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title: "Relatividad especial: la dilatación del tiempo"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 35
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/35-relatividad-especial-la-dilatacion-del-tiempo
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# Capítulo 35 — Relatividad especial: la dilatación del tiempo

Todo [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) GPS lleva un reloj atómico bueno hasta un segundo en tres millones de años — y antes del lanzamiento los ingenieros lo desafinan a propósito: si se le dejara ser honrado, adelantaría 38 millonésimas de segundo al día y, para mañana por la tarde, tu teléfono te situaría a once kilómetros de donde estás. El reloj no tiene la culpa — el tiempo mismo transcurre de otra manera para lo que se mueve y para lo que está quieto: este capítulo sigue a Einstein desde un hecho testarudo hasta esa conclusión.

## 35.1 Una velocidad que se niega a sumarse

Las velocidades dependen del [sistema de referencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) y se componen por adición ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#ch-g10-relative-motion)): una pasajera que camina a $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ hacia la cabecera de un tren que va a $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ pasa ante el observador de la vía a $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Definición 35.1 (Sistema inercial).**

Un *sistema inercial* es un [sistema de referencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#ch-g10-relative-motion)) en el que un cuerpo libre de [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) mantiene una velocidad constante: el suelo, con muy buena aproximación, y todo sistema en [movimiento rectilíneo uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#def-g12-kinematics-2d-uniform) respecto de él.

Llevemos la regla al extremo: el haz del faro del tren debería pasar ante el observador del suelo a $c + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. En 1887, Michelson y Morley compararon la velocidad de la luz a lo largo y a través de la carrera orbital de $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de la Tierra, a la caza de esas diferencias; con una precisión exquisita no encontraron ninguna — el mismo $c$ en todas las direcciones y en todas las estaciones. Einstein, en 1905, se creyó el experimento y reconstruyó el tiempo y el espacio a su alrededor, sobre dos postulados que se juzgan por sus consecuencias — puestas a prueba durante un siglo sin un solo fallo.

**Teorema 35.2 (Los postulados de la relatividad especial).**

1. *Principio de relatividad* : las leyes de la física adoptan la misma forma en todos los [sistemas inerciales](#def-g12-special-relativity-inertial) ; ninguno está “verdaderamente en reposo”.
2. *Invariancia de $c$* : la luz en el vacío viaja a $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en todos los [sistemas inerciales](#def-g12-special-relativity-inertial) , sea cual sea el movimiento de la fuente o del observador.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

## 35.2 Adiós al “mismo instante”

**Proposición 35.3 (Relatividad de la simultaneidad).**

Dos [sucesos](#def-g12-special-relativity-proper-time) simultáneos en un [sistema inercial](#def-g12-special-relativity-inertial) no lo son, en general, en otro: el “ahora, en todas partes” depende del [sistema de referencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-frame).

**Demostración.** El tren de Einstein. Dos rayos caen sobre los dos extremos de un tren en marcha y chamuscan la vía. El observador del andén $M$, a mitad de camino entre las dos marcas, recibe los dos destellos a la vez; cada uno recorrió la misma distancia a la misma velocidad $c$, luego los impactos fueron simultáneos. El pasajero $M'$, en el centro del tren, va *al encuentro* del destello delantero, que le llega primero; pero en su sistema los dos destellos también recorrieron distancias iguales (medio tren) a la misma velocidad $c$ — ¡segundo postulado! —, luego el impacto delantero ocurrió antes. Cada veredicto es correcto en su propio sistema; el desacuerdo, de nanosegundos para un tren, es la razón de que nadie se hubiera dado cuenta. ∎

![El tren de Einstein: los destellos de A y B llegan juntos a M; M' va al encuentro del de B, lo recibe primero — y concluye que ese cayó antes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-f6d4aa5bf897.svg)

*El tren de Einstein: los destellos de $A$ y $B$ llegan juntos a $M$; $M'$ va al encuentro del de $B$, lo recibe primero — y concluye que ese cayó antes.*

## 35.3 El reloj de luz y el factor $\gamma$

**Definición 35.4 (Suceso, tiempo propio).**

Un *suceso* es algo que ocurre en un lugar y en un instante — un tic, un destello, una desintegración. Cuando un mismo reloj está presente en dos sucesos, el intervalo que marca entre ellos es el *tiempo propio* $\Delta t_0$. Un sistema en el que ese reloj se mueve mide un intervalo $\Delta t$ en general distinto.

**Teorema 35.5 (Dilatación del tiempo).**

Un reloj que se mueve a velocidad constante $v$ por un [sistema inercial](#def-g12-special-relativity-inertial) se mide allí como atrasado: entre dos [sucesos](#def-g12-special-relativity-proper-time) que ocurren en el reloj,

$$
\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .
$$

**Demostración.** Construyamos el reloj más sencillo imaginable: dos espejos enfrentados a distancia $L$, con un [fotón](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/34-el-mundo-cuantico-fotones-y-niveles-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) rebotando entre ellos; un viaje de ida y vuelta es un tic y, en reposo, un tic dura $\Delta t_0 = 2L/c$. Atornillemos ahora el reloj a una nave que cruza a velocidad $v$, con los espejos perpendiculares al movimiento, y cronometremos un tic desde el suelo: mientras el [fotón](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/34-el-mundo-cuantico-fotones-y-niveles-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) sube, los espejos se deslizan lateralmente, así que el [fotón](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/34-el-mundo-cuantico-fotones-y-niveles-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) vuela por un camino inclinado — dos movimientos a la vez, como el [proyectil](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-projectile) del [Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/24-cinematica-en-dos-dimensiones#ch-g12-kinematics-2d). Si el tic dura $\Delta t$, cada medio tic avanza $v\,\Delta t/2$ en horizontal y $L$ en vertical; y — paso crucial — el segundo postulado fija en $c$ la velocidad del [fotón](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/34-el-mundo-cuantico-fotones-y-niveles-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) respecto del suelo, así que el medio camino inclinado mide $c\,\Delta t/2$. Pitágoras:

$$
\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2}
\;\Longrightarrow\;
\Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .
$$

Y cualquier reloj que viaje a su lado — un reloj de pulsera, un latido, un [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) que se desintegra — tiene que mantenerse al paso, o la comparación delataría el movimiento de la nave y violaría el primer postulado. ∎

![El reloj de luz. En reposo el fotón sube L; desde el suelo vuela por la hipotenusa a la misma c — así que el tic tiene por fuerza que durar más.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-d529c7c049a0.svg)

![El reloj de luz. En reposo el fotón sube L; desde el suelo vuela por la hipotenusa a la misma c — así que el tic tiene por fuerza que durar más.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-98188abed141.svg)

*El reloj de luz. En reposo el [fotón](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/34-el-mundo-cuantico-fotones-y-niveles-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) sube $L$; desde el suelo vuela por la hipotenusa a la misma $c$ — así que el tic tiene por [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) que durar más.*

**Ejemplo 35.6 (Gamma en números).**

| $v/c$ | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.8 | 0.9 | 0.99 | 0.999 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\gamma$ | 1.00005 | 1.005 | 1.155 | 1.667 | 2.294 | 7.09 | 22.4 |

No pasa nada durante páginas y después pasa todo: $\gamma$ se abraza al $1$ hasta un tercio de la velocidad de la luz, supera el $2$ cerca de $0.9c$ y se dispara cuando $v \to c$.

![= 1/√1 - v2/c2: indistinguible de 1 a velocidades cotidianas, y divergente en la asíntota v = c — la velocidad que ningún cuerpo con masa alcanza.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-8e12dcb81baf.svg)

*$\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$: indistinguible de $1$ a velocidades cotidianas, y [divergente](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/10-lentes-imagenes-y-el-ojo#def-g11-lenses-and-eye-lens) en la asíntota $v = c$ — la velocidad que ningún cuerpo con masa alcanza.*

**Observación 35.7 (Por qué la vida diaria nunca se enteró).**

Para $v \ll c$, escribamos $x = v^2/c^2$: como $(1-x)(1+x) \approx 1$ y $(1 + x/2)^2 \approx 1 + x$, sale $\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2)$. Un coche a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ tiene $\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15}$ (un segundo perdido por cada cuatro millones de años conduciendo); un reactor alcanza $3.5 \times 10^{-13}$, un segundo por cada noventa mil años de vuelo. Nuestros relojes eran, sencillamente, demasiado bastos.

## 35.4 El veredicto del experimento

**Ejemplo 35.8 (Los muones llegan al suelo).**

Los rayos cósmicos que golpean la alta atmósfera crean *muones* — partículas de vida corta, de vida media propia $\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — a unos $15\,\mathrm{km}$ de altura y moviéndose a casi $c$. Sin relatividad, un muón recorre $c\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m}$ por vida media: el descenso ocupa unas $23$ vidas medias, y la fracción superviviente $\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}$ debería hacer rarísimos los muones a nivel del mar. Y sin embargo los detectores cuentan alrededor de uno por centímetro cuadrado y por minuto. La [dilatación del tiempo](#thm-g12-special-relativity-dilation) lo resuelve: al llegar con $\gamma \approx 30$, los muones viven $30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}$ según nuestros relojes — [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) $\approx 20\,\mathrm{km}$, la atmósfera entera.

![El viaje del muón: una vida media clásica se extingue 660\, m por debajo de la altura de nacimiento; la vida media dilatada abarca toda la atmósfera.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-36117e0dbc4f.svg)

*El viaje del muón: una vida media clásica se extingue $660\,\mathrm{m}$ por debajo de la altura de nacimiento; la vida media dilatada abarca toda la atmósfera.*

Las confirmaciones se acumulan. En 1971, Hafele y Keating pasearon relojes atómicos de cesio ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#ch-g12-oscillators-and-time)) alrededor del mundo en aviones de línea; al aterrizar diferían de los relojes de tierra en las fracciones de microsegundo predichas. Los aceleradores cuentan a diario con la dilatación, con sus partículas impulsadas hasta $\gamma$ de varios miles sobreviviendo a vueltas que clásicamente nunca podrían completar. Y el GPS es un experimento permanente con factura.

**Observación 35.9 (La factura relativista del GPS).**

Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) GPS orbita a unos $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, así que la [relatividad especial](#thm-g12-special-relativity-postulates) atrasa su reloj unos $7\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día. La gravedad, más débil en altura, actúa en sentido contrario y gana: la relatividad general (la teoría de la [gravitación](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/13-las-interacciones-fundamentales#def-g11-fundamental-interactions-four) de Einstein, contada en los volúmenes universitarios) lo adelanta unos $45\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día; en neto, $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ de adelanto al día. El posicionamiento convierte lecturas de reloj en distancias a la velocidad $c$: un día sin corregir emborronaría las posiciones en $c \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km}$ — de ahí los relojes desafinados del primer párrafo.

**Proposición 35.10 (Contracción de las longitudes).**

Un cuerpo de longitud $L_0$ en su propio sistema en reposo se mide más corto a lo largo de su dirección de movimiento en un sistema en el que se mueve a velocidad $v$: $L = L_0/\gamma$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 35.11 (La versión que cuenta el muón).**

La [contracción de las longitudes](#prop-g12-special-relativity-contraction) es la otra cara de la [dilatación del tiempo](#thm-g12-special-relativity-dilation) (deducida honradamente en los volúmenes universitarios): el reloj del muón marcha con normalidad en su propio sistema, pero la atmósfera que se le viene encima está contraída a $15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}$, que se cruzan de sobra dentro de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — los dos sistemas coinciden en que el muón llega al suelo.

## 35.5 Masa, energía y el mundo clásico recuperado

**Teorema 35.12 (Equivalencia masa–energía).**

Un cuerpo de masa $m$ posee, solo por su masa, la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy)

$$
E = m c^2 .
$$

La masa es una forma concentrada de [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy); y la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy), a su vez, tiene masa.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 35.13 (Dónde te la has encontrado).**

Este es el libro de cuentas que hay detrás de la [energía nuclear](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-forms) ([Capítulo 33](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/33-energia-nuclear-fision-fusion-e-mc2#ch-g12-nuclear-energy)): el [defecto de masa](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/33-energia-nuclear-fision-fusion-e-mc2#def-g12-nuclear-energy-defect) de una reacción, multiplicado por $c^2$, es la [energía](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/9-la-energia-formas-y-conservacion#def-g10-energy-conservation-energy) liberada. Un gramo de masa son $9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ — la producción de un día entero de una central grande. La deducción honrada pertenece a los volúmenes universitarios; los reactores y las estrellas funcionan con ella de todas formas.

**Observación 35.14 (Newton no se equivocaba).**

Pon $v \ll c$: $\gamma \to 1$, los tiempos coinciden, las longitudes se descontraen y la simultaneidad se vuelve absoluta — reaparece, intacta, la mecánica de los tres últimos cursos, como el límite de baja velocidad. La relatividad no demolió a Newton; dibujó la frontera de su imperio. Así es como crece la física: refinando teorías, y devolviendo cada nueva la anterior como caso límite.

## 35.6 Ejercicios

**Ejercicio 35.1 ★.**

Calcula $\gamma$, con tres [cifras significativas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), para $v = 0.1c$, $0.6c$, $0.8c$ y $0.995c$.

**Solución de Ejercicio 35.1.**

$\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$: $1.01$ ($0.1c$); $1.25$ ($0.6c$); $1.67$ ($0.8c$); $10.0$ ($0.995c$).

**Ejercicio 35.2 ★.**

Una nave navega a $0.6c$; su metrónomo bate cada $10.0\,\mathrm{s}$ según el reloj de la nave. ¿Qué intervalo mide el suelo? ¿Cuál es el [tiempo propio](#def-g12-special-relativity-proper-time), y por qué?

**Solución de Ejercicio 35.2.**

$\gamma = 1.25$, así que el suelo mide $1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s}$. Los $10.0\,\mathrm{s}$ de la nave son el [tiempo propio](#def-g12-special-relativity-proper-time): el metrónomo (un solo reloj) está presente en los dos golpes.

**Ejercicio 35.3 ★.**

¿A qué velocidad (como fracción de $c$) vale $\gamma = 2$? ¿Y $\gamma = 10$?

**Solución de Ejercicio 35.3.**

$v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$: $\gamma = 2$ da $v = 0.866c$; $\gamma = 10$ da $v = 0.995c$.

**Ejercicio 35.4 ★.**

Un coche circula a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Calcula $v/c$ y después $\gamma - 1$ ([Observación 35.7](#rem-g12-special-relativity-everyday)); ¿cuánto tiene que circular para que su reloj se retrase $1\,\mathrm{s}$?

**Solución de Ejercicio 35.4.**

$v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v/c = 1.2 \times 10^{-7}$; $\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}$. Pierde un segundo al cabo de $1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ — unos cuatro millones de años de conducción.

**Ejercicio 35.5 ★.**

En el experimento del tren de Einstein, explica — citando el postulado empleado — por qué el pasajero concluye que el impacto *delantero* llegó primero, y por qué ninguno de los dos observadores se equivoca.

**Solución de Ejercicio 35.5.**

El pasajero va al encuentro del destello delantero, así que le llega primero; por el segundo postulado, ambos destellos viajan a la misma $c$ sobre las mismas distancias de medio tren *en su sistema*, luego una llegada anterior significa un impacto anterior. La simultaneidad depende del [sistema de referencia](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-frame): cada veredicto es correcto en el suyo.

**Ejercicio 35.6 ★★.**

Los piones cargados viven $\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$. Un haz sale de un acelerador a $0.99c$. Calcula $\gamma$, la vida media en el laboratorio, el [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) clásico $v\,\Delta t_0$ y el [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) medio real.

**Solución de Ejercicio 35.6.**

$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09$; vida media en el laboratorio, $7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$. [Alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) clásico, $0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}$; real, $7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 35.7 ★★.**

En la curva de $\gamma$, lee las velocidades que dan $\gamma = 1.5$ y $\gamma = 3$ (compruébalo con un cálculo). ¿Qué dice la asíntota vertical en $v = c$ sobre acelerar un cuerpo con masa?

**Solución de Ejercicio 35.7.**

$\gamma = 1.5$ en $v = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c$; $\gamma = 3$ en $\approx 0.94c$. La asíntota: $\gamma$ (y el coste energético de seguir acelerando) diverge cuando $v \to c$ — ningún esfuerzo finito lleva un cuerpo con masa a la velocidad de la luz.

**Ejercicio 35.8 ★★.**

Un reloj de luz tiene los espejos separados $L = 1.5\,\mathrm{m}$. Calcula su tic en reposo y después su tic medido desde el suelo cuando navega a $0.8c$.

**Solución de Ejercicio 35.8.**

$\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$; a $0.8c$, $\gamma = 5/3$, luego $\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 35.9 ★★.**

¿Quién mide el [tiempo propio](#def-g12-special-relativity-proper-time) entre: (a) dos tics de un reloj de pulsera — quien lo lleva o quien pasa a su lado? (b) el nacimiento y la desintegración de un muón — el muón o el laboratorio? (c) la salida de la Tierra y la llegada a Marte — la piloto o el control de la misión?

**Solución de Ejercicio 35.9.**

El [tiempo propio](#def-g12-special-relativity-proper-time) pertenece al reloj presente en los dos [sucesos](#def-g12-special-relativity-proper-time): (a) quien lo lleva; (b) el muón; (c) la piloto — solo la nave está a la vez en la salida y en la llegada.

**Ejercicio 35.10 ★★.**

La estación espacial orbita a $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcula $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ y después cuánto se retrasa el reloj de una astronauta respecto de un reloj de tierra al cabo de seis meses ($1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$).

**Solución de Ejercicio 35.10.**

$\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx
3.3 \times 10^{-10}$; a lo largo de $1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ la astronauta se retrasa $3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ — unos cinco milisegundos más joven.

**Ejercicio 35.11 ★★.**

Calcula el contenido energético $E = mc^2$ de $1.0\,\mathrm{g}$ de materia. Compáralo con la producción diaria de una central de $1.0\,\mathrm{GW}$ y con los $8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ de [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/18-la-energia-mecanica-y-su-conservacion#def-g11-mechanical-energy-kinetic) de un coche a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Solución de Ejercicio 35.11.**

$E = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$. Una central de $1.0\,\mathrm{GW}$ entrega $1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx 8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ al día — un gramo es un día de su producción — y $9.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}$: cien millones de coches lanzados.

**Ejercicio 35.12 ★★★.**

Demuestra, a partir de $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, que $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$; deduce la velocidad de los muones con $\gamma = 30$, con cinco [cifras significativas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) en [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de $c$.

**Solución de Ejercicio 35.12.**

Elevando al cuadrado e invirtiendo: $\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1$, luego $v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2$ y, por tanto, $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$. Para $\gamma = 30$: $v = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c$.

**Ejercicio 35.13 ★★★.**

Vuelve a contar el viaje del muón desde su propio sistema: ¿qué grosor tiene la atmósfera con $\gamma = 30$, cuánto tarda en desfilar a $0.99944c$ y cabe eso dentro de una sola vida media propia?

**Solución de Ejercicio 35.13.**

Grosor contraído, $L = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}$; tiempo de desfile, $500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} <
2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$. Los dos sistemas coinciden en que el muón llega al suelo — uno se lo achaca a una vida media estirada y el otro, a una atmósfera encogida.

**Ejercicio 35.14 ★★★.**

Un acelerador lineal empuja electrones hasta $\gamma = 1.0 \times 10^{5}$ a lo largo de un tubo de $3.2\,\mathrm{km}$. ¿Cuánto dura el viaje en el laboratorio? ¿Y en el sistema del electrón, y cuánto “mide” allí el tubo?

**Solución de Ejercicio 35.14.**

Laboratorio: $3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$ (rapidez $\approx c$). Sistema del electrón: el tubo queda contraído a $3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}$, recorrido en $1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 35.15 ★★★.**

Próxima Centauri está a $4.2$ [años luz](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) (un [año luz](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) es la distancia que recorre la luz en un año). Una sonda viaja hasta allí a $0.9c$: ¿cuánto dura el viaje en el calendario terrestre y en el reloj de la sonda?

**Solución de Ejercicio 35.15.**

Tierra: $4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{años}$. Con $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29$, el reloj de la sonda registra $4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{años}$.

## 35.7 Problema: El muón y la gemela

**Problema 35.1.**

Problema de fin de semana — el viaje del muón y la gemela de la astronauta: una partícula que sobrevive a su reloj, un reloj de luz reconstruido, una viajera más joven que su gemela y la contabilidad que mantiene honrado al GPS

Datos: vida media propia del muón $\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$; muones nacidos a unos $15\,\mathrm{km}$ de altura a casi $c$; flujo a nivel del mar de alrededor de un muón por $\mathrm{cm}^{2}$ y por minuto; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Parte I — La llegada imposible del muón.**

1. Sin relatividad, ¿qué distancia recorre un muón en una vida media?
2. ¿Cuántas vidas medias ocupa entonces el descenso de $15\,\mathrm{km}$ ?
3. Tras $n$ vidas medias sobrevive una fracción $\mathrm{e}^{-n}$ : estímala, enfréntala al flujo medido y dicta sentencia sobre la física clásica en una frase.
4. Estos muones llegan de hecho con $\gamma \approx 30$ . Calcula su vida media medida desde el suelo y el [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) resultante.
5. Calcula su velocidad, usando $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$ , con cinco [cifras significativas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) en [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de $c$ .

**Parte II — El reloj de luz, reconstruido.** Un reloj de luz ($L = 1.5\,\mathrm{m}$) viaja en una nave a $v = 0.6c$.

6. Calcula el tic $\Delta t_0$ que se lee a bordo.
7. Visto desde el suelo, un tic dura $\Delta t$ : da el avance horizontal por medio tic, la subida vertical del [fotón](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/34-el-mundo-cuantico-fotones-y-niveles-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) y — nombrando el postulado que lo fija — la longitud del medio camino inclinado.
8. Aplica Pitágoras al triángulo del medio tic y despeja $\Delta t$ , demostrando que $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$ .
9. Calcula $\gamma$ y $\Delta t$ numéricamente.
10. ¿Qué observador mide el [tiempo propio](#def-g12-special-relativity-proper-time) entre dos tics? Justifícalo a partir de la definición.

**Parte III — La viajera y su gemela.** Una astronauta deja a su gemela en la Tierra para hacer un viaje de ida y vuelta a $0.8c$; los relojes terrestres cronometran el viaje entero en 10.0 años.

11. Calcula $\gamma$ a $0.8c$ (fracción exacta y después decimal).
12. ¿Cuánto tiempo transcurre en el reloj de la astronauta?
13. ¿A qué distancia (en el sistema de la Tierra, en [años luz](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) ) estaba el [punto de retorno](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/29-trabajo-y-energia-mecanica#def-g12-work-and-energy-diagram) ?
14. ¿Cuál es la diferencia de edad en el reencuentro, y cuál de las dos gemelas es la más joven?
15. “Pero el movimiento es relativo — ¡la astronauta podría afirmar que fue la Tierra la que viajó!” Resuelve la objeción en una frase.

**Parte IV — La factura del GPS.** Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) GPS orbita con radio $r = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ y [periodo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/28-osciladores-mecanicos-y-la-medida-del-tiempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T = 12\,\mathrm{h}$.

16. Calcula su rapidez orbital $v = 2\pi r/T$ .
17. Calcula $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ .
18. Deduce, en microsegundos, cuánto se retrasa el reloj del [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) respecto de los relojes de tierra en un día ( $86\,400\,\mathrm{s}$ ).
19. Si solo esta deriva quedara sin corregir, las posiciones errarían en $c \times$ (deriva): calcula el error al cabo de un día.
20. La gravedad, más débil en altura, hace *adelantar* el reloj $45\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día (relatividad general): calcula la deriva neta y el error diario de posición en kilómetros — la cifra que obliga a los ingenieros a desafinar todos los relojes GPS.

**Solución de Problema 35.1.**

**1.** $c\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx
660\,\mathrm{m}$.

**2.** $15\,000/660 \approx 23$ vidas medias.

**3.** $\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}$: debería llegar menos de un muón de cada diez mil millones y, sin embargo, el flujo es de uno por $\mathrm{cm}^{2}$ y por minuto — el cielo contradice de plano la física clásica.

**4.** Vida media desde el suelo, $30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}$; [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/26-caida-libre-y-tiro-parabolico#def-g12-projectile-motion-range) $\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} >
15\,\mathrm{km}$: la llegada queda explicada.

**5.** $v = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c$.

**6.** $\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**7.** En horizontal, $v\,\Delta t/2$; en vertical, $L$; y el medio camino inclinado mide $c\,\Delta t/2$ porque el segundo postulado fija en $c$ la velocidad del [fotón](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/34-el-mundo-cuantico-fotones-y-niveles-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) también en el sistema del suelo.

**8.** $(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2$ da $\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2$, luego $\Delta t = (2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0$.

**9.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25$; $\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**10.** El de la nave: su único reloj está presente en los dos tics y, por tanto, marca el [tiempo propio](#def-g12-special-relativity-proper-time); el suelo necesita dos relojes sincronizados.

**11.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67$.

**12.** $10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{años}$.

**13.** Ida de $5.0\,\mathrm{años}$ a $0.8c$: $4.0$ [años luz](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear).

**14.** $10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{años}$: la astronauta es cuatro años más joven que su gemela.

**15.** La situación no es simétrica: solo la astronauta da media vuelta — acelera y cambia de [sistema inercial](#def-g12-special-relativity-inertial), mientras que la gemela terrestre se queda en uno solo —, así que solo su reloj registra el tiempo más corto.

**16.** $v = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx
3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times
9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}$.

**18.** $8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}
= 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ de atraso al día.

**19.** $c \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km}$ de error de posición al día.

**20.** Deriva neta, $45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s}$ de adelanto al día; error, $c \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km}$ al día — la factura relativista que todo reloj GPS paga por adelantado, desafinado en tierra para que marche exacto en [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

Aquí termina la física del instituto — no la física. En los volúmenes universitarios, la mecánica regresa armada con el cálculo; la electricidad y el magnetismo se revelan como una sola estructura en la que la luz, y la propia relatividad, llevaban escondidas desde el principio; y el mundo cuántico, apenas entrevisto en el capítulo anterior, se convierte en una teoría de la materia que funciona. Cada teoría estará obligada, como la relatividad, a devolverte como caso límite lo que ahora sabes. Llévatelo contigo: es la parte que no va a cambiar.