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title: "Lentes, imágenes y el ojo"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 10
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/10-lentes-imagenes-y-el-ojo
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# Capítulo 10 — Lentes, imágenes y el ojo

Toda imagen nítida — en el sensor de un móvil, en una pantalla de cine o en el fondo de tu propio ojo — sale del mismo truco: un medio transparente curvado desvía los rayos por [refracción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/3-refraccion-de-la-luz#def-g10-refraction-refraction) ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/3-refraccion-de-la-luz#ch-g10-refraction)) de modo que todos los rayos que salen de un punto vuelven a encontrarse en otro. Este capítulo domestica el truco: una [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), tres rayos, una fórmula — y después lo aplica a las cámaras, a las gafas y a la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) viva que está leyendo esta frase.

## 10.1 Lentes convergentes y divergentes

**Definición 10.1 (Lente delgada).**

Una *lente* es un medio transparente limitado por dos superficies, al menos una de ellas curva. Si es más gruesa en el centro que en el borde, es *convergente*: los rayos paralelos se desvían unos hacia otros; si es más gruesa en el borde, es *divergente*: los rayos se separan. Una lente *delgada* tiene un grosor despreciable: la dibujamos como un segmento con puntas de flecha hacia fuera (convergente) o hacia dentro (divergente). Su centro $O$ es el *centro óptico*; la recta perpendicular que pasa por $O$, el *eje principal*.

**Definición 10.2 (Focos y distancia focal).**

Los rayos que llegan paralelos al eje de una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) cortan todos el eje en un mismo punto situado detrás de ella, el *foco imagen* $F'$; simétricamente, los rayos que salen del *foco objeto* $F$ (delante, con $OF = OF'$) emergen paralelos al eje. La *distancia focal* $f' = \overline{OF'}$ es positiva para una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens); a través de una [lente divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), los rayos paralelos salen como si vinieran de un punto $F'$ situado *delante* de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens): $f' < 0$.

**Definición 10.3 (Potencia óptica).**

La *potencia óptica* de una [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $f'$ (en [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) es $C = 1/f'$, medida en *dioptrías* (símbolo D): $1~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1}$; las [lentes divergentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens) tienen $C < 0$. Los ópticos recetan en dioptrías: las [potencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-power) ópticas de [lentes delgadas](#def-g11-lenses-and-eye-lens) en contacto simplemente se suman (admitido aquí; deducido en el volumen del primer año).

**Ejemplo 10.4 (Leer una receta).**

Una [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) con $f' = 0.50\,\mathrm{m}$ tiene $C = 1/0.50 = +2.0$ D: [convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Una receta de $-4.0$ D significa $f' = -0.25\,\mathrm{m}$: [divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), de $25\,\mathrm{cm}$ de [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal).

## 10.2 Construir la imagen

**Método 10.5 (Los tres rayos de construcción).**

Sea $AB$ un objeto perpendicular al eje en $A$. De todos los rayos que salen de la punta $B$, hay tres cuyo camino se conoce:

1. el rayo que pasa por el [centro óptico](#def-g11-lenses-and-eye-lens) $O$ sigue recto;
2. el rayo paralelo al eje sale pasando por $F'$ ;
3. el rayo que pasa por $F$ sale paralelo al eje.

Bastan dos cualesquiera: su intersección es el punto imagen $B'$, y la imagen $A'B'$ queda perpendicular al eje en $A'$. Si los rayos salientes divergen, sus prolongaciones *hacia atrás* (a trazos) se cortan en un punto [imagen virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images).

![Los tres rayos de construcción: objeto AB más allá de F, imagen A'B' real e invertida (aquí OA = -2f': del mismo tamaño, = -1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-46d807f5b378.svg)

*Los tres rayos de construcción: objeto $AB$ más allá de $F$, imagen $A'B'$ [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) e invertida (aquí $\overline{OA} = -2f'$: del mismo tamaño, $\gamma = -1$).*

**Definición 10.6 (Imágenes reales y virtuales).**

Una imagen es *real* cuando los rayos salientes pasan realmente por ella: una pantalla puesta ahí la recoge; es *virtual* cuando solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás: ninguna pantalla la recoge, pero un ojo que mire a través de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) la ve perfectamente. Una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) da una imagen real e invertida de cualquier objeto situado más allá de $F$; si el objeto se desliza dentro de la [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal), la imagen pasa a ser virtual, derecha y aumentada.

![Objeto dentro de la distancia focal (la disposición de la lupa): las prolongaciones hacia atrás construyen una imagen A'B' virtual, derecha y aumentada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-8ad9403171ff.svg)

*Objeto dentro de la [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (la disposición de la [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier)): las prolongaciones hacia atrás construyen una imagen $A'B'$ [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha y aumentada.*

## 10.3 Una sola fórmula: la relación de conjugación

Las construcciones muestran *dónde* está la imagen; una fórmula la calcula. Se orienta el eje en el sentido de la luz y se usan *medidas algebraicas*: $\overline{OA}$ es la coordenada de $A$ respecto de $O$ (negativa para un objeto [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) situado delante); las alturas $\overline{AB}$ se cuentan positivas hacia arriba.

**Teorema 10.7 (Relación de conjugación de las lentes delgadas).**

A través de una [lente delgada](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $f'$, un punto objeto $A$ del eje forma su imagen en el punto $A'$ con

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 10.8.**

La relación se sigue de la [ley de Snell](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/3-refraccion-de-la-luz#thm-g10-refraction-snell) aplicada a los rayos próximos al eje; la deducción — y los límites del modelo de [lente delgada](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — se hacen honradamente en el volumen del primer año.

**Definición 10.9 (Aumento).**

El *aumento* de la imagen es

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
       = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .
$$

$\abs{\gamma}$ compara los tamaños y su signo, las orientaciones ($\gamma < 0$: invertida); el signo de $\overline{OA'}$ indica la naturaleza (positivo: [real](#def-g11-lenses-and-eye-images), detrás de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens); negativo: [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), delante).

**Ejemplo 10.10 (La fórmula en acción).**

Un objeto está $30\,\mathrm{cm}$ delante de una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) con $f' = 10\,\mathrm{cm}$: $\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}$, luego

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15},
\qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm},
\qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :
$$

una [imagen real](#def-g11-lenses-and-eye-images) $15\,\mathrm{cm}$ detrás de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), invertida y de tamaño mitad — exactamente lo que dibujan los tres rayos.

## 10.4 El ojo

**Definición 10.11 (El ojo como sistema óptico).**

Ópticamente, el ojo es una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) frente a una pantalla: la *córnea* y el *cristalino* actúan como una sola [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) ajustable; la *retina*, a unos $17\,\mathrm{mm}$ por detrás, es la pantalla fija. El enfoque se consigue apretando la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), no desplazándola como en una cámara: la *acomodación* es el cambio de $f'$ que producen los músculos ciliares. El punto más próximo que se ve nítido con la acomodación al máximo es el *punto próximo* — unos $25\,\mathrm{cm}$ para el *ojo normal* — y el más lejano, en reposo, el *punto remoto* (el infinito para el ojo normal).

![La acomodación: para enfocar sobre la misma retina un objeto cercano, el cristalino se abomba — su potencia óptica aumenta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-2f9a3b39f99e.svg)

![La acomodación: para enfocar sobre la misma retina un objeto cercano, el cristalino se abomba — su potencia óptica aumenta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-b62feb54b796.svg)

*La [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye): para enfocar sobre la misma [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) un objeto cercano, el [cristalino](#def-g11-lenses-and-eye-eye) se abomba — su [potencia óptica](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) aumenta.*

**Ejemplo 10.12 (La potencia óptica de tu ojo).**

La [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) está en $\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}$. Objeto lejano ($1/\overline{OA} \approx 0$): $C = 1/0.017 \approx 59$ D. [Punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ($\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}$): $C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. Leer cuesta unas $4$ D: el ojo es una [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $59$ D con un ajuste fino incorporado de $+4$ D.

## 10.5 Defectos, correcciones y la lupa

**Definición 10.13 (Miopía e hipermetropía).**

Un ojo *miope* (corto de vista) es demasiado [convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) para su longitud: los rayos paralelos se enfocan *delante de* la [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye), los objetos lejanos se ven borrosos y el [punto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye) queda a distancia finita; se corrige con una [lente divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) en las gafas. Un ojo *hipermétrope* no converge lo suficiente: los objetos cercanos se enfocarían detrás de la [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) y el [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) se aleja; se corrige con una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). La edad endurece el [cristalino](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (*presbicia*) y encoge la [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — mismo remedio: gafas de lectura.

**Ejemplo 10.14 (Recetar para un miope).**

Un ojo [miope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) tiene su [punto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye) a $50\,\mathrm{cm}$: la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) correctora debe mostrar los objetos lejanos *en el [punto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye)* — objeto en el infinito e imagen en $\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m}$ ([virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), por delante). Entonces $1/f' = 1/\overline{OA'}$: $f' = -0.50\,\mathrm{m}$, $C = -2.0$ D; el ojo relajado mira esa [imagen virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) y la ve nítida.

![Un ojo miope enfoca los rayos paralelos antes de la retina (punto rojo); una lente divergente deposita el foco sobre la retina.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-b53d644ab98c.svg)

![Un ojo miope enfoca los rayos paralelos antes de la retina (punto rojo); una lente divergente deposita el foco sobre la retina.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-4e58fe6c3797.svg)

*Un ojo [miope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) enfoca los rayos paralelos antes de la [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (punto rojo); una [lente divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) deposita el [foco](#def-g11-lenses-and-eye-focal) sobre la [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye).*

**Definición 10.15 (La lupa).**

Una *lupa* es una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) corta usada con el objeto *dentro* de la [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal): la imagen es [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha y aumentada ([Definición 10.6](#def-g11-lenses-and-eye-images)), y el ojo la observa cómodamente desde lejos.

**Ejemplo 10.16 (La lupa del joyero).**

[Lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) con $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$ y piedra a $4.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$, luego $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$ y $\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0$: una [imagen virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) y derecha, cinco veces mayor, a unos cómodos $20\,\mathrm{cm}$ de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

## 10.6 Ejercicios

**Ejercicio 10.1 ★.**

Calcula las [potencias ópticas](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) para $f' = 50\,\mathrm{cm}$, $-20\,\mathrm{cm}$ y $4.0\,\mathrm{mm}$, y después la [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) de una [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $+8.0$ D.

**Solución de Ejercicio 10.1.**

$C = 1/0.50 = +2.0$ D; $1/(-0.20) = -5.0$ D; $1/0.0040 = +250$ D. Una [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $+8.0$ D: $f' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 10.2 ★.**

Una [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) es más gruesa en los bordes que en el centro. ¿[Convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) o [divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens)? ¿Puede servir de [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier)? ¿Qué ves al sostenerla sobre una página impresa?

**Solución de Ejercicio 10.2.**

[Divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($f' < 0$). No: para cualquier distancia $d$ del objeto, $\gamma = f'/(f' - d)$ (demostrado en el [Ejercicio 10.15](#exo-g11-lenses-and-eye-15)) queda entre $0$ y $1$ — la imagen es siempre [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha y *reducida*. El texto se ve derecho y encogido, nunca aumentado.

**Ejercicio 10.3 ★.**

Una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) tiene $f' = 10\,\mathrm{cm}$; un objeto está $20\,\mathrm{cm}$ delante de ella. Construye la imagen con dos de los tres rayos y comprueba después su posición y su tamaño con la relación de conjugación.

**Solución de Ejercicio 10.3.**

El objeto está en $2f'$; el rayo central y el paralelo se cortan $20\,\mathrm{cm}$ detrás de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Comprobación: $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20$, luego $\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm}$ y $\gamma = 20/(-20) = -1$: [real](#def-g11-lenses-and-eye-images), invertida y del mismo tamaño — tal como se dibuja.

**Ejercicio 10.4 ★.**

Un objeto está $24\,\mathrm{cm}$ delante de una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) con $f' = 8.0\,\mathrm{cm}$. Calcula $\overline{OA'}$ y $\gamma$, y describe la imagen (naturaleza, orientación, tamaño).

**Solución de Ejercicio 10.4.**

$1/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12$: $\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 12/(-24) = -0.50$. [Imagen real](#def-g11-lenses-and-eye-images) $12\,\mathrm{cm}$ detrás de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), invertida y de tamaño mitad.

**Ejercicio 10.5 ★.**

En el ojo: ¿qué forma la [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens)? ¿Qué hace de pantalla? ¿Qué cambia durante la [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — y qué no puede cambiar? Define el [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) del [ojo normal](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Solución de Ejercicio 10.5.**

La [córnea](#def-g11-lenses-and-eye-eye) y el [cristalino](#def-g11-lenses-and-eye-eye) forman la [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens); la [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) es la pantalla. La [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye) cambia la [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (la [potencia óptica](#def-g11-lenses-and-eye-vergence)) del [cristalino](#def-g11-lenses-and-eye-eye); la distancia entre la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) y la [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) no puede cambiar. [Punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye): el punto más cercano que se ve nítido con la [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye) al máximo — $25\,\mathrm{cm}$ para el [ojo normal](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Ejercicio 10.6 ★★.**

El objetivo de una cámara tiene $f' = 50\,\mathrm{mm}$. ¿Dónde está el sensor cuando está enfocado en un paisaje lejano? Calcula la distancia objetivo-sensor para un sujeto situado a $3.0\,\mathrm{m}$ y el recorrido entre las dos posiciones.

**Solución de Ejercicio 10.6.**

Paisaje: el sensor en el plano focal, a $50\,\mathrm{mm}$ del objetivo. A $3.0\,\mathrm{m}$: $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000$, luego $\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}$. Recorrido: unos $0.8\,\mathrm{mm}$.

**Ejercicio 10.7 ★★.**

Una [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) tiene $f' = 6.0\,\mathrm{cm}$; un sello está $5.0\,\mathrm{cm}$ por debajo de ella. ¿Posición, naturaleza, orientación y [aumento](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) de la imagen?

**Solución de Ejercicio 10.7.**

$1/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30$: $\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm}$ — [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha, con $\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0$: seis veces el sello, $30\,\mathrm{cm}$ por encima de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**Ejercicio 10.8 ★★.**

Un objeto y una pantalla están enfrentados; una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) colocada entre ellos da una imagen nítida cuando los dos están a $40\,\mathrm{cm}$ de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Calcula $f'$ y $\gamma$. ¿Por qué esta imagen simétrica tiene que ser exactamente del mismo tamaño que el objeto?

**Solución de Ejercicio 10.8.**

$1/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20$: $f' = 20\,\mathrm{cm}$; $\gamma = 40/(-40) = -1$. La simetría obliga a $\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}}$, luego $\abs{\gamma} = 1$; la imagen es [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) e invertida, así que $\gamma = -1$: exactamente del mismo tamaño.

**Ejercicio 10.9 ★★.**

Un objeto está $50\,\mathrm{cm}$ delante de una [lente divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) con $f' = -25\,\mathrm{cm}$. Calcula $\overline{OA'}$ y $\gamma$; describe la imagen. ¿Por qué los ojos de un [miope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) se ven algo más pequeños a través de sus gafas?

**Solución de Ejercicio 10.9.**

$1/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50$: $\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33$: [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha y de un tercio del tamaño. Las gafas de un [miope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) son [divergentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens): todo lo que se ve a través de ellas — incluidos, desde fuera, los ojos de quien las lleva — aparece reducido.

**Ejercicio 10.10 ★★.**

Un ojo [miope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) tiene su [punto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye) a $40\,\mathrm{cm}$. ¿Qué [potencia óptica](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) debe tener la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) correctora, y dónde coloca la imagen de una montaña lejana? ¿Por qué se ve entonces la montaña sin esfuerzo?

**Solución de Ejercicio 10.10.**

Imagen del infinito en el [punto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye): $f' = -0.40\,\mathrm{m}$, luego $C = -2.5$ D. La imagen de la montaña queda $40\,\mathrm{cm}$ delante de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — justo en el [punto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye), que el ojo relajado ve nítido con [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye) nula.

**Ejercicio 10.11 ★★.**

Un lector présbita tiene su [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) a $80\,\mathrm{cm}$ pero quiere leer a $25\,\mathrm{cm}$: las gafas tienen que formar, de una página situada a $25\,\mathrm{cm}$, una página [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) a $80\,\mathrm{cm}$. Calcula la [potencia óptica](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) necesaria.

**Solución de Ejercicio 10.11.**

$C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25)
= -1.25 + 4.00 = +2.75$ D.

**Ejercicio 10.12 ★★★.**

Un proyector tiene que lanzar la imagen de una diapositiva, con un [aumento](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) $\gamma = -50$, sobre una pantalla situada a $5.1\,\mathrm{m}$ de la diapositiva.

1. Halla $\overline{OA}$ y $\overline{OA'}$ , sabiendo que $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ .
2. Deduce la [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) del objetivo de proyección.
3. ¿Qué altura tiene la imagen de una diapositiva de $24\,\mathrm{mm}$ de alto?

**Solución de Ejercicio 10.12.**

*1.* De $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50$ sale $\overline{OA'} = -50\,\overline{OA}$; con $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$, $-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$: $\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m}$ y $\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}$.

*2.* $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2$: $f' \approx 9.8\,\mathrm{cm}$.

*3.* $50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}$, invertida — por eso las diapositivas se colocan del revés.

**Ejercicio 10.13 ★★★.**

La [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) está $17\,\mathrm{mm}$ por detrás de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) del ojo.

1. Calcula la [potencia óptica](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) del ojo enfocado en el infinito y después en el [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) normal ( $25\,\mathrm{cm}$ ). Deduce la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) de [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye) del [ojo normal](#def-g11-lenses-and-eye-eye) .
2. Un ojo de más edad tiene su [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) a $1.0\,\mathrm{m}$ . Calcula su [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) y la fracción de la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) normal que le queda.

**Solución de Ejercicio 10.13.**

*1.* $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. [Amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude): $1/0.25 = 4.0$ D.

*2.* [Amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $= 1/1.0 = 1.0$ D: le queda una cuarta parte ($25\,\%$) de las $4.0$ D del [ojo normal](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Ejercicio 10.14 ★★★.**

Una [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) vendida como “$\times 3$” tiene su [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) dada por $3 = 0.25/f'$ ($f'$ en [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)).

1. Calcula $f'$ .
2. ¿Dónde tiene que estar un objeto para que su [imagen virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) quede $25\,\mathrm{cm}$ delante de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ? Calcula $\gamma$ y compáralo con el $\times 3$ anunciado.

**Solución de Ejercicio 10.14.**

*1.* $f' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}$.

*2.* $\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25$, luego $\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm}$ y $\gamma = (-25)/(-6.25) = +4.0$ — mejor que el $\times 3$ anunciado, que supone la imagen en el infinito; acercarla al [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) gana una [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Ejercicio 10.15 ★★★.**

Un objeto [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) está a una distancia $d > 0$ delante de una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($\overline{OA} = -d$, $f' > 0$). Demuestra que $\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'}$ y $\gamma = \frac{f'}{f' - d}$. Deduce: la imagen es [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) e invertida cuando $d > f'$; [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha y *aumentada* ($\gamma > 1$) cuando $0 < d < f'$ — toda [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) es una [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) si se usa suficientemente cerca.

**Solución de Ejercicio 10.15.**

$1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd)$, luego $\overline{OA'} = f'd/(d - f')$ y $\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d)$. Si $d > f'$: $\overline{OA'} > 0$ ([real](#def-g11-lenses-and-eye-images)) y $\gamma < 0$ (invertida). Si $0 < d < f'$: $\overline{OA'} < 0$ ([virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images)) y $\gamma = f'/(f' - d) > 1$: derecha y aumentada — la disposición de la [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier).

## 10.7 Problema: una fórmula, tres instrumentos

**Problema 10.1.**

Problema de fin de semana — la misma relación de conjugación enfoca una cámara, receta unas gafas de lectura, diseña una lupa y mide el zum que llevas en el ojo

Un fotógrafo mueve un objetivo de $50\,\mathrm{mm}$, una abuela sujeta el periódico con el brazo estirado, un joyero se inclina sobre un diamante: una sola línea de álgebra, $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ ([Teorema 10.7](#thm-g11-lenses-and-eye-conjugate)), gobierna los tres oficios — y después el propio ojo.

**Parte I — Una sola fórmula.** Una [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) tiene $f' = 20\,\mathrm{cm}$.

1. Objeto a $60\,\mathrm{cm}$ : calcula $\overline{OA'}$ y $\gamma$ ; describe la imagen.
2. Mueve el objeto a $30\,\mathrm{cm}$ ; recalcula. ¿Qué se ha intercambiado respecto de la pregunta 1? (Los caminos de la luz son reversibles.)
3. Muévelo a $10\,\mathrm{cm}$ , dentro de $f'$ : recalcula y describe.
4. Resume: cuando el objeto se acerca desde muy lejos hasta $F$ , y después lo rebasa, ¿cómo se mueve la imagen y cómo cambia de naturaleza?
5. Demuestra que un objeto muy lejano ( $1/\overline{OA} \approx 0$ ) forma siempre su imagen en el plano focal: $\overline{OA'} = f'$ .

**Parte II — El fotógrafo.** Un objetivo tiene $f' = 50\,\mathrm{mm}$; el sensor, de $24\,\mathrm{mm}$ de alto, se puede desplazar respecto del objetivo.

6. ¿Dónde está el sensor cuando se enfoca un paisaje lejano?
7. Ahora un rostro a $1.0\,\mathrm{m}$ : calcula la nueva distancia objetivo-sensor y el recorrido desde la posición del paisaje.
8. El mecanismo permite como mucho $55\,\mathrm{mm}$ de distancia objetivo-sensor. Calcula la distancia mínima de enfoque.
9. En ese enfoque más próximo, calcula $\gamma$ . ¿Cabe en el sensor la imagen de un rostro de $20\,\mathrm{cm}$ ?
10. El “macro” a tamaño [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) significa $\gamma = -1$ : ¿dónde deben estar entonces el objeto y el sensor, y por qué exige eso un objetivo especial?

**Parte III — La abuela.** Con la edad, el [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) se aleja: el de la abuela está a $1.0\,\mathrm{m}$.

11. Explica lo del periódico con el brazo estirado.
12. Para leer a $25\,\mathrm{cm}$ , sus gafas tienen que convertir una página situada a $25\,\mathrm{cm}$ en una [imagen virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) a $1.0\,\mathrm{m}$ : calcula la [potencia óptica](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) necesaria.
13. Calcula $\gamma$ . La imagen es cuatro veces mayor y, sin embargo, no parece mayor: explícalo comparando tamaños *y* distancias.
14. Demuestra que el texto solo se ve nítido entre $25\,\mathrm{cm}$ y $f' \approx 33\,\mathrm{cm}$ . ¿Y un objeto *lejano* visto a través de las gafas?
15. Deduce en una frase por qué existen las [lentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens) bifocales.

**Parte IV — El joyero y el zum del propio ojo.** La [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) del joyero tiene $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$; su [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) está a $25\,\mathrm{cm}$; su [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye), $17\,\mathrm{mm}$ por detrás de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de su ojo.

16. Una piedra $4.0\,\mathrm{cm}$ bajo la [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) : ¿posición, naturaleza, [aumento](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) ?
17. ¿Dónde tiene que estar la piedra para que su imagen caiga en su [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) , y cuánto vale entonces $\gamma$ ?
18. ¿Por qué los joyeros experimentados colocan en cambio la piedra exactamente en $F$ (imagen en el infinito)?
19. Ahora el ojo solo: calcula su [potencia óptica](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) mirando un objeto lejano y después uno a $25\,\mathrm{cm}$ : ¿cuántas [dioptrías](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) de [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ?
20. Convierte las dos [potencias ópticas](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) en [distancias focales](#def-g11-lenses-and-eye-focal) : ¿en cuánto, en milímetros y en porcentaje, cambia el ojo su propia [distancia focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) — el zum que la cámara hacía con desplazamiento y la abuela con $+3$ D?

**Solución de Problema 10.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30$: $\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -0.50$ — [real](#def-g11-lenses-and-eye-images), invertida y de tamaño mitad.

**2.** $\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -2$: las posiciones $30\,\mathrm{cm}$ y $60\,\mathrm{cm}$ han intercambiado sus papeles y los [aumentos](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) son inversos — la luz recorrida al revés sigue el mismo camino.

**3.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20$: $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$, $\gamma = +2$ — [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha y del doble de tamaño.

**4.** Desde el infinito, la imagen empieza en el plano focal; a medida que el objeto se acerca a $F$, la [imagen real](#def-g11-lenses-and-eye-images) e invertida se aleja hasta el infinito y crece; dentro de $f'$ pasa a ser [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha y aumentada, delante de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**5.** $1/\overline{OA} \approx 0$ deja $1/\overline{OA'} = 1/f'$: $\overline{OA'} = f'$, el plano focal.

**6.** En el plano focal, $50\,\mathrm{mm}$ detrás del objetivo.

**7.** $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000$: $\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}$; recorrido $\approx 2.6\,\mathrm{mm}$.

**8.** $1/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550$: distancia mínima de enfoque $550\,\mathrm{mm}$ = $55\,\mathrm{cm}$.

**9.** $\gamma = 55/(-550) = -0.10$: el rostro forma una imagen de $20\,\mathrm{mm}$, justo dentro del sensor de $24\,\mathrm{mm}$.

**10.** $\gamma = -1$ obliga a $\overline{OA'} = -\overline{OA}$, luego $2/\overline{OA'} = 1/f'$: objeto a $100\,\mathrm{mm}$ ($= 2f'$) por delante y sensor a $100\,\mathrm{mm}$ por detrás — el doble del tiro del paisaje, muy por encima del mecanismo de $55\,\mathrm{mm}$; los objetivos macro aportan ese recorrido de más.

**11.** Todo lo que esté más cerca que su [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ($1.0\,\mathrm{m}$) sale borroso: estirar los brazos acerca la página lo más posible a $1.0\,\mathrm{m}$ — nítida, aunque pequeña.

**12.** $C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0$ D.

**13.** $\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0$: cuatro veces mayor, pero cuatro veces más lejos — el mismo tamaño angular; lo que se gana no es tamaño, sino *nitidez*, porque ahora la imagen queda en su [punto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**14.** Para ver nítido hace falta que la imagen quede más allá de $1.0\,\mathrm{m}$: desde la página a $25\,\mathrm{cm}$ (imagen a $1.0\,\mathrm{m}$) hasta la página en $f' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m}$ (imagen en el infinito). Un objeto lejano forma su imagen $33\,\mathrm{cm}$ *detrás* de las gafas — una [imagen real](#def-g11-lenses-and-eye-images) que el ojo no puede aprovechar: el mundo lejano se ve borroso.

**15.** De ahí las bifocales: la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-power) de lectura en la mitad inferior de la [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) y ninguna (o la corrección de lejos) en la superior.

**16.** $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$: $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$, [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), derecha, $\gamma = +5.0$.

**17.** $1/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25$: $\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}$; $\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0$.

**18.** Piedra en $F$: imagen en el infinito, observada con [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye) nula — horas de examen sin fatiga visual.

**19.** $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D: unas $4$ D de [acomodación](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**20.** $f' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm}$ frente a $1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm}$: unos $1.1\,\mathrm{mm}$, en torno al $6\,\%$ — el zum incorporado que la cámara imitaba con $2.6\,\mathrm{mm}$ de recorrido y que la abuela remendaba con $+3$ D.