---
title: "El núcleo y la radiactividad"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 19
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad
---

# Capítulo 19 — El núcleo y la radiactividad

Ahora mismo, unos ocho mil [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) atómicos revientan dentro de tu cuerpo cada segundo. Nada los ataca: ciertos [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) nacen inestables, y cada uno se transforma tarde o temprano lanzando un fragmento a una buena fracción de la velocidad de la luz. Este capítulo vuelve a la planta de los $10^{-15}$ [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) del [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#ch-g11-fundamental-interactions) para ver qué [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) son frágiles, cómo se rompen y cómo su impaciencia regular data cuevas y vigila techos.

## 19.1 Núcleos, nucleones e isótopos

**Definición 19.1 (Notación nuclear).**

Un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) contiene $Z$ protones (de carga $+e$ cada uno) y $N$ neutrones (sin carga), $A = Z + N$ nucleones en total; se escribe ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$, donde $\mathrm X$ es el símbolo químico, $Z$ el *número atómico* y $A$ el *número másico*. Una especie determinada por $A$ y $Z$ es un *nucleido*; los nucleidos con el mismo $Z$ y distinto $A$ son *isótopos* de un mismo elemento: la misma química (la nube de electrones solo ve $Ze$), distinto [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) y distinta estabilidad.

**Ejemplo 19.2 (Hidrógeno y carbono).**

El hidrógeno tiene tres [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation): ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (un protón solo), ${}^{2}_{1}\mathrm{H}$ (deuterio: un protón y un neutrón) y el inestable ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ (tritio: dos neutrones). El carbono natural: en su mayoría ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ ($6$ protones, $6$ neutrones), un $1.1\,\%$ de ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ y un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de cada $10^{12}$ del inestable ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ ($8$ neutrones), héroe del [Ejemplo 19.17](#ex-g11-nucleus-radioactivity-dating).

## 19.2 Núcleos estables e inestables

**Proposición 19.3 (El valle de estabilidad).**

Los [nucleidos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) estables ocupan una banda estrecha del plano $(Z, N)$: $N \approx Z$ para los [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ligeros y después un exceso creciente de neutrones, hasta $N \approx 1.5\,Z$. Todo [nucleido](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) fuera de la banda — con demasiados neutrones, con demasiados protones o demasiado grande (más allá del plomo, $Z = 82$, ningún [nucleido](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) es verdaderamente estable) — se transforma tarde o temprano.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 19.4.**

Localizar la banda con exactitud es mecánica cuántica — los volúmenes universitarios. La pauta es el libro de cuentas del [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#ch-g11-fundamental-interactions): el pegamento fuerte solo liga a los vecinos y la repulsión de Coulomb abarca el [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) entero, así que los [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) pesados necesitan neutrones de más como pegamento; pero un exceso de neutrones también es inestable (de eso se encarga la [interacción débil](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-weak)).

![Los nucleidos estables se pegan a N = Z y después derivan hacia el exceso de neutrones; por encima de la banda un núcleo se desintegra -, por debajo + y, más allá del bismuto, .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-db4892ba188a.svg)

*Los [nucleidos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) estables se pegan a $N = Z$ y después derivan hacia el exceso de neutrones; por encima de la banda un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) se desintegra $\beta^-$, por debajo $\beta^+$ y, más allá del bismuto, $\alpha$.*

**Definición 19.5 (Radiactividad).**

La *radiactividad* es la transformación espontánea de un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) inestable en otro [nucleido](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation), con emisión de radiación. Es *aleatoria*: nada anuncia qué [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) se desintegrará a continuación, y ninguna [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure), temperatura ni química puede acelerarla ni retrasarla; solo las poblaciones grandes son predecibles ([Definición 19.14](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)).

**Observación 19.6 (Becquerel y los Curie).**

En 1896, Henri Becquerel descubrió que las sales de uranio velan una placa fotográfica a través de papel negro, dentro de un cajón cerrado y sin que se les aporte [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy). Marie y Pierre Curie demostraron que el efecto es atómico, lo midieron y aislaron el polonio y el radio, un millón de veces más activos. La palabra *[radiactividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-radioactivity)* es de Marie Curie; y también lo son dos premios Nobel.

## 19.3 Alfa, beta, gamma

**Definición 19.7 (Las tres radiaciones históricas).**

Tres radiaciones, bautizadas antes de que nadie supiera qué eran:

- *alfa* ( $\alpha$ ): un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de helio ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ expulsado entero — pesado, con carga doble, detenido por una hoja de papel o por unos centímetros de aire;
- *beta* ( $\beta^-$ ): un electrón ${}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ creado en el [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) y expulsado — ligero, rápido, detenido por unos milímetros de aluminio;
- *gamma* ( $\gamma$ ): radiación electromagnética, mucho más energética que la luz — nunca se detiene del todo, solo se *atenúa* : un centímetro de plomo absorbe la mitad.

![La muere en el papel y la - en unos milímetros de aluminio; la solo se adelgaza, incluso con plomo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-2f0c972f9947.svg)

*La $\alpha$ muere en el papel y la $\beta^-$ en unos milímetros de aluminio; la $\gamma$ solo se adelgaza, incluso con plomo.*

**Proposición 19.8 (Conservación en las ecuaciones nucleares).**

En toda transformación nuclear, el [número másico](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) total $A$ y la carga total — la suma de los índices inferiores, contando $-1$ para un electrón emitido — son los mismos antes y después.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 19.9.**

La conservación de la carga ya gobernaba el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#ch-g11-fundamental-interactions); la conservación de $A$ dice que los nucleones solo se convierten, nunca se crean ni se destruyen — contabilidad honrada para los volúmenes universitarios.

**Método 19.10 (Ajustar una ecuación de desintegración).**

1. Escribir todos los actores con sus dos índices: $\alpha = {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ , $\beta^- = {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , $\beta^+ = {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ ; una $\gamma$ lleva $A = Z = 0$ .
2. Igualar las sumas de las $A$ y después las de las $Z$ ( [Proposición 19.8](#prop-g11-nucleus-radioactivity-soddy) ); resolver y leer el elemento hijo a partir de su $Z$ en la tabla [periódica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) .

**Ejemplo 19.11 (Una desintegración alfa).**

El radio-226, el radio de los Curie, es un emisor $\alpha$: ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ obliga a $A = 226 - 4 = 222$ y $Z = 88 - 2 = 86$; el elemento $86$ es el radón, así que ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — el gas radiactivo de los sótanos sin ventilar.

**Ejemplo 19.12 (Una desintegración beta menos).**

El carbono-14 está por encima de la banda ($8$ neutrones frente a $6$ protones): ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$. Comprobación: $14 = 14 + 0$ y $6 = 7 - 1$; un neutrón se ha convertido en un protón más el electrón expulsado — la [interacción débil](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-weak) en acción.

**Observación 19.13 (Beta más y gamma).**

Por debajo de la banda, la desintegración espejo $\beta^+$ convierte un protón en un neutrón más un *positrón* ${}^{0}_{+1}\mathrm{e}$, la antipartícula del electrón: ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$, caballo de batalla de la tomografía por emisión de positrones. Y tras la mayoría de las desintegraciones el [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) hijo, que nace tembloroso, se asienta emitiendo además una $\gamma$.

![Los primeros pasos de la cadena del uranio-238; once desintegraciones más ( y -) terminan en el estable 206_82 Pb.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-3099cf490378.svg)

*Los primeros pasos de la cadena del uranio-238; once desintegraciones más ($\alpha$ y $\beta^-$) terminan en el estable ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$.*

## 19.4 Periodo de semidesintegración y actividad

**Definición 19.14 (Periodo de semidesintegración).**

El *periodo de semidesintegración* $T_{1/2}$ de un [nucleido](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) es el tiempo tras el cual se ha desintegrado la mitad de cualquier muestra grande. Cada [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) adicional reduce a la mitad lo que queda: de $N_0$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) quedan $N_0/2$ en $T_{1/2}$, $N_0/4$ en $2\,T_{1/2}$, $N_0/8$ en $3\,T_{1/2}$ y $N_0/2^{\,n}$ tras $n$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period).

**Observación 19.15.**

Azar para un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), relojería para $10^{23}$: una muchedumbre inmensa lanzando monedas, impredecible una a una, con la mitad eliminada en cada ronda. Interpolar *entre* [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) enteros exige la función exponencial — el curso que viene, con el volumen de matemáticas.

**Ejemplo 19.16 (Veinte potencias de diez).**

| polonio-214 | $\alpha$ | $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ | eslabón de la cadena del radio |
| --- | --- | --- | --- |
| tecnecio-99m | $\gamma$ | $6.0$ horas | imagen médica |
| americio-241 | $\alpha$ | $432$ años | detectores de humo |
| carbono-14 | $\beta^-$ | $5700$ años | arqueología |
| potasio-40 | $\beta$ | $1.25 \times 10^{9}$ años | en todos los plátanos |
| uranio-238 | $\alpha$ | $4.5 \times 10^{9}$ años | calor interno de la Tierra |

**Ejemplo 19.17 (Datación por carbono-14).**

La materia viva intercambia carbono con la atmósfera, así que mantiene la proporción atmosférica de carbono-14; al morir cesa la entrada y la proporción se reduce a la mitad cada $5700$ años. Un carbón de una cueva pintada muestra la cuarta parte de la proporción de los vivos: un cuarto es la mitad de la mitad, luego el fuego ardió hace dos [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period), $2 \times 5700 = 11\,400$ años.

**Definición 19.18 (Actividad).**

La *actividad* $\mathcal A$ de una muestra es su número de desintegraciones por segundo, medida en *becquerelios*: $1\,\mathrm{Bq} = 1$ desintegración por segundo. Cuantos menos [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sobreviven, menos desintegraciones hay, así que la actividad también se reduce a la mitad en cada [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period).

![La escalera de las mitades: tras n periodos la actividad vale A_0/2\,n — una octava parte tras tres, una milésima tras diez.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-93b90daa3226.svg)

*La escalera de las mitades: tras $n$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) la [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) vale $\mathcal A_0/2^{\,n}$ — una octava parte tras tres, una milésima tras diez.*

**Ejemplo 19.19 (Órdenes de magnitud).**

Todo es un poco radiactivo. Un plátano: unos $15\,\mathrm{Bq}$ (potasio-40). Un cuerpo humano: unos $8000\,\mathrm{Bq}$ — la entradilla de este capítulo, unos quinientos plátanos. Un [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cúbico de granito: alrededor de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (uranio y su cadena, de donde sale el radón de los sótanos). Una inyección de tecnecio: unos $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$, que desaparecen en pocos días.

## 19.5 Servidores y peligros

**Ejemplo 19.20 (Tres carreras de un núcleo inestable).**

*Medicina*: el tecnecio-99m, emisor $\gamma$ puro con $T_{1/2} = 6$ horas, se fija a una [molécula](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) que absorbe el órgano buscado; una cámara filma desde fuera las $\gamma$ y, al día siguiente, el trazador casi ha desaparecido — mientras que la radioterapia invierte la lógica y concentra haces para destruir un tumor. *Datación*: carbono-14 para madera, hueso y tejido hasta unos $50\,000$ años; uranio-238 para las rocas — y para la Tierra, con sus $4.5 \times 10^{9}$ años. *Detectores de humo*: una mota de americio-241 ioniza el aire de una pequeña cámara y deja pasar una corriente diminuta; el humo ahoga la corriente y salta la alarma — y las $\alpha$ mueren en unos centímetros de aire.

**Observación 19.21 (La dosis y el sievert).**

La radiación arranca electrones de las [moléculas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) y puede dañar el ADN. El daño biológico se sigue con la *dosis*, en *sieverts* ($\mathrm{Sv}$), que pondera la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) depositada por [kilogramo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de tejido según lo dañina que sea cada radiación. Tres reglas: distancia, blindaje (para la $\alpha$ basta la piel — salvo que el emisor se *inhale*, que es el crimen del radón; para la $\beta$, aluminio; para la $\gamma$, plomo) y tiempo. La dosimetría propiamente dicha es materia universitaria.

## 19.6 Ejercicios

**Ejercicio 19.1 ★.**

Da el número de protones y de neutrones de ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$, ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$, ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$, ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ y ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$.

**Solución de Ejercicio 19.1.**

${}^{16}_{8}\mathrm{O}$: $8$ p, $8$ n; ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$: $13$ p, $14$ n; ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$: $27$ p, $33$ n; ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$: $92$ p, $143$ n; ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$: $1$ p, $2$ n. ($N = A - Z$ en todos los casos.)

**Ejercicio 19.2 ★.**

Entre ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$, ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$, ¿cuáles son [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) entre sí? ¿Por qué ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ *no* son [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation), pese a tener el mismo [número másico](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation)?

**Solución de Ejercicio 19.2.**

Los tres carbonos ($Z = 6$) son [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) entre sí. ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ comparten $A = 14$ pero no $Z$: son elementos distintos (con nubes de electrones distintas), así que no son [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation).

**Ejercicio 19.3 ★.**

El polonio-210, ${}^{210}_{84}\mathrm{Po}$, es un emisor $\alpha$. Escribe la ecuación de desintegración y nombra al hijo ($Z = 81$: talio; $82$: plomo; $83$: bismuto).

**Solución de Ejercicio 19.3.**

$A = 210 - 4 = 206$, $Z = 84 - 2 = 82$: ${}^{210}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} +
{}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — el hijo es el plomo-206.

**Ejercicio 19.4 ★.**

Escribe las ecuaciones de desintegración $\beta^-$ del cobalto-60 (${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$) y del yodo-131 (${}^{131}_{53}\mathrm{I}$); hijos: $Z = 28$, níquel; $Z = 54$, xenón.

**Solución de Ejercicio 19.4.**

${}^{60}_{27}\mathrm{Co} \to {}^{60}_{28}\mathrm{Ni} +
{}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ y ${}^{131}_{53}\mathrm{I} \to {}^{131}_{54}\mathrm{Xe} +
{}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$: $A$ no cambia y $Z$ sube en una [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Ejercicio 19.5 ★.**

Una fuente de yodo-131 ($T_{1/2} = 8.0$ días) tiene hoy una [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de $800\,\mathrm{MBq}$. ¿Qué [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) tiene al cabo de $16$ días? ¿Y de $32$ días?

**Solución de Ejercicio 19.5.**

$16$ días $= 2\,T_{1/2}$: $800/4 = 200\,\mathrm{MBq}$. $32$ días $= 4\,T_{1/2}$: $800/16 = 50\,\mathrm{MBq}$.

**Ejercicio 19.6 ★★.**

Cuatro radiaciones atraviesan un [campo magnético](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/15-el-magnetismo-y-el-campo-magnetico#def-g11-magnetic-fields-bfield) intenso y después unas pantallas. Identifica cada una: (a) la detiene el papel y el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) apenas la desvía; (b) atraviesa el papel, la detienen $4\,\mathrm{mm}$ de aluminio y el [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) la desvía mucho; (c) atraviesa los dos, el plomo solo la [atenúa](#def-g11-nucleus-radioactivity-abg) y no se desvía; (d) como (b), pero desviada hacia el otro lado.

**Solución de Ejercicio 19.6.**

(a) $\alpha$ (pesada, y por eso apenas se desvía); (b) $\beta^-$; (c) $\gamma$ (neutra y penetrante); (d) $\beta^+$ (un [positrón](#rem-g11-nucleus-radioactivity-betaplus): tan ligero como (b), con carga opuesta).

**Ejercicio 19.7 ★★.**

El radón-222 (${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$) abre una cadena rápida: una desintegración $\alpha$, después otra $\alpha$ y después una $\beta^-$. Escribe las tres ecuaciones ($Z = 82$: plomo; $83$: bismuto; $84$: polonio).

**Solución de Ejercicio 19.7.**

${}^{222}_{86}\mathrm{Rn} \to {}^{218}_{84}\mathrm{Po} +
{}^{4}_{2}\mathrm{He}$; ${}^{218}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{214}_{82}\mathrm{Pb} +
{}^{4}_{2}\mathrm{He}$; ${}^{214}_{82}\mathrm{Pb} \to {}^{214}_{83}\mathrm{Bi} +
{}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$.

**Ejercicio 19.8 ★★.**

El flúor-18, ${}^{18}_{9}\mathrm{F}$, es el trazador de la tomografía por emisión de positrones; el flúor estable es ${}^{19}_{9}\mathrm{F}$. ¿En qué lado de la banda de estabilidad está? Predice su modo de desintegración y escribe la ecuación ($Z = 8$: oxígeno).

**Solución de Ejercicio 19.8.**

El flúor-18 tiene $9$ neutrones donde el flúor-19 estable tiene $10$: pobre en neutrones, por debajo de la banda, así que $\beta^+$: ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$.

**Ejercicio 19.9 ★★.**

Un paciente recibe $500\,\mathrm{MBq}$ de tecnecio-99m ($T_{1/2} = 6.0$ horas) a las 08:00. ¿Qué [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) hay a las 08:00 de la mañana siguiente? ¿Al cabo de cuántas horas baja por primera vez de $1\,\mathrm{MBq}$?

**Solución de Ejercicio 19.9.**

$24$ horas $= 4\,T_{1/2}$: $500/16 \approx 31\,\mathrm{MBq}$. Como $2^9 = 512$, nueve [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) llevan a $500/512 < 1\,\mathrm{MBq}$: al cabo de $9 \times 6 = 54\,\mathrm{h}$.

**Ejercicio 19.10 ★★.**

Un hueso de una turbera muestra una proporción de carbono-14 igual a la octava parte de la de un hueso vivo ($T_{1/2} = 5700$ años). ¿Cuántos años tiene el hueso? ¿Y por qué el carbono-14 no sirve para datar huesos de dinosaurio (de unos $10^{8}$ años)?

**Solución de Ejercicio 19.10.**

$\frac18 = \frac1{2^3}$: tres [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period), $3 \times 5700 = 17\,100$ años. Un hueso de dinosaurio tiene unos $17\,500$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) de antigüedad: queda una fracción $1/2^{17500}$ — ni un solo [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono-14 (un gramo de carbono contiene apenas unos $5 \times 10^{22}$ [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder)).

**Ejercicio 19.11 ★★.**

Con el valle de estabilidad, predice el modo de desintegración ($\alpha$, $\beta^-$ o $\beta^+$) de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$, justificando cada uno en una línea (carbono estable: ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$).

**Solución de Ejercicio 19.11.**

${}^{14}_{6}\mathrm{C}$: $8$ neutrones frente a los $6$–$7$ del carbono estable, por encima de la banda, $\beta^-$. ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$: $5$ neutrones, pobre en neutrones, $\beta^+$. ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$: $Z = 92 > 83$, demasiado pesado, $\alpha$.

**Ejercicio 19.12 ★★★.**

La cadena del uranio-238 termina, muchos pasos después, en el estable ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$; cada paso es una $\alpha$ o una $\beta^-$. Usando solo la conservación de $A$, halla el número de pasos $\alpha$; y después, con la conservación de $Z$, el número de pasos $\beta^-$.

**Solución de Ejercicio 19.12.**

Solo la $\alpha$ cambia $A$: $238 - 206 = 32 = 4x$, luego $x = 8$ partículas [alfa](#def-g11-nucleus-radioactivity-abg). Estas le quitan $16$ a $Z$: de $92 - 16 + y = 82$ sale $y = 6$ desintegraciones [beta](#def-g11-nucleus-radioactivity-abg) menos.

**Ejercicio 19.13 ★★★.**

La fuente de cobalto-60 de un hospital ($T_{1/2} = 5.3$ años) tiene una [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de $6.4\,\mathrm{TBq}$; la normativa permite deshacerse de ella por debajo de $0.1\,\mathrm{TBq}$. ¿Al cabo de cuántos años se puede retirar?

**Solución de Ejercicio 19.13.**

$6.4/0.1 = 64 = 2^{6}$: seis [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period), $6 \times 5.3 = 31.8 \approx 32$ años en almacenamiento blindado.

**Ejercicio 19.14 ★★★.**

La [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de tu cuerpo es de unos $8000\,\mathrm{Bq}$. ¿Cuántos [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) tuyos se desintegran al día? ¿Y a lo largo de una vida de $80$ años? Un plátano añade unos $15\,\mathrm{Bq}$ mientras lo digieres: comenta en una frase los titulares que temen a cada [becquerelio](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity).

**Solución de Ejercicio 19.14.**

Al día: $8000 \times 86400 \approx 6.9 \times 10^{8}$ desintegraciones. En $80$ años: $6.9 \times 10^{8} \times 365 \times 80 \approx 2 \times 10^{13}$. La vida siempre ha funcionado con este fondo — un [becquerelio](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) es un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) por segundo de entre los $\sim 10^{27}$ del cuerpo; la [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) es diminuta, y un recuento de [becquerelios](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) que suene aterrador puede equivaler a unos pocos plátanos.

**Ejercicio 19.15 ★★★.**

Un detector de humo contiene $0.2\,\text{µ}\mathrm{g}$ de americio-241 ($T_{1/2} = 432$ años), con una [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de unos $25\,\mathrm{kBq}$. ¿Cuántas desintegraciones son al día? Tras diez años de servicio, ¿el americio se ha desintegrado mucho menos de la mitad, aproximadamente la mitad o mucho más — y es el agotamiento de la fuente la razón de que se cambien los detectores? Y por último: ¿por qué esta fuente $\alpha$ es inofensiva en el techo y peligrosa si se tritura la cápsula y se inhala el polvo?

**Solución de Ejercicio 19.15.**

$25\,000 \times 86400 \approx 2.2 \times 10^{9}$ desintegraciones al día. Diez años son $10/432 \approx 2\,\%$ de un [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period): se ha desintegrado mucho menos de la mitad, así que lo que obliga a cambiarlo es la electrónica y el polvo, no la fuente. Por fuera, las $\alpha$ mueren en el aire de la cámara y en la carcasa; el polvo inhalado aparca el emisor en los pulmones, donde cada $\alpha$ vuelca su [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) en tejido vivo — una [dosis](#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) grande (en [sieverts](#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose)) a partir de una [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) modesta.

## 19.7 Problema: la momia, el reactor y el detector de humo

**Problema 19.1.**

Problema de fin de semana — tres carreras de un núcleo inestable: una momia datada a base de mitades, el árbol genealógico del uranio ajustado, un detector de humo auditado y por qué las estrellas tenían que ser mortales

Tres [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) inestables, tres oficios: el carbono-14 pone fecha a toda planta y todo animal muerto, el uranio-238 calienta un planeta desde dentro y el americio-241 vigila techos. Datos: $T_{1/2} = 5700$ años (C-14), $4.5 \times 10^{9}$ años (U-238) y $432$ años (Am-241); el carbono vivo muestra $13.6$ desintegraciones por minuto y gramo; [números atómicos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation): N $7$, O $8$, Pb $82$, Bi $83$, Po $84$, Rn $86$, Ra $88$, Th $90$, Pa $91$, U $92$, Np $93$, Am $95$.

**Parte I — La momia.**

1. Da la composición (protones y neutrones) de ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ . ¿Por qué tienen una química idéntica dentro de un cuerpo?
2. ¿Por qué es constante la proporción de carbono-14 en un cuerpo vivo, y por qué empieza a bajar al morir?
3. Escribe la ecuación de desintegración del carbono-14. ¿Escaparía su radiación a través de las vendas de lino de la momia?
4. Un gramo de carbono del lino muestra $6.8$ desintegraciones por minuto. ¿Qué fracción del ritmo de los vivos es? Data la momia.
5. Una segunda “momia”, joya de una colección privada, muestra $13.2$ desintegraciones por minuto y gramo. ¿Veredicto?
6. Estima el ritmo de una muestra de diez [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) de antigüedad y explica por qué la datación por carbono se apaga más allá de unos $57\,000$ años.

**Parte II — El reactor bajo el prado.**

7. Da la composición de ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ . ¿Por qué necesitan los [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) pesados semejante excedente de neutrones?
8. Escribe su ecuación de desintegración $\alpha$ .
9. El hijo se desintegra después $\beta^-$ , y el nieto otra vez $\beta^-$ . Escribe las dos ecuaciones. ¿Qué elemento reaparece?
10. La cadena termina en ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ . Cuenta sus pasos $\alpha$ y después sus pasos $\beta^-$ .
11. La Tierra se formó hace $4.5 \times 10^{9}$ años. ¿Qué fracción de su uranio-238 primordial queda hoy? ¿Y dentro de $5$ mil millones de años más?
12. En una frase: ¿qué alimenta en la superficie ese calor de desintegración enterrado? (Piensa en los volcanes y en la deriva de los continentes.)

**Parte III — El detector de humo.**

13. Escribe la ecuación de desintegración $\alpha$ del ${}^{241}_{95}\mathrm{Am}$ .
14. Su [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) es de $33\,\mathrm{kBq}$ : ¿cuántas desintegraciones por segundo? ¿Y al día?
15. Explica el detector: ¿qué les hacen las partículas $\alpha$ al aire de la cámara, y qué cambia el humo?
16. ¿Por qué es un emisor $\alpha$ la elección correcta aquí — y un emisor $\gamma$ de la misma [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) la peor de todas?
17. Tras un [periodo de semidesintegración](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) (¡ $432$ años!) la [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) sería de $16.5\,\mathrm{kBq}$ ; el manual pide sustituir el detector al cabo de diez años. ¿Es la fuente el eslabón débil?

**Parte IV — Por qué las estrellas tenían que ser mortales.**

18. Las estrellas moribundas forjaron y esparcieron todos los elementos más pesados que el helio. ¿Qué fracción del uranio-238 forjado hace $9 \times 10^{9}$ años sobrevive hoy? ¿Por qué la abundancia que le queda a la Tierra hace del planeta algo mucho más joven que las estrellas más viejas?
19. El calor interno radiactivo de la Tierra impulsa el vulcanismo y la tectónica de placas, y mantiene el [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) agitado fabricando el escudo magnético del [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/15-el-magnetismo-y-el-campo-magnetico#ch-g11-magnetic-fields) . ¿Cómo sería un planeta hecho solo de [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) estables?
20. Una línea, como poesía y como contabilidad: ¿dónde se forjaron tus [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) y qué sigue calentando el suelo que pisas?

**Solución de Problema 19.1.**

**1.** ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$: $6$ p, $6$ n; ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$: $6$ p, $8$ n. La química solo ve la nube de electrones, fijada por $Z = 6$: comportamiento idéntico.

**2.** Comer y respirar renuevan constantemente el carbono de un cuerpo vivo con la proporción atmosférica; al morir cesa la entrada y la desintegración actúa sin oposición.

**3.** ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} +
{}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ ($\beta^-$). Esas $\beta$ son blandas: unos [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de lino enrollado las detienen, así que poco escapa de la momia — por eso se mide una pequeña muestra de carbono tomada del propio objeto.

**4.** $6.8/13.6 = \frac12$: un [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period). La momia tiene unos $5700$ años.

**5.** $13.2/13.6 \approx 0.97$: el lino es esencialmente moderno — como mucho de unos pocos siglos. Una falsificación.

**6.** $13.6/2^{10} = 13.6/1024 \approx 0.013$ desintegraciones por minuto — un recuento cada $75$ minutos y gramo, ahogado en el fondo natural. Diez [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period), unos $57\,000$ años, es el horizonte práctico.

**7.** $92$ protones y $146$ neutrones. La repulsión de Coulomb actúa entre todas las parejas de protones del [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), mientras que el pegamento fuerte solo liga a los vecinos: los [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) pesados solo sobreviven con un excedente de neutrones, que son pegamento sin repulsión.

**8.** ${}^{238}_{92}\mathrm{U} \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} +
{}^{4}_{2}\mathrm{He}$.

**9.** ${}^{234}_{90}\mathrm{Th} \to {}^{234}_{91}\mathrm{Pa} +
{}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ y después ${}^{234}_{91}\mathrm{Pa} \to {}^{234}_{92}\mathrm{U} +
{}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$: reaparece el uranio, como uranio-234.

**10.** Por $A$: $238 - 206 = 32$, luego $8$ pasos $\alpha$; por $Z$: $92 - 16 + y = 82$, luego $6$ pasos $\beta^-$.

**11.** $4.5 \times 10^{9}$ años son un [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period): queda $\frac12$. Cinco mil millones de años más $\approx$ otro [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period): alrededor de $\frac14$.

**12.** Impulsa los volcanes, la tectónica de placas (la deriva de los continentes, los terremotos) y el calor geotérmico: la geología superficial de un planeta calentado desde dentro.

**13.** ${}^{241}_{95}\mathrm{Am} \to {}^{237}_{93}\mathrm{Np} +
{}^{4}_{2}\mathrm{He}$.

**14.** $3.3 \times 10^{4}$ desintegraciones por segundo; $33\,000 \times 86400 \approx 2.9 \times 10^{9}$ al día.

**15.** Cada $\alpha$ ioniza el aire que atraviesa; los iones transportan una corriente diminuta entre los electrodos de la cámara. Las partículas de humo capturan los iones, la corriente cae y salta la alarma.

**16.** Las $\alpha$ gastan toda su [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) dentro de la cámara y ninguna escapa de la carcasa: ionización máxima y fuga nula. Una fuente $\gamma$ de la misma [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) apenas ionizaría el aire de la cámara y, en cambio, irradiaría la habitación entera.

**17.** Diez años son $10/432 \approx 2\,\%$ de un [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period): la [actividad](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) no ha cambiado prácticamente nada. Los eslabones débiles son el polvo, los insectos y la electrónica — el [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sobrevive al aparato.

**18.** $9 \times 10^{9}$ años $= 2$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period): sobrevive $\frac14$. El uranio de la Tierra sigue siendo abundante, así que se forjó como mucho hace unos pocos [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) — el planeta se condensó a partir de ceniza estelar fresca, miles de millones de años después de las primeras estrellas.

**19.** Geológicamente muerto: un interior frío, sin vulcanismo ni tectónica de placas que reciclen aire y roca, y sin un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) agitado — y, por tanto, sin escudo magnético frente al viento solar.

**20.** Todos tus [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) más pesados que el helio se forjaron en una estrella moribunda, y los restos inestables de aquella fragua todavía calientan el suelo que pisas: polvo de estrellas, mantenido vivo por su propio [periodo de semidesintegración](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife).