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title: "Oscilaciones eléctricas libres: RLC"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 31
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/31-oscilaciones-electricas-libres-rlc
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# Capítulo 31 — Oscilaciones eléctricas libres: RLC

Gira el pesado dial de una radio de desván y las emisoras desfilan ante la aguja: una voz, unos violines, ruido, otra voz. Detrás del panel no hay ningún motor ni ningún ordenador — una [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), un [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) cuyas placas intercaladas hace girar el dial y un buen trozo de hilo de antena. Este capítulo conecta cara a cara los dos [depósitos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-transfer) de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) del capítulo anterior ([Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#ch-g12-rc-rl-circuits)) y encuentra el péndulo más rápido jamás construido: carga que va y viene, hasta millones de veces por segundo, al tempo que elige el dial.

## 31.1 Un péndulo eléctrico: el circuito LC

Carga un [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ a una tensión $U_0$ — sus placas albergan entonces $\pm Q_0$ con $Q_0 = C U_0$ — y en $t = 0$ conéctalo a una [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) *ideal* $L$, de [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) nula. No hay ningún generador en la malla: pase lo que pase a partir de ahora, el circuito lo hace por su cuenta.

![El circuito LC: un condensador cargado a Q_0, un interruptor y una bobina ideal. Al cerrar K, la carga se derrama a través de la bobina — y la bobina, que detesta los cambios, no la dejará detenerse.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-ef767bffd34d.svg)

*El [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation): un [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) cargado a $Q_0$, un interruptor y una [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) ideal. Al cerrar $K$, la carga se derrama a través de la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — y la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), que detesta los cambios, no la dejará detenerse.*

**Proposición 31.1 (La ecuación del circuito LC).**

En la malla LC ideal, la carga $q(t)$ de la placa superior obedece

$$
L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0,
\qquad\text{es decir,}\qquad
\frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .
$$

**Demostración.** A lo largo de la malla las tensiones suman cero ([Proposición 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $u_L + u_C = 0$. El [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) da $u_C = q/C$ y la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), $u_L = L\,di/dt$ ([Definición 30.10](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)), con $i = dq/dt$ contando la carga que llega a la placa superior ([Proposición 30.3](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)); sustitúyase. ∎

**Teorema 31.2 (Oscilaciones libres del circuito LC).**

Soltado en $t = 0$ con $q(0) = Q_0$ e $i(0) = 0$, el circuito oscila:

$$
q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
T_0 = 2\pi\sqrt{LC},
$$

con una corriente máxima $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$.

**Demostración.** Verifiquémoslo por sustitución. Derivando, $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — la $i(t)$ del enunciado — y, otra vez, $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$, que es igual a $-q/(LC)$ exactamente cuando $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, es decir, $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. Y $q(0) = Q_0$, $i(0) = 0$. Que ninguna *otra* función encaja con la ecuación y con el arranque se admite aquí, igual que en el caso del resorte ([Observación 28.9](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#rem-g12-oscillators-and-time-uniqueness)). ∎

**Definición 31.3 (Periodo y frecuencia propios).**

El *periodo propio* de un [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) es $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$; su *frecuencia propia* es

$$
f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .
$$

Comprobación dimensional: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ y $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, así que $LC$ lleva $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ es un tiempo, como tiene que ser.

**Ejemplo 31.4 (Primeros números).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$ con $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$: $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$, luego $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ y $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — un [tono](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/21-el-sonido-y-la-acustica#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) audible. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ con $C = 100\,\mathrm{pF}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — una [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de radio. Solo el *producto* $LC$ fija el tempo.

**Observación 31.5 (Un cuarto de periodo desfasados).**

La corriente va desfasada un cuarto de [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) respecto de la carga: $i = 0$ cuando $q = \pm Q_0$ (placas llenas, el flujo se invierte) e $i = \pm I_0$ cuando $q = 0$ (placas vacías, flujo a tope) — exactamente el péndulo, inmóvil en los extremos y rapidísimo abajo.

![Carga y corriente del circuito LC libre: la corriente alcanza su máximo cada vez que la carga pasa por cero, un cuarto de periodo desfasada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-6b6eee0e7326.svg)

*Carga y corriente del [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) libre: la corriente alcanza su máximo cada vez que la carga pasa por cero, un cuarto de [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) desfasada.*

## 31.2 El vals de la energía

**Proposición 31.6 (Conservación de la energía almacenada).**

En el [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) ideal, la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) total almacenada ([Proposición 30.15](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-energy))

$$
E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2
\;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2
$$

es constante: enteramente en el [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) cuando $q = \pm Q_0$ y enteramente en la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) cuando $i = \pm I_0$.

**Demostración.** Derivemos: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} =
i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ por la [Proposición 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation). Su valor se lee en $t = 0$ (todo en el [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)) y también en el instante en que todo es corriente, $q = 0$ — de donde $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$, recuperando $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ solo con la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy). ∎

![Un periodo del vals: la energía se trasvasa de las placas a la bobina y vuelta dos veces por periodo, con la suma clavada en Q_02/2C — la mismísima figura del oscilador masa–resorte, con otras etiquetas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-1e7756117c0e.svg)

*Un [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) del vals: la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) se trasvasa de las placas a la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) y vuelta dos veces por [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), con la suma clavada en $Q_0^2/2C$ — la mismísima figura del [oscilador masa–resorte](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period), con otras etiquetas.*

**Ejemplo 31.7 (El vals, medido).**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ cargado a $U_0 = 10\,\mathrm{V}$ y conectado a $L = 10\,\mathrm{mH}$: [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$, [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ y una corriente máxima $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ alcanzada un cuarto de [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($0.16\,\mathrm{ms}$) después de cerrarse el interruptor.

## 31.3 Circuitos reales: oscilaciones amortiguadas

Toda [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) real está bobinada con hilo resistivo: la malla honrada es un circuito *RLC* serie, y la [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) le pasa impuestos al vals.

**Definición 31.8 (Regímenes seudoperiódico y aperiódico).**

En un circuito RLC serie, el resistor disipa [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) por [efecto Joule](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-joule) ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#ch-g11-circuits-and-power)): las [oscilaciones libres](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) son *[amortiguadas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-damping)*. Dos regímenes, legibles en un [osciloscopio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope):

- *seudoperiódico* ( $R$ pequeña): el circuito sigue oscilando dentro de una envolvente que se encoge, con un tiempo de repetición — el *seudoperiodo* — próximo a $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ cuando el [amortiguamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-damping) es débil;
- *aperiódico* ( $R$ grande): la carga vuelve reptando a cero sin pasarse nunca — ninguna oscilación.

El espejo exacto del [oscilador mecánico](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) amortiguado ([Definición 28.12](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-damping)).

![Los dos destinos de un circuito RLC real: oscilaciones que se apagan dentro de una envolvente exponencial (a trazos), o una vuelta reptando a cero sin oscilar. Con amortiguamiento débil, el seudoperiodo se queda en T_0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-06dc025a14aa.svg)

*Los dos destinos de un [circuito RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) real: oscilaciones que se apagan dentro de una envolvente exponencial (a trazos), o una vuelta reptando a cero sin oscilar. Con [amortiguamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-damping) débil, el [seudoperiodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) se queda en $\approx T_0$.*

**Observación 31.9 (Mantener las oscilaciones).**

Para mantener viva la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), hay que aportarle al circuito exactamente la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) que quema la [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance), una vez por ciclo y *al paso* de la oscilación: un amplificador hace por la malla RLC lo que el empujón del escape hace por el péndulo ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#ch-g12-oscillators-and-time)). Todo reloj de cuarzo y todo emisor de radio son [osciladores](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mantenidos de este tipo, funcionando a su [frecuencia propia](#def-g12-rlc-oscillations-period) $f_0$.

## 31.4 El gemelo mecánico

**Proposición 31.10 (El diccionario eléctrico–mecánico).**

La ecuación LC es la ecuación masa–resorte ([Proposición 28.8](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period)) palabra por palabra:

| [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) |  | móvil sobre un resorte |
| --- | --- | --- |
| [2pt] carga $q$ | $\longleftrightarrow$ | posición $x$ |
| corriente $i = dq/dt$ | $\longleftrightarrow$ | velocidad $v = dx/dt$ |
| [autoinducción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ | $\longleftrightarrow$ | masa $m$ |
| inversa de la [capacidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $1/C$ | $\longleftrightarrow$ | [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ |
| [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ | $\longleftrightarrow$ | [rozamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) |
| $L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$ | $\longleftrightarrow$ | $m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ |
| [2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ | $\longleftrightarrow$ | $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ |
| [2pt] $E_C = q^2/2C$ | $\longleftrightarrow$ | $E_p = \tfrac12 kx^2$ |
| $E_L = \tfrac12 Li^2$ | $\longleftrightarrow$ | $E_k = \tfrac12 mv^2$ |

La misma ecuación, las mismas soluciones: todo resultado sobre cualquiera de los dos [osciladores](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) se traduce al instante al otro idioma.

**Demostración.** Compárese la [Proposición 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) con $m\,d^2x/dt^2 = -kx$: sustituir $q \to x$, $L \to m$, $1/C \to k$ convierte una en la otra, y $LC \to m/k$ convierte $2\pi\sqrt{LC}$ en $2\pi\sqrt{m/k}$. ∎

**Ejemplo 31.11 (Sintonizar una radio).**

Una antena introduce un susurro de *todas* las emisoras en la malla LC, pero solo la que emite cerca de $f_0$ empuja al paso y se amplifica — la [resonancia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-resonance) ([Definición 28.13](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-resonance)). El dial hace girar las placas de un [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variable: cambiar $C$ desplaza $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, y la aguja va entregando al auricular una emisora cada vez. Del lado del emisor, un [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mantenido ([Observación 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain)) fija la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de emisión; en un reloj de pulsera, un cristal de cuarzo — un gemelo mecánico de una rigidez asombrosa — desempeña el mismo papel.

## 31.5 Ejercicios

**Ejercicio 31.1 ★.**

Calcula $T_0$ y $f_0$ para (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{pF}$. ¿Por qué factor difieren las [frecuencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)?

**Solución de Ejercicio 31.1.**

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$, $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$. (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — un factor $\sqrt{10^5} \approx 316$.

**Ejercicio 31.2 ★.**

Usando $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ y $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, demuestra [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) a [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) que $\sqrt{LC}$ es un tiempo. ¿Por qué el $2\pi$ no cambia nada?

**Solución de Ejercicio 31.2.**

$LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} =
\mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$, así que $\sqrt{LC}$ va en segundos. El $2\pi$ es un número puro — no tiene dimensión que cambiar.

**Ejercicio 31.3 ★.**

Un [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $470\,\mathrm{nF}$ se carga a $6.0\,\mathrm{V}$. Calcula $Q_0$ y la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada; describe, sin cálculos, qué ocurre a continuación cuando se conecta a una [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) ideal.

**Solución de Ejercicio 31.3.**

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$; $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx
8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$. La carga oscila a $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, la corriente va desfasada un cuarto de [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) y la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) se trasvasa entre las placas y la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), con el total constante.

**Ejercicio 31.4 ★.**

Un [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) sigue $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ en microculombios, con $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$. Lee $Q_0$; calcula $f_0$, $q(T_0/2)$, $i(0)$ y la corriente máxima $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$.

**Solución de Ejercicio 31.4.**

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; $i(0) = 0$ (el coseno es plano en $t=0$); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx
3.1\,\mathrm{mA}$.

**Ejercicio 31.5 ★.**

¿En qué instantes del ciclo está la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) enteramente en el [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)? ¿Enteramente en la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)? ¿Cuál es el momento mecánico correspondiente para un péndulo en cada caso?

**Solución de Ejercicio 31.5.**

Toda en el [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) cuando $q = \pm Q_0$ e $i = 0$ ($t = 0$, $T_0/2$, $T_0$, …): los extremos del péndulo. Toda en la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) cuando $q = 0$ e $i = \pm I_0$ ($t = T_0/4$, $3T_0/4$, …): el punto más bajo y más rápido del péndulo.

**Ejercicio 31.6 ★★.**

Verifica por sustitución que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ satisface $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ exactamente cuando $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Solución de Ejercicio 31.6.**

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$, luego $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ para toda $t$ exactamente cuando $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, es decir, $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Ejercicio 31.7 ★★.**

Una emisora de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) larga emite a $198\,\mathrm{kHz}$. Con $C = 220\,\mathrm{pF}$, ¿qué [autoinducción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) la sintoniza?

**Solución de Ejercicio 31.7.**

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times
(1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$.

**Ejercicio 31.8 ★★.**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ cargado a $10\,\mathrm{V}$ se descarga sobre $L = 10\,\mathrm{mH}$. Calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada, la corriente máxima (por [conservación de la energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#thm-g10-energy-conservation-conservation)) y el instante en que se alcanza por primera vez.

**Solución de Ejercicio 31.8.**

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; de $\tfrac12 LI_0^2 = E$ sale $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$, alcanzada por primera vez en $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx
0.16\,\mathrm{ms}$.

**Ejercicio 31.9 ★★.**

Explica por qué $E_C$ y $E_L$ oscilan a la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $2f_0$ y no a $f_0$. Demuestra que en $t = T_0/8$ (partiendo de $q = Q_0$) la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) se reparte exactamente por la mitad.

**Solución de Ejercicio 31.9.**

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$, y $\cos^2$ se repite cada *media* vuelta: dos llenados del [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) por [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), de donde $2f_0$. En $t = T_0/8$ la [fase](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-phase) vale $\pi/4$: $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$, luego $E_C = E_L = E/2$.

**Ejercicio 31.10 ★★.**

En el [oscilograma](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) de un [circuito RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) débilmente amortiguado, dos máximos sucesivos marcan $4.0\,\mathrm{V}$ y después $3.0\,\mathrm{V}$. Suponiendo que el cociente se mantiene constante, predice el sexto máximo después del de $4.0\,\mathrm{V}$. ¿Qué fracción de la *[energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy)* sobrevive a cada [seudoperiodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes)? ¿Qué puedes decir del propio [seudoperiodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes)?

**Solución de Ejercicio 31.10.**

Cociente $3.0/4.0 = 0.75$ por [seudoperiodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): sexto máximo $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$. La [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) es proporcional al cuadrado de la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): sobrevive el $0.75^2 \approx 56\,\%$ en cada [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). El [seudoperiodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) se queda en $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$: un [amortiguamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-damping) débil encoge la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), pero apenas el tempo.

**Ejercicio 31.11 ★★.**

Un [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) tiene $L = 0.50\,\mathrm{H}$ y $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$. Calcula $T_0$; después, usando el diccionario ([Proposición 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy)), halla la [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ que le da a un móvil de $0.50\,\mathrm{kg}$ el mismo [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), y compruébalo.

**Solución de Ejercicio 31.11.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3}
\approx 20\,\mathrm{ms}$. Por el diccionario: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; comprobación, $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — los mismos $20\,\mathrm{ms}$.

**Ejercicio 31.12 ★★★.**

Un sintonizador usa $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ y un [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variable que barre $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$. Calcula las dos [frecuencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) extremas. Demuestra que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, de modo que multiplicar $C$ por diez solo divide la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) entre $\sqrt{10} \approx 3.2$.

**Solución de Ejercicio 31.12.**

$C = 500\,\mathrm{pF}$: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx
0.50\,\mathrm{MHz}$; $C = 50\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$. Con $L$ fija, $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$: multiplicar $C$ por diez solo divide $f_0$ entre $\sqrt{10} \approx 3.2$ — tal como sale.

**Ejercicio 31.13 ★★★.**

Una [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) real hace que el circuito pierda un $5.0\,\%$ de su [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) en cada [seudoperiodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes). ¿Al cabo de cuántos [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) se ha reducido la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) a la mitad? ¿Cuál es entonces la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), como fracción de la inicial? A $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$, ¿cuánto es eso en microsegundos?

**Solución de Ejercicio 31.13.**

$0.95^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$, o sea, unos $14$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). La [amplitud](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) es proporcional a $\sqrt{E}$: baja a $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ de la inicial. A $1.0\,\mathrm{MHz}$, $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: unos $14\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Ejercicio 31.14 ★★★.**

El [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de un reloj almacena $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ y pierde un $2.0\,\%$ por ciclo a $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$. ¿Qué [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) media debe suministrar el circuito de mantenimiento? ¿Por qué tiene que llegar el empujón al paso de la oscilación?

**Solución de Ejercicio 31.14.**

Pérdida por ciclo, $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$, a $32\,768$ ciclos por segundo: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11}
\approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — menos de un microvatio, años con una pila de botón. Al paso, porque solo un empujón en la [fase](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-phase) adecuada *añade* [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) ([resonancia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-resonance)); a destiempo, frenaría la oscilación.

**Ejercicio 31.15 ★★★.**

Tras cada flanco de una [señal](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-signal) cuadrada, el cableado de un experimentador “repica” a $25\,\mathrm{MHz}$; la [autoinducción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) parásita ronda $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$. Estima la [capacidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) parásita responsable. ¿A qué régimen debería llevar el circuito un pequeño resistor añadido en serie, y por qué cura eso el repique?

**Solución de Ejercicio 31.15.**

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
(2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$. El resistor debería llevar la malla al [régimen aperiódico](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): la carga se asienta entonces sin pasarse — ni oscilación ni repique.

## 31.6 Problema: Construir una radio de galena

**Problema 31.1.**

Problema de fin de semana — construir una radio de galena: una bobina, un condensador variable, un diodo y un auricular — sin pila, sin amplificador, y el informativo de la noche llega con la energía de la propia onda

Un kit del desván de los abuelos: una [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ arrollada sobre un tubo de cartón, un [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variable cuyas placas giran de $20\,\mathrm{pF}$ a $480\,\mathrm{pF}$, un diodo de cristal, un auricular y $20\,\mathrm{m}$ de hilo de antena. Las emisoras que hay que captar emiten entre $530\,\mathrm{kHz}$ y $1700\,\mathrm{kHz}$.

**Parte I — La malla de sintonía.**

1. El [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , cargado, se deja descargar sobre la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) : escribe la ley de mallas y conviértela en la ecuación diferencial de $q(t)$ .
2. Verifica por sustitución que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ la resuelve, siempre que $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
3. Comprueba por análisis dimensional que $\sqrt{LC}$ es un tiempo.
4. Con el dial en $C = 330\,\mathrm{pF}$ : calcula $T_0$ y $f_0$ . ¿Queda la malla sintonizada dentro de la banda?
5. Halla la [capacidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que sintoniza exactamente $1.00\,\mathrm{MHz}$ .

**Parte II — El [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variable.**

6. Calcula la [capacidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) necesaria para $530\,\mathrm{kHz}$ .
7. Calcula la [capacidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) necesaria para $1700\,\mathrm{kHz}$ .
8. Calcula las dos [frecuencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) que alcanza realmente el [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ del kit. ¿Cubre toda la banda?
9. Demuestra que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ con $L$ fija; ¿por qué factor debe cambiar $C$ para duplicar $f_0$ ?
10. Las placas se abren linealmente, así que $C$ baja de forma uniforme al girar el dial. Explica por qué entonces las emisoras se apiñan en un extremo del dial — y en cuál.

**Parte III — [Energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) y [amortiguamiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-damping).** Sintonizada a $1.00\,\mathrm{MHz}$ ($C = 127\,\mathrm{pF}$), la antena carga momentáneamente el [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) a $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$.

11. Calcula la carga $Q_0$ y la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada $E$ .
12. Calcula la corriente máxima $I_0$ usando la [conservación de la energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#thm-g10-energy-conservation-conservation) .
13. La [resistencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) de la [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) disipa un $4.0\,\%$ de la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) almacenada por ciclo: ¿al cabo de cuántos ciclos se ha reducido la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) a la mitad?
14. ¿Cuánto es eso en microsegundos? ¿Por qué este “repique” por sí solo no puede dar el informativo de la noche?
15. Explica por qué la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) que llega mantiene la malla oscilando solo cuando está sintonizada en esa emisora — y qué mantiene la oscilación en el *emisor* ( [Observación 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain) ).

**Parte IV — El gemelo mecánico.**

16. Usando el diccionario ( [Proposición 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy) ) con un móvil de masa $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ , calcula la [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ del resorte que iguala el circuito sintonizado.
17. Un muelle rígido de coche tiene $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Comenta: ¿puede un sistema masa–resorte de sobremesa oscilar a megahercios?
18. Quédate en cambio con un $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ razonable: ¿qué masa oscila a $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
19. ¿Qué objeto real es un [oscilador mecánico](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) así, ligerísimo y rígido hasta el extremo, y dónde te lo encontraste antes este curso ( [Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#ch-g12-oscillators-and-time) )?
20. Hoja de características, en una frase: la banda que barre tu radio, la [capacidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que elige $1.00\,\mathrm{MHz}$ , cuánto dura un repique solitario y qué es lo que, aun así, da el informativo.

**Solución de Problema 31.1.**

**1.** Ley de mallas: $u_L + u_C = 0$, con $u_C = q/C$, $u_L = L\,di/dt$ e $i = dq/dt$: $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$.

**2.** $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$, así que la ecuación queda $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$, cierto para toda $t$ exactamente cuando $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**3.** $LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times
\mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ es un tiempo.

**4.** $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7}
\approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — dentro de $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$.

**5.** $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$.

**6.** La misma fórmula a $530\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 451\,\mathrm{pF}$.

**7.** A $1700\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 44\,\mathrm{pF}$.

**8.** $C = 480\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$; $C = 20\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — la banda entera, con margen por los dos extremos.

**9.** $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$; duplicar $f_0$ exige dividir $C$ entre $4$.

**10.** Como $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, pasos iguales de $C$ mueven $f_0$ despacio cuando $C$ es grande y deprisa cuando es pequeña: una separación dada entre emisoras ocupa entonces poquísimo recorrido de dial — se apiñan en el extremo de [frecuencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) altas (el de $C$ pequeña).

**11.** $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx
2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$.

**12.** $\tfrac12 LI_0^2 = E$: $I_0 = U_0\sqrt{C/L} =
0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$.

**13.** $0.96^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert
\approx 17$ ciclos.

**14.** A $1.00\,\mathrm{MHz}$, $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: el repique se reduce a la mitad en unos $17\,\text{µ}\mathrm{s}$. Un repique solitario muere en microsegundos; la música necesita que la malla se alimente sin parar.

**15.** La [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) empuja millones de veces por segundo; solo cuando su [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) coincide con $f_0$ llegan los empujones al paso y amplifican la oscilación — la [resonancia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-resonance); las emisoras desintonizadas empujan tantas veces en contra como a favor. En el emisor, un amplificador devuelve cada ciclo la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) disipada: un [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mantenido.

**16.** $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $k = m/(LC) =
0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**17.** Unas $10^8$ veces el muelle del coche: ningún sistema masa–resorte de sobremesa llega a los megahercios — las rigideces y las masas cotidianas son irremediablemente lentas.

**18.** $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100}
{(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — unos pocos nanogramos, una mota de polvo.

**19.** Un cristal de cuarzo: una lámina ligerísima y rígida hasta el extremo que canta a su [frecuencia propia](#def-g12-rlc-oscillations-period) — el guardián del tiempo que ya nos encontramos este curso.

**20.** Con $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ y $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$, la malla barre alrededor de $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$ y cubre la banda; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ elige $1.00\,\mathrm{MHz}$; abandonado a sí mismo, el repique se reduce a la mitad en $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$, pero la propia [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) de la emisora, resonando al paso, realimenta la malla — el informativo suena con la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de la propia [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave).