحظة نفسها: فعند كل زمن t_1 وt_2 وt_3 يكونان على الارتفاع نفسه — فالسرعة لا تؤخّر شيئًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-c13d7b0707ad.svg)

*كرة تُسقط وكرة تُطلق أفقيًّا في اللحظة نفسها: فعند كل زمن $t_1$ و$t_2$ و$t_3$ يكونان على الارتفاع نفسه — [فالسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) لا تؤخّر شيئًا.*

**ملاحظة 26.9 (القرد الساقط).**

يصوّب حارس حديقة حيوان سهمًا مخدّرًا *مباشرةً نحو* قرد، فيترك غصنه لحظة الرمية. وهي خطوة سيئة: فيهبط السهم والقرد كلٌّ $\tfrac12 gt^2$ تحت موضعه بلا جاذبية — أي خط التصويب والغصن — فيلتقيان بالضبط، مهما تكن [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) السهم ([التمرين 26.15](#exo-g12-projectile-motion-15)).

## 26.3 القطع المكافئ، مقروءًا كاملًا

**مبرهنة 26.10 (المسار).**

بحذف $t$ بين $x(t)$ و$y(t)$: يكون [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) [مقذوف](#def-g12-projectile-motion-projectile) ($0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$) قطعًا مكافئًا مفتوحًا إلى أسفل

$$
y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .
$$

**برهان.** $t = x/(v_0\cos\alpha)$، مُعوَّضًا في $y(t)$ من [المبرهنة 26.7](#thm-g12-projectile-motion-equations). ∎

![السرعة على امتداد الطيران: لا يتغير v_x قط؛ وv_y يتقلص، وينعدم عند الذروة، ثم ينعكس — فيميل السهم، ويتبعه القطع المكافئ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-9bca4402f8e5.svg)

*[السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) على امتداد الطيران: لا يتغير $\vect v_x$ قط؛ و$\vect v_y$ يتقلص، وينعدم عند الذروة، ثم ينعكس — فيميل السهم، ويتبعه القطع المكافئ.*

**تعريف 26.11 (المدى).**

في [مقذوف](#def-g12-projectile-motion-projectile) فوق أرض مستوية، يكون *المدى* $R$ هو المسافة الأفقية المقطوعة حين يعود إلى ارتفاع إطلاقه؛ و *زمن الطيران* $t_f$ هو مدة تلك الرحلة.

**قضية 26.12 (الذروة وزمن الطيران والمدى).**

فوق أرض مستوية، مع $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$:

$$
t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad
h_{\text{الذروة}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}
\ \ \text{تُبلَغ عند } t_f/2, \qquad
R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.
$$

ويكون [المدى](#def-g12-projectile-motion-range) أعظميًّا عند $\alpha = 45{}^{\circ}$، حيث $R = v_0^2/g$؛ والزاويتان المتتامّتان $\alpha$ و$90{}^{\circ} - \alpha$ تعطيان [المدى](#def-g12-projectile-motion-range) نفسه.

**برهان.** يعطي $y = 0$ النتيجة $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$: أي الإطلاق، و$t_f$. والذروة، $v_y = 0$، تقع عند $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$؛ عوّض في $y(t)$. ثم $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g =
v_0^2\sin(2\alpha)/g$. ويبلغ الجيب ذروته عند $2\alpha = 90{}^{\circ}$، و $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} - 2\alpha) =
\sin(2\alpha)$. ∎

![سرعة الإطلاق v_0 = 10\, m/ s نفسها، وخمس زوايا: تقذف 45 أبعد؛ والزوجان (15،75) و(30،60) يهبطان معًا — أحدهما مسطّح سريع، والآخر عالٍ بطيء.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-4bb814d17b83.svg)

*[سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الإطلاق $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ نفسها، وخمس زوايا: تقذف $45{}^{\circ}$ أبعد؛ والزوجان ($15{}^{\circ}$،$75{}^{\circ}$) و($30{}^{\circ}$،$60{}^{\circ}$) يهبطان معًا — أحدهما مسطّح سريع، والآخر عالٍ بطيء.*

**مثال 26.13 (ركلة مرمى).**

يضرب حارس مرمى [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وزاوية $\alpha = 45{}^{\circ}$: $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$؛ أما الركلات [الحقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) فتهبط أقرب إلى $55\,\mathrm{m}$ — وتلك حصة الهواء.

**طريقة 26.14 (محاسبة المقذوفات).**

1. المحاور عند نقطة الإطلاق، $Ox$ أفقيًّا و $Oy$ إلى أعلى؛ وإحداثيا $\vect v_0$ .
2. تحقّق من السقوط الحر ( [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) وحده): فيكون $\vect a = (0,-g)$ ؛ ثم دالّتان أصليتان، وشرطان ابتدائيان في كل مرة.
3. والسؤال عن *موضع* : احذف $t$ (أي [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) ). والسؤال عن *لحظة* : احتفظ بالمتغير $t$ .
4. والقاموس: الذروة $\Leftrightarrow v_y = 0$ ؛ وارتفاع الإطلاق $\Leftrightarrow y = 0$ ؛ والجدار عند $d \Leftrightarrow x = d$ ؛ والأرضية $\ell$ تحت $\Leftrightarrow y = -\ell$ .
5. والسلامة: الطيران متناظر حول الذروة؛ و $R \leq v_0^2/g$ ؛ والهواء لا يفعل إلا التقصير.

## 26.4 ما الذي يغيّره الهواء

**تعريف 26.15 (السرعة الحدية).**

[مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء تعاكس [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) وتنمو معها. ولذلك لا يتسارع جسم ساقط إلا حتى توازن [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الوزنَ؛ ومن ثم يكون $\vect a = \vect 0$: فيسقط [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة هي *السرعة الحدية*.

**مثال 26.16 (رتب قدر السرعات الحدية).**

قافز بمظلة منبسط تمامًا: نحو $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). وقطرة مطر: نحو $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ولو في الخلاء لسلّم سقوط $2000\,\mathrm{m}$ إياها [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وريشة: نحو $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، تُبلغ في حدود سنتيمترات — وذلك سرّ بطئها: فهي تقضي سقوطها كله *عند* سرعتها الحدية؛ أما المطرقة فلا تقترب من سرعتها قط.

**ملاحظة 26.17 (البالستيك الحقيقي).**

تدفع [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) عكس [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) على امتداد الطيران كله: فيقصر [المدى](#def-g12-projectile-motion-range)، وتنخفض الذروة، وينكسر التناظر — فيكون النزول أشدّ انحدارًا من الصعود، وتقصر الرميات الطويلة عن القطع المكافئ قصورًا مرئيًّا. أما المعالجة الأمينة الكمّية فمعادلة تفاضلية تُحلّ في مجلد السنة الأولى؛ وهذه السنة يكون القطع المكافئ النموذجَ الصحيح للمقذوفات الكثيفة المعتدلة [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) — أي كرة سلة عند $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، لا كرة غولف عند $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

![الإطلاق نفسه، بهواء وبلا هواء: تقلّم المقاومة المدى والذروة وتُنزل المقذوف أشدّ انحدارًا مما أقلع — فتناظر القطع المكافئ أول الضحايا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-29c16ed662c2.svg)

*الإطلاق نفسه، بهواء وبلا هواء: تقلّم [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) [المدى](#def-g12-projectile-motion-range) والذروة وتُنزل [المقذوف](#def-g12-projectile-motion-projectile) أشدّ انحدارًا مما أقلع — فتناظر القطع المكافئ أول الضحايا.*

## 26.5 تمارين

**تمرين 26.1 ★.**

حجر يُسقط من جسر يصطدم بالماء بعد $2.0\,\mathrm{s}$: فما ارتفاع الجسر، وما [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الارتطام [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وبوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$؟

**حل التمرين 26.1.**

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$؛ $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**تمرين 26.2 ★.**

على القمر، أسقط رائد فضاء مطرقة وريشة معًا: فهبطتا معًا. لماذا — ولماذا تخسر الريشة خسارة فادحة على الأرض؟

**حل التمرين 26.2.**

لا هواء على القمر: فكلاهما في [سقوط حرّ](#def-g12-projectile-motion-freefall)، ويعطي $m\vect a = m\vect g$ $\vect a = \vect g$ لأي كتلة. أما على الأرض [فمقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء على الريشة مقاربة لوزنها الضئيل: فتركب [سرعة حدية](#def-g12-projectile-motion-terminal) قدرها نحو $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بينما لا تكاد المطرقة تلاحظ الهواء.

**تمرين 26.3 ★.**

بإهمال الهواء، احسب زمن السقوط [وسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الوصول من $1.0\,\mathrm{m}$ و$10\,\mathrm{m}$ و$100\,\mathrm{m}$. وكيف تنمو الأزمنة مع الارتفاع؟

**حل التمرين 26.3.**

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$، $1.4$، $4.5\,\mathrm{s}$؛ $v = gt = 4.4$، $14$، $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وتنمو الأزمنة مثل $\sqrt h$: إذ إنّ $\times 100$ في الارتفاع لا تعطي إلا $\times 10$ في الزمن.

**تمرين 26.4 ★.**

تُقذف كرة شاقوليًّا إلى أعلى [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: فما ارتفاع الذروة وزمنها، والزمن الكلي للعودة إلى اليد، [وسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) العودة؟

**حل التمرين 26.4.**

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ عند $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$؛ والعودة عند $3.06\,\mathrm{s}$، [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ مرة أخرى (بالتناظر).

**تمرين 26.5 ★.**

تتدحرج كرة زجاجية عن طاولة ارتفاعها $0.80\,\mathrm{m}$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. جِد زمن السقوط ومسافة الهبوط عن الحافة. وهل يتوقف زمن السقوط على [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الكرة؟

**حل التمرين 26.5.**

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$؛ $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$. ولا: فزمن السقوط يخصّ الحركة الشاقولية وحدها (بالاستقلال).

**تمرين 26.6 ★★.**

من شكل الزوايا الخمس في الدرس: أيّ زوجَي زاويتي قذف يشتركان في [المدى](#def-g12-projectile-motion-range)، وأيّ زاوية تفوز؟ وفي [مدى](#def-g12-projectile-motion-range) دون الأعظمي، أيّ الزاويتين الممكنتين يطير أطول؟ برّر بالعلاقة $t_f$.

**حل التمرين 26.6.**

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ و$(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ تشتركان في [المدى](#def-g12-projectile-motion-range)؛ و$45{}^{\circ}$ تفوز. والأشدّ انحدارًا من الزوج المتتامّ يطير أطول: إذ إنّ $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ ينمو مع $\alpha$.

**تمرين 26.7 ★★.**

من شرفة ارتفاعها $20\,\mathrm{m}$ تُقذف كرة شاقوليًّا *إلى أسفل* [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. جِد الزمن إلى الأرض [وسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الارتطام؛ وتحقّق من الأخيرة بميزانية [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ([الفصل 18](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#ch-g11-mechanical-energy)).

**حل التمرين 26.7.**

يعطي $4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$؛ $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وبالطاقة: $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — وهو نفسه.

**تمرين 26.8 ★★.**

يغادر [مقذوف](#def-g12-projectile-motion-projectile) أرضًا مستوية [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وزاوية $\alpha = 30{}^{\circ}$: فما [زمن الطيران](#def-g12-projectile-motion-range) وارتفاع الذروة [والمدى](#def-g12-projectile-motion-range)؟

**حل التمرين 26.8.**

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$؛ $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$؛ $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$.

**تمرين 26.9 ★★.**

نمذِج لاعب وثب طويل مقذوفًا: بإقلاع عند $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $\alpha = 20{}^{\circ}$. احسب [المدى](#def-g12-projectile-motion-range)؛ ويثب الأبطال نحو $9\,\mathrm{m}$ — سمِّ مكوّنين يهملهما النموذج النقطي.

**حل التمرين 26.9.**

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$. والمهمَل: أن [مركز الكتلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-com) يقلع عاليًا (لأن الجسم ممدود) ويهبط منخفضًا وأبعد إلى الأمام (لأن الساقين تُقذفان أمامه)، وأن الواثب ليس نقطة — فالمترات $1.7\,\mathrm{m}$ الناقصة تسكن في تلك الهندسة، لا في القطع المكافئ.

**تمرين 26.10 ★★.**

على ارتفاع $1.2\,\mathrm{m}$ فوق أرض مستوية، تُسقط رصاصة وتُطلق أخرى مطابقة أفقيًّا [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. فأيّهما تهبط أولًا؟ احسب زمن السقوط ومسافة هبوط الرصاصة المطلَقة. وأيّ مبدأ يُختبر؟

**حل التمرين 26.10.**

معًا: فلكلتيهما $v_y(0) = 0$، ومن ثم $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$ نفسه؛ وتهبط المطلَقة على بعد $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$. وهو يختبر استقلال الحركتين الأفقية والشاقولية.

**تمرين 26.11 ★★.**

بيّن جبريًّا أن $\alpha$ و$90{}^{\circ} - \alpha$ تشتركان في [المدى](#def-g12-projectile-motion-range)، ثم جِد الزاويتين اللتين تُنزلان مقذوفًا سرعته $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على بعد $50\,\mathrm{m}$.

**حل التمرين 26.11.**

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) =
\sin(2\alpha)$: [فالمدى](#def-g12-projectile-motion-range) $R$ نفسه. وهنا $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 =
9.81 \times 50/625 = 0.785$: أي $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ أو $64.1{}^{\circ}$.

**تمرين 26.12 ★★★.**

يغادر الماء خرطوم حديقة [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: فما أقصى [مدى](#def-g12-projectile-motion-range) أفقي؟ وما أقصى ارتفاع شاقولي؟ وما زاويتا الفوهة اللتان تسقيان حوض زهور يبعد $5.0\,\mathrm{m}$؟

**حل التمرين 26.12.**

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (عند $45{}^{\circ}$)؛ $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (شاقوليًّا إلى أعلى). و$\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$: $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ أو $65.0{}^{\circ}$.

**تمرين 26.13 ★★★.**

تُركل كرة من الأرض [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وزاوية $\alpha = 35{}^{\circ}$، نحو سياج نباتي ارتفاعه $4.0\,\mathrm{m}$ يبعد $15\,\mathrm{m}$. باستعمال معادلة [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)، قرّر أتجتازه أم لا، وبكم.

**حل التمرين 26.13.**

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2}
{2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$: فتتجاوز السياج $4.0\,\mathrm{m}$ بنحو $1.4\,\mathrm{m}$.

**تمرين 26.14 ★★★.**

قافز بمظلة كتلته $80\,\mathrm{kg}$ يسقط منبسطًا [بسرعة حدية](#def-g12-projectile-motion-terminal) $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (أ) فما [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance)؟ (ب) ارسم تخطيطيًّا شكل $v(t)$ من لحظة القفز. (ج) وقطرة مطر تسقط من $2.0\,\mathrm{km}$: قارن [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الوصول في الخلاء بسرعتها [الحقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؟

**حل التمرين 26.14.**

(أ) توازن [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الوزنَ: $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$. (ب) يصعد $v(t)$ بميل يتناقص باستمرار ويستوي عند $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) في الخلاء: $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أي عشرين ضعف [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) [الحقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — فقطرات المطر تقضي سقوطها كله تقريبًا عند سرعتها الحدية.

**تمرين 26.15 ★★★.**

القرد الساقط، مبرهنًا عليه: يغادر سهم المبدأ مصوَّبًا بالضبط نحو قرد على المسافة $D$ والارتفاع $H$ ($\tan\alpha = H/D$)، يترك غصنه عند $t = 0$. بيّن أنه حين يبلغ السهم $x = D$ يساوي ارتفاعه ارتفاع القرد — مهما تكن $v_0$.

**حل التمرين 26.15.**

عند $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ يكون السهم على الارتفاع $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g
t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$، وهو بالضبط ارتفاع القرد الساقط $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$. فكلاهما يتدلى $\tfrac12 gt^2$ تحت موضعه بلا جاذبية — فيلتقيان مهما تكن $v_0$.

## 26.6 مسألة: تسديدة الصافرة في كرة السلة

**مسألة 26.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تسديدة الصافرة في كرة السلة: رمية حرة مشرَّحة سهمًا سهمًا، وأطراف أصابع تُتجاوَز بسنتيمترات، ورمية من الملعب كله موزونة في مقابل ما تقدر ذراع على إعطائه، وقذفة عالية فوق اللوح — وحكم على أشدّ التسديدات مسرحيةً في الرياضة

طوق سلة كرة السلة حلقة أفقية على ارتفاع $3.05\,\mathrm{m}$ فوق الأرضية؛ وتطلق نورة كل تسديدة من $2.00\,\mathrm{m}$، ومن ثم يقع مركز الطوق، بمحاور عند نقطة الإطلاق ($Ox$ أفقيًّا نحو السلة، و$Oy$ إلى أعلى)، على ارتفاع $1.05\,\mathrm{m}$ فوق المبدأ. والهواء مهمَل إلا حيث يُذكر.

**الجزء I — الرمية الحرة.** تسدّد نورة من $d = 4.20\,\mathrm{m}$ (أفقيًّا) بزاوية قذف $\alpha = 50{}^{\circ}$.

1. فأيّ قوى تؤثر بعد الإطلاق؟ أعطِ $\vect a$ ، مستشهدًا بالقانون المستعمل.
2. اشتقّ إحداثيَي $\vect v(t)$ .
3. اشتقّ $x(t)$ و $y(t)$ .
4. احذف $t$ للحصول على [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) $y(x)$ .
5. ويجب أن تمرّ الكرة بمركز الطوق، $y(d) = 1.05\,\mathrm{m}$ : حُلّ لإيجاد $v_0$ ، [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وبوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

**الجزء II — فوق أطراف الأصابع، وداخل الحلقة.**

6. كم تستغرق الكرة لتبلغ الطوق؟
7. جِد زمن الذروة وارتفاعها؛ وتحقّق من أن الكرة نازلة أصلًا عند الطوق.
8. يمدّ مدافع على بعد $0.90\,\mathrm{m}$ أمام نورة أطراف أصابعه إلى $2.60\,\mathrm{m}$ . فبكم تتجاوزها الكرة؟
9. احسب $v_x$ و $v_y$ عند الطوق، [والسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) هناك، وزاوية [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) تحت الأفقي.
10. ولماذا يجب أن تصل الكرة *نازلة* — ولماذا شديدة الانحدار؟

**الجزء III — الرمية من الملعب كله.** والصافرة على وشك أن تنطلق، ونورة على بعد $26.0\,\mathrm{m}$ من الطوق البعيد.

11. الصعود $1.05\,\mathrm{m}$ صغير أمام $26.0\,\mathrm{m}$ : برّر نموذج الأرض المستوية، واشتقّ [زمن الطيران](#def-g12-projectile-motion-range) من $y(t_f) = 0$ .
12. استنتج $R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ وزاوية [المدى](#def-g12-projectile-motion-range) الأعظم.
13. احسب $v_0$ اللازمة لقطع $26.0\,\mathrm{m}$ عند $\alpha = 45{}^{\circ}$ .
14. ويقدر لاعب قوي على قذف كرة سلة [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) نحو $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . فما أقصى [مدى](#def-g12-projectile-motion-range) له — وهل التسديدة ممكنة بشريًّا؟
15. وعند $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، جِد *الزاويتين* اللتين تُنزلان الكرة على بعد $26.0\,\mathrm{m}$ ، وزمنَي طيرانهما: فمع $2.0\,\mathrm{s}$ على الساعة، أيّهما يسبق الصافرة؟

**الجزء IV — القذفة العالية فوق اللوح.** من خلف خط النهاية تقذف نورة قذفة عالية: بإطلاق على بعد $6.0\,\mathrm{m}$ من مركز الطوق، و$\alpha = 75{}^{\circ}$؛ ويقطع مستوي اللوح تسديدتها على بعد $0.45\,\mathrm{m}$ قبل مركز الطوق، وحافته العليا على ارتفاع $3.95\,\mathrm{m}$ فوق الأرضية.

16. جِد $v_0$ التي تُسقط الكرة عبر مركز الطوق.
17. احسب ارتفاع الكرة عند مستوي اللوح ( $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ): فهل تتجاوز الحافة العليا، وبكم؟
18. جِد ارتفاع الذروة [وزمن الطيران](#def-g12-projectile-motion-range) — ولماذا يحبّ الجمهور هذه القذفة؟
19. وما الذي تغيّره [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء نوعيًّا في هذه التسديدات الثلاث، وأيّها تهدّده أكثر؟
20. *حكم تسديدة الصافرة* ، في جملتين: قارن [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) التي تقتضيها رمية الملعب كله بما توفّره ذراع، وأعطِ الهامش، واحكم — أممكنة هي أم أسطورة؟

**حل المسألة 26.1.**

**1.** [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) وحده (والهواء مهمَل)؛ وبتطبيق [قانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second): $m\vect a = m\vect g$، ومنه $\vect a = (0,\,-g)$.

**2.** $v_x = v_0\cos\alpha$، $v_y = v_0\sin\alpha - gt$.

**3.** $x = v_0\cos\alpha\, t$، $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$.

**4.** $t = x/(v_0\cos\alpha)$: $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$.

**5.** $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha -
1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$: $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**6.** $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$.

**7.** الذروة عند $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$، وارتفاعها $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$؛ و$0.57 < 0.90$: أي نازلة عند الطوق.

**8.** $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ فوق نقطة الإطلاق، أي $2.89\,\mathrm{m}$ فوق الأرضية: أي $0.29\,\mathrm{m}$ فوق أطراف الأصابع.

**9.** $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، بزاوية $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ تحت الأفقي.

**10.** الطوق حلقة أفقية: فيجب أن تعبر الكرة مستواه من فوق. وكلما ازداد الدخول انحدارًا بدت فتحة الحلقة أكبر على امتداد [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) — أي هامش خطأ أوسع.

**11.** $1.05/26.0 = 4\%$: أي مهمَل. ويعطي $y(t_f) = 0$ $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$، ومنه $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$.

**12.** $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$؛ وأعظمي عند $\alpha = 45{}^{\circ}$.

**13.** $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} =
16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**14.** $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} >
26.0\,\mathrm{m}$: أي ممكنة، مع فائض [مدى](#def-g12-projectile-motion-range) قدره $5\,\mathrm{m}$.

**15.** $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$: $\alpha = 28.2{}^{\circ}$ أو $61.8{}^{\circ}$؛ وزمنا الطيران $2v_0\sin\alpha/g = 1.69\,\mathrm{s}$ و$3.14\,\mathrm{s}$. ولا تسبق الصافرة عند $2.0\,\mathrm{s}$ إلا التسديدة المسطّحة.

**16.** $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\,
(6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$: $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ فوق نقطة الإطلاق، أي $4.45\,\mathrm{m}$ فوق الأرضية: أي $0.50\,\mathrm{m}$ فوق الحافة العليا للوح.

**18.** الذروة $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx
7.9\,\mathrm{m}$؛ والطيران $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — أي ثانيتان كاملتان والكرة معلّقة على ارتفاع $8\,\mathrm{m}$.

**19.** تقصّر [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) كل تسديدة وتزيد انحدار النزول؛ و ينمو الأثر مع [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity)، ومن ثم تعاني رمية الملعب كله $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ أكثر — فيقصر مداها الحقيقي بضعة أمتار عن $31\,\mathrm{m}$، فيقضم الهامش.

**20.** *حكم تسديدة الصافرة*: تقتضي التسديدة $26.0\,\mathrm{m}$ [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وتوفّر الذراع نحو $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أي هامش [مدى](#def-g12-projectile-motion-range) قدره $5\,\mathrm{m}$ ($\approx 20\%$) تقلّمه [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء ولا تمحوه. فهي ممكنة — ولهذا بالضبط تدخل السلة بضع مرات في كل موسم.