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title: "Satélites y movimiento planetario"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 27
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/27-satelites-y-movimiento-planetario
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# Capítulo 27 — Satélites y movimiento planetario

La antena parabólica del balcón está atornillada y, sin embargo, se pasa el día mirando a un punto fijo del cielo, $36\,000\,\mathrm{km}$ más arriba; la estación espacial cruza el cielo del atardecer en unos minutos; una constelación de relojes voladores le dice a tu teléfono dónde estás. Ninguna de estas máquinas lleva un motor encendido: todas se limitan a *caer*. Este capítulo calcula a qué rapidez y a qué altura debe caer cada una — y después pesa planetas con la misma ley.

## 27.1 Caer alrededor de la Tierra

Todo descansa sobre la ley medida antes ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#ch-g10-universal-gravitation)): la Tierra, de masa $M$, atrae a un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de masa $m$ cuyo centro dista $r$ del suyo con una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) dirigida hacia el centro de la Tierra y de módulo

$$
F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.
$$

Ojo con lo que es $r$: la distancia *entre centros*. Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) a la altura $h$ tiene $r = R + h$, con $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ el radio terrestre — olvidarse de la $R$ es el error clásico de este capítulo.

**Observación 27.1 (El cañón de Newton, revisitado).**

Disparada horizontalmente, una bala de cañón cae al suelo; más deprisa, cae más lejos; a la rapidez justa, el suelo se curva y se aparta exactamente tan rápido como la bala cae, y la caída se cierra sobre sí misma: una [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite). Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) no necesita motor — solo la rapidez *lateral* adecuada.

![El cañón de Newton: disparada cada vez más deprisa, la bala cae más lejos (naranja); hacia los 7.9\, km/ s su caída iguala la curvatura de la Tierra y entra en órbita (azul); aún más deprisa, escapa (rojo).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-10b1c81850bb.svg)

*El cañón de Newton: disparada cada vez más deprisa, la bala cae más lejos (naranja); hacia los $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ su caída iguala la curvatura de la Tierra y entra en [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) (azul); aún más deprisa, escapa (rojo).*

## 27.2 La órbita circular: una rapidez, un periodo

**Teorema 27.2 (Rapidez orbital).**

Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) en [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) [circular uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) de radio $r$ alrededor de un cuerpo de masa $M$ recorre su [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) a la rapidez

$$
v = \sqrt{\frac{G M}{r}},
$$

que no depende de la masa del [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Demostración.** La gravedad es la única [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force), así que la [segunda ley de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) ([Teorema 25.5](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second)) se lee $m\vect a = \vect F$; proyectémosla en la [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([Definición 24.13](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-frenet)). La [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) apunta al centro: su componente tangencial es nula, luego la rapidez es constante; su componente normal es todo el $GmM/r^2$, y el movimiento circular tiene $a_n = v^2/r$ ([Teorema 24.12](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#thm-g12-kinematics-2d-centripetal)). Por tanto $m v^2/r = GmM/r^2$ y — dividiendo por $m$ — $v^2 = GM/r$. ∎

![Todo el mecanismo de una órbita: velocidad tangente, fuerza hacia el centro — la gravedad nunca frena al satélite, solo curva su camino, para siempre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-8d1ae05ba67d.svg)

*Todo el mecanismo de una [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite): velocidad tangente, [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) hacia el centro — la gravedad nunca frena al [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite), solo curva su camino, para siempre.*

**Proposición 27.3 (Periodo orbital).**

El [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) completa su [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) en el [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm)

$$
T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.
$$

**Demostración.** Una vuelta es la circunferencia $2\pi r$ a rapidez constante; sustituyendo $v = \sqrt{GM/r}$: $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$. ∎

Ni $v$ ni $T$ contienen $m$: un tornillo que se suelta de la estación espacial orbita justo a su lado. Y ambos decrecen con $r$: *cuanto más alta es la [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite), más lento va el [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite)*, en rapidez ($v \propto 1/\sqrt r$) y en ángulo ($T \propto r^{3/2}$).

**Ejemplo 27.4 (La estación espacial).**

La Estación Espacial Internacional vuela a la altura $h \approx 400\,\mathrm{km}$, luego $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$; con $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$: una vuelta al planeta cada hora y media, y unos dieciséis amaneceres al día para los astronautas.

**Ejemplo 27.5 (La Luna cae como la manzana).**

La Luna, a $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, orbita en $T = 27.3\,\mathrm{d} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, luego $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — exactamente $g/60^2$, y la Luna está a $60$ radios terrestres: el tirón que hace caer la manzana curva la Luna, debilitado por el inverso del cuadrado. Cada segundo la Luna “cae” alrededor de $1.4\,\mathrm{mm}$ hacia nosotros, y su kilómetro lateral se la lleva alrededor — la comprobación que hizo Newton en 1666.

## 27.3 Las leyes de Kepler

Newton no adivinó el inverso del cuadrado: lo extrajo de tres regularidades que Johannes Kepler destiló, entre 1609 y 1619, a partir de veinte años de posiciones planetarias a simple vista tomadas por Tycho Brahe — los mejores datos del mundo anterior al telescopio.

**Definición 27.6 (Elipse).**

Una *elipse* es el conjunto de los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos, los *focos*, tienen suma constante; la mitad de su diámetro mayor es el *semieje mayor* $a$, y la circunferencia es el caso en que los [focos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/10-lentes-imagenes-y-el-ojo#def-g11-lenses-and-eye-focal) se confunden. Los puntos de la [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de un planeta más cercano y más lejano del Sol son su *perihelio* y su *afelio*.

**Teorema 27.7 (Leyes de Kepler).**

Para los planetas que orbitan el Sol (de masa $M$):

1. cada [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) es una [elipse](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) con el Sol en uno de sus [focos](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) ;
2. el segmento Sol–planeta barre áreas iguales en tiempos iguales;
3. el cociente entre el cuadrado del [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) y el cubo del [semieje mayor](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) es el mismo para todos los planetas: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ .

Las mismas leyes gobiernan cualquier familia de [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) en torno a cualquier cuerpo central, siendo $M$ la masa central.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 27.8 (Lo que podemos demostrar este curso).**

Para una [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) *circular* la tercera ley es nuestra: elevando al cuadrado la [Proposición 27.3](#prop-g12-satellites-kepler-period) sale $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — una única constante para todos los [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) del mismo centro. Que las [elipses](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), las áreas iguales y el $a$ general se siguen del inverso del cuadrado se demuestra, con más cálculo, en el volumen del primer año de universidad. Mientras tanto, la segunda ley puede leerse: el planeta va más rápido en el [perihelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), donde el corto segmento que barre tiene que darse prisa.

![La segunda ley de Kepler: en un mes cerca del perihelio P el planeta barre un sector corto y ancho; cerca del afelio A, uno largo y estrecho — áreas iguales: se apresura cuando está cerca y remolonea cuando está lejos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-47904751e888.svg)

*La segunda ley de Kepler: en un mes cerca del [perihelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) $P$ el planeta barre un sector corto y ancho; cerca del [afelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) $A$, uno largo y estrecho — áreas iguales: se apresura cuando está cerca y remolonea cuando está lejos.*

![Los ocho planetas en ejes logarítmicos: una recta de pendiente 3/2, es decir, T2 a3 — la tercera ley de Kepler, que en estas unidades (unidades astronómicas, años) se lee sencillamente T2 = a3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-cfdd7c3e234c.svg)

*Los ocho planetas en ejes logarítmicos: una recta de pendiente $3/2$, es decir, $T^2 \propto a^3$ — la tercera ley de Kepler, que en estas [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ([unidades astronómicas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear), años) se lee sencillamente $T^2 = a^3$.*

## 27.4 Las órbitas en acción

**Definición 27.9 (Órbita geoestacionaria).**

Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) es *geoestacionario* cuando queda colgado sobre un punto fijo del suelo. Su [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) debe ser circular, ecuatorial y de [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) un *día sidéreo*, $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ($23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$): el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta *respecto de las estrellas*. (El día de $24\,\mathrm{h}$ es respecto del Sol, hacia el cual la Tierra también avanza un grado al día.)

**Ejemplo 27.10 (La altura geoestacionaria).**

La tercera ley de Kepler, leída al revés, dicta el radio: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} =
\left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3} \approx
4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — una altura $h = r - R \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx
35\,800\,\mathrm{km}$, recorrida a $v = 2\pi r/T \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Todo repetidor que “se queda quieto” se sitúa en esta única circunferencia sobre el ecuador — no hay otra.

**Ejemplo 27.11 (La constelación de navegación).**

Los sistemas de navegación por [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) hacen volar una treintena de [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) a $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (altura $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$), donde la [Proposición 27.3](#prop-g12-satellites-kepler-period) da $T \approx 4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: medio [día sidéreo](#def-g12-satellites-kepler-geo), así que cada [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) vuelve a recorrer su traza sobre el suelo un día tras otro. Tu receptor compara los tiempos de llegada de sus [señales](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-signal) de reloj con unas [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) conocidas al [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Método 27.12 (Pesar un mundo a partir de su satélite).**

Para medir la masa de un planeta o de una estrella: busca cualquier [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) suyo (una luna, una sonda, un planeta), mide el radio $r$ y el [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) $T$ de su [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) e invierte la tercera ley:

$$
M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.
$$

Esto pesa únicamente el cuerpo *central* — la masa del [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) se canceló en el [Teorema 27.2](#thm-g12-satellites-kepler-speed). Todas las masas de la tabla de datos se han obtenido así: la de la Tierra a partir de la Luna, la del Sol a partir de la propia [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) terrestre.

**Observación 27.13 (Más alto es más lento — pero cuesta más).**

Como $v = \sqrt{GM/r}$, la Luna se arrastra a $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ mientras la estación corre a $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Y sin embargo la [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) más alta es la más *cara*: trepar contra la gravedad almacena [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) potencial (la cuenta se salda en el [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/29-trabajo-y-energia-mecanica#ch-g12-work-and-energy)), y la ganancia en $E_p$ pesa más que la pérdida en $E_k$. Por eso un cohete quema *hacia adelante* para alcanzar una [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) más alta y más lenta — y un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) frenado por el aire enrarecido cae en espiral *hacia abajo* y se acelera.

**Observación 27.14 (Tabla de datos).**

Salvo indicación contraria: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$; Tierra: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, [día sidéreo](#def-g12-satellites-kepler-geo) $86\,164\,\mathrm{s}$; [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de la Luna: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $T = 27.3\,\mathrm{d}$; Sol: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$; distancia Tierra–Sol $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$; un año $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$; Marte: $M = 6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$.

## 27.5 Ejercicios

**Ejercicio 27.1 ★.**

Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de $1000\,\mathrm{kg}$ está sobre la plataforma de lanzamiento y después vuela a $400\,\mathrm{km}$ de altura. Calcula la atracción terrestre en ambos lugares: ¿qué porcentaje sobrevive allá arriba — y por qué flotan sus ocupantes?

**Solución de Ejercicio 27.1.**

En la plataforma: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx
9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$. A $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$: $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — todavía el $89\,\%$ del valor en el suelo. Sus ocupantes flotan porque *caen* junto con la estación, no porque la gravedad haya desaparecido.

**Ejercicio 27.2 ★.**

Para un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) (teórico) que rozara la superficie terrestre ($r = R$), calcula la rapidez orbital y el [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm). Compáralo con la bala de cañón de Newton ([Observación 27.1](#rem-g12-satellites-kepler-cannon)).

**Solución de Ejercicio 27.2.**

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx
7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx
84\,\mathrm{min}$. Exactamente los $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de la bala de cañón: una [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) rasante *es* el disparo de Newton.

**Ejercicio 27.3 ★.**

Se traslada un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de una [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) circular de radio $r$ a otra de radio $2r$. ¿Por qué factor cambian su rapidez y su [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm)? ¿Dependen las respuestas de su masa?

**Solución de Ejercicio 27.3.**

$v \propto 1/\sqrt{r}$: dividida entre $\sqrt 2 \approx 1.41$. $T \propto r^{3/2}$: multiplicado por $2^{3/2} \approx 2.8$. Ninguno de los dos contiene $m$: no.

**Ejercicio 27.4 ★.**

Rehaz los números de la estación: a partir de $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, calcula $v$, $T$ y el número de [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) completadas en $24\,\mathrm{h}$.

**Solución de Ejercicio 27.4.**

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$; $86\,400/5546 \approx 15.6$ [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) al día.

**Ejercicio 27.5 ★.**

Enuncia las tres [leyes de Kepler](#thm-g12-satellites-kepler-kepler). ¿En qué punto de su [elipse](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) muy estirada va más rápido un cometa, y qué ley lo dice? ¿Depende el [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) de un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de su propia masa?

**Solución de Ejercicio 27.5.**

[Elipses](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) con el Sol en un [foco](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/10-lentes-imagenes-y-el-ojo#def-g11-lenses-and-eye-focal); áreas iguales en tiempos iguales; $T^2/a^3$ idéntico para todos los planetas. Más rápido en el [perihelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), por la segunda ley (el corto segmento que barre tiene que barrer deprisa). No: la masa del [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) se cancela — solo entra la masa central.

**Ejercicio 27.6 ★★.**

Pesa la Tierra: a partir del radio y del [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) de la [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) lunar (tabla de datos), calcula la masa terrestre y compárala con el valor de la tabla.

**Solución de Ejercicio 27.6.**

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 2.24 \times 10^{27}/371
\approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — a menos de un $1\,\%$ de $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Ejercicio 27.7 ★★.**

Una empresa propone un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) suspendido permanentemente sobre París (latitud $49^\circ$ norte). A partir de la dirección de la gravedad, explica por qué toda [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) circular está centrada en el centro de la Tierra; concluye que la propuesta es imposible. ¿Dónde *sí* puede quedarse colgado un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite)?

**Solución de Ejercicio 27.7.**

La gravedad apunta al centro de la Tierra y, en un movimiento circular, la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) resultante apunta al centro de la circunferencia: los dos centros coinciden. Una circunferencia sobre el paralelo de París está centrada en el eje, no en el centro terrestre — imposible. Quedarse colgado solo funciona allí donde el paralelo es un círculo máximo centrado en el centro: sobre el *ecuador*.

**Ejercicio 27.8 ★★.**

Fobos gira alrededor de Marte a $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ en $T = 7\,\mathrm{h}
39\,\mathrm{min}$. Deduce la masa de Marte; compárala con la tabla de datos.

**Solución de Ejercicio 27.8.**

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) =
3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — el Marte de la tabla de datos.

**Ejercicio 27.9 ★★.**

Marte orbita el Sol con $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ en $687\,\mathrm{d}$. Calcula $T^2/a^3$ para Marte y para la Tierra (tabla de datos), comprueba la tercera ley de Kepler y deduce la masa del Sol.

**Solución de Ejercicio 27.9.**

Tierra: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} =
2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$. Marte: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — iguales, como exige la tercera ley. Entonces $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19}) \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$.

**Ejercicio 27.10 ★★.**

La comprobación lunar de Newton: a partir de la tabla de datos, calcula la rapidez de la Luna y su [aceleración centrípeta](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) $a = v^2/r$. Demuestra que es igual a $g/60^2$ y di por qué eso convenció a Newton de que una sola ley gobierna la manzana y la Luna.

**Solución de Ejercicio 27.10.**

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = v^2/r = 2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. La Luna está a $60$ radios terrestres y su caída es $60^2$ veces más débil que la de la manzana: exactamente el inverso del cuadrado — una sola ley para las dos.

**Ejercicio 27.11 ★★.**

En [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) solares ([unidades astronómicas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear), años) la tercera ley de Kepler se lee $T^2 = a^3$: la recta de la gráfica logarítmica del curso. Sitúa en ella el asteroide Ceres, $a = 2.77\,\mathrm{au}$, y el cometa Halley, $a = 17.8\,\mathrm{au}$: calcula ambos [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm). Halley pasó por el [perihelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) por última vez en 1986 — ¿cuándo se le espera de vuelta?

**Solución de Ejercicio 27.11.**

Ceres: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{años}$. Halley: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{años}$, así que el próximo [perihelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) cae hacia $1986 + 75 \approx 2061$.

**Ejercicio 27.12 ★★★.**

El aire enrarecido roza la estación y, sin embargo, su rapidez *aumenta* a medida que pierde altura. Calcula $v$ a las alturas de $400\,\mathrm{km}$ y $350\,\mathrm{km}$ y resuelve después la paradoja: el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) frena — ¿de dónde sale la rapidez de más?

**Solución de Ejercicio 27.12.**

A $400\,\mathrm{km}$: $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a $350\,\mathrm{km}$ ($r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) sí drena [energía mecánica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-em) — la [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) se encoge; pero durante la bajada el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) de la gravedad devuelve con creces la rapidez que se lleva el aire: $E_m$ baja mientras $E_k$ sube.

**Ejercicio 27.13 ★★★.**

Un telescopio descubre un exoplaneta que gira en torno a su estrella a $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ cada $3.50\,\mathrm{d}$. Pesa la estrella, en [kilogramos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y en soles. ¿Qué masa — la de la estrella o la del planeta — *no* puede obtenerse así, y por qué?

**Solución de Ejercicio 27.13.**

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 1.65 \times 10^{31}/6.10
\approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ soles. La masa *del planeta* queda fuera de [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range): se canceló en las ecuaciones de la [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Ejercicio 27.14 ★★★.**

Unos colonos marcianos quieren un repetidor “areoestacionario” sobre su base. Marte gira respecto de las estrellas en $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$: calcula el radio de la [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) y la altura sobre la superficie marciana (tabla de datos).

**Solución de Ejercicio 27.14.**

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$: $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$, luego $r \approx 2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ y $h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx
17\,000\,\mathrm{km}$ sobre el suelo marciano.

**Ejercicio 27.15 ★★★.**

El cometa Halley pasa por el [perihelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) a $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ moviéndose a $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; el [afelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) está a $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$. En ambos extremos la velocidad es perpendicular al segmento Sol–cometa, y la segunda ley de Kepler obliga entonces a que $r_p v_p = r_a v_a$ (triángulos barridos iguales, de área $\tfrac12 r v\,\Delta t$). Deduce la rapidez en el [afelio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) y comenta el cociente.

**Solución de Ejercicio 27.15.**

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} /
5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Como $r_a/r_p \approx 60$, el cometa está $60$ veces más lejos y va $60$ veces más lento: se pasa décadas remoloneando en la oscuridad y semanas esprintando junto al Sol.

## 27.6 Problema: Una plaza sobre el ecuador

**Problema 27.1.**

Problema de fin de semana — colocar un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) sobre el ecuador: por qué la única plaza de aparcamiento del cielo es una circunferencia a $35\,800\,\mathrm{km}$ de altura, cómo se compara con la estación que corre por debajo y cómo la misma ley pesa Júpiter de camino

Una empresa de telecomunicaciones quiere un repetidor al que sus antenas de tierra, atornilladas una sola vez, no tengan que perseguir nunca: un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) [geoestacionario](#def-g12-satellites-kepler-geo). Tú eres la analista de la misión; usa la tabla de datos. Para la Parte IV: Ío, la luna de Júpiter, orbita a $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $T = 1.77\,\mathrm{d}$, y Júpiter gira respecto de las estrellas en $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$.

**Parte I — Las reglas para quedarse quieto.**

1. El [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) debe permanecer sobre un punto fijo del suelo. ¿Cuál debe ser su [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) — y por qué el [día sidéreo](#def-g12-satellites-kepler-geo) de $86\,164\,\mathrm{s}$ y no $24\,\mathrm{h}$ ?
2. En un movimiento circular la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) resultante apunta al centro de la circunferencia; aquí la única [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) es la gravedad. Deduce que el centro de toda [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) circular es el centro de la Tierra.
3. Una circunferencia suspendida sobre la latitud de París estaría centrada en el eje terrestre, al norte del centro. Concluye: ¿en qué plano debe estar una [órbita geoestacionaria](#def-g12-satellites-kepler-geo) ?
4. Escribe la [segunda ley de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) en la [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-frenet) para una [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) circular de radio $r$ y deduce $v = \sqrt{GM/r}$ .
5. Deduce $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ y reescríbelo como la tercera ley de Kepler, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

**Parte II — La única circunferencia que sirve.**

6. Despeja $r$ en la tercera ley y calcula el radio [geoestacionario](#def-g12-satellites-kepler-geo) .
7. Deduce la altura sobre el suelo.
8. Calcula la rapidez orbital a partir de $v = 2\pi r/T$ .
9. Compruébala con $v = \sqrt{GM/r}$ .
10. El [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de la empresa tiene una masa de $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ; el de una rival pesa el doble. Compara sus radios [geoestacionarios](#def-g12-satellites-kepler-geo) y di qué cambia la masa de más en el lanzamiento.

**Parte III — La estación, más abajo.**

11. La estación espacial vuela a $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : calcula su rapidez.
12. Calcula su [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) , en segundos y en minutos.
13. ¿Cuántas [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) completa en $24\,\mathrm{h}$ — aproximadamente cuántos amaneceres contemplan los astronautas al día?
14. Calcula el cociente de radios $r_{\text{geo}}/r_{\text{EEI}}$ y comprueba que el cociente de [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-ucm) es ese número elevado a $3/2$ , como exige la tercera ley de Kepler.
15. ¿Qué [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) se mueve más deprisa, y cuál costó más [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) por [kilogramo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) colocar? Reconcilia ambas cosas en una frase.

**Parte IV — Pesar Júpiter de paso.**

16. A partir de la tercera ley de Kepler aplicada a Ío, expresa la masa de Júpiter $M_J$ en función de $G$ , $r$ y $T$ .
17. Calcula $M_J$ .
18. ¿A cuántas masas terrestres equivale? ¿Aproximadamente qué fracción de la masa del Sol?
19. Un repetidor “joviestacionario” debería quedar colgado sobre un punto de las nubes de Júpiter: calcula el radio de su [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) ; compáralo con el de Ío.
20. Informe al consejo, en dos frases: la altura donde la empresa debe aparcar su repetidor y la masa de Júpiter que esa misma ley ha entregado gratis.

**Solución de Problema 27.1.**

**1.** $T = 86\,164\,\mathrm{s}$: el suelo gira con la Tierra *respecto de las estrellas* una vez por [día sidéreo](#def-g12-satellites-kepler-geo); el día de $24\,\mathrm{h}$ añade el grado diario que la Tierra avanza alrededor del Sol.

**2.** La [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) resultante de un movimiento circular apunta al centro de la circunferencia; la única [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force), la gravedad, apunta al centro de la Tierra: los dos centros son el mismo punto.

**3.** Una circunferencia suspendida sobre París estaría centrada en el eje, al norte del centro — excluido por el apartado 2. La [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) debe estar en el *plano ecuatorial*.

**4.** Componente normal de la [segunda ley de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second): $m v^2/r = GmM/r^2$, luego $v = \sqrt{GM/r}$ ($m$ se cancela).

**5.** $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$; elevando al cuadrado, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$.

**6.** $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = (7.49 \times 10^{22})^{1/3}
\approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$.

**7.** $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx
3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$.

**8.** $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx
3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx
3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — coherente.

**10.** Radios idénticos: la masa se canceló en el apartado 4. El [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) más pesado solo cambia la factura del lanzamiento — más combustible para la misma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**11.** $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx
7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**12.** $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx
92.4\,\mathrm{min}$.

**13.** $86\,400/5546 \approx 15.6$ [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite): unos $16$ amaneceres al día.

**14.** $r_{\text{geo}}/r_{\text{EEI}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6}
= 6.23$; $6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — la tercera ley de Kepler, verificada sobre la marcha.

**15.** La estación va más deprisa ($7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ frente a $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$) y, aun así, el [geoestacionario](#def-g12-satellites-kepler-geo) costó más [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) por [kilogramo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): la subida en [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) potencial pesa más que la pérdida de rapidez.

**16.** $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$.

**17.** $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $M_J = 2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx
1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$.

**18.** $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ Tierras — y alrededor de $1/1000$ del Sol.

**19.** $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) =
4.11 \times 10^{24}$, $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — Ío, a $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, vuela $2.6$ veces más alto y va derivando por el cielo de Júpiter.

**20.** Aparca el repetidor en la circunferencia ecuatorial de $35\,800\,\mathrm{km}$ de altura, donde viaja a $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y no se sale nunca de la puntería de la antena; y esa misma ley, alimentada con el mes de Ío, ha pesado Júpiter en $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — $318$ Tierras — gratis.