---
title: "التذبذبات الكهربائية الحرة: RLC"
book: "فيزياء المرحلة الثانوية"
subject: physics
language: ar
chapter: 31
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/31-rlc
---

# الفصل 31 — التذبذبات الكهربائية الحرة: RLC

أدِر القرص الثقيل في راديو العلّية، فتمرّ المحطات صفًّا أمام الإبرة: [صوت](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound)، وكمانات، وتشويش، ثم [صوت](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) مرة أخرى. وخلف اللوحة لا محرّك ولا حاسوب — بل [وشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)، [ومكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) يدير القرص صفائحها المتشابكة، وطول من سلك الهوائي. ويصل هذا الفصل خزّانَي [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) في الفصل السابق ([الفصل 30](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#ch-g12-rc-rl-circuits)) رأسًا إلى رأس، فيجد أسرع نوّاس بُني قط: أي شحنة تتأرجح جيئةً وذهابًا، حتى ملايين المرات في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، على وتيرة يختارها القرص.

## 31.1 نوّاس كهربائي: الدارة LC

اشحن [مكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ إلى [التوتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) $U_0$ — فتحمل صفيحتاها عندئذٍ $\pm Q_0$ مع $Q_0 = C U_0$ — وعند $t = 0$ صِلها [بوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) *مثالية* $L$، مقاومتها معدومة. ولا منبع في أي مكان من الحلقة: فمهما يحدث بعد ذلك، تفعله الدارة من تلقاء نفسها.

![الدارة LC: مكثّفة مشحونة إلى Q_0، وقاطعة، و وشيعة مثالية. وإغلاق K يتيح للشحنة أن تنسكب عبر الوشيعة — و الوشيعة، وهي تكره التغيّر، لن تدعها تتوقف.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-ef767bffd34d.svg)

*[الدارة LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation): [مكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) مشحونة إلى $Q_0$، وقاطعة، و [وشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) مثالية. وإغلاق $K$ يتيح للشحنة أن تنسكب عبر [الوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — و [الوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)، وهي تكره التغيّر، لن تدعها تتوقف.*

**قضية 31.1 (معادلة الدارة LC).**

في الحلقة LC المثالية، تخضع شحنة $q(t)$ الصفيحة العليا للمعادلة

$$
L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0,
\qquad\text{أي}\qquad
\frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .
$$

**برهان.** على امتداد الحلقة تتجمع التوترات إلى الصفر ([القضية 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $u_L + u_C = 0$. و [المكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) تعطي $u_C = q/C$، [والوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) تعطي $u_L = L\,di/dt$ ([التعريف 30.10](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor))، مع $i = dq/dt$ عادًّا الشحنة الواصلة إلى الصفيحة العليا ([القضية 30.3](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt))؛ فعوّض. ∎

**مبرهنة 31.2 (التذبذبات الحرة في الدارة LC).**

إذا أُطلقت الدارة عند $t = 0$ مع $q(0) = Q_0$ و$i(0) = 0$، تذبذبت:

$$
q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
T_0 = 2\pi\sqrt{LC},
$$

مع تيار أعظمي $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$.

**برهان.** تحقّق بالتعويض. فبالاشتقاق، $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — وهو $i(t)$ المذكور — وبالاشتقاق مرة أخرى $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$، وهي تساوي $-q/(LC)$ بالضبط حين $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$، أي $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. و$q(0) = Q_0$، $i(0) = 0$. أما أنه لا توجد دالة *أخرى* توافق المعادلة والانطلاقة فمقبول، تمامًا كما في حالة الزنبرك ([الملاحظة 28.9](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#rem-g12-oscillators-and-time-uniqueness)). ∎

**تعريف 31.3 (الدور الذاتي والتواتر الذاتي).**

*الدور الذاتي* في [الدارة LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) هو $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$؛ و *تواترها الذاتي* هو

$$
f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .
$$

والتحقق البُعدي: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ و $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$، ومن ثم يحمل $LC$ البُعد $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — فالمقدار $\sqrt{LC}$ زمن، كما يجب.

**مثال 31.4 (أرقام أولى).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$ مع $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$: $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$، ومنه $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ و $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — أي نغمة مسموعة. و$L = 1.0\,\mathrm{mH}$ مع $C = 100\,\mathrm{pF}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$، $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — أي [تواتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) راديوي. ولا يضبط الوتيرة إلا *الجداء* $LC$.

**ملاحظة 31.5 (ربع دور خارج الخطى).**

التيار خارج [الطور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-phase) عن الشحنة بربع [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): فيكون $i = 0$ حين $q = \pm Q_0$ (فالصفيحتان ممتلئتان، والتدفق ينقلب)، ويكون $i = \pm I_0$ حين $q = 0$ (فالصفيحتان فارغتان، والتدفق في أوجه) — أي النوّاس بالضبط، ساكنًا عند الطرفين وأسرع ما يكون عند الأسفل.

![شحنة الدارة LC الحرة وتيارها: يبلغ التيار ذروته في كل مرة تعبر فيها الشحنة الصفر، بفارق ربع دور.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-6b6eee0e7326.svg)

*شحنة [الدارة LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) الحرة وتيارها: يبلغ التيار ذروته في كل مرة تعبر فيها الشحنة الصفر، بفارق ربع [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).*

## 31.2 رقصة الطاقة

**قضية 31.6 (انحفاظ الطاقة المخزونة).**

في [الدارة LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) المثالية، تكون [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة الكلية ([القضية 30.15](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-energy))

$$
E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2
\;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2
$$

ثابتةً: فهي كلها في [المكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) حين $q = \pm Q_0$، وكلها في [الوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) حين $i = \pm I_0$.

**برهان.** اشتقّ: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} +
Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ بالعلاقة [القضية 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation). وتُقرأ قيمتها عند $t = 0$ (فكلها في [المكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor))، ومرة أخرى في لحظة التيار الخالص $q = 0$ — ومنه $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$، فنستعيد $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ [بالطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) وحدها. ∎

![دور واحد من الرقصة: تتقاذف الطاقة بين الصفيحتين والوشيعة ذهابًا وإيابًا مرتين في كل دور، والمجموع مثبَّت عند Q_02/2C — وهي عين شكل مذبذب الزنبرك والكتلة، معادَ عنونته.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-0e3d1f219539.svg)

*[دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) واحد من الرقصة: تتقاذف [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) بين الصفيحتين [والوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) ذهابًا وإيابًا مرتين في كل [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)، والمجموع مثبَّت عند $Q_0^2/2C$ — وهي عين شكل [مذبذب الزنبرك والكتلة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period)، معادَ عنونته.*

**مثال 31.7 (الرقصة، مقيسة).**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ مشحونة إلى $U_0 = 10\,\mathrm{V}$، موصولة [بوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L = 10\,\mathrm{mH}$: [فالطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$، [والدور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$، وتيار أعظمي $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ يُبلَغ بعد ربع [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($0.16\,\mathrm{ms}$) من إغلاق القاطعة.

## 31.3 الدارات الحقيقية: التذبذبات المتخامدة

كل [وشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) [حقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) ملفوفة من سلك [مقاوم](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-sign): فالحلقة الأمينة دارة *RLC* على التسلسل، [والمقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) تفرض ضريبتها على الرقصة.

**تعريف 31.8 (النظامان شبه الدوري واللادوري).**

في دارة RLC على التسلسل، تبدّد [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) بمفعول جول ([الفصل 12](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#ch-g11-circuits-and-power)): فتكون [التذبذبات الحرة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) *[متخامدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-damping)*. ونظامان، يُقرآن على [راسم الاهتزاز](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope):

- *شبه دوري* ( $R$ صغيرة): إذ تبقى الدارة تتذبذب داخل غلاف متقلص، بزمن تكرار — هو *شبه الدور* — قريب من $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ متى كان [التخامد](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-damping) خفيفًا؛
- *لادوري* ( $R$ كبيرة): إذ تزحف الشحنة عائدةً إلى الصفر دون أن تتجاوزه قط — فلا تذبذب البتة.

وهما المقابل المضبوط [للمذبذب](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) الميكانيكي المتخامد ([التعريف 28.12](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-damping)).

![مصيرا الدارة RLC الحقيقية: تذبذبات تموت داخل غلاف أُسّي (بالمتقطع)، أو زحف إلى الصفر بلا تذبذب. وعند التخامد الخفيف، يبقى شبه الدور T_0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-a4ca16d2b0ee.svg)

*مصيرا [الدارة RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) [الحقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images): تذبذبات تموت داخل غلاف أُسّي (بالمتقطع)، أو زحف إلى الصفر بلا تذبذب. وعند [التخامد](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-damping) الخفيف، يبقى [شبه الدور](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) $\approx T_0$.*

**ملاحظة 31.9 (صيانة التذبذبات).**

لإبقاء [السعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) حية، غذِّ الدارة بالضبط [بالطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) التي تحرقها [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance)، مرة في كل [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) و*على الخطى* مع التأرجح: فالمضخّم يفعل بالحلقة RLC ما تفعله دفعة الهارب بالنوّاس ([الفصل 28](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#ch-g12-oscillators-and-time)). وكل ساعة كوارتز وكل مرسِل راديوي [مذبذب](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) مصان من هذا النوع، يعمل على تواتره الذاتي $f_0$.

## 31.4 التوأم الميكانيكي

**قضية 31.10 (القاموس الكهربائي–الميكانيكي).**

معادلة [الدارة LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) هي معادلة الزنبرك والكتلة ([القضية 28.8](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period)) كلمةً بكلمة:

| [الدارة LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) |  | الزلّاجة على زنبرك |
| --- | --- | --- |
| [2pt] الشحنة $q$ | $\longleftrightarrow$ | الموضع $x$ |
| التيار $i = dq/dt$ | $\longleftrightarrow$ | [السرعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/24-kinematics-in-two-dimensions#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v = dx/dt$ |
| [المحاثّة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ | $\longleftrightarrow$ | الكتلة $m$ |
| مقلوب السعة $1/C$ | $\longleftrightarrow$ | [الصلابة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ |
| [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ | $\longleftrightarrow$ | [الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) |
| $L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$ | $\longleftrightarrow$ | $m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ |
| [2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ | $\longleftrightarrow$ | $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ |
| [2pt] $E_C = q^2/2C$ | $\longleftrightarrow$ | $E_p = \tfrac12 kx^2$ |
| $E_L = \tfrac12 Li^2$ | $\longleftrightarrow$ | $E_k = \tfrac12 mv^2$ |

المعادلة نفسها، والحلول نفسها: فكل نتيجة عن أيٍّ من المذبذبين تُترجَم في الحال إلى اللغة الأخرى.

**برهان.** قارن [القضية 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) بالمعادلة $m\,d^2x/dt^2 = -kx$: فبتعويض $q \to x$، $L \to m$، $1/C \to k$ تتحول إحداهما إلى الأخرى، ويحوّل $LC \to m/k$ المقدارَ $2\pi\sqrt{LC}$ إلى $2\pi\sqrt{m/k}$. ∎

**مثال 31.11 (موالفة راديو).**

يغذّي الهوائي الحلقةَ LC بهمس من *كل* محطة، لكن لا تدفع على الخطى وتتراكم إلا المحطة التي تبثّ قرب $f_0$ — أي [الرنين](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-resonance) ([التعريف 28.13](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-resonance)). والقرص يدير صفائح [مكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) متغيرة: فتغيير $C$ يزحزح $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$، وتسلّم الإبرة السماعةَ محطة واحدة في كل مرة. وفي جهة الإرسال، يضبط [مذبذب](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) مصان ([الملاحظة 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain)) [تواتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) البثّ؛ وفي الساعة، تؤدي بلورة كوارتز — وهي توأم ميكانيكي مذهل [الصلابة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring) — الوظيفة نفسها.

## 31.5 تمارين

**تمرين 31.1 ★.**

احسب $T_0$ و$f_0$ من أجل (أ) $L = 10\,\mathrm{mH}$، $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$؛ (ب) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$، $C = 100\,\mathrm{pF}$. وبأي عامل يختلف التواتران؟

**حل التمرين 31.1.**

(أ) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$، $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$. (ب) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$، $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — أي بعامل $\sqrt{10^5} \approx 316$.

**تمرين 31.2 ★.**

باستعمال $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ و$1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$، بيّن، وحدةً [وحدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)، أن $\sqrt{LC}$ زمن. ولماذا لا يغيّر $2\pi$ شيئًا؟

**حل التمرين 31.2.**

$LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} =
\mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$، ومن ثم يكون $\sqrt{LC}$ بالثواني. و$2\pi$ عدد خالص — فلا بُعد له ليغيّره.

**تمرين 31.3 ★.**

[مكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) قدرها $470\,\mathrm{nF}$ مشحونة إلى $6.0\,\mathrm{V}$. احسب $Q_0$ [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة؛ وصِف، بلا حساب، ما يتبع حين توصَل [بوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) مثالية.

**حل التمرين 31.3.**

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$؛ $E = \tfrac12 CU_0^2 =
\tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$. تتذبذب الشحنة عند $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$، والتيار خارج [الطور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-phase) بربع [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)، [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) تتقاذف بين الصفيحتين [والوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)، والمجموع ثابت.

**تمرين 31.4 ★.**

[دارة LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) تتبع $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ بالميكروكولوم، مع $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$. اقرأ $Q_0$؛ واحسب $f_0$، $q(T_0/2)$، $i(0)$، والتيار الأعظمي $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$.

**حل التمرين 31.4.**

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$؛ $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$؛ $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$؛ $i(0) = 0$ (فجيب التمام مسطّح عند $t=0$)؛ $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$.

**تمرين 31.5 ★.**

في أي لحظات من [الدور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) تكون [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) كلها في [المكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)؟ وكلها في [الوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)؟ وما المقابل الميكانيكي لكل لحظة في نوّاس؟

**حل التمرين 31.5.**

كلها في [المكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) حين $q = \pm Q_0$، $i = 0$ ($t = 0$، $T_0/2$، $T_0$، …): أي طرفا النوّاس. وكلها في [الوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) حين $q = 0$، $i = \pm I_0$ ($t = T_0/4$، $3T_0/4$، …): أي أخفض نقاط النوّاس وأسرعها.

**تمرين 31.6 ★★.**

تحقق بالتعويض من أن $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ تحقق $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ بالضبط حين $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**حل التمرين 31.6.**

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$، ومن ثم $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ من أجل كل $t$ بالضبط حين $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$، أي $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**تمرين 31.7 ★★.**

محطة على [الموجة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-wave) الطويلة تبثّ عند $198\,\mathrm{kHz}$. ومع $C = 220\,\mathrm{pF}$، أي [محاثّة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) توالفها؟

**حل التمرين 31.7.**

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times
(1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$.

**تمرين 31.8 ★★.**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ مشحونة إلى $10\,\mathrm{V}$ تفرغ في $L = 10\,\mathrm{mH}$. احسب [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة، والتيار الأعظمي ([بانحفاظ الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#thm-g10-energy-conservation-conservation))، واللحظة التي يُبلغ فيها أول مرة.

**حل التمرين 31.8.**

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$؛ ويعطي $\tfrac12 LI_0^2 = E$ المقدارَ $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$، ويُبلَغ أول مرة عند $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx
0.16\,\mathrm{ms}$.

**تمرين 31.9 ★★.**

فسّر لماذا يتذبذب $E_C$ و$E_L$ على [التواتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $2f_0$، لا $f_0$. وبيّن أن [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) عند $t = T_0/8$ (انطلاقًا من $q = Q_0$) تنقسم نصفين بالضبط.

**حل التمرين 31.9.**

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$، و$\cos^2$ يتكرر في كل *نصف* دورة: أي امتلاءان [للمكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) في كل [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)، ومنه $2f_0$. وعند $t = T_0/8$ يكون [الطور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-phase) $\pi/4$: $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$، ومنه $E_C = E_L = E/2$.

**تمرين 31.10 ★★.**

على [مخطط اهتزاز](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) [لدارة RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) خفيفة [التخامد](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-damping)، تقرأ العظميات المتتالية $4.0\,\mathrm{V}$ ثم $3.0\,\mathrm{V}$. وبفرض بقاء النسبة ثابتة، تنبّأ بالعظمى السادسة بعد $4.0\,\mathrm{V}$. وأيّ جزء من *[الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)* ينجو في كل شبه [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)؟ وماذا تقدر أن تقول عن [شبه الدور](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) نفسه؟

**حل التمرين 31.10.**

النسبة $3.0/4.0 = 0.75$ في كل شبه [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): فالعظمى السادسة $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$. [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $\propto$ مربع [السعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): ومن ثم ينجو $0.75^2 \approx 56\%$ في كل [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). أما [شبه الدور](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) فيبقى $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$: إذ يقلّص [التخامد](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-damping) الخفيف السعةَ، ولا يكاد يمسّ الوتيرة.

**تمرين 31.11 ★★.**

[لدارة LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) المقداران $L = 0.50\,\mathrm{H}$ و$C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$. احسب $T_0$؛ ثم، باستعمال القاموس ([القضية 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy))، جِد [الصلابة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ التي تعطي زلّاجة كتلتها $0.50\,\mathrm{kg}$ الدورَ نفسه، وتحقق منها.

**حل التمرين 31.11.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times
3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$. وبالقاموس: $k = m/(LC) =
0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$؛ وبالتحقق $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — أي $20\,\mathrm{ms}$ نفسه.

**تمرين 31.12 ★★★.**

موالف يستعمل $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ [ومكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) متغيرة تمسح $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$. احسب التواترين الأقصيين. وبيّن أن $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$، ومن ثم لا يعطي عاملُ عشرة في $C$ إلا $\sqrt{10} \approx 3.2$ في [التواتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**حل التمرين 31.12.**

$C = 500\,\mathrm{pF}$: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx
0.50\,\mathrm{MHz}$؛ $C = 50\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$. وعند ثبات $L$، يكون $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$: فعامل عشرة في $C$ لا يعطي إلا $\sqrt{10} \approx 3.2$ في $f_0$ — كما وُجد.

**تمرين 31.13 ★★★.**

[وشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) [حقيقية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-images) تجعل الدارة تفقد $5.0\%$ من طاقتها في كل شبه [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). فبعد كم [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) تكون [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) قد انتصفت؟ وما [السعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) عندئذٍ، كنسبة من البداية؟ وعند $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$، كم يبلغ ذلك بالميكروثانية؟

**حل التمرين 31.13.**

$0.95^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$، أي نحو $14$ [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). [والسعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\propto \sqrt{E}$: أي نازلة إلى $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ من البداية. وعند $1.0\,\mathrm{MHz}$، $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: أي نحو $14\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**تمرين 31.14 ★★★.**

[مذبذب](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ساعة يخزن $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ ويفقد $2.0\%$ منها في كل [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) عند $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$. فأيّ [استطاعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/17-work-of-a-force#def-g11-work-of-force-power) متوسطة يجب أن تزوّدها دارة الصيانة؟ ولماذا يجب أن تصل الدفعة على الخطى مع التذبذب؟

**حل التمرين 31.14.**

الخسارة في كل [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$، عند $32\,768$ [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11}
\approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — أي دون الميكروواط، فسنوات على خلية قرصية. وعلى الخطى، لأن الدفعة عند [الطور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-phase) الصحيح وحدها *تضيف* [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) (أي [الرنين](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-resonance))؛ أما خارج الخطى فستكبح التأرجح.

**تمرين 31.15 ★★★.**

بعد كل حافة من [إشارة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-signal) مربّعة، “ترنّ” أسلاك مجرِّب عند $25\,\mathrm{MHz}$؛ [والمحاثّة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) الطفيلية نحو $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$. قدّر السعة الطفيلية المسؤولة. وإلى أي نظام يجب أن تدفع [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) تسلسلية صغيرة مضافة الدارةَ، ولماذا يشفي ذلك الرنّة؟

**حل التمرين 31.15.**

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
(2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$. و ينبغي أن تدفع [المقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) الحلقةَ إلى [النظام اللادوري](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): فتستقر الشحنة عندئذٍ دون تجاوز — فلا تذبذب ولا رنّة.

## 31.6 مسألة: بناء راديو بلوري

**مسألة 31.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — بناء راديو بلوري: وشيعة واحدة، ومكثّفة متغيرة، وثنائي وسماعة أذن — بلا بطارية، وبلا مضخّم، وتصل أخبار المساء على طاقة الموجة نفسها

عدّة من علّية أحد الأجداد: [وشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ ملفوفة على أنبوب من الورق المقوّى، [ومكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) متغيرة تدور صفائحها من $20\,\mathrm{pF}$ إلى $480\,\mathrm{pF}$، وثنائي بلوري، وسماعة أذن، و $20\,\mathrm{m}$ من سلك الهوائي. والمحطات المطلوب التقاطها تبثّ بين $530\,\mathrm{kHz}$ و$1700\,\mathrm{kHz}$.

**الجزء I — حلقة الموالفة.**

1. [المكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ، وهي مشحونة، تُترك لتفرغ في [الوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) : اكتب قانون الحلقة وحوّله إلى المعادلة التفاضلية من أجل $q(t)$ .
2. تحقق بالتعويض من أن $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ تحلّها، بشرط $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
3. تحقق بالتحليل البُعدي من أن $\sqrt{LC}$ زمن.
4. والقرص مضبوط على $C = 330\,\mathrm{pF}$ : احسب $T_0$ و $f_0$ . فهل الحلقة موالَفة داخل الحزمة؟
5. جِد السعة التي توالف $1.00\,\mathrm{MHz}$ بالضبط.

**الجزء II — [المكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) المتغيرة.**

6. احسب السعة اللازمة من أجل $530\,\mathrm{kHz}$ .
7. احسب السعة اللازمة من أجل $1700\,\mathrm{kHz}$ .
8. احسب التواترين اللذين تبلغهما فعلًا [مكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) العدّة ذات $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ . فهل تغطي الحزمة كلها؟
9. بيّن أن $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ عند ثبات $L$ ؛ وبأي عامل يجب أن يتغير $C$ ليتضاعف $f_0$ ؟
10. تنفتح الصفائح انفتاحًا خطيًّا، ومن ثم يهبط $C$ بانتظام مع دوران القرص. فسّر لماذا تتزاحم المحطات عندئذٍ عند أحد طرفَي القرص — وأيّ طرف.

**الجزء III — [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) [والتخامد](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-damping).** وبالموالفة على $1.00\,\mathrm{MHz}$ ($C = 127\,\mathrm{pF}$)، يشحن الهوائي [المكثّفة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) لحظيًّا إلى $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$.

11. احسب الشحنة $Q_0$ [والطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة $E$ .
12. احسب التيار الأعظمي $I_0$ ، باستعمال [انحفاظ الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#thm-g10-energy-conservation-conservation) .
13. تبدّد [مقاومة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-resistance) [الوشيعة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/30-rc-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $4.0\%$ من [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) المخزونة في كل [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) : فبعد كم [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) تكون [الطاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) قد انتصفت؟
14. وكم يبلغ ذلك بالميكروثانية؟ ولماذا لا تقدر هذه “الرنّة” وحدها أن تذيع أخبار المساء؟
15. فسّر لماذا لا تبقي [الموجة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-wave) الواصلة الحلقةَ تتأرجح إلا عند الموالفة على تلك المحطة — وما الذي يصون التذبذب في *المرسِل* ( [الملاحظة 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain) ).

**الجزء IV — التوأم الميكانيكي.**

16. باستعمال القاموس ( [القضية 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy) ) مع زلّاجة كتلتها $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ ، احسب [صلابة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ الزنبرك الموافقة للدارة الموالَفة.
17. ولزنبرك سيارة قاسٍ $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . علّق: فهل يقدر جهاز زنبرك وكتلة على الطاولة أن يتذبذب بالميغاهرتز؟
18. واحتفظ بقيمة معقولة $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ بدلًا من ذلك: فأيّ كتلة تتذبذب عند $1.00\,\mathrm{MHz}$ ؟
19. وأيّ جسم حقيقي هو [مذبذب](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ميكانيكي بهذه الخفة وهذه [الصلابة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring) الفائقة، وأين لاقيته سابقًا هذه السنة ( [الفصل 28](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#ch-g12-oscillators-and-time) )؟
20. ورقة المواصفات، في جملة واحدة: الحزمة التي يمسحها راديوك، و السعة التي تلتقط $1.00\,\mathrm{MHz}$ ، وكم تدوم رنّة وحيدة، وما الذي يذيع الأخبار على أي حال.

**حل المسألة 31.1.**

**1.** قانون الحلقة: $u_L + u_C = 0$، مع $u_C = q/C$، $u_L = L\,di/dt$، $i = dq/dt$: $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$.

**2.** $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$، ومن ثم تُقرأ المعادلة $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$، وهي صحيحة من أجل كل $t$ بالضبط حين $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**3.** $LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times
\mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — فالمقدار $\sqrt{LC}$ زمن.

**4.** $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7}
\approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$، $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — أي داخل $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$.

**5.** $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$.

**6.** الصيغة نفسها عند $530\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 451\,\mathrm{pF}$.

**7.** عند $1700\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 44\,\mathrm{pF}$.

**8.** $C = 480\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$؛ $C = 20\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — أي الحزمة كلها، بهامش عند الطرفين.

**9.** $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$؛ ومضاعفة $f_0$ تقتضي قسمة $C$ على $4$.

**10.** بما أن $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$، تزحزح خطوات $C$ المتساوية المقدارَ $f_0$ ببطء عند $C$ الكبيرة وبسرعة عند $C$ الصغيرة: ومن ثم لا يستغرق تباعد معطًى بين المحطات إلا مسافة قليلة من دوران القرص — فتتزاحم عند الطرف ذي [التواتر](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) العالي (و$C$ المنخفضة).

**11.** $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx
2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$؛ $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$.

**12.** $\tfrac12 LI_0^2 = E$: $I_0 = U_0\sqrt{C/L} =
0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$.

**13.** $0.96^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert
\approx 17$ [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**14.** عند $1.00\,\mathrm{MHz}$، $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: فتنتصف الرنّة في نحو $17\,\text{µ}\mathrm{s}$. والرنّة الوحيدة تموت في ميكروثوانٍ؛ أما الموسيقى فتحتاج تغذية الحلقة تغذيةً مستمرة.

**15.** تدفع [الموجة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-wave) ملايين المرات في [الثانية](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)؛ ولا تصل الدفعات على الخطى فتبني التأرجح إلا حين يوافق تواترها $f_0$ — أي [الرنين](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-resonance)؛ أما المحطات خارج الموالفة فتدفع ضده بقدر ما تدفع معه. وفي المرسِل، يعيد مضخّم الطاقةَ [المبدَّدة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/18-mechanical-energy-and-its-conservation#def-g11-mechanical-energy-dissipation) في كل [دور](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): أي [مذبذب](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) مصان.

**16.** $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $k = m/(LC) =
0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**17.** نحو $10^8$ ضعف زنبرك السيارة: فلا يبلغ أي جهاز زنبرك وكتلة على الطاولة الميغاهرتز — إذ إن الصلابات والكتل اليومية بطيئة بلا أمل.

**18.** $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100}
{(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — أي بضعة نانوغرامات، أي ذرّة غبار.

**19.** بلورة كوارتز: أي شظية بالغة الخفة، فائقة [الصلابة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-spring)، تغنّي على [تواترها الذاتي](#def-g12-rlc-oscillations-period) — وهي حافظة الزمن التي لُقيت سابقًا هذه السنة.

**20.** مع $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ و$20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$، تمسح الحلقة نحو $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$، فتغطي الحزمة؛ و$C \approx 127\,\mathrm{pF}$ تلتقط $1.00\,\mathrm{MHz}$؛ وإذا تُركت وشأنها، انتصفت الرنّة في $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$، لكن [موجة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-wave) المحطة نفسها، وهي ترنّ على الخطى، تعيد تغذية الحلقة — فتذاع الأخبار على [طاقة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/9-energy-forms-and-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) [الموجة](https://one-course.com/books/physics/2/ar/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-wave) نفسها.