---
title: "Cinemática en dos dimensiones"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 24
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones
---

# Capítulo 24 — Cinemática en dos dimensiones

Observa un coche que toma una rotonda a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constantes: la aguja no se mueve y, sin embargo, todos los ocupantes notan un tirón lateral — el movimiento está cambiando, y no es la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity). Un número por instante ya no basta: el movimiento en el plano necesita flechas. Este capítulo equipa a un punto móvil con tres — posición, velocidad y aceleración — encadenadas por la derivada, y lee familias enteras de movimientos en su geometría.

## 24.1 El vector de posición

El movimiento solo existe respecto de un [sistema de referencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) declarado — un cuerpo rígido más un reloj ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#ch-g10-relative-motion)). La novedad de este año es la precisión: se le añaden al sistema un origen $O$ y dos ejes graduados perpendiculares $Ox$ y $Oy$, y se registra dónde está el punto en cada instante, como una pareja de funciones.

**Definición 24.1 (Vector de posición).**

En un sistema equipado con un origen $O$ y unos ejes $Ox$ y $Oy$, el *vector de posición* de un punto móvil $M$ en el instante $t$ es $\vect{OM}(t)$, de coordenadas $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$: dos funciones del tiempo, una por eje. La curva que traza $M$ mientras $t$ corre es su [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory).

## 24.2 El vector velocidad

**Definición 24.2 (Vector velocidad).**

Durante un intervalo corto, el punto se desplaza $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$; se divide entre $\Delta t$ y se deja encoger el intervalo: esta es la derivada de tu curso de matemáticas, aplicada a cada coordenada. El *vector velocidad* de $M$ es la derivada de su [vector de posición](#def-g12-kinematics-2d-position), $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Su norma $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ es la *rapidez* — el único número que muestra el velocímetro.

**Ejemplo 24.3 (Un dron en vuelo horizontal).**

Un dron vuela con $x(t) = 4.0\,t$ e $y(t) = 3.0\,t$ ([metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y segundos): [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) la recta $y = \tfrac34 x$, velocidad $\vect v = (4.0, 3.0)$ en todo instante y [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, constante.

**Proposición 24.4 (Tangente a la trayectoria).**

En todo instante, $\vect v(t)$ es tangente a la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) en la posición actual de $M$ y apunta en el sentido de la marcha.

**Demostración.** El desplazamiento es una cuerda de la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory); a medida que $\Delta t$ se encoge, la dirección de la cuerda se convierte en la de la tangente. ∎

## 24.3 El vector aceleración

**Definición 24.5 (Vector aceleración).**

El *vector aceleración* de $M$ es la derivada de su [vector velocidad](#def-g12-kinematics-2d-velocity), $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) =
\bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: con qué [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity), y en qué dirección, está cambiando el [vector velocidad](#def-g12-kinematics-2d-velocity).

**Observación 24.6 (Acelerar sin ir más deprisa).**

$\vect a \neq \vect 0$ siempre que cambie el *vector* velocidad — en longitud *o en dirección*: un coche que frena acelera (hacia atrás); un coche que gira a [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante acelera (de lado). Esta es la magnitud que gobiernan las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) (Capítulos [16](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#ch-g11-forces-and-motion) y [25](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#ch-g12-newtons-laws)).

**Método 24.7 (Leer una cronofotografía).**

Una *cronofotografía* registra las posiciones $M_0, M_1, M_2, \dots$ de un punto móvil a intervalos de tiempo iguales $\Delta t$.

1. La separación entre puntos da la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) : separaciones iguales, [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante; separaciones que se abren, aceleración; que se cierran, frenada.
2. La velocidad en $M_i$ es la cuerda simétrica, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , dibujada en $M_i$ y tangente al camino punteado.
3. Para la aceleración en $M_i$ : se copian $\vect v_{i-1}$ y $\vect v_{i+1}$ en $M_i$ , se dibuja $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ de punta a punta; entonces $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

![Cronofotografía de una pelota lanzada: v_2 y v_4, construidas con cuerdas, se copian en M_3; su diferencia v entrega a — vertical y hacia abajo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-294866202bd1.svg)

*[Cronofotografía](#met-g12-kinematics-2d-chrono) de una pelota lanzada: $\vect v_2$ y $\vect v_4$, construidas con cuerdas, se copian en $M_3$; su diferencia $\Delta\vect v$ entrega $\vect a$ — vertical y hacia abajo.*

## 24.4 Los movimientos rectilíneos

A lo largo de una recta basta un eje: $x(t)$, $v(t) = x'(t)$, $a(t) = v'(t)$, todos números con signo.

**Definición 24.8 (Movimiento rectilíneo uniforme).**

Un movimiento es *rectilíneo uniforme* cuando $\vect v$ es un vector constante: [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) recta, [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante y $\vect a = \vect 0$. Entonces $x(t) = v\,t + x_0$.

**Proposición 24.9 (Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado).**

Si un punto se mueve a lo largo de $Ox$ con aceleración $a$ *constante*, partiendo en $t = 0$ de la posición $x_0$ con velocidad $v_0$, entonces

$$
v(t) = a\,t + v_0,
\qquad
x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .
$$

**Demostración.** $v$ es una primitiva de la constante $a$: $v(t) = a t + C$, y $t = 0$ obliga a $C = v_0$. A su vez, $x$ es una primitiva de $a t + v_0$: $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$, con $C' = x_0$. ∎

![Movimiento uniformemente acelerado (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0): cada gráfica es la derivada de la de arriba — una parábola, su pendiente y la pendiente de la pendiente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-ad4c6ed03948.svg)

*[Movimiento uniformemente acelerado](#prop-g12-kinematics-2d-uarm) ($a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $x_0 = 0$): cada gráfica es la derivada de la de arriba — una parábola, su pendiente y la pendiente de la pendiente.*

**Ejemplo 24.10 (Distancia de frenado).**

Un coche que va a la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$ frena con deceleración constante $a$ (aceleración $-a$). Se detiene cuando $v(t) = -a t + v_0 = 0$, en $t_s = v_0/a$, tras recorrer $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$. El cuadrado es el titular de la seguridad vial: duplicar la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) *cuadruplica* la distancia de frenado — con $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $16\,\mathrm{m}$ desde $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y $64\,\mathrm{m}$ desde $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

## 24.5 El movimiento circular uniforme y la base de Frenet

**Definición 24.11 (Movimiento circular uniforme).**

Un movimiento es *circular uniforme* cuando la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) es una circunferencia de radio $R$ y la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v$ es constante. El *periodo* $T$ es la duración de una vuelta, y la *frecuencia* $f = 1/T$ (en $\mathrm{Hz}$), el número de vueltas por segundo: $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$.

[Rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante — y, sin embargo, la velocidad gira: *hay* aceleración. ¿Hacia dónde y de qué tamaño?

**Teorema 24.12 (Aceleración centrípeta).**

En un [movimiento circular uniforme](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de radio $R$ y [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v$, la aceleración — llamada *centrípeta* — apunta desde el punto móvil hacia el centro de la circunferencia, con norma constante

$$
a = \frac{v^2}{R}.
$$

**Demostración.** Se centran los ejes en el centro de la circunferencia y se pone $\omega = v/R$, de modo que el arco $v t$ subtiende el ángulo $\omega t$: la posición es $x(t) = R\cos(\omega t)$, $y(t) = R\sin(\omega t)$. Derivando, $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$, de norma constante $R\omega = v$; derivando otra vez, $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$: opuesta al [vector de posición](#def-g12-kinematics-2d-position) — hacia el centro — y de norma $\omega^2 R = v^2/R$. ∎

![Movimiento circular uniforme: v tangente y de longitud fija; a apuntando al centro y de longitud fija v2/R — girando eternamente la velocidad sin estirarla jamás.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-213e819fb580.svg)

*[Movimiento circular uniforme](#def-g12-kinematics-2d-ucm): $\vect v$ tangente y de longitud fija; $\vect a$ apuntando al centro y de longitud fija $v^2/R$ — girando eternamente la velocidad sin estirarla jamás.*

**Definición 24.13 (Base de Frenet).**

La *base de Frenet* en la posición actual de un punto que recorre un camino curvo es la pareja de vectores unitarios perpendiculares $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$: $\vect{u_t}$ tangente, en el sentido del movimiento; $\vect{u_n}$ normal, hacia el centro de la circunferencia de radio $R$ que mejor se ajusta allí a la curva.

**Proposición 24.14 (La aceleración en la base de Frenet).**

A lo largo de cualquier camino plano de radio local $R$, recorrido con [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v(t)$,

$$
\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n},
\qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t},
\qquad a_n = \frac{v^2}{R}:
$$

la *aceleración tangencial* $a_t$ cambia la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity); la *aceleración normal* $a_n$ gira la velocidad.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 24.15 (Dónde vive la demostración).**

Hemos demostrado los extremos: $a_t$ pura sobre una recta ([Proposición 24.9](#prop-g12-kinematics-2d-uarm)) y $a_n$ pura sobre una circunferencia ([Teorema 24.12](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal)); la descomposición general se deduce en el volumen del primer año.

**Ejemplo 24.16 (Frenar al entrar en una curva).**

Un coche entra en una curva de radio $R = 50\,\mathrm{m}$ a $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ mientras frena con $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, luego $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, apuntando hacia atrás *y* hacia el interior de la curva. Los neumáticos tienen que dar las dos cosas a la vez — de ahí que los pilotos de carreras frenen *antes* de girar.

## 24.6 Ejercicios

**Ejercicio 24.1 ★.**

Para $x(t) = 3.0\,t$ e $y(t) = 4.0\,t$ ([metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y segundos), da $\vect v$, la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity), la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) y la clase de movimiento.

**Solución de Ejercicio 24.1.**

$\vect v = (3.0, 4.0)$, constante; [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory): la recta $y = \tfrac43 x$. [Vector velocidad](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante: [movimiento rectilíneo uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform).

**Ejercicio 24.2 ★.**

En una [cronofotografía](#met-g12-kinematics-2d-chrono) tomada cada $0.10\,\mathrm{s}$, los puntos están en línea recta y separados regularmente $0.35\,\mathrm{m}$. Identifica el movimiento y calcula la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity). ¿Qué indicarían unas separaciones que se abren?

**Solución de Ejercicio 24.2.**

Línea recta con separaciones iguales: [rectilíneo uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform); $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Unas separaciones que se abrieran significarían que la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) está aumentando.

**Ejercicio 24.3 ★.**

Para $x(t) = 2.0\,t^2$ a lo largo de $Ox$ ([metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y segundos), deriva $v(t)$ y $a(t)$, nombra la clase de movimiento y calcula la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) en $t = 3.0\,\mathrm{s}$.

**Solución de Ejercicio 24.3.**

$v(t) = 4.0\,t$, $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: aceleración constante, rectilíneo uniformemente acelerado. $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 24.4 ★.**

Un caballito de tiovivo recorre una circunferencia de $4.5\,\mathrm{m}$ de radio, una vuelta cada $8.0\,\mathrm{s}$: calcula la [frecuencia](#def-g12-kinematics-2d-ucm), la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) y la aceleración (norma y dirección).

**Solución de Ejercicio 24.4.**

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, apuntando al eje del tiovivo.

**Ejercicio 24.5 ★.**

Una gráfica de $v(t)$ sube en línea recta de $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 0$ a $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 4.0\,\mathrm{s}$. Lee la aceleración y después la distancia recorrida (el área bajo la gráfica).

**Solución de Ejercicio 24.5.**

Pendiente: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Área (un trapecio): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 24.6 ★★.**

Un tren de alta velocidad toma una curva de $6.0\,\mathrm{km}$ de radio a $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Calcula $a_n$ y compárala con $g$; ¿por qué tienen que evitar las líneas de alta velocidad las curvas cerradas, aunque estén perfectamente peraltadas?

**Solución de Ejercicio 24.6.**

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.13\,g$. Como $a_n = v^2/R$, una $v$ alta exige una $R$ enorme para mantener aceptable la aceleración lateral (y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre la vía y los viajeros) — el peralte cambia quién la proporciona, no su tamaño.

**Ejercicio 24.7 ★★.**

Una vagoneta sobre un raíl recto tiene $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ ([metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y segundos). Halla $v(t)$ y $a$, el instante y la posición en que da media vuelta, y describe el movimiento antes y después.

**Solución de Ejercicio 24.7.**

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, constante. Da media vuelta cuando $v = 0$: $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$, en $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$. Antes: hacia adelante, frenando; después: hacia atrás, acelerando — uniformemente acelerado en todo momento.

**Ejercicio 24.8 ★★.**

Una [cronofotografía](#met-g12-kinematics-2d-chrono) a lo largo de una recta, cada $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$, da $x = 0$, $0.10$, $0.28$, $0.54$ y $0.88\,\mathrm{m}$. Estima la velocidad en los tres puntos interiores ([Método 24.7](#met-g12-kinematics-2d-chrono)) y después la aceleración; concluye.

**Solución de Ejercicio 24.8.**

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La velocidad gana $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada $0.20\,\mathrm{s}$: $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, constante — rectilíneo uniformemente acelerado.

**Ejercicio 24.9 ★★.**

La Luna orbita la Tierra sobre una curva casi circular de radio $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $27.3\,\mathrm{d}$. Calcula su [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) y su [aceleración centrípeta](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal); compara esta última con $g$, sabiendo que la Luna está a unos $60$ radios terrestres ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#ch-g10-universal-gravitation)).

**Solución de Ejercicio 24.9.**

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Cociente: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — la gravedad, diluida como la inversa del cuadrado de la distancia ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#ch-g10-universal-gravitation)), da cuenta exactamente del giro de la Luna.

**Ejercicio 24.10 ★★.**

El tambor de una lavadora de $25\,\mathrm{cm}$ de radio gira a $1200$ revoluciones por minuto. Calcula $f$, $T$, la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) del borde y la aceleración del borde en múltiplos de $g$. ¿Por qué se queda la ropa pegada mientras el agua se va?

**Solución de Ejercicio 24.10.**

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$, $T = 0.050\,\mathrm{s}$; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$. La pared del tambor le proporciona a la ropa su $a_n$; a través de los agujeros nada empuja el agua hacia dentro, así que sale despedida por la tangente.

**Ejercicio 24.11 ★★.**

Un coche a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ frena con $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ constante: calcula el tiempo de parada y la distancia de frenado, y esboza $v(t)$.

**Solución de Ejercicio 24.11.**

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$. Gráfica: un segmento recto que baja de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ hasta $0$ en $t_s$.

**Ejercicio 24.12 ★★★.**

Para $x(t) = R\cos(\omega t)$ e $y(t) = R\sin(\omega t)$: calcula $\vect v$; comprueba que la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) es la constante $R\omega$ y que $\vect v \perp \vect{OM}$; calcula $\vect a$, demuestra que vale $-\omega^2\,\vect{OM}$ y recupera $a = v^2/R$.

**Solución de Ejercicio 24.12.**

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$, de norma constante $R\omega$; su producto escalar con $\vect{OM}$ se anula, luego es perpendicular al radio y, por tanto, tangente. Derivando otra vez, $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$: hacia $O$ y de norma $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$.

**Ejercicio 24.13 ★★★.**

Una motocicleta entra en una curva de $80\,\mathrm{m}$ de radio a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, frenando a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Calcula $a_t$, $a_n$, la norma de $\vect a$ y su ángulo con la dirección del movimiento. Los neumáticos agarran hasta $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en total: ¿está el piloto dentro del límite?

**Solución de Ejercicio 24.13.**

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (hacia atrás), $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; ángulo con la dirección del movimiento: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (es decir, $63^\circ$ respecto de la dirección puramente hacia atrás). $5.6 < 7.0$: dentro del agarre, con poco margen.

**Ejercicio 24.14 ★★★.**

Un [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) acelera desde el reposo a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ hasta $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, circula así $40\,\mathrm{s}$ y después frena a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ hasta pararse. Calcula la duración y la longitud de cada fase, la distancia total y la [velocidad media](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-speed). Esboza $v(t)$ y comprueba la distancia como un área.

**Solución de Ejercicio 24.14.**

Arranque: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$, $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$. Marcha: $40\,\mathrm{s}$, $800\,\mathrm{m}$. Frenada: $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$, $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$. Total: $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ en $70\,\mathrm{s}$; media $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). $v(t)$ es un trapecio cuya área, $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$, comprueba el total.

**Ejercicio 24.15 ★★★.**

Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) geoestacionario gira con un radio de $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ respecto del centro de la Tierra y un [periodo](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de $86\,164\,\mathrm{s}$. Calcula su [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) y su [aceleración centrípeta](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal). ¿Qué se la proporciona, y por qué queda el [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) colgado sobre un punto fijo del ecuador ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/27-satelites-y-movimiento-planetario#ch-g12-satellites-kepler))?

**Solución de Ejercicio 24.15.**

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Se la proporciona la gravedad terrestre a esa distancia; el [periodo](#def-g12-kinematics-2d-ucm) es igual al [periodo](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de rotación de la Tierra, así que el [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) y el suelo giran a la vez y queda colgado sobre un punto del ecuador ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/27-satelites-y-movimiento-planetario#ch-g12-satellites-kepler)).

## 24.7 Problema: el informe del accidente

**Problema 24.1.**

Problema de fin de semana — el informe del accidente: la película de una cámara de salpicadero leída fotograma a fotograma, una ley de frenado reconstruida a partir de las marcas de derrape, una rotonda que declara sobre el agarre y un veredicto en kilómetros por hora

Un coche golpea a una furgoneta que salía de una calle lateral; no hay heridos, pero las aseguradoras no se ponen de acuerdo. El investigador dispone de imágenes de una cámara cenital (un fotograma cada $0.50\,\mathrm{s}$), de las marcas de derrape medidas y de la cámara de salpicadero del coche. El límite de velocidad es $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Parte I — Leer la película.** Los fotogramas anteriores a cualquier reacción dan, a lo largo de la recta:

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.00 | 0.50 | 1.00 | 1.50 | 2.00 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ ($\mathrm{m}$) | 0.0 | 9.0 | 18.0 | 27.0 | 36.0 |

1. ¿Por qué tiene que empezar el informe nombrando un sistema y unos ejes? ¿Cuáles se usan aquí?
2. Calcula la [velocidad media](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-speed) en cada uno de los cuatro intervalos.
3. ¿Qué clase de movimiento es? Justifícalo con la tabla.
4. Da la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$ del coche en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
5. ¿Cuál es la aceleración durante estos dos segundos?

**Parte II — Las marcas de derrape.** Los ensayos de neumáticos sobre este asfalto seco dan una deceleración de frenado constante $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; las marcas de derrape miden $d_b = 27\,\mathrm{m}$. Toma $t = 0$ y $x = 0$ al empezar la frenada, con [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) desconocida $v_B$.

6. Con primitivas, escribe $v(t)$ y $x(t)$ durante la frenada.
7. Expresa el tiempo de parada $t_s$ ; demuestra que $d_b = v_B^2/(2a)$ .
8. Deduce $v_B$ a partir de las marcas de derrape. ¿Es coherente con la Parte I?
9. El tiempo de reacción es de $1.0\,\mathrm{s}$ : calcula la distancia de reacción y la distancia total de parada.
10. Explica, con la pregunta 7, por qué duplicar la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) cuadruplica la distancia de frenado; calcula $d_b$ a exactamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

**Parte III — La rotonda declara.** Antes, la cámara de salpicadero muestra al coche recorriendo el carril de una rotonda de radio $R = 12.5\,\mathrm{m}$ a [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante, un cuarto de vuelta en $2.5\,\mathrm{s}$. La calzada puede dar como mucho $a_n = \mu g$, con $\mu = 0.70$.

11. Allí la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) es constante — ¿lo es la velocidad? ¿Está acelerando el coche? Explícalo.
12. Calcula la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) del coche en la rotonda.
13. Calcula su [aceleración centrípeta](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) (norma y dirección).
14. Calcula la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) máxima sin derrape. ¿Estaba el coche por debajo?
15. Da el [periodo](#def-g12-kinematics-2d-ucm) y la [frecuencia](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de una vuelta completa a esa [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) .

**Parte IV — El veredicto.** La furgoneta apareció $D = 41\,\mathrm{m}$ por delante del coche en el instante en que el conductor empezó a reaccionar.

16. ¿En cuánto, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y en porcentaje, superaba el límite la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) anterior a la frenada?
17. Calcula la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) del coche en el momento del impacto.
18. Rehaz el cálculo de la parada a exactamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (con la misma reacción y la misma frenada): ¿se detiene el coche, y con qué margen?
19. Da la fórmula general de la distancia de parada $d(v)$ ; ¿por qué entra la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) dos veces — una linealmente y otra al cuadrado?
20. El veredicto, en una frase con sus números: ¿a qué [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) iba el conductor, y habría ocurrido el accidente yendo al límite?

**Solución de Problema 24.1.**

**1.** El movimiento es relativo ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#ch-g10-relative-motion)): toda posición y toda velocidad tienen que nombrar su sistema. Aquí: el [sistema terrestre](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-frames) (la calzada), con $x$ a lo largo de la calle desde la posición del primer fotograma.

**2.** En cada intervalo: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — cuatro valores iguales.

**3.** Calle recta y desplazamientos iguales en tiempos iguales: [movimiento rectilíneo uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform).

**4.** $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**5.** $\vect a = \vect 0$.

**6.** $v(t) = -a\,t + v_B$; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$.

**7.** De $v(t_s) = 0$ sale $t_s = v_B/a$; entonces $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$.

**8.** $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} =
\sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — exactamente la [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) filmada: el conductor no aminoró antes de frenar.

**9.** Reacción: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$; en total, $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$.

**10.** $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$: duplicar $v_B$ multiplica $d_b$ por $4$. A $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$.

**11.** La [rapidez](#def-g12-kinematics-2d-velocity) es constante, pero la dirección de la velocidad gira: $\vect v$ no es constante, así que el coche está acelerando.

**12.** Cuarto de vuelta: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**13.** $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, hacia el centro de la rotonda.

**14.** $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx
6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx
9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). $7.9 < 9.3$: dentro del agarre — coherente con un carril limpio, sin marcas de derrape.

**15.** $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s};
f = 0.10\,\mathrm{Hz}$.

**16.** $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de más — alrededor de un $30\,\%$ por encima del límite.

**17.** La frenada actúa a lo largo de $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$: $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$, luego $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en el impacto.

**18.** A $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} <
41\,\mathrm{m}$ — el coche se para $11\,\mathrm{m}$ antes de la furgoneta.

**19.** $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$: una vez linealmente (la reacción recorre $v t_r$ antes de que actúen los frenos) y otra al cuadrado (la parte cinética $v^2/(2a)$) — y por eso los excesos moderados salen desproporcionadamente caros.

**20.** La cámara de salpicadero y las marcas de derrape coinciden: $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en una zona de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; al límite legal, el coche se habría detenido $11\,\mathrm{m}$ antes de la furgoneta — el accidente son los $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de más.