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title: "Caída libre y tiro parabólico"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 26
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico
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# Capítulo 26 — Caída libre y tiro parabólico

Todo chorro de una manguera de jardín dibuja la misma curva en el aire. Y también un balón de baloncesto que se arquea hacia la canasta, una saltadora de longitud, una bala de cañón: cualquier cuerpo abandonado a su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight). Este capítulo se gana esa curva — una parábola — a partir de la [segunda ley de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) en dos líneas de cálculo, lee en su ecuación la cima, el [tiempo de vuelo](#def-g12-projectile-motion-range) y el [alcance](#def-g12-projectile-motion-range), y después deja entrar de nuevo el aire para ver qué estropea.

## 26.1 La caída libre

**Definición 26.1 (Caída libre).**

Un cuerpo está en *caída libre* cuando la única [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que actúa sobre él es su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P = m\vect g$: sin soporte, sin hilo y con la resistencia del aire despreciable. Una piedra que se suelta o una pelota que ya ha dejado la mano están, con buena aproximación, en caída libre — y “caída” incluye la subida.

**Teorema 26.2 (Ley de caída libre de Galileo).**

En [caída libre](#def-g12-projectile-motion-freefall), todos los cuerpos comparten la misma aceleración, sea cual sea su masa:

$$
\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},
$$

dirigida verticalmente hacia abajo: la intensidad del [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ del [Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#ch-g10-universal-gravitation) con su otro traje, $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Demostración.** La [segunda ley de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#ch-g12-newtons-laws)) con el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) como única [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force): $m\vect a = m\vect g$, y la masa se cancela. El martillo y la pluma solo se diferencian por el aire. ∎

**Proposición 26.3 (Caída vertical desde el reposo).**

Soltado desde el reposo, y contando hacia abajo la profundidad de caída $h$ desde el punto de suelta, un cuerpo en [caída libre](#def-g12-projectile-motion-freefall) obedece

$$
a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .
$$

**Demostración.** $v(t)$ es la primitiva de la constante $a = g$ que se anula en $t = 0$ ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#ch-g12-kinematics-2d)); $h(t)$, la de $v = gt$ que se anula en $t = 0$. ∎

**Ejemplo 26.4 (Órdenes de magnitud).**

Tras $1$, $2$ y $3$ segundos de [caída libre](#def-g12-projectile-motion-freefall): $v = 9.8$, $19.6$, $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($35$, $71$, $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) y $h = 4.9$, $19.6$, $44.1\,\mathrm{m}$. Desde una azotea de $30\,\mathrm{m}$: $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$, y se llega a $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Los tiempos crecen como $\sqrt h$ — y pasados unos pocos segundos el aire se niega a seguir siendo despreciable (última sección).

**Ejemplo 26.5 (Lanzamiento vertical).**

Lanzado verticalmente hacia arriba con $v_0$, con el eje $Oy$ hacia arriba desde la mano: las mismas dos primitivas dan $v = v_0 - gt$ e $y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$. La cima, donde $v = 0$, llega en $t = v_0/g$, a la altura $h = v_0^2/2g$ — la respuesta energética $v_0 = \sqrt{2gh}$ del [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#ch-g11-mechanical-energy) recorrida al revés; lanzado hacia *abajo*, $v_0$ cambia de signo. Para $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: cima a $11.5\,\mathrm{m}$ en $1.53\,\mathrm{s}$, de vuelta a $3.06\,\mathrm{s}$ y a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

## 26.2 El proyectil: una ley, dos primitivas

**Definición 26.6 (Proyectil).**

Un *proyectil* es un cuerpo lanzado con una velocidad $\vect v_0$ y abandonado después a la [caída libre](#def-g12-projectile-motion-freefall). Ejes en el punto de lanzamiento: $Ox$ horizontal en el plano vertical de $\vect v_0$, $Oy$ vertical hacia arriba; el *ángulo de tiro* $\alpha$ de $\vect v_0$ sobre la horizontal fija sus coordenadas $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$.

**Teorema 26.7 (Ecuaciones del movimiento).**

Un [proyectil](#def-g12-projectile-motion-projectile) lanzado desde el origen con rapidez $v_0$ y ángulo $\alpha$ tiene $\vect a = (0,\,-g)$ en todo instante, de donde

$$
\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr),
\qquad
\begin{cases}
x(t) = v_0\cos\alpha\; t,\\[2pt]
y(t) = v_0\sin\alpha\; t - \tfrac12\, g t^2 .
\end{cases}
$$

**Demostración.** La [segunda ley de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) da $\vect a = \vect g = (0,-g)$. Primitivas eje por eje: $\vect v(t)$ a partir de $\vect a$ con valor inicial $(v_0\cos\alpha,\, v_0\sin\alpha)$, y después la posición a partir de $\vect v$, desde $(0,0)$. ∎

**Proposición 26.8 (Independencia de los dos movimientos).**

El movimiento horizontal es uniforme — $v_x$ no cambia nunca — y el movimiento vertical es exactamente el lanzamiento vertical de la sección anterior: ninguna de las dos ecuaciones menciona la coordenada de la otra. En particular, una bola disparada horizontalmente y otra soltada en el mismo instante desde la misma altura se mantienen a la misma altura la una que la otra — llegan al suelo a la vez.

**Demostración.** En el [Teorema 26.7](#thm-g12-projectile-motion-equations), $x(t)$ solo involucra $v_0\cos\alpha$, e $y(t)$ solo $v_0\sin\alpha$ y $g$; ambas bolas tienen $v_y(0) = 0$, así que ambas obedecen $h = \tfrac12 gt^2$. ∎

![Una bola soltada y otra disparada horizontalmente en el mismo instante: en cada tiempo t_1, t_2, t_3, la misma altura — la rapidez no retrasa nada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-c13d7b0707ad.svg)

*Una bola soltada y otra disparada horizontalmente en el mismo instante: en cada tiempo $t_1$, $t_2$, $t_3$, la misma altura — la rapidez no retrasa nada.*

**Observación 26.9 (El mono que se suelta).**

Un cuidador apunta un dardo *directamente* a un mono, que se suelta de su rama en el momento del disparo. Mala jugada: el dardo y el mono caen cada uno $\tfrac12 gt^2$ por debajo de la posición que tendrían sin gravedad — la línea de puntería, la rama —, así que se encuentran exactamente, sea cual sea la rapidez del dardo ([Ejercicio 26.15](#exo-g12-projectile-motion-15)).

## 26.3 La parábola, leída entera

**Teorema 26.10 (Trayectoria).**

Eliminando $t$ entre $x(t)$ e $y(t)$: la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) de un [proyectil](#def-g12-projectile-motion-projectile) ($0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$) es la parábola de ramas hacia abajo

$$
y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .
$$

**Demostración.** $t = x/(v_0\cos\alpha)$, sustituido en el $y(t)$ del [Teorema 26.7](#thm-g12-projectile-motion-equations). ∎

![La velocidad a lo largo del vuelo: v_x no cambia nunca; v_y mengua, se anula en la cima y se invierte — la flecha se inclina y la parábola la sigue.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-9bca4402f8e5.svg)

*La velocidad a lo largo del vuelo: $\vect v_x$ no cambia nunca; $\vect v_y$ mengua, se anula en la cima y se invierte — la flecha se inclina y la parábola la sigue.*

**Definición 26.11 (Alcance).**

Para un [proyectil](#def-g12-projectile-motion-projectile) sobre terreno horizontal, el *alcance* $R$ es la distancia horizontal recorrida cuando vuelve a su altura de lanzamiento; el *tiempo de vuelo* $t_f$ es la duración de ese trayecto.

**Proposición 26.12 (Cima, tiempo de vuelo y alcance).**

Sobre terreno horizontal, con $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$:

$$
t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad
h_{\text{cima}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}
\ \ \text{alcanzada en } t_f/2, \qquad
R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.
$$

El [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) es máximo en $\alpha = 45{}^{\circ}$, donde $R = v_0^2/g$; ángulos complementarios $\alpha$ y $90{}^{\circ} - \alpha$ dan el mismo [alcance](#def-g12-projectile-motion-range).

**Demostración.** $y = 0$ da $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$: el lanzamiento y $t_f$. La cima, $v_y = 0$, cae en $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$; sustitúyase en $y(t)$. Después, $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g = v_0^2\sin(2\alpha)/g$. El seno alcanza su máximo en $2\alpha = 90{}^{\circ}$, y $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$. ∎

![La misma rapidez de lanzamiento v_0 = 10\, m/ s, cinco ángulos: 45 lanza más lejos; las parejas (15,75) y (30,60) caen en el mismo punto — una rasante y rápida, la otra alta y lenta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-4bb814d17b83.svg)

*La misma rapidez de lanzamiento $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, cinco ángulos: $45{}^{\circ}$ lanza más lejos; las parejas ($15{}^{\circ}$,$75{}^{\circ}$) y ($30{}^{\circ}$,$60{}^{\circ}$) caen en el mismo punto — una rasante y rápida, la otra alta y lenta.*

**Ejemplo 26.13 (Saque de puerta).**

Un portero golpea a $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $\alpha = 45{}^{\circ}$: $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$; los despejes reales caen más cerca de $55\,\mathrm{m}$ — la parte que se lleva el aire.

**Método 26.14 (Contabilidad de un proyectil).**

1. Ejes en el punto de lanzamiento, $Ox$ horizontal, $Oy$ hacia arriba; coordenadas de $\vect v_0$ .
2. Comprueba la [caída libre](#def-g12-projectile-motion-freefall) (solo el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ): entonces $\vect a = (0,-g)$ ; dos primitivas, con sus condiciones iniciales cada vez.
3. Pregunta sobre un *lugar* : elimina $t$ ( [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) ). Sobre un *instante* : conserva $t$ .
4. Diccionario: cima $\Leftrightarrow v_y = 0$ ; altura de lanzamiento $\Leftrightarrow y = 0$ ; muro a distancia $d \Leftrightarrow x = d$ ; suelo $\ell$ más abajo $\Leftrightarrow y = -\ell$ .
5. Sensatez: el vuelo es simétrico respecto de la cima; $R \leq v_0^2/g$ ; el aire nunca hace otra cosa que acortar.

## 26.4 Lo que cambia el aire

**Definición 26.15 (Velocidad límite).**

La resistencia del aire se opone a la velocidad y crece con la rapidez. Por eso un cuerpo que cae acelera solo hasta que el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire equilibra el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight); a partir de ahí $\vect a = \vect 0$: cae con una *velocidad límite* constante.

**Ejemplo 26.16 (Órdenes de magnitud de la velocidad límite).**

Un paracaidista en posición extendida: unos $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Una gota de lluvia: unos $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — en el vacío, $2000\,\mathrm{m}$ de caída la entregarían a $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Una pluma: alrededor de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, alcanzados en unos centímetros — el secreto de su lentitud: pasa toda la caída *a* su [velocidad límite](#def-g12-projectile-motion-terminal); el martillo no se acerca jamás a la suya.

**Observación 26.17 (Balística real).**

El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire empuja contra la velocidad durante todo el vuelo: el [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) se acorta, la cima baja y se rompe la simetría — el descenso es más empinado que la subida, y los tiros largos se quedan visiblemente cortos respecto de la parábola. El tratamiento honesto y cuantitativo es una ecuación diferencial que se resuelve en el volumen del primer año de universidad; este curso, la parábola es el modelo adecuado para [proyectiles](#def-g12-projectile-motion-projectile) densos y moderadamente rápidos — un balón de baloncesto a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, no una pelota de golf a $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

![El mismo lanzamiento, con aire y sin él: el rozamiento recorta el alcance y la cima, y hace aterrizar el proyectil más empinado de lo que despegó — la simetría de la parábola es la primera víctima.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-98bff5c267d9.svg)

*El mismo lanzamiento, con aire y sin él: el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) recorta el [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) y la cima, y hace aterrizar el [proyectil](#def-g12-projectile-motion-projectile) más empinado de lo que despegó — la simetría de la parábola es la primera víctima.*

## 26.5 Ejercicios

**Ejercicio 26.1 ★.**

Una piedra soltada desde un puente llega al agua $2.0\,\mathrm{s}$ después: ¿altura del puente y rapidez de impacto en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$?

**Solución de Ejercicio 26.1.**

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$; $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Ejercicio 26.2 ★.**

En la Luna, un astronauta soltó a la vez un martillo y una pluma: llegaron al suelo juntos. ¿Por qué — y por qué la pluma pierde tan estrepitosamente en la Tierra?

**Solución de Ejercicio 26.2.**

En la Luna no hay aire: ambos en [caída libre](#def-g12-projectile-motion-freefall), y $m\vect a = m\vect g$ da $\vect a = \vect g$ para cualquier masa. En la Tierra, el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire sobre la pluma es comparable a su minúsculo [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): viaja a una [velocidad límite](#def-g12-projectile-motion-terminal) de alrededor de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, mientras que el martillo apenas nota el aire.

**Ejercicio 26.3 ★.**

Despreciando el aire, calcula el tiempo de caída y la rapidez de llegada desde $1.0\,\mathrm{m}$, $10\,\mathrm{m}$ y $100\,\mathrm{m}$. ¿Cómo crecen los tiempos con la altura?

**Solución de Ejercicio 26.3.**

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$, $1.4$, $4.5\,\mathrm{s}$; $v = gt = 4.4$, $14$, $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Los tiempos crecen como $\sqrt h$: multiplicar la altura por $100$ solo multiplica el tiempo por $10$.

**Ejercicio 26.4 ★.**

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ¿altura y tiempo de la cima, tiempo total hasta volver a la mano y rapidez de regreso?

**Solución de Ejercicio 26.4.**

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ en $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$; de vuelta a $3.06\,\mathrm{s}$, y otra vez a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (simetría).

**Ejercicio 26.5 ★.**

Una canica rueda y se sale de una mesa de $0.80\,\mathrm{m}$ de altura a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Halla el tiempo de caída y la distancia de aterrizaje respecto del borde. ¿Depende el tiempo de caída de la rapidez de la canica?

**Solución de Ejercicio 26.5.**

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$; $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$. No: el tiempo de caída pertenece solo al movimiento vertical (independencia).

**Ejercicio 26.6 ★★.**

A partir de la figura de los cinco ángulos del curso: ¿qué parejas de [ángulos de tiro](#def-g12-projectile-motion-projectile) comparten [alcance](#def-g12-projectile-motion-range), y qué ángulo gana? Para un [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) por debajo del máximo, ¿cuál de los dos ángulos posibles vuela más tiempo? Justifícalo con $t_f$.

**Solución de Ejercicio 26.6.**

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ y $(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ comparten [alcance](#def-g12-projectile-motion-range); gana $45{}^{\circ}$. De una pareja de complementarios, el más empinado vuela más tiempo: $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ crece con $\alpha$.

**Ejercicio 26.7 ★★.**

Desde un balcón a $20\,\mathrm{m}$ se lanza una pelota verticalmente hacia *abajo* a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Halla el tiempo hasta el suelo y la rapidez de impacto; comprueba esta última con un balance de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#ch-g11-mechanical-energy)).

**Solución de Ejercicio 26.7.**

$4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ da $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$; $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Por [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy): $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lo mismo.

**Ejercicio 26.8 ★★.**

Un [proyectil](#def-g12-projectile-motion-projectile) sale del suelo horizontal a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $\alpha = 30{}^{\circ}$: ¿[tiempo de vuelo](#def-g12-projectile-motion-range), altura de la cima y [alcance](#def-g12-projectile-motion-range)?

**Solución de Ejercicio 26.8.**

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$; $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$; $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 26.9 ★★.**

Modeliza a una saltadora de longitud como un [proyectil](#def-g12-projectile-motion-projectile): batida a $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $\alpha = 20{}^{\circ}$. Calcula el [alcance](#def-g12-projectile-motion-range); las campeonas saltan casi $9\,\mathrm{m}$ — nombra dos ingredientes que el modelo puntual deja fuera.

**Solución de Ejercicio 26.9.**

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$. Lo que queda fuera: el [centro de masas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-com) despega alto (cuerpo extendido) y aterriza bajo y muy por delante (piernas lanzadas hacia adelante), y la saltadora no es un punto — los $1.7\,\mathrm{m}$ que faltan viven en esa geometría, no en la parábola.

**Ejercicio 26.10 ★★.**

A $1.2\,\mathrm{m}$ sobre un suelo llano se suelta una bala y se dispara otra idéntica horizontalmente a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ¿Cuál llega antes al suelo? Calcula el tiempo de caída y la distancia de aterrizaje de la bala disparada. ¿Qué principio se pone a prueba?

**Solución de Ejercicio 26.10.**

A la vez: ambas tienen $v_y(0) = 0$, luego el mismo $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$; la disparada cae a $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$. Pone a prueba la independencia de los movimientos horizontal y vertical.

**Ejercicio 26.11 ★★.**

Demuestra algebraicamente que $\alpha$ y $90{}^{\circ} - \alpha$ comparten [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) y halla después los dos ángulos que hacen caer a $50\,\mathrm{m}$ un [proyectil](#def-g12-projectile-motion-projectile) lanzado a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Solución de Ejercicio 26.11.**

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) =
\sin(2\alpha)$: el mismo $R$. Aquí $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 = 9.81 \times 50/625 = 0.785$: $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ o $64.1{}^{\circ}$.

**Ejercicio 26.12 ★★★.**

El agua sale de una manguera de jardín a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ¿mayor [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) horizontal?, ¿mayor altura vertical?, ¿los dos ángulos de la boquilla que riegan un arriate situado a $5.0\,\mathrm{m}$?

**Solución de Ejercicio 26.12.**

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (a $45{}^{\circ}$); $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (en vertical). $\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$: $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ o $65.0{}^{\circ}$.

**Ejercicio 26.13 ★★★.**

Se golpea un balón desde el suelo a $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $\alpha = 35{}^{\circ}$, hacia un seto de $4.0\,\mathrm{m}$ situado a $15\,\mathrm{m}$. Usando la ecuación de la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory), decide si lo supera y por cuánto.

**Solución de Ejercicio 26.13.**

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2}
{2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$: supera el seto de $4.0\,\mathrm{m}$ por unos $1.4\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 26.14 ★★★.**

Un paracaidista de $80\,\mathrm{kg}$ cae en posición extendida a la [velocidad límite](#def-g12-projectile-motion-terminal) de $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) ¿La [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire? (b) Esboza la forma de $v(t)$ desde el salto. (c) Una gota de lluvia cae desde $2.0\,\mathrm{km}$: ¿rapidez de llegada en el vacío frente a sus $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ reales?

**Solución de Ejercicio 26.14.**

(a) El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire equilibra el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$. (b) $v(t)$ sube con pendiente cada vez menor y se aplana en $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) En el vacío, $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, veinte veces los $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ reales — las gotas pasan casi toda la caída a su [velocidad límite](#def-g12-projectile-motion-terminal).

**Ejercicio 26.15 ★★★.**

El mono que se suelta, demostrado: un dardo sale del origen apuntando exactamente a un mono situado a distancia $D$ y altura $H$ ($\tan\alpha = H/D$), que se suelta en $t = 0$. Demuestra que cuando el dardo llega a $x = D$ su altura es igual a la del mono — sea cual sea $v_0$.

**Solución de Ejercicio 26.15.**

En $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ el dardo está a la altura $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g
t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$, exactamente la del mono que se ha soltado, $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$. Los dos cuelgan $\tfrac12 gt^2$ por debajo de su posición sin gravedad — se encuentran sea cual sea $v_0$.

## 26.6 Problema: La canasta sobre la bocina

**Problema 26.1.**

Problema de fin de semana — la canasta sobre la bocina: un tiro libre diseccionado flecha a flecha, unos dedos superados por centímetros, un lanzamiento de campo entero puesto frente a lo que un brazo puede dar, un globo por encima del tablero — y un veredicto sobre el tiro más teatral del deporte

El aro de una canasta de baloncesto es un anillo horizontal a $3.05\,\mathrm{m}$ del suelo; Nora suelta todos sus tiros a $2.00\,\mathrm{m}$, así que con los ejes en el punto de suelta ($Ox$ horizontal hacia la canasta, $Oy$ hacia arriba) el centro del aro queda $1.05\,\mathrm{m}$ por encima del origen. Se desprecia el aire salvo donde se indique.

**Parte I — El tiro libre.** Nora tira desde $d = 4.20\,\mathrm{m}$ (en horizontal) con un [ángulo de tiro](#def-g12-projectile-motion-projectile) $\alpha = 50{}^{\circ}$.

1. ¿Qué [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) actúan una vez soltado el balón? Da $\vect a$ , citando la ley empleada.
2. Deduce las coordenadas de $\vect v(t)$ .
3. Deduce $x(t)$ e $y(t)$ .
4. Elimina $t$ para obtener la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) $y(x)$ .
5. El balón debe pasar por el centro del aro, $y(d) = 1.05\,\mathrm{m}$ : despeja $v_0$ , en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

**Parte II — Por encima de los dedos, dentro del aro.**

6. ¿Cuánto tarda el balón en llegar al aro?
7. Halla el instante y la altura de la cima; comprueba que en el aro el balón ya está descendiendo.
8. Una defensora situada $0.90\,\mathrm{m}$ por delante de Nora estira los dedos hasta $2.60\,\mathrm{m}$ . ¿Por cuánto los supera el balón?
9. Calcula $v_x$ y $v_y$ en el aro, la rapidez allí y el ángulo de la velocidad por debajo de la horizontal.
10. ¿Por qué el balón debe llegar *descendiendo* — y por qué de forma empinada?

**Parte III — El lanzamiento de campo entero.** A punto de [sonar](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#met-g10-signals-and-waves-echo) la bocina, Nora está a $26.0\,\mathrm{m}$ del aro contrario.

11. La subida de $1.05\,\mathrm{m}$ es pequeña frente a $26.0\,\mathrm{m}$ : justifica un modelo de terreno horizontal y deduce el [tiempo de vuelo](#def-g12-projectile-motion-range) de $y(t_f) = 0$ .
12. Deduce $R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ y el ángulo de [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) máximo.
13. Calcula la $v_0$ necesaria para cubrir $26.0\,\mathrm{m}$ con $\alpha = 45{}^{\circ}$ .
14. Una jugadora potente puede lanzar un balón de baloncesto a unos $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Cuál es su [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) máximo — es humanamente posible el tiro?
15. A $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , halla los *dos* ángulos que hacen caer el balón a $26.0\,\mathrm{m}$ y sus [tiempos de vuelo](#def-g12-projectile-motion-range) : con $2.0\,\mathrm{s}$ en el reloj, ¿cuál llega antes que la bocina?

**Parte IV — El globo por encima del tablero.** Desde detrás de la línea de fondo, Nora lanza un globo: suelta a $6.0\,\mathrm{m}$ del centro del aro, $\alpha = 75{}^{\circ}$; el plano del tablero corta su tiro $0.45\,\mathrm{m}$ antes del centro del aro, con el borde superior a $3.95\,\mathrm{m}$ del suelo.

16. Halla la $v_0$ que hace caer el balón por el centro del aro.
17. Calcula la altura del balón en el plano del tablero ( $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ): ¿supera el borde superior?, ¿por cuánto?
18. Halla la altura de la cima y el [tiempo de vuelo](#def-g12-projectile-motion-range) — ¿por qué le encanta al público?
19. Cualitativamente, ¿qué cambia la resistencia del aire en estos tres tiros, y a cuál amenaza más?
20. *El veredicto sobre la canasta desde el propio [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field)* , en dos frases: compara la rapidez que exige el lanzamiento de campo entero con la que proporciona un brazo, da el margen y dictamina — ¿posible o mito?

**Solución de Problema 26.1.**

**1.** Solo el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (el aire se desprecia); por la [segunda ley de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second), $m\vect a = m\vect g$, luego $\vect a = (0,\,-g)$.

**2.** $v_x = v_0\cos\alpha$, $v_y = v_0\sin\alpha - gt$.

**3.** $x = v_0\cos\alpha\, t$, $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$.

**4.** $t = x/(v_0\cos\alpha)$: $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$.

**5.** $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha -
1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$: $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**6.** $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$.

**7.** Cima en $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$, a la altura $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$; $0.57 < 0.90$: en el aro va descendiendo.

**8.** $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ por encima del punto de suelta, es decir, $2.89\,\mathrm{m}$ sobre el suelo: $0.29\,\mathrm{m}$ por encima de los dedos.

**9.** $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, a $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ por debajo de la horizontal.

**10.** El aro es un anillo horizontal: el balón tiene que atravesar su plano desde arriba. Cuanto más empinada es la entrada, más grande se ve la abertura del anillo a lo largo de la velocidad — más margen de error.

**11.** $1.05/26.0 = 4\,\%$: despreciable. $y(t_f) = 0$ da $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$, luego $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$.

**12.** $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$; máximo en $\alpha = 45{}^{\circ}$.

**13.** $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} =
16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**14.** $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} > 26.0\,\mathrm{m}$: posible, con $5\,\mathrm{m}$ de [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) de sobra.

**15.** $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$: $\alpha =
28.2{}^{\circ}$ o $61.8{}^{\circ}$; [tiempos de vuelo](#def-g12-projectile-motion-range) $2v_0\sin\alpha/g =
1.69\,\mathrm{s}$ y $3.14\,\mathrm{s}$. Solo el tiro tenso se adelanta a la bocina de $2.0\,\mathrm{s}$.

**16.** $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\,
(6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$: $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ por encima del punto de suelta, es decir, $4.45\,\mathrm{m}$ sobre el suelo: $0.50\,\mathrm{m}$ por encima del borde superior del tablero.

**18.** Cima: $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx
7.9\,\mathrm{m}$; vuelo: $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — dos segundos enteros con el balón colgado a $8\,\mathrm{m}$.

**19.** El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire acorta todos los tiros y empina el descenso; el efecto crece con la rapidez, así que el lanzamiento de campo entero a $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ es el que más sufre — su [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) real se queda unos [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) por debajo de $31\,\mathrm{m}$ y se come parte del margen.

**20.** *El veredicto sobre la canasta desde el propio [campo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-field)*: el tiro de $26.0\,\mathrm{m}$ exige $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y un brazo proporciona unos $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, un margen de [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) de $5\,\mathrm{m}$ ($\approx 20\,\%$) que la resistencia del aire recorta pero no borra. Posible — y por eso, unas cuantas veces por temporada, entra.