---
title: "المذبذبات الميكانيكية وقياس الزمن"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 28
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time
---

# الفصل 28 — المذبذبات الميكانيكية وقياس الزمن

تدقّ ساعة الجدّ: وكل دقّة نوّاس نحاسي يعبر الوضع الشاقولي، مكررًا خمسة عشر مليون مرة منذ رأس السنة. وشظية كوارتز في ساعتك تنثني $32\,768$ مرة في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)؛ [وذرة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-ladder) سيزيوم تدندن أسرع تسعة مليارات مرة. وكل ما يتأرجح يقدر أن يحفظ الوقت: ويتبع هذا الفصل التأرجح، من هويغنس إلى التوابع.

## 28.1 التذبذبات الحرة

**تعريف 28.1 (المذبذب والدور والتواتر والسعة).**

*المذبذب الميكانيكي* جملة، إذا أُزيحت عن *موضع توازن* مستقر وأُطلقت، تأرجحت جيئةً وذهابًا حوله: وتلك هي *التذبذبات الحرة*. وتتكرر الحركة بعد *الدور* $T_0$ ($\mathrm{s}$)؛ و *التواتر* $f_0 = 1/T_0$ ($\mathrm{Hz}$، [الفصل 20](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/20-mechanical-waves#ch-g12-mechanical-waves))؛ و *السعة* هي الإزاحة القصوى.

**مثال 28.2 (حديقة حيوان من المذبذبات).**

أرجوحة ملعب: $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$. ووتر لا في قيثارة: $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$. وبلورة كوارتز: $32\,768\,\mathrm{Hz}$. وتذبذب السيزيوم الذي يعرّف [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): نحو $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$. أي عشر رتب من القدر، ووظيفة واحدة: العدّ.

## 28.2 النوّاس البسيط

**تعريف 28.3 (النوّاس البسيط).**

*النوّاس البسيط*: كرة صغيرة كتلتها $m$ على سلك غير قابل للاستطالة طوله $L$ وكتلته مهمَلة، تتأرجح في مستوٍ شاقولي. ومن القوتين المؤثرتين في الكرة ([الفصل 25](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#ch-g12-newtons-laws))، يكون [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) عموديًّا على الحركة، بينما تتجه مركّبة [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) على امتداد [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) عائدةً نحو أخفض نقطة: [فالوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) هو *[القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) المرجِعة*، وهي تعاكس الإزاحة.

![القوى على الكرة: الشدّ T عمودي على الحركة؛ والجزء المماسّي P_t من الوزن يتجه دائمًا عائدًا نحو الوضع الشاقولي — وهو القوة المرجِعة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-4439374d74c4.svg)

*القوى على الكرة: [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $\vect T$ عمودي على الحركة؛ والجزء المماسّي $\vect{P_t}$ من [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) يتجه دائمًا عائدًا نحو الوضع الشاقولي — وهو [القوة المرجِعة](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum).*

**قضية 28.4 (دور النوّاس البسيط).**

في السعات الصغيرة (دون نحو $15^\circ$)، يكون [الدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)

$$
T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
$$

وهو لا يتوقف على كتلة الكرة ولا — ما دامت الزاوية صغيرة — على [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): فالتأرجحات الصغيرة *متساوية الأزمنة*، وتستغرق كلها الزمن نفسه.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 28.5 (التحليل البُعدي، وأين يسكن 2π2\pi2π).**

يمكن تخمين الصيغة. فمن $m$ ($\mathrm{kg}$) و$L$ ($\mathrm{m}$) و $g$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$)، يكون التركيب الوحيد الذي له [وحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) زمن هو $\sqrt{L/g}$ — والكتلة *لا تقدر* أن تدخل، إذ لا معطى آخر يحمل كيلوغرامًا يلغيها. ولا تقدر الأبعاد أن تعطي العدد الخالص في المقدمة: إذ إنّ $2\pi$ تأتي من حلّ معادلة الحركة، وهو ما يُجرى في مجلد السنة الأولى. كما أن شرط الزاوية الصغيرة ليس اختياريًّا: فعند $30^\circ$ يكون [الدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) الحقيقي أطول بمقدار $2\%$، ويخفق [تساوي الأزمنة](#prop-g12-oscillators-and-time-pendulum-period).

**مثال 28.6 (نوّاس الثواني).**

أيّ طول يدقّ [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$، دقةً في كل اتجاه؟ بالحلّ، $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx
0.994\,\mathrm{m}$. أي قرابة [المتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): ولذلك تكون ساعات النوّاس طويلة، لأن الثواني طويلة.

## 28.3 مذبذب الزنبرك والكتلة

**تعريف 28.7 (القوة المرجِعة لزنبرك).**

منزلقة كتلتها $m$ تنزلق على سكة أفقية بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)، مربوطة بزنبرك *صلابته* $k$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$). وليكن $x$ إزاحتها عن التوازن. فالزنبرك، ممدودًا كان أو مضغوطًا، يسحب المنزلقة أو يدفعها عائدةً [بالقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) $F = -kx$: متناسبةً مع الإزاحة ومعاكسةً لها — أي [قوة مرجِعة](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) مرة أخرى، توفّرها المرونة الآن.

**قضية 28.8 (معادلة الحركة وحلّها).**

يعطي [قانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second) على امتداد السكة ([الفصل 25](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#ch-g12-newtons-laws)) العلاقة $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$، أي $\frac{d^2x}{dt^2} =
-\frac{k}{m}\,x$. ومهما يكن الثابتان $A$ و$\varphi$، فإن

$$
x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right),
\qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},
$$

يحقق هذه المعادلة: أي تذبذب دوره $T_0$، مستقل عن [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**برهان.** بالاشتقاق، $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi
t}{T_0} + \varphi)$؛ وبالاشتقاق مرة أخرى، $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2
A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) = -(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$، وهو $-(k/m)\,x$ بالضبط حين $(2\pi/T_0)^2 = k/m$. ∎

**ملاحظة 28.9 (كل الحركات الموجودة).**

أما كون *كل* حركة للمنزلقة واحدةً من هذه الدوال فمقبول، ومبرهن عليه في مجلد السنة الأولى. ولا وجود للمقدار $g$ في $2\pi\sqrt{m/k}$: فالأصلب يتأرجح أسرع، والأثقل أبطأ، والأمر نفسه على القمر.

**تعريف 28.10 (السعة والطور).**

في $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ يكون الثابت الموجب $A$ هو [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — فالطرفان $x = \pm A$ — ويكون $2\pi t/T_0 +
\varphi$ هو *الطور*، وينمو بمقدار $2\pi$ في كل [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)؛ و*الطور الابتدائي* $\varphi$ يسجّل البداية: فإذا أُطلقت من السكون عند $x = A$، كان $\varphi = 0$. فمثلًا $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ على $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ يعطي $T_0 =
2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$؛ وإذا سُحبت إلى $5.0\,\mathrm{cm}$ ثم أُطلقت، كان $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ بالسنتيمترات.

## 28.4 الطاقة والتخامد والرنين

**قضية 28.11 (طاقة المذبذب).**

الزنبرك الممدود بمقدار $x$ يخزّن [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الكامنة المرنة $E_p =
\tfrac12 kx^2$ (مبرَّرة في [الفصل 29](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/29-work-and-mechanical-energy#ch-g12-work-and-energy)). وأثناء التذبذب بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) تكون [الطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em)

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2
$$

ثابتة: مرنةً كلها عند الطرفين، وحركيةً كلها عند التوازن. ويعزف النوّاس الثنائية نفسها بين $E_k$ و$E_p$ الثقالية ([الفصل 18](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#ch-g11-mechanical-energy)).

**برهان.** بأخذ $v = \frac{dx}{dt}$، تكون مشتقة $E_m$ هي $mv\frac{dv}{dt}
+ kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ بحسب معادلة الحركة؛ وتُقرأ القيمة $\tfrac12 kA^2$ عند طرف. ∎

![دور واحد، بالإطلاق من x = A: تتموّج الطاقة مرتين من مرنة إلى حركية وبالعكس، والمجموع مثبَّت عند 1/2 kA2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-8ff1ad638f9a.svg)

*[دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) واحد، بالإطلاق من $x = A$: تتموّج [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) مرتين من مرنة إلى حركية وبالعكس، والمجموع مثبَّت عند $\tfrac12 kA^2$.*

**تعريف 28.12 (التذبذبات المتخامدة).**

يستنزف [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) [الطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) من كل [مذبذب](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) حقيقي: فتكون تذبذباته الحرة *متخامدة*. وتحت تخامد خفيف تظل الجملة تتذبذب، [بسعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) تحتضر لكن بزمن تكرار شبه ثابت، هو *شبه [الدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)*، القريب من $T_0$؛ وتحت تخامد شديد (كالعسل) تزحف عائدة إلى التوازن دون أن تتجاوزه قط؛ أما [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)، وهي تتناسب مع مربع [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)، فتتفكك إلى حرارة.

![تذبذبات غير متخامدة وأخرى خفيفة التخامد: بالدور نفسه تقريبًا (2.0\, s هنا)، والسعة المتخامدة تحتضر داخل غلاف أسّي متقلص (بالمتقطع).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-a341419a3639.svg)

*تذبذبات غير [متخامدة](#def-g12-oscillators-and-time-damping) وأخرى خفيفة [التخامد](#def-g12-oscillators-and-time-damping): [بالدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) نفسه تقريبًا ($2.0\,\mathrm{s}$ هنا)، [والسعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [المتخامدة](#def-g12-oscillators-and-time-damping) تحتضر داخل غلاف أسّي متقلص (بالمتقطع).*

**تعريف 28.13 (التذبذبات القسرية والرنين).**

ادفع مذبذبًا دوريًّا — وهي *التذبذبات القسرية* — فيتذبذب بعد [طور](#def-g12-oscillators-and-time-phase) عابر قصير [بتواتر](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) *الإثارة* $f$، لا بتواتره هو. وتبلغ سعته ذروتها حين يقترب $f$ من *[التواتر](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) الذاتي* $f_0$ [للمذبذب](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) الحرّ: وهذا هو *الرنين*، إذ تصل كل دفعة على وتيرة الحركة، فتغذّيها [بالطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) في كل دورة؛ وكلما خفّ [التخامد](#def-g12-oscillators-and-time-damping) ارتفعت الذروة وحدّت.

![منحني الرنين: السعة القسرية بدلالة تواتر الإثارة. وقرب f = f_0 تشمخ الاستجابة، وترتفع كلما خفّ التخامد.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-f474d7f2771a.svg)

*منحني [الرنين](#def-g12-oscillators-and-time-resonance): [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) القسرية بدلالة [تواتر](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) الإثارة. وقرب $f = f_0$ تشمخ الاستجابة، وترتفع كلما خفّ [التخامد](#def-g12-oscillators-and-time-damping).*

**مثال 28.14 (الرنين خيرًا وشرًّا).**

الوالد الذي يدفع أرجوحة يدفعها بتواترها هي — أي [الرنين](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) موضوعًا في العمل. وفي $2000$ تمايل جسر الألفية الجديد في لندن تمايلًا مقلقًا حين تعانقت خطى الحشد مع [تواتر ذاتي](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) قرب $1\,\mathrm{Hz}$؛ فأُغلق سنتين لتركيب مخمِدات. وكل ساعة كوارتز تُبقي بلورتها تغنّي بإثارتها عند [الرنين](#def-g12-oscillators-and-time-resonance)، $32\,768\,\mathrm{Hz}$.

## 28.5 قياس الزمن

**طريقة 28.15 (توقيت دور).**

لا توقّت تذبذبة واحدة أبدًا: بل شغّل ساعة الإيقاف عند عبور الكرة الوضع الشاقولي (فهي أسرع ما تكون، وأسهل ما يكون الحكم عليها)، وعُدّ $N = 50$ تذبذبة، واقسم على $N$ — فيصير خطأ ردّ فعل قدره $0.2\,\mathrm{s}$ مقدارَ $4\,\mathrm{ms}$ على $T_0$. ثم كرّر، وقارن التجارب.

**مثال 28.16 (ثلاثة قرون من الدقّ).**

بنى هويغنس أول ساعة نوّاس سنة $1657$: فنقل [تساوي الأزمنة](#prop-g12-oscillators-and-time-pendulum-period) الساعاتِ من ربع ساعة من الانحراف في اليوم إلى ثوانٍ، ونقلتها النوّاسات المعوَّضة إلى أجزاء من [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) في اليوم. ثم استبدلت ساعة اليد بالكوارتز ($1969$) بالقضيب بلورةً تنثني عند $32\,768\,\mathrm{Hz}$: أي أعشار [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) في الشهر. ومنذ $1967$ صارت [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) نفسها *معرَّفة* بتذبذب ذرّي: أي مدة $9\,192\,631\,770$ [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) من الإشعاع المكروي لانتقال داخلي في السيزيوم-133 ([الفصل 34](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/34-the-quantum-world-photons-and-energy-levels#ch-g12-quantum-world)). وأفضل ساعات السيزيوم تنحرف [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) واحدة في مئة مليون سنة.

**ملاحظة 28.17 (لماذا نطارد النانوثانية).**

يجد مستقبِل GPS موضعه بتوقيت إشارات لاسلكية من التوابع؛ والضوء يقطع $30\,\mathrm{cm}$ في النانوثانية، ومن ثم فإن خطأ ساعة قدره ميكروثانية واحدة يخطئ موضعك بمقدار $300\,\mathrm{m}$. ولذلك تحمل التوابع ساعات ذرّية — وعند تلك الدقة يتوقف معدل الساعة على [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) حركتها وعلى ارتفاعها، وهو أثر نلقاه في [الفصل 35](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/35-special-relativity-time-dilation#ch-g12-special-relativity).

## 28.6 تمارين

**تمرين 28.1 ★.**

(أ) احسب [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [نوّاس بسيط](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) طوله $1.00\,\mathrm{m}$ وتواتره. (ب) ويُضرب الطول في أربعة: فماذا يحدث [للدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)؟

**حل التمرين 28.1.**

(أ) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$؛ $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$. (ب) $T_0 \propto \sqrt{L}$: فيتضاعف [الدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**تمرين 28.2 ★.**

ينبض قلب مستريح $72$ مرة في الدقيقة؛ ويرفّ جناح يعسوب عند $30\,\mathrm{Hz}$. أعطِ [تواتر](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) القلب ودوره، [ودور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) الجناح؛ وأيّ كلمة من كلمات الفصل تسمّي أقصى ارتفاع للصدر في كل نبضة؟

**حل التمرين 28.2.**

القلب: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$، $T = 0.83\,\mathrm{s}$. والجناح: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$. وارتفاع الصدر هو *[السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)*.

**تمرين 28.3 ★.**

منزلقة كتلتها $0.10\,\mathrm{kg}$ تركب زنبركًا [صلابته](#def-g12-oscillators-and-time-spring) $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$: احسب $T_0$ و$f_0$. وماذا تفعل مضاعفة الكتلة [بالدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)؟

**حل التمرين 28.3.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$، $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$. ومضاعفة $m$: $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$.

**تمرين 28.4 ★.**

عظميات متتالية [لمذبذب](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) متخامد: $2.0$، $1.5$، $1.13$، $0.85\,\mathrm{cm}$ عند $t = 0$، $2.0$، $4.0$، $6.0\,\mathrm{s}$. اقرأ [شبه الدور](#def-g12-oscillators-and-time-damping)؛ وبيّن أن [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) تهبط بعامل ثابت في كل [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)؛ وتنبّأ بالعظمى التالية.

**حل التمرين 28.4.**

[شبه الدور](#def-g12-oscillators-and-time-damping) $2.0\,\mathrm{s}$. والنسب $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13
= 0.75$ في كل [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)؛ والعظمى التالية $0.85 \times 0.75 \approx
0.64\,\mathrm{cm}$.

**تمرين 28.5 ★.**

يحمل رائد فضاء نوّاسًا [ومذبذب](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) زنبرك وكتلة إلى القمر ($g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). فبأي عامل يتغير كل [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)؟ اشرح.

**حل التمرين 28.5.**

النوّاس: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$، ومنه $\times\sqrt{9.81/1.62} =
2.46$ (أي أبطأ). [ومذبذب الزنبرك والكتلة](#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period): لا يتغير — إذ لا $g$ في $2\pi\sqrt{m/k}$.

**تمرين 28.6 ★★.**

(أ) تحقّق من أن $\sqrt{L/g}$ له بُعد زمن. (ب) ولماذا لا تقدر أي صيغة [للدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0$ مبنية من $m$ و$L$ و$g$ أن تحوي الكتلة؟ (ج) وهل يقدر هذا الاستدلال أن ينتج $2\pi$ يومًا؟

**حل التمرين 28.6.**

(أ) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$؛ وجذره التربيعي زمن. (ب) ولا يظهر [الكيلوغرام](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) إلا في $m$: فلا شيء آخر يقدر أن يلغيه، ومن ثم لا تقدر $m$ أن تدخل. (ج) ولا أبدًا: فالأعداد الخالصة مثل $2\pi$ غير مرئية للأبعاد.

**تمرين 28.7 ★★.**

تحقّق بالاشتقاق مرتين من أن $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 +
\varphi)$ يحقق $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ إذا وفقط إذا كان $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

**حل التمرين 28.7.**

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$، ومنه $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$. والمساواة مع $-(k/m)x$ من أجل كل $t$ تصحّ بالضبط حين $(2\pi/T_0)^2 = k/m$، أي $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

**تمرين 28.8 ★★.**

زنبرك [صلابته](#def-g12-oscillators-and-time-spring) $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ يحمل منزلقة كتلتها $0.20\,\mathrm{kg}$ [بسعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $3.0\,\mathrm{cm}$. احسب [الطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) [والسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) القصوى. وأين تكون [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) أعظمية؟ وأين تنعدم؟

**حل التمرين 28.8.**

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 =
1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$؛ $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} =
0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — عند $x = 0$؛ وتنعدم عند الطرفين $x = \pm A$.

**تمرين 28.9 ★★.**

(أ) احسب طول نوّاس الثواني ($T_0 =
2.00\,\mathrm{s}$). (ب) ويزداد طوله بمقدار $1.0\%$: بأخذ $\sqrt{1+x}
\approx 1 + x/2$، جِد التغير النسبي [للدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0$ والخطأ اليومي.

**حل التمرين 28.9.**

(أ) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$. (ب) $\Delta T_0/T_0 =
\tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$: $86400 \times 0.005 \approx
4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — أي سبع دقائق تأخّرًا في اليوم.

**تمرين 28.10 ★★.**

[مذبذب](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) خفيف [التخامد](#def-g12-oscillators-and-time-damping) يفقد $5.0\%$ من طاقته في كل [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). (أ) فما هبوط [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) في [الدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)؟ (ب) وكم دورًا لفقدان نصف [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)؟ (ج) وهل [شبه الدور](#def-g12-oscillators-and-time-damping) بعيد عن $T_0$؟

**حل التمرين 28.10.**

(أ) $A \propto \sqrt{E}$: $\sqrt{0.95} \approx 0.975$، أي هبوط قدره $2.5\%$. (ب) $0.95^n = 0.5$: $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ دورًا. (ج) ولا: ففي [التخامد](#def-g12-oscillators-and-time-damping) الخفيف يبقى في حدود جزء من المئة من $T_0$.

**تمرين 28.11 ★★.**

اشرح بمنحني [الرنين](#def-g12-oscillators-and-time-resonance): (أ) لماذا لا ينفع دفع الأرجوحة إلا بإيقاعها هي؛ (ب) ولماذا يكسر الجنود الخطى على الجسور المعلّقة للمشاة؛ (ج) ولماذا ترتجف غسّالة عند [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) واحدة أثناء تسارع العصر.

**حل التمرين 28.11.**

(أ) عند $f_0$ تصل كل دفعة على وتيرة الحركة فتضيف [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)؛ وبعيدًا عن الذروة تساعد الدفعات وتعوق بالتناوب. (ب) والمشي على الخطى إثارة [دورية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-period)؛ وقرب $f_0$ الخاص بالجسر كانت ستتسلق ذروة [الرنين](#def-g12-oscillators-and-time-resonance). (ج) وتمسح الحلّة [التواتر الذاتي](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) للهيكل أثناء تسارع الدوران: [فرنين](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) لحظي، ثم تجاوز للذروة.

**تمرين 28.12 ★★★.**

ساعة نوّاس مضبوطة عند مستوى البحر تُنقل إلى مرصد حيث $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (أ) فهل تسرع أم تبطئ؟ وبكم [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) في اليوم؟ (ب) وبكم يجب أن يقصر نوّاسها $0.994\,\mathrm{m}$؟

**حل التمرين 28.12.**

(أ) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$: أي بطيئة، بمقدار $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12
\times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$، أي $\approx 132\,\mathrm{s}$ في اليوم. (ب) و$L \propto g$ عند $T_0$ ثابتة: فقصّرها بمقدار $0.994 \times
0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$.

**تمرين 28.13 ★★★.**

منزلقة كتلتها $0.20\,\mathrm{kg}$ تخضع للعلاقة $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$، مع $A =
4.0\,\mathrm{cm}$، $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$. احسب [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) القصوى، والتسارع الأقصى، [والصلابة](#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$، [والطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em).

**حل التمرين 28.13.**

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ $k = m(2\pi/T_0)^2
= 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$؛ $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$.

**تمرين 28.14 ★★★.**

لقياس $g$: نوّاس طوله $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ يتمّ $20$ تذبذبة في $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$. احسب $g$ وارتيابه النسبي (بجمع ارتيابَي $L$ و$T_0^2$)؛ فهل توافق النتيجة $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؟

**حل التمرين 28.14.**

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$؛ $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2
\times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. والارتياب $\approx 0.2\%
+ 2 \times 0.5\% = 1.2\%$، أي $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: [فالمجال](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/14-electric-and-gravitational-fields#def-g11-electric-gravitational-fields-field) يحوي $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — وهو متسق.

**تمرين 28.15 ★★★.**

قارن حافظات الوقت بالانحراف النسبي (أي الخطأ على الزمن المنقضي): ساعة نوّاس تخسر $10\,\mathrm{s}$ في اليوم، وساعة كوارتز $0.5\,\mathrm{s}$ في الشهر، وساعة سيزيوم $1\,\mathrm{s}$ في مئة مليون سنة: احسب النسب الثلاث. وساعة GPS خاطئة بمقدار $1\,\text{µ}\mathrm{s}$: فما خطأ الموضع؟ وأيّ عائلة يحتاجها GPS؟

**حل التمرين 28.15.**

النوّاس $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$؛ والكوارتز $0.5/2.6 \times 10^{6}
\approx 1.9 \times 10^{-7}$؛ والسيزيوم $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$. وخطأ قدره $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ يعطي $1000 \times 30\,\mathrm{cm} =
300\,\mathrm{m}$ في الموضع: فنظام GPS يحتاج العائلة الذرّية.

## 28.7 مسألة: طاولة الساعاتي

**مسألة 28.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — طاولة الساعاتي: ساعة جدار تُعاد إلى الوقت — خمسون تأرجحة موقَّتة، وقضيب نحاسي يتمدد في الصيف، ودفعة آلية الإفلات المهموسة، ومنافس من الكوارتز — والحكم يصدر بالثواني في الشهر

تصل ساعة جدار بنوّاس إلى الطاولة “تشتغل خطأً”. عامِل قضيبها النحاسي وكرتها الثقيلة نوّاسًا بسيطًا طوله الفعّال $L$، وكتلة كرته $m = 1.2\,\mathrm{kg}$؛ ويعدّ التعشيق كل تذبذبة كاملة على أنها $2.000\,\mathrm{s}$ بالضبط.

**الجزء I — قياس نبض الساعة.**

1. لماذا نوقّت $50$ تذبذبة بدل واحدة؟ قدّر الخطأ الباقي على $T_0$ إذا كان زمن ردّ فعلك $0.2\,\mathrm{s}$ .
2. تقرأ ساعة الإيقاف $99.4\,\mathrm{s}$ من أجل $50$ تذبذبة: فما [الدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ؟
3. استنتج الطول الفعّال الحالي للنوّاس.
4. وأيّ طول يعطي $2.000\,\mathrm{s}$ بالضبط؟ وهل يجب أن ترفع صامولة الضبط الكرةَ أم تخفضها، وبكم؟
5. وإذا لم تُضبط، فهل الساعة سريعة أم بطيئة، وبكم [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) في اليوم؟
6. والحساسية للمقدار $g$ : ما [الدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) على القمر ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )؟ وما الخطأ اليومي في مرصد حيث $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؟

**الجزء II — تراخي الصيف.** النحاس يتمدد: فتسخين قدره $\Delta\theta$ يمدّ القضيب إلى $L' = L\,(1 + \lambda\,
\Delta\theta)$، حيث $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ لكل [كلفن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-kelvin). وقد ضُبطت الساعة عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

7. احسب $\Delta L$ لغرفة صيفية عند $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
8. باستعمال $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ ، بيّن أن $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
9. احسب $\Delta T_0/T_0$ والخطأ الصيفي اليومي: أسريعة أم بطيئة؟
10. والسؤالان نفساهما لممرّ شتوي عند $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
11. استعملت ساعات الدقة القديمة نوّاسات “المشواة” التي تمزج قضبانًا نحاسية بأخرى فولاذية (وهي تتمدد نحو النصف) في اتجاهين متناوبين. اشرح كيف يقدر ذلك على حفظ المعدل.

**الجزء III — الدفعة المهموسة.** وبفكّ آلية الإفلات، ينتصف تأرجح بدأ [بسعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\theta_m = 2.00^\circ$ في $280\,\mathrm{s}$؛ وفي الخدمة تبقي دفعة ضئيلة من آلية الإفلات في كل [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\theta_m$ ثابتة.

12. كم دورًا يستغرق التنصيف؟
13. وعند الطرف تكون الكرة قد صعدت $h = L(1 - \cos\theta_m)  \approx L\,\theta_m^2/2$ (بالراديان): استنتج $E_m = \tfrac12  m g L\,\theta_m^2$ واحسبها ( [الفصل 18](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#ch-g11-mechanical-energy) ).
14. [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) تتناسب مع مربع [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) : فأيّ جزء من $E_m$ يضيع في كل [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ؟
15. استنتج [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) كل دفعة، [والاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) المتوسطة اللازمة.
16. وينزل ثقل الإدارة $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ مسافة $h =  1.0\,\mathrm{m}$ في الأسبوع: فهل تكفي تلك [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ، وبأي [مردود](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) ؟

**الجزء IV — منافس الكوارتز.** حركة كوارتز تتذبذب عند $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ وتنحرف نحو $0.3\,\mathrm{s}$ في الشهر؛ والنوّاس المرمَّم ما يزال ينحرف $0.5\,\mathrm{s}$ في اليوم.

17. احسب [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) الكوارتز. وبيّن أن $32\,768 = 2^{15}$ : فلماذا تكون [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) من قوى العدد اثنين هي بالضبط ما تريده دارة ساعة؟
18. احسب الانحرافين النسبيين للكوارتز وللنوّاس المرمَّم، وكلًّا منهما بالثواني في الشهر. فمن يفوز، وبأي عامل؟
19. ومعيار السيزيوم — إذ يصنع $9\,192\,631\,770$ [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ثانيةً واحدة — ينحرف $1\,\mathrm{s}$ في مئة مليون سنة: فما انحرافه النسبي؟ وبكم رتبة من القدر يقلّ عن الكوارتز، ولماذا يقتضيه GPS؟
20. الحكم، في جملة واحدة بأرقامها: ما الذي تكسبه الساعة المرمَّمة على الجدار، ومن يملك [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) الآن؟

**حل المسألة 28.1.**

**1.** يُقسم خطأ ردّ الفعل $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ على $50$: أي نحو $4\,\mathrm{ms}$ على $T_0$.

**2.** $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$.

**3.** $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx
0.982\,\mathrm{m}$.

**4.** $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (أي نوّاس الثواني): فأخفض الكرة، بإطالة قدرها $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$.

**5.** قصير أكثر مما ينبغي، ومن ثم سريع أكثر مما ينبغي: فهي سريعة، بمقدار $(2.000 -
1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ دقيقة في اليوم.

**6.** القمر: $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — أي غير صالحة للاستعمال. والمرصد: $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 =
5.1 \times 10^{-4}$: فتخسر $\approx 44\,\mathrm{s}$ في اليوم.

**7.** $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times
1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx
0.1\,\mathrm{mm}$.

**8.** $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} =
T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12
\lambda\Delta\theta)$.

**9.** $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times
5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$: أي $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx
4.1\,\mathrm{s}$ في اليوم، متأخرةً (فالقضيب أطول، [والدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) أطول).

**10.** $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$: $\Delta T_0/T_0 =
-9.5 \times 10^{-5}$، فتكسب $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ في اليوم.

**11.** يتمدد الفولاذ والنحاس تمددين مختلفين؛ وإذا عُلّقا في اتجاهين متناوبين، خفضت القضبان النحاسية الكرةَ بينما ترفعها الفولاذية. وإذا قُدّرت الأبعاد بحيث تتلاشى الإزاحتان، بقي الطول الفعّال — ومعه المعدل — سالمًا من الفصول.

**12.** $280/2.000 = 140$ دورًا.

**13.** $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$: $E_m =
\tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx
7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$.

**14.** في كل [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) تتقلص [السعة](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) بمقدار $2^{-1/140} \approx
0.9951$، [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) بمقدار $0.9951^2 \approx 0.990$: أي نحو $1.0\%$ من $E_m$ في [الدور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**15.** الدفعة $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} =
7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$؛ [والاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — أي عشرات الميكروواطات.

**16.** الأسبوع $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ [دور](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)، ويحتاج $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$؛ ويوفّر الثقل $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$: أي ما يكفي، [بمردود](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) $21/24.5 \approx 88\%$.

**17.** $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$. و$32\,768
= 2^{15}$: فخمس عشرة مرحلة قسمة على اثنين تحوّل [إشارة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-signal) البلورة إلى دقّة $1\,\mathrm{Hz}$ بالضبط.

**18.** الكوارتز: $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$. والنوّاس: $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$، أي $\approx
15\,\mathrm{s}$ في الشهر. فيفوز الكوارتز بعامل $\approx 50$.

**19.** $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$: أي تسع رتب من القدر دون الكوارتز. وGPS يوقّت الإشارات إلى النانوثانية — و$30\,\mathrm{cm}$ من انتقال الضوء لكلٍّ — فلا تفي إلا الساعات الذرّية.

**20.** تحفظ ساعة الجدار، مرمَّمةً، $\pm15\,\mathrm{s}$ في الشهر في مقابل $\pm0.3\,\mathrm{s}$ للكوارتز: فاحتفظ بها من أجل الرنّة، وثِق بالكوارتز من أجل القطار — أما [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) نفسها فتخصّ الآن [ذرة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-ladder) السيزيوم.