---
title: "الشغل والطاقة الميكانيكية"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 29
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/29-work-and-mechanical-energy
---

# الفصل 29 — الشغل والطاقة الميكانيكية

أسقِط كرة زجاجية في سلطانية: فتغوص، وتتجاوز القاع، و تصعد إلى ارتفاع انطلاقها، وتتردد، ثم ترتدّ — ويمكن التنبؤ بكل ارتداد من منحنٍ واحد (هو مقطع السلطانية) وخط أفقي واحد (هو [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الكرة)، دون حلّ أي معادلة حركة. وقد سعّرت السنة الماضية القوى على المستقيمات ([الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#ch-g11-work-of-force)) ووازنت [الطاقة الحركية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-kinetic) بالكامنة ([الفصل 18](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#ch-g11-mechanical-energy))؛ وهذه السنة تذهب المحاسبة إلى كل مكان: المسارات المنحنية، والزنبركات، والمناظر بنظرة واحدة.

## 29.1 الشغل على أي مسار

**تعريف 29.1 (الشغل على مسار).**

لتؤثر [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) $\vect F$ في جسم يتحرك على أي [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) من $A$ إلى $B$: قطّع [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) إلى انتقالات $\vect{\dd\ell}$ قصيرة إلى حدّ يجعل كلًّا منها مستقيمًا ولا تكاد $\vect F$ تتغير عليه. فتكسب كل خطوة [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) الصغير $\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta$ ([الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#ch-g11-work-of-force))، ويكون *الشغل على المسار* هو مجموعها، $W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell}$ — وهو ينهار على [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) مستقيم [بقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) ثابتة إلى صيغة السنة الماضية $F \times AB \times \cos\theta$.

![المسار المنحني خط مكسور من خطوات قصيرة كثيرة: فتكسب كل المقدارَ F\,؛ والشغل هو المجموع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-0e501691baea.svg)

*[المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) المنحني خط مكسور من خطوات قصيرة كثيرة: فتكسب كل $\vect{\dd\ell}$ المقدارَ $F\,\dd\ell\cos\theta$؛ [والشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) هو المجموع.*

**قضية 29.2 (شغل الوزن على أي مسار).**

على *أي* [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) من $A$ (على الارتفاع $z_A$) إلى $B$ (على الارتفاع $z_B$)، ينجز [وزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) كتلة $m$ [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) $W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B)$: فيدخل الهبوط، ولا يدخل الطريق أبدًا.

**برهان.** تسهم كل خطوة قصيرة بالمقدار $mg \times (\text{الهبوط الصغير})$ (وهو حساب القطعة المستقيمة في السنة الماضية)؛ وتتداخل الهبوطات لتعطي $z_A - z_B$. فالحالة المنحنية، المقبولة عندئذٍ، صارت مسلَّمة. ∎

**تعريف 29.3 (القوى المحافظة وغير المحافظة).**

تكون [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) *محافظة* إذا كان شغلها بين نقطتين واحدًا على كل [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) (ومعدومًا على كل رحلة ذهاب وإياب)، و*غير محافظة* فيما عدا ذلك. [فالوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) [وقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الزنبرك (في القسم التالي): محافظتان. أما [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) الانزلاق فلا: إذ يعاكس الحركة، فينجز $W = -fL$ على [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) طوله $L$ — أي رسمًا على كل [متر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، لا يُردّ أبدًا.

**مثال 29.4 (دربان إلى الكوخ).**

متنزّه كتلته $75\,\mathrm{kg}$ يكسب $300\,\mathrm{m}$ على درب حادّ طوله $800\,\mathrm{m}$ أو $2.4\,\mathrm{km}$ من المنعطفات المتعرّجة. ويفرض [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) $-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ على كليهما؛ [وقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) قدرها $30\,\mathrm{N}$ تفرض $-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ على أحدهما و$-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ على الآخر. [والوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) يردّ في النزول؛ أما فاتورة [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) فتذهب حرارةً، في الاتجاهين.

## 29.2 الطاقة الكامنة

**تعريف 29.5 (الطاقة الكامنة).**

تُرفَق بكل [قوة محافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative) *طاقة كامنة* $E_p$، وهي عدد لا يتوقف إلا على الموضع، ويُعرَّف بالعلاقة $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B)$: [فالشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) الموصَّل [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) كامنة منفَقة. وتثبيت $E_p = 0$ عند نقطة مرجعية مختارة يثبّتها في كل مكان؛ و الاختيار يزيح كل القيم بثابت يتلاشى من كل فرق. وهذا يعيد في حالة [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) صيغة السنة الماضية $E_p = mgz$، صحيحةً الآن على أي [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory). ولا يمكن أن تكون [للاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $E_p$: فالفاتورة المتوقفة على الطريق ليست فرقًا بين عددين عند الطرفين — ولا تخزّن بقابلية الاسترجاع إلا القوى [المحافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative)، وهو بالضبط ما يحافظ عليه الاسم.

**قضية 29.6 (الطاقة الكامنة المرنة).**

زنبرك [صلابته](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$) ممدود أو مضغوط بمقدار $x$ يسحب عائدًا [بالقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) $F = kx$ ([الفصل 28](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#ch-g12-oscillators-and-time))؛ [والشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) الذي يوصّله عائدًا إلى السكون — أي *طاقته الكامنة المرنة* — هو $E_p = \tfrac12\, k x^2$.

**برهان.** تؤثر [القوة المرجِعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) على امتداد الحركة، ومن ثم يكون $\sum F\,\dd\ell$ هو *المساحة تحت مخطط $F$–$x$*: أي مثلث قاعدته $x$ و ارتفاعه $kx$، ومساحته $\tfrac12 x \times kx$. [والقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) عند كل استطالة هي نفسها ذهابًا وإيابًا: [فالشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) تثبّته الطرفان، [وقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الزنبرك [محافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative)، و$E_p$ معرَّفة تعريفًا جيدًا. ∎

![قوة الزنبرك تنمو مع الاستطالة؛ والطاقة المخزونة هي المساحة تحت المستقيم: أي مثلث، 1/2 × x × kx.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-332fb3686c69.svg)

*[قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الزنبرك تنمو مع الاستطالة؛ [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة هي المساحة تحت المستقيم: أي مثلث، $\tfrac12 \times x \times kx$.*

## 29.3 مبرهنتا الطاقة

**مبرهنة 29.7 (مبرهنة الطاقة الحركية).**

في أي حركة لجسم كتلته $m$ من $A$ إلى $B$ — منحنيةً كانت أو ملتفّة أو ثلاثية الأبعاد —

$$
\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),
$$

والمجموع على كل القوى المؤثرة في الجسم.

**برهان.** بما أن $v^2 = \scal{v}{v}$، تعطي قاعدة الجداء في رياضيات هذه السنة مشتقةَ $v^2$ بالصورة $2\,\scal{a}{v}$، ومنه $\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{الكلية}}}{v}$ [بقانون نيوتن الثاني](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#thm-g12-newtons-laws-second) ([الفصل 25](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#ch-g12-newtons-laws)). وفي زمن قصير $\dd t$ ينتقل الجسم $\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t$: فتكسب $E_k$ [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) الصغير [للقوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [التعريف 29.1](#def-g12-work-and-energy-path)؛ وجمع الخطوات يجمع الأشغال — وهي عبارة السنة الماضية المقبولة، مكسوبةً كاملة. ∎

**قضية 29.8 (الاستطاعة اللحظية).**

في كل لحظة توصّل [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) $\vect F$ على جسم سرعته $\vect v$ الاستطاعةَ $P = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta$، و $\dd E_k/\dd t$ هو مجموع استطاعات كل القوى: أي صيغة السنة الماضية عند [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الثابتة، مضبوطةً في كل لحظة من أي حركة.

**برهان.** اقرأها من البرهان السابق: فكل [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) تغذّي $\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t$ في $E_k$ خلال $\dd t$. ∎

**مبرهنة 29.9 (مبرهنة الطاقة الميكانيكية).**

ليكن $E_m = E_k + E_p$، حيث يجمع $E_p$ الطاقات الكامنة لكل القوى [المحافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative) العاملة. عندئذٍ، على أي [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)،

$$
\Delta E_m = W_{AB}(\text{القوى غير المحافظة}),
$$

وتنحفظ $E_m$ كلما لم تنجز القوى [غير المحافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative) شغلًا.

**برهان.** جزّئ مبرهنة [الطاقة الحركية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-kinetic): $\Delta E_k = W_{\text{المحافظة}} +
W_{\text{غير المحافظة}} = -\Delta E_p + W_{\text{غير المحافظة}}$؛ وانقل $\Delta E_p$ إلى الطرف الآخر. ∎

**مثال 29.10 (النوّاس، بأمانة هذه المرة).**

كرة نوّاس على سلك طوله $L = 2.5\,\mathrm{m}$ تُطلق من السكون عند $45{}^{\circ}$ عن الوضع الشاقولي. [والشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)، وهو عمودي على الحركة، عديم [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power)؛ [والوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) محافظ: فتنحفظ $E_m$ *على القوس المنحني*، وهو ما لم يكن يمكن في السنة الماضية إلا التحقق منه. وتبدأ الكرة على ارتفاع $h = L(1 - \cos45{}^{\circ}) =
0.73\,\mathrm{m}$، ومن ثم عند الأسفل $v = \sqrt{2gh} \approx
3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**طريقة 29.11 (تدقيق طاقي لأي حركة).**

1. اختر الجملة وأحصِ القوى المؤثرة فيها.
2. صنّف: فالعمودية على الحركة $\to$ لا شغل لها؛ [والمحافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative) $\to$ تعطي $E_p$ في $E_m$ ؛ والباقية $\to$ $W_{\text{غير المحافظة}}$ ( [واحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) الانزلاق: $-fL$ ، حيث $L$ = طول [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) ).
3. اكتب $\Delta E_m = W_{\text{غير المحافظة}}$ بين نقطة المعطيات و نقطة السؤال؛ وحُلّ. [فالطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) تجيب عن “كم [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) وكم الارتفاع”؛ ولا يحتاج قوانين نيوتن إلا الزمن والتسارع.

## 29.4 مخططات الطاقة

**تعريف 29.12 (مخطط الطاقة ونقاط الارتداد).**

في حركة على محور واحد $x$ مع $E_m$ محفوظة، يرسم *مخطط الطاقة* المنحني $E_p(x)$ والخط الأفقي $E_m$. وبما أن $E_k = E_m - E_p \geq 0$، تنحصر الحركة حيث يقع المنحني تحت الخط؛ والفجوة بينهما هي $E_k$، مقروءةً مباشرة. وعند *نقطة ارتداد*، حيث يلاقي المنحني الخط، تكون $v = 0$ وترتدّ الحركة.

![مخطط طاقة، مقروء دون حلّ أي شيء: فبالطاقة E_m يتذبذب الجسم بين x_1 وx_2، وأسرع ما يكون حيث تكون الفجوة أكبر؛ وبالطاقة E_m' يزحف فوق التلّ ويفلت.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-c929d10714f7.svg)

*مخطط [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)، مقروء دون حلّ أي شيء: فبالطاقة $E_m$ يتذبذب الجسم بين $x_1$ و$x_2$، وأسرع ما يكون حيث تكون الفجوة أكبر؛ وبالطاقة $E_m'$ يزحف فوق التلّ [ويفلت](#rem-g12-work-and-energy-escape).*

**قضية 29.13 (القوة من المنظر؛ أوضاع التوازن).**

[القوة المحافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative) على امتداد $x$ هي سالب ميل $E_p$: أي $F = -\,\dd E_p/\dd x$ — فهي تتجه *نازلةً* على المخطط، وتنعدم حيث يكون المماسّ أفقيًّا: أي عند توازن. والصغرى في $E_p$ توازن *مستقر* — إذ يُدفع الجسم المزاح عائدًا، ككرة في وادٍ؛ والعظمى توازن *غير مستقر* — إذ يُدفع بعيدًا، ككرة على قمة تلّ.

**برهان.** على خطوة صغيرة $\dd x$ تنجز [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) $F\,\dd x = E_p(x) -
E_p(x + \dd x) = -\dd E_p$؛ فاقسم على $\dd x$. والنزول على أي من جانبَي وادٍ يشير عائدًا إلى الداخل؛ وحول قمة تلّ، إلى الخارج. ∎

**ملاحظة 29.14 (التذبذبات والإفلات).**

التذبذبات الصغيرة في [الفصل 28](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#ch-g12-oscillators-and-time) تسكن في قيعان وديان $E_p$. وبعيدًا عن الأرض تضعف [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four): فيصعد منحني $E_p(r)$ ببطء متزايد نحو سقف منتهٍ (فالمساحة تحت مخطط [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) المتقلص منتهية). والصاروخ الذي تبلغ $E_m$ الخاصة به السقفَ لا يلاقي [نقطة ارتداد](#def-g12-work-and-energy-diagram) أبدًا: فهو *يفلت* — بنحو $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ من الأرض ([التمرين 29.13](#exo-g12-work-and-energy-13))؛ ودون ذلك يبقى مقيَّدًا. أما السقف نفسه فيُحسب في مجلد السنة الأولى.

**مثال 29.15 (الحلقة الرأسية).**

كرة زجاجية تُطلق من الارتفاع $H$ تنساب إلى حلقة عمودية نصف قطرها $R$. ويقتضي ديناميك الدوران ([الفصل 25](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#ch-g12-newtons-laws)) أن $v_{\text{القمة}}^2 \geq gR$ عند القمة — وهو المعطى الذي استعارته مسألة الأفعوانية في السنة الماضية، وقد صار لنا الآن. ويعطي الانحفاظ من السكون عند $H$ إلى القمة (على الارتفاع $2R$) العلاقةَ $v_{\text{القمة}}^2 = 2g(H - 2R)$، ومنه $H \geq \tfrac52 R$: أي نصف نصف قطر فوق قمة الحلقة، مهما تكن الكتلة — وأكثر قليلًا في العالم الحقيقي المحتكّ.

![الحلقة الرأسية: تقع نقطة الإطلاق على نصف نصف قطر فوق القمة، فتُبقي E_k الفائضة الكرةَ مضغوطة (v_ القمة2 = gR).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-c2d2a0856dab.svg)

*الحلقة الرأسية: تقع نقطة الإطلاق على نصف نصف قطر فوق القمة، فتُبقي $E_k$ الفائضة الكرةَ مضغوطة ($v_{\text{القمة}}^2 = gR$).*

## 29.5 تمارين

**تمرين 29.1 ★.**

زنبرك [صلابته](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ممدود بمقدار $5.0\,\mathrm{cm}$. احسب [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة؛ وماذا تصير إذا تضاعفت الاستطالة؟ وكم تكلّف *الاستطالة* $5.0\,\mathrm{cm}$ [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)؟

**حل التمرين 29.1.**

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$. ومضاعفة الاستطالة: $\times 4$، أي $1.0\,\mathrm{J}$. أما $5.0\,\mathrm{cm}$ [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) وحدها فتكلّف $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — إذ تكون [القوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) هناك أكبر.

**تمرين 29.2 ★.**

مسيّرة كتلتها $0.90\,\mathrm{kg}$ تطير على [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) متعرّج من شرفة على $z = 12\,\mathrm{m}$ إلى شرفة على $z = 30\,\mathrm{m}$. فما شغل وزنها؟ وعلى الصعود المستقيم؟ وفي رحلة الذهاب والإياب؟

**حل التمرين 29.2.**

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx
-1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$، مهما يكن الطريق — وهو نفسه على الصعود المستقيم. وفي رحلة الذهاب والإياب: $0\,\mathrm{J}$ ([فالقوة محافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative)).

**تمرين 29.3 ★.**

[محافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative) أم [غير محافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative) أم عديمة [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work)؟ برّر من المسارات: (أ) [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight)؛ (ب) [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) الزنبرك؛ (ج) [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) الانزلاق؛ (د) [القوة الناظمية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#def-g12-newtons-laws-friction) على صندوق منزلق؛ (ه) [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء.

**حل التمرين 29.3.**

(أ) و(ب) محافظتان: [فالشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) تثبّته الطرفان (هبوط الارتفاع؛ والاستطالة). و(ج) و(ه) غير محافظتين: إذ يفرض $-fL$ وتفرض [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) رسمًا على كل [متر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) مقطوع. و(د) عديمة [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work): فهي عمودية دائمًا على الحركة.

**تمرين 29.4 ★.**

نوّاس طوله $2.0\,\mathrm{m}$ يُطلق من السكون عند $60{}^{\circ}$ عن الوضع الشاقولي. جِد سرعته عند أخفض نقطة. ولماذا لا يدخل [شدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) السلك في الميزانية أبدًا؟

**حل التمرين 29.4.**

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$؛ $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. أما [الشدّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) فعمودي على الحركة في كل لحظة: فلا [استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-power) له، ولا شغل.

**تمرين 29.5 ★.**

تركب راكبة دراجة [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على المستوي، وتوصّل $250\,\mathrm{W}$: فأيّ [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) كلية تصارع؟ وإذا صعدت [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ [بالاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) نفسها: فأيّ [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) تتغلب عليها؟

**حل التمرين 29.5.**

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$. وعند $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (وهي في معظمها مركّبة الثقل على المنحدر).

**تمرين 29.6 ★★.**

زنبرك قاذفة لعبة ($k = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$) يُضغط بمقدار $8.0\,\mathrm{cm}$ خلف سهم كتلته $20\,\mathrm{g}$. جِد [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة، [وسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الإطلاق، والارتفاع المبلوغ إذا قُذف شاقوليًّا إلى أعلى (بلا هواء).

**حل التمرين 29.6.**

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$؛ $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$.

**تمرين 29.7 ★★.**

بمطّ شريط مطاطي، يقيس تلميذ $F = 0$، $3.0$، $7.0$، $12.0$، $18.0\,\mathrm{N}$ عند $x = 0$، $2.0$، $4.0$، $6.0$، $8.0\,\mathrm{cm}$. قدّر [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة بمساحات أشباه المنحرفات؛ وقارنها بالمقدار $\tfrac12 kx^2$، بأخذ $k = F/x$ عند النهاية. ولماذا تختلفان؟

**حل التمرين 29.7.**

أشباه المنحرفات ($2.0\,\mathrm{cm}$ خطوات): $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) =
0.62\,\mathrm{J}$. والنموذج المستقيم: $k = 18.0/0.080 =
225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$، $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$. فالمنحني المقيس يترهّل تحت المستقيم عند $x$ الصغيرة، ومن ثم تكون المساحة [الحقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) أصغر.

**تمرين 29.8 ★★.**

متزلج بزحّافة كتلته $55\,\mathrm{kg}$ يبدأ ساكنًا، ويهبط $8.0\,\mathrm{m}$ على [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) منحنٍ طوله $25\,\mathrm{m}$، فيصل [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. فما [الطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) المفقودة؟ وما [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) المتوسطة؟ ولماذا لا يهمّ شكل [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) بالضبط؟

**حل التمرين 29.8.**

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times
8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$؛ $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$. [فالوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) محافظ، [والقوة الناظمية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#def-g12-newtons-laws-friction) عديمة [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work): ولا يدخل إلا الهبوط و*طول* [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory)، لا شكله.

**تمرين 29.9 ★★.**

لمضمار كرات زجاجية حلقة نصف قطرها $20\,\mathrm{cm}$. جِد أدنى ارتفاع إطلاق (من السكون، بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)). وإذا أُطلقت من $60\,\mathrm{cm}$: فما [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) عند قمة الحلقة، وما النسبة $v_{\text{القمة}}^2/(gR)$؟ ولماذا يجب أن يُطلق مضمار حقيقي من ارتفاع أعلى بعدُ؟

**حل التمرين 29.9.**

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$. ومن $60\,\mathrm{cm}$: $v_{\text{القمة}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx
2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و$v_{\text{القمة}}^2/(gR) = 2.0$ — أي ضعف الحدّ الأدنى. [والاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) يقشط [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) على طول الطريق، ومن ثم تحتاج المضامير [الحقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) ارتفاعًا إضافيًّا.

**تمرين 29.10 ★★.**

خرزة كتلتها $100\,\mathrm{g}$ تنزلق بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) على محور، حيث $E_p(x) = 8.0\,x^2$ ([بالجول](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work)، و$x$ [بالمتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) و$E_m = 2.0\,\mathrm{J}$. فما نقاط الارتداد؟ وما [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) القصوى؟ وأيّ نوع من الحركات هذا؟

**حل التمرين 29.10.**

نقطتا الارتداد: $8.0\,x^2 = 2.0$، $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$. [والسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) القصوى عند $x = 0$: $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx
6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وهي تذبذب ذهابًا وإيابًا في وادٍ مكافئ — و$E_p$ الخاصة [بمذبذب الزنبرك والكتلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period) من هذه الصورة بالضبط.

**تمرين 29.11 ★★.**

سيارة كتلتها $1200\,\mathrm{kg}$ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ يوقفها زنبرك مصدّ [صلابته](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. جِد أقصى انضغاط. وعند $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: لماذا ليس أربعة أضعاف، مع أن [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) تتربّع؟

**حل التمرين 29.11.**

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$: $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$. وعند $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $18\,\mathrm{cm}$ — أي الضعف، لا أربعة أضعاف: [فالطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) تتربّع، لكن $E_p$ ينمو مثل $x^2$، ومن ثم لا يتضاعف $x$ إلا مرة واحدة.

**تمرين 29.12 ★★★.**

عربة كتلتها $0.50\,\mathrm{kg}$ تتدحرج على مضمار له $E_p(x)$ فيه قمة تلّ $6.0\,\mathrm{J}$ ($x = 0$) ووادٍ $2.0\,\mathrm{J}$ ($x = 1.5\,\mathrm{m}$). (أ) فإذا وصلت من اليسار [بطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $E_m = 5.0\,\mathrm{J}$: هل تعبر؟ وماذا يحدث بدل ذلك؟ (ب) وبطاقة $E_m = 7.0\,\mathrm{J}$: ما السرعتان عند قمة التلّ وفي الوادي؟ (ج) وما أوضاع التوازن؟

**حل التمرين 29.12.**

(أ) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$: فلا تقدر أن تعبر؛ بل تقف على الجانب حيث $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ وتتدحرج عائدة. (ب) وعند قمة التلّ: $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$، $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وفي الوادي: $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$، $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) و$x = 0$: [غير مستقر](#prop-g12-work-and-energy-equilibria) (عظمى)؛ و$x = 1.5\,\mathrm{m}$: [مستقر](#prop-g12-work-and-energy-equilibria) (صغرى).

**تمرين 29.13 ★★★.**

بقبول أن جرّ كتلة $m$ من الأرض إلى بُعد كيفي يكلّف $mgR_E$، $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (وهي المساحة المنتهية تحت مخطط [الجاذبية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-four) المتضائلة)، احسب *[سرعة الإفلات](#rem-g12-work-and-energy-escape)* من الأرض. ولماذا هي نفسها للمسبار وللحصاة؟ وماذا عن إطلاق دونها بقليل؟

**حل التمرين 29.13.**

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$: $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. وكل حدّ يتناسب مع $m$: فالمسبار والحصاة سواء. ودون ذلك بقليل، ما يزال الإطلاق يصعد بعيدًا جدًّا، ويلاقي [نقطة ارتداد](#def-g12-work-and-energy-diagram)، ويسقط عائدًا: أي مقيَّدًا.

**تمرين 29.14 ★★★.**

منزلقة كتلتها $250\,\mathrm{g}$ تتذبذب على زنبرك ($k = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$) [بسعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $6.0\,\mathrm{cm}$ ([الفصل 28](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#ch-g12-oscillators-and-time)). فما [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الكلية؟ وما [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) القصوى؟ وما المواضع التي عندها $E_k = E_p$؟

**حل التمرين 29.14.**

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 =
7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$؛ $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} =
\sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $E_k = E_p$ حيث $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$: $x = \pm A/\sqrt 2 \approx
\pm4.2\,\mathrm{cm}$.

**تمرين 29.15 ★★★.**

يعدو قافز بالزانة [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. قدّر الارتفاع الذي يكسبه مركز كتلته إذا حوّلت الزانة كل طاقته الحركية، و العارضة المتجاوَزة ([ومركز الكتلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/16-forces-and-motion#def-g11-forces-and-motion-com) يبدأ على ارتفاع $1.0\,\mathrm{m}$). والرقم القياسي نحو $6.3\,\mathrm{m}$: فما الذي يلتقطه التقدير، وما الذي يهمله؟

**حل التمرين 29.15.**

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$؛ والعارضة $\approx
4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$. والرقم القياسي أعلى: إذ يضيف القافزون شغلًا بالذراعين والساقين على الزانة المنحنية. لكن تقدير [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) يضبط الرتبة — فلن تبلغ قفزة عدّاء $10\,\mathrm{m}$ أبدًا.

## 29.6 مسألة: قفزة التزلج

**مسألة 29.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — قفزة التزلج: مسار اندفاع يدقّقه مسدس سرعة، وطيران في سقوط حرّ، وهندسة لطيفة لهبوط حادّ، والبرج الذي يجب أن يشتريه المصمّم متى فوتر الاحتكاك

قافز تزلج أولمبي ($m = 70\,\mathrm{kg}$، مع الزلاجتين) يبدأ ساكنًا من بوابة على ارتفاع $H = 45\,\mathrm{m}$ فوق طاولة الانطلاق، وينزلق $L = 90\,\mathrm{m}$ من [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) الاندفاع المنحني، ويغادر الطاولة أفقيًّا؛ ويقرأ مسدس [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) هناك $v_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وتقع نقطة الهبوط على انخفاض $h = 40\,\mathrm{m}$، على منحدر ميله $35{}^{\circ}$. ويهمل الجزآن II وIII [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء.

**الجزء I — [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) الاندفاع.**

1. تنبّأ [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الانطلاق بلا [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) ؛ ولماذا لا يهمّ منحني [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) الاندفاع؟
2. [بالمرجع](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-frame) عند الطاولة: احسب $E_m$ عند البوابة وعند الانطلاق.
3. احسب $\Delta E_m$ ؛ وأيّ مبرهنة تسمّي الجناة، ومن هم؟
4. استنتج [قوة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-force) [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) المتوسطة (الثلج مع الهواء) على [المسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) .
5. وأيّ جزء من $E_m$ يضيع؟ ولماذا نشمّع الزلاجتين وننحني؟

**الجزء II — الطيران.**

6. لا يؤثر في الطيران إلا [الوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) : فأيّ حركة من حركات [الفصل 26](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/26-free-fall-and-projectile-motion#ch-g12-projectile-motion) هذه؟ وما مركّبتا [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) عند الهبوط؟
7. ما [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الهبوط، مرتين: من المركّبتين، ومن انحفاظ $E_m$ ؟ وبوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ؟
8. احسب [زمن الطيران](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/26-free-fall-and-projectile-motion#def-g12-projectile-motion-range) والمسافة الأفقية المقطوعة.
9. ويركب القافزون الحقيقيون الهواءَ كجناح، فيطيرون أبعد بكثير: فهل يقدر الهواء أن *يرفع* [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الهبوط؟ ناقش بمبرهنة [الطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) .

**الجزء III — الهبوط.**

10. احسب زاوية [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الهبوط تحت الأفقي.
11. فكّكها إلى مركّبتين موازية وعمودية على المنحدر.
12. ولا تمتصّ الساقان إلا الجزء العمودي: احسب تلك [الطاقة الحركية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-kinetic) ؛ وقارنها بالكلية.
13. أما الأرض المستوية فتمتصّ كل شيء: فأيّ هبوط شاقولي يعادل كل هبوط ( $h_{\text{المكافئ}} = v_\perp^2/2g$ ، على الترتيب $v^2/2g$ )؟
14. وفي جملة واحدة: لماذا تكون تلال الهبوط حادّة ومنحنية؟

**الجزء IV — برج المصمّم.** تلّ أصغر يحتاج انطلاقًا عند $v_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ لا غير؛ وينزل [مسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) اندفاعه المستقيم بميل $35{}^{\circ}$، ومن ثم يعني ارتفاع البوابة $H'$ طول مضمار $H'/\sin35{}^{\circ}$؛ وبالمقاومة $80\,\mathrm{N}$ نفسها.

15. احسب ارتفاع البوابة الذي سيبنيه مصمّم يهمل [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) .
16. اكتب مبرهنة [الطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) ، من البوابة إلى الطاولة، من أجل $H'$ .
17. حُلّ لإيجاد $H'$ .
18. وبأي نسبة مئوية رفع [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) البرجَ؟
19. ولم تعد الكتلة تتلاشى: أعِد حساب $H'$ من أجل قافز كتلته $60\,\mathrm{kg}$ . فمن يحتاج البرج الأعلى، ولماذا؟
20. بيت القصيد: البرج المعلَن، وحصة [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) منه.

**حل المسألة 29.1.**

**1.** $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx
29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: [فالوزن](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#def-g10-universal-gravitation-weight) محافظ، [والقوة الناظمية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/25-newtons-laws#def-g12-newtons-laws-friction) عديمة [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work) — ويسقط المنحني من الحساب.

**2.** البوابة: $E_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx
3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$. والانطلاق: $E_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2
\approx 2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$.

**3.** $\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$؛ و مبرهنة [الطاقة الميكانيكية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) تحمّلها للقوى [غير المحافظة](#def-g12-work-and-energy-conservative): أي [احتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) الثلج [ومقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الهواء.

**4.** $f = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}$.

**5.** $7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\%$. والتشميع يخفض $f$، والانحناء يخفض [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance): فكلاهما يقلّص $fL$، وهو الحدّ الوحيد القابل للتفاوض.

**6.** [سقوط حرّ](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/26-free-fall-and-projectile-motion#def-g12-projectile-motion-freefall) [بسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) ابتدائية أفقية — أي حركة [مقذوف](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/26-free-fall-and-projectile-motion#def-g12-projectile-motion-projectile). $v_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $v_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**7.** $v = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx
38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وبالطاقة: $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{676 + 785}$ — أي متطابقان. ونحو $138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**8.** $t = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}$؛ $d = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}$.

**9.** لا. فالرفع عمودي على [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) (عديم [الشغل](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-work)) [والمقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) تعاكسها (شغل سالب): $\Delta E_m \leq 0$، ومن ثم لا يمكن أن تكون [سرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) الهبوط [الحقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) إلا *أصغر* — فالهواء يمطّ الطيران، ولا يغذّيه.

**10.** $\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ}$ تحت الأفقي.

**11.** الزاوية مع المنحدر: $47 - 35 = 12{}^{\circ}$. $v_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $v_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**12.** الممتصّ: $\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx
2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$، في مقابل $\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx
5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ إجمالًا: أي نحو $4\%$.

**13.** $h_{\text{المكافئ}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m}$ — أي قفزة جريئة من جدار. وعلى الأرض المستوية: $38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m}$ — وهي غير قابلة للنجاة.

**14.** المنحدر الموازي [لمسار](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) الطيران يبقي $v_\perp$ صغيرة، ومن ثم تمتصّ الساقان أمتارًا، لا جبل [الطاقة الحركية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-kinetic) كله.

**15.** $H'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}$.

**16.** $mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} =
\tfrac12 m v_0'^2$.

**17.** $H' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576}
{686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}$.

**18.** $36.8/29.4 \approx 1.25$: أي زيادة قدرها $25\%$.

**19.** من أجل $60\,\mathrm{kg}$: $H' = 17\,280/(588.6 - 139.5)
\approx 38.5\,\mathrm{m}$. فالقافزة *الأخف* تحتاج البرج الأعلى: إذ تكون فاتورة [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) $fL$ هي نفسها، لكن ميزانيتها الطاقية $mgH'$ أصغر.

**20.** أعلِن برجًا قدره $37\,\mathrm{m}$ من أجل $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند الانطلاق — واعترف بأن ربعه، أي نحو $7\,\mathrm{m}$ من الخرسانة، هو زيادة [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) على الحلم الخالي من [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory).