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title: "El mundo cuántico: fotones y niveles de energía"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 34
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/34-el-mundo-cuantico-fotones-y-niveles-de-energia
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# Capítulo 34 — El mundo cuántico: fotones y niveles de energía

Una lámpara de [infrarrojos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) puede bañarte la piel toda la tarde sin dejarte marca; diez minutos de sol de alta montaña dejan una quemadura. La lámpara entrega muchísima más [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) — pero no es la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) lo que marca la piel. La luz, como muestra este capítulo, llega en granos, y solo un grano que golpee con suficiente [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) hace química: un grano [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) rompe un enlace que mil millones de granos [infrarrojos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) solo calientan. Sigue los granos y se abre un siglo entero: metales que sueltan electrones, [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) que cantan en [líneas espectrales](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-emission), electrones que [interfieren](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#prop-g12-light-as-wave-conditions) como [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave).

## 34.1 La luz llega en granos: el fotón

**Definición 34.1 (El fotón).**

La luz de [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\nu$ intercambia [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) con la materia solo en granos enteros llamados *fotones*, cada uno de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy)

$$
E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s},
$$

donde $h$ es la *constante de Planck* (Planck, 1900; Einstein, 1905) y $\lambda$ la [longitud de onda en el vacío](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#def-g12-light-as-wave-lightwave). La intensidad de un haz mide el *número* de fotones por segundo; la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de cada grano la fija únicamente la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Notación 34.2 (El electronvoltio).**

La física atómica usa el *electronvoltio*, $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$: la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) que gana una [carga elemental](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary) al atravesar $1\,\mathrm{V}$ ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#ch-g11-electric-gravitational-fields)). Muy cómodo: $E \,(\mathrm{eV}) \approx 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$.

![Una sola escala para la familia electromagnética (): longitud de onda (arriba) y energía por fotón hc/ (en azul), desde los granos de radio de un microelectronvoltio hasta los granos gamma de MeV del — y aun así, un puntero de 1.0\, mW vierte 3 × 1015 granos por segundo: la luz cotidiana fluye tan lisa como la arena que se derrama.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-quantum-world/fig-2580ba3472d5.svg)

*Una sola escala para la familia electromagnética ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#ch-g12-light-as-wave)): [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) (arriba) y [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) por [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) $hc/\lambda$ (en azul), desde los granos de radio de un microelectronvoltio hasta los granos gamma de $\mathrm{MeV}$ del [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#ch-g11-nucleus-radioactivity) — y aun así, un puntero de $1.0\,\mathrm{mW}$ vierte $3 \times 10^{15}$ granos por segundo: la luz cotidiana fluye tan lisa como la arena que se derrama.*

## 34.2 El efecto fotoeléctrico

Ilumina una placa metálica limpia en el vacío y saltan electrones — el *efecto fotoeléctrico*. Sus reglas rompieron la física clásica.

**Proposición 34.3 (Lo que muestra el experimento).**

Para cada metal existe una *frecuencia umbral* $\nu_0$:

1. por debajo de $\nu_0$ no sale ningún electrón, por intensa que sea la luz;
2. por encima de $\nu_0$ la emisión empieza sin retardo, por débil que sea;
3. la intensidad aumenta el *número* de electrones por segundo, no su [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic) máxima; la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) sí aumenta $E_{k,\max}$ .

Nada de esto encaja con una [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) continua, que debería permitir la acumulación de carga con cualquier color — durante meses, con luz débil ([Ejercicio 34.14](#exo-g12-quantum-world-14)) — y cuya intensidad debería fijar la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de los electrones: las tres predicciones fallan.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Teorema 34.4 (Relación fotoeléctrica de Einstein).**

Un electrón necesita al menos el *trabajo de extracción* $W_0$ del metal para escapar de su superficie. Un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) es absorbido entero por un electrón, así que

$$
h\nu = W_0 + E_{k,\max}, \qquad \text{de donde } \nu_0 = \frac{W_0}{h}.
$$

**Demostración.** Contabilidad energética: entra $h\nu$, se gasta $W_0$ en escapar y el resto es cinético — como mucho $h\nu - W_0$, y menos para los electrones que parten de más adentro. Por debajo de $\nu_0$ ningún grano puede pagar el peaje de salida, por muchos que sean. ∎

**Definición 34.5 (Potencial de frenado).**

Para medir $E_{k,\max}$ se frena a los electrones con una tensión inversa ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/14-campos-electricos-y-gravitatorios#ch-g11-electric-gravitational-fields)); el *potencial de frenado* $U_s$ es la menor tensión que anula la corriente: los electrones más rápidos se quedan justo sin cruzar, luego $E_{k,\max} = e\,U_s$.

![E_k, = eU_s medida frente a la frecuencia (sodio): una recta de pendiente h que corta el eje en _0; extrapolada (a trazos), revela -W_0 en = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-quantum-world/fig-131f6faa40f0.svg)

*$E_{k,\max} = eU_s$ medida frente a la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) (sodio): una recta de pendiente $h$ que corta el eje en $\nu_0$; extrapolada (a trazos), revela $-W_0$ en $\nu = 0$.*

**Método 34.6 (Medir la constante de Planck).**

1. Ilumina una célula fotoeléctrica a través de [filtros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/11-el-color-y-las-fuentes-de-luz#def-g11-color-light-sources-subtractive) de [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) conocida; calcula cada $\nu = c/\lambda$ ; anota cada [potencial de frenado](#def-g12-quantum-world-stopping) .
2. Representa $E_{k,\max} = eU_s$ frente a $\nu$ : Einstein promete la recta $h\nu - W_0$ .
3. Lee la pendiente: *es* $h$ ; las ordenadas en el origen dan $\nu_0$ y $-W_0$ .

## 34.3 Niveles de energía: por qué los átomos emiten líneas

**Definición 34.7 (Niveles de energía).**

La [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de un electrón ligado en un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) está *cuantizada*: restringida a una escalera discreta de *niveles de energía* $E_1 < E_2 < \dots < 0$, contados como negativos a partir del electrón libre. El peldaño más bajo es el *estado fundamental* y los demás son *estados excitados*; llegar a $0$ es la *ionización*.

**Proposición 34.8 (La escalera del hidrógeno).**

Los [niveles de energía](#def-g12-quantum-world-levels) del [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hidrógeno son

$$
E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots
$$

de modo que $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$, $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$, $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$, $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$, apiñándose hacia $0$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 34.9 (De dónde sale la escalera).**

Por qué esos números es mecánica cuántica, reservada a los volúmenes universitarios — como también lo es la fórmula de De Broglie: la [onda de materia](#def-g12-quantum-world-debroglie) del electrón ([Definición 34.15](#def-g12-quantum-world-debroglie), más abajo) debe cerrarse sobre sí misma alrededor del [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), y solo caben ciertas [longitudes de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) — igual que una cuerda de guitarra, un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) tiene un conjunto discreto de notas.

**Teorema 34.10 (Fotón de una transición).**

Un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) cambia de nivel únicamente emitiendo o absorbiendo un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) que se lleve exactamente la diferencia: al caer del nivel $p$ a otro más bajo $n$ emite $h\nu = E_p - E_n$; al subir de $n$ a $p$ absorbe esa misma [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy).

**Demostración.** [Conservación de la energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#thm-g10-energy-conservation-conservation), grano a grano: el [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) es la única moneda que acepta la luz, y las cuentas del [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) tienen que cuadrar. ∎

**Observación 34.11 (Los espectros de líneas, explicados).**

Aquí está la respuesta que prometía el [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#ch-g10-light-spectra): un gas caliente emite solo las [frecuencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $(E_p - E_n)/h$ de su propia escalera — un código de barras de líneas brillantes — y un gas frío roba exactamente esas [frecuencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) a la [luz blanca](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-white), imprimiendo las líneas oscuras de absorción correspondientes. Cada elemento tiene su propia escalera y, por tanto, su propio código de barras — así es como leemos la luz de las estrellas.

**Ejemplo 34.12 (Las líneas visibles del hidrógeno).**

Las transiciones que terminan en $n = 2$ caen en el visible. Con $E \,(\mathrm{eV}) = 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$: $3 \to 2$: $1.89\,\mathrm{eV}$, $656\,\mathrm{nm}$ (rojo); $4 \to 2$: $2.55\,\mathrm{eV}$, $486\,\mathrm{nm}$ (azul verdoso); $5 \to 2$: $2.86\,\mathrm{eV}$, $434\,\mathrm{nm}$ (violeta). Las transiciones a $n = 1$ superan los $10\,\mathrm{eV}$: todas [ultravioletas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength).

![La escalera del hidrógeno, a escala: las líneas visibles terminan todas en n = 2; la caída al estado fundamental es ultravioleta lejano.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-quantum-world/fig-44c49806c1ae.svg)

*La escalera del hidrógeno, a escala: las líneas visibles terminan todas en $n = 2$; la caída al [estado fundamental](#def-g12-quantum-world-levels) es [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) lejano.*

**Observación 34.13 (Los láseres, en un suspiro).**

Un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) exactamente $E_p - E_n$ que pase junto a un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) *excitado* puede provocar que este emita un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) idéntico — misma [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy), misma dirección, al paso. Mantén más [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) arriba que abajo y un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) se convierte en una avalancha de clones: la *emisión estimulada* — y un [láser](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/11-el-color-y-las-fuentes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) es poco más que eso.

## 34.4 Ondas de materia

**Proposición 34.14 (Los electrones interfieren).**

Envía electrones de uno en uno a través de una doble rendija ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#ch-g12-light-as-wave)): cada uno aterriza como un único punto nítido — una partícula. Pero, a medida que se acumulan miles, los puntos dibujan [franjas de interferencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#def-g12-light-as-wave-fringes): cada electrón, él solo, pasa como una [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) por *las dos* rendijas. Los cristales también difractan haces de electrones (Davisson y Germer, 1927).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Un electrón, un punto; miles, franjas. Dónde caerá el punto siguiente es aleatorio — como la desintegración de un núcleo () —, pero la onda fija la probabilidad: franja brillante, probable; oscura, casi nunca. El azar individual gobernado por una onda exacta: el corazón de la física cuántica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-quantum-world/fig-333b8485e601.svg)

*Un electrón, un punto; miles, franjas. Dónde caerá el punto siguiente es aleatorio — como la desintegración de un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/19-el-nucleo-y-la-radiactividad#ch-g11-nucleus-radioactivity)) —, pero la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) fija la *probabilidad*: franja brillante, probable; oscura, casi nunca. El azar individual gobernado por una [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) exacta: el corazón de la física cuántica.*

**Definición 34.15 (Longitud de onda de De Broglie).**

Toda partícula de [cantidad de movimiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#def-g12-newtons-laws-momentum) $p = mv$ viaja como una *onda de materia* de *longitud de onda de De Broglie*

$$
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 34.16 (Por qué tú nunca difractas).**

Un electrón acelerado con $100\,\mathrm{V}$ tiene $E_k = 1.60 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ y $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, luego $\lambda \approx 0.12\,\mathrm{nm}$ — la separación de los [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) en un cristal, que por eso actúa como su doble rendija. Una pelota de tenis de $58\,\mathrm{g}$ a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\lambda = 6.63\times10^{-34}/1.45 \approx 4.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{m}$, unas $10^{19}$ veces menor que un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) — ninguna rendija la mostrará jamás formando franjas. $h$ es tan pequeña que la granularidad cuántica solo asoma a la escala del [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder).

**Ejemplo 34.17 (El microscopio electrónico).**

La [difracción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#def-g12-light-as-wave-diffraction) prohíbe resolver detalles mucho más pequeños que la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) empleada ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#ch-g12-light-as-wave)): la luz visible se detiene cerca de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$. Los electrones a $10\,\mathrm{kV}$ tienen $\lambda \approx 12\,\mathrm{pm}$ — decenas de miles de veces más corta: los microscopios electrónicos fotografían virus, la maquinaria celular e incluso [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sueltos. La [onda de materia](#def-g12-quantum-world-debroglie) le regaló a la física un ojo nuevo.

## 34.5 Ejercicios

**Ejercicio 34.1 ★.**

Un puntero [láser](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/11-el-color-y-las-fuentes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) verde emite $1.0\,\mathrm{mW}$ a $530\,\mathrm{nm}$. Calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) en [julios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) y en [electronvoltios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/33-energia-nuclear-fision-fusion-e-mc2#def-g12-nuclear-energy-units), y después los [fotones](#def-g12-quantum-world-photon) por segundo.

**Solución de Ejercicio 34.1.**

$E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.30 \times 10^{-7} = 3.75 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} =
2.35\,\mathrm{eV}$. $N = 1.0 \times 10^{-3}/3.75 \times 10^{-19} \approx 2.7 \times 10^{15}$ [fotones](#def-g12-quantum-world-photon) por segundo.

**Ejercicio 34.2 ★.**

Una emisora de FM emite a $100\,\mathrm{MHz}$. Calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de su [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) en $\mathrm{eV}$ y compárala con la de un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) visible: ¿por qué es indetectable la granularidad de la radio?

**Solución de Ejercicio 34.2.**

$E = h\nu = 6.63\times10^{-34} \times 10^{8} = 6.63 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}
\approx 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ — unos cinco millones de veces menos que un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) visible. Cualquier [señal](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-signal) de radio detectable involucra tantísimos [fotones](#def-g12-quantum-world-photon) por segundo que el flujo resulta perfectamente liso.

**Ejercicio 34.3 ★.**

El cesio tiene $W_0 = 1.9\,\mathrm{eV}$. Calcula su [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) y su [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) umbral. ¿Un [láser](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/11-el-color-y-las-fuentes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) rojo de $633\,\mathrm{nm}$ arranca electrones del cesio — y, si es así, con qué [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic) máxima?

**Solución de Ejercicio 34.3.**

$\nu_0 = W_0/h = 3.04 \times 10^{-19}/6.63 \times 10^{-34} \approx
4.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $\lambda_0 = c/\nu_0 \approx 654\,\mathrm{nm}$. A $633\,\mathrm{nm}$, $E = 1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} > 1.9\,\mathrm{eV}$: sí, por poco, con $E_{k,\max} \approx 0.06\,\mathrm{eV} \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}$.

**Ejercicio 34.4 ★.**

Usando $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$, calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) y la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) del [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) emitido en la transición $3 \to 2$ del hidrógeno. ¿Su color?

**Solución de Ejercicio 34.4.**

$E_3 - E_2 = -1.51 + 3.40 = 1.89\,\mathrm{eV}$; $\lambda = 1240/1.89 \approx 656\,\mathrm{nm}$: la línea roja.

**Ejercicio 34.5 ★.**

En la gráfica de $E_{k,\max}$ frente a $\nu$ del curso, lee la [frecuencia umbral](#prop-g12-quantum-world-facts) y el [trabajo de extracción](#thm-g12-quantum-world-einstein) del sodio (en $\mathrm{eV}$); ¿qué constante es la pendiente?

**Solución de Ejercicio 34.5.**

$\nu_0 \approx 5.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $W_0 = h\nu_0 \approx 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ (la ordenada $-W_0$). La pendiente es la [constante de Planck](#def-g12-quantum-world-photon) $h$.

**Ejercicio 34.6 ★★.**

Luz de [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $400\,\mathrm{nm}$ incide sobre potasio ($W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$). Calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) del [fotón](#def-g12-quantum-world-photon), la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic) máxima de los electrones (en $\mathrm{eV}$ y en [julios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work)) y el [potencial de frenado](#def-g12-quantum-world-stopping).

**Solución de Ejercicio 34.6.**

$E = 1240/400 = 3.10\,\mathrm{eV}$; $E_{k,\max} = 3.10 - 2.3 = 0.80\,\mathrm{eV} = 1.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$; $U_s = E_{k,\max}/e = 0.80\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 34.7 ★★.**

Una célula fotoeléctrica se ilumina por encima del umbral. ¿Qué le ocurre (a) a la corriente y (b) al [potencial de frenado](#def-g12-quantum-world-stopping) cuando se duplica la intensidad a [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) fija? ¿Y cuando se sube la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)? ¿Qué hecho contradice la imagen ondulatoria, y por qué?

**Solución de Ejercicio 34.7.**

Al duplicar la intensidad: la corriente se duplica (el doble de [fotones](#def-g12-quantum-world-photon)) y $U_s$ no cambia (la misma [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) por [fotón](#def-g12-quantum-world-photon)). Al subir la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): $U_s$ sube, pues $E_{k,\max} = h\nu - W_0$. La imagen ondulatoria ata la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de los electrones a la intensidad y no a la [frecuencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — exactamente lo que *no* se observa.

**Ejercicio 34.8 ★★.**

¿Qué [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) mínima de [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) ioniza un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hidrógeno desde su [estado fundamental](#def-g12-quantum-world-levels)? ¿Y desde $n = 2$? Calcula ambas [longitudes de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) umbral y nombra sus dominios espectrales.

**Solución de Ejercicio 34.8.**

Desde $n = 1$: $13.6\,\mathrm{eV}$, $\lambda = 1240/13.6 \approx
91\,\mathrm{nm}$, [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) lejano. Desde $n = 2$: $3.40\,\mathrm{eV}$, $\lambda \approx 365\,\mathrm{nm}$, [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) cercano.

**Ejercicio 34.9 ★★.**

[Luz blanca](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-white) atraviesa un frasco de hidrógeno frío (todos los [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) en el [estado fundamental](#def-g12-quantum-world-levels)). Explica por qué el [espectro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/21-el-sonido-y-la-acustica#def-g12-sound-acoustics-timbre) transmitido *no* muestra ninguna línea oscura en el visible y, sin embargo, las líneas de absorción de Balmer sí aparecen en los [espectros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/21-el-sonido-y-la-acustica#def-g12-sound-acoustics-timbre) de las estrellas calientes.

**Solución de Ejercicio 34.9.**

Desde el [estado fundamental](#def-g12-quantum-world-levels), el salto más pequeño cuesta $E_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV}$ ($122\,\mathrm{nm}$): todas las líneas de absorción son [ultravioletas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) y ninguna es visible. En la atmósfera caliente de una estrella, los choques mantienen algunos [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) en $n = 2$, desde donde sí pueden absorberse los [fotones](#def-g12-quantum-world-photon) visibles de Balmer ($1.89\text{ to }3.40\,\mathrm{eV}$).

**Ejercicio 34.10 ★★.**

Calcula la [longitud de onda de De Broglie](#def-g12-quantum-world-debroglie) de (a) un electrón acelerado con $100\,\mathrm{V}$ y (b) una mosca de $0.10\,\mathrm{g}$ a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Compara cada una con el tamaño de un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ($\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}$); concluye.

**Solución de Ejercicio 34.10.**

(a) $E_k = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = h/p \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ — del tamaño de un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder): los cristales la difractan. (b) $p = 1.0 \times 10^{-4} \times 1.0 =
1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda \approx 6.6 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}$ — $10^{20}$ veces menor que un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder): la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) de la mosca es invisible para siempre.

**Ejercicio 34.11 ★★.**

Un ojo adaptado a la oscuridad responde a unos $90$ [fotones](#def-g12-quantum-world-photon) de luz de $505\,\mathrm{nm}$. Calcula esa [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy), compárala con la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic) de un mosquito de $2.5\,\mathrm{mg}$ que vuela a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e interpreta el cociente.

**Solución de Ejercicio 34.11.**

Un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon): $1.99 \times 10^{-25}/5.05 \times 10^{-7} = 3.94 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$; noventa: $\approx 3.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$. El mosquito: $\tfrac12 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 0.50^2 = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}$ — $10^{10}$ veces más. El ojo trabaja a un centenar de granos del límite absoluto: casi un contador de [fotones](#def-g12-quantum-world-photon).

**Ejercicio 34.12 ★★★.**

Una célula fotoeléctrica da $U_s = 1.19\,\mathrm{V}$ a $405\,\mathrm{nm}$ y $U_s = 0.40\,\mathrm{V}$ a $546\,\mathrm{nm}$. A partir de estos dos puntos, mide $h$ y después el [trabajo de extracción](#thm-g12-quantum-world-einstein) en $\mathrm{eV}$. ¿Cuál de los metales de este capítulo es el cátodo?

**Solución de Ejercicio 34.12.**

$\nu_1 = 7.41 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $\nu_2 = 5.49 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $h = e\,\Delta U_s/\Delta\nu = 1.60 \times 10^{-19} \times 0.79 /
1.91 \times 10^{14} \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$. $W_0 = h\nu_2 - eU_{s,2} = 3.63 \times 10^{-19} - 0.64 \times 10^{-19} =
3.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1.9\,\mathrm{eV}$: cesio.

**Ejercicio 34.13 ★★★.**

Una lámpara de hidrógeno muestra líneas a $486\,\mathrm{nm}$ y $434\,\mathrm{nm}$. Convierte cada una en [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) e identifica las dos transiciones emparejándolas con diferencias de los niveles $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$.

**Solución de Ejercicio 34.13.**

$1240/486 = 2.55\,\mathrm{eV} = E_4 - E_2 = 3.40 - 0.85$: transición $4 \to 2$. $1240/434 = 2.86\,\mathrm{eV} = E_5 - E_2 = 3.40 - 0.54$: transición $5 \to 2$.

**Ejercicio 34.14 ★★★.**

Estimación clásica del retardo: luz débil de intensidad $1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ incide sobre potasio ($W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$). Si un [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) recogiera únicamente la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) que atraviesa su sección [transversal](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-transverse) (de radio $1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$), ¿cuánto tardaría en reunir $W_0$? Compáralo con el retardo observado (inferior a $10^{-9}\,\mathrm{s}$).

**Solución de Ejercicio 34.14.**

Sección [transversal](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-transverse) $\pi r^2 \approx 3.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$, [potencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-power) recogida $3.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$; $t = 3.7 \times 10^{-19}/3.1 \times 10^{-26} \approx 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ — cuatro meses, frente a menos de un nanosegundo observado. La [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) no puede estar repartida por el [frente de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavefront): viaja concentrada, en granos.

**Ejercicio 34.15 ★★★.**

En un microscopio electrónico los electrones se aceleran con $5.0\,\mathrm{kV}$. Calcula su [longitud de onda de De Broglie](#def-g12-quantum-world-debroglie), compárala con la de la luz verde ($550\,\mathrm{nm}$) y explica, mediante la [difracción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#def-g12-light-as-wave-diffraction) ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#ch-g12-light-as-wave)), por qué eso compra resolución.

**Solución de Ejercicio 34.15.**

$E_k = 8.0 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}$, $p = \sqrt{2m_e E_k} = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = h/p \approx 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 17\,\mathrm{pm}$ — unas $3 \times 10^{4}$ veces más corta que $550\,\mathrm{nm}$. La [difracción](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/22-la-luz-como-onda-difraccion-e-interferencias#def-g12-light-as-wave-diffraction) difumina los detalles menores que $\sim\lambda$, así que encoger $\lambda$ en $10^4$ compra $10^4$ en resolución.

## 34.6 Problema: El laboratorio de física del panel solar

**Problema 34.1.**

Problema de fin de semana — el laboratorio de física del panel solar: los $10^{21}$ granos que se bebe un tejado cada segundo, una célula fotoeléctrica que mide la [constante de Planck](#def-g12-quantum-world-photon), una lámpara de hidrógeno leída línea a línea — un fin de semana, una $h$

Tu clase instrumenta durante un fin de semana el panel solar del tejado del instituto. Datos: irradiancia solar al mediodía, $1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) solar media, $550\,\mathrm{nm}$; superficie del panel, $1.0\,\mathrm{m}^{2}$, con un [rendimiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-efficiency) del $20\,\%$; el día entrega el equivalente de $5.0\,\mathrm{h}$ de sol pleno.

**Parte I — Contabilidad de [fotones](#def-g12-quantum-world-photon).**

1. Calcula la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de un [fotón](#def-g12-quantum-world-photon) solar medio, en [julios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/17-el-trabajo-de-una-fuerza#def-g11-work-of-force-work) y en [electronvoltios](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/33-energia-nuclear-fision-fusion-e-mc2#def-g12-nuclear-energy-units) .
2. Deduce el número de [fotones](#def-g12-quantum-world-photon) que golpean el panel por segundo al mediodía.
3. Calcula la [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/12-circuitos-electricos-y-potencia#prop-g11-circuits-and-power-power) del panel al mediodía y después la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) producida a lo largo del día, en $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .
4. La corriente del panel parece perfectamente lisa. Usando la pregunta 2, explica por qué la llegada grano a grano es invisible.
5. La luz del Sol transporta más [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) infrarroja que [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) y, sin embargo, solo la [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) quema la piel (enlaces de $\sim 3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ ). Explícalo en términos de granos.

**Parte II — Medir $h$ con la célula del equipo.** La célula fotoeléctrica del equipo tiene un cátodo desconocido. Los [filtros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/11-el-color-y-las-fuentes-de-luz#def-g11-color-light-sources-subtractive) dan:

| $\lambda$ ($\mathrm{nm}$) | 365 | 405 | 436 | 546 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $U_s$ ($\mathrm{V}$) | 1.50 | 1.16 | 0.94 | 0.37 |

6. ¿Qué mide el [potencial de frenado](#def-g12-quantum-world-stopping) ? Relaciona $U_s$ , $\nu$ , $W_0$ y $h$ .
7. Convierte las cuatro [longitudes de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) en [frecuencias](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) (en $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ).
8. ¿Por qué debería salir una recta al representar $eU_s$ frente a $\nu$ ? Comprueba la alineación de los puntos.
9. A partir de los puntos extremos, calcula la pendiente: tu $h$ medida.
10. Deduce el [trabajo de extracción](#thm-g12-quantum-world-einstein) del cátodo (en $\mathrm{eV}$ ), su [frecuencia umbral](#prop-g12-quantum-world-facts) y su [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) umbral.
11. ¿Qué parte de la luz solar podría arrancar electrones de este cátodo — y qué mitad del [espectro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/21-el-sonido-y-la-acustica#def-g12-sound-acoustics-timbre) le resulta inútil?
12. Compara tu $h$ con $6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : ¿error relativo en porcentaje?

**Parte III — La lámpara de calibración de hidrógeno.** La escala de [longitudes de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) del equipo se comprueba con una lámpara de hidrógeno, $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$.

13. Calcula $E_2$ , $E_3$ , $E_4$ y $E_5$ .
14. Calcula las [energías](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) de los [fotones](#def-g12-quantum-world-photon) de las transiciones $3 \to 2$ , $4 \to 2$ y $5 \to 2$ .
15. Deduce las tres [longitudes de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) y da el color de cada línea.
16. ¿Por qué emite la lámpara *líneas* y no un arcoíris continuo? En una frase, nombrando la idea clave.
17. ¿Podría el hidrógeno de la lámpara absorber luz de $500\,\mathrm{nm}$ ? Justifícalo con la escalera.

**Parte IV — Inspeccionar las células: la [onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) del electrón.** Las microgrietas de una célula quedan muy por debajo del [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ de los microscopios ópticos; el microscopio electrónico de barrido del laboratorio funciona a $10\,\mathrm{kV}$.

18. Calcula la rapidez de los electrones; comprueba que se mantiene por debajo de $0.25\,c$ (fórmula clásica).
19. Calcula su [cantidad de movimiento](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/25-las-leyes-de-newton#def-g12-newtons-laws-momentum) y su [longitud de onda de De Broglie](#def-g12-quantum-world-debroglie) .
20. La resolución escala con la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) : calcula la ganancia respecto de la luz verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ); concluye con las dos cifras del fin de semana — tu $h$ y esta ganancia.

**Solución de Problema 34.1.**

**1.** $E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.50 \times 10^{-7} =
3.62 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.26\,\mathrm{eV}$.

**2.** $N = 1.0 \times 10^{3}/3.62 \times 10^{-19} \approx 2.8 \times 10^{21}$ [fotones](#def-g12-quantum-world-photon) por segundo.

**3.** $P = 0.20 \times 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W} = 200\,\mathrm{W}$; $E = 200 \times 5.0 = 1.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ($3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$).

**4.** Con $10^{21}$ granos por segundo, el parpadeo estadístico es fantásticamente pequeño: la granularidad se promedia y da una corriente perfectamente lisa, igual que la arena vertida deprisa se derrama como el agua.

**5.** El daño necesita un grano de $3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$: los granos [ultravioletas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) cumplen, los [infrarrojos](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) ($\sim 0.1\,\mathrm{eV}$) no lo hacen jamás — el número no sustituye a la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de cada grano.

**6.** $U_s$ es la tensión inversa que detiene justo a los electrones más rápidos: $eU_s = E_{k,\max} = h\nu - W_0$.

**7.** $\nu = c/\lambda$: $8.22$, $7.41$, $6.88$ y $5.49$ $\times\,10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

**8.** $eU_s = h\nu - W_0$ es afín en $\nu$ con pendiente $h$. Pendientes sucesivas: $(0.94 - 0.37)/1.39 = 0.41$ y $(1.50 - 0.94)/1.34 = 0.42$ $\mathrm{eV}$ por $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — los tres puntos se alinean.

**9.** $h = e(U_{s,1}-U_{s,4})/(\nu_1-\nu_4) = 1.60 \times 10^{-19}
\times 1.13/2.72 \times 10^{14} = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$.

**10.** A $546\,\mathrm{nm}$: $W_0 = h\nu - eU_s = 3.64 \times 10^{-19} - 0.59 \times 10^{-19} =
3.05 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.90\,\mathrm{eV}$; $\nu_0 = W_0/h = 4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $\lambda_0 \approx 653\,\mathrm{nm}$.

**11.** Solo arranca electrones lo que tiene $\lambda < 653\,\mathrm{nm}$: el visible del violeta al rojo y el [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength). Todo el lado [infrarrojo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) — aproximadamente la mitad de la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) del Sol — le resulta inútil a este cátodo.

**12.** $(6.64 - 6.63)/6.63 \approx 0.2\,\%$ — una medida de dos por mil de una constante universal, hecha en un laboratorio escolar.

**13.** $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$, $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$, $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$, $E_5 = -0.54\,\mathrm{eV}$.

**14.** $3 \to 2$: $1.89\,\mathrm{eV}$; $4 \to 2$: $2.55\,\mathrm{eV}$; $5 \to 2$: $2.86\,\mathrm{eV}$.

**15.** $\lambda = 1240/E$: $656\,\mathrm{nm}$ (rojo), $486\,\mathrm{nm}$ (azul verdoso), $434\,\mathrm{nm}$ (violeta).

**16.** Las [energías](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) del [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) están [cuantizadas](#def-g12-quantum-world-levels), así que solo puede emitir las diferencias discretas $E_p - E_n$: una escalera produce líneas, no un arcoíris.

**17.** No: $500\,\mathrm{nm}$ son $2.48\,\mathrm{eV}$, que no coinciden con ninguna diferencia de niveles (desde $E_2$ hacia arriba salen $1.89$, $2.55$, $2.86$ y $3.40\,\mathrm{eV}$; desde $E_1$ todo cuesta al menos $10.2\,\mathrm{eV}$) — el gas es transparente ahí.

**18.** $eU = \tfrac12 m_e v^2$: $v = \sqrt{2 \times 1.60 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{4}/9.11 \times 10^{-31}}
\approx 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.20\,c$ — el tratamiento clásico es aceptable.

**19.** $p = m_e v = 5.4 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\lambda = h/p = 1.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 12\,\mathrm{pm}$.

**20.** Ganancia $= 5.50 \times 10^{-7}/1.23 \times 10^{-11} \approx
4.5 \times 10^{4}$. Las dos cifras del fin de semana: $h = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, medida con un $0.2\,\%$ de error con unos [filtros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/11-el-color-y-las-fuentes-de-luz#def-g11-color-light-sources-subtractive) y un voltímetro, y un microscopio cuarenta y cinco mil veces más nítido porque los electrones ondulan.