---
title: "El sonido y la acústica"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 21
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/21-el-sonido-y-la-acustica
---

# Capítulo 21 — El sonido y la acústica

Pulsa la cuerda grave de una guitarra: la habitación se llena de un la grave y, sin embargo, hasta tu oído no ha viajado más que aire comprimido y estirado. Este capítulo sigue ese patrón — su velocidad, cómo la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) se convierte en [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) y la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) en [sonoridad](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness), y por qué una misma nota suena distinta en cada instrumento.

## 21.1 El sonido es una onda de presión

**Definición 21.1 (Onda sonora).**

Una *onda sonora* es una [onda mecánica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wave) de [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure) ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#ch-g12-mechanical-waves)): una superficie que vibra crea *compresiones* (una ligera sobrepresión) y *rarefacciones* (una depresión) que viajan. Las porciones de aire oscilan *a lo largo* de la dirección de propagación (el [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) es *longitudinal*) y hace falta un medio: una campana bajo una campana de vacío enmudece ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#ch-g10-signals-and-waves)).

![Un altavoz impulsa una onda longitudinal: las porciones de aire se agolpan en compresiones separadas una longitud de onda = v/f.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-89cc5a4eda2c.svg)

*Un altavoz impulsa una [onda longitudinal](#def-g12-sound-acoustics-sound-wave): las porciones de aire se agolpan en [compresiones](#def-g12-sound-acoustics-sound-wave) separadas una [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v/f$.*

**Proposición 21.2 (Velocidad del sonido).**

El [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) viaja a unos $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, a $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el agua y a $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el acero: cuanto más rígido es el medio, más rápido.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 21.3 (El aire caliente es más rápido).**

Son valores medidos; predecirlos se hace en el volumen del primer año. El [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) se acelera en aire más caliente ($331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$) — de ahí que los instrumentos de viento se desafinen a medida que la sala se calienta.

**Ejemplo 21.4 (Los tamaños de los sonidos).**

La relación $\lambda = v/f$ le pone tamaño a cualquier [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound): en el aire, un retumbo de $20\,\mathrm{Hz}$ abarca $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ — un edificio — y un siseo de $20\,\mathrm{kHz}$ cabe en $1.7\,\mathrm{cm}$; los del tamaño de un [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) se doblan con facilidad al rodear puertas y esquinas.

## 21.2 Tono, sonoridad y el oído

**Definición 21.5 (Tono y sonoridad).**

El *tono* es la [percepción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/11-el-color-y-las-fuentes-de-luz#def-g11-color-light-sources-perception) de la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency): cuanto mayor es $f$, más aguda es la nota; el la de afinación es de $440\,\mathrm{Hz}$, y duplicar $f$ sube la nota una octava. La *sonoridad* es la [percepción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/11-el-color-y-las-fuentes-de-luz#def-g11-color-light-sources-perception) de la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude): cuanto mayor es la oscilación de [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure), más fuerte suena; amplificar cambia la sonoridad, no el tono.

**Observación 21.6 (La ventana del oído).**

La audición abarca de unos $20\,\mathrm{Hz}$ a $20\,\mathrm{kHz}$ ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#ch-g10-signals-and-waves)); por debajo están los [infrasonidos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) y por encima, los [ultrasonidos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) — los murciélagos a $50\,\mathrm{kHz}$ y las sondas médicas en megahercios. Un piano solo toma una muestra del centro: $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$.

## 21.3 La intensidad sonora y la escala de decibelios

**Definición 21.7 (Intensidad sonora).**

La *intensidad sonora* $I$ es la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) acústica que atraviesa un [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cuadrado encarado a la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave): $I = P/S$, en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. El [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) audible más débil está en torno a $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; el dolor empieza cerca de $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**Proposición 21.8 (Atenuación con la inversa del cuadrado).**

Una fuente pequeña que radia una [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) $P$ por igual en todas direcciones da, a la distancia $r$, $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$: duplicar la distancia divide la intensidad entre cuatro.

**Demostración.** Toda la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) $P$ atraviesa la esfera de área $4\pi r^2$; basta dividir. ∎

**Definición 21.9 (Nivel sonoro).**

El oído abarca doce potencias de diez, así que las intensidades se dan en escala logarítmica. El *nivel sonoro* de $I$ es

$$
L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
$$

en *decibelios* ($\mathrm{dB}$): umbral de audición $0\,\mathrm{dB}$, dolor cerca de $120\,\mathrm{dB}$.

**Proposición 21.10 (Aritmética de los decibelios).**

Multiplicar $I$ por $k$ añade $10\log_{10}k$ [decibelios](#def-g12-sound-acoustics-level). En particular, $\times 10$ añade $10\,\mathrm{dB}$; $\times 2$ añade $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$; $N$ fuentes idénticas e incoherentes suman *intensidades*, nunca niveles, y dan $L_1 + 10\log_{10}N$; y duplicar la distancia a una fuente pequeña ($I$ dividida entre cuatro) quita unos $6.0\,\mathrm{dB}$.

**Demostración.** $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$; para la distancia, la [Proposición 21.8](#prop-g12-sound-acoustics-inverse-square) con $k = 1/4$. ∎

**Método 21.11 (Trabajar en decibelios).**

1. $L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; y al revés: $I = I_0 \times 10^{L/10}$ .
2. Nunca se suman niveles: hay que pasar a intensidades, sumar y volver — o usar $+3\,\mathrm{dB}$ por cada duplicación y $+10\,\mathrm{dB}$ por cada factor diez.
3. Cada duplicación de la distancia a una fuente pequeña cuesta $6\,\mathrm{dB}$ .

![Una escalera de niveles cotidianos: cada escalón de 20\, dB es un salto de intensidad de cien veces; más allá de 85\, dB (zona roja) la exposición daña la audición.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-544572ff4b4d.svg)

*Una escalera de niveles cotidianos: cada escalón de $20\,\mathrm{dB}$ es un salto de intensidad de cien veces; más allá de $85\,\mathrm{dB}$ (zona roja) la exposición daña la audición.*

**Observación 21.12 (El daño auditivo).**

La pérdida de audición es una [dosis](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose): $85\,\mathrm{dB}$ son seguros durante ocho horas, y cada $3\,\mathrm{dB}$ de más — una duplicación de la intensidad — reduce a la mitad el tiempo seguro; las células ciliadas perdidas no vuelven a crecer.

## 21.4 Timbre y armónicos

**Definición 21.13 (Armónicos).**

Un [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) periódico de [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f_1$ — el *fundamental* — es en general una suma de sinusoides de [frecuencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f_n = n f_1$, con $n = 1, 2, 3, \dots$, sus *armónicos*. Un [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) reducido a su fundamental es un *sonido puro*, como el de un diapasón.

**Definición 21.14 (Espectro y timbre).**

El *espectro* de un [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) es el diagrama de barras de sus [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics): una barra por cada $f_n$, cuya longitud mide la intensidad de ese [armónico](#def-g12-sound-acoustics-harmonics). El oído escucha $f_1$ como el [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) y la *mezcla* de intensidades como el *timbre* — el color del [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound): dos instrumentos que tocan la misma nota comparten $f_1$ y solo se diferencian en sus espectros.

![El mismo la (220\, Hz): formas de onda (arriba) y espectros (abajo) — el mismo fundamental y el mismo tono; la escalera de armónicos del violín es su timbre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-ea39236882cc.svg)

*El mismo la ($220\,\mathrm{Hz}$): formas de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) (arriba) y [espectros](#def-g12-sound-acoustics-timbre) (abajo) — el mismo [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) y el mismo [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness); la escalera de [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) del violín es su [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).*

**Ejemplo 21.15 (Por qué reconoces quién llama).**

El la de una flauta es casi un [sonido puro](#def-g12-sound-acoustics-harmonics); un violín que frote esos mismos $220\,\mathrm{Hz}$ añade [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) intensos en $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$. El mismo [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) y la misma [sonoridad](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) y, sin embargo, nadie los confunde: una voz también es un [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) que te sabes de memoria.

## 21.5 La cuerda que vibra

**Definición 21.16 (Onda estacionaria).**

Una [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) confinada entre los extremos fijos de una cuerda puede asentarse en una *onda estacionaria*: una oscilación en el sitio, con puntos inmóviles — los *nodos* — alternando con puntos de oscilación máxima — los *vientres*. Ya no viaja nada; la cuerda vibra con un patrón fijo.

**Proposición 21.17 (Modos de una cuerda).**

Una cuerda de longitud $L$, fija por los dos extremos y que transporta [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) de velocidad $v$, vibra de forma estable solo con patrones en los que cabe un número entero $n$ de semilongitudes de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) entre los [nodos](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) impuestos por los extremos:

$$
\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$

El modo más bajo, $f_1 = v/(2L)$, es el [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics); los demás son exactamente sus [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 21.18 (Dónde vive la demostración honrada).**

Que las [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) confinadas elijan exactamente estos modos se sigue de superponer la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) con sus reflexiones, un cálculo que se hace en el volumen del primer año. La geometría convence: los dos extremos tienen que quedarse quietos, así que ha de caber un número entero de semilongitudes de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave).

![Los tres primeros modos de una cuerda fija por los dos extremos: en L caben n semilongitudes de onda, así que _n = 2L/n y f_n = nf_1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-8b7d4ef5e486.svg)

*Los tres primeros modos de una cuerda fija por los dos extremos: en $L$ caben $n$ semilongitudes de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave), así que $\lambda_n = 2L/n$ y $f_n = nf_1$.*

**Ejemplo 21.19 (La cuerda la de un violín).**

La cuerda la de un violín mide $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ y suena a $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$: las [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) la recorren a $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — fijada por la tensión y la masa, y afinada con la clavija. Apoyar un dedo acorta $L$ y sube a la vez todas las $f_n$: el [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) entero se desliza hacia arriba.

**Observación 21.20 (Por qué se diferencian los instrumentos).**

La manera de excitar la cuerda — pulsada, frotada, percutida — fija cuánto hay de cada modo, y la caja amplifica unos [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) más que otros; la excitación y la caja juntas fijan el [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre), de modo que el mismo $f_1$ sale de una guitarra, de un violín y de un piano sonando cada uno como él mismo.

## 21.6 Ejercicios

**Ejercicio 21.1 ★.**

En el aire ($v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), halla la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de (a) una nota grave de $55\,\mathrm{Hz}$; (b) un pitido de $1.0\,\mathrm{kHz}$; (c) un chirrido de $15\,\mathrm{kHz}$. Compara la mayor con la menor.

**Solución de Ejercicio 21.1.**

$\lambda = v/f$: (a) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$; (b) $0.34\,\mathrm{m}$; (c) $2.3\,\mathrm{cm}$. Cociente $15000/55 \approx 270$.

**Ejercicio 21.2 ★.**

Clasifica como infrasonido, [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) audible o ultrasonido: $8\,\mathrm{Hz}$; $100\,\mathrm{Hz}$; $15\,\mathrm{kHz}$; $40\,\mathrm{kHz}$; $3\,\mathrm{MHz}$. De los audibles, ¿cuál suena más grave?

**Solución de Ejercicio 21.2.**

Infrasonido: $8\,\mathrm{Hz}$. Audibles: $100\,\mathrm{Hz}$ y $15\,\mathrm{kHz}$. [Ultrasonidos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound): $40\,\mathrm{kHz}$ y $3\,\mathrm{MHz}$. El más grave: $100\,\mathrm{Hz}$ (menor [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency)).

**Ejercicio 21.3 ★.**

Un operario golpea un raíl a $1.0\,\mathrm{km}$. Calcula los tiempos de viaje por el acero y por el aire. ¿Qué oye alguien con una oreja pegada al raíl?

**Solución de Ejercicio 21.3.**

Acero: $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$; aire: $1000/340 \approx 2.9\,\mathrm{s}$. Dos golpes separados $2.7\,\mathrm{s}$ — primero el del raíl.

**Ejercicio 21.4 ★.**

(a) ¿El [nivel sonoro](#def-g12-sound-acoustics-level) para $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? (b) ¿La intensidad a $60\,\mathrm{dB}$? (c) Nombra un [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) cotidiano cercano a cada nivel.

**Solución de Ejercicio 21.4.**

(a) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$. (b) $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (c) $70\,\mathrm{dB}$: un aspirador; $60\,\mathrm{dB}$: una conversación.

**Ejercicio 21.5 ★.**

La cuerda sol de un violín suena a $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$: da sus tres [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) siguientes. ¿Por qué un silbido de $12\,\mathrm{kHz}$, por rico que sea en la fuente, llega al oído como un [sonido puro](#def-g12-sound-acoustics-harmonics)?

**Solución de Ejercicio 21.5.**

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$. Sus [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) superiores ($n \ge 2$) empiezan en $24\,\mathrm{kHz}$, por encima del techo audible: solo se oye el [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) de $12\,\mathrm{kHz}$.

**Ejercicio 21.6 ★★.**

Una sirena radia $P = 0.50\,\mathrm{W}$ por igual en todas direcciones. Calcula la intensidad y el [nivel sonoro](#def-g12-sound-acoustics-level) a $5.0\,\mathrm{m}$.

**Solución de Ejercicio 21.6.**

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$.

**Ejercicio 21.7 ★★.**

Un violín solo da $68\,\mathrm{dB}$ en tu butaca. ¿Qué nivel dan dos? ¿Y cuatro? ¿Cuántos violines harían falta para llegar a $78\,\mathrm{dB}$?

**Solución de Ejercicio 21.7.**

Dos: $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$; cuatro: $74\,\mathrm{dB}$. Para $+10\,\mathrm{dB}$ hace falta $\times 10$ en intensidad: $10$ violines.

**Ejercicio 21.8 ★★.**

El nivel es de $95\,\mathrm{dB}$ a $2.0\,\mathrm{m}$ de un altavoz pequeño. Predice el nivel a $8.0\,\mathrm{m}$: ¿está por debajo de la marca de $85\,\mathrm{dB}$?

**Solución de Ejercicio 21.8.**

$r \times 4$: $I$ dividida entre $16$, luego $-12\,\mathrm{dB}$: $83\,\mathrm{dB}$. Sí — justo por debajo de la marca de $85\,\mathrm{dB}$.

**Ejercicio 21.9 ★★.**

Una nota de $440\,\mathrm{Hz}$ pasa del aire al agua. Calcula su [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) en cada medio. El buceador oye el mismo [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness): ¿qué magnitud fija la fuente y cuál se ajusta?

**Solución de Ejercicio 21.9.**

Aire: $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$; agua: $1500/440 \approx 3.4\,\mathrm{m}$. La fuente fija la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency); la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v/f$ se ajusta al medio.

**Ejercicio 21.10 ★★.**

Un [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) muestra picos en $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ de alturas decrecientes: ¿cuál es el [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics)? Otro instrumento toca esa misma nota con la misma [sonoridad](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness): ¿qué es igual en su [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) y qué es distinto?

**Solución de Ejercicio 21.10.**

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (la separación entre picos). Igual: las posiciones de las barras, $nf_1$ (el mismo [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness)), y la intensidad total; distinto: las alturas de las barras — la mezcla que forma el [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).

**Ejercicio 21.11 ★★.**

Una cuerda de guitarra de $65.0\,\mathrm{cm}$ suena a $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$. Halla la velocidad de la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) y después las longitudes vibrantes que dan la octava ($220\,\mathrm{Hz}$) y la quinta ($165\,\mathrm{Hz}$).

**Solución de Ejercicio 21.11.**

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Octava: $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$; quinta: $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$.

**Ejercicio 21.12 ★★★.**

Una sonda médica envía [ultrasonidos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) de $5.0\,\mathrm{MHz}$ a un tejido blando ($v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): ¿la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength)? Vuelven [ecos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#rem-g10-signals-and-waves-honest) al cabo de $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ y $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ desde las dos paredes de un órgano: halla sus profundidades y el grosor del órgano.

**Solución de Ejercicio 21.12.**

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$. Profundidad $= vt/2$: $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ y $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$; grosor $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 21.13 ★★★.**

Un escenario al aire libre produce $110\,\mathrm{dB}$ a $3.0\,\mathrm{m}$. Tratándolo como una fuente pequeña, ¿a qué distancia baja el nivel a $85\,\mathrm{dB}$? Da dos razones por las que la distancia real es distinta.

**Solución de Ejercicio 21.13.**

$-25\,\mathrm{dB}$ significa $I$ dividida entre $10^{2.5} \approx 316$, luego $r$ multiplicada por $\sqrt{316} \approx 17.8$: $r \approx 3.0 \times 17.8 \approx
53\,\mathrm{m}$. Los recintos reales son distintos: las reflexiones del suelo y de las paredes suman intensidad, mientras que el aire y el público la absorben (y el escenario no es una fuente puntual isótropa).

**Ejercicio 21.14 ★★★.**

Halla el cociente entre el umbral de dolor ($1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) e $I_0$. Tomando el tímpano como $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$, calcula la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) recibida en cada umbral; comenta lo que esto dice del oído como detector.

**Solución de Ejercicio 21.14.**

$1/10^{-12} = 10^{12}$. Tímpano $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$: [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) recibida $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ en el umbral y $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ en el dolor — el oído detecta decenas de attovatios y sigue funcionando con un billón de veces más: un detector con doce décadas de intervalo dinámico.

**Ejercicio 21.15 ★★★.**

Cada altavoz idéntico de un festival da por sí solo $80\,\mathrm{dB}$ en la mesa de mezclas. ¿Qué nivel dan $2$? ¿Y $10$? ¿Y $100$? ¿Qué cuesta cada $10\,\mathrm{dB}$ adicional — y qué dice esto de las carreras de [sonoridad](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness)?

**Solución de Ejercicio 21.15.**

$2$: $83\,\mathrm{dB}$; $10$: $90\,\mathrm{dB}$; $100$: $100\,\mathrm{dB}$. Cada $10\,\mathrm{dB}$ adicional cuesta diez veces más altavoces: las carreras de [sonoridad](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) son exponencialmente caras (y peligrosas mucho antes de ganarse).

## 21.7 Problema: el taller del luthier

**Problema 21.1.**

Problema de fin de semana — el taller del luthier: una cuerda de guitarra repartida traste a traste, sus armónicos afinados hasta un timbre, un recital mantenido por debajo de la línea de peligro y una caza por ultrasonidos de un defecto en la madera

Un luthier está terminando una guitarra. Su cuerda la tiene una longitud vibrante $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ y debe [sonar](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#met-g10-signals-and-waves-echo) a $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$. Toma $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para el [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) en el aire y admite $f_1 = v/(2L)$ ([Proposición 21.17](#prop-g12-sound-acoustics-string-modes)), siendo $v$ la velocidad de la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) en la cuerda.

**Parte I — Repartir el diapasón.**

1. Calcula la velocidad $v$ de la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) en la cuerda.
2. Calcula la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) del [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) *en la cuerda* y después la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) del [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) de $110\,\mathrm{Hz}$ *en el aire* . ¿Por qué son distintas con la misma [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) ?
3. La octava ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): ¿qué longitud vibrante la da? ¿Dónde tiene que ir el traste duodécimo, como fracción de $L$ ?
4. La quinta ( $165\,\mathrm{Hz}$ ): ¿qué longitud vibrante la da?
5. Cada traste sube la nota un semitono, un factor $2^{1/12}$ . Comprueba con logaritmos cuántos semitonos separan $110\,\mathrm{Hz}$ de $220\,\mathrm{Hz}$ ; ¿longitud en el primer traste?

**Parte II — [Armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) y [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).**

6. Enumera los cinco primeros [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) de la cuerda la al aire.
7. El la de un violinista suena a $440\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué [armónico](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) de la cuerda de guitarra es, y qué intervalo musical lo separa del [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ? ¿Y los $330\,\mathrm{Hz}$ ?
8. El luthier pulsa cerca del puente y después sobre el diapasón: el mismo [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) , distinto color. Explícalo con los [espectros](#def-g12-sound-acoustics-timbre) .
9. Un toque suave en el punto medio mientras se pulsa impone allí un [nodo](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) . ¿Qué [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) sobreviven, y qué [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) se oye?
10. ¿Cuántos [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) de la cuerda al aire caen, en principio, dentro del intervalo audible?

**Parte III — El recital.** En el primer concierto de la guitarra, cada instrumento radia una [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) acústica $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ como fuente pequeña, por igual en todas direcciones.

11. Calcula la intensidad a $r = 3.0\,\mathrm{m}$ de un instrumento.
12. Deduce allí el [nivel sonoro](#def-g12-sound-acoustics-level) .
13. Toca un cuarteto: ¿qué nivel dan cuatro instrumentos así en el mismo sitio? ¿Por qué no es cuatro veces el nivel?
14. Tocan doce instrumentos: ¿cuál es el nivel a $3.0\,\mathrm{m}$ ?
15. ¿A qué distancia tiene que sentarse un oyente para que el conjunto baje a $85\,\mathrm{dB}$ ?
16. Regla de seguridad: $85\,\mathrm{dB}$ son seguros durante ocho horas, y cada $3\,\mathrm{dB}$ reduce a la mitad el tiempo seguro. ¿Cuánto puede quedarse sin riesgo el oyente de primera fila de la pregunta 14?

**Parte IV — El defecto de la madera.** Antes de barnizar, el luthier explora una pieza de mástil de $45\,\mathrm{mm}$ de grosor con un comprobador de $2.0\,\mathrm{MHz}$; en esta madera toma $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

17. Calcula la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) del ultrasonido en la madera. ¿Por qué la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) que caza defectos tiene que ser ultrasónica y no audible?
18. Calcula el [retraso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) del [eco](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#rem-g10-signals-and-waves-honest) de la cara posterior de la pieza.
19. Llega un [eco](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#rem-g10-signals-and-waves-honest) al cabo de $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : ¿a qué profundidad está el defecto?
20. Escribe la ficha del taller: velocidad de la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) en la cuerda, longitudes del traste duodécimo y del primero, distancia de escucha segura y profundidad del defecto.

**Solución de Problema 21.1.**

**1.** $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** En la cuerda, $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$; en el aire, $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$. La misma $f$, pero $\lambda = v/f$ y las velocidades de la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) son distintas.

**3.** $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$: el traste duodécimo va en el punto medio, a $L/2$ del puente.

**4.** $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$.

**5.** $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ semitonos — doce trastes por octava. Primer traste: $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059 \approx 61.4\,\mathrm{cm}$.

**6.** $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$.

**7.** $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$: el cuarto [armónico](#def-g12-sound-acoustics-harmonics), dos octavas por encima. $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$: el tercer [armónico](#def-g12-sound-acoustics-harmonics), una octava más una quinta.

**8.** La posición de la pulsación fija la mezcla de modos: cerca del puente los [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) agudos son intensos ([espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) brillante) y sobre el diapasón domina el [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ([sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) dulce). El mismo $f_1$, luego el mismo [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) — distinto [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre), distinto [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).

**9.** Solo sobreviven los [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) que tienen un [nodo](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) en el punto medio: los pares, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$, …El [tono](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) salta una octava, hasta $220\,\mathrm{Hz}$.

**10.** $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$: $n \le 20000/110 = 181.8$, luego $181$ [armónicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics).

**11.** $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0)
\approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**12.** $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$.

**13.** $I \times 4$: $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$. Los niveles son logaritmos: lo que se suma son las intensidades, no los niveles.

**14.** $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to 88\,\mathrm{dB}$.

**15.** Objetivo $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx
3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ con $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$: $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$.

**16.** $88\,\mathrm{dB}$ son $+3\,\mathrm{dB}$ sobre el límite de las ocho horas: el tiempo seguro se reduce a la mitad una vez — cuatro horas. El recital cabe.

**17.** $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$. Una [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) solo se refleja en defectos de al menos una [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de tamaño: el [sonido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) audible en la madera tiene $\lambda$ de decenas de centímetros y difracta alrededor de cualquier defecto pequeño.

**18.** $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**19.** $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$.

**20.** La ficha: $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en la cuerda; trastes en $32.5\,\mathrm{cm}$ (el duodécimo) y $61.4\,\mathrm{cm}$ (el primero); conjunto seguro más allá de $\approx 4.3\,\mathrm{m}$; defecto a $18\,\mathrm{mm}$ de profundidad — cuatro números, un capítulo.