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title: "Circuitos RC y RL"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 30
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl
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# Capítulo 30 — Circuitos RC y RL

Pulsa el disparador de una cámara hasta la mitad: un zumbido agudo sube durante dos segundos, una luz se pone verde — y solo entonces disparará el flash, soltando en un milisegundo lo que ha tardado dos segundos en reunir. Este capítulo presenta los dos componentes que le dan a un circuito memoria y reloj — el [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) y la [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — y las primeras ecuaciones diferenciales de la física, comprobables con las derivadas de este curso.

## 30.1 El condensador

**Definición 30.1 (Condensador y capacidad).**

Un *condensador* es un par de placas metálicas enfrentadas separadas por un aislante delgado. Conectadas a un generador, las placas adquieren cargas opuestas $+q$ y $-q$ — un [campo eléctrico](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) llena el hueco ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#ch-g11-electric-gravitational-fields)) — y la tensión $u$ entre las placas es proporcional a la carga almacenada:

$$
q = C\,u .
$$

La constante $C$ es la *capacidad*, en *faradios* ($\mathrm{F}$): $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$.

**Ejemplo 30.2 (Órdenes de magnitud).**

Un [faradio](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) es enorme — un [culombio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-charge) aparcado por [voltio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage). Los cerámicos de los circuitos de radio: de $\mathrm{pF}$ a $\mathrm{nF}$; los electrolíticos de las fuentes de alimentación y de los flashes: de $\text{µ}\mathrm{F}$ a $\mathrm{mF}$; los supercondensadores: miles de [faradios](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor).

**Proposición 30.3 (Corriente hacia un condensador).**

La corriente que llega a la placa de un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) es la rapidez con la que crece su carga:

$$
i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,
$$

donde las minúsculas señalan magnitudes variables en el tiempo ($U$, $I$ se reservan para las constantes, [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#ch-g11-circuits-and-power)).

**Demostración.** La corriente es la carga entregada por segundo ([Definición 12.1](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-current)): sobre un intervalo cada vez más pequeño, $i$ es la derivada de $q$; y $q = Cu$ con $C$ constante da $C\,du/dt$. ∎

**Observación 30.4 (Dos consecuencias).**

Si $u$ es constante, $i = 0$: un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) cargado no deja pasar ninguna corriente continua. Y $u$ no puede dar nunca un salto — un escalón exigiría una corriente infinita: la tensión del [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) es la memoria del circuito.

## 30.2 Cargar un condensador: el circuito RC

Una sola malla — generador $\mathcal{E}$ ([Definición 12.18](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-emf)), interruptor, resistor y [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) descargado: se cierra $K$ en $t = 0$.

![El circuito RC de carga: al cerrar K, el generador empuja carga a través de R hasta las placas de C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-2f8ee4d9b2da.svg)

*El [circuito RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) de carga: al cerrar $K$, el generador empuja carga a través de $R$ hasta las placas de $C$.*

**Teorema 30.5 (Ley de carga del circuito RC).**

Tras cerrarse el interruptor, la tensión del [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) obedece la ecuación siguiente y, a partir de $u(0) = 0$, resulta:

$$
RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E},
\qquad
u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\qquad \tau = RC .
$$

**Demostración.** Las tensiones a lo largo de la malla se suman ([Proposición 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ en todo instante; sustitúyase $i = C\,du/dt$ ([Proposición 30.3](#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)). Ahora *verifiquemos* la candidata: $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, luego $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) = \mathcal{E}$, cierto para toda $t$; y $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$. Que ninguna *otra* curva encaja a la vez con la ecuación y con el arranque se demuestra en el curso de matemáticas de este año, al tratar las ecuaciones diferenciales. ∎

**Definición 30.6 (Constante de tiempo).**

La *constante de tiempo* de un [circuito RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) es $\tau = RC$. [Unidades](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $\Omega \times \mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) =
\mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — el tempo propio del circuito.

**Método 30.7 (Leer τ\tauτ en la curva).**

Tres lecturas equivalentes, directamente sobre la gráfica:

1. *tangente en el origen* : $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , así que la tangente inicial corta la asíntota en $t = \tau$ ;
2. *63 %* : $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\mathcal{E}$ ;
3. *95 %* : $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — cargado, a efectos prácticos ( $5\tau$ : $99\,\%$ ).

**Proposición 30.8 (Descarga).**

Un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) cargado a $U_0$ y cerrado únicamente sobre un resistor $R$ obedece $RC\,du/dt + u = 0$ y sigue

$$
u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC
$$

— queda el $37\,\%$ en $\tau$ y el $5\,\%$ en $3\tau$.

**Demostración.** La misma ley de mallas, sin generador; y de nuevo por sustitución: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$, con $u(0) = U_0$. ∎

![Carga (azul, desde u = 0 hacia E) y descarga (rojo, desde U_0 = E). Las dos tangentes iniciales cortan su asíntota en t =; el 63\,\% está hecho en y el 95\,\% en 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-de2eed6e47d0.svg)

*Carga (azul, desde $u = 0$ hacia $\mathcal{E}$) y descarga (rojo, desde $U_0 = \mathcal{E}$). Las dos tangentes iniciales cortan su asíntota en $t = \tau$; el $63\,\%$ está hecho en $\tau$ y el $95\,\%$ en $3\tau$.*

**Ejemplo 30.9 (Los números de un flash).**

Un flash fotográfico carga $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ a través de $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$: $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$, así que la luz de “listo” — cableada para saltar al $95\,\%$ — espera $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$: el zumbido del enganche. Al dispararse a través de los meros $0.50\,\Omega$ del tubo de descarga, el *mismo* [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) se vacía con $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$: dos mil veces más rápido para salir que para entrar.

## 30.3 La bobina: autoinducción y circuito RL

**Definición 30.10 (Bobina y autoinducción).**

Una *bobina* es un arrollamiento de hilo: su corriente enhebra sus propias espiras con un [campo magnético](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/15-el-magnetismo-y-el-campo-magnetico#def-g11-magnetic-fields-bfield) ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/15-el-magnetismo-y-el-campo-magnetico#ch-g11-magnetic-fields)); y cada vez que este *cambia*, aparece una tensión entre los bornes de la bobina:

$$
u = L\,\frac{di}{dt} .
$$

La constante $L$ es la *autoinducción*, en *henrios* ($\mathrm{H}$): $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 30.11 (La bobina se resiste al cambio).**

Por qué una corriente variable genera una tensión — la inducción — se deduce en los volúmenes universitarios; aquí tomamos la ley y su carácter: la [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) *se opone a los cambios* de su corriente. Gemelas en espejo: la $u$ de un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) no puede saltar; la $i$ de una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), tampoco.

![El circuito RL: tras cerrarse K, la bobina deja subir la corriente solo a su propio ritmo = L/R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-9934f9796a6b.svg)

*El [circuito RL](#prop-g12-rc-rl-circuits-rl): tras cerrarse $K$, la [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) deja subir la corriente solo a su propio ritmo $\tau = L/R$.*

**Proposición 30.12 (Subida de la corriente en un circuito RL).**

Al cerrar el interruptor sobre un generador $\mathcal{E}$, un resistor $R$ y una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ en serie, resulta $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$, es decir,

$$
\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R},
\qquad\text{resuelta por}\quad
i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\quad \tau = \frac{L}{R} .
$$

**Demostración.** De nuevo la ley de mallas; y es la *misma ecuación* que en el [Teorema 30.5](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) con $u \to i$, $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$ y $RC \to L/R$ — la misma sustitución verifica la solución, y todas las lecturas del [Método 30.7](#met-g12-rc-rl-circuits-reading) se trasladan sin cambios. ∎

**Ejemplo 30.13 (Un electroimán se despierta).**

La [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de un relé, $L = 0.30\,\mathrm{H}$ y $R = 6.0\,\Omega$, sobre una alimentación de $12\,\mathrm{V}$: corriente final $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$, al ritmo $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — despierto en $3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s}$.

**Observación 30.14 (La chispa al abrir).**

Abre un interruptor sobre una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) en servicio y la $i$ tiene que desplomarse a cero en una fracción de milisegundo: $di/dt$ es enorme y $u = L\,di/dt$ alcanza cientos o miles de [voltios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage) — una chispa salta el contacto. La [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de encendido de un coche lo hace a propósito, miles de veces por minuto.

## 30.4 Energía almacenada

**Proposición 30.15 (Energía en un condensador, energía en una bobina).**

Un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ cargado a la tensión $u$ y una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ recorrida por una corriente $i$ almacenan

$$
E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C},
\qquad
E_L = \tfrac12\,L i^2 .
$$

**Demostración.** Depositar una carga pequeña $dq$ sobre unas placas que ya están a la tensión $u$ cuesta $u\,dq$ ([Definición 12.3](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage)); apilando los costes, el total es el área bajo la recta $u = q/C$ — el triángulo de abajo —, luego $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$. El mismo triángulo para la [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) (subir $i$ en $di$ cuesta $Li\,di$) da $E_L = \tfrac12 Li^2$. ∎

![Cada rebanada dq cuesta u\,dq; la carga entera cuesta el área del triángulo, E_C = 1/2 q_0 u_0 — los primeros culombios embarcan a tensión baja.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-fe806a23267a.svg)

*Cada rebanada $dq$ cuesta $u\,dq$; la carga entera cuesta el área del triángulo, $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — los primeros [culombios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-charge) embarcan a tensión baja.*

**Ejemplo 30.16 (Órdenes de magnitud de la energía).**

El [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) del flash del [Ejemplo 30.9](#ex-g12-rc-rl-circuits-flashrc): $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$. Un supercondensador de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$: $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — lo que da una pila AA. Una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de $10\,\mathrm{mH}$ a $10\,\mathrm{A}$: $0.50\,\mathrm{J}$. Menos de lo que guardan las pilas — pero liberable en un milisegundo.

**Observación 30.17 (Para qué sirven los dos guardianes del tiempo).**

Entrar despacio y salir deprisa es lo que mueve el flash de la cámara y el desfibrilador. El retardo $\tau = RC$ hace funcionar los [circuitos temporizadores](#rem-g12-rc-rl-circuits-applications): limpiaparabrisas intermitentes, balizas que parpadean, luces de escalera. Un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) colocado en paralelo con una alimentación *alisa* la tensión ($u$ no puede saltar); una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) en serie alisa la corriente ($i$ no puede saltar). Y [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) más [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) juntos forman un [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ([Capítulo 31](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/31-oscilaciones-electricas-libres-rlc#ch-g12-rlc-oscillations)).

## 30.5 Ejercicios

**Ejercicio 30.1 ★.**

Un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ se carga a $12\,\mathrm{V}$: ¿qué carga alberga? ¿Qué tensión pondría $2.0\,\mathrm{mC}$ en $100\,\text{µ}\mathrm{F}$?

**Solución de Ejercicio 30.1.**

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 30.2 ★.**

Reparte $47\,\mathrm{pF}$, $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ y $10\,\mathrm{F}$ entre un alisador de fuente de alimentación, un sintonizador de radio y un supercondensador; calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) del último a $2.7\,\mathrm{V}$.

**Solución de Ejercicio 30.2.**

$47\,\mathrm{pF}$: sintonizador de radio; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$: alisador; $10\,\mathrm{F}$: supercondensador. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$.

**Ejercicio 30.3 ★.**

La tensión entre los bornes de un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ sube de forma uniforme de $0$ a $5.0\,\mathrm{V}$ en $10\,\mathrm{ms}$: ¿qué corriente entra? ¿Y qué corriente una vez que la tensión se queda quieta, y por qué?

**Solución de Ejercicio 30.3.**

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 =
0.11\,\mathrm{A}$. Después, $i = C\,du/dt = 0$: un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) cargado es un circuito abierto — no deja pasar corriente continua.

**Ejercicio 30.4 ★.**

Calcula $\tau$ para $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ y $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$, y después para $L = 0.10\,\mathrm{H}$ y $R = 50\,\Omega$. Comprueba, [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) a [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), que ambas combinaciones son segundos.

**Solución de Ejercicio 30.4.**

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$. $\Omega\,\mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} =
\mathrm{s}$; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$.

**Ejercicio 30.5 ★.**

Un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) se carga hacia $6.0\,\mathrm{V}$ y pasa por $3.8\,\mathrm{V}$ en $t = 2.0\,\mathrm{s}$. Deduce la [constante de tiempo](#def-g12-rc-rl-circuits-tau); ¿cuándo está la carga hecha al $95\,\%$?

**Solución de Ejercicio 30.5.**

$3.8/6.0 = 0.63$, luego $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$; el $95\,\%$ en $3\tau = 6.0\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 30.6 ★★.**

Un [circuito RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging): $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$, $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$. Calcula $\tau$, $u(\tau)$, $u(3\tau)$ y la corriente en el instante en que se cierra el interruptor.

**Solución de Ejercicio 30.6.**

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ ([condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) descargado: todo $\mathcal{E}$ cae en $R$).

**Ejercicio 30.7 ★★.**

Verifica por sustitución que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ satisface $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$; ¿qué codifican físicamente su valor en $t = 0$ y su límite para $t$ grande?

**Solución de Ejercicio 30.7.**

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$, luego $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) =
\mathcal{E}$. $u(0) = 0$: el [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) arranca descargado; $u \to \mathcal{E}$: plenamente cargado, la corriente se ha detenido.

**Ejercicio 30.8 ★★.**

Un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ cargado a $12\,\mathrm{V}$ se descarga a través de $47\,\mathrm{k}\Omega$: calcula $\tau$, $u(\tau)$ y el tiempo que tarda $u$ en bajar de $0.60\,\mathrm{V}$.

**Solución de Ejercicio 30.8.**

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$; $0.60\,\mathrm{V}$ es el $5\,\%$, que se alcanza en $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 30.9 ★★.**

La corriente en una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de $0.50\,\mathrm{H}$ sube de forma uniforme de $0$ a $2.0\,\mathrm{A}$ en $40\,\mathrm{ms}$: ¿qué tensión aparece entre sus bornes? Con $u = L\,di/dt$, ¿por qué salta la chispa al *abrir* un interruptor sobre una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) y no al cerrarlo?

**Solución de Ejercicio 30.9.**

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$. Al cerrar, $i$ sube al ritmo propio del circuito y $di/dt$ es modesta; al abrir, se *obliga* a $i$ a anularse casi instantáneamente, $di/dt$ es enorme y $u$ alcanza valores capaces de hacer saltar la chispa.

**Ejercicio 30.10 ★★.**

El relé del [Ejemplo 30.13](#ex-g12-rc-rl-circuits-rl): verifica por sustitución que $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ satisface $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ y calcula después $i(\tau)$ e $i(3\tau)$.

**Solución de Ejercicio 30.10.**

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$, luego $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) =
\mathcal{E}$. $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$.

**Ejercicio 30.11 ★★.**

Demuestra que $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ y deduce que la tangente en el origen corta la asíntota en $t = \tau$. Sobre una curva registrada que da $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$, con $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$: halla $C$.

**Solución de Ejercicio 30.11.**

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, luego $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$: la tangente $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ alcanza $\mathcal{E}$ en $t = \tau$. $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**Ejercicio 30.12 ★★★.**

Ordena por [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada, calculando cada una: un supercondensador de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$; un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de flash, $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $300\,\mathrm{V}$; una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de $10\,\mathrm{mH}$ a $10\,\mathrm{A}$; una pila AA ($E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$). ¿Qué ofrecen los tres primeros que la pila no puede dar?

**Solución de Ejercicio 30.12.**

Supercondensador, $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$; flash, $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$; [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$. Pila ($1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) $>$ supercondensador $\gg$ flash $\gg$ [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — pero los tres pueden soltar su [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) en milisegundos: [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power), no [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy).

**Ejercicio 30.13 ★★★.**

Un temporizador de escalera mantiene la luz encendida mientras $u < 0.63\,\mathcal{E}$ entre los bornes de su [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) en carga, y se apaga en $t = \tau$. Diseña la luz para que dure $5.0\,\mathrm{s}$ usando $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$: ¿qué $R$? Para un umbral $0.50\,\mathcal{E}$, demuestra que el retardo vale $\tau \ln 2$ y calcúlalo.

**Solución de Ejercicio 30.13.**

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$, luego $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$. De $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ sale $e^{-t/\tau} = 0.50$, es decir, $t = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 30.14 ★★★.**

Un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ alisa una alimentación: entre dos recargas, él solo alimenta una carga que consume $0.50\,\mathrm{A}$ durante $10\,\mathrm{ms}$. A partir de $i = C\,du/dt$, calcula la caída de tensión y después la [capacidad](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que la mantiene por debajo de $0.50\,\mathrm{V}$.

**Solución de Ejercicio 30.14.**

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx
2.3\,\mathrm{V}$. Hace falta $C \geq i\,\Delta t/\Delta u = 5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$.

**Ejercicio 30.15 ★★★.**

Una [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de encendido, $L = 0.80\,\mathrm{H}$, lleva $2.0\,\mathrm{A}$ cuando el ruptor la corta en aproximadamente $1.0\,\mathrm{ms}$. Estima la tensión de la [bobina](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) durante el corte y la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de la chispa; ¿por qué una interrupción lenta no da chispa?

**Solución de Ejercicio 30.15.**

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} =
1.6\,\mathrm{kV}$; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 = 1.6\,\mathrm{J}$. Si se corta despacio, $di/dt$ se mantiene pequeña, $u$ se queda en unos pocos [voltios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage): no hay chispa.

## 30.6 Problema: El flash de la cámara

**Problema 30.1.**

Problema de fin de semana — el flash de la cámara: dos segundos de zumbido, un milisegundo de gloria y el primo de pared que reinicia corazones — una sola exponencial los gobierna a todos

Un flash compacto almacena [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) en un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$, cargado a través de $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ desde un [convertidor](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-transfer) modelizado como un generador ideal $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$; la luz de “listo” salta al $95\,\%$ de la tensión final. Al dispararse, el [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) solo ve el tubo de descarga, $R_f = 0.50\,\Omega$. Datos: una pila AA entrega $1.5\,\mathrm{V}$ y $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$.

**Parte I — El depósito.**

1. Calcula la carga del [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) a $300\,\mathrm{V}$ .
2. ¿A cuántas [cargas elementales](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary) equivale?
3. Calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada $E_C$ .
4. La pila AA alberga $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ y, por tanto, unos $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . ¿Cuántas veces la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) del [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) es eso?
5. Entonces, ¿para qué molestarse con el [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ? Una frase, usando la palabra “ [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) ”.

**Parte II — La espera del verde.**

6. Escribe la ley de mallas y conviértela en la ecuación diferencial de $u(t)$ .
7. Verifica por sustitución que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ la resuelve partiendo de $u(0) = 0$ .
8. Calcula la [constante de tiempo](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau$ .
9. ¿Al cabo de cuánto tiempo se pone verde la luz de listo, y a qué tensión? Reconoce el zumbido de dos segundos.
10. Calcula la corriente inicial de carga; ¿por qué se apaga después?

**Parte III — El milisegundo de gloria.**

11. Escribe la ley de descarga $u(t)$ a través del tubo y calcula la nueva [constante de tiempo](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau'$ .
12. Calcula la corriente máxima por el tubo.
13. Calcula la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) máxima; compárala con la de un hervidor de $2.2\,\mathrm{kW}$ .
14. Tomando el destello por terminado en $3\tau'$ , da su duración y su [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) media.
15. Forma el cociente entre el tiempo de carga y el tiempo de destello: el mismo [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , la misma carga — ¿qué ha cambiado, y en qué convierte eso a un [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) : en un depósito de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) o en una palanca de [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) ?

**Parte IV — El primo de la pared.** Un desfibrilador debe entregar $E_C = 200\,\mathrm{J}$ a $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$; el tórax y las palas presentan unos $50\,\Omega$.

16. Calcula la [capacidad](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) necesaria.
17. Calcula la carga almacenada.
18. Calcula la [constante de tiempo](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) del choque y su duración ( $3\tau$ ); compárala con la del flash.
19. Calcula la corriente máxima y la [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) máxima en el paciente.
20. El circuito de recarga debe dejar el aparato listo (al $95\,\%$ ) en $6.0\,\mathrm{s}$ : halla la [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) de carga necesaria y la corriente inicial de carga — las cifras que encargaría un proyectista.

**Solución de Problema 30.1.**

**1.** $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$.

**2.** $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$.

**3.** $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 =
36\,\mathrm{J}$.

**4.** $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ veces.

**5.** La pila almacena de sobra pero entrega despacio; el [condensador](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) convierte una [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) modesta en una *[potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power)* enorme.

**6.** $\mathcal{E} = Ri + u$ con $i = C\,du/dt$: $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$.

**7.** $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$: $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ para toda $t$, y $u(0) = 0$.

**8.** $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$.

**9.** En $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$, $u = 0.95 \times 300 =
285\,\mathrm{V}$ — el zumbido de dos segundos.

**10.** $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$; a medida que $u$ sube, el resto $\mathcal{E} - u$ que cae en $R$ se encoge, así que $i = (\mathcal{E}-u)/R$ se apaga.

**11.** $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ con $\tau' = R_f C = 0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$.

**12.** $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$.

**13.** $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — unos $80$ hervidores a la vez.

**14.** Duración $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$; [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) media $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$.

**15.** $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$. Lo único que ha cambiado es la [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) ($1.0\,\mathrm{k}\Omega$ a la entrada, $0.50\,\Omega$ a la salida): una palanca de [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power).

**16.** $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} =
180\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**17.** $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx
0.27\,\mathrm{C}$.

**18.** $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$, duración $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — unas veinte veces la del flash.

**19.** $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$.

**20.** De $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ sale $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$, luego $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ e $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — listo en seis segundos, con una décima de [amperio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-current).