---
title: "التوابع وحركة الكواكب"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 27
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/27-satellites-and-planetary-motion
---

# الفصل 27 — التوابع وحركة الكواكب

الطبق على الشرفة مثبَّت بالبراغي، ومع ذلك يحدّق طول اليوم في نقطة واحدة ثابتة من السماء، على ارتفاع $36\,000\,\mathrm{km}$؛ ومحطة الفضاء تعبر سماء المساء في دقائق؛ وكوكبة من الساعات الطائرة تخبر هاتفك أين تقف. وليس في أي من هذه الآلات محرك يعمل: فكلها ببساطة *تسقط*. ويحسب هذا الفصل كم يجب أن تسقط كلٌّ منها سرعةً وارتفاعًا — ثم يزن الكواكب بالقانون نفسه.

## 27.1 السقوط حول الأرض

كل شيء يقوم على القانون المقيس سابقًا ([الفصل 4](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#ch-g10-universal-gravitation)): فالأرض، وكتلتها $M$، تجذب تابعًا كتلته $m$ ويبعد مركزه عن مركزها $r$ [بقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) موجَّهة نحو مركز الأرض، وشدتها

$$
F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.
$$

وانتبه إلى ما هو $r$: إنها المسافة *بين المركزين*. [فالتابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) على الارتفاع $h$ له $r = R + h$، حيث $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ نصف قطر الأرض — ونسيان $R$ هو الخطأ الكلاسيكي في هذا الفصل.

**ملاحظة 27.1 (مدفع نيوتن، من جديد).**

إذا أُطلقت كرة مدفع أفقيًّا هبطت؛ وإذا أُطلقت أسرع هبطت أبعد؛ وعند [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الصحيحة تنحني الأرض مبتعدة [بالسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) نفسها التي تسقط بها الكرة، فينغلق السقوط على نفسه: أي [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite). [فالتابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) لا يحتاج محركًا — إنما يحتاج [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) *الجانبية* الصحيحة.

![مدفع نيوتن: كلما أُطلقت الكرة أسرع هبطت أبعد (بالبرتقالي)؛ وعند نحو 7.9\, km/ s يوافق سقوطها تقوّس الأرض فتدور في مدار (بالأزرق)؛ وأسرع من ذلك تفلت (بالأحمر).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-0cb214092739.svg)

*مدفع نيوتن: كلما أُطلقت الكرة أسرع هبطت أبعد (بالبرتقالي)؛ وعند نحو $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ يوافق سقوطها تقوّس الأرض فتدور في [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) (بالأزرق)؛ وأسرع من ذلك تفلت (بالأحمر).*

## 27.2 المدار الدائري: سرعة واحدة ودور واحد

**مبرهنة 27.2 (السرعة المدارية).**

[تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) في [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) دائري منتظم نصف قطره $r$ حول جسم كتلته $M$ ينتقل [بالسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity)

$$
v = \sqrt{\frac{G M}{r}},
$$

وهي لا تتوقف على كتلة [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**برهان.** [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) هي [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الوحيدة، ومن ثم يُقرأ [قانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second) ([المبرهنة 25.5](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second)) هكذا: $m\vect a = \vect F$؛ فأسقِطه على [معلم فريني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([التعريف 24.13](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet)). [والقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) مصوَّبة نحو المركز: فمركّبتها المماسّية معدومة، ومن ثم تكون [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة؛ ومركّبتها الناظمية هي $GmM/r^2$ كلها، وفي الحركة الدائرية $a_n = v^2/r$ ([المبرهنة 24.12](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#thm-g12-kinematics-2d-centripetal)). ومنه $m v^2/r =
GmM/r^2$، وبقسمة $m$ — $v^2 = GM/r$. ∎

![آلية المدار كلها: سرعة مماسّة، وقوة نحو المركز — فالجاذبية لا تبطّئ التابع قط، إنما تحني مساره أبدًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-c8b494cf6d36.svg)

*آلية [المدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) كلها: [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) مماسّة، [وقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) نحو المركز — [فالجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) لا تبطّئ [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) قط، إنما تحني مساره أبدًا.*

**قضية 27.3 (الدور المداري).**

يكمل [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) [مداره](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) في [الدور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-ucm)

$$
T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.
$$

**برهان.** الدورة الواحدة هي المحيط $2\pi r$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ثابتة؛ فأدخِل $v = \sqrt{GM/r}$: $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$. ∎

ولا يحوي $v$ ولا $T$ المقدارَ $m$: فبرغي يهتزّ حتى ينفكّ من محطة الفضاء يدور في [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) إلى جانبها. وكلاهما يهبط مع $r$: *فكلما ارتفع [المدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) بطؤ [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite)*، سرعةً ($v \propto 1/\sqrt r$) وزاويةً ($T \propto r^{3/2}$).

**مثال 27.4 (محطة الفضاء).**

تحلّق محطة الفضاء الدولية على ارتفاع $h \approx 400\,\mathrm{km}$، ومنه $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} =
6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$؛ وبأخذ $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} =
3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ يكون $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}}
\approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و$T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}
\approx 92\,\mathrm{min}$: أي دورة حول الكوكب كل ساعة ونصف، ونحو ستة عشر شروقًا في اليوم لروّاد الفضاء.

**مثال 27.5 (القمر يسقط كالتفاحة).**

القمر، على $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، يدور في $T = 27.3\,\mathrm{d} =
2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$، ومنه $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — وهو بالضبط $g/60^2$، و يقع القمر على بعد $60$ نصف قطر أرضي: فالجذب الذي يُسقط التفاحة يحني القمر، مضعَّفًا بمربع المسافة في المقام. وفي كل [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) “يسقط” القمر نحو $1.4\,\mathrm{mm}$ نحونا، ويحمله كيلومتره الجانبي حولنا — وهو التحقّق الذي أجراه نيوتن سنة 1666.

## 27.3 قوانين كبلر

لم يخمّن نيوتن مربع المسافة في المقام: بل استخرجه من ثلاث انتظامات استخلصها يوهانس كبلر، بين 1609 و1619، من عشرين سنة من مواضع الكواكب التي رصدها تيخو براهي بالعين المجردة — وهي أفضل معطيات عالم ما قبل المقراب.

**تعريف 27.6 (الإهليلج).**

*الإهليلج* مجموعة النقاط التي يكون مجموع مسافاتها إلى نقطتين ثابتتين، هما *البؤرتان*، ثابتًا؛ ونصف أطول أقطاره هو *نصف المحور الأكبر* $a$، والدائرة هي الحالة التي تنطبق فيها البؤرتان. وأقرب نقاط [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) كوكب إلى الشمس وأبعدها هما *الحضيض* و*الأوج*.

**مبرهنة 27.7 (قوانين كبلر).**

في الكواكب الدائرة حول الشمس (وكتلتها $M$):

1. كل [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) [إهليلج](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) والشمس في إحدى بؤرتيه؛
2. والقطعة الواصلة بين الشمس والكوكب تكنس مساحات متساوية في أزمنة متساوية؛
3. ونسبة مربع [الدور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-ucm) إلى مكعب [نصف المحور الأكبر](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) هي نفسها لكل الكواكب: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ .

والقوانين نفسها تحكم أي عائلة من التوابع حول أي جسم مركزي، حيث $M$ الكتلة المركزية.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 27.8 (ما نقدر أن نبرهن عليه هذه السنة).**

في [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) *دائري* يكون القانون الثالث لنا: فتربيع [القضية 27.3](#prop-g12-satellites-kepler-period) يعطي $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — أي ثابتًا واحدًا لكل [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) للمركز نفسه. أما كون الإهليلجات والمساحات المتساوية والصيغة العامة $a$ تنتج عن مربع المسافة في المقام فيُبيَّن، بمزيد من التحليل، في مجلد السنة الأولى. وفي الأثناء يمكن قراءة القانون الثاني: فالكوكب أسرع ما يكون عند [الحضيض](#def-g12-satellites-kepler-ellipse)، حيث يجب أن تسرع قطعة الكنس القصيرة.

![قانون كبلر الثاني: في شهر واحد قرب الحضيض P يكنس الكوكب قطاعًا قصيرًا سمينًا؛ وقرب الأوج A، قطاعًا طويلًا نحيلًا — بمساحتين متساويتين: فهو يسرع إذا قرب، ويتباطأ إذا بعد.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-cbe18ade31cd.svg)

*قانون كبلر الثاني: في شهر واحد قرب [الحضيض](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) $P$ يكنس الكوكب قطاعًا قصيرًا سمينًا؛ وقرب [الأوج](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) $A$، قطاعًا طويلًا نحيلًا — بمساحتين متساويتين: فهو يسرع إذا قرب، ويتباطأ إذا بعد.*

![الكواكب الثمانية على محاور لوغاريتمية مزدوجة: مستقيم ميله 3/2، أي T2 a3 — وهو قانون كبلر الثالث، الذي يُقرأ في هذه الوحدات (الوحدات الفلكية والسنوات) ببساطة T2 = a3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-02cfbe452fad.svg)

*الكواكب الثمانية على محاور لوغاريتمية مزدوجة: مستقيم ميله $3/2$، أي $T^2 \propto a^3$ — وهو قانون كبلر الثالث، الذي يُقرأ في هذه الوحدات (الوحدات الفلكية والسنوات) ببساطة $T^2 = a^3$.*

## 27.4 المدارات في العمل

**تعريف 27.9 (المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض).**

يكون [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) *ثابتًا بالنسبة إلى الأرض* إذا تعلّق فوق نقطة أرضية واحدة ثابتة. ويجب أن يكون [مداره](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) دائريًّا استوائيًّا، ودوره *يوم نجمي* واحد، $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ($23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$): أي الزمن الذي تدور فيه الأرض دورة *بالنسبة إلى النجوم*. (أما اليوم $24\,\mathrm{h}$ فهو بالنسبة إلى الشمس، التي تتقدم الأرض نحوها درجةً في اليوم أيضًا.)

**مثال 27.10 (ارتفاع المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض).**

قانون كبلر الثالث، مقروءًا معكوسًا، يملي نصف القطر: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} =
\left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3}
\approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — أي ارتفاع $h = r - R \approx
3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$، يُقطع [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v = 2\pi r/T
\approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. فكل مرحّل “يتعلّق ساكنًا” يقع على هذه الدائرة الواحدة فوق خط الاستواء — ولا دائرة سواها.

**مثال 27.11 (كوكبة الملاحة).**

تحلّق منظومات الملاحة بالتوابع بنحو ثلاثين تابعًا على $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (بارتفاع $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$)، حيث يعطي [القضية 27.3](#prop-g12-satellites-kepler-period) [الدور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-ucm) $T \approx
4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: أي نصف [يوم نجمي](#def-g12-satellites-kepler-geo)، ومن ثم يعيد كل [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) اقتفاء أثره الأرضي يوميًّا. ويقارن مستقبِلك أزمنة وصول إشارات ساعاتها بمدارات معلومة إلى [المتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**طريقة 27.12 (وزن عالم من تابعه).**

لقياس كتلة كوكب أو نجم: جِد أي [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) له (قمرًا أو مسبارًا أو كوكبًا)، وقِس نصف قطر [مداره](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) $r$ ودوره $T$، واقلب القانون الثالث:

$$
M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.
$$

وهذا لا يزن إلا الجسم *المركزي* — إذ تلاشت كتلة [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) في [المبرهنة 27.2](#thm-g12-satellites-kepler-speed). وكل كتلة في بطاقة المعطيات جاءت بهذه الطريقة: فالأرض من القمر، والشمس من [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) الأرض نفسه.

**ملاحظة 27.13 (الأعلى أبطأ — لكنه أغلى).**

بما أن $v = \sqrt{GM/r}$، يزحف القمر [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ بينما تنطلق المحطة [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. ومع ذلك يكون [المدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) الأعلى *أغلى*: فالصعود ضد [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) يخزّن [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) كامنة (وتُسوَّى الحسابات في [الفصل 29](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/29-work-and-mechanical-energy#ch-g12-work-and-energy))، و [الكسب](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) في $E_p$ يفوق الخسارة في $E_k$. ومن هنا يحرق صاروخ وقودًا *إلى الأمام* ليبلغ مدارًا أعلى أبطأ — وتابعٌ يكبحه هواء رقيق يتحلزن *نازلًا* ويتسارع.

**ملاحظة 27.14 (بطاقة المعطيات).**

ما لم يُذكر خلاف ذلك: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$؛ والأرض: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$، $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$، [واليوم النجمي](#def-g12-satellites-kepler-geo) $86\,164\,\mathrm{s}$؛ [ومدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) القمر: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، $T =
27.3\,\mathrm{d}$؛ والشمس: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$؛ والمسافة بين الأرض والشمس $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$؛ والسنة الواحدة $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$؛ والمريخ: $M =
6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$، $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$.

## 27.5 تمارين

**تمرين 27.1 ★.**

[تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) كتلته $1000\,\mathrm{kg}$ يقف على منصة الإطلاق، ثم يحلّق على ارتفاع $400\,\mathrm{km}$. احسب جذب الأرض في الموضعين: فأيّ نسبة مئوية تبقى في الأعلى — ولماذا يطفو من على متنه؟

**حل التمرين 27.1.**

على المنصة: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx
9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$. وعلى $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$: $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — أي ما يزال $89\%$ من القيمة الأرضية. ويطفو من على المتن لأنهم *يسقطون* مع المحطة، لا لأن [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) زالت.

**تمرين 27.2 ★.**

في [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) (نظري) يلامس سطح الأرض ($r = R$)، احسب [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) المدارية [والدور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-ucm). وقارن ذلك بكرة مدفع نيوتن ([الملاحظة 27.1](#rem-g12-satellites-kepler-cannon)).

**حل التمرين 27.2.**

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx
7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx
84\,\mathrm{min}$. وهي بالضبط $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ لكرة المدفع: [فالمدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) الملامس *هو* رمية نيوتن.

**تمرين 27.3 ★.**

يُنقل [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) من [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) دائري نصف قطره $r$ إلى [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) نصف قطره $2r$. فبأي عامل تتغير سرعته ودوره؟ وهل تتوقف الأجوبة على كتلته؟

**حل التمرين 27.3.**

$v \propto 1/\sqrt{r}$: أي مقسومة على $\sqrt 2 \approx 1.41$. و$T \propto r^{3/2}$: أي مضروب في $2^{3/2} \approx 2.8$. ولا يحوي أيّ منهما $m$: فلا.

**تمرين 27.4 ★.**

أعِد حساب أرقام المحطة: انطلاقًا من $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$، احسب $v$ و$T$، وعدد المدارات المكتملة في $24\,\mathrm{h}$.

**حل التمرين 27.4.**

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$؛ و$86\,400/5546 \approx 15.6$ مدارًا في اليوم.

**تمرين 27.5 ★.**

اذكر [قوانين كبلر](#thm-g12-satellites-kepler-kepler) الثلاثة. وأين يكون مذنّب أسرع ما يكون على إهليلجه الشديد الاستطالة، وأيّ قانون يقول ذلك؟ وهل يتوقف [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-period) [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) على كتلته هو؟

**حل التمرين 27.5.**

إهليلجات والشمس في إحدى البؤرتين؛ ومساحات متساوية في أزمنة متساوية؛ و$T^2/a^3$ متطابقة لكل الكواكب. وأسرع ما يكون عند [الحضيض](#def-g12-satellites-kepler-ellipse)، بالقانون الثاني (فقطعة الكنس القصيرة يجب أن تكنس سريعًا). ولا: فكتلة [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) تتلاشى — ولا تدخل إلا الكتلة المركزية.

**تمرين 27.6 ★★.**

زِن الأرض: انطلاقًا من نصف قطر [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) القمر ودوره (من بطاقة المعطيات)، احسب كتلة الأرض وقارنها بقيمة البطاقة.

**حل التمرين 27.6.**

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) =
2.24 \times 10^{27}/371 \approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — أي في حدود $1\%$ من $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**تمرين 27.7 ★★.**

تقترح شركة تابعًا يتعلّق دائمًا فوق باريس (على خط العرض $49^\circ$ شمالًا). انطلاقًا من جهة [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four)، اشرح لماذا يكون مركز كل [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) دائري مركز الأرض؛ واستنتج أن الاقتراح مستحيل. وأين *يقدر* [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) أن يتعلّق؟

**حل التمرين 27.7.**

تتجه [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) نحو مركز الأرض، وفي الحركة الدائرية تتجه [القوة المحصّلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-netforce) نحو مركز الدائرة: فينطبق المركزان. أما دائرة فوق دائرة عرض باريس فمركزها على المحور، لا مركز الأرض — وذلك مستحيل. ولا يفلح التعلّق إلا حيث تكون دائرة العرض دائرة عظمى مركزها المركز: أي فوق *خط الاستواء*.

**تمرين 27.8 ★★.**

يدور فوبوس حول المريخ على $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ في $T = 7\,\mathrm{h}
39\,\mathrm{min}$. استنتج كتلة المريخ؛ وقارنها ببطاقة المعطيات.

**حل التمرين 27.8.**

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) =
3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — أي مريخ بطاقة المعطيات.

**تمرين 27.9 ★★.**

يدور المريخ حول الشمس على $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ في $687\,\mathrm{d}$. احسب $T^2/a^3$ للمريخ وللأرض (من بطاقة المعطيات)، وتحقّق من قانون كبلر الثالث، واستنتج كتلة الشمس.

**حل التمرين 27.9.**

الأرض: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} =
2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$. والمريخ: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — وهما متساويان، كما يقتضي القانون الثالث. ومنه $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19})
\approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$.

**تمرين 27.10 ★★.**

اختبار نيوتن للقمر: انطلاقًا من بطاقة المعطيات، احسب [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) القمر و تسارعه المركزي $a = v^2/r$. وبيّن أنه يساوي $g/60^2$، وقل لماذا أقنع ذلك نيوتن بأن قانونًا واحدًا يحكم التفاحة والقمر.

**حل التمرين 27.10.**

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $a = v^2/r =
2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. فالقمر يقع على بعد $60$ نصف قطر أرضي، وسقوطه أضعف $60^2$ مرة من سقوط التفاحة: أي بمربع المسافة في المقام بالضبط — فقانون واحد لكليهما.

**تمرين 27.11 ★★.**

بوحدات الشمس (الوحدات الفلكية والسنوات) يُقرأ قانون كبلر الثالث $T^2 = a^3$: أي مستقيم المخطط اللوغاريتمي المزدوج في الدرس. ضع عليه الكويكب سيريس، $a = 2.77\,\mathrm{au}$، ومذنّب هالي، $a = 17.8\,\mathrm{au}$: واحسب الدورين. وقد مرّ هالي [بالحضيض](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) آخر مرة سنة 1986 — فمتى يُنتظر عودته؟

**حل التمرين 27.11.**

سيريس: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{yr}$. وهالي: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{yr}$، ومنه يكون [الحضيض](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) التالي نحو $1986 + 75 \approx 2061$.

**تمرين 27.12 ★★★.**

يمسح هواء رقيق المحطة، ومع ذلك *تزداد* سرعتها كلما فقدت ارتفاعًا. احسب $v$ على الارتفاعين $400\,\mathrm{km}$ و $350\,\mathrm{km}$، ثم حُلّ المفارقة: [فالاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) يبطّئ الأشياء — فمن أين تأتي [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الزائدة؟

**حل التمرين 27.12.**

عند $400\,\mathrm{km}$: $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وعند $350\,\mathrm{km}$ ($r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [والاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) يستنزف [الطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) فعلًا — فيتقلص [المدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite)؛ لكن في طريق النزول يردّ شغل [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) أكثر مما تخسره [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) [بالمقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance): فيهبط $E_m$ بينما ترتفع $E_k$.

**تمرين 27.13 ★★★.**

يجد مقراب كوكبًا خارجيًّا يدور حول نجمه على $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ كل $3.50\,\mathrm{d}$. زِن النجم، [بالكيلوغرام](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) وبوحدات الشمس. وأيّ كتلة — كتلة النجم أم الكوكب — *لا يمكن* الحصول عليها بهذه الطريقة، ولماذا؟

**حل التمرين 27.13.**

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: أي $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) =
1.65 \times 10^{31}/6.10 \approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ شمسًا. أما كتلة *الكوكب* فبعيدة المنال: إذ تلاشت من معادلات [المدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**تمرين 27.14 ★★★.**

يريد مستوطنو المريخ مرحّلًا “ثابتًا بالنسبة إلى المريخ” فوق قاعدتهم. ويدور المريخ بالنسبة إلى النجوم في $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$: احسب نصف قطر [المدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) والارتفاع فوق سطح المريخ (من بطاقة المعطيات).

**حل التمرين 27.14.**

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$، $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$: $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$، ومنه $r \approx
2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ و$h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx
17\,000\,\mathrm{km}$ فوق سطح المريخ.

**تمرين 27.15 ★★★.**

يمرّ مذنّب هالي [بالحضيض](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) على $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$؛ وأوجه على $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$. وعند الطرفين تكون [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) عمودية على القطعة الواصلة بين الشمس والمذنّب، ويفرض قانون كبلر الثاني عندئذٍ $r_p v_p = r_a v_a$ (بمثلثَي كنس متساويي المساحة $\tfrac12 r v\,\Delta t$). استنتج [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) [الأوج](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) وعلّق على النسبة.

**حل التمرين 27.15.**

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} /
5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وبما أن $r_a/r_p \approx 60$، يكون المذنّب أبعد $60$ مرة وأبطأ $60$ مرة: فيقضي عقودًا يتباطأ في الظلام وأسابيع ينطلق أمام الشمس.

## 27.6 مسألة: مقعد فوق خط الاستواء

**مسألة 27.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — وضع [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) فوق خط الاستواء: لماذا يكون موقف السماء الوحيد دائرةً على ارتفاع $35\,800\,\mathrm{km}$، وكيف يقارَن بالمحطة المنطلقة تحته، وكيف يزن القانون نفسه المشتري في الطريق

تريد شركة اتصالات مرحّلًا لا تضطر أطباقها الأرضية، وقد ثُبّتت مرة واحدة، إلى مطاردته أبدًا: أي تابعًا [ثابتًا بالنسبة إلى الأرض](#def-g12-satellites-kepler-geo). وأنت محلّل المهمة؛ فاستعمل بطاقة المعطيات. وللجزء IV: يدور قمر المشتري آيو على $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ في $T = 1.77\,\mathrm{d}$، ويدور المشتري بالنسبة إلى النجوم في $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$.

**الجزء I — قواعد التعلّق ساكنًا.**

1. يجب أن يبقى [التابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) فوق نقطة أرضية واحدة ثابتة. فماذا يجب أن يكون دوره — ولماذا [اليوم النجمي](#def-g12-satellites-kepler-geo) $86\,164\,\mathrm{s}$ لا $24\,\mathrm{h}$ ؟
2. في الحركة الدائرية تتجه [القوة المحصّلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-netforce) نحو مركز الدائرة؛ وهنا [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الوحيدة هي [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) . استنتج أن مركز أي [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) دائري هو مركز الأرض.
3. ودائرة تتعلّق فوق خط عرض باريس سيكون مركزها على محور الأرض، شمال المركز. واستنتج: في أي مستوٍ يجب أن يقع [مدار ثابت بالنسبة إلى الأرض](#def-g12-satellites-kepler-geo) ؟
4. اكتب [قانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second) في [معلم فريني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet) من أجل [مدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) دائري نصف قطره $r$ واشتقّ $v = \sqrt{GM/r}$ .
5. استنتج $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ وأعِد كتابته على صورة قانون كبلر الثالث $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

**الجزء II — الدائرة الوحيدة التي تفي.**

6. حُلّ القانون الثالث لإيجاد $r$ واحسب نصف قطر [المدار الثابت بالنسبة إلى الأرض](#def-g12-satellites-kepler-geo) .
7. استنتج الارتفاع فوق الأرض.
8. احسب [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) المدارية من $v = 2\pi r/T$ .
9. وتحقّق منها بالعلاقة $v = \sqrt{GM/r}$ .
10. وكتلة [تابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) الشركة $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ؛ [وتابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) منافس كتلته ضعف ذلك. قارن نصفَي قطر مداريهما الثابتين بالنسبة إلى الأرض، وقل ما الذي تغيّره الكتلة الزائدة عند الإطلاق.

**الجزء III — المحطة تحته.**

11. تحلّق محطة الفضاء على $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : احسب سرعتها.
12. احسب دورها، بالثواني وبالدقائق.
13. وكم مدارًا تكمل في $24\,\mathrm{h}$ — وكم شروقًا تقريبًا يشاهد روّاد الفضاء في اليوم؟
14. احسب نسبة نصفَي القطر $r_{\text{الثابت}}/r_{\text{المحطة}}$ ، وتحقّق من أن نسبة الدورين هي ذلك العدد مرفوعًا إلى [الأس](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) $3/2$ ، كما يقتضي قانون كبلر الثالث.
15. وأيّ التابعين أسرع، وأيّهما كلّف [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) أكبر لكل [كيلوغرام](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) لوضعه؟ ووفّق بينهما في جملة واحدة.

**الجزء IV — [وزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) المشتري على الهامش.**

16. انطلاقًا من قانون كبلر الثالث مطبَّقًا على آيو، عبّر عن كتلة المشتري $M_J$ بدلالة $G$ و $r$ و $T$ .
17. احسب $M_J$ .
18. وكم كتلة أرضية هي؟ وأيّ جزء تقريبًا من كتلة الشمس؟
19. ومرحّل “ثابت بالنسبة إلى المشتري” يجب أن يتعلّق فوق نقطة من سحب المشتري: احسب نصف قطر [مداره](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) ؛ وقارنه [بمدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) آيو.
20. ارفع تقريرًا إلى مجلس الإدارة، في جملتين: الارتفاع الذي يجب أن تركن فيه الشركة مرحّلها، وكتلة المشتري التي سلّمها القانون نفسه مجانًا.

**حل المسألة 27.1.**

**1.** $T = 86\,164\,\mathrm{s}$: فالأرض تدور *بالنسبة إلى النجوم* دورةً في [اليوم النجمي](#def-g12-satellites-kepler-geo)؛ أما اليوم $24\,\mathrm{h}$ فيضيف الدرجة في اليوم التي تتقدمها الأرض حول الشمس.

**2.** [القوة المحصّلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-netforce) في الحركة الدائرية مصوَّبة نحو مركز الدائرة؛ [والقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الوحيدة، وهي [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four)، مصوَّبة نحو مركز الأرض: فالمركزان نقطة واحدة.

**3.** ودائرة تتعلّق فوق باريس سيكون مركزها على المحور شمال المركز — وهو مستبعَد بالسؤال 2. فيجب أن يقع [المدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) في *المستوي الاستوائي*.

**4.** المركّبة الناظمية [لقانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second): $m v^2/r = GmM/r^2$، ومنه $v = \sqrt{GM/r}$ (فتتلاشى $m$).

**5.** $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$؛ وبالتربيع، $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$.

**6.** $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} =
(7.49 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$.

**7.** $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx
3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$.

**8.** $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx
3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx
3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — وهو متسق.

**10.** نصفا القطر متطابقان: فالكتلة تلاشت في السؤال 4. [والتابع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) الأثقل لا يغيّر إلا فاتورة الإطلاق — أي مزيدًا من الوقود [للمدار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-satellite) نفسه.

**11.** $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx
7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**12.** $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx
92.4\,\mathrm{min}$.

**13.** $86\,400/5546 \approx 15.6$ مدارًا: أي نحو $16$ شروقًا في اليوم.

**14.** $r_{\text{الثابت}}/r_{\text{المحطة}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6}
= 6.23$؛ و$6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — أي قانون كبلر الثالث، متحقَّقًا منه في الحال.

**15.** المحطة أسرع ($7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ مقابل $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$)، ومع ذلك كلّف الثابت بالنسبة إلى الأرض [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) أكبر لكل [كيلوغرام](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): فالصعود في [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الكامنة يفوق خسارة [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity).

**16.** $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$.

**17.** $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $M_J =
2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx 1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$.

**18.** $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ أرضًا — ونحو $1/1000$ من الشمس.

**19.** $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) =
4.11 \times 10^{24}$، $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — أما آيو، على $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، فيطير أعلى $2.6$ مرة وينجرف عبر سماء المشتري.

**20.** اركن المرحّل على الدائرة الاستوائية ذات الارتفاع $35\,800\,\mathrm{km}$، حيث يركب [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ولا يغادر تصويب الطبق أبدًا؛ والقانون نفسه، إذا غُذّي بشهر آيو، [وزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) المشتري عند $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — أي $318$ أرضًا — مجانًا.