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title: "Trabajo y energía mecánica"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 29
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/29-trabajo-y-energia-mecanica
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# Capítulo 29 — Trabajo y energía mecánica

Echa una canica en una ensaladera: se lanza hacia abajo, se pasa del fondo, sube hasta su altura de partida, duda y da media vuelta — y cada inversión puede predecirse a partir de una curva (el perfil del cuenco) y una recta horizontal (la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de la canica), sin resolver ninguna ecuación del movimiento. El curso pasado puso precio a las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre trayectos rectilíneos ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#ch-g11-work-of-force)) y equilibró la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic) con la potencial ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#ch-g11-mechanical-energy)); este año la contabilidad llega a todas partes: caminos curvos, resortes, paisajes de un vistazo.

## 29.1 El trabajo a lo largo de un camino cualquiera

**Definición 29.1 (Trabajo a lo largo de un camino).**

Sea una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F$ que actúa sobre un cuerpo que se mueve por un camino cualquiera de $A$ a $B$: corta el camino en desplazamientos $\vect{\dd\ell}$ tan cortos que cada uno sea recto y $\vect F$ apenas cambie a lo largo de él. Cada paso se gana el pequeño [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) $\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta$ ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#ch-g11-work-of-force)), y el *[trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) a lo largo del camino* es su suma, $W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell}$ — que sobre un camino recto y con [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) constante se reduce al $F \times AB \times \cos\theta$ del curso pasado.

![Un camino curvo es una línea quebrada de muchos pasos cortos: cada se gana F\,; el trabajo es la suma.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-0e501691baea.svg)

*Un camino curvo es una línea quebrada de muchos pasos cortos: cada $\vect{\dd\ell}$ se gana $F\,\dd\ell\cos\theta$; el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) es la suma.*

**Proposición 29.2 (Trabajo del peso, por cualquier camino).**

A lo largo de *cualquier* camino de $A$ (altitud $z_A$) a $B$ (altitud $z_B$), el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de una masa $m$ realiza el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) $W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B)$: entra el desnivel, nunca el recorrido.

**Demostración.** Cada paso corto aporta $mg \times (\text{desnivel pequeño})$ (el cálculo del curso pasado sobre segmentos rectos); los desniveles se telescopan hasta $z_A - z_B$. El caso curvo, admitido entonces, queda entregado. ∎

**Definición 29.3 (Fuerzas conservativas y no conservativas).**

Una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) es *conservativa* si su [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) entre dos puntos es el mismo por cualquier camino (nulo en todo trayecto de ida y vuelta), y *no conservativa* en caso contrario. El [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) y la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de un resorte (sección siguiente) son conservativos. El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de deslizamiento no lo es: opuesto al movimiento, realiza $W = -fL$ sobre un camino de longitud $L$ — un peaje por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) que no se devuelve jamás.

**Ejemplo 29.4 (Dos senderos hasta el refugio).**

Un excursionista de $75\,\mathrm{kg}$ gana $300\,\mathrm{m}$ por un sendero empinado de $800\,\mathrm{m}$ o por $2.4\,\mathrm{km}$ de zigzags. El [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) le cobra $-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ por los dos; una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de $30\,\mathrm{N}$, $-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ por uno y $-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ por el otro. El [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) devuelve lo suyo en la bajada; la factura del [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) se ha ido en calor, en ambos sentidos.

## 29.2 La energía potencial

**Definición 29.5 (Energía potencial).**

A cada [fuerza conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative) se le asocia una *[energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) potencial* $E_p$, un número que depende solo de la posición y que se define mediante $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B)$: el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) entregado es [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) potencial gastada. Fijar $E_p = 0$ en un punto de referencia elegido la fija en todas partes; la elección desplaza todos los valores en una constante que se cancela en cualquier diferencia. Para el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) esto devuelve el $E_p = mgz$ del curso pasado, válido ahora por cualquier camino. El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) no puede tener $E_p$: una factura que depende del recorrido no es una diferencia de números asociados a los extremos — solo las [fuerzas conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative) almacenan de forma recuperable, que es exactamente lo que el nombre conserva.

**Proposición 29.6 (Energía potencial elástica).**

Un resorte de [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$) estirado o comprimido una longitud $x$ tira de vuelta con la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) $F = kx$ ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#ch-g12-oscillators-and-time)); el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) que entrega al volver al reposo — su *[energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) potencial elástica* — vale $E_p = \tfrac12\, k x^2$.

**Demostración.** La [fuerza recuperadora](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) actúa a lo largo del movimiento, así que $\sum F\,\dd\ell$ es el *área bajo la gráfica $F$–$x$*: un triángulo de base $x$ y altura $kx$, de área $\tfrac12 x \times kx$. La [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) en cada elongación es la misma a la ida que a la vuelta: [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) fijado por los extremos, [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) del resorte [conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative) y $E_p$ bien definida. ∎

![La fuerza del resorte crece con la elongación; la energía almacenada es el área bajo la recta: un triángulo, 1/2 × x × kx.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-5463967ae0f5.svg)

*La [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) del resorte crece con la elongación; la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada es el área bajo la recta: un triángulo, $\tfrac12 \times x \times kx$.*

## 29.3 Los dos teoremas de la energía

**Teorema 29.7 (Teorema de la energía cinética).**

Para cualquier movimiento de un cuerpo de masa $m$ de $A$ a $B$ — curvo, con bucles, tridimensional —

$$
\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),
$$

donde la suma recorre todas las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que actúan sobre el cuerpo.

**Demostración.** Como $v^2 = \scal{v}{v}$, la regla del producto de las matemáticas de este curso da la derivada de $v^2$ como $2\,\scal{a}{v}$, luego $\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{tot}}}{v}$ por la [segunda ley de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#ch-g12-newtons-laws)). En un $\dd t$ corto el cuerpo se desplaza $\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t$: $E_k$ gana el pequeño [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) de la [Definición 29.1](#def-g12-work-and-energy-path); sumar los pasos suma los [trabajos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) — el enunciado admitido del curso pasado, ganado por completo. ∎

**Proposición 29.8 (Potencia instantánea).**

En cada instante, una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F$ sobre un cuerpo de velocidad $\vect v$ entrega la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) $P = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta$, y $\dd E_k/\dd t$ es la suma de las [potencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) de todas las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force): la fórmula del curso pasado a velocidad constante, exacta ahora en cada instante de cualquier movimiento.

**Demostración.** Se lee en la demostración anterior: cada [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) aporta a $E_k$ $\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t$ durante $\dd t$. ∎

**Teorema 29.9 (Teorema de la energía mecánica).**

Sea $E_m = E_k + E_p$, donde $E_p$ reúne las [energías](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) potenciales de todas las [fuerzas conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative) en juego. Entonces, a lo largo de cualquier camino,

$$
\Delta E_m = W_{AB}(\text{fuerzas no conservativas}),
$$

y $E_m$ se conserva siempre que las [fuerzas no conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative) no realicen [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work).

**Demostración.** Desglosemos el [teorema de la energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#thm-g11-mechanical-energy-ketheorem): $\Delta E_k = W_{\text{cons}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$; pásese $\Delta E_p$ al otro lado. ∎

**Ejemplo 29.10 (El péndulo, esta vez honradamente).**

Una masa pendular colgada de un hilo de longitud $L = 2.5\,\mathrm{m}$ se suelta en reposo a $45{}^{\circ}$ de la vertical. La tensión, perpendicular al movimiento, no tiene [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power); el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) es conservativo: $E_m$ se conserva *sobre el arco curvo*, cosa que el curso pasado solo podía comprobarse. La masa parte $h = L(1 -
\cos45{}^{\circ}) = 0.73\,\mathrm{m}$ más arriba, así que abajo $v = \sqrt{2gh} \approx 3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Método 29.11 (Auditoría energética de un movimiento cualquiera).**

1. Elige el sistema y enumera las [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que actúan sobre él.
2. Clasifícalas: perpendiculares al movimiento $\to$ no trabajan; [conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative) $\to$ una $E_p$ dentro de $E_m$ ; el resto $\to$ $W_{\text{nc}}$ ( [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de deslizamiento: $-fL$ , con $L$ = longitud del camino).
3. Escribe $\Delta E_m = W_{\text{nc}}$ entre el punto de datos y el punto de la pregunta; resuelve. La [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) responde a “a qué rapidez, a qué altura”; solo el tiempo y la aceleración necesitan las leyes de Newton.

## 29.4 Diagramas de energía

**Definición 29.12 (Diagrama de energía, puntos de retorno).**

Para un movimiento a lo largo de un eje $x$ con $E_m$ conservada, el *diagrama de energía* representa la curva $E_p(x)$ y la recta horizontal $E_m$. Como $E_k = E_m - E_p \geq 0$, el movimiento queda confinado allí donde la curva está por debajo de la recta; la separación entre ambas es $E_k$, leída directamente. En un *punto de retorno*, donde la curva se encuentra con la recta, $v = 0$ y el movimiento se invierte.

![Un diagrama de energía, leído sin resolver nada: con la energía E_m el cuerpo oscila entre x_1 y x_2, y va más rápido donde la separación es mayor; con E_m' repta por encima de la colina y escapa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-590fc70976c7.svg)

*Un [diagrama de energía](#def-g12-work-and-energy-diagram), leído sin resolver nada: con la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) $E_m$ el cuerpo oscila entre $x_1$ y $x_2$, y va más rápido donde la separación es mayor; con $E_m'$ repta por encima de la colina y escapa.*

**Proposición 29.13 (La fuerza a partir del paisaje; equilibrios).**

La [fuerza conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative) a lo largo de $x$ es menos la pendiente de $E_p$: $F = -\,\dd E_p/\dd x$ — apunta *cuesta abajo* en el diagrama y se anula allí donde la tangente es horizontal: un equilibrio. Un mínimo de $E_p$ es *estable* — el cuerpo desplazado es empujado de vuelta, como una bola en un valle; un máximo es *inestable* — lo empuja lejos, como una bola en la cima de una colina.

**Demostración.** En un paso pequeño $\dd x$ la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) realiza el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) $F\,\dd x = E_p(x) - E_p(x + \dd x) = -\dd E_p$; divídase entre $\dd x$. Cuesta abajo, a un lado y a otro de un valle, se apunta hacia dentro; alrededor de una cima, hacia fuera. ∎

**Observación 29.14 (Oscilaciones y escape).**

Las pequeñas oscilaciones del [Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#ch-g12-oscillators-and-time) viven en el fondo de los valles de $E_p$. Y lejos de la Tierra la gravedad se debilita: la curva $E_p(r)$ sube cada vez más despacio hacia un techo finito (el área bajo la gráfica de la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) menguante es finita). Un cohete cuya $E_m$ [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) ese techo no encuentra jamás un [punto de retorno](#def-g12-work-and-energy-diagram): *escapa* — alrededor de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ desde el suelo ([Ejercicio 29.13](#exo-g12-work-and-energy-13)); por debajo de eso queda ligado. El propio techo se calcula en el volumen del primer año de universidad.

**Ejemplo 29.15 (El rizo).**

Una canica soltada desde la altura $H$ se cuela en un rizo vertical de radio $R$. La dinámica circular ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#ch-g12-newtons-laws)) exige $v_{\text{cima}}^2 \geq gR$ arriba — el dato que tomaba prestado el problema de la montaña rusa del curso pasado, ahora nuestro. La conservación desde el reposo en $H$ hasta la cima (altura $2R$) da $v_{\text{cima}}^2 = 2g(H - 2R)$, luego $H \geq \tfrac52 R$: medio radio por encima de la cima del rizo, sea cual sea la masa — y un poco más en el mundo real, donde se roza.

![El rizo: el punto de suelta queda medio radio por encima de la cima, de modo que la E_k sobrante mantiene la canica pegada a la pista (v_ cima2 = gR).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-e87daefe6d77.svg)

*El rizo: el punto de suelta queda medio radio por encima de la cima, de modo que la $E_k$ sobrante mantiene la canica pegada a la pista ($v_{\text{cima}}^2 = gR$).*

## 29.5 Ejercicios

**Ejercicio 29.1 ★.**

Un resorte de [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ se estira $5.0\,\mathrm{cm}$. Calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada; ¿en qué se convierte si la elongación se duplica? ¿Cuánto cuestan los *segundos* $5.0\,\mathrm{cm}$?

**Solución de Ejercicio 29.1.**

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$. Con la elongación duplicada: $\times 4$, es decir, $1.0\,\mathrm{J}$. Los segundos $5.0\,\mathrm{cm}$, por sí solos, cuestan $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — allí la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) es mayor.

**Ejercicio 29.2 ★.**

Un dron de $0.90\,\mathrm{kg}$ vuela siguiendo un recorrido caprichoso desde una terraza a $z = 12\,\mathrm{m}$ hasta un balcón a $z = 30\,\mathrm{m}$. ¿[Trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) de su [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight)? ¿Y por la subida en línea recta? ¿Y en el trayecto de ida y vuelta?

**Solución de Ejercicio 29.2.**

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx
-1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$, sea cual sea el recorrido — lo mismo por la subida recta. Ida y vuelta: $0\,\mathrm{J}$ ([fuerza conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative)).

**Ejercicio 29.3 ★.**

¿[Conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative), [no conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative) o sin [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work)? Justifícalo con los caminos: (a) el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight); (b) la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de un resorte; (c) el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de deslizamiento; (d) la [reacción normal](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#def-g12-newtons-laws-friction) sobre una caja que desliza; (e) el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire.

**Solución de Ejercicio 29.3.**

(a) y (b), [conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative): el [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) queda fijado por los extremos (desnivel; elongación). (c) y (e), [no conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative): $-fL$ y el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire cobran por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) recorrido. (d) no trabaja: es siempre perpendicular al movimiento.

**Ejercicio 29.4 ★.**

Un péndulo de $2.0\,\mathrm{m}$ de longitud se suelta en reposo a $60{}^{\circ}$ de la vertical. Halla su rapidez en el punto más bajo. ¿Por qué la tensión del hilo no entra nunca en el balance?

**Solución de Ejercicio 29.4.**

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$; $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La tensión es perpendicular al movimiento en todo instante: [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) nula, [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) nulo.

**Ejercicio 29.5 ★.**

Una ciclista rueda a $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en llano entregando $250\,\mathrm{W}$: ¿contra qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) [resistente](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-sign) total pelea? Subiendo a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con la misma [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power): ¿qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) vence?

**Solución de Ejercicio 29.5.**

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$. A $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (sobre todo la componente de la gravedad a lo largo de la pendiente).

**Ejercicio 29.6 ★★.**

El resorte de un lanzador de juguete ($k = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$) se comprime $8.0\,\mathrm{cm}$ detrás de un dardo de $20\,\mathrm{g}$. Halla la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada, la rapidez de lanzamiento y la altura alcanzada si se dispara verticalmente (sin aire).

**Solución de Ejercicio 29.6.**

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$; $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 29.7 ★★.**

Estirando una goma elástica, un estudiante mide $F = 0$, $3.0$, $7.0$, $12.0$, $18.0\,\mathrm{N}$ en $x = 0$, $2.0$, $4.0$, $6.0$, $8.0\,\mathrm{cm}$. Estima la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada por áreas de trapecios; compárala con $\tfrac12 kx^2$, tomando $k = F/x$ en el extremo. ¿Por qué difieren?

**Solución de Ejercicio 29.7.**

Trapecios (pasos de $2.0\,\mathrm{cm}$): $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) = 0.62\,\mathrm{J}$. Modelo de recta: $k = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$. La curva medida se hunde por debajo de la recta para $x$ pequeña, así que el área verdadera es menor.

**Ejercicio 29.8 ★★.**

Un trineísta de $55\,\mathrm{kg}$ parte del reposo, baja $8.0\,\mathrm{m}$ a lo largo de una pista curva de $25\,\mathrm{m}$ y llega a $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ¿[Energía mecánica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-em) perdida? ¿[Fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) media de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory)? ¿Por qué es irrelevante la forma exacta de la pista?

**Solución de Ejercicio 29.8.**

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times
8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$; $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$. El [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) es conservativo y la [reacción normal](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#def-g12-newtons-laws-friction) no trabaja: solo entran el desnivel y la *longitud* del camino, no su forma.

**Ejercicio 29.9 ★★.**

Una pista de canicas tiene un rizo de $20\,\mathrm{cm}$ de radio. Halla la altura mínima de suelta (desde el reposo, sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory)). Soltada desde $60\,\mathrm{cm}$: ¿rapidez en la cima del rizo y cociente $v_{\text{cima}}^2/(gR)$? ¿Por qué una pista real debe lanzarse desde aún más arriba?

**Solución de Ejercicio 29.9.**

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$. Desde $60\,\mathrm{cm}$: $v_{\text{cima}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx
2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y $v_{\text{cima}}^2/(gR) = 2.0$ — el doble del mínimo. El [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) va rascando [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) todo el camino, así que las pistas reales necesitan altura de más.

**Ejercicio 29.10 ★★.**

Una cuenta de $100\,\mathrm{g}$ desliza sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) por un eje, con $E_p(x) = 8.0\,x^2$ (en [julios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work), con $x$ en [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) y $E_m = 2.0\,\mathrm{J}$. ¿[Puntos de retorno](#def-g12-work-and-energy-diagram)? ¿Rapidez máxima? ¿Qué tipo de movimiento es este?

**Solución de Ejercicio 29.10.**

[Puntos de retorno](#def-g12-work-and-energy-diagram): $8.0\,x^2 = 2.0$, $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$. Rapidez máxima en $x = 0$: $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx
6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Una oscilación de ida y vuelta en un pozo parabólico — la $E_p$ del [oscilador masa–resorte](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period) tiene exactamente esta forma.

**Ejercicio 29.11 ★★.**

Un coche de $1200\,\mathrm{kg}$ a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ es detenido por el resorte de un parachoques de [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. Halla la compresión máxima. A $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ¿por qué no es cuatro veces mayor, si la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) se cuadruplica?

**Solución de Ejercicio 29.11.**

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$: $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$. A $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $18\,\mathrm{cm}$ — el doble, no el cuádruple: la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) se cuadruplica, pero $E_p$ crece como $x^2$, así que $x$ solo se duplica.

**Ejercicio 29.12 ★★★.**

Un carrito de $0.50\,\mathrm{kg}$ rueda por una pista cuya $E_p(x)$ tiene una cima de $6.0\,\mathrm{J}$ ($x = 0$) y un valle de $2.0\,\mathrm{J}$ ($x = 1.5\,\mathrm{m}$). (a) Si llega por la izquierda con $E_m = 5.0\,\mathrm{J}$: ¿pasa? ¿Qué hace en su lugar? (b) Con $E_m = 7.0\,\mathrm{J}$: ¿rapideces en la cima y en el valle? (c) ¿Equilibrios?

**Solución de Ejercicio 29.12.**

(a) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$: no puede pasar; se para en la ladera donde $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ y vuelve rodando. (b) En la cima: $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$, $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; en el valle: $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$, $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $x = 0$: inestable (máximo); $x = 1.5\,\mathrm{m}$: estable (mínimo).

**Ejercicio 29.13 ★★★.**

Admitiendo que subir una masa $m$ desde el suelo hasta una distancia arbitrariamente grande cuesta $mgR_E$, con $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (el área finita bajo la gráfica de la gravedad menguante), calcula la *[velocidad de escape](#rem-g12-work-and-energy-escape)* de la Tierra. ¿Por qué es la misma para una sonda que para un guijarro? ¿Y un lanzamiento justo por debajo de ella?

**Solución de Ejercicio 29.13.**

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$: $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Todos los términos son proporcionales a $m$: da igual sonda que guijarro. Justo por debajo, el lanzamiento sube aún muchísimo, encuentra un [punto de retorno](#def-g12-work-and-energy-diagram) y vuelve a caer: queda ligado.

**Ejercicio 29.14 ★★★.**

Un móvil de $250\,\mathrm{g}$ oscila sobre un resorte ($k = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$) con [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $6.0\,\mathrm{cm}$ ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#ch-g12-oscillators-and-time)). ¿[Energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) total? ¿Rapidez máxima? ¿Posiciones donde $E_k = E_p$?

**Solución de Ejercicio 29.14.**

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 =
7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx
0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E_k = E_p$ donde $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$: $x = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 29.15 ★★★.**

Un saltador de pértiga esprinta a $9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Estima la altura que gana su [centro de masas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-com) si la pértiga convierte toda su [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic), y el listón superado (con el [centro de masas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/16-fuerzas-y-movimiento#def-g11-forces-and-motion-com) partiendo de $1.0\,\mathrm{m}$). El récord anda por $6.3\,\mathrm{m}$: ¿qué capta la estimación y qué deja fuera?

**Solución de Ejercicio 29.15.**

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$; listón $\approx 4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$. El récord es mayor: los saltadores añaden [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) con brazos y piernas sobre la pértiga flexionada. Pero la estimación energética fija la escala — ningún salto de velocista llegará a $10\,\mathrm{m}$.

## 29.6 Problema: El trampolín de saltos de esquí

**Problema 29.1.**

Problema de fin de semana — el trampolín de esquí: una rampa auditada con un radar de velocidad, un vuelo en caída libre, la suave geometría de una recepción empinada y la torre que un proyectista tiene que comprar cuando el rozamiento pasa factura

Un saltador de esquí olímpico ($m = 70\,\mathrm{kg}$, esquís incluidos) parte del reposo desde una puerta situada $H = 45\,\mathrm{m}$ por encima de la mesa de despegue, desliza $L = 90\,\mathrm{m}$ de rampa curva y deja la mesa horizontalmente; allí un [radar](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#met-g10-signals-and-waves-echo) de velocidad marca $v_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. El punto de recepción queda $h = 40\,\mathrm{m}$ más abajo, sobre una pendiente de $35{}^{\circ}$. Las partes II y III desprecian la resistencia del aire.

**Parte I — La rampa.**

1. Predice la rapidez de despegue sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) ; ¿por qué es irrelevante la curva de la rampa?
2. Con la referencia en la mesa, calcula $E_m$ en la puerta y en el despegue.
3. Calcula $\Delta E_m$ ; ¿qué teorema nombra a los culpables, y quiénes son?
4. Deduce la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) [resistente](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-sign) media (nieve más aire) a lo largo de la rampa.
5. ¿Qué fracción de $E_m$ se pierde? ¿Por qué encerar los esquís y agacharse?

**Parte II — El vuelo.**

6. En el vuelo solo actúa el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) : ¿de qué movimiento del [Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#ch-g12-projectile-motion) se trata? ¿Componentes de la velocidad en la recepción?
7. La rapidez de recepción, dos veces: a partir de las componentes y a partir de la conservación de $E_m$ . ¿En $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
8. Calcula el [tiempo de vuelo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) y la distancia horizontal recorrida.
9. Los saltadores reales cabalgan el aire como un ala y vuelan mucho más lejos: ¿puede el aire *aumentar* la rapidez de recepción? Argumenta con el [teorema de la energía mecánica](#thm-g12-work-and-energy-emtheorem) .

**Parte III — La recepción.**

10. Calcula el ángulo de la velocidad de recepción por debajo de la horizontal.
11. Descomponla en las componentes paralela y perpendicular a la pendiente.
12. Las piernas solo absorben la parte perpendicular: calcula esa [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic) ; compárala con la total.
13. Un suelo horizontal lo absorbería todo: ¿a qué caída vertical equivale cada recepción ( $h_{\text{eq}} = v_\perp^2/2g$ , resp. $v^2/2g$ )?
14. En una frase: ¿por qué las pistas de recepción son empinadas y curvas?

**Parte IV — La torre del proyectista.** Un trampolín más pequeño necesita despegar solo a $v_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; su rampa recta desciende a $35{}^{\circ}$, así que una altura de puerta $H'$ significa una longitud de pista $H'/\sin35{}^{\circ}$; el mismo [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de $80\,\mathrm{N}$.

15. Calcula la altura de puerta que construiría un proyectista sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) .
16. Escribe el [teorema de la energía mecánica](#thm-g12-work-and-energy-emtheorem) , de la puerta a la mesa, para $H'$ .
17. Despeja $H'$ .
18. ¿En qué porcentaje elevó el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) la torre?
19. La masa ya no se cancela: recalcula $H'$ para un saltador de $60\,\mathrm{kg}$ . ¿Quién necesita la torre más alta, y por qué?
20. El remate: la torre anunciada y la parte de ella que se lleva el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) .

**Solución de Problema 29.1.**

**1.** $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx
29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) conservativo, [reacción normal](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#def-g12-newtons-laws-friction) sin [trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) — el perfil desaparece.

**2.** Puerta: $E_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx
3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$. Despegue: $E_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2
\approx 2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$.

**3.** $\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$; el [teorema de la energía mecánica](#thm-g12-work-and-energy-emtheorem) se lo carga a las [fuerzas no conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative): el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) de la nieve y el del aire.

**4.** $f = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}$.

**5.** $7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\,\%$. La cera reduce $f$ y agacharse reduce el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) del aire: ambas cosas encogen $fL$, el único término negociable.

**6.** [Caída libre](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-freefall) con velocidad inicial horizontal — un tiro parabólico. $v_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**7.** $v = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx
38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; por [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy), $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} =
\sqrt{676 + 785}$ — idéntico. Unos $138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**8.** $t = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}$; $d = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}$.

**9.** No. La sustentación es perpendicular a la velocidad (no trabaja) y el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) se le opone ([trabajo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) negativo): $\Delta E_m \leq 0$, así que la rapidez real de recepción solo puede ser *menor* — el aire alarga el vuelo, no lo alimenta.

**10.** $\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ}$ por debajo de la horizontal.

**11.** Ángulo con la pendiente: $47 - 35 = 12{}^{\circ}$. $v_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**12.** Absorbida: $\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx
2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$, frente a $\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx
5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ en total: alrededor del $4\,\%$.

**13.** $h_{\text{eq}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m}$ — un salto atrevido desde un muro. En llano: $38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m}$ — no se sobrevive.

**14.** Una pendiente paralela a la [trayectoria](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) de vuelo mantiene $v_\perp$ pequeña, así que las piernas absorben unos [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y no la montaña entera de [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic).

**15.** $H'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}$.

**16.** $mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} =
\tfrac12 m v_0'^2$.

**17.** $H' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576}
{686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}$.

**18.** $36.8/29.4 \approx 1.25$: un recargo del $25\,\%$.

**19.** Para $60\,\mathrm{kg}$: $H' = 17\,280/(588.6 - 139.5) \approx 38.5\,\mathrm{m}$. Es la saltadora *más ligera* la que necesita la torre más alta: la factura de [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) $fL$ es la misma, pero su presupuesto energético $mgH'$ es menor.

**20.** Anuncia una torre de $37\,\mathrm{m}$ para $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de despegue — y confiesa que una cuarta parte de ella, unos $7\,\mathrm{m}$ de hormigón, es el recargo que el [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) le cobra al sueño sin [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory).