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title: "La energía mecánica y su conservación"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 18
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion
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# Capítulo 18 — La energía mecánica y su conservación

Una montaña rusa no tiene motor a partir de la primera cuesta: cada rizo, cada arrancada de velocidad posterior se paga de la cuenta abierta en la subida. Este capítulo convierte esa contabilidad en dos números — la [energía cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) y la potencial — y una regla: mientras solo trabaje el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), su suma no cambia. El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) es la comisión; aprenderemos a leerla en los libros.

## 18.1 La energía cinética

**Definición 18.1 (Energía cinética).**

Un cuerpo de masa $m$ ($\mathrm{kg}$) que se mueve con rapidez $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) lleva la *energía cinética*

$$
E_k = \tfrac12\, m v^2 .
$$

Comprobación de [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — [julios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work), como toda [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#ch-g10-energy-conservation)).

**Ejemplo 18.2 (Órdenes de magnitud).**

- un peatón, $70\,\mathrm{kg}$ a $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ;
- un coche, $1300\,\mathrm{kg}$ a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ;
- un tren de alta velocidad, $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ , a $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ;
- una bala de fusil, $8.0\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ .

Siete órdenes de magnitud separan el paseo del tren. Y $E_k$ crece como el *cuadrado* de la rapidez: a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ el coche lleva $4$ veces la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) que tiene a $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — cuatro veces lo que sus frenos tendrán que retirar.

## 18.2 El teorema de la energía cinética

**Teorema 18.3 (Teorema de la energía cinética).**

Para un cuerpo de masa $m$ que se mueve en línea recta de $A$ a $B$, la variación de [energía cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) es igual al [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) total ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#ch-g11-work-of-force)) recibido:

$$
\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),
$$

donde la suma recorre todas las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que actúan sobre el cuerpo. Se extiende al movimiento por cualquier camino, cosa que también admitimos aquí.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 18.4 (Caída libre, comprobada fotograma a fotograma).**

Se deja caer una bola de $0.200\,\mathrm{kg}$ y se graba; los fotogramas dan:

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.10 | 0.20 | 0.30 | 0.40 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| altura caída $h$ ($\mathrm{m}$) | 0.049 | 0.196 | 0.441 | 0.785 |
| rapidez $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) | 0.98 | 1.96 | 2.94 | 3.92 |
| $E_k = \tfrac12 mv^2$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.384 | 0.864 | 1.54 |
| $W = mgh$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.385 | 0.865 | 1.54 |

Partiendo de $E_k = 0$, en cada fotograma $E_k$ coincide con el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) $mgh$ del [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): $\Delta E_k = W(\vect P)$, es decir $v^2 = 2gh$ — el teorema, verificado hasta la precisión de las lecturas.

**Observación 18.5 (Dónde vive la demostración).**

El enunciado general — válido por cualquier camino, no solo en línea recta — se sigue de la segunda ley de Newton y de un poco de cálculo infinitesimal, ambos más adelante en este libro (Capítulos [25](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#ch-g12-newtons-laws) y [29](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/29-trabajo-y-energia-mecanica#ch-g12-work-and-energy)); hasta entonces, la comprobación de la caída libre es nuestro aval, y admitimos la versión para caminos curvos y la usamos con libertad.

## 18.3 La energía potencial gravitatoria

**Definición 18.6 (Energía potencial gravitatoria).**

Un cuerpo de masa $m$ a la altitud $z$, medida hacia arriba desde un *nivel de referencia* elegido donde $z = 0$, almacena la *energía potencial gravitatoria*

$$
E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

**Observación 18.7 (Solo cuentan las diferencias).**

Ir de $A$ a $B$ cambia $E_p$ en $mg(z_B - z_A) = -W_{AB}(\vect P)$: lo opuesto del [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) del [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#ch-g11-work-of-force)). El [nivel de referencia](#def-g11-mechanical-energy-potential) es una elección libre — el suelo, el nivel del mar, la mesa —, que desplaza $E_p$ en todas partes en una misma constante que se cae de toda diferencia. Ponlo donde los números salgan más sencillos, y no lo muevas a mitad de problema.

**Ejemplo 18.8 (Un libro en una estantería).**

Un libro de $1.2\,\mathrm{kg}$ está $1.8\,\mathrm{m}$ por encima del suelo, que a su vez está $9.0\,\mathrm{m}$ por encima de la calle. Con la referencia en el suelo: $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$; en la calle: $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$. Caer al suelo libera $21\,\mathrm{J}$ en las dos contabilidades.

## 18.4 La energía mecánica y su conservación

**Definición 18.9 (Energía mecánica).**

La *energía mecánica* de un cuerpo es

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .
$$

**Teorema 18.10 (Conservación de la energía mecánica).**

Si la única [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que trabaja sobre un cuerpo es su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory); y con las demás [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force), como la reacción de un carril sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory), perpendiculares al movimiento), $E_m$ se conserva: para dos puntos cualesquiera $A$ y $B$ del movimiento,

$$
\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .
$$

**Demostración.** Por el [teorema de la energía cinética](#thm-g11-mechanical-energy-ketheorem), $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) = mg(z_A - z_B) = E_p(A) - E_p(B)$: lo que gana $E_k$ lo pierde $E_p$. ∎

**Ejemplo 18.11 (Tobogán de agua).**

Una niña parte del reposo en lo alto de un tobogán sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de altura $h = 3.2\,\mathrm{m}$. Con la referencia abajo: $mgh = \tfrac12 mv^2$, luego $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) — sea cual sea la masa *y sea cual sea la forma del tobogán*: recto, curvo o en espiral, solo entra el desnivel.

**Ejemplo 18.12 (Péndulo).**

Se aparta la masa de un péndulo hasta que sube $h = 12\,\mathrm{cm}$ por encima de su punto más bajo y se suelta. En los extremos $v = 0$; abajo, todo el $mgh$ es cinético, $v = \sqrt{2gh} \approx 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; y al otro lado la masa vuelve a subir exactamente $12\,\mathrm{cm}$.

![El péndulo cambia E_p por E_k y al revés: todo potencial en los extremos, todo cinético abajo, y la misma subida h dos veces.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-8240e3c22564.svg)

*El péndulo cambia $E_p$ por $E_k$ y al revés: todo potencial en los extremos, todo cinético abajo, y la misma subida $h$ dos veces.*

![Diagrama de barras de energía de una montaña rusa sin rozamiento: en cada posición, las barras de E_p y E_k se apilan hasta el mismo total E_m (línea de trazos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-e1246bdcf5fd.svg)

*Diagrama de barras de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de una montaña rusa sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory): en cada posición, las barras de $E_p$ y $E_k$ se apilan hasta el mismo total $E_m$ (línea de trazos).*

**Ejemplo 18.13 (Velocidad de aterrizaje en un salto de esquí).**

Un saltador de esquí deja el trampolín a $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y aterriza $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$ más abajo. Despreciando la [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) del aire, $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx
38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — sin necesidad de conocer la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) del vuelo.

![Salto de esquí: sea cual sea la curva volada de A a B, en el balance de energía solo entra el desnivel z.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-77b4169c48e1.svg)

*Salto de esquí: sea cual sea la curva volada de $A$ a $B$, en el balance de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) solo entra el desnivel $\Delta z$.*

## 18.5 La disipación por rozamiento

**Definición 18.14 (Disipación).**

De la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) que abandona la cuenta mecánica se dice que se ha *disipado*: reaparece como [energía térmica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-forms) en las superficies que rozan y en el aire. La [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) total se conserva ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#ch-g10-energy-conservation)); la [energía mecánica](#def-g11-mechanical-energy-em) por sí sola, no.

**Proposición 18.15 (El déficit mide el rozamiento).**

Si además trabaja una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ a lo largo del movimiento,

$$
\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:
$$

la pérdida de [energía mecánica](#def-g11-mechanical-energy-em) es igual al [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) del [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory).

**Demostración.** El [teorema de la energía cinética](#thm-g11-mechanical-energy-ketheorem) dice ahora $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) + W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p +
W_{AB}(\vect f)$; se pasa $\Delta E_p$ al otro lado. El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) se opone al movimiento, luego su [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) es negativo. ∎

**Ejemplo 18.16 (Auditoría de un trineo).**

Una niña con su trineo ($m = 40\,\mathrm{kg}$) parten del reposo, bajan $h = 5.0\,\mathrm{m}$ a lo largo de $12\,\mathrm{m}$ de nieve y llegan a $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en lugar de los $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory). Con la referencia abajo: $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times 7.0^2 - 40 \times 9.81
\times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$. Así que $W(\vect f) = -982\,\mathrm{J}$ en $12\,\mathrm{m}$: una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) media de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$, y $982\,\mathrm{J}$ de calor en los patines y en la nieve.

![E_m a lo largo de un movimiento: constante sin rozamiento y decreciente con él — la caída en cada instante es el calor producido hasta ese momento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-016c3a461fe7.svg)

*$E_m$ a lo largo de un movimiento: constante sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) y decreciente con él — la caída en cada instante es el calor producido hasta ese momento.*

**Método 18.17 (Contabilidad energética).**

1. Elegir un [nivel de referencia](#def-g11-mechanical-energy-potential) y mantenerlo; nombrar $A$ (los datos) y $B$ (la pregunta).
2. Escribir $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ en $A$ y en $B$ .
3. Sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(A) = E_m(B)$ ; se despeja — normalmente $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ .
4. Con [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ ( $\ell$ : longitud del camino); se despeja la incógnita.
5. Comprobación: las barras de $E_k$ y $E_p$ se apilan hasta $E_m$ , constante salvo que haya [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) .

## 18.6 Ejercicios

**Ejercicio 18.1 ★.**

Calcula la [energía cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) de (a) una moto con su conductor, $90\,\mathrm{kg}$ en total, a $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; (b) un coche de $1200\,\mathrm{kg}$ a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (c) ¿En qué factor cambia $E_k$ cuando la rapidez se duplica? ¿Y cuando se triplica?

**Solución de Ejercicio 18.1.**

(a) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$. (b) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. (c) $\times 4$; $\times 9$ — el cuadrado.

**Ejercicio 18.2 ★.**

Un escalador de $75\,\mathrm{kg}$ gana $850\,\mathrm{m}$ de altitud. Calcula el [aumento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/10-lentes-imagenes-y-el-ojo#def-g11-lenses-and-eye-magnification) de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) potencial. ¿Depende del [nivel de referencia](#def-g11-mechanical-energy-potential)? ¿Y de la ruta?

**Solución de Ejercicio 18.2.**

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. No: la referencia desplaza por igual los dos valores. Tampoco: solo entra la diferencia de altura.

**Ejercicio 18.3 ★.**

Una maceta cae $20\,\mathrm{m}$ desde un balcón. Despreciando la [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) del aire, halla su rapidez al llegar al suelo en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. ¿Adónde se ha ido la masa?

**Solución de Ejercicio 18.3.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. En $mgh = \tfrac12 mv^2$ la masa se cancela.

**Ejercicio 18.4 ★.**

Un coche de $1200\,\mathrm{kg}$ frena de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ hasta pararse en $50\,\mathrm{m}$. Usa el [teorema de la energía cinética](#thm-g11-mechanical-energy-ketheorem) para hallar el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) de los frenos y después la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) media de frenado.

**Solución de Ejercicio 18.4.**

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 =
-3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$; $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**Ejercicio 18.5 ★.**

Se suelta la masa de un péndulo $8.0\,\mathrm{cm}$ por encima de su punto más bajo. Halla su rapidez abajo y la altura que alcanza al otro lado.

**Solución de Ejercicio 18.5.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; vuelve a subir hasta $8.0\,\mathrm{cm}$ (conservación).

**Ejercicio 18.6 ★★.**

Con el [Ejemplo 18.2](#ex-g11-mechanical-energy-orders): ¿en qué factor supera la [energía cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) del tren a la de la bala? ¿A qué altura podría elevar al tren su propia $E_k$ ($h = v^2/2g$)?

**Solución de Ejercicio 18.6.**

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$: unas seiscientas mil balas. $h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — su propia rapidez podría elevar al tren $400$ [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Ejercicio 18.7 ★★.**

Dos toboganes sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) bajan desde la misma plataforma de $3.0\,\mathrm{m}$, uno recto y empinado y otro largo y serpenteante. Compara las rapideces de llegada (calcúlalas) y los tiempos de llegada (sin calcular).

**Solución de Ejercicio 18.7.**

La misma rapidez, $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (solo entra el desnivel). El tobogán empinado gana en tiempo: alcanza antes una rapidez alta y su camino es más corto.

**Ejercicio 18.8 ★★.**

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Halla la altura máxima alcanzada y después la rapidez a $4.0\,\mathrm{m}$ — de subida y de bajada.

**Solución de Ejercicio 18.8.**

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$. A $4.0\,\mathrm{m}$: $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — la misma en los dos sentidos: $E_m$ depende de la altura, no del sentido de la marcha.

**Ejercicio 18.9 ★★.**

Un saltador de esquí deja el trampolín a $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y aterriza $35\,\mathrm{m}$ más abajo. Predice la rapidez de aterrizaje sin [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) del aire; ¿el valor real es mayor o menor, y por qué?

**Solución de Ejercicio 18.9.**

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx
35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. En la realidad, menor: la resistencia del aire disipa parte de $E_m$.

**Ejercicio 18.10 ★★.**

Un trineo de $45\,\mathrm{kg}$ parte del reposo, baja $6.0\,\mathrm{m}$ a lo largo de $15\,\mathrm{m}$ de pendiente y llega a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Halla la [energía mecánica](#def-g11-mechanical-energy-em) perdida y después la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) media de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory). ¿Adónde ha ido la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy)?

**Solución de Ejercicio 18.10.**

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times
6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$; $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$. Ha ido a calor, en los patines y en la nieve.

**Ejercicio 18.11 ★★.**

El clavo de Galileo: un péndulo soltado $15\,\mathrm{cm}$ por encima de su punto más bajo se encuentra en la vertical con un clavo que bloquea la mitad superior del hilo. Halla la rapidez abajo y la subida más allá del clavo; ¿qué cambia el clavo y qué no?

**Solución de Ejercicio 18.11.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; vuelve a subir hasta $15\,\mathrm{cm}$. El clavo cambia el camino (una circunferencia más cerrada), no la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy): las alturas y las rapideces no se tocan.

**Ejercicio 18.12 ★★★.**

Un patinador se deja caer en un *half-pipe* desde $2.5\,\mathrm{m}$; cada travesía (de un lado al otro) disipa el $10\,\%$ de la [energía mecánica](#def-g11-mechanical-energy-em). Halla la rapidez al fondo del primer descenso y después, calculando las alturas sucesivas, la primera travesía que termine por debajo de $1.0\,\mathrm{m}$.

**Solución de Ejercicio 18.12.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Las alturas de subida escalan con $E_m$, así que quedan multiplicadas por $0.9$ en cada travesía: $2.25$, $2.03$, $1.82$, $1.64$, $1.48$, $1.33$, $1.20$, $1.08$, $0.97$ — la primera por debajo de $1.0\,\mathrm{m}$ es la $9$.ª travesía.

**Ejercicio 18.13 ★★★.**

Desde lo alto de un acantilado de $45\,\mathrm{m}$ se lanza una piedra a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — hacia arriba, en horizontal o con cualquier ángulo. Demuestra que la rapidez de llegada al suelo es la misma en todos los casos y calcúlala. ¿Qué es lo que *sí* depende del ángulo?

**Solución de Ejercicio 18.13.**

La $E_m$ inicial vale $\tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ sea cual sea el ángulo, así que la rapidez al llegar al suelo es $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx
33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. El ángulo fija la *dirección* de la velocidad de llegada, el tiempo de vuelo y el [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-strong) — no la rapidez de llegada.

**Ejercicio 18.14 ★★★.**

Un esquiador de descenso de $80\,\mathrm{kg}$ parte del reposo y baja $120\,\mathrm{m}$ de desnivel a lo largo de una pista de $800\,\mathrm{m}$, contra una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) constante de $65\,\mathrm{N}$. Halla la rapidez de llegada y la fracción de $E_m$ disipada.

**Solución de Ejercicio 18.14.**

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times
800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$, luego $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Fracción disipada: $52000/94176 \approx 55\,\%$.

**Ejercicio 18.15 ★★★.**

Una central de bombeo eleva $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de agua ($1000\,\mathrm{kg}$ por $\mathrm{m}^{3}$) una altura de $300\,\mathrm{m}$. Calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada en [julios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) y en $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$; turbinada de vuelta con un [rendimiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-efficiency) del $85\,\%$ ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#ch-g10-energy-conservation)), ¿a cuántos hogares que consumen $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ al día alimenta durante un día?

**Solución de Ejercicio 18.15.**

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$: $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J}
= 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. Recuperados: $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — unos $1.4 \times 10^{5}$ hogares durante un día.

## 18.7 Problema: diseñar el rizo

**Problema 18.1.**

Problema de fin de semana — auditoría energética de una montaña rusa: la altura de lanzamiento que impone un rizo, las velocidades que promete, el rozamiento que confiesan dos sensores y los frenos que cierran la cuenta — todo el viaje colgando de un solo número

Un tren de masa $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ se suelta desde el reposo en una colina de lanzamiento de altura $H$ y recorre, sin motor, un rizo circular vertical de radio $R = 8.0\,\mathrm{m}$ cuya cima está a la altura $2R$. El análisis del movimiento circular (del curso que viene) aporta el único dato que tomamos prestado: en la cima del rizo el tren aprieta sobre el carril solo si $v_{\text{top}}^2 \geq gR$. Las Partes I y II ignoran el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory).

**Parte I — La colina que impone el rizo.**

1. Calcula la rapidez mínima de seguridad en la cima del rizo.
2. Con el suelo como [nivel de referencia](#def-g11-mechanical-energy-potential) , calcula la [energía mecánica](#def-g11-mechanical-energy-em) del tren en la cima del rizo con esa rapidez mínima.
3. Deduce $H_{\min}$ y demuestra que $H_{\min} = 5R/2$ — sin masa y sin $g$ .
4. El equipo toma $H = 24\,\mathrm{m}$ : calcula la rapidez real en la cima del rizo y el cociente $v_{\text{top}}^2/(gR)$ .
5. ¿Adónde se fue la $m$ ? ¿Por qué le vale el diseño igual a los trenes llenos que a los vacíos?

**Parte II — Lo que promete la altura** ($H = 24\,\mathrm{m}$).

6. ¿Rapidez en la base del rizo ( $z = 0$ ), en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
7. ¿Rapidez en el costado del rizo ( $z = R$ )?
8. Calcula $E_p$ y $E_k$ en el lanzamiento, en la base, en el costado y en la cima del rizo; comprueba que cada pareja suma $mgH$ .
9. Tras el rizo viene un lomo de $12\,\mathrm{m}$ : ¿rapidez en su cresta?
10. Da la fórmula general de $v(z)$ ; ¿dónde es más rápido el viaje y dónde más lento?

**Parte III — La auditoría del [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory).** Dos sensores situados a la misma altura $z = 2.0\,\mathrm{m}$ y separados $60\,\mathrm{m}$ de vía marcan $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y después $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

11. Calcula la variación de [energía mecánica](#def-g11-mechanical-energy-em) entre los sensores. ¿Qué tenía de astuto colocarlos a la misma altura?
12. Deduce el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) del [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) media de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) .
13. ¿Adónde ha ido la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) que falta? Nombra la forma y los lugares.
14. ¿Qué fracción de la $E_m$ del tren se pierde cada $60\,\mathrm{m}$ ? ¿Por qué sería peligroso el $H_{\min}$ pelado en el mundo real, que roza?
15. Unos $90\,\mathrm{m}$ de vía separan el lanzamiento de la cima del rizo: estima $E_m$ allí; ¿sigue salvando el rizo el margen de la pregunta 4?

**Parte IV — Cerrar la cuenta.** El último sensor, a la entrada del tramo recto y horizontal de frenado ($z = 0$), marca $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

16. Calcula allí la [energía cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) del tren.
17. Los frenos tienen que pararlo en $d = 45\,\mathrm{m}$ : calcula la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de frenado (constante) necesaria.
18. Comprobación de confort: calcula la deceleración $a = F/m$ ; compárala con $g$ .
19. ¿Cuánta [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) disipó el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de la vía en todo el recorrido? Comprueba que [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) $+$ frenos $= mgH$ , [julio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) a [julio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) .
20. El remate, en una frase: ¿qué único número fijó la seguridad del rizo, todas las velocidades, la factura del [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de los frenos — y cuál fue el precio de ignorar el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) ?

**Solución de Problema 18.1.**

**1.** $v_{\text{top}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0}
\approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} +
7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**3.** De $mgH_{\min} = E_m$ sale $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$; en álgebra, $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$.

**4.** $v_{\text{top}} = \sqrt{2g(H - 2R)} =
\sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_{\text{top}}^2/(gR) = 2.0$ — el doble del mínimo.

**5.** Todas las [energías](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) son proporcionales a $m$, así que $m$ se cancela: las mismas rapideces y la misma seguridad, lleno o vacío.

**6.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
\approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**7.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx
17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**8.** $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. $(E_p, E_k)$: lanzamiento $(4.71 \times 10^{5}, 0)$; base $(0, 4.71 \times 10^{5})$; costado $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$; cima $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — cada pareja suma $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**9.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx
15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**10.** $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$: lo más rápido, en el punto más bajo de la vía; lo más lento, en la cima del rizo.

**11.** A la misma altura, $\Delta E_p = 0$ y $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 -
20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$: la colocación hace que el déficit sea puramente cinético, leído en dos velocímetros.

**12.** $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$; $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$.

**13.** [Energía térmica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-forms), en las ruedas, en los raíles y en el aire.

**14.** $E_m$ en el primer sensor: $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} = 4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$; pérdida $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\,\%$ por cada $60\,\mathrm{m}$. Con $H_{\min}$, la cima del rizo se alcanza *justo* a $\sqrt{gR}$; cualquier pérdida la deja por debajo de la rapidez de seguridad.

**15.** Perdiendo un $\approx 10\,\%$ cada $60\,\mathrm{m}$, se ha ido cerca del $15\,\%$ de $mgH$ ($\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$): $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$, todavía por encima de los $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ necesarios — a salvo, con solo un $2\,\%$ de sobra. El margen no era un lujo.

**16.** $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 =
3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**17.** $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**18.** $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$: firme pero cómodo.

**19.** [Rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de la vía: $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 - 324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Auditoría: $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} = 4.71 \times 10^{5} = mgH$ — todos los [julios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) justificados.

**20.** La altura de lanzamiento $H = 24\,\mathrm{m}$ fijó la seguridad del rizo, todas las rapideces $\sqrt{2g(H - z)}$, la factura del [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de los frenos; el precio de ignorar el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) es el margen — los $4\,\mathrm{m}$ de colina que el mundo real consume en silencio.