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title: "El magnetismo y el campo magnético"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 15
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/15-el-magnetismo-y-el-campo-magnetico
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# Capítulo 15 — El magnetismo y el campo magnético

Durante mil años los marineros se guiaron por agujas imantadas sin que nadie supiera por qué señalan al norte. La respuesta llegó en 1820, cuando una corriente hizo temblar una brújula: el magnetismo lo fabrican las cargas en movimiento. Este capítulo cartografía el [campo magnético](#def-g11-magnetic-fields-bfield) — el de los imanes, el de la Tierra, el de las corrientes — y después cierra el círculo: el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) devuelve el empujón a las corrientes, y así es como gira todo motor eléctrico.

## 15.1 Los imanes y el campo magnético

**Definición 15.1 (Imán y polos).**

Un *imán* atrae al hierro y, colgado de un hilo, gira hasta encararse al norte. Su acción se concentra en dos *polos magnéticos*, el *norte* (el extremo que busca el norte geográfico) y el *sur*: los polos iguales se repelen y los distintos se atraen. Serrar un imán por la mitad da dos imanes completos — ningún experimento ha aislado nunca un polo.

**Definición 15.2 (Campo magnético).**

Un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) modifica el espacio que lo rodea ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#ch-g11-electric-gravitational-fields)): crea en todas partes un *campo magnético* $\vect B$. Una brújula lee su dirección (la aguja se alinea con $\vect B$, con el extremo norte por delante); una *sonda Hall* mide su módulo, en *teslas* ($\mathrm{T}$).

**Definición 15.3 (Líneas de campo magnético).**

Las *líneas de campo magnético* son curvas tangentes a $\vect B$, que se apiñan donde el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es intenso. Fuera de un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) van del polo norte al sur; a diferencia de las líneas de [campo eléctrico](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-efield), no tienen extremos: cada una se cierra por dentro del cuerpo del [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet).

![Líneas de campo de un imán recto: salen del N, entran en el S y se cierran por el cuerpo. Una brújula colocada en cualquier punto se asienta a lo largo de la línea que pasa por él.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-d47fec6b5b16.svg)

*[Líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) de un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) recto: salen del N, entran en el S y se cierran por el cuerpo. Una brújula colocada en cualquier punto se asienta a lo largo de la línea que pasa por él.*

## 15.2 La Tierra es un imán

**Definición 15.4 (El campo magnético terrestre).**

Las corrientes del [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hierro fundido de la Tierra convierten al planeta en un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) gigantesco: en la superficie $B \approx 50\,\text{µ}\mathrm{T}$, y una aguja libre se alinea con la componente horizontal del [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — eso es la brújula. Los polos geomagnéticos no son los geográficos; el ángulo entre el norte de la brújula y el norte verdadero es la *declinación*, que se corrige en todos los rumbos.

**Ejemplo 15.5 (Corregir un rumbo).**

Donde la [declinación](#def-g11-magnetic-fields-earth) es de $7{}^{\circ}$ oeste, un barco que navegue al “norte de brújula” durante $5.0\,\mathrm{km}$ deriva $5000 \times \sin7{}^{\circ} \approx 6.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ al oeste de su derrota: para ir al norte verdadero hay que gobernar $7{}^{\circ}$ al *este* de la aguja.

## 15.3 El campo magnético de una corriente

**Observación 15.6 (Oersted, 1820).**

Durante una clase en 1820, Hans Christian Oersted vio oscilar la aguja de una brújula al cerrar un circuito cercano: la electricidad y el magnetismo eran una misma materia — *las corrientes crean [campos magnéticos](#def-g11-magnetic-fields-bfield)*.

**Proposición 15.7 (Campo de un hilo rectilíneo).**

Un hilo rectilíneo largo recorrido por una intensidad $I$ crea un [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) cuyas líneas son circunferencias centradas en el hilo, en planos perpendiculares a él. A una distancia $d$ del hilo,

$$
B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi d},
\qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}.
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Líneas de campo circulares alrededor de un hilo rectilíneo, vistas de frente (: corriente saliendo del papel; : entrando). Se agarra el hilo con la mano derecha y el pulgar en el sentido de la corriente: los dedos se curvan como gira B.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-8c8d429ac4cf.svg)

![Líneas de campo circulares alrededor de un hilo rectilíneo, vistas de frente (: corriente saliendo del papel; : entrando). Se agarra el hilo con la mano derecha y el pulgar en el sentido de la corriente: los dedos se curvan como gira B.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-7a44c960a6be.svg)

*[Líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) circulares alrededor de un hilo rectilíneo, vistas de frente ($\odot$: corriente saliendo del papel; $\otimes$: entrando). Se agarra el hilo con la mano derecha y el pulgar en el sentido de la corriente: los dedos se curvan como gira $\vect B$.*

**Ejemplo 15.8 (Un hilo es un imán flojo).**

A $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ de un hilo por el que circulan $I = 15\,\mathrm{A}$: $B = 2 \times 10^{-7} \times 15 / 0.010 = 0.30\,\mathrm{mT}$ — seis [campos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestres, a partir de una corriente que haría saltar el automático de una casa. Los [campos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) intensos exigen una geometría mejor.

**Definición 15.9 (Bobina y solenoide).**

Enrollar el hilo concentra su [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field). Una *bobina plana* ($N$ espiras en un disco) se comporta como un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) delgado, con una cara norte y la otra sur; un *solenoide* — un bobinado cilíndrico largo, de $n$ espiras por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) — se comporta como un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) recto.

**Proposición 15.10 (Campo dentro de un solenoide).**

Dentro de un [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) largo, lejos de los extremos, el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es *uniforme*: paralelo al eje y el mismo en todos los puntos interiores, de módulo $B = \mu_0\, n\, I$, independiente de la anchura del hueco. Fuera, el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es débil.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 15.11.**

Las dos fórmulas se deducen honradamente en el volumen del primer año, a partir de la ley que relaciona la circulación de un [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) con la corriente que rodea. Conviene fijarse en lo que cuenta: $n$, las espiras *por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)* — hay que enrollar más apretado, no más largo.

**Método 15.12 (La mano derecha, dos veces).**

- *Hilo* : pulgar $=$ corriente; dedos curvados $=$ giro de las líneas.
- *[Bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid), [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid)* : dedos curvados $=$ corriente por las espiras; pulgar $=$ $\vect B$ interior, apuntando a la cara norte.

![Un solenoide cortado a lo largo (/: las espiras que cruzan la página): dentro, un B = _0 n I uniforme según el eje; fuera, un campo de retorno débil y disperso (a trazos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-006e5fb48b1e.svg)

*Un [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) cortado a lo largo ($\odot$/$\otimes$: las espiras que cruzan la página): dentro, un $B = \mu_0 n I$ uniforme según el eje; fuera, un [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de retorno débil y disperso (a trazos).*

**Ejemplo 15.13 (Números de un solenoide).**

Con $10$ espiras por centímetro ($n = 1000\,\mathrm{m}^{-1}$) y $I = 5.0\,\mathrm{A}$: $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 1000 \times 5.0 \approx 6.3\,\mathrm{mT}$ — cien [campos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestres, regulables con un mando.

## 15.4 Los electroimanes

**Definición 15.14 (Electroimán).**

Un *electroimán* es un [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) bobinado sobre un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hierro dulce: el hierro se imana en el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) y lo multiplica, normalmente por $100$ o $1000$. A diferencia de un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) permanente, se apaga con la corriente.

**Observación 15.15 (Tres máquinas).**

La grúa del desguace levanta un coche con un [electroimán](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) y — ahí está la gracia — lo *suelta* abriendo un interruptor. El pequeño [electroimán](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) de un relé cierra un contacto de un tirón: una corriente débil conmuta una fuerte ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#ch-g11-circuits-and-power)). Un equipo de resonancia magnética mantiene $1.5\,\mathrm{T}$ uniformes alrededor del paciente con un [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) superconductor.

Órdenes de magnitud, de la galaxia a una estrella muerta:

| espacio interestelar | $\sim 10^{-10}\,\mathrm{T}$ |
| --- | --- |
| [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en la superficie de la Tierra | $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ |
| [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) de nevera | $\sim 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ |
| [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) de neodimio, en su polo | $\sim 0.5\,\mathrm{T}$ |
| [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de resonancia magnética | $1.5\,\mathrm{T}$ |
| superficie de una estrella de neutrones | $\sim 10^{8}\,\mathrm{T}$ |

## 15.5 La fuerza de Laplace

**Proposición 15.16 (Fuerza de Laplace).**

Un hilo rectilíneo de longitud $L$, recorrido por una intensidad $I$ en un [campo uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) $\vect B$ *perpendicular* al hilo, nota la *fuerza de Laplace* de módulo $F = I\,L\,B$, perpendicular al hilo y a $\vect B$ a la vez: mano derecha extendida, pulgar en el sentido de la corriente y dedos estirados según $\vect B$ — la palma empuja en el sentido de $\vect F$. Un hilo *paralelo* al [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) no nota ninguna [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 15.17 (El raíl que salta).**

El volumen del primer año deduce esto de la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) magnética sobre cada carga en movimiento. En el laboratorio: una varilla de cobre descansa sobre dos raíles horizontales entre los polos de un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) (con el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entrando en la página, en la figura); se cierra el interruptor y la varilla sale disparada a lo largo de los raíles. Si se invierte la corriente, o se le da la vuelta al [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet), sale disparada al otro lado.

![El experimento de los raíles: la corriente baja por la varilla y el campo entra en la página () — la fuerza de Laplace F = ILB impulsa la varilla a lo largo de los raíles.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-4f0415657935.svg)

*El experimento de los raíles: la corriente baja por la varilla y el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entra en la página ($\otimes$) — la [fuerza de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) $F = ILB$ impulsa la varilla a lo largo de los raíles.*

**Ejemplo 15.18 (Números de Laplace).**

Una varilla de longitud $L = 5.0\,\mathrm{cm}$ recorrida por $I = 8.0\,\mathrm{A}$ en $B = 0.50\,\mathrm{T}$: $F = 8.0 \times 0.050 \times 0.50 = 0.20\,\mathrm{N}$ — el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $20\,\mathrm{g}$, sobre un hilo que pesa unos pocos gramos.

**Observación 15.19 (El motor de corriente continua).**

Si se dobla el hilo formando una espira dentro del [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field), los dos lados perpendiculares a $\vect B$ llevan corrientes opuestas, de modo que sus [fuerzas de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) son opuestas — una pareja que hace girar la espira. Media vuelta más tarde, esa misma pareja la giraría hacia atrás, así que un interruptor giratorio (el *conmutador*) invierte la corriente cada media vuelta. Todo ventilador y todo taladro son esta espira, multiplicada.

## 15.6 Ejercicios

**Ejercicio 15.1 ★.**

Un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) recto se sierra por la mitad, entre sus polos. ¿Qué polos lleva cada trozo? Si se vuelven a juntar, ¿se atraen o se repelen las caras recién cortadas? ¿Hay alguna forma de cortarlo que aísle el polo norte?

**Solución de Ejercicio 15.1.**

Cada trozo es un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) completo, con un polo norte y otro sur: en cada cara cortada aparece un polo nuevo. Las caras recién cortadas son un N y un S, así que se atraen — los trozos intentan recomponerse. Ninguna forma de cortarlo aísla un polo: cada corte crea una pareja.

**Ejercicio 15.2 ★.**

Verdadero o falso, con una razón cada vez: (a) dos [líneas de campo magnético](#def-g11-magnetic-fields-lines) se cortan donde el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es intenso; (b) fuera de un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet), las [líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) van del polo norte al polo sur; (c) toda [línea de campo magnético](#def-g11-magnetic-fields-lines) es un lazo cerrado; (d) una aguja se asienta perpendicular a la línea que pasa por ella.

**Solución de Ejercicio 15.2.**

(a) Falso: el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tiene una sola dirección en cada punto. (b) Verdadero. (c) Verdadero: cada línea se cierra por el cuerpo del [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet). (d) Falso: la aguja se asienta *a lo largo* de la línea, tangente a ella.

**Ejercicio 15.3 ★.**

Calcula el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) a $2.0\,\mathrm{cm}$ de un hilo rectilíneo recorrido por $10\,\mathrm{A}$. ¿Cuántas veces los $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ de la Tierra es eso?

**Solución de Ejercicio 15.3.**

$B = 2 \times 10^{-7} \times 10 / 0.020 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ — el doble del [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre.

**Ejercicio 15.4 ★.**

Un [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $800$ espiras bobinadas sobre $40\,\mathrm{cm}$ lleva $I = 1.5\,\mathrm{A}$. Calcula $n$ y después $B$ en su interior; ¿en qué se convierte $B$ si se duplica la corriente?

**Solución de Ejercicio 15.4.**

$n = 800/0.40 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$; $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 1.5 \approx 3.8\,\mathrm{mT}$. Como $B \propto I$, duplicar la intensidad da $7.5\,\mathrm{mT}$.

**Ejercicio 15.5 ★.**

Un tramo de hilo de $10\,\mathrm{cm}$ lleva $5.0\,\mathrm{A}$ perpendicular a un [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $0.20\,\mathrm{T}$. Calcula la [fuerza de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace); ¿al [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de qué masa equivale?

**Solución de Ejercicio 15.5.**

$F = ILB = 5.0 \times 0.10 \times 0.20 = 0.10\,\mathrm{N}$ — el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $m = F/g = 0.10/9.81 \approx 10\,\mathrm{g}$.

**Ejercicio 15.6 ★★.**

Donde está una excursionista, la [declinación](#def-g11-magnetic-fields-earth) es de $8{}^{\circ}$ oeste. Camina $2.0\,\mathrm{km}$ “al norte según la brújula”: ¿cuánto deriva, y hacia qué lado del norte verdadero? ¿Qué rumbo la habría llevado al norte verdadero?

**Solución de Ejercicio 15.6.**

*1.* Su derrota apunta $8{}^{\circ}$ al oeste del norte verdadero: $2000 \times \sin8{}^{\circ} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ hacia el oeste.

*2.* Gobernar $8{}^{\circ}$ al *este* del norte de la aguja.

**Ejercicio 15.7 ★★.**

¿A qué distancia de un hilo rectilíneo recorrido por $20\,\mathrm{A}$ iguala su [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) a los $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ de la Tierra? ¿Qué dice esto sobre fiarse de una brújula cerca de cables con corriente?

**Solución de Ejercicio 15.7.**

$d = \mu_0 I / (2\pi B) = 2 \times 10^{-7} \times 20 / 5.0 \times 10^{-5}
= 8.0\,\mathrm{cm}$. A menos de un decímetro de un cable así, la brújula lee el hilo y no el planeta — hay que mantenerla lejos de conductores con corriente.

**Ejercicio 15.8 ★★.**

Diseña un [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) que produzca $B = 10\,\mathrm{mT}$ con $I = 4.0\,\mathrm{A}$: calcula la $n$ necesaria y después el número de espiras para una [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $25\,\mathrm{cm}$.

**Solución de Ejercicio 15.8.**

$n = B/(\mu_0 I) = 0.010 / (1.26 \times 10^{-6} \times 4.0)
\approx 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$; en $25\,\mathrm{cm}$, $N = 1989 \times 0.25 \approx 500$ espiras.

**Ejercicio 15.9 ★★.**

En el experimento de los raíles, la varilla (masa $20\,\mathrm{g}$, longitud $L = 12\,\mathrm{cm}$ entre los raíles) lleva $10\,\mathrm{A}$ en un [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) perpendicular de $0.50\,\mathrm{T}$. Calcula la [fuerza de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) y después la aceleración inicial de la varilla; compárala con $g$.

**Solución de Ejercicio 15.9.**

$F = 10 \times 0.12 \times 0.50 = 0.60\,\mathrm{N}$; $a = F/m = 0.60/0.020 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — unas $3g$: la varilla salta de verdad.

**Ejercicio 15.10 ★★.**

Un hilo horizontal de masa $5.0\,\mathrm{g}$ y longitud $20\,\mathrm{cm}$ está en un [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) horizontal $B = 0.10\,\mathrm{T}$ perpendicular a él. ¿Qué intensidad hace que la [fuerza de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) equilibre el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) del hilo, de modo que levite? ¿Hacia dónde tiene que apuntar la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force)?

**Solución de Ejercicio 15.10.**

Equilibrio: $ILB = mg$, luego $I = 5.0 \times 10^{-3} \times 9.81 / (0.20 \times 0.10) \approx
2.5\,\mathrm{A}$. La [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) tiene que apuntar hacia arriba; con $\vect B$ horizontal y perpendicular al hilo, la mano derecha extendida (con la palma hacia arriba) fija el sentido necesario de la corriente.

**Ejercicio 15.11 ★★.**

Da la dirección de la [fuerza de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) (o di que se anula): (a) corriente hacia la derecha de la página, $\vect B$ entrando en la página; (b) corriente hacia la parte superior de la página, $\vect B$ saliendo de la página; (c) corriente paralela a $\vect B$. Usa la mano derecha extendida.

**Solución de Ejercicio 15.11.**

Mano derecha extendida: (a) hacia la parte superior de la página; (b) hacia la derecha; (c) ninguna [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) — el hilo es paralelo al [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Ejercicio 15.12 ★★★.**

Un hilo horizontal va en dirección norte–sur geográfica, $3.0\,\mathrm{cm}$ por encima de una brújula; allí la componente horizontal terrestre vale $20\,\text{µ}\mathrm{T}$. El hilo lleva $I = 5.0\,\mathrm{A}$: calcula su [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en la brújula, da su dirección y después la desviación de la aguja (los [campos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) se suman como vectores).

**Solución de Ejercicio 15.12.**

*1.* $B = 2 \times 10^{-7} \times 5.0 / 0.030 \approx
33\,\text{µ}\mathrm{T}$; las líneas rodean el hilo, así que justo debajo de él el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es horizontal y perpendicular al hilo: este–oeste.

*2.* La aguja sigue la suma vectorial: $\tan\theta = 33/20 = 1.67$, luego $\theta \approx 59{}^{\circ}$ respecto del norte.

**Ejercicio 15.13 ★★★.**

El [electroimán](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) de un desguace es una [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $400$ espiras sobre $20\,\mathrm{cm}$, de [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) $2.0\,\Omega$, alimentada a $12\,\mathrm{V}$; su [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hierro multiplica por $100$ el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) sola. Calcula la intensidad, el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) sola, el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) con el [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) y la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-power) que disipa la [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#ch-g11-circuits-and-power)). ¿Por qué cae la chatarra en el instante en que se abre el interruptor?

**Solución de Ejercicio 15.13.**

*1.* $I = U/R = 12/2.0 = 6.0\,\mathrm{A}$; $n = 400/0.20 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$; $B_0 = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 6.0 \approx 15\,\mathrm{mT}$; con el [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), $100 B_0 \approx 1.5\,\mathrm{T}$.

*2.* $P = UI = 12 \times 6.0 = 72\,\mathrm{W}$.

*3.* Sin corriente no hay [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — y el hierro dulce no se queda imanado: la carga se suelta al instante, tal como se pretende.

**Ejercicio 15.14 ★★★.**

La espira rectangular de un motor tiene $N = 50$ vueltas recorridas por $I = 2.0\,\mathrm{A}$; sus dos lados de $5.0\,\mathrm{cm}$ son perpendiculares a un [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $B = 0.30\,\mathrm{T}$. Calcula la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre cada uno de esos lados; ¿por qué son opuestas las dos [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) y qué le hacen a la espira? ¿Por qué los otros dos lados no notan a veces ninguna [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force)? ¿Por qué hay que invertir la corriente cada media vuelta?

**Solución de Ejercicio 15.14.**

*1.* $F = NILB = 50 \times 2.0 \times 0.050 \times 0.30 =
1.5\,\mathrm{N}$ en cada lado. La corriente recorre los dos lados en sentidos opuestos, así que las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) son opuestas: un par que hace girar la espira.

*2.* Cuando es paralelo a $\vect B$, un hilo no nota ninguna [fuerza de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace).

*3.* Media vuelta después, el par se invertiría y deshacería el giro; el [conmutador](#rem-g11-magnetic-fields-motor) cambia el sentido de la corriente cada media vuelta para que la espira siga girando en el mismo sentido.

**Ejercicio 15.15 ★★★.**

¿A qué distancia de un cable recorrido por $100\,\mathrm{A}$ habría que estar para que su [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) llegase a $1\,\mathrm{T}$? Compárala con el radio milimétrico del cable y concluye por qué los [campos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) del orden del [tesla](#def-g11-magnetic-fields-bfield) se construyen con [solenoides](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) y no con hilos sueltos. Y después: el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $10^{8}\,\mathrm{T}$ de la superficie de una estrella de neutrones, ¿cuántas potencias de diez está por encima del terrestre?

**Solución de Ejercicio 15.15.**

*1.* $d = 2 \times 10^{-7} \times 100 / 1 = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} =
20\,\text{µ}\mathrm{m}$ — muy *dentro* del cobre, que tiene milímetros de grosor. Ningún punto accesible cerca de un solo hilo llega a $1\,\mathrm{T}$: los [campos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) intensos apilan miles de espiras (un [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid)), más hierro o superconductores.

*2.* $10^{8} / 5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{12}$: unas doce [potencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-power) de diez.

## 15.7 Problema: la brújula, la grúa y la resonancia magnética

**Problema 15.1.**

Problema de fin de semana — tres imanes en el trabajo: una brújula que cruza un océano, un electroimán que levanta un coche y el solenoide de una resonancia magnética — un solo campo, a lo largo de diez potencias de diez, haciendo tres trabajos

El mismo vector $\vect B$ gobierna un velero con $50\,\text{µ}\mathrm{T}$, levanta chatarra con $1\,\mathrm{T}$ e imagina una rodilla con $1.5\,\mathrm{T}$ — tres máquinas para las tres fórmulas de este capítulo.

**Parte I — La brújula.** En la posición del barco, el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre tiene una componente horizontal de $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ y una vertical de $44\,\text{µ}\mathrm{T}$; la [declinación](#def-g11-magnetic-fields-earth) es de $6{}^{\circ}$ oeste.

1. ¿Por qué apunta al norte (magnético) la aguja de una brújula?
2. Calcula el módulo del [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total y su ángulo con la horizontal.
3. Gobernando al “norte de brújula” durante $30\,\mathrm{km}$ , ¿a qué distancia al oeste de la derrota al norte verdadero acaba el barco?
4. Una carga de acero desvía la aguja otros $4{}^{\circ}$ al oeste: misma pregunta.
5. Cerca del polo geomagnético una brújula es inservible: ¿qué componente tiene la culpa, y por qué?

**Parte II — La grúa.** El [electroimán](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) del desguace es un [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $600$ espiras bobinadas sobre $30\,\mathrm{cm}$, de [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) $1.5\,\Omega$, alimentado a $12\,\mathrm{V}$; su [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hierro multiplica por $50$ el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) sola.

6. Calcula $n$ , la densidad de espiras.
7. Calcula la intensidad en la [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ( [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#ch-g11-circuits-and-power) ).
8. Calcula el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) sola, $\mu_0 n I$ .
9. Calcula el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) con el [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ; compáralo con los $0.5\,\mathrm{T}$ del neodimio.
10. Calcula la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-power) disipada en la [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) y después la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de un turno de carga de $10\,\mathrm{min}$ .
11. Existen imanes permanentes así de intensos. ¿Por qué un [electroimán](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) entonces?

**Parte III — El motor del cabrestante.** El cabrestante de la grúa es un motor de corriente continua: una espira rectangular de $N = 100$ vueltas, con lados de $4.0\,\mathrm{cm}$ perpendiculares a $B = 0.25\,\mathrm{T}$, recorrida por $I = 3.0\,\mathrm{A}$.

12. Calcula la [fuerza de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) sobre cada haz de lados perpendicular a $\vect B$ .
13. Las dos [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) son iguales y opuestas y, sin embargo, su efecto no se cancela. ¿Qué producen, y por qué tienen que ser *opuestas* ?
14. ¿Qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) actúa sobre los otros dos lados cuando son paralelos a $\vect B$ ?
15. Media vuelta después, esas mismas [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) deshacerían el giro. ¿Qué hace el [conmutador](#rem-g11-magnetic-fields-motor) , y cuándo?
16. Da tres cambios de diseño distintos que dupliquen, cada uno por separado, la pareja de [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) .

**Parte IV — La resonancia magnética.** El [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) del equipo mantiene $1.5\,\mathrm{T}$ uniformes con una intensidad $I = 500\,\mathrm{A}$.

17. ¿Cuántas veces el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la Tierra son $1.5\,\mathrm{T}$ ?
18. Calcula la densidad de espiras $n$ necesaria *sin* ningún [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hierro.
19. Si el bobinado tuviera una [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) de $0.20\,\Omega$ , ¿qué [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-power) disiparía? ¿Qué propiedad del bobinado real evita esto, al precio de un frío extremo?
20. El remate: sitúa los [campos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) del barco, de la grúa y de la resonancia magnética en la escalera de potencias de diez que va del espacio interestelar ( $10^{-10}\,\mathrm{T}$ ) a una estrella de neutrones ( $10^{8}\,\mathrm{T}$ ); ¿qué ha cambiado de una máquina a otra — la física o los [amperios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-current) ?

**Solución de Problema 15.1.**

**1.** La aguja es ella misma un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) pequeño; el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre la alinea, con el extremo norte a lo largo de la componente horizontal de $\vect B$, es decir, hacia el norte magnético.

**2.** $B = \sqrt{20^2 + 44^2} = \sqrt{2336} \approx
48\,\text{µ}\mathrm{T}$, inclinado $\tan^{-1}(44/20) \approx 66{}^{\circ}$ por debajo de la horizontal.

**3.** La derrota va $6{}^{\circ}$ al oeste del norte verdadero: $30 \times \sin6{}^{\circ} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ al oeste.

**4.** Los errores se suman: $10{}^{\circ}$, luego $30 \times \sin10{}^{\circ} \approx 5.2\,\mathrm{km}$ — cinco kilómetros por diez grados.

**5.** La componente horizontal: cerca del polo el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) es casi vertical, la parte horizontal se encoge hacia cero y a la aguja no le queda nada con lo que alinearse.

**6.** $n = 600/0.30 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$.

**7.** $I = U/R = 12/1.5 = 8.0\,\mathrm{A}$.

**8.** $B_0 = \mu_0 n I = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 8.0
\approx 20\,\mathrm{mT}$.

**9.** $50 \times 20\,\mathrm{mT} = 1.0\,\mathrm{T}$ — el doble del [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en el polo de un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) de neodimio, y sobre una cara mucho mayor.

**10.** $P = UI = 12 \times 8.0 = 96\,\mathrm{W}$; en $10\,\mathrm{min}$: $E = 96 \times 600 \approx 58\,\mathrm{kJ}$.

**11.** Porque suelta: se abre el interruptor, el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) muere y el coche cae exactamente donde se quiere. Un [imán](#def-g11-magnetic-fields-magnet) permanente agarra para siempre.

**12.** $F = NILB = 100 \times 3.0 \times 0.040 \times 0.25 =
3.0\,\mathrm{N}$.

**13.** Un par: aplicadas a ambos lados del eje, las dos [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) opuestas hacen girar la espira en el mismo sentido. Dos [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) iguales y *paralelas* solo empujarían la espira de lado, sin hacerla girar.

**14.** Ninguna: un hilo paralelo al [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) no nota [fuerza de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace).

**15.** Invierte la corriente de la espira en cada media vuelta, justo cuando el par cambiaría de signo — de modo que el momento impulsa siempre el mismo giro.

**16.** Duplicar $N$, o duplicar $I$, o duplicar $B$: la pareja de [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) $F = NILB$ es proporcional a cada uno.

**17.** $1.5 / 5.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{4}$: treinta mil veces la Tierra.

**18.** $n = B/(\mu_0 I) = 1.5 / (1.26 \times 10^{-6} \times 500)
\approx 2.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ — y cada una de esas espiras lleva $500\,\mathrm{A}$.

**19.** $P = RI^2 = 0.20 \times 500^2 = 50\,\mathrm{kW}$ — la calefacción de un barrio. El bobinado real es superconductor: [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) nula, disipación nula, siempre que se mantenga a unos pocos grados del cero absoluto.

**20.** Brújula $5 \times 10^{-5}$, grúa $1$, resonancia $1.5$: el barco está cinco peldaños por debajo de las dos máquinas, que comparten una misma década — entre el $10^{-10}$ interestelar y el $10^{8}$ de la estrella de neutrones. No ha cambiado nada más que los [amperios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-current) (y las espiras, el hierro y el superconductor que los multiplican): un solo [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field), tres trabajos.