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title: "La desintegración radiactiva"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 32
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/32-la-desintegracion-radiactiva
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# Capítulo 32 — La desintegración radiactiva

En el sótano de un museo, un contador Geiger crepita sobre una astilla de madera del sarcófago de un faraón. Cada chasquido carece de ley: nada lo anunció, nada predice el siguiente. Y sin embargo, para el viernes el laboratorio imprimirá una fecha con un siglo de precisión. Este capítulo resuelve la paradoja — cómo unos sucesos perfectamente aleatorios uno a uno suman, por billones, los relojes más regulares que tenemos.

## 32.1 Sin ley uno a uno, relojería por moles

El curso pasado ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#ch-g11-nucleus-radioactivity)) conocimos los [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) inestables, ajustamos sus ecuaciones $\alpha$ y $\beta$ y vimos desaparecer la mitad de cualquier muestra grande en cada [periodo de semidesintegración](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) $T_{1/2}$. Lo que no sabíamos decir era *cuándo entre escalón y escalón* — ni por qué un proceso aleatorio respeta horario alguno. Las dos preguntas tienen una sola respuesta.

**Definición 32.1 (Constante de desintegración).**

Para cada [nucleido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) inestable existe una constante $\lambda$, su *constante de desintegración* ([unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{s}^{-1}$), tal que durante cualquier intervalo corto $\dd t$ cada [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) tiene la probabilidad $p = \lambda\,\dd t$ de desintegrarse — la misma para todos los [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de la especie, sea cual sea su edad, e insensible a la temperatura, la [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure) o la química.

**Observación 32.2 (Sin ley por separado, exactos en multitud).**

Un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) que lleva esperando diez mil años tiene exactamente la misma probabilidad de desintegrarse este segundo que otro fabricado esta mañana: no se desgasta, no avisa — cuál será el siguiente es genuinamente impredecible. Con las multitudes ocurre otra cosa. Lanza $100$ monedas: espera $50$ caras, pero no te sorprendas ante $43$ — fluctuaciones del orden de $\sqrt n$, aquí un $10\,\%$. Lanza $10^{20}$: la fluctuación relativa $1/\sqrt n$ vale $10^{-10}$, y el resultado es seguro hasta la décima cifra. Un gramo de materia alberga unos $10^{22}$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder): la falta de ley se promedia hasta convertirse en relojería, una ley exacta para $N(t)$, el número de [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) todavía intactos en el instante $t$.

![Dos muestras reales de 20 núcleos bajan a trompicones e impredeciblemente en torno a la curva esperada; un mol de núcleos se le pegaría hasta la décima cifra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-7c07111f5af1.svg)

*Dos muestras reales de $20$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) bajan a trompicones e impredeciblemente en torno a la curva esperada; un mol de [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) se le pegaría hasta la décima cifra.*

## 32.2 La ley de desintegración

**Proposición 32.3 (La ecuación de evolución).**

En una muestra grande de $N$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), durante $\dd t$ el número varía en

$$
\dd N = -\lambda N\,\dd t, \qquad\text{es decir,}\qquad \frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N :
$$

la población decrece a un ritmo proporcional a sí misma.

**Demostración.** Cada uno de los $N$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) se desintegra durante $\dd t$ con probabilidad $\lambda\,\dd t$: desintegraciones esperadas, $N\lambda\,\dd t$, y para $N$ grande el recuento real se pega al esperado ([Observación 32.2](#rem-g12-radioactive-decay-crowds)); cada desintegración retira un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder). ∎

**Teorema 32.4 (Ley de desintegración radiactiva).**

Una muestra que alberga $N_0$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) en $t = 0$ alberga, en el instante $t$,

$$
N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}.
$$

**Demostración.** Comprobación por sustitución: $\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)\,e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$, y $N(0) = N_0 e^0 = N_0$: la ecuación y el arranque, ambos correctos. (Que ninguna *otra* función encaja se demuestra, con integrales, en el volumen universitario.) ∎

**Definición 32.5 (Decrecimiento exponencial).**

Una magnitud que sigue $N_0\,e^{-\lambda t}$ experimenta un *decrecimiento exponencial*: en tiempos iguales se pierden *fracciones* iguales. Es exactamente el [condensador](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que se descarga del [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/30-circuitos-rc-y-rl#ch-g12-rc-rl-circuits), con $\lambda$ haciendo el papel de $1/(RC)$: una sola ecuación diferencial, aprendida una vez, gobierna por igual circuitos y [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder).

**Proposición 32.6 (Periodo de semidesintegración).**

El [periodo de semidesintegración](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ([Definición 19.14](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)) de un [nucleido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) lo fija su [constante de desintegración](#def-g12-radioactive-decay-lambda): $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$, y tras $n$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $N = N_0/2^{\,n}$, sea $n$ entero o no.

**Demostración.** $N(T_{1/2}) = N_0/2$ exige $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$, es decir, $\lambda T_{1/2} = \ln 2$; y $N(n\,T_{1/2}) = N_0\,e^{-n\ln 2} = N_0/2^{\,n}$ para cualquier $n$: la exponencial enhebra la escalera y rellena lo que hay entre escalón y escalón. ∎

![N(t) = N_0\,e- t pasa por todos los escalones de la escalera — y ahora dice además qué ocurre entre ellos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-a5ae424d8d8d.svg)

*$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ pasa por todos los escalones de la escalera — y ahora dice además qué ocurre entre ellos.*

**Ejemplo 32.7 (Veinte potencias de diez).**

Con $1$ año $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$:

| [nucleido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) | $T_{1/2}$ | $\lambda$ ($\mathrm{s}^{-1}$) |  |
| --- | --- | --- | --- |
| polonio-214 | $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ | $4.2 \times 10^{3}$ | eslabón de la cadena del uranio |
| tecnecio-99m | $6.0$ horas | $3.2 \times 10^{-5}$ | diagnóstico por imagen |
| yodo-131 | $8.0$ días | $1.0 \times 10^{-6}$ | medicina del tiroides |
| cesio-137 | $30$ años | $7.3 \times 10^{-10}$ | lluvia radiactiva de reactor |
| carbono-14 | $5730$ años | $3.8 \times 10^{-12}$ | arqueología |
| potasio-40 | $1.25 \times 10^{9}$ años | $1.8 \times 10^{-17}$ | datación de rocas |
| uranio-238 | $4.5 \times 10^{9}$ años | $4.9 \times 10^{-18}$ | calor interno de la Tierra |

Una sola ley, veinte potencias de diez de $\lambda$.

## 32.3 La actividad: contar los chasquidos

**Proposición 32.8 (Actividad).**

La [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de una muestra — sus desintegraciones por segundo, en [becquerelios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) ([Definición 19.18](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity)) — vale

$$
\mathcal A = \lambda N, \qquad\text{luego}\qquad \mathcal A(t) = \mathcal A_0 \, e^{-\lambda t}:
$$

proporcional a la población superviviente e igualmente exponencial.

**Demostración.** $N$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), cada uno con probabilidad $\lambda$ por segundo: $\lambda N$ desintegraciones por segundo; multiplicar el [Teorema 32.4](#thm-g12-radioactive-decay-law) por $\lambda$ da $\mathcal A(t) = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$. ∎

**Ejemplo 32.9 (NNN enorme, λ\lambdaλ minúscula).**

Un plátano crepita a unos $15\,\mathrm{Bq}$, un cuerpo humano a unos $8000\,\mathrm{Bq}$ y un [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cúbico de granito a unos $10^{6}\,\mathrm{Bq}$ ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#ch-g11-nucleus-radioactivity)). Detrás de esos modestos chasquidos hay poblaciones astronómicas: el potasio-40 del cuerpo aporta $\mathcal A \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ con $\lambda = 1.8 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$: $N = \mathcal A/\lambda \approx 2.5 \times 10^{20}$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), de los cuales apenas unos pocos miles disparan cada segundo.

**Método 32.10 (Medir un periodo de semidesintegración).**

1. Cuenta desintegraciones con un contador Geiger a lo largo de intervalos iguales sucesivos: eso muestrea $\mathcal A$ en instantes sucesivos.
2. Representa $\ln \mathcal A$ frente a $t$ : como $\ln \mathcal A = \ln \mathcal A_0 - \lambda t$ , un [decrecimiento exponencial](#def-g12-radioactive-decay-exponential) aparece como una *recta* — unos datos torcidos significan otra ley, o una mezcla de [nucleidos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) .
3. Lee $\lambda$ como menos la pendiente; $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ .

![Recuentos Geiger de un nucleido de vida corta: en ejes semilogarítmicos la exponencial se convierte en una recta; aquí la pendiente da 9.6 × 10-3\, s-1, luego T_1/2 72\, s.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-ade1492e4277.svg)

*Recuentos Geiger de un [nucleido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) de vida corta: en ejes semilogarítmicos la exponencial se convierte en una recta; aquí la pendiente da $\lambda \approx 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, luego $T_{1/2} \approx 72\,\mathrm{s}$.*

**Observación 32.11 (Los becquerelios no son daño).**

El [becquerelio](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) cuenta desintegraciones, no daños. El daño se sigue con la [dosis](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) en [sieverts](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#ch-g11-nucleus-radioactivity)), que pondera la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) depositada por [kilogramo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de tejido con el poder destructivo de cada radiación: una gammagrafía de tecnecio de $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ es rutinaria, y muchos menos [becquerelios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de un emisor $\alpha$ inhalado no lo son; convertir $\mathrm{Bq}$ en $\mathrm{Sv}$ es materia universitaria.

## 32.4 Datar: leer el tiempo en un cociente

La ley de desintegración recorrida al revés es un reloj: mide la fracción superviviente y la exponencial nombra el tiempo transcurrido.

**Método 32.12 (Datación por radiocarbono).**

1. *En vida* : el tejido vivo intercambia carbono con la atmósfera y lleva su proporción de carbono-14 — un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de cada $10^{12}$ , lo que da $\mathcal A_0 = 13.6$ desintegraciones por minuto y por gramo de carbono.
2. *La muerte pone en marcha el reloj* : cesa la incorporación y la proporción decrece con $T_{1/2} = 5730$ años.
3. Mide la [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $\mathcal A$ de la muestra por gramo de carbono; $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ se invierte en $t = \frac{1}{\lambda}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)  = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

**Ejemplo 32.13 (Un hogar en una cueva).**

El carbón vegetal de un hogar enterrado da $5.0$ desintegraciones por minuto y por gramo: $\mathcal A_0/\mathcal A = 13.6/5.0 = 2.72$, luego $t = 5730 \times \ln(2.72)/\ln 2 \approx 8.3 \times 10^{3}$ años. El fuego se apagó hace ocho mil años — la propia madera es el archivo.

![La curva de datación: se entra por el cociente medido y se baja hasta la edad. El punto es el hogar del : cociente 0.37, edad 8.3 × 103 años.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-a71f469ed1de.svg)

*La curva de datación: se entra por el cociente medido y se baja hasta la edad. El punto es el hogar del [Ejemplo 32.13](#ex-g12-radioactive-decay-hearth): cociente $0.37$, edad $8.3 \times 10^{3}$ años.*

**Ejemplo 32.14 (Relojes para rocas).**

El carbono-14 enmudece más allá de unos $50\,000$ años; la geología guarda relojes más lentos. *Potasio–argón*: el potasio-40 ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ años) se desintegra en argón, un gas que escapa de la lava fundida pero queda atrapado en cuanto la roca cristaliza — la solidificación pone el reloj a cero. *Uranio–plomo*: el uranio-238 encabeza una cadena de desintegraciones que termina en el plomo-206 estable ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#ch-g11-nucleus-radioactivity)), y el cociente plomo/uranio en un cristal lo data. Los dos relojes coinciden en los minerales más antiguos ($\approx 4.4 \times 10^{9}$ años) y, a través de los meteoritos, en la edad del sistema solar.

**Observación 32.15 (Cadenas, y el gas del sótano).**

Entre el uranio y el plomo, la cadena pasa por el radio y después por el radón-222, un *gas* radiactivo ($T_{1/2} = 3.8$ días). Nacido en el granito y en el suelo, se filtra en los sótanos y se acumula; sus hijos, emisores $\alpha$, se desintegran en los pulmones — para la mayoría de la gente, la mayor [dosis](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) natural, y la más barata de reducir: abre la ventana del sótano.

## 32.5 Ejercicios

**Ejercicio 32.1 ★.**

El yodo-131 tiene $\lambda = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcula su [periodo de semidesintegración](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) en segundos y después en días.

**Solución de Ejercicio 32.1.**

$T_{1/2} = \ln 2/\lambda = 0.693/1.0 \times 10^{-6} = 6.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} \approx
8.0$ días — el reloj del yodo-131.

**Ejercicio 32.2 ★.**

El radón-222 tiene $T_{1/2} = 3.8$ días. Calcula $\lambda$ en $\mathrm{s}^{-1}$ y después la [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de una muestra de $1.0 \times 10^{10}$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder).

**Solución de Ejercicio 32.2.**

$T_{1/2} = 3.8 \times 86\,400 = 3.28 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$; $\lambda = 0.693/3.28 \times 10^{5} = 2.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathcal A = \lambda N = 2.1 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^{10} \approx
2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$.

**Ejercicio 32.3 ★.**

Verifica por sustitución que $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ satisface $\dd N/\dd t = -\lambda N$ y $N(0) = N_0$; calcula después $N(T_{1/2})/N_0$.

**Solución de Ejercicio 32.3.**

$\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)e^{-\lambda t} = -\lambda N$ — la ecuación se cumple; $N(0) = N_0 e^0 = N_0$; $N(T_{1/2})/N_0 = e^{-\lambda \ln 2/\lambda} = e^{-\ln 2} = \tfrac12$.

**Ejercicio 32.4 ★.**

Una fuente de cesio-137 ($T_{1/2} = 30$ años) tiene hoy una [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de $4.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Bq}$. Calcula su [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) dentro de $90$ años y después dentro de $300$ años.

**Solución de Ejercicio 32.4.**

$90$ años $= 3\,T_{1/2}$: $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/2^3 = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$. $300$ años $= 10\,T_{1/2}$: $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/1024 \approx
3.9 \times 10^{2}\,\mathrm{Bq}$.

**Ejercicio 32.5 ★.**

La representación semilogarítmica de $\ln \mathcal A$ frente a $t$ para una muestra de tecnecio es una recta que pasa por $(0, 20.00)$ y $(10\,\mathrm{horas}, 18.85)$. Halla $\lambda$ (en $\mathrm{h}^{-1}$ y en $\mathrm{s}^{-1}$) y $T_{1/2}$.

**Solución de Ejercicio 32.5.**

Pendiente $= (18.85 - 20.00)/10 = -0.115$, luego $\lambda = 0.115\,\mathrm{h}^{-1} = 0.115/3600 = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $T_{1/2} = 0.693/0.115 = 6.0$ horas — el tecnecio-99m.

**Ejercicio 32.6 ★★.**

Un gramo de radio-226 ($T_{1/2} = 1600$ años; masa molar $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$): calcula el número de [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), después $\lambda$ y después la [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) — la primera [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de la historia, el curio.

**Solución de Ejercicio 32.6.**

$N = (1.0/226) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.7 \times 10^{21}$; $T_{1/2} = 1600 \times 3.156 \times 10^{7} = 5.05 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, luego $\lambda = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathcal A = \lambda N \approx 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ — un curio, la [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) del gramo de radio de Marie Curie.

**Ejercicio 32.7 ★★.**

Dos estudiantes sellan muestras de $20$ y de $2.0 \times 10^{20}$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de un mismo [nucleido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-notation). ¿Qué espera cada uno al cabo de un [periodo de semidesintegración](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)? ¿De quién es fiable la predicción? (Estima la fluctuación relativa $1/\sqrt n$ en cada caso.)

**Solución de Ejercicio 32.7.**

Los dos esperan que quede la mitad: $10$ y $1.0 \times 10^{20}$. Las fluctuaciones son $\sim 1/\sqrt{n}$ del recuento: con $10$ desintegraciones, alrededor de un $30\,\%$ — $7$ o $13$ no sorprenderían; con $1.0 \times 10^{20}$, unos $10^{-10}$. Solo la muestra grande obedece la ley con precisión medible.

**Ejercicio 32.8 ★★.**

Un cuerpo alberga unos $140\,\mathrm{g}$ de potasio, de los cuales el $0.012\,\%$ es potasio-40 ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ años, masa molar $40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). Calcula el número de [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de potasio-40 y después su [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity); compárala con los $8000\,\mathrm{Bq}$ totales del cuerpo.

**Solución de Ejercicio 32.8.**

$m = 140 \times 1.2 \times 10^{-4} = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{g}$; $N = (0.0168/40) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{20}$. $\lambda = 0.693/(1.25 \times 10^{9} \times 3.156 \times 10^{7}) =
1.76 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathcal A = \lambda N \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ — cerca de la mitad del total del cuerpo (casi todo el resto es carbono-14).

**Ejercicio 32.9 ★★.**

Una paciente recibe $500\,\mathrm{MBq}$ de tecnecio-99m ($T_{1/2} = 6.0$ horas). Calcula la [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $15$ horas después y después el tiempo que tarda en bajar de $1\,\mathrm{MBq}$.

**Solución de Ejercicio 32.9.**

$\lambda = 0.693/6.0 = 0.116\,\mathrm{h}^{-1}$. A las $15$ horas: $\mathcal A = 500\,e^{-0.116 \times 15} = 500 \times 0.177 \approx
88\,\mathrm{MBq}$. Por debajo de $1\,\mathrm{MBq}$: $t = \ln(500)/0.116 \approx 54\,\mathrm{horas}$ — unos $9$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Ejercicio 32.10 ★★.**

El carbón vegetal de una fosa da $3.4$ desintegraciones por minuto y por gramo de carbono; un hueso de otra da el $30\,\%$ del ritmo de lo vivo ($\mathcal A_0 = 13.6$ por minuto y por gramo, $T_{1/2} = 5730$ años). Data ambas muestras.

**Solución de Ejercicio 32.10.**

Carbón vegetal: $3.4/13.6 = \tfrac14$, exactamente $2$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): $t = 1.15 \times 10^{4}$ años. Hueso: $t = 5730 \times \ln(1/0.30)/\ln 2 = 5730 \times 1.74
\approx 1.0 \times 10^{4}$ años.

**Ejercicio 32.11 ★★.**

Se sella un sótano con una tanda de radón-222 dentro ($T_{1/2} = 3.8$ días). ¿Al cabo de cuánto tiempo ha caído al $1\,\%$ la [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de esa tanda? Los sótanos reales siguen siendo radiactivos durante décadas: ¿de dónde sale el radón nuevo, y por qué la ventilación debe ser permanente y no puntual?

**Solución de Ejercicio 32.11.**

$\lambda = 0.693/3.8 = 0.182\,\mathrm{d}^{-1}$; $t = \ln(100)/\lambda = 4.61/0.182 \approx 25$ días (unos $6.6$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)). Pero la cadena del uranio del granito y del suelo de alrededor engendra radón sin parar: una ventilación puntual queda deshecha en unas semanas, así que la ventilación tiene que ser permanente.

**Ejercicio 32.12 ★★★.**

Demuestra, a partir de $N = N_0 e^{-\lambda t}$, que $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$. Un hueso conserva el $5.0\,\%$ de su carbono-14 de cuando estaba vivo: dátalo.

**Solución de Ejercicio 32.12.**

De $N/N_0 = e^{-\lambda t}$ sale $\lambda t = \ln(N_0/N)$, y con $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ queda $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$. Aquí, $t = 5730 \times \ln(20)/\ln 2 = 5730 \times 4.32 \approx
2.5 \times 10^{4}$ años.

**Ejercicio 32.13 ★★★.**

En un cristal que no atrapó nada de argón al solidificarse, cada [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de potasio-40 desintegrado deja un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de argón en su sitio. Demuestra que $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$; una roca presenta un cociente de $3.0$: halla su edad ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ años).

**Solución de Ejercicio 32.13.**

$N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ y $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$, luego $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$. Con el cociente $3.0$: $e^{\lambda t} = 4$, luego $\lambda t = 2\ln 2$ y $t = 2\,T_{1/2} = 2.5 \times 10^{9}$ años.

**Ejercicio 32.14 ★★★.**

Un contador Geiger da, en $t = 0$, $60$, $120$, $180$ y $240$ segundos, ritmos de $400$, $225$, $127$, $71$ y $40$ cuentas por segundo. Calcula $\ln \mathcal A$ en cada instante, comprueba que están alineados y deduce $\lambda$ y $T_{1/2}$.

**Solución de Ejercicio 32.14.**

$\ln \mathcal A = 5.99$, $5.42$, $4.84$, $4.26$, $3.69$: caídas de $0.57$–$0.58$ cada $60\,\mathrm{s}$ — alineados. Por la pendiente, $\lambda = 2.30/240 = 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $T_{1/2} = 0.693/9.6 \times 10^{-3} \approx 72\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 32.15 ★★★.**

Para un solo [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), la probabilidad de sobrevivir $n$ [periodos de semidesintegración](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) es $1/2^{\,n}$. Calcula la probabilidad de que (a) un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) dado sobreviva $10$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator); (b) los $8$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) vigilados sobrevivan todos a un [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). (c) De $1000$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), ¿cuántos se esperan tras $3$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — y puede la ley decir *cuáles*? Concluye sobre qué es lo que predice la ley.

**Solución de Ejercicio 32.15.**

(a) $2^{-10} \approx 1 \times 10^{-3}$. (b) $(1/2)^8 = 1/256 \approx
0.4\,\%$. (c) Se esperan $1000/8 = 125$ — pero la ley calla sobre cuáles: predice poblaciones con exactitud e individuos, en absoluto.

## 32.6 Problema: La edad de las cosas

**Problema 32.1.**

Problema de fin de semana — la edad de las cosas: un laboratorio de museo calibra el reloj del carbono, data una estatua y un papiro, aprende por qué ningún reloj marca más allá de su esfera y empuja una roca volcánica mil millones de años atrás

Una semana en el laboratorio de datación de un museo. Datos: el tejido vivo presenta $\mathcal A_0 = 13.6$ desintegraciones de carbono-14 por minuto y por gramo de carbono; $T_{1/2} = 5730$ años (carbono-14) y $1.25 \times 10^{9}$ años (potasio-40); $1$ año $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$; masa molar del carbono $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; los contadores resuelven alrededor de $0.2$ desintegraciones por minuto y por gramo.

**Parte I — Lunes: calibrar el reloj.**

1. ¿Por qué es constante la proporción de carbono-14 en el tejido vivo, y qué cambia con la muerte?
2. Calcula $\lambda$ para el carbono-14 en $\mathrm{s}^{-1}$ .
3. Verifica por sustitución que $N_0 e^{-\lambda t}$ resuelve $\dd N/\dd t = -\lambda N$ .
4. A partir de $\mathcal A_0$ , calcula el número de [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono-14 por gramo de carbono en el tejido vivo.
5. ¿Cuántos [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono alberga un gramo? Deduce la proporción de carbono-14 — compárala con “uno de cada $10^{12}$ ”.
6. Demuestra que una [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) medida $\mathcal A$ data una muestra en $t = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

**Parte II — Martes: la estatua y el papiro.**

7. Una estatua de madera da $9.1$ desintegraciones por minuto y por gramo. Data la madera.
8. ¿Qué acontecimiento exactamente fecha eso — la talla u otra cosa? ¿Qué precaución se sigue de ello?
9. Un papiro egipcio da $10.4$ desintegraciones por minuto y por gramo. Dátalo. ¿Es verosímil un escriba de hace veintidós siglos?
10. La [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) se mide con un margen de $\pm 0.2$ desintegraciones por minuto. Estima la incertidumbre de la edad del papiro usando $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda \mathcal A)$ .
11. El pergamino “antiguo” de un anticuario da $13.4$ desintegraciones por minuto y por gramo. ¿Veredicto?

**Parte III — Jueves: los límites del reloj.**

12. ¿Tras cuántos [periodos de semidesintegración](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) cae la [actividad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de una muestra por debajo de las $0.2$ desintegraciones por minuto y por gramo de los contadores? ¿A qué edad corresponde eso?
13. Los mejores laboratorios llegan a unos diez [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) . ¿Cuál es el horizonte práctico de la datación por radiocarbono, en años?
14. Un hueso de dinosaurio tiene unos $6.6 \times 10^{7}$ años: ¿cuántos [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) del carbono-14 son? Usando la pregunta 4, ¿tras cuántos [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) no queda ni *un* [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) del carbono-14 de ese gramo? Concluye sobre eso de “datar dinosaurios con carbono”.
15. ¿Qué tipo de [nucleido](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) podría datar en cambio la roca del dinosaurio?

**Parte IV — Viernes: la roca volcánica.**

16. El argón es un gas y el potasio, un fiel residente de los sólidos: explica por qué la solidificación de la lava pone a cero el reloj potasio–argón.
17. Suponiendo que cada [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de potasio-40 desintegrado deja un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de argón atrapado, demuestra que $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .
18. La roca que hay debajo del fósil del museo presenta $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = 0.60$ . Data la roca.
19. ¿Podría el carbono-14 haber datado esta roca, o el potasio–argón la estatua? Da la ventana útil de cada reloj en [periodos de semidesintegración](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) .
20. Informe del viernes, en una frase: las tres edades halladas esta semana y la única ley que las leyó todas.

**Solución de Problema 32.1.**

**1.** El intercambio con la atmósfera (comer, respirar) mantiene la proporción rellenada en el valor atmosférico; la muerte detiene la incorporación y toma el relevo la desintegración.

**2.** $T_{1/2} = 5730 \times 3.156 \times 10^{7} =
1.81 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$, luego $\lambda = 0.693/1.81 \times 10^{11} =
3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**3.** $\dd N/\dd t = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$, y $N(0) = N_0$.

**4.** $\mathcal A_0 = 13.6/60 = 0.227\,\mathrm{Bq}$ por gramo; $N = \mathcal A_0/\lambda = 0.227/3.8 \times 10^{-12} \approx 5.9 \times 10^{10}$ [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) por gramo.

**5.** $(1/12) \times 6.02 \times 10^{23} = 5.0 \times 10^{22}$ [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono; proporción $5.9 \times 10^{10}/5.0 \times 10^{22} \approx 1.2 \times 10^{-12}$ — uno de cada $10^{12}$, como estaba prometido.

**6.** De $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ sale $\lambda t = \ln(\mathcal A_0/\mathcal A)$, y $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ lo convierte en $t = T_{1/2}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$.

**7.** $t = 5730 \times \ln(13.6/9.1)/\ln 2 =
5730 \times 0.580 \approx 3.3 \times 10^{3}$ años.

**8.** La muerte de la madera — la tala del árbol, no la talla de la estatua; una estatua labrada en madera vieja (o una falsificación tallada en madera antigua) es anterior o posterior a la fecha de su material.

**9.** $t = 5730 \times \ln(13.6/10.4)/\ln 2 =
5730 \times 0.387 \approx 2.2 \times 10^{3}$ años — del todo compatible con un escriba de hace veintidós siglos.

**10.** $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda\mathcal A)$ con $\lambda = \ln 2/5730 = 1.21 \times 10^{-4}$ por año: $\Delta t = (0.2/10.4)/1.21 \times 10^{-4} \approx 1.6 \times 10^{2}$ años — una fecha buena con un siglo o dos de margen.

**11.** $t = 5730 \times \ln(13.6/13.4)/\ln 2 \approx 120$ años — indistinguible de lo moderno dentro de la incertidumbre de $\pm 160$ años: el pergamino es reciente y la “antigüedad”, una falsificación.

**12.** $13.6/2^n < 0.2$ exige $2^n > 68$: $n = 7$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) (pues $2^7 = 128$), unos $4.0 \times 10^{4}$ años.

**13.** Diez [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): unos $5.7 \times 10^{4}$ años — el horizonte práctico, unos sesenta mil años.

**14.** $6.6 \times 10^{7}/5730 \approx 11\,500$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). Los $5.9 \times 10^{10}$ [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de un gramo se agotan cuando $2^n > 5.9 \times 10^{10}$, es decir, con $n \approx 36$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($\approx 2 \times 10^{5}$ años): mucho antes de la época de los dinosaurios no queda ni un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono-14 — no hay nada que contar.

**15.** Un reloj mucho más lento: potasio-40 o uranio-238, con [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de miles de millones de años.

**16.** La lava fundida deja escapar el argón en burbujas, así que el cristal recién solidificado alberga potasio pero cero argón: el cociente arranca en $0$ al solidificarse — el reloj queda puesto a cero.

**17.** Como en el ejercicio: $N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ y $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$, luego $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$.

**18.** $e^{\lambda t} = 1.60$: $t = 1.25 \times 10^{9} \times \ln(1.60)/\ln 2 = 1.25 \times 10^{9} \times 0.678
\approx 8.5 \times 10^{8}$ años.

**19.** No, por partida doble: a los $8.5 \times 10^{8}$ años el carbono-14 lleva corridos $10^5$ [periodos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — silencio; y a los $3.3 \times 10^{3}$ años el potasio-40 lleva $2.6 \times 10^{-6}$ de [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — el cociente de argón $\approx \lambda t \sim 2 \times 10^{-6}$ es de una pequeñez inmedible. Cada reloj solo marca desde alrededor de una décima de [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) hasta unos diez.

**20.** Estatua, $\approx 3.3 \times 10^{3}$ años; papiro, $\approx 2.2 \times 10^{3}$ años; roca, $\approx 8.5 \times 10^{8}$ años — tres relojes y una sola ley: $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, leída al revés.