---
title: "دارتا RC وRL"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 30
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl
---

# الفصل 30 — دارتا RC وRL

اضغط مصراع آلة تصوير إلى منتصفه: فيرتفع أزيز رفيع ثانيتين، ويضيء ضوء أخضر — وعندئذٍ فقط ينطلق الوماض، فيفرغ في ميلي [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) واحدة ما أمضى ثانيتين في جمعه. ويلاقي هذا الفصل المركّبتين اللتين تمنحان الدارات ذاكرة وساعة — أي [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) [والوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — و أول المعادلات التفاضلية في الفيزياء، وهي قابلة للتحقق بمشتقات هذه السنة.

## 30.1 المكثّفة

**تعريف 30.1 (المكثّفة والسعة الكهربائية).**

*المكثّفة* صفيحتان معدنيتان متقابلتان يفصل بينهما عازل رقيق. وإذا وُصلت بمنبع، حملت الصفيحتان شحنتين متعاكستين $+q$ و$-q$ — فيملأ [مجال كهربائي](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/14-electric-and-gravitational-fields#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) الفجوة ([الفصل 14](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/14-electric-and-gravitational-fields#ch-g11-electric-gravitational-fields)) — ويتناسب [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) $u$ بين الصفيحتين مع الشحنة المخزونة:

$$
q = C\,u .
$$

والثابت $C$ هو *السعة الكهربائية*، وتقاس [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) *الفاراد* ($\mathrm{F}$): $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$.

**مثال 30.2 (رتب القدر).**

[الفاراد](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) الواحد هائل — أي [كولوم](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-charge) واحد مركون لكل [فولط](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage). فالمكثّفات الخزفية في دارات الراديو: من $\mathrm{pF}$ إلى $\mathrm{nF}$؛ والإلكتروليتية في مغذّيات التيار وفي الأجهزة الوامضة: من $\text{µ}\mathrm{F}$ إلى $\mathrm{mF}$؛ والمكثّفات الفائقة: آلاف الفارادات.

**قضية 30.3 (التيار الداخل إلى مكثّفة).**

التيار الواصل إلى صفيحة [مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) هو الوتيرة التي تنمو بها شحنتها:

$$
i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,
$$

وتشير الحروف الصغيرة إلى المقادير المتغيرة مع الزمن ($U$، $I$ يبقيان ثابتين، [الفصل 12](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#ch-g11-circuits-and-power)).

**برهان.** التيار شحنة موصَّلة في كل [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ([التعريف 12.1](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-current)): وعلى فترة متقلصة، يكون $i$ مشتقةَ $q$؛ ويعطي $q = Cu$ مع ثبات $C$ العلاقةَ $C\,du/dt$. ∎

**ملاحظة 30.4 (نتيجتان).**

إذا كان $u$ ثابتًا، فإن $i = 0$: أي إن [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) المشحونة لا تمرّر تيارًا مستمرًّا. ولا يمكن أبدًا أن يقفز $u$ — إذ ستقتضي القفزة تيارًا لا نهائيًّا: [فتوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) هو ذاكرة الدارة.

## 30.2 شحن مكثّفة: الدارة RC

حلقة واحدة — منبع $\mathcal{E}$ ([التعريف 12.18](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-emf))، وقاطعة، [ومقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance)، [ومكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) فارغة: أغلِق $K$ عند $t = 0$.

![دارة الشحن RC: إغلاق K يتيح للمنبع أن يدفع الشحنة عبر R إلى صفيحتَي C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-2f8ee4d9b2da.svg)

*دارة الشحن RC: إغلاق $K$ يتيح للمنبع أن يدفع الشحنة عبر $R$ إلى صفيحتَي $C$.*

**مبرهنة 30.5 (قانون الشحن في الدارة RC).**

بعد إغلاق القاطعة، يخضع [توتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) للمعادلة الآتية، ثم يتبع من $u(0) = 0$:

$$
RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E},
\qquad
u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\qquad \tau = RC .
$$

**برهان.** تتجمع التوترات على امتداد الحلقة ([القضية 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ في كل لحظة؛ فعوّض $i = C\,du/dt$ ([القضية 30.3](#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)). والآن *تحقّق* من [المرشّح](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/11-color-and-light-sources#def-g11-color-light-sources-subtractive): $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$، ومنه $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) =
\mathcal{E}$، وهي صحيحة من أجل كل $t$؛ و$u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$. أما أنه لا يوجد منحنٍ *آخر* يوافق المعادلة والانطلاقة فمبرهَن عليه في درس الرياضيات هذه السنة في المعادلات التفاضلية. ∎

**تعريف 30.6 (ثابت الزمن).**

*ثابت الزمن* في [الدارة RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) هو $\tau = RC$. والوحدات: $\Omega \times \mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — أي وتيرة الدارة الخاصة.

**طريقة 30.7 (قراءة τ\tauτ على المنحني).**

ثلاث قراءات متكافئة، مأخوذة مباشرة من مخطط:

1. *المماسّ في المبدأ:* $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ ، ومن ثم يبلغ المماسّ الابتدائي المقاربَ عند $t = \tau$ ؛
2. *63%:* $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx  0.63\,\mathcal{E}$ ؛
3. *95%:* $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — أي مشحونة، عمليًّا ( $5\tau$ : $99\%$ ).

**قضية 30.8 (التفريغ).**

[المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) المشحونة إلى $U_0$ والمغلقة على [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ وحدها تخضع للعلاقة $RC\,du/dt + u = 0$ وتتبع

$$
u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC
$$

— أي $37\%$ متبقية عند $\tau$، و$5\%$ عند $3\tau$.

**برهان.** قانون الحلقة نفسه، بلا منبع؛ وبالتعويض مرة أخرى: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$، مع $u(0) = U_0$. ∎

![الشحن (بالأزرق، من u = 0 نحو E) والتفريغ (بالأحمر، من U_0 = E). ويلاقي المماسّان الابتدائيان كلاهما مقاربهما عند t =؛ و63\% منجَز عند ، و95\% عند 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-de2eed6e47d0.svg)

*الشحن (بالأزرق، من $u = 0$ نحو $\mathcal{E}$) والتفريغ (بالأحمر، من $U_0 = \mathcal{E}$). ويلاقي المماسّان الابتدائيان كلاهما مقاربهما عند $t = \tau$؛ و$63\%$ منجَز عند $\tau$، و$95\%$ عند $3\tau$.*

**مثال 30.9 (أرقام وحدة وماضة).**

وماض تصوير يشحن $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ عبر $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$: فيكون $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} =
0.80\,\mathrm{s}$، ومن ثم ينتظر ضوء “الجهوزية” — المضبوط ليعمل عند $95\%$ — مدةَ $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$: وهو أزيز الخطّاف. وإذا أُطلق عبر $0.50\,\Omega$ لا غير في أنبوب الوماض، فرغت *[المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) نفسها* بثابت زمن قدره $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$: أي أسرع خروجًا بألفي مرة منها دخولًا.

## 30.3 الوشيعة: المحاثّة والدارة RL

**تعريف 30.10 (الوشيعة والمحاثّة).**

*الوشيعة* ملفّ من السلك: فتيارها يخترق لفّاتها [بمجال مغناطيسي](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-bfield) ([الفصل 15](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#ch-g11-magnetic-fields))؛ وكلما *تغيّر*، ظهر [توتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) بين طرفي الوشيعة:

$$
u = L\,\frac{di}{dt} .
$$

والثابت $L$ هو *المحاثّة*، وتقاس [بوحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) *الهنري* ($\mathrm{H}$): $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 30.11 (الوشيعة تقاوم التغيّر).**

أما لماذا يولّد التيار المتغير توترًا — أي التحريض — فمستنتَج في مجلدات الجامعة؛ وهنا نأخذ القانون وطبعه: [فالوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) *تعاكس تغيّرات* تيارها. وهما توأمان متقابلان: فالمقدار $u$ في [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) لا يقدر أن يقفز، والمقدار $i$ في [الوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) لا يقدر أن يقفز.

![الدارة RL: بعد إغلاق K، لا تدع الوشيعة التيار يصعد إلا بوتيرتها الخاصة = L/R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-9934f9796a6b.svg)

*[الدارة RL](#prop-g12-rc-rl-circuits-rl): بعد إغلاق $K$، لا تدع [الوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) التيار يصعد إلا بوتيرتها الخاصة $\tau = L/R$.*

**قضية 30.12 (نمو التيار في الدارة RL).**

إغلاق القاطعة على منبع $\mathcal{E}$، [ومقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$، [ووشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ على التسلسل يعطي $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$، أي

$$
\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R},
\qquad\text{يحلّها}\quad
i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\quad \tau = \frac{L}{R} .
$$

**برهان.** قانون الحلقة مرة أخرى؛ وهي *المعادلة نفسها* الواردة في [المبرهنة 30.5](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) مع $u \to i$، $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$، $RC \to L/R$ — والتعويض نفسه يتحقق من الحلّ، وتنتقل كل قراءة من قراءات [الطريقة 30.7](#met-g12-rc-rl-circuits-reading). ∎

**مثال 30.13 (مغناطيس كهربائي يستيقظ).**

[وشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) مرحّل، $L = 0.30\,\mathrm{H}$ و$R = 6.0\,\Omega$، على مغذٍّ قدره $12\,\mathrm{V}$: فالتيار النهائي $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$، على الوتيرة $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — أي مستيقظة في $3\tau \approx
0.15\,\mathrm{s}$.

**ملاحظة 30.14 (الشرارة عند الفتح).**

افتح قاطعة على [وشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) عاملة، فيضطر $i$ إلى الانهيار حتى الصفر في جزء من ميلي [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): فيصير $di/dt$ ضخمًا ويبلغ $u = L\,di/dt$ مئات الفولطات أو آلافها — فتقفز شرارة عبر التماس. [ووشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) الإشعال في السيارة تفعل ذلك عمدًا، آلاف المرات في الدقيقة.

## 30.4 الطاقة المخزونة

**قضية 30.15 (الطاقة في مكثّفة، والطاقة في وشيعة).**

[المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ المشحونة إلى [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) $u$، [والوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ التي تحمل التيار $i$، تخزنان

$$
E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C},
\qquad
E_L = \tfrac12\,L i^2 .
$$

**برهان.** إنزال شحنة صغيرة $dq$ على صفيحتين هما أصلًا عند [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) $u$ يكلّف $u\,dq$ ([التعريف 12.3](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage))؛ وبتكديس التكاليف، يكون المجموع هو المساحة تحت المستقيم $u = q/C$ — أي المثلث الآتي — ومن ثم $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$. والمثلث نفسه في حالة [الوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) (فرفع $i$ بمقدار $di$ يكلّف $Li\,di$) يعطي $E_L = \tfrac12 Li^2$. ∎

![كل شريحة dq تكلّف u\,dq؛ والشحنة كلها تكلّف مساحة المثلث E_C = 1/2 q_0 u_0 — فالكولومات الأولى تركب عند توتر منخفض.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-fe806a23267a.svg)

*كل شريحة $dq$ تكلّف $u\,dq$؛ والشحنة كلها تكلّف مساحة المثلث $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — فالكولومات الأولى تركب عند [توتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) منخفض.*

**مثال 30.16 (رتب قدر الطاقة).**

[مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) الوماض ذات [المثال 30.9](#ex-g12-rc-rl-circuits-flashrc): $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$. [ومكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) فائقة قدرها $3000\,\mathrm{F}$ عند $2.7\,\mathrm{V}$: $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — أي ما يعادل بطارية AA. [ووشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) قدرها $10\,\mathrm{mH}$ عند $10\,\mathrm{A}$: $0.50\,\mathrm{J}$. وهي أقل مما تحمله البطاريات — لكنها قابلة للتحرير في ميلي [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) واحدة.

**ملاحظة 30.17 (فيمَ يصلح حافظا الزمن هذان).**

البطء دخولًا [والسرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) خروجًا يغذّيان وماض آلة التصوير ومزيل الرجفان. و [التأخير](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-delay) $\tau = RC$ يشغّل [دارات التوقيت](#rem-g12-rc-rl-circuits-applications): أي الماسحات المتقطعة، والمنارات الوامضة، وإنارة بيت الدرج. [والمكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) الموضوعة على مغذٍّ *تنعّم* [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) (إذ إنّ $u$ لا يقدر أن يقفز)؛ [والوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) على التسلسل تنعّم التيار (إذ إنّ $i$ لا يقدر أن يقفز). أما [الوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) مع [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) معًا فتصنعان مذبذبًا ([الفصل 31](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/31-rlc#ch-g12-rlc-oscillations)).

## 30.5 تمارين

**تمرين 30.1 ★.**

[مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) قدرها $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ مشحونة إلى $12\,\mathrm{V}$: فأيّ شحنة تحمل؟ وأيّ [توتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) يضع $2.0\,\mathrm{mC}$ على $100\,\text{µ}\mathrm{F}$؟

**حل التمرين 30.1.**

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$؛ $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$.

**تمرين 30.2 ★.**

وزّع $47\,\mathrm{pF}$ و$2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ و$10\,\mathrm{F}$ على منعّم مغذٍّ، وموالف راديو، [ومكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) فائقة؛ واحسب [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الأخيرة عند $2.7\,\mathrm{V}$.

**حل التمرين 30.2.**

$47\,\mathrm{pF}$: موالف الراديو؛ $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$: المنعّم؛ $10\,\mathrm{F}$: [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) الفائقة. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$.

**تمرين 30.3 ★.**

يرتفع [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) بين طرفي [مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) قدرها $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ بانتظام من $0$ إلى $5.0\,\mathrm{V}$ في $10\,\mathrm{ms}$: فأيّ تيار يدخل؟ وأيّ تيار متى ثبت [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage)، ولماذا؟

**حل التمرين 30.3.**

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 =
0.11\,\mathrm{A}$. ثم $i = C\,du/dt = 0$: [فالمكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) المشحونة دارة مفتوحة — ولا تيار مستمرّ فيها.

**تمرين 30.4 ★.**

احسب $\tau$ من أجل $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$، $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$، ثم من أجل $L = 0.10\,\mathrm{H}$، $R = 50\,\Omega$. وتحقق، وحدةً [وحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، من أن كلا التركيبين بالثواني.

**حل التمرين 30.4.**

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$؛ $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$. $\Omega\,\mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$؛ $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$.

**تمرين 30.5 ★.**

[مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) تشحن نحو $6.0\,\mathrm{V}$، فتعبر $3.8\,\mathrm{V}$ عند $t = 2.0\,\mathrm{s}$. اقرأ [ثابت الزمن](#def-g12-rc-rl-circuits-tau)؛ ومتى يكتمل $95\%$ من الشحن؟

**حل التمرين 30.5.**

$3.8/6.0 = 0.63$، ومنه $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$؛ و$95\%$ عند $3\tau =
6.0\,\mathrm{s}$.

**تمرين 30.6 ★★.**

[دارة RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging): $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$، $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$، $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$. احسب $\tau$، $u(\tau)$، $u(3\tau)$، و التيار في لحظة إغلاق القاطعة.

**حل التمرين 30.6.**

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$؛ $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$؛ $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$؛ $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ ([فالمكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) فارغة: ويقع $\mathcal{E}$ كله على طرفي $R$).

**تمرين 30.7 ★★.**

تحقق بالتعويض من أن $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ تحقق $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$؛ وماذا ترمّز فيزيائيًّا قيمتُها عند $t = 0$ ونهايتها عند $t$ الكبيرة؟

**حل التمرين 30.7.**

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$، ومنه $RC\,du/dt + u =
\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$. $u(0) = 0$: [فالمكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) تبدأ فارغة؛ و$u \to \mathcal{E}$: أي مشحونة تمامًا، وقد توقف التيار.

**تمرين 30.8 ★★.**

[مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) قدرها $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ مشحونة إلى $12\,\mathrm{V}$ تفرغ عبر $47\,\mathrm{k}\Omega$: احسب $\tau$، $u(\tau)$، والزمن اللازم لينزل $u$ دون $0.60\,\mathrm{V}$.

**حل التمرين 30.8.**

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$؛ $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$؛ و$0.60\,\mathrm{V}$ هو $5\%$، مبلوغًا عند $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$.

**تمرين 30.9 ★★.**

يصعد التيار في [وشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) قدرها $0.50\,\mathrm{H}$ بانتظام من $0$ إلى $2.0\,\mathrm{A}$ في $40\,\mathrm{ms}$: فأيّ [توتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) يظهر بين طرفيها؟ وبالنظر إلى $u = L\,di/dt$، لماذا يشرِّر *فتح* قاطعة على [وشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)، لا إغلاقها؟

**حل التمرين 30.9.**

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$. وعند الإغلاق، يصعد $i$ بوتيرة الدارة الخاصة، ويكون $di/dt$ متواضعًا؛ أما الفتح فإنه *يُرغم* $i$ على الصفر في الحال تقريبًا، فيصير $di/dt$ ضخمًا ويبلغ $u$ قيمًا مشرِّرة.

**تمرين 30.10 ★★.**

مرحّل [المثال 30.13](#ex-g12-rc-rl-circuits-rl): تحقق بالتعويض من أن $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ تحقق $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$، ثم احسب $i(\tau)$ و$i(3\tau)$.

**حل التمرين 30.10.**

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$، ومنه $L\,di/dt + Ri =
\mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$. $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$؛ $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$.

**تمرين 30.11 ★★.**

بيّن أن $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$، واستنتج أن المماسّ في المبدأ يلاقي المقارب عند $t = \tau$. وعلى منحنٍ مسجَّل يعطي $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$، مع $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$: جِد $C$.

**حل التمرين 30.11.**

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$، ومنه $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$: فالمماسّ $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ يبلغ $\mathcal{E}$ عند $t = \tau$. $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**تمرين 30.12 ★★★.**

رتّب بحسب [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة، بحساب كلٍّ منها: [مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) فائقة قدرها $3000\,\mathrm{F}$ عند $2.7\,\mathrm{V}$؛ [ومكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) وماض، $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ عند $300\,\mathrm{V}$؛ [ووشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) قدرها $10\,\mathrm{mH}$ عند $10\,\mathrm{A}$؛ وبطارية AA ($E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$). وما الذي تقدّمه الثلاثة الأولى ولا تقدر البطارية عليه؟

**حل التمرين 30.12.**

[المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) الفائقة $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$؛ والوماض $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$؛ [والوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$. فالبطارية ($1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) $>$ [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) الفائقة $\gg$ الوماض $\gg$ [الوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — لكن الثلاثة جميعًا تقدر أن تفرغ طاقتها في ميلي ثوانٍ: أي [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power)، لا [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy).

**تمرين 30.13 ★★★.**

مؤقّت بيت درج يضيء ما دام $u < 0.63\,\mathcal{E}$ بين طرفي مكثّفته الشاحنة، وينطفئ عند $t = \tau$. صمّم الإنارة لتدوم $5.0\,\mathrm{s}$ باستعمال $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$: فأيّ $R$؟ ومن أجل عتبة $0.50\,\mathcal{E}$، بيّن أن [التأخير](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-delay) هو $\tau \ln 2$ واحسبه.

**حل التمرين 30.13.**

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$، ومنه $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$. ويعطي $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ المقدارَ $e^{-t/\tau} = 0.50$، $t = \tau\ln 2
\approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$.

**تمرين 30.14 ★★★.**

[مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) قدرها $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ تنعّم مغذّيًا: فبين شحنتين، تغذّي وحدها حِملًا يسحب $0.50\,\mathrm{A}$ مدةَ $10\,\mathrm{ms}$. ومن $i = C\,du/dt$، احسب هبوط [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage)، ثم [السعة الكهربائية](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) التي تبقيه دون $0.50\,\mathrm{V}$.

**حل التمرين 30.14.**

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx
2.3\,\mathrm{V}$. ويلزم $C \geq i\,\Delta t/\Delta u =
5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$.

**تمرين 30.15 ★★★.**

[وشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) إشعال، $L = 0.80\,\mathrm{H}$، تحمل $2.0\,\mathrm{A}$ حين يقطعها القاطع في نحو $1.0\,\mathrm{ms}$. قدّر [توتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) [الوشيعة](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) أثناء القطع [وطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) الشرارة؛ ولماذا لا يعطي القطع البطيء شرارة؟

**حل التمرين 30.15.**

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} =
1.6\,\mathrm{kV}$؛ $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 =
1.6\,\mathrm{J}$. وإذا قطعت ببطء، بقي $di/dt$ صغيرًا وبقي $u$ بضعة فولطات: فلا شرارة.

## 30.6 مسألة: وماض آلة التصوير

**مسألة 30.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — وماض آلة التصوير: أزيز يدوم ثانيتين، وميلي ثانية من المجد، وابن العمّ المعلَّق على الجدار الذي يعيد تشغيل القلوب — وأُسّي واحد يديرها جميعًا

[وحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) وماض مدمجة تخزن [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) في [مكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$، مشحونة عبر $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ من مغيّر مُنمذَج بمنبع مثالي $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$؛ ويعمل ضوء “الجهوزية” عند $95\%$ من [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) الكامل. وإذا أُطلقت، لم تر [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) إلا أنبوب الوماض، $R_f = 0.50\,\Omega$. والمعطيات: خلية AA توصّل $1.5\,\mathrm{V}$ و$2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$؛ $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$.

**الجزء I — الخزّان.**

1. احسب الشحنة على [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) عند $300\,\mathrm{V}$ .
2. وكم [شحنة أولية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-elementary) يعادل ذلك؟
3. احسب [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة $E_C$ .
4. وتحمل خلية AA مقدار $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ ، أي نحو $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . فكم ضعفًا من [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) يعادل ذلك؟
5. فلمَ العناء [بالمكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) إذًا؟ جملة واحدة، تستعمل “ [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) ”.

**الجزء II — انتظار الضوء الأخضر.**

6. اكتب قانون الحلقة وحوّله إلى المعادلة التفاضلية من أجل $u(t)$ .
7. تحقق بالتعويض من أن $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ تحلّها، انطلاقًا من $u(0) = 0$ .
8. احسب [ثابت الزمن](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau$ .
9. وبعد أي زمن يصير ضوء الجهوزية أخضر، وعند أي [توتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) ؟ وتعرّف على أزيز الثانيتين.
10. احسب تيار الشحن الابتدائي؛ ولماذا يخبو بعد ذلك؟

**الجزء III — ميلي [ثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) المجد.**

11. اكتب قانون التفريغ $u(t)$ عبر الأنبوب واحسب [ثابت الزمن](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) الجديد $\tau'$ .
12. احسب التيار الأعظمي عبر الأنبوب.
13. احسب [الاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) العظمى؛ وقارنها بغلاية قدرها $2.2\,\mathrm{kW}$ .
14. وبأخذ الوماض منتهيًا عند $3\tau'$ ، أعطِ مدته و استطاعته المتوسطة.
15. شكّل نسبة زمن الشحن إلى زمن الوماض: [فالمكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) نفسها، والشحنة نفسها — فما الذي تغيّر، وما الذي يجعل من [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) : خزّان [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) أم رافعة [استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-power) ؟

**الجزء IV — ابن العمّ على الجدار.** يجب أن يوصّل مزيل الرجفان $E_C = 200\,\mathrm{J}$ عند $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$؛ ويقدّم الصدر والصفيحتان نحو $50\,\Omega$.

16. احسب [السعة الكهربائية](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) المطلوبة.
17. احسب الشحنة المخزونة.
18. احسب [ثابت الزمن](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) ومدة الصدمة ( $3\tau$ )؛ وقارنهما بالوماض.
19. احسب التيار الأعظمي [والاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) العظمى في المريض.
20. ويجب أن تجعل دارة إعادة الشحن الجهاز جاهزًا ( $95\%$ ) في $6.0\,\mathrm{s}$ : جِد [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الشحن المطلوبة و تيار الشحن الابتدائي — أي الأرقام التي سيطلبها مصمّم.

**حل المسألة 30.1.**

**1.** $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$.

**2.** $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$.

**3.** $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 =
36\,\mathrm{J}$.

**4.** $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ مرة.

**5.** تخزن الخلية وفرة لكنها توصّل ببطء؛ أما [المكثّفة](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) فتحوّل [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) متواضعة إلى *[استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-power)* هائلة.

**6.** $\mathcal{E} = Ri + u$ مع $i = C\,du/dt$: $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$.

**7.** $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$: $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ من أجل كل $t$، و$u(0) = 0$.

**8.** $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$.

**9.** عند $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$، $u = 0.95 \times 300 =
285\,\mathrm{V}$ — أي أزيز الثانيتين.

**10.** $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$؛ وكلما صعد $u$، تقلّصت البقية $\mathcal{E} - u$ على طرفي $R$، ومن ثم يخبو $i = (\mathcal{E}-u)/R$.

**11.** $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ مع $\tau' = R_f C =
0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$.

**12.** $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$.

**13.** $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — أي نحو $80$ غلاية دفعةً واحدة.

**14.** المدة $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$؛ [والاستطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-power) المتوسطة $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$.

**15.** $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$. ولم تتغير إلا [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) ($1.0\,\mathrm{k}\Omega$ دخولًا، و$0.50\,\Omega$ خروجًا): أي رافعة [استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-power).

**16.** $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} =
180\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**17.** $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx
0.27\,\mathrm{C}$.

**18.** $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$، والمدة $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — أي نحو عشرين ضعفًا من الوماض.

**19.** $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$؛ $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$.

**20.** يعطي $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ المقدارَ $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$، ومنه $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ و $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — أي جاهز في ست ثوانٍ، بعُشر [أمبير](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-current).