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title: "Campos eléctricos y gravitatorios"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 14
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios
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# Capítulo 14 — Campos eléctricos y gravitatorios

¿Cómo tira la Tierra de una manzana a la que nunca toca? El propio Newton llamó a la acción a distancia “un absurdo tan grande” que se negó a defenderla. La respuesta moderna: una masa, o una carga, modifica el espacio que la rodea — crea un *[campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field)* — y lo que se coloque allí responde al [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en su propia posición. Vamos a construir los dos grandes ejemplos uno al lado del otro, hasta que la analogía se convierta en una identidad de forma.

## 14.1 De la acción a distancia al campo

**Definición 14.1 (Campo).**

Un *campo* asigna un vector a cada punto del espacio. Una fuente (una carga, una masa) crea su campo en todo su alrededor, haya o no allí algo que lo sienta; un objeto de prueba nota entonces una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) determinada únicamente por el campo *en su propia posición*. Esta imagen en dos pasos sustituye a la acción a distancia.

**Observación 14.2.**

El [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) no es un truco contable: transporta [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy), y los cambios de la fuente viajan hacia fuera a través de él con velocidad finita — la propia luz es un [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) que viaja así ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#ch-g12-light-as-wave)). Aquí estudiamos [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) que no cambian con el tiempo.

## 14.2 El campo eléctrico

**Definición 14.3 (Campo eléctrico).**

Si una carga de prueba pequeña $q$ colocada en un punto $M$ nota una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) eléctrica $\vect F$, el *campo eléctrico* en $M$ es

$$
\vect E = \frac{\vect F}{q}
\qquad \text{(en $\mathrm{N}/\mathrm{C}$, que también se escribe $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.
$$

$\vect E$ depende solo de las fuentes y de $M$, no de la carga de prueba: duplicar $q$ duplica $\vect F$ y deja el cociente igual.

**Proposición 14.4 (Fuerza sobre una carga).**

Una carga $q$ colocada donde el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) vale $\vect E$ nota la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F = q \vect E$: en el sentido de $\vect E$ si $q > 0$ y en sentido contrario si $q < 0$, de módulo $F = \abs{q}\,E$.

**Demostración.** Basta despejar en la definición; la regla de los signos es el álgebra de un múltiplo negativo. ∎

**Ejemplo 14.5 (Leer un campo).**

Una carga de prueba $q = 2.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ situada en $M$ nota una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de $6.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ que apunta al este. El [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en $M$ vale $E = 6.0 \times 10^{-4} / 2.0 \times 10^{-8} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, hacia el este; una carga $q' = -1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ colocada en ese mismo punto nota $F = 1.0 \times 10^{-8} \times 3.0 \times 10^{4} = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ — hacia el oeste.

**Proposición 14.6 (Campo de una carga puntual).**

Una carga puntual $Q$ crea, a una distancia $d$, un [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dirigido según la recta que une la carga con el punto — alejándose de $Q$ si $Q > 0$ y hacia ella si $Q < 0$ — de módulo

$$
E = k\,\frac{\abs{Q}}{d^2},
\qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.
$$

**Demostración.** La ley de Coulomb ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#ch-g11-fundamental-interactions)) da la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre una carga de prueba $q$ situada a la distancia $d$: de módulo $k \abs{qQ} / d^2$, según la recta que las une y repulsiva si los signos son iguales. Basta dividir entre $q$ y aplicar la [Proposición 14.4](#prop-g11-electric-gravitational-fields-force). ∎

**Ejemplo 14.7 (Una esfera cargada).**

Una esfera de Van de Graaff lleva $Q = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$ (una esfera pequeña cargada se comporta como una carga puntual en su centro). A $d = 0.50\,\mathrm{m}$:

$$
E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-7} / 0.50^2 \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C},
$$

dirigido radialmente hacia fuera de la esfera. A $1.0\,\mathrm{m}$ ha bajado a la cuarta parte: el $1/d^2$ de la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobrevive en el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Definición 14.8 (Líneas de campo).**

Una *línea de campo* es una curva tangente en todos sus puntos al [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field), con una flecha que da el sentido del [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field). Tres reglas:

- salen de las cargas positivas y llegan a las negativas;
- donde las líneas se apiñan el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es intenso; donde se separan, débil;
- dos líneas no se cortan nunca: el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tiene una sola dirección en cada punto.

![Líneas de campo de una carga puntual: radiales, saliendo del + y entrando en el -; el apiñamiento cerca de la carga dibuja el crecimiento en 1/d2 del campo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-fb95c245904e.svg)

![Líneas de campo de una carga puntual: radiales, saliendo del + y entrando en el -; el apiñamiento cerca de la carga dibuja el crecimiento en 1/d2 del campo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-2f2b1844cddd.svg)

*[Líneas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) de una carga puntual: radiales, saliendo del $+$ y entrando en el $-$; el apiñamiento cerca de la carga dibuja el crecimiento en $1/d^2$ del [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field).*

## 14.3 El campo uniforme de un condensador

**Definición 14.9 (Condensador plano).**

Dos placas metálicas planas y paralelas, enfrentadas, próximas y con cargas opuestas, forman un *condensador*. Entre las placas el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es *uniforme*: el mismo módulo y la misma dirección en todos los puntos — perpendicular a las placas y de la placa positiva a la negativa.

**Proposición 14.10 (Campo entre las placas).**

Si la tensión entre las placas ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#ch-g11-circuits-and-power)) es $U$ y su separación es $d$, el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entre ellas tiene módulo

$$
E = \frac{U}{d} \qquad \text{(en $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 14.11.**

La uniformidad y $E = U/d$ se deducen honradamente en el volumen del primer año; la fórmula explica la [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Las separaciones pequeñas dan [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) intensos: $100\,\mathrm{V}$ en un milímetro ya son $10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Ejemplo 14.12 (Desviar un haz de electrones).**

En un [osciloscopio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope), el haz pasa entre unas placas con $U = 100\,\mathrm{V}$ y $d = 5.0\,\mathrm{mm}$: $E = 100 / 5.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, y cada electrón nota $F = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{4} = 3.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$ hacia la placa positiva — $4 \times 10^{14}$ veces su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $8.9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$, así que el haz se desvía de forma visible (la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) curva es asunto del [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#ch-g12-newtons-laws)).

![El campo uniforme de un condensador: líneas paralelas e igualmente espaciadas, de la placa + a la placa -, con E = U/d; una carga positiva es empujada en el sentido del campo, y una negativa, en contra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-aac0076074e6.svg)

*El [campo uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) de un [condensador](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor): líneas paralelas e igualmente espaciadas, de la placa $+$ a la placa $-$, con $E = U/d$; una carga positiva es empujada en el sentido del [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field), y una negativa, en contra.*

## 14.4 El campo gravitatorio

**Definición 14.13 (Campo gravitatorio).**

Si una masa de prueba $m$ colocada en un punto nota una [fuerza gravitatoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-force) (un [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight)) $\vect P$, el *campo gravitatorio* en ese punto es

$$
\vect g = \frac{\vect P}{m} \qquad \text{(en $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$)},
$$

y recíprocamente $\vect P = m \vect g$. Un capítulo anterior introdujo el número $g$; $\vect g$ le añade la dirección en la que empieza a moverse una piedra que se suelta.

**Proposición 14.14 (Campo de la Tierra).**

A una distancia $d$ del centro de la Tierra (de masa $M$), el [campo gravitatorio](#def-g11-electric-gravitational-fields-gfield) apunta al centro y tiene módulo

$$
g = G\,\frac{M}{d^2},
\qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.
$$

**Demostración.** La [gravitación](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-four) universal ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#ch-g10-universal-gravitation)) da la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre una masa de prueba $m$: de módulo $G M m / d^2$ y dirigida al centro; basta dividir entre $m$. En la superficie, $d = R$ y esto es la $g = GM/R^2 \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ del capítulo anterior. ∎

**Ejemplo 14.15 (El campo donde vive la Luna).**

A la distancia de la Luna, $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$:

$$
g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (3.84 \times 10^{8})^2
\approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

El [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la Tierra no se acaba nunca — solo se adelgaza como $1/d^2$; es este [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) el que mantiene a la Luna en su [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Observación 14.16 (Uniforme cerca de la superficie).**

A lo largo de un laboratorio, o incluso de una montaña, $d$ apenas cambia frente a $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, de modo que $\vect g$ es [uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) con gran precisión: líneas verticales y $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ constantes — el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la Tierra se parece al del [condensador](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor), igual que la Tierra redonda parece plana desde un jardín.

![El campo gravitatorio de la Tierra: radial, apuntando al centro y de módulo GM/d2 — el retrato exacto del campo de una carga puntual negativa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-00737edcc8b5.svg)

*El [campo gravitatorio](#def-g11-electric-gravitational-fields-gfield) de la Tierra: radial, apuntando al centro y de módulo $GM/d^2$ — el retrato exacto del [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de una carga puntual negativa.*

## 14.5 Una idea, dos fuerzas

Los dos [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de este capítulo son las mismas matemáticas con dos disfraces:

|  | **eléctrico** | **gravitatorio** |
| --- | --- | --- |
| fuente | carga $Q$ | masa $M$ |
| [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) | $\vect E = \vect F / q$ | $\vect g = \vect P / m$ |
| [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) | $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ = $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ | $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ |
| fuente puntual | $E = k \abs{Q} / d^2$ | $g = G M / d^2$ |
| constante | $k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ | $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ |
| [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre la prueba | $\vect F = q \vect E$ | $\vect P = m \vect g$ |
| [líneas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) | salen del $+$, entran en el $-$ | siempre hacia la masa |

Cada fórmula de la izquierda se convierte en la de la derecha con el diccionario $q \leftrightarrow m$, $\vect E \leftrightarrow \vect g$, $k \leftrightarrow G$.

**Observación 14.17 (Dónde se rompe la analogía).**

La carga viene en dos signos; la masa, en uno solo. Por eso los [campos eléctricos](#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) se pueden cancelar: las cargas reordenadas de una caja metálica borran dentro cualquier [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) exterior (una *jaula de Faraday* — por eso un ascensor mata la cobertura del móvil), y la materia en bloque, con $+$ y $-$ equilibrados, es eléctricamente muda. La gravedad no se puede apantallar ni neutralizar: cada [kilogramo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) suma su tirón — y por eso la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que es $10^{39}$ veces más débil ([Ejercicio 14.10](#exo-g11-electric-gravitational-fields-10)) gobierna el universo a gran escala.

## 14.6 Ejercicios

**Ejercicio 14.1 ★.**

Una carga de prueba $q = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ situada en un punto $M$ nota una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ que apunta al norte. Da el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en $M$ (módulo y dirección) y después la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre $q' = -4.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ colocada en $M$.

**Solución de Ejercicio 14.1.**

$E = 5.0 \times 10^{-3} / 2.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, hacia el norte. Sobre $q'$: $F = 4.0 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$, hacia el *sur* ($q' < 0$).

**Ejercicio 14.2 ★.**

Una carga puntual $Q = 5.0\,\mathrm{nC}$ está en $O$.

1. Calcula el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) a $d = 30\,\mathrm{cm}$ : módulo y dirección.
2. ¿A qué distancia es el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) la mitad de intenso?

**Solución de Ejercicio 14.2.**

*1.* $E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-9} / 0.30^2
\approx 5.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, alejándose de $O$ ($Q > 0$).

*2.* Para que $k\abs{Q}/d^2$ se reduzca a la mitad hace falta duplicar $d^2$: $d' = 0.30\sqrt{2} \approx 0.42\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 14.3 ★.**

Un [condensador](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) tiene $U = 600\,\mathrm{V}$ entre placas separadas $3.0\,\mathrm{mm}$. Calcula el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) y después la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre un electrón situado allí ($e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$).

**Solución de Ejercicio 14.3.**

$E = 600 / 3.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $F = eE = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{5} = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$.

**Ejercicio 14.4 ★.**

En Marte, una sonda de $250\,\mathrm{kg}$ pesa $930\,\mathrm{N}$. Calcula el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) marciano en la superficie, $g_{\text{Mars}}$, y después el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de un astronauta de $80\,\mathrm{kg}$ allí.

**Solución de Ejercicio 14.4.**

$g_{\text{Mars}} = P/m = 930/250 = 3.7\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$. Astronauta: $P = 80 \times 3.72 \approx 3.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ (unos $780\,\mathrm{N}$ en la Tierra).

**Ejercicio 14.5 ★.**

Verdadero o falso, con una razón cada vez: (a) dos [líneas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) pueden cortarse donde el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es intenso; (b) las [líneas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) salen de las cargas negativas y llegan a las positivas; (c) unas [líneas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) apiñadas señalan un [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) intenso.

**Solución de Ejercicio 14.5.**

(a) Falso: el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tiene una sola dirección en cada punto, así que las líneas nunca se cortan. (b) Falso: salen del $+$ y llegan al $-$. (c) Verdadero: el apiñamiento codifica la intensidad.

**Ejercicio 14.6 ★★.**

La Estación Espacial Internacional orbita a una altitud de $420\,\mathrm{km}$ ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$).

1. Calcula $g$ en la estación; ¿qué fracción del valor en la superficie es?
2. Los astronautas flotan. Concilia este hecho con tu respuesta en una frase.

**Solución de Ejercicio 14.6.**

*1.* $d = 6.37 \times 10^{6} + 4.2 \times 10^{5} = 6.79 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, luego $g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (6.79 \times 10^{6})^2
\approx 8.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — el $88\,\%$ del valor en la superficie.

*2.* Flotan porque la estación y el astronauta caen juntos (caída libre), no porque falte la gravedad.

**Ejercicio 14.7 ★★.**

¿Qué módulo de [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) equilibraría el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de un electrón ($m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$)? Compáralo con los $2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ del [Ejemplo 14.12](#ex-g11-electric-gravitational-fields-beam); concluye sobre el papel de la gravedad en la física del electrón.

**Solución de Ejercicio 14.7.**

$E = m_e g / e = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.81 / 1.60 \times 10^{-19}
\approx 5.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: unas $4 \times 10^{14}$ veces más débil que el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) del [osciloscopio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope). La gravedad es completamente despreciable en la física del electrón.

**Ejercicio 14.8 ★★.**

Una mota de polvo de masa $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ flota en reposo entre placas horizontales separadas $2.0\,\mathrm{cm}$ con $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ entre ellas.

1. Calcula el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) y después el módulo de la carga de la mota.
2. La carga de la mota es positiva: ¿cuál es la placa positiva?
3. ¿Cuántas [cargas elementales](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary) lleva la mota?

**Solución de Ejercicio 14.8.**

*1.* $E = 5.0 \times 10^{3} / 2.0 \times 10^{-2} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; en equilibrio $qE = mg$, luego $q = 2.0 \times 10^{-6} \times 9.81 / 2.5 \times 10^{5} \approx 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}$.

*2.* La [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre la mota positiva tiene que apuntar hacia arriba, así que $\vect E$ apunta hacia arriba: la placa positiva es la *inferior*.

*3.* $n = 7.85 \times 10^{-11} / 1.60 \times 10^{-19} \approx 4.9 \times 10^{8}$ [cargas elementales](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary).

**Ejercicio 14.9 ★★.**

Las cargas $+Q$ y $+4Q$ están a $30\,\mathrm{cm}$. ¿En qué punto del segmento que las une es nulo el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total? Explica primero por qué el punto tiene que estar entre las cargas y más cerca de la menor.

**Solución de Ejercicio 14.9.**

Fuera del segmento, los dos [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) apuntan en el mismo sentido; entre las cargas se oponen — y el equilibrio exige que el punto esté más cerca de la fuente más débil, $+Q$. Con $x$ la distancia a $+Q$: $kQ/x^2 = 4kQ/(0.30 - x)^2$, luego $0.30 - x = 2x$ y $x = 0.10\,\mathrm{m}$ desde $+Q$.

**Ejercicio 14.10 ★★.**

En un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hidrógeno, el protón ($m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, carga $+e$) y el electrón ($m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, carga $-e$) están a $d = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$. Calcula las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) eléctrica y gravitatoria entre ellos, y su cociente.

**Solución de Ejercicio 14.10.**

$F_e = ke^2/d^2 = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 /
(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}$; $F_g = G m_p m_e / d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times
9.11 \times 10^{-31} / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}$. Cociente $F_e / F_g \approx 2.3 \times 10^{39}$.

**Ejercicio 14.11 ★★.**

En un punto $M$, una fuente por sí sola crearía un [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ hacia el este; una segunda, de $400\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ hacia el norte. Los [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) se suman como vectores: da el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total en $M$ (módulo y dirección) y después la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre $q = -2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ colocada allí.

**Solución de Ejercicio 14.11.**

$E = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, a $\tan^{-1}(400/300) \approx 53{}^{\circ}$ del este hacia el norte. Sobre $q < 0$: $F = 2.0 \times 10^{-6} \times 500 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$, en sentido opuesto al [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — a $53{}^{\circ}$ del oeste hacia el sur.

**Ejercicio 14.12 ★★★.**

¿A qué altitud ha bajado el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la Tierra a la mitad de su valor en la superficie? ¿Y a la altitud $h = R$, a qué fracción?

**Solución de Ejercicio 14.12.**

De $GM/(R+h)^2 = \tfrac12\,GM/R^2$ sale $R + h = R\sqrt{2}$, luego $h = (\sqrt{2} - 1)R \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (unos $2600\,\mathrm{km}$). Con $h = R$, $d = 2R$: la cuarta parte del valor en la superficie.

**Ejercicio 14.13 ★★★.**

Hay cargas de $2.0\,\mathrm{nC}$ en $A$ y en $B$, separadas $6.0\,\mathrm{cm}$. $M$ está en la mediatriz de $[AB]$, a $4.0\,\mathrm{cm}$ de su punto medio.

1. Calcula la distancia $AM$ y después el módulo del [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) que cada carga crea en $M$ .
2. Suma los dos [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) como vectores (aprovecha la simetría) y da el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total en $M$ , con su módulo y su dirección.

**Solución de Ejercicio 14.13.**

*1.* $AM = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{cm}$; cada carga crea $E_1 = 8.99 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-9} / 0.050^2
\approx 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$.

*2.* Las componentes paralelas a $AB$ se cancelan por simetría; cada [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) aporta $E_1 \times 4/5$ a lo largo de la mediatriz, alejándose del segmento: $E = 2 \times 7.19 \times 10^{3} \times 0.80 \approx 1.2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, dirigido según la mediatriz y alejándose de $[AB]$.

**Ejercicio 14.14 ★★★.**

Explica, usando los dos signos de la carga, cómo las cargas libres de una caja metálica cancelan un [campo eléctrico](#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) exterior en todos los puntos de su interior — y por qué ninguna disposición de masas puede hacer lo mismo con la gravedad. ¿Qué ingrediente imposible exigiría un escudo antigravedad?

**Solución de Ejercicio 14.14.**

Las cargas libres de la caja se mueven bajo el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) exterior: el $+$ se acumula en una cara y el $-$ en la otra, y esas cargas desplazadas crean un [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) interior que se opone al exterior. Siguen moviéndose hasta que el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total del interior es exactamente nulo — y entonces hay equilibrio. La gravedad solo ofrece un signo de fuente: cada masa *añade* un [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) atractivo y ninguna puede oponerse. Un escudo antigravedad necesitaría masa negativa, que no existe.

**Ejercicio 14.15 ★★★.**

Una bolita ($m = 0.50\,\mathrm{g}$, $q = 2.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$) cuelga de un hilo en un [campo uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) horizontal $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. En equilibrio, el hilo forma un ángulo $\theta$ con la vertical.

1. Enumera las tres [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) ; explica por qué $\tan\theta = qE / (mg)$ .
2. Calcula $\theta$ y después la tensión del hilo.

**Solución de Ejercicio 14.15.**

*1.* El [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $m\vect g$ (hacia abajo), la tensión $\vect T$ (según el hilo) y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) eléctrica $q\vect E$ (horizontal). En equilibrio, $T\sin\theta = qE$ y $T\cos\theta = mg$; dividiendo, $\tan\theta = qE/(mg)$.

*2.* $\tan\theta = 2.0 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^{4} /
(5.0 \times 10^{-4} \times 9.81) \approx 0.41$, luego $\theta \approx 22{}^{\circ}$; $T = mg/\cos\theta \approx 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$.

## 14.7 Problema: la gota de Millikan

**Problema 14.1.**

Problema de fin de semana — pesar la carga del electrón: una gota de aceite aparcada en el aire entre dos placas revela que la carga viene en escalones indivisibles de $1.60 \times 10^{-19}$ [culombios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-charge)

En 1909, Robert Millikan pulverizó gotitas de aceite entre las placas horizontales de un [condensador](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor). Ajustando la tensión hasta que una gota elegida quedaba inmóvil — con la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) eléctrica equilibrando exactamente al [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) —, podía pesar su carga. Nuestra gota tiene una masa $m = 4.90 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ (medida a partir de su lenta caída con el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) apagado; la damos por conocida); las placas están separadas $d = 8.0\,\mathrm{mm}$, con la *superior* positiva, y la carga de la gota es negativa.

**Parte I — El escenario.**

1. Describe el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entre las placas; ¿qué aporta que sea “ [uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) ”?
2. Para $U = 800\,\mathrm{V}$ , calcula $E$ .
3. ¿En qué sentido va la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) eléctrica sobre la gota? ¿Por qué la placa *superior* tenía que ser la positiva?
4. Calcula el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de la gota.
5. Escribe la condición de equilibrio como una igualdad entre los módulos de dos [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) .

**Parte II — El equilibrio.**

6. A partir de ella, expresa $\abs{q}$ en función de $m$ , $g$ , $d$ y $U$ .
7. La gota queda en reposo con $U = 800\,\mathrm{V}$ : calcula $\abs{q}$ .
8. Divide entre $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . ¿Cuántos electrones en exceso lleva la gota?
9. Se sube la tensión hasta $900\,\mathrm{V}$ . ¿En qué sentido apunta ahora la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) neta?
10. Demuestra que la tensión de equilibrio vale $U = mgd/\abs{q}$ : cuanto mayor es la carga, menor es la tensión.

**Parte III — Los escalones.** Un destello de radiación puede arrancar electrones de la gota o depositarlos en ella; tras cada cambio, Millikan vuelve a ajustar la tensión para equilibrarla.

11. Tras un destello, el equilibrio exige $U = 1200\,\mathrm{V}$ . Calcula el nuevo $\abs{q}$ . ¿La gota ha ganado o ha perdido un electrón?
12. Se encuentran equilibrios sucesivos con $U = 1200$ , $800$ , $600$ , $480$ y $400\,\mathrm{V}$ . Calcula las cinco cargas.
13. Demuestra que las cinco son múltiplos enteros de una misma cantidad; da su valor.
14. Entre dos equilibrios consecutivos, ¿cuánto cambia la carga? Interprétalo.
15. Explica por qué esta gota nunca podrá quedar en reposo con $U = 700\,\mathrm{V}$ , por mucha paciencia que se tenga al ajustar.
16. Millikan repitió esto con cientos de gotas: todas las cargas medidas eran múltiplos enteros del mismo valor. Enuncia la conclusión y nombra la magnitud medida.

**Parte IV — Por qué no hay un Millikan gravitatorio.**

17. En el diccionario de este capítulo, ¿qué hace los papeles de $q$ , $E$ y $qE$ en el equilibrio de la Parte II?
18. ¿Podría una masa colocada encima sostener la gota en su lugar? Calcula el [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de una esfera de plomo de $1000\,\mathrm{kg}$ situada $1.0\,\mathrm{m}$ por encima de la gota, la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre la gota y compárala con su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) .
19. El equilibrio necesita un tirón hacia arriba capaz de pelearse con la Tierra entera. ¿Por qué puede darlo una placa cargada y no puede darlo ninguna disposición de masas?
20. La *masa* de la gota también cambia a escalones (una [molécula](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de aceite: unos $5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ). Compara los saltos relativos de $m$ y de $\abs{q}$ cuando cae un electrón y concluye: ¿por qué ve este equilibrio los [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de la electricidad y no las [moléculas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) del aceite? El remate: la carga está cuantizada, y su [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) es $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

**Solución de Problema 14.1.**

**1.** [Uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor), perpendicular a las placas y dirigido hacia abajo (de la placa superior $+$ a la inferior $-$); que sea [uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) significa que la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre la gota es la misma dondequiera que derive. **2.** $E = U/d = 800 / 8.0 \times 10^{-3} = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. **3.** La carga es negativa, así que la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) va en sentido *opuesto* a $\vect E$: hacia arriba. Solo con la placa $+$ arriba apunta $\vect E$ hacia abajo y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) eléctrica se pelea con el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight). **4.** $P = mg = 4.90 \times 10^{-15} \times 9.81 \approx
4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$. **5.** $\abs{q}E = mg$. **6.** $\abs{q} = mg/E = mgd/U$. **7.** $\abs{q} = 4.81 \times 10^{-14} \times 8.0 \times 10^{-3} / 800
\approx 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **8.** $n = 4.8 \times 10^{-19} / 1.60 \times 10^{-19} = 3$ electrones en exceso. **9.** $E$ crece, así que $\abs{q}E > mg$: la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) neta apunta hacia arriba. **10.** De $\abs{q}\,U/d = mg$ sale $U = mgd/\abs{q}$ — inversamente proporcional a la carga. **11.** $\abs{q} = mgd/U = 3.85 \times 10^{-16}/1200 \approx
3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 2e$: ha bajado de $3e$, o sea que la gota *ha perdido* un electrón. **12.** $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/U$: $3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $6.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $8.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ y $9.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **13.** Son $2e, 3e, 4e, 5e, 6e$ con $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **14.** Cada escalón cambia $\abs{q}$ en exactamente $1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$: los electrones llegan de uno en uno. **15.** Haría falta $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/700 \approx
5.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3.4\,e$ — que no es un número entero de electrones, así que ningún destello de radiación puede producirlo. **16.** La carga está *cuantizada*: viene en múltiplos enteros de la [carga elemental](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary) $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — la magnitud que midió Millikan. **17.** $q \leftrightarrow m$, $E \leftrightarrow g$ y $\abs{q}E \leftrightarrow mg$: el propio [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight). **18.** $g_{\text{sphere}} = GM/d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 /
1.0^2 = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$; [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre la gota $4.90 \times 10^{-15} \times 6.7 \times 10^{-8} \approx 3.3 \times 10^{-22}\,\mathrm{N}$ — unas $1.5 \times 10^{8}$ veces menor que su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight). Inútil. **19.** Como $G$ es tan pequeña, solo una masa del tamaño de un planeta colocada encima podría rivalizar con el tirón de la Tierra — y ninguna masa repele. La enorme $k$ y los dos signos de la carga permiten que una placa de sobremesa le gane al planeta en los dos sentidos. **20.** Un electrón: $\Delta\abs{q}/\abs{q} = e/3e \approx 33\,\%$; una [molécula](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de aceite: $\Delta m/m = 5 \times 10^{-25} / 4.90 \times 10^{-15} \approx 10^{-10}$. La escalera de la carga mueve la tensión de equilibrio en cientos de [voltios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage); la escalera de la masa es invisible a cualquier tensión. Por eso este equilibrio resuelve el [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de la electricidad — $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — mientras que las [moléculas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) del aceite se difuminan en un continuo.