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title: "Las leyes de Newton"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 25
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton
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# Capítulo 25 — Las leyes de Newton

Cuela una báscula de baño en un ascensor. Cuando la cabina arranca hacia arriba, la aguja marca tres [kilogramos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de más; cerca del último piso marca de menos; entre ambas cosas, la pura verdad — a bordo no ha cambiado nada salvo el movimiento. Este capítulo enuncia las tres leyes que hay detrás de esa aguja y las forja en el método que gobierna toda la mecánica: elegir un sistema, dibujar sus [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force), proyectar $\sum \vect F = m\vect a$.

## 25.1 La cantidad de movimiento y la primera ley, hecha exacta

**Definición 25.1 (Cantidad de movimiento).**

La *cantidad de movimiento* de un cuerpo de masa $m$ ($\mathrm{kg}$) que se mueve con velocidad $\vect v$ es el vector

$$
\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):
$$

la velocidad, ponderada por la masa; para un sistema, la suma vectorial sobre sus partes.

**Definición 25.2 (Sistema de referencia inercial).**

Un *sistema de referencia inercial* es aquel en el que todo cuerpo aislado — sin [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force), o con [fuerzas que se compensan](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-compensate) — se mueve en línea recta con velocidad constante ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#ch-g10-inertia)). El suelo lo es con excelente aproximación, y también cualquier cabina en [movimiento rectilíneo uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-uniform) sobre él; un tren que frena o un tiovivo que gira, no: allí el equipaje suelto acelera sin que nadie lo [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory).

**Teorema 25.3 (Primera ley de Newton).**

En un sistema inercial, la [cantidad de movimiento](#def-g12-newtons-laws-momentum) de un sistema aislado no cambia: $\vect p$ es constante, es decir, $d\vect p/dt = \vect 0$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 25.4 (La inercia, afinada dos veces).**

El [principio de inercia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#thm-g10-inertia-principle) del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#ch-g10-inertia), mejorado dos veces: dice *dónde* vale — define los sistemas inerciales como aquellos en los que vale — y protege un vector, $m\vect v$, cuya contabilidad rinde sus frutos al final del capítulo.

## 25.2 La segunda ley de Newton

**Teorema 25.5 (Segunda ley de Newton).**

En un sistema inercial, la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) resultante sobre un cuerpo es igual a la rapidez de variación de su [cantidad de movimiento](#def-g12-newtons-laws-momentum); con masa constante, como $\vect p = m\vect v$,

$$
\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 25.6 (Una ley de la naturaleza, y su unidad).**

No hay demostración: es una ley de la naturaleza, contrastada con el experimento durante tres siglos. El curso pasado ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#ch-g11-forces-and-motion)) dio su sombra, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$; la derivada ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#ch-g12-kinematics-2d)) la vuelve exacta en cada instante — su letra pequeña espera en el volumen del primer año de universidad. La [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) recibe una [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; y un cuerpo sometido únicamente a su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) obedece $m\vect a = m\vect g$: toda masa cae con $\vect a = \vect g$, y $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — las dos lecturas son una sola.

**Ejemplo 25.7 (Fuerza media, sin necesidad de detalles).**

Un coche de $1300\,\mathrm{kg}$ pasa del reposo a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en $8.0\,\mathrm{s}$: sea cual sea la historia instante a instante, la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) resultante media vale $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — la [cantidad de movimiento](#def-g12-newtons-laws-momentum) convierte una pregunta sobre [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) en una contabilidad de antes y después.

## 25.3 La tercera ley de Newton

**Teorema 25.8 (Tercera ley de Newton).**

Si un cuerpo $A$ ejerce una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F_{A \to B}$ sobre un cuerpo $B$, entonces $B$ ejerce sobre $A$ la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$: misma línea de acción, mismo módulo, sentidos opuestos — en todo instante, sea cual sea el movimiento, por contacto o a distancia.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 25.9 (El libro, la mesa y la Tierra).**

Un libro reposa sobre una mesa: dos interacciones, dos pares. Gravitatoria: la Tierra tira del libro hacia abajo ($\vect P$), el libro tira de la Tierra hacia arriba. De contacto: la mesa empuja el libro hacia arriba ($\vect N$), el libro aprieta la mesa hacia abajo. Andar es el mismo trato: empujas el suelo hacia atrás; su reacción es la única [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que te impulsa hacia adelante.

