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title: "Órdenes de magnitud: medir el universo"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 1
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo
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# Capítulo 1 — Órdenes de magnitud: medir el universo

La física empieza donde acaba la opinión: en una medida. Pero las cosas que la física mide abarcan un intervalo absurdo — un núcleo atómico mide unos $10^{-15}\,\mathrm{m}$ y el universo observable unos $10^{27}\,\mathrm{m}$: un factor $10^{42}$, mucho más de lo que cabe en una imagen mental. Este capítulo instala las herramientas que domestican ese intervalo — [unidades](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), potencias de diez, [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) — y dos costumbres que se usarán en todas las páginas siguientes: escribir la [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y comprobar el [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

## 1.1 Las unidades: la gramática de la medida

**Definición 1.1 (Magnitudes físicas y unidades del SI).**

Una *magnitud física* es una propiedad del mundo que se puede medir: una longitud, una duración, una masa. Medirla consiste en contar cuántas veces cabe en ella una magnitud de referencia: la *unidad*. El *Sistema Internacional de Unidades* (SI) fija siete unidades básicas, de las cuales tres gobiernan todo este volumen: el *metro* ($\mathrm{m}$) para la longitud, el *kilogramo* ($\mathrm{kg}$) para la masa y el *segundo* ($\mathrm{s}$) para el tiempo. (Las otras cuatro — amperio, kelvin, mol, candela — entrarán en escena con la electricidad, el calor y la química.)

**Observación 1.2 (Un número sin unidad no es un resultado).**

“La distancia es $384$” no dice nada: $384\,\mathrm{mm}$, $384\,\mathrm{km}$ y $384\,\mathrm{Mm}$ son tres mundos distintos (el último resulta ser la distancia a la Luna). En 1999 la NASA perdió el *Mars Climate Orbiter*, de $327$ millones de dólares, porque un programa calculaba las fuerzas de los propulsores en libras-fuerza y otro las leía como newtons. Norma de la casa, desde esta línea hasta el final del libro: todo número medido o calculado lleva su [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), en cada renglón del cálculo.

**Definición 1.3 (Prefijos del SI).**

Un *prefijo* pegado a una [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) la multiplica por una potencia de diez fija:

| femto | f | $10^{-15}$ | centi | c | $10^{-2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| pico | p | $10^{-12}$ | kilo | k | $10^{3}$ |
| nano | n | $10^{-9}$ | mega | M | $10^{6}$ |
| micro | $\mu$ | $10^{-6}$ | giga | G | $10^{9}$ |
| mili | m | $10^{-3}$ | tera | T | $10^{12}$ |

Así, $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ y $1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}$.

**Ejemplo 1.4 (Leer los prefijos).**

La luz verde tiene una longitud de onda de unos $500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$; un cabello humano mide unos $70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ de grosor; la Luna orbita a $384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. Una gota de lluvia tiene una masa de unos $30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ — obsérvese que la [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) básica de masa del SI es la única de las siete que ya lleva [prefijo](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes).

## 1.2 Notación científica y cifras significativas

**Definición 1.5 (Notación científica).**

Un número está en *notación científica* cuando se escribe

$$
a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ entero.}
$$

El factor $a$ es la *mantisa* y el entero $n$ el *exponente*. Así, $149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8}$ y $0.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}$.

**Proposición 1.6 (Calcular con potencias de diez).**

Para todos los enteros $m$ y $n$:

$$
10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad
\frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad
\left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.
$$

**Demostración parcial.** Para [exponentes](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) positivos basta contar los factores: $10^{m} \times
10^{n}$ es un producto de $m + n$ dieces, y $(10^m)^n$ encadena $n$ grupos de $m$ dieces. Escribir $10^{-n}$ en lugar de $1/10^{n}$ es precisamente el convenio que mantiene válida la primera regla para todo entero: obliga a que $10^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1$. El volumen de matemáticas correspondiente estudia a fondo las reglas de los [exponentes](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot). ∎

**Ejemplo 1.7 (Multiplicar en notación científica).**

¿Cuántas Tierras caben en el Sol, en masa? Con $m_{\text{Sun}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ y $m_{\text{Earth}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$:

$$
\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}}
= \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24}
= 0.333 \times 10^{6}
= 3.33 \times 10^{5}.
$$

Las [mantisas](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) y los [exponentes](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) se tratan por separado; el resultado final se vuelve a normalizar para que la [mantisa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) caiga de nuevo en $[1, 10)$.

**Definición 1.8 (Cifras significativas).**

Las *cifras significativas* de un número medido son los dígitos que la medida garantiza realmente: todos los escritos salvo los ceros iniciales. Los ceros finales cuentan — $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (tres cifras significativas) promete más que $5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (dos). La [notación científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) muestra el recuento de un vistazo: la [mantisa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) lleva exactamente las cifras significativas.

**Método 1.9 (Cuántos dígitos conservar).**

Un resultado calculado no puede ser más preciso que sus ingredientes.

1. En un producto o un cociente, se conservan tantas [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) como tenga el factor *menos* preciso.
2. Se redondea solo el resultado final, nunca los pasos intermedios.
3. En caso de duda, tres [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) : es la precisión de trabajo de este libro.

**Ejemplo 1.10 (La circunferencia de la Tierra).**

El diámetro de la Tierra es $d = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (tres [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig)), de modo que su circunferencia vale $\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — tres cifras, no las ocho que muestra la calculadora. Escribir $39\,898\,227\,\mathrm{m}$ sería afirmar que conocemos el planeta con precisión de un [metro](#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

![Una regla en la que cada paso igual multiplica por diez. Las marcas pequeñas son 200, 300, …, 900: una década entera se apretuja en cada tramo. Sobre esta regla, 300 se inclina hacia 102 y 7000 hacia 104 — sus órdenes de magnitud.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-75f975736dc2.svg)

*Una regla en la que cada paso igual *multiplica* por diez. Las marcas pequeñas son $200, 300, \dots, 900$: una década entera se apretuja en cada tramo. Sobre esta regla, $300$ se inclina hacia $10^{2}$ y $7000$ hacia $10^{4}$ — sus órdenes de magnitud.*

## 1.3 La escalera del universo

**Definición 1.11 (Orden de magnitud).**

El *orden de magnitud* de una cantidad es la potencia de diez más próxima a ella: se escribe la cantidad como $a \times 10^{n}$ con $1 \leq a < 10$ y se toma $10^{n}$ si $a < 5$ y $10^{n+1}$ si $a \geq 5$. (El convenio exacto en la frontera nunca importa: una afirmación de orden de magnitud solo pretende ser válida salvo un factor diez.)

**Ejemplo 1.12 (Órdenes de magnitud).**

Una vida humana dura unos $80$ años, es decir $80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$: [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}\,\mathrm{s}$ — unos pocos miles de millones de segundos, conviene gastarlos bien. Una persona mide $1.7\,\mathrm{m}$: orden $10^{0}\,\mathrm{m}$. El Everest, $8848\,\mathrm{m}$: orden $10^{4}\,\mathrm{m}$, porque $8.848 \geq 5$.

Apilar estas estimaciones por [exponente](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) produce la imagen maestra del capítulo: una escalera en la que cada peldaño es un mundo diez veces más ancho que el de abajo.

![La escalera del universo, en metros: 42 potencias de diez separan el núcleo atómico del universo observable, y el ser humano está a diez peldaños del átomo pero a veintisiete de la cima.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-ba86511143f2.svg)

*La escalera del universo, en [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $42$ potencias de diez separan el núcleo atómico del universo observable, y el ser humano está a diez peldaños del átomo pero a veintisiete de la cima.*

Por encima del peldaño de la Tierra, los [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) dejan de ser cómodos; la astronomía tiene sus propias [unidades](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), definidas ambas a partir de la escalera misma.

**Definición 1.13 (Unidad astronómica y año luz).**

La *unidad astronómica* ($1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) es la distancia media entre la Tierra y el Sol. El *año luz* ($\mathrm{ly}$) es la distancia que recorre la luz en un año. La luz se propaga en el vacío a

$$
c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},
$$

la mayor velocidad que la naturaleza permite — de modo que el año luz es una distancia, no un tiempo.

![Distancias desde la Tierra sobre la regla multiplicativa, con el tiempo de viaje de la luz en rojo bajo cada una: la Luna está a segundos luz, los planetas a horas luz y las estrellas a años luz.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-f4053c1a1cd1.svg)

*Distancias desde la Tierra sobre la regla multiplicativa, con el tiempo de viaje de la luz en rojo bajo cada una: la Luna está a segundos luz, los planetas a horas luz y las estrellas a [años luz](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear).*

**Ejemplo 1.14 (El año luz en metros).**

Un año contiene $365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ (agradablemente cercano a $\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}$). Por tanto

$$
1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.
$$

Próxima Centauri, la estrella más cercana después del Sol, está a $4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$: la luz, que cruza la distancia Tierra–Sol en ocho minutos, tarda más de cuatro años en llegar desde allí.

**Método 1.15 (Comprobar un resultado por su orden de magnitud).**

Antes de fiarse de cualquier resultado calculado:

1. redondear cada dato a su [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) ;
2. rehacer el cálculo solo con potencias de diez, usando la [Proposición 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers) — cuesta unos segundos;
3. comparar: el resultado preciso debe coincidir con la estimación salvo un factor diez, y su [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) debe ser la correcta. Si falla cualquiera de las dos comprobaciones, hay que cazar el error antes de seguir.

**Observación 1.16 (Por qué molestarse).**

Una calculadora afirmará tan tranquila que una manzana tiene una masa de $4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ — no puede saber más. Ninguna fórmula avisa de lo absurdo; la costumbre sí. Los físicos estiman primero y calculan después: la estimación caza las comas decimales mal puestas, las [unidades](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) intercambiadas y las fracciones invertidas, los tres errores que hay detrás de la mayoría de las respuestas falsas a cualquier nivel.

## 1.4 Medida e incertidumbre

Ningún instrumento da el valor verdadero. Una medida solo es honrada si indica además cuánto puede desviarse.

**Definición 1.17 (Incertidumbre absoluta y relativa).**

La medida de una magnitud $x$ se escribe

$$
x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,
$$

donde $x_{\text{m}}$ es el valor medido y la *incertidumbre absoluta* $\Delta x > 0$, en la misma [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), acota el error plausible: se afirma que el valor verdadero está comprendido entre $x_{\text{m}} - \Delta x$ y $x_{\text{m}} + \Delta x$. La *incertidumbre relativa* es el cociente $\Delta x / x_{\text{m}}$, que suele darse en porcentaje; es lo que mide la palabra “preciso”.

**Método 1.18 (Leer un instrumento graduado).**

Para una regla, una probeta o un dial:

1. leer la graduación más próxima a la marca, con el ojo perpendicular a la escala (mirar de lado desplaza la lectura);
2. tomar como [incertidumbre absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) al menos la mitad de la graduación más pequeña — más si el borde del objeto o la superficie del líquido están difusos;
3. escribir el resultado como $x_{\text{m}} \pm \Delta x$ con su [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , sin conservar ningún dígito más allá del dígito incierto.

![Lectura de una regla milimetrada: el extremo de la varilla cae junto a la graduación de 127\, mm, y la banda sombreada de media graduación a cada lado es la afirmación honrada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-9ff0d7ee00e5.svg)

*Lectura de una regla milimetrada: el extremo de la varilla cae junto a la graduación de $127\,\mathrm{mm}$, y la banda sombreada de media graduación a cada lado es la afirmación honrada.*

**Ejemplo 1.19 (Precisión relativa).**

La lectura anterior tiene una [incertidumbre relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) $\frac{0.5}{127} \approx 0.4\,\%$. La misma regla, midiendo un perno de $12\,\mathrm{mm}$, da $\frac{0.5}{12} \approx 4\,\%$: el mismo instrumento es diez veces menos preciso sobre el objeto pequeño. La precisión es una propiedad de la *medida*, no de la herramienta.

**Observación 1.20 (Poco en absoluto, mucho en relativo — y al revés).**

Las estaciones láser miden la distancia Tierra–Luna, $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, con unos $\pm3\,\mathrm{cm}$: una [incertidumbre relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de $10^{-10}$, de las medidas más finas jamás realizadas — y con un error absoluto del que ninguna regla presumiría. Hay que preguntar siempre *relativo a qué*: la pareja $(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}})$ cuenta la historia completa, y cualquiera de los dos números por separado puede engañar.

## 1.5 Ejercicios

**Ejercicio 1.1 ★.**

Convierte a [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), en [notación científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

1. $750\,\mathrm{nm}$ (longitud de onda de la luz roja);
2. $2.5\,\mathrm{km}$ ;
3. $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ (una bacteria del suelo);
4. $0.15\,\mathrm{Tm}$ (la distancia Tierra–Sol, con un disfraz insólito).

**Solución de Ejercicio 1.1.**

*1.* $750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$. *2.* $2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$. *3.* $3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$. *4.* $0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ — una [unidad astronómica](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear).

**Ejercicio 1.2 ★.**

Escribe en [notación científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) e indica el número de [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig):

1. la distancia Tierra–Sol, $149\,600\,000\,\mathrm{km}$ , en [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ;
2. el diámetro de un átomo de hidrógeno, $0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m}$ ;
3. la población mundial, unos $8\,100\,000\,000$ ;
4. una duración de $0.005\,20\,\mathrm{s}$ .

**Solución de Ejercicio 1.2.**

*1.* $149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$: $4$ [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *2.* $1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$: $3$ [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (los ceros iniciales nunca cuentan). *3.* $8.1 \times 10^{9}$: $2$ [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *4.* $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$: $3$ [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (el cero final es una promesa).

**Ejercicio 1.3 ★.**

Calcula sin calculadora y da cada resultado en [notación científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

$$
(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad
\frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad
(5\times10^{6})^{2}, \qquad
\frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
$$

**Solución de Ejercicio 1.3.**

[Mantisas](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) y [exponentes](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) por separado ([Proposición 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers)):

$$
3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad
\tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
$$

$$
5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad
\tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .
$$

**Ejercicio 1.4 ★.**

Da el [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), con su [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), de: una estatura humana de $1.7\,\mathrm{m}$; el Everest, $8848\,\mathrm{m}$; una bacteria *E. coli*, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$; la masa de la Tierra, $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Solución de Ejercicio 1.4.**

Persona: $1.7 < 5$, orden $10^{0}\,\mathrm{m}$. Everest: $8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ y $8.848 \geq 5$: orden $10^{4}\,\mathrm{m}$. Bacteria: orden $10^{-6}\,\mathrm{m}$. Tierra: $5.97 \geq 5$, orden $10^{25}\,\mathrm{kg}$.

**Ejercicio 1.5 ★.**

Una regla está graduada en milímetros. Mides un lápiz y obtienes $127\,\mathrm{mm}$.

1. Escribe el resultado con su [incertidumbre absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Calcula la [incertidumbre relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
3. La misma regla mide una goma de $12\,\mathrm{mm}$ . ¿Cuál de las dos medidas es más precisa, y en qué factor?

**Solución de Ejercicio 1.5.**

*1.* Media graduación: $L = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$. *2.* $\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\,\%$. *3.* Goma: $0.5/12 \approx 4\,\%$. La medida del lápiz es unas diez veces más precisa — la misma regla, la misma [incertidumbre absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty), un objeto diez veces más largo.

**Ejercicio 1.6 ★★.**

Con $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$:

1. Expresa en [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) las distancias a Próxima Centauri ( $4.24\,\mathrm{ly}$ ) y a Sirio ( $8.6\,\mathrm{ly}$ ).
2. La sonda *Voyager 1* está a unos $2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$ de la Tierra. ¿Cuánto tarda su señal de radio, que viaja a $c$ , en llegar hasta nosotros? Expresa la respuesta en horas.

**Solución de Ejercicio 1.6.**

*1.* Próxima: $4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$. Sirio: $8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ (dos [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), como el dato). *2.* $t = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, es decir $8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}$: casi un día entero por cada mensaje de la sonda.

**Ejercicio 1.7 ★★.**

¿Cuánto tarda la luz en llegar a la Tierra desde la Luna ($3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$), desde el Sol ($1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) y desde Neptuno ($4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$)? Da cada respuesta en una [unidad](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) razonable y completa la frase: “Cuando miras Neptuno, lo ves tal como era…”

**Solución de Ejercicio 1.7.**

$t = d/c$ en cada caso. Luna: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$. Sol: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx
8.3\,\mathrm{min}$. Neptuno: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx
4.2\,\mathrm{h}$. Cuando miras Neptuno, lo ves tal como era hace unas cuatro horas — todo telescopio es una máquina del tiempo modesta.

**Ejercicio 1.8 ★★.**

Una resma de $500$ hojas de papel, medida con una regla milimetrada, tiene $52.0\,\mathrm{mm}$ de grosor, con una incertidumbre de $\pm0.5\,\mathrm{mm}$.

1. Deduce el grosor de una hoja, con su [incertidumbre absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. ¿Cuál es la [incertidumbre relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de ese grosor?
3. ¿Por qué medir la resma es enormemente mejor que medir una sola hoja con la misma regla? Cuantifícalo.

**Solución de Ejercicio 1.8.**

*1.* Una hoja: $52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm}
= 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. La incertidumbre se divide igual: $0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}$, así que $t = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}$. *2.* $1/104 \approx 1\,\%$. *3.* Medir una sola hoja daría $(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$: una [incertidumbre relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de unos $500\,\%$ — la regla ni siquiera puede demostrar que la hoja existe. Apilar $500$ hojas multiplica por $500$ la longitud medida mientras la [incertidumbre absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de la regla sigue fija: la [incertidumbre relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) se reduce en ese mismo factor $500$.

**Ejercicio 1.9 ★★.**

Toma $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ como diámetro de un átomo. ¿Cuántos átomos, uno al lado de otro, abarcan una bacteria de $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$, un cabello de $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ y una persona de $1.7\,\mathrm{m}$? Da también la última respuesta como [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

**Solución de Ejercicio 1.9.**

Se divide cada longitud entre $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$. Bacteria: $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4}$ átomos. Cabello: $7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}$. Persona: $1.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}$, [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{10}$: diez mil millones de átomos de la cabeza a los pies.

**Ejercicio 1.10 ★★.**

Una maqueta representa el Sol (diámetro $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$) mediante un balón de fútbol de $22\,\mathrm{cm}$ de diámetro.

1. Calcula el factor de escala de la maqueta.
2. Halla el diámetro de la Tierra en la maqueta ( $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ) y su distancia al balón (distancia real $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).
3. ¿A qué distancia de la Tierra de la maqueta está su Luna (distancia real $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )? ¿Y a qué distancia queda Neptuno (distancia real $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ )?

**Solución de Ejercicio 1.10.**

*1.* $s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}$. *2.* Tierra: $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} =
2.0\,\mathrm{mm}$ — un grano de pimienta — que orbita a $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx
24\,\mathrm{m}$ del balón. *3.* Luna: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm}$ del grano de pimienta. Neptuno: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}$: la maqueta no cabe en el patio del colegio.

**Ejercicio 1.11 ★★.**

Las [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) en acción.

1. Una hoja A4 mide $21.0\,\mathrm{cm}$ por $29.7\,\mathrm{cm}$ . Da su área con el número correcto de [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) .
2. Un velocista recorre $100.0\,\mathrm{m}$ en $12.3\,\mathrm{s}$ . Da la velocidad media correctamente redondeada.
3. Explica en una frase qué tendría de deshonesto anunciar el área como $623.70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

**Solución de Ejercicio 1.11.**

*1.* $21.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}$, redondeado a las tres [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) de los datos: $624\,\mathrm{cm}^{2}$. *2.* $v = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (tres cifras, fijadas por el tiempo). *3.* Cinco [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) afirmarían conocer el área con precisión de $0.01\,\mathrm{cm}^{2}$, una precisión que unos datos al milímetro nunca dieron — un decimal falsificado sigue siendo una falsificación.

**Ejercicio 1.12 ★★★.**

Una gota de aceite de volumen $1.0\,\mathrm{mm}^{3}$ se deposita sobre agua en reposo y se extiende formando una película circular de $1.1\,\mathrm{m}$ de diámetro — una película que capítulos posteriores mostrarán que tiene el grosor de una molécula.

1. Calcula el área de la película y después su grosor.
2. Deduce un [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) para el tamaño de una molécula y compáralo con el peldaño del átomo en la escalera.

(Este experimento de servilleta, ensayado por primera vez por Benjamin Franklin en un estanque de Londres, fue una de las primeras medidas honradas del mundo molecular.)

**Solución de Ejercicio 1.12.**

*1.* Radio $r = 0.55\,\mathrm{m}$, área $A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}$. Volumen $V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}$, y una película es (área) $\times$ (grosor), de modo que

$$
e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}}
= 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .
$$

*2.* Una molécula es del orden de $10^{-9}\,\mathrm{m}$ — un peldaño por encima de los $10^{-10}\,\mathrm{m}$ del átomo, lo que concuerda con que una molécula sea un pequeño racimo de átomos. La cucharada de aceite de Franklin calmó media hectárea de estanque y, sin que él lo supiera, midió el nanómetro.

**Ejercicio 1.13 ★★★.**

Estima el número de latidos del corazón a lo largo de una vida humana. Indica tus hipótesis (frecuencia cardíaca en reposo, esperanza de vida), reduce la aritmética a potencias de diez y un dígito de [mantisa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot), y da la respuesta final únicamente como [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom). ¿Por qué no tendría ningún sentido darla con cuatro [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig)?

**Solución de Ejercicio 1.13.**

Hipótesis: unos $70$ latidos por minuto en reposo y una vida de $80$ años. Por día: $70 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5}$ latidos. Por año: $1 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}$. Por vida: $4 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9}$ — [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}$, unos pocos miles de millones de latidos. Cuatro [cifras significativas](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) fingirían conocer la frecuencia cardíaca minuto a minuto durante ochenta años: los datos de partida son estimaciones a un [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), y ningún resultado puede superar a sus datos ([Método 1.9](#met-g10-orders-of-magnitude-sigfig)).

**Ejercicio 1.14 ★★★.**

Una hoja de papel tiene $0.10\,\mathrm{mm}$ de grosor y cada pliegue duplica el grosor del montón. Usando $2^{10} \approx 10^{3}$:

1. ¿Después de cuántos pliegues superaría el montón la altura del Everest ( $8848\,\mathrm{m}$ )?
2. ¿Después de cuántos pliegues llegaría a la Luna ( $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )?
3. En la práctica una hoja no se puede plegar más de unas siete veces. ¿Invalida eso la aritmética o solo el experimento?

**Solución de Ejercicio 1.14.**

Tras $n$ pliegues el grosor es $2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. *1.* Hace falta $2^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}$. Como $2^{26} \approx 6.7 \times 10^{7}$ se queda corto y $2^{27} \approx 1.3 \times 10^{8}$ basta: $27$ pliegues (montón $\approx 13\,\mathrm{km}$). *2.* Hace falta $2^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}$: $2^{41} \approx
2.2 \times 10^{12}$ no llega y $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ sí — $42$ pliegues, montón de $4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, holgadamente más allá de la Luna. *3.* Solo el experimento: cada pliegue reduce el área a la mitad y, tras siete, el montón es más grueso que ancho. La aritmética de la duplicación queda intacta — el crecimiento exponencial simplemente adelanta a lo que el papel (y la intuición) pueden seguir.

**Ejercicio 1.15 ★★★.**

La telemetría láser da la distancia Tierra–Luna como $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}$; una buena regla mide una mesa y da $1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}$.

1. Calcula ambas [incertidumbres relativas](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) . ¿Qué medida es más precisa, y en qué factor?
2. ¿Con qué [incertidumbre absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) habría que medir la mesa para igualar la precisión relativa de la medida lunar? Compara esa longitud con el tamaño de un átomo y concluye con el debido respeto.

**Solución de Ejercicio 1.15.**

*1.* Luna: $0.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}$. Mesa: $0.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}$. La medida lunar es más precisa en un factor $1.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7}$ — más de diez millones. *2.* Igualar $7.8 \times 10^{-11}$ en una mesa de un [metro](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) exige $\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$, menos que un átomo ($\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}$): el borde de la mesa ni siquiera está *definido* con esa nitidez. En términos relativos, la distancia Tierra–Luna por láser es una de las medidas más finas que posee nuestra especie.

## 1.6 Problema: del átomo a Andrómeda

**Problema 1.1.**

Problema de fin de semana — un solo grano de arena mide el átomo, el Sistema Solar, la galaxia y el universo observable, y te sitúa a ti en la escalera que los separa

Un grano de arena es el objeto más humilde de la física, y este fin de semana hará horas extra: primero contamos sus átomos, luego encogemos el Sol hasta su tamaño y recorremos el cosmos a pasos, después dejamos que la luz haga de topógrafo y, por último, contamos los átomos que hay en *ti*. Datos, usados a lo largo de todo el problema: diámetro del grano $0.5\,\mathrm{mm}$; diámetro de un átomo $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$; densidad de la arena $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; diámetros: Sol $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$, Tierra $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, Vía Láctea $9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$, universo observable $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}$; distancias desde nosotros: Luna $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, Sol $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, Neptuno $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$, Próxima Centauri $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, galaxia de Andrómeda $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; una molécula de agua tiene una masa de $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ y contiene tres átomos.

**Parte I — Anatomía del grano.**

1. Escribe el diámetro del grano y el del átomo en [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , en [notación científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) , y nombra el [prefijo](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) del SI al que más se acerca cada uno.
2. ¿Cuántos átomos caben uno al lado de otro a lo ancho de un grano?
3. Modeliza el grano como un cubo de $0.5\,\mathrm{mm}$ de arista relleno de átomos. Estima el número de átomos del grano, como [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) .
4. Calcula el volumen de ese cubo y después la masa del grano. Expresa la masa en miligramos.
5. Comprueba el modelo: divide la masa del grano entre su número de átomos y compara con el [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) conocido de las masas atómicas (unos pocos $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ). ¿Veredicto?

**Parte II — El Sol como grano de arena.** Construimos una maqueta del cosmos en la que el Sol es el grano: cada tamaño de la maqueta es el tamaño real multiplicado por un factor $s$.

6. Calcula el factor de escala $s$ .
7. En la maqueta, halla el diámetro de la Tierra y su distancia al Sol-grano. ¿Qué objeto del mundo de la Parte I tiene aproximadamente el tamaño de esa Tierra?
8. ¿A qué distancia del grano orbita el Neptuno de la maqueta? ¿Qué mueble albergaría el sistema planetario entero?
9. ¿A qué distancia queda la Próxima Centauri de la maqueta?
10. Dos granos de arena a $14\,\mathrm{km}$ uno de otro, y casi nada entre medias: di en una o dos frases qué revela la maqueta sobre lo vacía que está la galaxia.

**Parte III — La luz hace de topógrafo.**

11. ¿Cuánto tarda la luz en cruzar el grano de arena real?
12. ¿Cuánto tarda la luz en llegar hasta nosotros desde la Luna y desde el Sol?
13. Recalcula el [año luz](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) en [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) a partir de $c$ y de la duración del año, y comprueba que la distancia a Próxima que figura en los datos corresponde a unos $4.2\,\mathrm{ly}$ .
14. Convierte la distancia a Andrómeda en [años luz](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) . ¿Cuándo, más o menos, salió de Andrómeda la luz que ahora entra en tu ojo, y qué caminaba por la Tierra en aquel momento?
15. ¿Qué distancia recorre la luz en un nanosegundo? Un procesador a $3\,\mathrm{GHz}$ inicia una operación cada tercio de nanosegundo: explica en una frase por qué un ordenador rápido tiene que ser un ordenador pequeño.

**Parte IV — Tú, entre el átomo y Andrómeda.**

16. Una persona es, a grandes rasgos, $70\,\mathrm{kg}$ de agua. Con los datos, estima la masa media de un átomo en el agua y después el número de átomos de una persona.
17. Compara ese recuento con los átomos del grano (pregunta 3) y con las aproximadamente $2\times10^{23}$ estrellas del universo observable. Da los dos factores.
18. En la escalera, ¿estás más cerca del átomo o del universo observable? Compara los cocientes $\text{(tú)}/\text{(átomo)}$ y $\text{(universo)}/\text{(tú)}$ , tomando $1.7\,\mathrm{m}$ para ti.
19. Halla el tamaño $x$ que se sitúa exactamente a media escalera entre el núcleo ( $10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) y el universo observable: $x$ debe cumplir $x / 10^{-15} = 10^{26.9} / x$ (tomando $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}$ ). ¿Qué objeto del Sistema Solar tiene justamente ese tamaño?
20. El remate. Encoge el universo observable con el factor $s$ de la Parte II, de modo que el Sol sea un grano de arena. Da el diámetro del universo de la maqueta en [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y después en [unidades astronómicas](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) , y concluye en una frase: aun con cada estrella convertida en grano de arena, el universo desborda toda escala humana — solo las potencias de diez lo abarcan.

**Solución de Problema 1.1.**

**1.** Grano: $0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$, en la escala mili; átomo: $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}$, en la escala nano.

**2.** $5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}$: dos millones de átomos de lado a lado.

**3.** Un cubo de $2 \times 10^{6}$ átomos de arista contiene $(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18}$ átomos: [orden de magnitud](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{19}$.

**4.** $V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}$, de modo que $m = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}
= 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}$.

**5.** Masa por átomo: $3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ — de lleno en el intervalo de “unos pocos $10^{-26}\,\mathrm{kg}$”. El ingenuo cubo de átomos reproduce las masas atómicas reales: el modelo supera la comprobación ([Método 1.15](#met-g10-orders-of-magnitude-sanity)) con nota.

**6.** $s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}$.

**7.** Tierra de la maqueta: diámetro $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ — el tamaño de una bacteria — a una distancia $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm}$ del grano: la Tierra es un microbio a cinco centímetros de un grano de arena.

**8.** $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}$: el sistema planetario entero orbita dentro de una mesa de comedor.

**9.** $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}
= 14\,\mathrm{km}$.

**10.** La estrella más cercana a nuestro Sistema Solar de sobremesa es otro grano de arena a catorce kilómetros, y entre medias prácticamente nada: la galaxia es abrumadoramente espacio vacío, y por eso las colisiones entre estrellas son casi inauditas.

**11.** $t = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ — menos de dos picosegundos.

**12.** Luna: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
1.28\,\mathrm{s}$. Sol: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}$: la luz del Sol tiene siempre ocho minutos de antigüedad.

**13.** Un año son $365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, así que $1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$; entonces $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2$: la distancia de los datos es, en efecto, de unos $4.2\,\mathrm{ly}$.

**14.** $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}$: dos millones y medio de [años luz](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). Esa luz salió de Andrómeda hace unos $2.5$ millones de años, cuando los primeros miembros del género *Homo* aprendían a tallar piedras — y ningún *Homo sapiens* existía aún en ninguna parte.

**15.** $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}$. En un tercio de nanosegundo una señal recorre a lo sumo unos $10\,\mathrm{cm}$, de modo que dos partes de la máquina que deban hablarse dentro de un mismo ciclo de reloj tienen que estar a menos de diez centímetros una de otra: la velocidad pone techo al tamaño.

**16.** Átomo medio en el agua: $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$. Número de átomos: $70\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}$.

**17.** Frente al grano: $7 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9}$ — contienes los átomos de mil millones de granos. Frente a las estrellas: $7 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4}$ — tus átomos superan a todas las estrellas del universo observable en treinta y cinco mil a uno.

**18.** $\text{(tú)}/\text{(átomo)} =
1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}$, mientras que $\text{(universo)}/\text{(tú)} =
8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}$. En la escalera estás unos diez peldaños por encima del átomo y casi veintisiete por debajo del universo: en términos multiplicativos, el ser humano vive muy cerca de sus átomos.

**19.** La condición da $x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}$, de donde $x = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km}$ — casi exactamente el diámetro de Ceres, el mayor asteroide ($\approx 940\,\mathrm{km}$). A media escalera entre un núcleo y el cosmos se sienta un modesto planeta enano.

**20.** $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}$, es decir $3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3}$ [unidades astronómicas](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). El remate: encoge el cosmos hasta que el Sol sea un grano de arena y el universo observable seguirá abarcando dos mil veces la distancia real Tierra–Sol — ninguna maqueta reduce el universo a tamaño humano; solo las potencias de diez pueden con él.