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title: "La presión: del deporte al buceo"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 7
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo
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# Capítulo 7 — La presión: del deporte al buceo

Un esquiador se desliza sobre la nieve en la que un caminante se hunde; un empujón de $5\,\mathrm{N}$ clava una aguja en un cuero que un puño no consigue abollar. Las mismas [fuerzas](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force), efectos disparatadamente distintos: la magnitud que falta es la *[presión](#def-g10-pressure-pressure)*, la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) dividida entre el área que la recibe. Este capítulo la define, la sigue piscina abajo, barómetro arriba y jeringa adentro — y acaba a cuarenta [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) bajo el mar, donde se vuelve cuestión de vida.

## 7.1 La presión: fuerza repartida sobre un área

**Definición 7.1 (Presión).**

Cuando una [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) de módulo $F$ (en $\mathrm{N}$) aprieta perpendicularmente sobre una superficie de área $S$ (en $\mathrm{m}^{2}$), la *presión* ejercida sobre esa superficie vale

$$
P = \frac{F}{S}.
$$

Su [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), el $\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$, es el *pascal* ($\mathrm{Pa}$) — una [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) diminuta, el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de una manzana repartido sobre un [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cuadrado, de modo que en la práctica se usan el $\mathrm{kPa}$ y el $\mathrm{MPa}$.

**Ejemplo 7.2 (Tacón contra raqueta de nieve).**

Una persona de $60\,\mathrm{kg}$ pesa $F = 60 \times 9.81 \approx 590\,\mathrm{N}$. Sobre un tacón de aguja de $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ = $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$: $P = 590/1.0 \times 10^{-4} \approx 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 5.9\,\mathrm{MPa}$. Sobre dos raquetas de nieve de $0.20\,\mathrm{m}^{2}$ cada una: $P = 590/0.40 \approx 1.5\,\mathrm{kPa}$. El *mismo* [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) aprieta $4000$ veces más fuerte bajo el tacón: los tacones marcan los suelos de madera y las raquetas flotan sobre la nieve polvo.

![La misma fuerza sobre dos áreas: lo que decide si la superficie cede es la presión, no la fuerza.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-6bcafb92682d.svg)

![La misma fuerza sobre dos áreas: lo que decide si la superficie cede es la presión, no la fuerza.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-ca1ef2327aa6.svg)

*La misma [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre dos áreas: lo que decide si la superficie cede es la [presión](#def-g10-pressure-pressure), no la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force).*

**Observación 7.3 (Concentrar o repartir).**

Una aguja de coser empujada con $5\,\mathrm{N}$ sobre una punta de $0.01\,\mathrm{mm}^{2}$ = $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ ejerce $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ — suficiente para separar las fibras del cuero. Las herramientas que perforan concentran la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force); los diseños que soportan cargas (esquís, orugas, cimientos) la reparten. El deporte es gestión aplicada de la [presión](#def-g10-pressure-pressure): los patines muerden el hielo y los esquís se deslizan sobre la nieve.

## 7.2 La presión en un líquido en reposo

¿Por qué aprieta más el agua a mayor profundidad? Aislemos una columna vertical imaginaria de agua de sección $S$, desde la superficie hasta la profundidad $h$: volumen $Sh$, masa $\rho S h$ ($\rho$ es la densidad del líquido, en $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) y [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\rho S h g$. El fondo de la columna soporta ese [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) *más* el [empuje](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-inventory) $P_0 S$ de la atmósfera sobre su parte superior. Dividiendo la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) total entre $S$: la [presión](#def-g10-pressure-pressure) a la profundidad $h$ debería ser $P_0 + \rho g h$ — y lo es, en todos los puntos del líquido.

**Teorema 7.4 (La presión con la profundidad).**

En un líquido de densidad $\rho$ en reposo y abierto al aire, la [presión](#def-g10-pressure-pressure) a la profundidad $h$ por debajo de la superficie vale

$$
P = P_0 + \rho g h,
$$

donde $P_0$ es la [presión atmosférica](#def-g10-pressure-atmospheric) en la superficie. La [presión](#def-g10-pressure-pressure) depende solo de la profundidad, no de la forma del recipiente, y en un punto dado el líquido aprieta con la misma [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) en todas las direcciones.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 7.5.**

El razonamiento de la columna solo hace verosímil la ley; la deducción honrada (para cualquier forma y en todas las direcciones) está en el volumen del primer año. El término propio del agua, $\rho g h$, es la *presión manométrica* — lo que muestra el manómetro de un buceador.

**Ejemplo 7.6 (Diez metros de agua).**

En agua dulce ($\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), a $h = 10\,\mathrm{m}$: $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 10 \approx 98\,\mathrm{kPa}$, de modo que $P = 101 + 98 \approx 199\,\mathrm{kPa}$. Diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de agua añaden casi exactamente una atmósfera: la regla práctica del buceador, *una atmósfera más por cada diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)*.

![Agua dulce en reposo: la presión crece linealmente con la profundidad, una atmósfera más cada diez metros.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-9a754ee895b1.svg)

*Agua dulce en reposo: la [presión](#def-g10-pressure-pressure) crece linealmente con la profundidad, una atmósfera más cada diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).*

## 7.3 El océano de aire

**Definición 7.7 (Presión atmosférica).**

Vivimos en el fondo de un océano de aire cuyo [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) crea la *presión atmosférica*, que a nivel del mar vale

$$
P_0 \approx 101\,\mathrm{kPa} = 1.01 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}.
$$

Sobre cada centímetro cuadrado son $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1 \times 10^{-4} \approx 10\,\mathrm{N}$: el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de una masa de un [kilogramo](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) sobre cada $\mathrm{cm}^{2}$ de tu piel, de tu mesa, de todo.

**Ejemplo 7.8 (La carga invisible).**

Una hoja A4 ($21.0\,\mathrm{cm}$ $\times$ $29.7\,\mathrm{cm}$, luego $S \approx 0.0624\,\mathrm{m}^{2}$) recibe del aire que tiene encima $F = 1.01 \times 10^{5} \times 0.0624 \approx 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de un coche pequeño. Y no se rasga nada: el aire de debajo empuja *hacia arriba* con la misma [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force). Solo notamos la atmósfera cuando uno de los dos lados la pierde — una ventosa, una pajita, la cabina de un avión.

**Observación 7.9 (El barómetro de Torricelli).**

En 1643, Torricelli invirtió un tubo sellado lleno de mercurio sobre una cubeta de mercurio. La columna bajó hasta la altura a la que $\rho g h = P_0$: $h = 1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$, dejando por encima el primer vacío jamás fabricado. La altura sigue al tiempo atmosférico y mengua con la altitud: un barómetro pesa el aire que tienes encima (con agua harían falta $10.3\,\mathrm{m}$: [Ejercicio 7.9](#exo-g10-pressure-9)).

## 7.4 Los gases: bombardeo y ley de Boyle

Un gas también aprieta sobre su recipiente: es un enjambre de moléculas en movimiento desordenado incesante, cada choque da a la pared un diminuto empujón hacia fuera, y miles de millones de miles de millones de impactos por segundo se difuminan en la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) constante que medimos como [presión](#def-g10-pressure-pressure) del gas. Si el gas se comprime hasta la mitad de volumen, las moléculas chocan el doble de a menudo, así que la [presión](#def-g10-pressure-pressure) debería duplicarse. Y se duplica.

**Proposición 7.10 (Ley de Boyle).**

Para una cantidad fija de gas mantenida a temperatura constante, la [presión](#def-g10-pressure-pressure) y el volumen son inversamente proporcionales:

$$
P \, V = \text{constante},
\qquad\text{es decir}\qquad
P_1 V_1 = P_2 V_2 .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 7.11.**

A este nivel es un hecho experimental — el volumen del primer año la deduce a partir de la imagen de los choques. El experimento (una jeringa de aire sellada, un sensor de [presión](#def-g10-pressure-pressure), $20{}^{\circ}\mathrm{C}$):

| $V$ ($\mathrm{mL}$) | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ ($\mathrm{kPa}$) | 100 | 120 | 150 | 200 | 300 |
| $P \times V$ ($\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$) | 6000 | 6000 | 6000 | 6000 | 6000 |

![Los datos de la jeringa caen sobre la hipérbola P = 6000/V: si se reduce el volumen a la mitad, la presión se duplica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-500a8f85aedb.svg)

*Los datos de la jeringa caen sobre la hipérbola $P = 6000/V$: si se reduce el volumen a la mitad, la [presión](#def-g10-pressure-pressure) se duplica.*

**Ejemplo 7.12 (Una jeringa comprimida).**

Un aire ocupa $4.0\,\mathrm{L}$ a $100\,\mathrm{kPa}$; comprimido despacio (para que la temperatura no cambie) hasta $250\,\mathrm{kPa}$, ocupa $V_2 = P_1 V_1 / P_2 = 400/250 = 1.6\,\mathrm{L}$.

## 7.5 El buceo: la presión puesta a trabajar

**Método 7.13 (Presión absoluta a una profundidad).**

Para un buceador a la profundidad $h$ en el mar ($\rho \approx 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, de modo que $\rho g h \approx 101\,\mathrm{kPa}$ por cada $10\,\mathrm{m}$), se calcula $P = P_0 + \rho g h$ — y en la [ley de Boyle](#prop-g10-pressure-boyle) hay que usar siempre esta [presión](#def-g10-pressure-pressure) *absoluta*, nunca el término manométrico solo. Un buceador está bajo $2$ atmósferas a $10\,\mathrm{m}$, $3$ a $20\,\mathrm{m}$ y $5$ a $40\,\mathrm{m}$.

![La presión absoluta en el mar: una atmósfera en la superficie, más otra por cada diez metros.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-2025d52a8678.svg)

*La [presión absoluta](#met-g10-pressure-dive) en el mar: una atmósfera en la superficie, más otra por cada diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).*

**Observación 7.14 (Nunca contengas la respiración).**

Un regulador entrega aire a la [presión](#def-g10-pressure-pressure) ambiente: los pulmones se llenan con normalidad a cualquier profundidad. Pero si se llenan $6.0\,\mathrm{L}$ a $20\,\mathrm{m}$ ($302\,\mathrm{kPa}$), se retiene esa respiración y se sube, Boyle exige $6.0 \times 302/101 \approx 18\,\mathrm{L}$ — tres veces lo que cabe en un tórax, y los pulmones se desgarran mucho antes de eso, incluso con unos pocos [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de ascenso. De ahí la primera regla del buceo con botella: *nunca contener la respiración mientras se asciende* — basta con seguir respirando y el aire que se expande sale solo. Una apneísta está a salvo: su aire lo tomó en la superficie, así que al subir solo vuelve a expandirse hasta su volumen original.

**Observación 7.15 (La descompresión).**

Respirar aire a alta [presión](#def-g10-pressure-pressure) disuelve además nitrógeno de más en la sangre, como el gas de una botella de refresco cerrada; si se sube demasiado deprisa, burbujea dentro del cuerpo — es la enfermedad por descompresión. De ahí el ascenso lento (unos $10\,\mathrm{m}$ por minuto) y las paradas a poca profundidad, que dejan salir el gas en silencio por los pulmones. La teoría espera al volumen del primer año; la norma de conducta es de todo buceador.

## 7.6 Ejercicios

**Ejercicio 7.1 ★.**

Una caja que pesa $600\,\mathrm{N}$ se apoya sobre una cara de $0.50\,\mathrm{m} \times 0.30\,\mathrm{m}$ y después sobre una cara de $0.30\,\mathrm{m} \times 0.20\,\mathrm{m}$. Calcula las dos presiones sobre el suelo. ¿Qué orientación conviene más sobre arena blanda?

**Solución de Ejercicio 7.1.**

Cara grande: $S = 0.15\,\mathrm{m}^{2}$, $P = 600/0.15 = 4.0\,\mathrm{kPa}$. Cara pequeña: $S = 0.060\,\mathrm{m}^{2}$, $P = 10\,\mathrm{kPa}$. Sobre arena, la cara grande: menos [presión](#def-g10-pressure-pressure), menos hundimiento.

**Ejercicio 7.2 ★.**

Expresa $0.25\,\mathrm{MPa}$ en $\mathrm{kPa}$ y en $\mathrm{Pa}$. ¿Qué aprieta más: $3.0\,\mathrm{N}$ sobre $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ o $60\,\mathrm{N}$ sobre $500\,\mathrm{cm}^{2}$?

**Solución de Ejercicio 7.2.**

$0.25\,\mathrm{MPa} = 250\,\mathrm{kPa} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. $3.0/2.0 \times 10^{-4} = 15\,\mathrm{kPa}$ le gana a $60/0.050 = 1.2\,\mathrm{kPa}$: la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) pequeña aprieta más.

**Ejercicio 7.3 ★.**

Calcula la [presión manométrica](#thm-g10-pressure-depth) $\rho g h$ y la [presión absoluta](#met-g10-pressure-dive) en el fondo de una piscina de $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidad ($\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$).

**Solución de Ejercicio 7.3.**

$\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 3.0 \approx 29\,\mathrm{kPa}$; absoluta, $P = 101 + 29 = 130\,\mathrm{kPa}$.

**Ejercicio 7.4 ★.**

Un aire ocupa $4.0\,\mathrm{L}$ a $100\,\mathrm{kPa}$, a temperatura constante. ¿Qué volumen ocupa a $250\,\mathrm{kPa}$? ¿Y a $50\,\mathrm{kPa}$?

**Solución de Ejercicio 7.4.**

$V_2 = 100 \times 4.0 / 250 = 1.6\,\mathrm{L}$; a $50\,\mathrm{kPa}$, $V_2 = 400/50 = 8.0\,\mathrm{L}$.

**Ejercicio 7.5 ★.**

Una patinadora de $65\,\mathrm{kg}$ se desliza sobre una sola cuchilla de área de contacto $12\,\mathrm{cm}^{2}$ y después se queda de pie sobre unas suelas que suman $360\,\mathrm{cm}^{2}$. Calcula las dos presiones y su cociente.

**Solución de Ejercicio 7.5.**

$F = 65 \times 9.81 \approx 638\,\mathrm{N}$. Cuchilla: $638/1.2 \times 10^{-3} \approx 5.3 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 530\,\mathrm{kPa}$. Suelas: $638/0.036 \approx 18\,\mathrm{kPa}$. Cociente $\approx 30$: la cuchilla muerde el hielo y las suelas no.

**Ejercicio 7.6 ★★.**

Un pulgar aprieta una chincheta con $20\,\mathrm{N}$. La cabeza tiene un área de $1.2\,\mathrm{cm}^{2}$ y la punta, $0.010\,\mathrm{mm}^{2}$. Calcula las presiones sobre el pulgar y sobre la pared; ¿por qué solo se perfora la pared?

**Solución de Ejercicio 7.6.**

Pulgar: $20/1.2 \times 10^{-4} \approx 1.7 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 170\,\mathrm{kPa}$. Pared: $20/1.0 \times 10^{-8} = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$. Los mismos $20\,\mathrm{N}$ actúan en la punta sobre un área $12\,000$ veces menor, así que solo allí supera la [presión](#def-g10-pressure-pressure) lo que el material puede aguantar.

**Ejercicio 7.7 ★★.**

Una escotilla de submarino de $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ está a $30\,\mathrm{m}$ de profundidad en agua de mar ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); por dentro, el aire está a [presión atmosférica](#def-g10-pressure-atmospheric). Calcula la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) neta que la mantiene cerrada y la masa cuyo [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) es igual a esa [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force).

**Solución de Ejercicio 7.7.**

$\Delta P = \rho g h = 1025 \times 9.81 \times 30 \approx
3.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, de modo que $F = 3.0 \times 10^{5} \times 0.50 \approx 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ — el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $F/g \approx 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$, quince toneladas. Ninguna tripulación abre eso hacia fuera contra el mar.

**Ejercicio 7.8 ★★.**

Un sensor situado a $5.00\,\mathrm{m}$ de profundidad en un líquido desconocido marca una [presión manométrica](#thm-g10-pressure-depth) de $66.2\,\mathrm{kPa}$. Halla la densidad. ¿Es agua dulce?

**Solución de Ejercicio 7.8.**

$\rho = \dfrac{P}{g h} = \dfrac{66.2 \times 10^{3}}{9.81 \times 5.00}
\approx 1350\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. No es agua dulce ($1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): un líquido bastante más denso, por ejemplo una salmuera concentrada.

**Ejercicio 7.9 ★★.**

¿Qué altura tendría el barómetro de Torricelli con agua ($\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) en lugar de mercurio ($\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)? Recupera las dos alturas a partir de $\rho g h = P_0$; ¿por qué ganó el mercurio?

**Solución de Ejercicio 7.9.**

$h = P_0/(\rho g)$: con agua, $1.01 \times 10^{5}/9810 \approx 10.3\,\mathrm{m}$; con mercurio, $1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$. Un tubo de $76\,\mathrm{cm}$ cabe en una mesa; un barómetro de agua de $10\,\mathrm{m}$ necesita el hueco de una escalera — ganó la densidad del mercurio.

**Ejercicio 7.10 ★★.**

Con los datos de la jeringa de la [Proposición 7.10](#prop-g10-pressure-boyle) ($PV = 6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$), predice el volumen a $240\,\mathrm{kPa}$ y la [presión](#def-g10-pressure-pressure) a $75\,\mathrm{mL}$. ¿Qué curva es $P$ frente a $V$? ¿Y $P$ frente a $1/V$?

**Solución de Ejercicio 7.10.**

$V = 6000/240 = 25\,\mathrm{mL}$; $P = 6000/75 = 80\,\mathrm{kPa}$. $P$ frente a $V$ es una hipérbola; $P$ frente a $1/V$ es una recta que pasa por el origen, de pendiente $6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$.

**Ejercicio 7.11 ★★.**

Un buceador a $20\,\mathrm{m}$ suelta una burbuja de $0.50\,\mathrm{cm}^{3}$. ¿Qué volumen tiene justo por debajo de la superficie? (Temperatura constante; el agua de mar añade $101\,\mathrm{kPa}$ por cada $10\,\mathrm{m}$.)

**Solución de Ejercicio 7.11.**

A $20\,\mathrm{m}$: $P = 101 + 2 \times 101 = 303\,\mathrm{kPa}$, tres atmósferas. En la superficie, $V = 0.50 \times 303/101 = 1.5\,\mathrm{cm}^{3}$: la burbuja se triplica.

**Ejercicio 7.12 ★★★.**

Una ventosa de $12\,\mathrm{cm}^{2}$ se aprieta contra un techo.

1. Con vacío perfecto dentro: ¿qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) ejerce la atmósfera sobre la ventosa, y qué masa colgada puede sostener?
2. Una ventosa real conserva dentro aire a $20\,\mathrm{kPa}$ . ¿Qué masa sostiene ahora?

**Solución de Ejercicio 7.12.**

*1.* $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 121\,\mathrm{N}$, que sostienen $m = 121/9.81 \approx 12\,\mathrm{kg}$.

*2.* $\Delta P = 101 - 20 = 81\,\mathrm{kPa}$: $F = 8.1 \times 10^{4} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 97\,\mathrm{N}$, unos $9.9\,\mathrm{kg}$.

**Ejercicio 7.13 ★★★.**

Una botella de buceo contiene $12\,\mathrm{L}$ de aire a $200\,\mathrm{bar}$ ($1\,\mathrm{bar}$ = $100\,\mathrm{kPa}$ $\approx 1$ atmósfera); hay que dejar $50\,\mathrm{bar}$ de reserva. Un buceador respira $15\,\mathrm{L}$ por minuto a la [presión](#def-g10-pressure-pressure) ambiente. ¿Cuántos litros de aire a [presión](#def-g10-pressure-pressure) de superficie son utilizables? ¿Cuánto dura la botella a $30\,\mathrm{m}$ ([presión absoluta](#met-g10-pressure-dive) $\approx 4\,\mathrm{bar}$)? ¿Y a $10\,\mathrm{m}$?

**Solución de Ejercicio 7.13.**

Boyle: $12 \times (200 - 50) = 1800\,\mathrm{L}$ de aire a [presión](#def-g10-pressure-pressure) de superficie son utilizables. A $30\,\mathrm{m}$ cada respiración se toma a $4\,\mathrm{bar}$, así que $15\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ a la [presión](#def-g10-pressure-pressure) ambiente cuestan $15 \times 4 = 60\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ de aire de superficie: $1800/60 = 30\,\mathrm{min}$. A $10\,\mathrm{m}$ ($2\,\mathrm{bar}$): $30\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$, luego $60\,\mathrm{min}$. La profundidad se paga en aire.

**Ejercicio 7.14 ★★★.**

Los pulmones de una apneísta contienen $6.0\,\mathrm{L}$ en la superficie y no pueden encogerse por debajo del volumen residual, $1.5\,\mathrm{L}$. ¿A qué profundidad marina ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) se alcanza ese límite? (En su día se declaró el límite de la apnea; hoy los récords pasan de $100\,\mathrm{m}$, porque la sangre se desplaza al tórax y ocupa el volumen que falta.)

**Solución de Ejercicio 7.14.**

$P = P_0 \dfrac{V_0}{V} = 101 \times \dfrac{6.0}{1.5} =
404\,\mathrm{kPa}$. Con $\rho g \approx 10.1\,\mathrm{kPa}/\mathrm{m}$, $h = (404 - 101)/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 7.15 ★★★.**

En un elevador hidráulico, un líquido transmite la [presión](#def-g10-pressure-pressure) sin alteración desde un pistón pequeño ($s = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$) a uno grande ($S = 400\,\mathrm{cm}^{2}$) que sostiene un coche de $1200\,\mathrm{kg}$.

1. ¿Qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) sobre el pistón pequeño mantiene el coche en alto? ¿Qué [presión](#def-g10-pressure-pressure) soporta el líquido?
2. Para subir el coche $2.0\,\mathrm{cm}$ , ¿cuánto tiene que recorrer el pistón pequeño? Compara el trabajo realizado sobre cada pistón.

**Solución de Ejercicio 7.15.**

*1.* [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $F = 1200 \times 9.81 \approx 1.18 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$; [presión](#def-g10-pressure-pressure) $P = F/S = 1.18 \times 10^{4}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$; pistón pequeño: $f = P s = 2.9 \times 10^{5} \times 2.0 \times 10^{-4} \approx 59\,\mathrm{N}$ — la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) queda dividida entre $S/s = 200$.

*2.* El volumen de líquido se conserva: $400 \times 2.0 = 800\,\mathrm{cm}^{3}$ tienen que salir del cilindro pequeño, que recorre $800/2.0 = 400\,\mathrm{cm} = 4.0\,\mathrm{m}$. Trabajo: $59 \times 4.0 \approx 235\,\mathrm{J}$ por un lado y $1.18 \times 10^{4} \times 0.020 \approx 235\,\mathrm{J}$ por el otro — el elevador cambia distancia por [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force), nunca trabajo.

## 7.7 Problema: una respiración hacia abajo, una hacia arriba

**Problema 7.1.**

Problema de fin de semana — una respiración hacia abajo y otra hacia arriba: la física de una apnea y de un ascenso con botella, del apretón de la máscara a la regla de que los últimos diez metros son los más peligrosos

Lena bucea en apnea: una respiración en la superficie, hasta $30\,\mathrm{m}$ y vuelta. Marco bucea a su lado con botella. El mismo mar ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$, $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$), los mismos pulmones de $6.0\,\mathrm{L}$, peligros opuestos — todo ello gobernado por $P = P_0 + \rho g h$ y por $PV$ constante (la temperatura no cambia en ningún momento).

**Parte I — El [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) del agua.**

1. Calcula $\rho g$ para el agua de mar en $\mathrm{kPa}$ por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) y comprueba la regla práctica: una atmósfera por cada $10\,\mathrm{m}$ .
2. Calcula la [presión absoluta](#met-g10-pressure-dive) a $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}$ y $40\,\mathrm{m}$ .
3. Expresa cada una como múltiplo de la [presión](#def-g10-pressure-pressure) en la superficie.
4. La máscara de Lena cubre $150\,\mathrm{cm}^{2}$ . A $30\,\mathrm{m}$ , si el aire de su interior siguiera a la [presión](#def-g10-pressure-pressure) de la superficie, ¿qué [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) neta ejercería el agua? (Los buceadores exhalan por la nariz dentro de la máscara para evitar este *apretón de máscara* .)
5. Un tímpano tiene un área de unos $0.60\,\mathrm{cm}^{2}$ . Calcula la [fuerza](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/6-las-fuerzas-y-el-principio-de-inercia#def-g10-inertia-force) neta sobre él a $3.0\,\mathrm{m}$ si el oído medio se queda a la [presión](#def-g10-pressure-pressure) de la superficie; ¿por qué duelen los oídos en una simple piscina, y qué tiene que conseguir la “compensación”?

**Parte II — Una respiración hacia abajo.** Lena deja la superficie con $6.0\,\mathrm{L}$ de aire en los pulmones.

6. Con la [ley de Boyle](#prop-g10-pressure-boyle) y presiones absolutas, calcula su volumen pulmonar a $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ y $30\,\mathrm{m}$ .
7. ¿A qué profundidad se reduce a la mitad su volumen pulmonar?
8. ¿Es el volumen pulmonar proporcional a la profundidad? Describe la curva de $V$ frente a la [presión absoluta](#met-g10-pressure-dive) $P$ .
9. Su volumen residual es $1.5\,\mathrm{L}$ : los pulmones no pueden encogerse más. Demuestra que ese límite se alcanza cerca de los $30\,\mathrm{m}$ .
10. Y sin embargo los récords de apnea superan los $100\,\mathrm{m}$ : ¿qué llena el volumen que falta? (¿Qué otra cosa puede fluir hacia el tórax?)

**Parte III — Una respiración hacia arriba.** A $30\,\mathrm{m}$, el regulador de Marco le llena los pulmones de $6.0\,\mathrm{L}$.

11. ¿A qué [presión](#def-g10-pressure-pressure) entrega el regulador ese aire? ¿Cuántas veces más denso es que el aire de la superficie?
12. Marco entra en pánico, contiene la respiración y sube hasta $10\,\mathrm{m}$ : ¿qué volumen exige allí su aire atrapado?
13. ¿Y qué volumen en la superficie — cuántas veces su capacidad?
14. Enuncia la primera regla del buceador con botella y explica por qué respirar con normalidad elimina el peligro.
15. Lena también contiene la respiración desde $30\,\mathrm{m}$ hasta la superficie y sus pulmones están perfectamente a salvo. Explica la asimetría.

**Parte IV — Las burbujas y los últimos diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).**

16. Marco suelta una burbuja de $1.0\,\mathrm{cm}^{3}$ a $40\,\mathrm{m}$ . Calcula su volumen a $30\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ y justo por debajo de la superficie.
17. Para cada tramo de $10\,\mathrm{m}$ de la subida, calcula el factor en que crece la burbuja. ¿Dónde es más rápido el crecimiento?
18. Los buceadores ascienden como mucho a $10\,\mathrm{m}$ por minuto: ¿cuánto se tarda desde $40\,\mathrm{m}$ , y en qué minuto se expande más el gas atrapado o disuelto?
19. En profundidad, la sangre de Marco disuelve nitrógeno de más, como el gas de una botella de refresco cerrada. ¿Qué provoca un ascenso demasiado rápido, y cómo lo evitan el ascenso lento y una parada de seguridad a $5\,\mathrm{m}$ ?
20. El remate: en una frase cada uno, da el veredicto de la apneísta, el veredicto del buceador con botella y la razón cuantificada de que los últimos diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de cualquier ascenso merezcan el máximo respeto.

**Solución de Problema 7.1.**

**1.** $\rho g = 1025 \times 9.81 \approx 10.1\,\mathrm{kPa}$ por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), de modo que $10\,\mathrm{m}$ de agua de mar añaden $\approx 101\,\mathrm{kPa}$: una atmósfera por cada diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), casi exactamente.

**2.** $P = 101 + 10.1\,h$: $202\,\mathrm{kPa}$ a $10\,\mathrm{m}$, $302\,\mathrm{kPa}$ a $20\,\mathrm{m}$, $403\,\mathrm{kPa}$ a $30\,\mathrm{m}$ y $503\,\mathrm{kPa}$ a $40\,\mathrm{m}$.

**3.** $2.0$, $3.0$, $4.0$ y $5.0$ veces $P_0$.

**4.** $\Delta P = 403 - 101 = 302\,\mathrm{kPa}$ sobre $0.015\,\mathrm{m}^{2}$: $F = 3.02 \times 10^{5} \times 0.015 \approx
4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — el [peso](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de casi media tonelada sobre la cara.

**5.** $\Delta P = 10.1 \times 3.0 \approx 30\,\mathrm{kPa}$; $F = 3.0 \times 10^{4} \times 6.0 \times 10^{-5} \approx 1.8\,\mathrm{N}$ — un dedo apretando el tímpano, ya a profundidad de piscina. Compensar consiste en meter aire en el oído medio hasta que la [presión](#def-g10-pressure-pressure) interior iguale a la del agua.

**6.** $V = 6.0 \, P_0/P$: $6.0 \times 101/202 = 3.0\,\mathrm{L}$; $606/302 = 2.0\,\mathrm{L}$; $606/403 = 1.5\,\mathrm{L}$.

**7.** Se reduce a la mitad cuando $P = 2P_0$, es decir a $10\,\mathrm{m}$ — en el primerísimo tramo de la inmersión.

**8.** No: $V = 606/P$ es una hipérbola en la [presión absoluta](#met-g10-pressure-dive) (y lo que ve la [ley de Boyle](#prop-g10-pressure-boyle) es $P$, no $h$); cada $10\,\mathrm{m}$ adicionales quitan menos volumen que los anteriores.

**9.** $V = 1.5\,\mathrm{L}$ exige $P = 101 \times 6.0/1.5 = 404\,\mathrm{kPa}$, es decir $h = 303/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ ([Ejercicio 7.14](#exo-g10-pressure-14)).

**10.** La sangre: el plasma se desplaza a los vasos del tórax, es incompresible y ocupa el volumen que el aire ya no llena.

**11.** A la [presión](#def-g10-pressure-pressure) ambiente, $403\,\mathrm{kPa}$. Por Boyle, ese mismo aire a $101\,\mathrm{kPa}$ llenaría $4$ veces el volumen: es $4.0$ veces más denso que el aire de la superficie.

**12.** $V = 6.0 \times 403/202 \approx 12\,\mathrm{L}$ — el doble, después de solo $20\,\mathrm{m}$ de subida.

**13.** $V = 6.0 \times 403/101 \approx 24\,\mathrm{L}$: cuatro veces su capacidad pulmonar.

**14.** *Nunca contener la respiración mientras se asciende.* Con la vía aérea abierta, el aire que se expande sale por el regulador y el volumen pulmonar no pasa nunca de $6.0\,\mathrm{L}$.

**15.** Los $1.5\,\mathrm{L}$ de Lena a $30\,\mathrm{m}$ *son* sus $6.0\,\mathrm{L}$ de la superficie comprimidos: al subir vuelven a expandirse hasta exactamente $6.0\,\mathrm{L}$, nunca más. Los $6.0\,\mathrm{L}$ de Marco los *tomó* a $403\,\mathrm{kPa}$: llevan dentro $24\,\mathrm{L}$ de aire de superficie.

**16.** $V = 1.0 \times 503/P$: $1.25\,\mathrm{cm}^{3}$ a $30\,\mathrm{m}$, $1.67\,\mathrm{cm}^{3}$ a $20\,\mathrm{m}$, $2.49\,\mathrm{cm}^{3}$ a $10\,\mathrm{m}$ y $4.98\,\mathrm{cm}^{3}$ en la superficie.

**17.** Factores por tramo: $503/403 = 1.25$, después $1.33$, $1.49$ y $202/101 = 2.0$ en los últimos diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) — el crecimiento se acelera al acercarse la superficie.

**18.** $40/10 = 4.0\,\mathrm{min}$. El último minuto: de $10\,\mathrm{m}$ a la superficie la [presión absoluta](#met-g10-pressure-dive) se reduce a la mitad, la mayor caída relativa de todo el ascenso.

**19.** Un ascenso rápido deja que el nitrógeno disuelto burbujee dentro de la sangre y de las articulaciones (enfermedad por descompresión); subir despacio y detenerse cerca de los $5\,\mathrm{m}$ mantiene el gas disuelto el tiempo suficiente para que salga en silencio por los pulmones.

**20.** La apneísta: su aire solo vuelve a su volumen original — Boyle la protege. El buceador con botella: el aire tomado en profundidad se multiplica al subir — respirar, nunca contener. Y los últimos diez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) duplican todo volumen atrapado ($\times 2.0$, frente a $\times 1.25$ allá abajo, a $40\,\mathrm{m}$): cuanto más cerca está la superficie, más despacio hay que acercarse a ella.