![Un libro, dos interacciones, cuatro flechas: el par gravitatorio (la Tierra tira del libro, el libro tira de la Tierra) y el par de contacto (la mesa empuja el libro, el libro aprieta la mesa). P y N no son compañeras: actúan sobre el mismo libro — y se anulan solo porque su aceleración es nula.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-92091bd1d9f6.svg)

*Un libro, dos interacciones, cuatro flechas: el par gravitatorio (la Tierra tira del libro, el libro tira de la Tierra) y el par de contacto (la mesa empuja el libro, el libro aprieta la mesa). $\vect P$ y $\vect N$ *no* son compañeras: actúan sobre el mismo libro — y se anulan solo porque su aceleración es nula.*

## 25.4 El método: elegir, dibujar, proyectar

**Método 25.10 (Resolver un problema de dinámica).**

1. *Sistema* : nombra el cuerpo (o el conjunto de cuerpos) que se estudia.
2. *Referencia* : elige un sistema inercial y unos ejes adaptados al movimiento — ejes del plano inclinado, o la [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-frenet) para una curva ( [Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#ch-g12-kinematics-2d) ).
3. *Inventario* : enumera todas las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) — el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) , luego una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) por contacto, nada más — y dibuja el [diagrama de fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-diagram) : un punto, una flecha por [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) .
4. *Proyectar* : escribe $\sum \vect F = m\vect a$ y proyéctala sobre cada eje.
5. *Resolver y comprobar* : [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , signos, casos límite ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

**Definición 25.11 (Reacción normal y rozamiento).**

Una superficie actúa sobre un cuerpo mediante dos componentes: la *reacción normal* $\vect N$, perpendicular a la superficie, y el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$, tangencial. La experiencia da las leyes del [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory): mientras el cuerpo no desliza, el [rozamiento estático](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-friction) se ajusta solo hasta un techo, $f_s \leq \mu_s N$; una vez que desliza, el [rozamiento cinético](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-friction) vale $f_k = \mu_k N$, opuesto al deslizamiento. Los *coeficientes de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory)* $\mu_s$ y $\mu_k$ ($\mu_k \leq \mu_s$) dependen solo de los dos materiales.

**Ejemplo 25.12 (El plano inclinado, dos veces).**

Un bloque desliza por una pendiente de ángulo $\alpha$; ejes: $x$ pendiente abajo, $y$ perpendicular. Sobre $y$: $N = mg\cos\alpha$. Sobre $x$, sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory): $ma = mg\sin\alpha$, luego $a = g\sin\alpha$ — sin masa; con $\alpha = 30^\circ$, $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Con [rozamiento cinético](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-friction): $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$; para $\mu_k = 0.20$, $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Y de entrada se quedó quieto solo mientras el [rozamiento estático](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-friction) necesario cupo bajo su techo: $\tan\alpha \leq \mu_s$.

![Diagrama de fuerzas sobre el plano inclinado: el peso P, la reacción normal N y el rozamiento f pendiente arriba para un bloque que desliza hacia abajo. Los ejes paralelo y perpendicular a la pendiente descomponen P en mg y mg (a trazos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-0b658db3e7ea.svg)

*[Diagrama de fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-diagram) sobre el plano inclinado: el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$, la [reacción normal](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$ y el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ pendiente arriba para un bloque que desliza hacia abajo. Los ejes paralelo y perpendicular a la pendiente descomponen $\vect P$ en $mg\sin\alpha$ y $mg\cos\alpha$ (a trazos).*

**Definición 25.13 (Peso aparente).**

El *peso aparente* de un cuerpo es la [reacción normal](#def-g12-newtons-laws-friction) entre él y su soporte — lo que marca una báscula colocada debajo.

**Ejemplo 25.14 (El ascensor).**

Un pasajero de $70\,\mathrm{kg}$ está de pie sobre una báscula en un ascensor de aceleración vertical $a_z$ (positiva hacia arriba): $N - mg = ma_z$, luego $N = m(g + a_z)$. Arrancando hacia arriba con $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $792\,\mathrm{N}$, pesado; frenando cerca del último piso: $582\,\mathrm{N}$, ligero; en marcha uniforme: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — la primera ley; en caída libre, $a_z = -g$: $N = 0$, la ingravidez sobre una báscula.

**Ejemplo 25.15 (Dos bloques y una polea).**

Un bloque $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ sobre una mesa sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) está unido por una cuerda ligera, a través de una polea ideal, a un bloque colgante $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$. La cuerda transmite la misma tensión $T$ en ambos extremos; los bloques comparten un único módulo de la aceleración $a$. Una segunda ley para cada uno, a lo largo de su movimiento: $m_1 a = T$ y $m_2 a = m_2 g - T$, de donde $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ y $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — menor que $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$, como tiene que ser para que $m_2$ acelere hacia abajo.

![Dos bloques, una cuerda ligera, una polea ideal: la misma tensión T tira de los dos extremos y los bloques comparten un único módulo de la aceleración — una segunda ley para cada uno, dos ecuaciones, dos incógnitas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-2e421ec922ba.svg)

*Dos bloques, una cuerda ligera, una polea ideal: la misma tensión $T$ tira de los dos extremos y los bloques comparten un único módulo de la aceleración — una segunda ley para cada uno, dos ecuaciones, dos incógnitas.*

**Ejemplo 25.16 (La curva sin peralte).**

Un coche de masa $m$ toma una curva sin peralte de radio $R$ a rapidez constante $v$. En la [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#ch-g12-kinematics-2d)) la aceleración es puramente normal, $a_N = v^2/R$, dirigida al centro. En vertical, $N = mg$; en horizontal, la única [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) centrípeta disponible es el [rozamiento estático](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-friction) de la calzada sobre los neumáticos: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$, luego $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$, sea cual sea la masa. Para $R = 90\,\mathrm{m}$ y calzada seca ($\mu_s = 0.70$): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$); sobre hielo el techo se desploma — el [Ejercicio 25.13](#exo-g12-newtons-laws-13) peralta la carretera y el [Ejercicio 25.10](#exo-g12-newtons-laws-10) hace oscilar la misma proyección en un hilo.

![Un coche en una curva sin peralte a rapidez constante: desde arriba (izquierda) la velocidad es tangente y la fuerza resultante apunta al centro; desde atrás (derecha) N equilibra a P, y el rozamiento estático lateral de la calzada es toda la fuerza centrípeta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-a7aa10516690.svg)

![Un coche en una curva sin peralte a rapidez constante: desde arriba (izquierda) la velocidad es tangente y la fuerza resultante apunta al centro; desde atrás (derecha) N equilibra a P, y el rozamiento estático lateral de la calzada es toda la fuerza centrípeta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-ae4d921e14eb.svg)

*Un coche en una curva sin peralte a rapidez constante: desde arriba (izquierda) la velocidad es tangente y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) resultante apunta al centro; desde atrás (derecha) $\vect N$ equilibra a $\vect P$, y el [rozamiento estático](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-friction) lateral de la calzada es toda la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) centrípeta.*

## 25.5 Sistemas aislados: la cantidad de movimiento se conserva

**Proposición 25.17 (Conservación de la cantidad de movimiento).**

Para dos cuerpos cuyas [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) exteriores son nulas o [se compensan](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-compensate), la [cantidad de movimiento](#def-g12-newtons-laws-momentum) total $\vect p_1 + \vect p_2$ es constante, sean cuales sean las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que ejercen el uno sobre el otro.

**Demostración.** Sumemos las dos segundas leyes: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} +
\vect F_{\text{ext}}$: el par interno se cancela por la tercera ley, y $\vect F_{\text{ext}} = \vect 0$ por hipótesis. ∎

**Ejemplo 25.18 (El retroceso).**

Una patinadora de $60\,\mathrm{kg}$ en reposo sobre hielo liso lanza horizontalmente un balón medicinal de $4.0\,\mathrm{kg}$ a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Antes: $\vect p = \vect 0$; después: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$, luego $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — se desliza hacia atrás. Nada exterior la empujó: fue el balón (tercera ley), y las cuentas siguen dando cero.

**Observación 25.19 (Cómo empuja un cohete sobre nada).**

Un cohete es una máquina de lanzar masa. Cada segundo sus motores arrojan hacia atrás una tanda de gas; el gas se lleva [cantidad de movimiento](#def-g12-newtons-laws-momentum) hacia atrás, así que el cohete gana la misma cantidad hacia adelante — un [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) sostenido, aproximadamente la masa expulsada por segundo multiplicada por la velocidad de eyección. El cohete empuja sobre sus propios gases, no sobre el aire: funciona mejor en el vacío.

## 25.6 Ejercicios

**Ejercicio 25.1 ★.**

Calcula la [cantidad de movimiento](#def-g12-newtons-laws-momentum) de (a) un velocista de $70\,\mathrm{kg}$ a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (b) un coche de $1300\,\mathrm{kg}$ a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; (c) una bala de $8.0\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ordénalas. ¿Por qué la más rápida queda la última?

**Solución de Ejercicio 25.1.**

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Coche $>$ velocista $>$ bala: cinco órdenes de magnitud de masa son más de lo que la rapidez puede comprar.

**Ejercicio 25.2 ★.**

Un pasajero de $70\,\mathrm{kg}$ está de pie sobre una báscula en un ascensor. ¿Qué marca cuando la cabina (a) acelera hacia arriba a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; (b) sube a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constantes; (c) acelera hacia abajo a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$? ¿Qué ley resuelve el caso (b)?

**Solución de Ejercicio 25.2.**

$N = m(g + a_z)$: (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$; (b) $a_z = 0$, luego $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — la primera ley: velocidad constante, [fuerzas que se compensan](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-compensate); (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$.

**Ejercicio 25.3 ★.**

Se suelta un bloque en una pendiente sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de ángulo $30^\circ$. Calcula su aceleración y después su rapidez tras deslizar $3.0\,\mathrm{m}$. ¿Dónde se ha ido la masa?

**Solución de Ejercicio 25.3.**

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La masa se cancela entre $ma$ y $mg\sin\alpha$.

**Ejercicio 25.4 ★.**

Una pelota de tenis de $58\,\mathrm{g}$ llega a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y es devuelta a lo largo de la misma línea a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; el contacto dura $5.0\,\mathrm{ms}$. Calcula la variación de la [cantidad de movimiento](#def-g12-newtons-laws-momentum) y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) media de las cuerdas; compara esa [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) con el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de la pelota.

**Solución de Ejercicio 25.4.**

La inversión del sentido: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — unas $800$ veces los $0.57\,\mathrm{N}$ del [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), y por eso durante el contacto la gravedad se desprecia.

**Ejercicio 25.5 ★.**

Un libro reposa sobre una mesa. Nombra las dos [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que actúan sobre el libro y, para cada una, su compañera de acción–reacción (¿sobre qué cuerpo? ¿en qué sentido?). ¿Por qué el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) del libro y el [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de la mesa no son compañeras entre sí?

**Solución de Ejercicio 25.5.**

[Peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (la Tierra sobre el libro, hacia abajo): compañera = el libro tira de la Tierra, hacia arriba. [Reacción normal](#def-g12-newtons-laws-friction) (la mesa sobre el libro, hacia arriba): compañera = el libro aprieta la mesa, hacia abajo. El [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) y la normal actúan sobre el *mismo* cuerpo y pertenecen a dos interacciones distintas — aquí son iguales solo porque $\vect a = \vect 0$.

**Ejercicio 25.6 ★★.**

Una caja de $50\,\mathrm{kg}$ descansa sobre un suelo horizontal, $\mu_s = 0.45$, $\mu_k = 0.35$. (a) ¿Qué [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) horizontal la pone justo en marcha? (b) Si se mantiene ese [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory), ¿cuál es su aceleración? (c) ¿Qué [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) la mantiene a velocidad constante?

**Solución de Ejercicio 25.6.**

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$. (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$. (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$.

**Ejercicio 25.7 ★★.**

La misma caja se coloca sobre una rampa de inclinación regulable ($\mu_s = 0.45$, $\mu_k = 0.35$). (a) ¿A qué ángulo empieza a deslizar? (b) A $30^\circ$, calcula su aceleración. (c) Una vez iniciado el movimiento al ángulo del apartado (a), ¿sigue acelerando? ¿Por qué?

**Solución de Ejercicio 25.7.**

(a) Desliza cuando $\tan\alpha > \mu_s$: $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$. (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 =
1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) Sí: una vez en deslizamiento, el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) cae a $\mu_k < \mu_s$, luego $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$.

**Ejercicio 25.8 ★★.**

Un bloque de $3.0\,\mathrm{kg}$ sobre una mesa sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) está unido, a través de una polea ideal, a un bloque colgante de $2.0\,\mathrm{kg}$. Calcula la aceleración y la tensión. ¿Por qué la tensión tenía que salir menor que el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) colgante?

**Solución de Ejercicio 25.8.**

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$. El bloque colgante acelera hacia abajo, así que la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) resultante sobre él apunta hacia abajo: $T$ tiene que quedarse por debajo de $m_2 g$.

**Ejercicio 25.9 ★★.**

Una curva de radio $50\,\mathrm{m}$ no tiene peralte. Calcula la rapidez máxima de un coche para $\mu_s = 0.70$ (seco) y $0.40$ (mojado), en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. ¿Por qué la respuesta vale igual para una motocicleta que para un camión?

**Solución de Ejercicio 25.9.**

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$: en seco, $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; mojado, $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Tanto $mv^2/R$ como $\mu_s mg$ llevan $m$: se cancela.

**Ejercicio 25.10 ★★.**

Una masa de $0.30\,\mathrm{kg}$ colgada de un hilo de $1.2\,\mathrm{m}$ describe una circunferencia horizontal, manteniendo el hilo un ángulo constante de $25^\circ$ con la vertical (un péndulo cónico). Proyecta la segunda ley en vertical y después a lo largo del radio: calcula la tensión y la rapidez.

**Solución de Ejercicio 25.10.**

En vertical: $T\cos\theta = mg$, luego $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$. Radio $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$; en la dirección radial: $T\sin\theta = mv^2/R$, luego $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466}
= 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 25.11 ★★.**

Un paquete de $5.0\,\mathrm{kg}$ viaja sobre una báscula en un montacargas; las lecturas:

| fase | $0\text{ to }2\,\mathrm{s}$ | $2\text{ to }8\,\mathrm{s}$ | $8\text{ to }10\,\mathrm{s}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| báscula ($\mathrm{N}$) | 54.0 | 49.0 | 44.1 |

Calcula la aceleración en cada fase y describe un trayecto posible. ¿Podría el montacargas haber estado *bajando* todo el tiempo?

**Solución de Ejercicio 25.11.**

$a_z = (N - mg)/m$ con $mg = 49.05\,\mathrm{N}$: $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $0$, $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Por ejemplo, un trayecto de subida: acelerar, marcha uniforme, frenar. Sí: si ya venía bajando, las mismas lecturas significan frenar, marcha uniforme y volver a acelerar hacia abajo — la báscula marca la aceleración, no la velocidad.

**Ejercicio 25.12 ★★★.**

Una patinadora de $60\,\mathrm{kg}$ en reposo sobre hielo liso lanza horizontalmente un balón de $4.0\,\mathrm{kg}$. (a) El balón sale a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *respecto del suelo*: ¿cuál es su rapidez de retroceso? (b) Los $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se miden ahora *respecto de ella*: recalcula ambas rapideces. (c) ¿Qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) la empujó hacia atrás?

**Solución de Ejercicio 25.12.**

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$: $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) El balón va a $8.0 + V$ respecto del suelo: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$, luego $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y el balón vuela a $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) El [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del balón sobre sus manos — la compañera de tercera ley de su lanzamiento.

**Ejercicio 25.13 ★★★.**

Una curva de autopista de radio $80\,\mathrm{m}$ se diseña para $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sin ninguna ayuda del [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory). Demuestra que la calzada debe peraltarse con el ángulo $\theta$ dado por $\tan\theta = v^2/(gR)$ y calcúlalo. ¿Qué debe hacer el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) con un coche que tome la curva más despacio — o más deprisa?

**Solución de Ejercicio 25.13.**

Sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory): $N\cos\theta = mg$ (vertical) y $N\sin\theta = mv^2/R$ (radial); dividiendo, $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$: $\theta \approx 27^\circ$. Más despacio: el coche tiende a resbalar peralte abajo y el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) debe apuntar pendiente arriba; más deprisa: al revés.

**Ejercicio 25.14 ★★★.**

Los motores de un cohete expulsan $250\,\mathrm{kg}$ de gas por segundo a $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) ¿Cuánta [cantidad de movimiento](#def-g12-newtons-laws-momentum) se marcha por segundo — qué [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) devuelven los gases? (b) El cohete tiene una masa de $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ en el encendido: ¿su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight)?, ¿su aceleración en el despegue? (c) ¿Por qué el motor funciona igual de bien en el vacío?

**Solución de Ejercicio 25.14.**

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada segundo: [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$. (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) Empuja sobre sus propios gases (tercera ley), no sobre el aire.

**Ejercicio 25.15 ★★★.**

Un bloque de $4.0\,\mathrm{kg}$ sobre una mesa ($\mu_s = 0.35$, $\mu_k = 0.25$) está unido, a través de una polea ideal, a una masa colgante $m_2$. (a) ¿Qué $m_2$ mínima pone en marcha el movimiento? (b) Para $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$, calcula la aceleración y la tensión. (c) Comprueba que $\mu_k = 0$ recupera la fórmula sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del [Ejercicio 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8).

**Solución de Ejercicio 25.15.**

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$: $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$. (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 =
1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$. (c) Con $\mu_k = 0$ queda $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$: la fórmula del [Ejercicio 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8).

## 25.7 Problema: El teleférico

**Problema 25.1.**

Problema de fin de semana — certificar el teleférico: la tensión que la pendiente exige en reposo, el recargo del arranque, el alivio sobre el pilono, el precio de una parada de emergencia — y la única cifra que el cartel de la cabina puede prometer

Un teleférico de montaña — cabina más carro, masa en vacío $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — rueda sobre un cable portador inclinado $\alpha = 30^\circ$, arrastrado por un cable tractor paralelo a la pendiente con tensión $\vect T$. El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de rodadura es despreciable; el suelo de la cabina se mantiene horizontal en todo momento. La cabina admite $25$ pasajeros de masa media $80\,\mathrm{kg}$; tú eres la ingeniera encargada de la certificación. Salvo indicación contraria, la cabina va llena: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$.

**Parte I — En reposo sobre la pendiente.**

1. Elige el sistema; explica por qué el [sistema de referencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) de la montaña sirve como sistema inercial; inventaría las tres [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) , con sus direcciones.
2. ¿Qué ley gobierna la espera? Proyéctala a lo largo de la pendiente y perpendicularmente a ella para expresar $T$ y la [reacción normal](#def-g12-newtons-laws-friction) $N$ del cable portador.
3. Calcula $T$ y $N$ .
4. Recalcula $T$ para la cabina vacía. ¿Por qué $T$ es proporcional a la masa total?
5. El cable tractor se rompe y los frenos fallan: demuestra que la aceleración de la caída es $g \sin\alpha$ , con carga o sin ella, y calcúlala.

**Parte II — El arranque.** El torno acelera la cabina llena a $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ pendiente arriba hasta alcanzar la marcha de crucero $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. Expresa y calcula la tensión $T'$ durante esta fase.
7. ¿En qué fracción eleva el arranque la tensión por encima de su valor en reposo?
8. ¿Cuánto dura la fase y a lo largo de qué distancia?
9. Una pasajera de $80\,\mathrm{kg}$ va de pie sobre el suelo horizontal. Proyecta la segunda ley en vertical para expresar y calcular su [peso aparente](#def-g12-newtons-laws-apparent) ; compáralo con $mg$ .
10. ¿Qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) la acelera horizontalmente y cuánto vale? ¿Por qué se inclinan los pasajeros?

**Parte III — Sobre el pilono.** A $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constantes, el cable portador se curva sobre un pilono de apoyo siguiendo un arco de circunferencia vertical de radio $R = 40\,\mathrm{m}$; en la cresta la velocidad es horizontal.

11. En la [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-frenet) en la cresta ( [Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#ch-g12-kinematics-2d) ), da las dos componentes de la aceleración, con sus valores.
12. Proyecta la segunda ley sobre la normal para expresar y calcular la [reacción normal](#def-g12-newtons-laws-friction) $N'$ del cable sobre el carro.
13. La misma pregunta para el [peso aparente](#def-g12-newtons-laws-apparent) de la pasajera en la cresta: ¿en qué fracción es más ligera?
14. ¿A qué rapidez se anularía $N'$ ? Compárala con la rapidez de crucero y comenta.
15. ¿Qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) ejerce el carro sobre el cable al pasar el pilono — qué ley lo dice, con qué módulo y qué sentido?

**Parte IV — Frenada, un salto y el cartel.**

16. En el tramo horizontal de llegada, una parada de emergencia lleva la cabina llena de $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ al reposo en $1.5\,\mathrm{s}$ : lee $\sum \vect F = d\vect p/dt$ como un promedio sobre la parada para calcular la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de frenado.
17. ¿Qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) horizontal debe detener a una pasajera de $80\,\mathrm{kg}$ , y puede proporcionarla el [rozamiento estático](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-friction) entre el calzado y el suelo ( $\mu_s = 0.40$ )? Concluye.
18. En el andén, con los frenos sueltos, la cabina vacía cuelga libre e inmóvil; el último pasajero ( $80\,\mathrm{kg}$ ) salta horizontalmente a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *respecto de la cabina* . Calcula la rapidez de retroceso de la cabina y la rapidez del pasajero respecto del suelo.
19. En una frase: ¿qué dispositivo de propulsión vive de este principio de retroceso, y qué fija su [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) ?
20. *Certificación.* El cable tractor rompe a $100\,\mathrm{kN}$ ; la normativa limita la tensión de servicio a la quinta parte de ese valor. Demuestra que el peor caso encontrado más arriba es el arranque, deduce la masa total máxima e imprime el cartel: ¿cuántos pasajeros de $80\,\mathrm{kg}$ pueden viajar? Comprueba el coeficiente de seguridad.

**Solución de Problema 25.1.**

**1.** Sistema: cabina $+$ carro ($+$ pasajeros). La montaña está fija al suelo, inercial con excelente aproximación. [Fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force): el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $M\vect g$ (hacia abajo), la [reacción normal](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$ del cable portador (perpendicular a él) y la tensión $\vect T$ del cable tractor (pendiente arriba).

**2.** En reposo, la primera ley: $\sum \vect F = \vect 0$. A lo largo de la pendiente: $T = Mg\sin\alpha$; perpendicularmente: $N = Mg\cos\alpha$.

**3.** $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$.

**4.** En vacío: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$. Todas las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) del equilibrio son proporcionales a $M$, así que $T$ también.

**5.** A lo largo de la pendiente, $Ma = Mg\sin\alpha$: $M$ se cancela, $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ pendiente abajo.

**6.** $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 =
22.0\,\mathrm{kN}$.

**7.** $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\,\%$.

**8.** $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$.

**9.** Componente vertical de $\vect a$: $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, luego $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ frente a $mg = 785\,\mathrm{N}$: un $3\,\%$ más pesada.

**10.** El [rozamiento estático](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-friction) del suelo, horizontal: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$. Al inclinarse, el [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) total del suelo le pasa por el [centro de masas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-com) y así no la vuelca.

**11.** $a_T = dv/dt = 0$ (rapidez constante); $a_n = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, dirigida al centro — verticalmente hacia abajo en la cresta.

**12.** Eje normal (positivo hacia abajo): $Mg - N' = Mv^2/R$, luego $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$.

**13.** $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$: más ligera en $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\,\%$.

**14.** $N' = 0$ cuando $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — más del triple de la marcha de crucero: el carro va sobre el cable con un amplio margen.

**15.** Por la [tercera ley de Newton](#thm-g12-newtons-laws-third): $35.6\,\mathrm{kN}$, apretando hacia abajo sobre el cable (y por tanto sobre el pilono) — algo menos que el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) en reposo, aliviado por el vuelo curvo.

**16.** $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 =
16\,\mathrm{kN}$, opuesta al movimiento ($a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**17.** $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$; el techo vale $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$: los pies solos resbalan — hay que agarrarse a la barra.

**18.** $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$: $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; el pasajero se mueve a $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ respecto del suelo.

**19.** El cohete: su [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) queda fijado por la masa expulsada por segundo multiplicada por la velocidad de eyección respecto de él.

**20.** La mayor tensión encontrada es la del arranque, $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (en reposo sale $Mg\sin\alpha$, y en la cresta aún menos). Límite: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$, luego $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$: carga útil $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, es decir, $20$ pasajeros de $80\,\mathrm{kg}$ (no $25$). Cartel: *20 personas*; entonces $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ y el coeficiente de seguridad vale $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$.